Daugiavardžių skirstymas pagal „stulpelį“ („kampas“). Polinomų padalijimas iš kampo Padalinkite išraišką pagal išraišką internete

pareiškimas

priminimas nepilnas privatus.

komentuoti

Bet kokiems polinomams $A(x)$ ir $B(x)$ ($B(x)$ laipsnis didesnis nei 0) yra unikalūs daugianariai $Q(x)$ ir $R(x)$ iš teiginio sąlyga.

1. Likusioji dalis polinomą $x^(4) + 3x^(3) +5$ padalijus iš $x^(2) + 1$ yra $3x + 4$:$x^(4) + 3x^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1)(x^(2) + 1) +3x + 4,$
2. Likusioji dalis polinomą $x^(4) + 3x^(3) +5$ padalijus iš $x^(4) + 1$ yra $3x^(3) + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = 1 \ctaškas (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4.$
3. Likusioji dalis padalijus polinomą $x^(4) + 3x^(3) +5$ iš $x^(6) + 1$ yra $x^(4) + 3x^(3) +5$:$x ^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \ctaškas (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

pareiškimas

Bet kuriems dviem polinomams $A(x)$ ir $B(x)$ (kai daugianario $B(x)$ laipsnis nėra nulis), egzistuoja daugianario $A(x)$ forma. $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, kur $Q(x)$ ir $R(x)$ yra daugianariai, o $R(x)$ laipsnis yra mažesnis nei $B(x).$ laipsnis

Įrodymas

Teiginį įrodysime indukcija apie daugianario $A(x).$ laipsnį. Pažymėkite jį $n$. Jei $n = 0$, teiginys yra teisingas: $A(x)$ gali būti pavaizduotas kaip $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Dabar teiginys bus įrodytas $n \ leqm$ laipsnio daugianariai. Įrodykime teiginį $k= n+1.$ laipsnio daugianariams

Tegul daugianario $B(x)$ laipsnis lygus $m$. Apsvarstykite tris atvejus: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ ir įrodykite teiginį kiekvienam iš jų.

1. $k< m$
   Dauginamą $A(x)$ galima pavaizduoti kaip

   $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$

   Teiginys buvo pareikštas.

2. $k = m$
   Tegul polinomai $A(x)$ ir $B(x)$ turi formą

   $A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \taškai + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(kur ) \: a_(n+1) \neq 0;$

   $B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \taškai + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(kur ) \: b_(n+1) \neq 0.$

   Pavaizduokime $A(x)$ kaip

   $A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) – A(x)\Big).$

   Atkreipkite dėmesį, kad daugianario $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ laipsnis yra ne didesnis kaip $n+1$, tada šis vaizdavimas yra pageidaujamas ir teiginys tenkinamas.

3. $k > m$
   Dauginamą $A(x)$ pavaizduojame formoje

   $A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \taškai + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (kur) \: a_(n+1) \neq 0.$

   Apsvarstykite daugianarį $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ gali būti pavaizduotas kaip $A" (x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, kur daugianario $R"(x)$ laipsnis yra mažesnis nei $m$, tada $A(x) vaizdavimas $ gali būti perrašytas kaip

   $A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$

   Atkreipkite dėmesį, kad daugianario $xR"(x)$ laipsnis yra mažesnis nei $m+1$, t.y. mažesnis nei $k$. Tada $xR"(x)$ tenkina indukcinę prielaidą ir gali būti pavaizduota kaip $ xR" (x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, kur daugianario $R""(x)$ laipsnis yra mažesnis nei $m$. Perrašykite $A vaizdavimą (x)$ kaip

   $A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$

   $= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$

   Dauginamo $R""(x) + a_(0)$ laipsnis yra mažesnis nei $m$, taigi teiginys yra teisingas.

Teiginys pasitvirtino.

Šiuo atveju vadinamas daugianario $R(x)$ priminimas padalijus $A(x)$ iš $B(x)$ ir $Q(x)$ - nepilnas privatus.

Jei likusioji $R(x)$ dalis yra nulinis polinomas, tai $A(x)$ dalijasi iš $B(x)$.

Pateiktas įrodymas, kad neteisinga trupmena, sudaryta iš daugianario, gali būti pavaizduota kaip daugianario ir tinkamos trupmenos suma. Išsamiai analizuojami daugianario padalijimo iš kampo ir daugybos iš stulpelio pavyzdžiai.

Turinys

Teorema

Tegul P k (x), Qn (x) yra polinomai kintamajame x atitinkamai k ir n laipsnių, kurių k ≥ n . Tada daugianario P k (x) gali būti pavaizduotas tik tokiu būdu:
(1) P k (x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x),
kur S k-n (x)- k-n laipsnio daugianario U n- 1(x)- daugianario laipsnis ne didesnis kaip n- 1 , arba nulis.

Įrodymas

Pagal daugianario apibrėžimą:
;
;
;
,
kur p i , q i - žinomi koeficientai, s i , u i - nežinomi koeficientai.

Supažindinkime su užrašu:
.
Pakeisti į (1) :
;
(2) .
Pirmasis dešinėje pusėje esantis narys yra k laipsnio daugianario. Antrojo ir trečiojo narių suma yra daugianomas, kurio laipsnis ne didesnis kaip k - 1 . Sulyginkite koeficientus ties x k :
p k = s k-n q n .
Taigi s k-n = p k / q n .

Transformuokime lygtį (2) :
.
Įveskime žymėjimą: .
Kadangi s k-n = p k / q n , tada koeficientas ties x k yra lygus nuliui. Todėl - tai yra daugiausia k laipsnio daugianario 1 , . Tada ankstesnė lygtis gali būti perrašyta taip:
(3) .

Ši lygtis turi tokią pačią formą kaip ir lygtis (1) , tapo tik k reikšmė 1 mažiau. Kartodami šią procedūrą k-n kartų, gauname lygtį:
,
iš kurio nustatome daugianario U n- koeficientus 1(x).

Taigi, mes nustatėme visus nežinomus koeficientus s i , u l . Be to, s k-n ≠ 0 . Lema įrodyta.

Daugiavardžių dalyba

Abiejų lygties pusių padalijimas (1) ant Q n (x), mes gauname:
(4) .
Analogiškai su dešimtainiais skaičiais, S k-n (x) vadinama sveikąja trupmenos dalimi arba privačia, U n- 1(x)- likusią skyriaus dalį. Polinomų trupmena, kurios daugianario laipsnis skaitiklyje yra mažesnis už daugianario laipsnį vardiklyje, vadinama tinkama trupmena. Polinomų trupmena, kurios daugianario laipsnis skaitiklyje yra didesnis arba lygus vardiklyje esančio daugianario laipsniui, vadinama netinkamąja trupmena.

Lygtis (4) rodo, kad bet kurią neteisingą daugianario trupmeną galima supaprastinti pavaizduojant ją kaip sveikosios dalies ir tinkamos trupmenos sumą.

Iš esmės sveikieji dešimtainiai skaičiai yra daugianariai, kurių kintamasis yra lygus skaičiui 10 . Pavyzdžiui, paimkime skaičių 265847. Jis gali būti pavaizduotas taip:
.
Tai yra, tai yra penktojo laipsnio daugianario nuo 10 . Skaičiai 2, 6, 5, 8, 4, 7 yra skaičiaus plėtimosi koeficientai laipsniais 10.

Todėl daugianariai gali būti taikomi dalijimo iš kampu taisyklei (kartais vadinama padalijimu iš stulpelio), kuri taikoma dalinant skaičius. Vienintelis skirtumas yra tas, kad dalijant polinomus nereikia konvertuoti didesnių nei devynių skaičių į didesnius skaitmenis. Apsvarstykite daugianario padalijimo kampu procesą naudodami konkrečius pavyzdžius.

Polinomų padalijimo iš kampo pavyzdys

.

Čia skaitiklis yra ketvirtojo laipsnio daugianario. Vardiklis yra antrojo laipsnio daugianario. Nes 4 ≥ 2 , tada trupmena neteisinga. Mes pasirenkame sveikąją dalį, padalydami polinomus kampu (stulpelyje):

Pateiksime išsamų padalijimo proceso aprašymą. Originalūs daugianariai rašomi kairiajame ir dešiniajame stulpelyje. Po vardiklio polinomu, dešiniajame stulpelyje, nubrėžiame horizontalią liniją (kampą). Žemiau šios linijos kampu bus sveikoji trupmenos dalis.

1.1 Randame pirmąjį sveikosios dalies narį (po kampu). Norėdami tai padaryti, padalijame didžiausią skaitiklio narį iš didžiausio vardiklio nario: .

1.2 Padauginti 2x2 ant x 2–3 x + 5:
. Rezultatas rašomas kairiajame stulpelyje:

1.3 Kairiajame stulpelyje imame polinomų skirtumą:

.

Taigi, gavome tarpinį rezultatą:
.

Dešinėje pusėje esanti trupmena yra neteisinga, nes daugianario laipsnis skaitiklyje ( 3 ) yra didesnis arba lygus vardiklio daugianario laipsniui ( 2 ). Mes kartojame skaičiavimus. Tik dabar trupmenos skaitiklis yra paskutinėje kairiojo stulpelio eilutėje.
2.1 Padalinkite skaitiklio vyresnįjį narį iš vardiklio vyresniojo nario: ;

2.2 Padauginame iš vardiklio: ;

2.3 Ir atimkite iš paskutinės kairiojo stulpelio eilutės: ;


Tarpinis rezultatas:
.

Skaičiavimus kartojame dar kartą, nes dešinėje pusėje yra neteisinga trupmena.
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;


Taigi mes gavome:
.
Dešiniosios trupmenos skaitiklio daugianario laipsnis yra mažesnis už vardiklio daugianario laipsnį, 1 < 2 . Todėl trupmena yra teisinga.

;
2 x 2 - 4 x + 1 yra visa dalis;
x- 8 - likusi dalis.

2 pavyzdys

Pasirinkite sveikąją trupmenos dalį ir raskite dalybos likutį:
.

Atliekame tuos pačius veiksmus, kaip ir ankstesniame pavyzdyje:

Čia likusi padalijimo dalis yra lygi nuliui:
.

Polinomų daugyba iš stulpelio

Taip pat galite padauginti daugianario iš stulpelio, panašiai kaip sveikųjų skaičių dauginimas. Panagrinėkime konkrečius pavyzdžius.

Polinomų dauginimo iš stulpelio pavyzdys

Raskite daugianario sandaugą:
.

1

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Rezultatas rašomas stulpelyje, suderinant x laipsnius.

3
;
;
;
.

Atkreipkite dėmesį, kad gali būti užrašomi tik koeficientai, o kintamojo x laipsniai gali būti praleisti. Tada daugyba iš daugianario stulpelio atrodys taip:

2 pavyzdys

Raskite daugianario sandaugą stulpelyje:
.

Dauginant daugianarius iš stulpelio, svarbu vieną po kito užrašyti vienodus kintamojo x laipsnius. Jei kai kurie x laipsniai praleisti, jie turėtų būti parašyti aiškiai padauginus iš nulio arba palikti tarpus.

Šiame pavyzdyje kai kurie laipsniai praleisti. Todėl mes juos rašome aiškiai, padauginus iš nulio:
.
Dauginame daugianarius iš stulpelio.

1 Pradinius daugianarius įrašome vienas po kito stulpelyje ir nubrėžiame liniją.

2.1 Mažiausią antrojo daugianario narį padauginame iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatas rašomas stulpelyje.

2.2 Kitas antrojo daugianario narys yra lygus nuliui. Todėl jo sandauga iš pirmojo daugianario taip pat lygi nuliui. Nulinę eilutę galima praleisti.

2.3 Kitą antrojo daugianario narį padauginame iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatas rašomas stulpelyje, suderinant x laipsnius.

2.3 Kitą (didžiausią) antrojo daugianario narį padauginame iš pirmojo daugianario:
.
Rezultatas rašomas stulpelyje, suderinant x laipsnius.

3 Po to, kai visi antrojo daugianario nariai buvo padauginti iš pirmojo, nubrėžiame liniją ir pridedame terminus su tokiomis pačiomis galiomis x:
.

Bendras monomilo vaizdas

f(x)=axn, kur:

-a- koeficientas, kuris gali priklausyti bet kuriam iš rinkinių N, Z, Q, R, C

-x- kintamasis

-n aibei priklausantis eksponentas N

Du monomai yra panašūs, jei turi tą patį kintamąjį ir tą patį rodiklį.

Pavyzdžiai: 3x2 ir -5x2; ½x 4 ir 2√3x4

Viena į kitą nepanašių vienanarių suma vadinama daugianario (arba daugianario). Šiuo atveju monomai yra daugianario nariai. Dauginamas, kuriame yra du terminai, vadinamas dvejetainiu (arba dvinariu).
Pavyzdys: p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1
Polinomas, turintis tris narius, vadinamas trinamiu.

Bendroji daugianario su vienu kintamuoju forma

kur:

• a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0 yra daugianario koeficientai. Jie gali būti natūralūs, sveikieji, racionalieji, realieji arba kompleksiniai skaičiai.
• a n- koeficientas termine su didžiausiu eksponentu (pirmaujantis koeficientas)
• a 0- koeficientas prie termino su mažiausiu eksponentu (laisvasis narys arba konstanta)
• n- daugianario laipsnis

1 pavyzdys
p(x)=5x3 -2x2 +7x-1

• trečiojo laipsnio daugianario su koeficientais 5, -2, 7 ir -1
• 5 - pagrindinis veiksnys
• -1 - laisvas narys
• x- kintamasis

2 pavyzdys
h(x)=-2√3x4 +½x-4

• ketvirtojo laipsnio daugianario su koeficientais -2√3.½ ir -4
• -2√3 - pagrindinis veiksnys
• -4 - laisvas narys
• x- kintamasis

Polinominis padalijimas

p(x) ir q(x)- du daugianariai:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Norėdami rasti padalijimo koeficientą ir liekaną p(x) ant q(x), turite naudoti šį algoritmą:

1. Laipsnis p(x) turi būti didesnis arba lygus q(x).
2. Turime parašyti abu daugianario mažėjimo tvarka. Jei į p(x) nėra termino su jokiu laipsniu, jis turi būti pridėtas su koeficientu 0.
3. Vadovaujantis narys p(x) padalintas į vadovaujantį narį q(x), o rezultatas rašomas po skiriamąja linija (vardiklyje).
4. Gautą rezultatą padauginame iš visų dalių q(x) ir parašykite rezultatą priešingais ženklais po terminais p(x) su atitinkamais laipsniais.
5. Po termino pridedame terminus su vienodais laipsniais.
6. Rezultatui priskiriame likusias sąlygas p(x).
7. Gauto daugianario pirminį narį padaliname iš pirmojo daugianario nario q(x) ir pakartokite 3–6 veiksmus.
8. Ši procedūra kartojama tol, kol naujai gautas daugianario laipsnis yra mažesnis nei q(x). Šis daugianomas bus dalybos likutis.
9. Po skiriamąja linija parašytas polinomas yra padalijimo (dalytuvo) rezultatas.

1 pavyzdys
1 ir 2 veiksmas) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

4) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x 4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x5 -3x4 +2x3 +7x2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privatus

Atsakymas: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2 pavyzdys
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) koeficientas

Atsakymas: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Dalyba iš pirmojo laipsnio daugianario

Šį padalijimą galima atlikti naudojant aukščiau pateiktą algoritmą arba dar greičiau naudojant Hornerio metodą.
Jeigu f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, daugianarį galima perrašyti kaip f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- pirmojo laipsnio daugianario ⇒ q(x)=mx+n
Tada koeficiento daugianaris turės laipsnį n-1.

Pagal Hornerio metodą $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 \u003d x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
kur b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privatus. Likutis bus nulinio laipsnio polinomas, nes likučio daugianario laipsnis turi būti mažesnis už daliklio laipsnį.
Padalijimas su likusia dalimi ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r jei $x_0=-\frac(n)(m)$
Prisimink tai p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

3 pavyzdys
p(x)=5x 4 -2x 3 +4x 2 -6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 \u003d 5
b 2 \u003d 3,5-2 \u003d 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x 3 +13x 2 +43x+123; r = 362
b 0 \u003d 3,43-6 \u003d 123
r=3,123-7=362
5x4 -2x3 +4x2 -6x-7=(x-3)(5x3 +13x2 +43x+123)+362

4 pavyzdys
p(x)=-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x) = -2x5 +3x4 +0x3 +x2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 \u003d -2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 \u003d -2          b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7     b 0 =(-2).29-4=-62
b2=(-2).7+0=-14     r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62; r = 125
-2x 5 +3x 4 +x 2 -4x+1=(x+2)(-2x 4 +7x 3 -14x 2 +29x-62)+125

5 pavyzdys
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b2=3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Rodyklė dešinėn 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
Išvada
Jei dalijame iš daugianario, kurio laipsnis didesnis nei vienas, turime naudoti algoritmą, kad surastume koeficientą ir likutį 1-9 .
Jei padalinsime iš pirmojo laipsnio daugianario mx+n, tada norėdami rasti koeficientą ir likutį, turite naudoti Hornerio metodą su $x_0=-\frac(n)(m)$.
Jei mus domina tik likusi padalinio dalis, užtenka rasti p(x0).
6 pavyzdys
p(x) = -4x 4 +3x 3 +5x 2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r = 5

Tegul to reikalaujama

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1).

Čia pateikiama sandauga (2x 3 - 7x 2 + x + 1) ir vienas koeficientas (2x - 1), - reikia rasti kitą faktorių. Šiame pavyzdyje iš karto aišku (tačiau to negalima nustatyti bendrai), kad kitas, norimas veiksnys arba koeficientas, taip pat yra daugianario. Tai aišku, nes šis produktas turi 4 terminus, o šis daugiklis yra tik 2. Tačiau iš anksto pasakyti, kiek norimas daugiklis turi terminų, neįmanoma: gali būti 2 terminai, 3 terminai ir tt Prisimenant, kad didžiausias terminas sandauga visada išeina padauginus didžiausią vieno veiksnio narį iš didžiausio kito nario (žr. polinomo dauginimą iš daugianario) ir kad tokių terminų negali būti, esame tikri, kad 2x 3 (didžiausias šis produktas) bus gautas padauginus 2x (didžiausias šio koeficiento narys) iš nežinomo ieškomo daugiklio pagrindinio termino. Norėdami rasti paskutinį, turime padalinti 2x 3 iš 2x - gauname x 2 . Tai vyresnysis eilės narys.

Prisiminkite, kad dauginant daugianarį iš daugianario, kiekvienas vieno daugianario narys turi būti padaugintas iš kiekvieno kito nario. Todėl šis sandauga (2x 3 - 7x 2 + x + 1) yra daliklio (2x - 1) ir visų koeficiento narių sandauga. Bet dabar galime rasti daliklio ir pirmojo (didžiausio) dalinio nario sandaugą, ty (2x - 1) ∙ x 2; gauname 2x 3 - 2 . Žinant daliklio sandaugą pagal visus dalinio narius (jis = 2x 3 - 7x 2 + x + 1) ir žinant daliklio sandaugą pagal 1-ąjį dalinio narį (it = 2x 3 - x 2), atimdami galime rasti daliklio sandaugą iš visų kitų, išskyrus 1-ąjį, privataus nario. Gauk

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Šios likusios sandaugos didžiausias narys (–6x 2) turi būti daliklio didžiausio nario sandauga (2x) ir likusio daliklio (išskyrus 1-ąjį narį) didžiausio nario sandauga. Iš čia randame likusio dalinio vyresniąją dalį. Mums reikia –6x 2 ÷ 2x, gauname –3x. Tai antrasis norimos koeficiento narys. Vėl galime rasti daliklio sandaugą (2x - 1) ir antrojo, ką tik rasto, dalinio nario sandaugą, t.y., -3x.

Gauname (2x - 1) ∙ (-3x) \u003d -6x 2 + 3x. Iš visos šios sandaugos mes jau atėmėme daliklio sandaugą iš pirmojo dalinio nario ir gavome likutį -6x 2 + x + 1, kuris yra daliklio sandauga iš likusios dalies, išskyrus 1-ąjį koeficiento. Iš jo atėmus ką tik rastą sandaugą -6x 2 + 3x, gauname likutį, kuris yra daliklio sandauga iš visų kitų, išskyrus 1-ąjį ir 2-ąjį koeficiento narius:

-6x 2 + x + 1 - (-6x 2 + 3x) = -6x 2 + x + 1 + 6x 2 - 3x = -2x + 1.

Padalijus šio likusio produkto vyresniąją kadenciją (–2x) iš daliklio vyresniojo termino (2x), gauname likusio dalinio vyresniąją kadenciją arba trečiąjį jo terminą (–2x) ÷ 2x = –1, tai yra 3 koeficiento narys.

Padauginę iš jo daliklį, gauname

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Šią daliklio sandaugą atėmus iš dalinio 3-iojo nario iš visos iki šiol likusios sandaugos, t.y.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

matysime, kad mūsų pavyzdyje sandauga yra padalinta į likusius, išskyrus 1-ą, 2-ą ir 3-ią, dalinio nariai = 0, iš ko darome išvadą, kad dalinys nebeturi narių, t.y.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

Iš ankstesnio matome: 1) patogu išdėstyti dividendo ir daliklio sąlygas mažėjančiais laipsniais, 2) reikia nustatyti tam tikrą skaičiavimų atlikimo tvarką. Tokia patogia tvarka galima laikyti ta, kuri naudojama aritmetikoje dalijant daugiareikšmius skaičius. Po to visus ankstesnius skaičiavimus išdėstome taip (daugiau trumpų paaiškinimų pateikiama šone):

Tie atimtys, kurių čia reikia, atliekami keičiant poskyrio terminų ženklus, o šie kintamieji rašomi viršuje.

Taip, parašyta

Tai reiškia: subtrahend buvo 2x 3 - x 2, o pakeitę ženklus gavome -2x 3 + x 2.

Dėl priimto skaičiavimų išdėstymo, dėl to, kad dividendo ir daliklio sąlygos išdėstytos mažėjančiais laipsniais, ir dėl to, kad x raidės laipsniai abiejuose daugianariuose kaskart sumažėja po 1, pasisuko. kad tokie terminai yra parašyti vienas po kito (pvz.: –7x 2 ir +x 2), kodėl juos lengva mesti. Galima pastebėti, kad ne visi dividendo nariai reikalingi kiekvienu skaičiavimo momentu. Pavyzdžiui, termino +1 nereikia tuo momentu, kai buvo rastas 2-asis koeficiento narys, ir šią skaičiavimo dalį galima supaprastinti.

Daugiau pavyzdžių:

1. (2a 4 - 3ab 3 - b 4 - 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Išdėstykite raides a mažėjimo laipsniais ir dividendą bei daliklį:

(Atkreipkite dėmesį, kad čia dėl to, kad dividende nėra termino su 3, pirmoje atėmimo metu paaiškėjo, kad vienas po kito yra pasirašyti nepanašūs terminai -a 2 b 2 ir -2a 3 b. Žinoma, jie negali būti sutrumpintas iki vienos kadencijos ir abi rašomos žemiau stažo eilutės).

Abiejuose pavyzdžiuose reikėtų atidžiau pažvelgti į panašius terminus: 1) nepanašūs terminai dažnai būna parašyti vienas po kito ir 2) kartais (kaip, pavyzdžiui, paskutiniame pavyzdyje, terminai -4a n ir - a n pirmoje atimtyje) panašūs terminai išeina parašyti ne vienas po kito.

Galima atlikti daugianario skaidymą skirtinga tvarka, būtent: kiekvieną kartą ieškoti mažiausio nario arba viso ar likusio dalinio. Šiuo atveju patogu šiuos daugianorius išdėstyti kokios nors raidės didėjimo laipsniais. Pavyzdžiui:

Šiame straipsnyje bus nagrinėjamos racionalios trupmenos, jų sveikųjų skaičių parinkimas. Trupmenos yra teisingos ir neteisingos. Kai skaitiklis yra mažesnis už trupmenos vardiklį, tai yra tinkama trupmena ir atvirkščiai.

Apsvarstykite tinkamų trupmenų pavyzdžius: 1 2, 9 29, 8 17, netinkamas: 16 3, 21 20, 301 24.

Apskaičiuosime trupmenas, kurias galima sumažinti, tai yra, 12 16 yra 3 4, 21 14 yra 3 2.

Renkantis sveikąją dalį, atliekamas skaitiklio dalijimo iš vardiklio procesas. Tada tokią trupmeną galima pavaizduoti kaip sveikojo skaičiaus ir trupmeninės dalies sumą, kur trupmeninė dalis laikoma dalybos likučio ir vardiklio santykiu.

1 pavyzdys

Raskite likutį, kai 27 yra padalintas iš 4.

Sprendimas

Reikia padalyti iš stulpelio, tada gauname

Taigi, 27 4 \u003d sveikoji dalis + likusioji n ir m dalis ir miner \u003d 6 + 3 4

Atsakymas: likusi dalis 3.

2 pavyzdys

Pasirinkite visas dalis 331 12 ir 41 57 .

Sprendimas

Vardiklį padalijame iš skaitiklio naudodami kampą:

Todėl turime, kad 331 12 \u003d 27 + 7 12.

Antroji trupmena yra teisinga, o tai reiškia, kad sveikoji dalis yra lygi nuliui.

Atsakymas: sveikasis skaičius 27 ir 0 .

Apsvarstykite daugianario klasifikaciją, kitaip tariant, trupmeninę racionaliąją funkciją. Jis laikomas teisingu, kai skaitiklio laipsnis yra mažesnis už vardiklio laipsnį, priešingu atveju jis laikomas neteisingu.

1 apibrėžimas

Polinomo padalijimas iš daugianario atsiranda pagal dalijimo iš kampo principą, o funkcijos vaizdavimas sveikųjų ir trupmeninių dalių suma.

Norint padalyti daugianarį į tiesinį dvinarį, naudojama Hornerio schema.

3 pavyzdys

Padalinkite x 9 + 7 x 7 – 3 2 x 3 – 2 iš monomialo 2 x 2.

Sprendimas

Naudodamiesi dalybos savybe, rašome, kad

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Dažnai tokio tipo transformacija atliekama imant integralus.

4 pavyzdys

Padalinkite daugianarį iš daugianario: 2 x 3 + 3 iš x 3 + x.

Sprendimas

Padalinimo ženklą galima užrašyti kaip formos 2 x 3 + 3 x 3 + x trupmeną. Dabar reikia pasirinkti visą dalį. Tai darome padalindami iš stulpelio. Mes tai suprantame

Taigi, gauname, kad sveikoji dalis turi reikšmę - 2 x + 3, tada visa išraiška parašyta kaip 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

5 pavyzdys

Padalinkite ir raskite likutį, padalijus 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 iš x 3 + 2 x 2 - 1 .

Sprendimas

Pataisykime formos 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 trupmeną.

Skaitiklio laipsnis yra didesnis nei vardiklio, o tai reiškia, kad turime netinkamą trupmeną. Naudodami padalijimą iš stulpelio, pasirinkite visą dalį. Mes tai suprantame

Padalinkime dar kartą ir gaukime:

Iš čia gauname, kad likusi dalis yra - 65 x 2 + 10 x - 3, taigi:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Pasitaiko atvejų, kai reikia papildomai atlikti trupmenų konvertavimą, kad dalinant būtų galima atskleisti likutį. Tai atrodo taip:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Tai reiškia, kad likusi dalis padalijus 3 x 5 + 2 x 4 – 12 x 2 – 4 iš x 3 – 3, gaunama reikšmė – 3 x 2 + 6 x – 4. Norint greitai rasti rezultatą, naudojamos sutrumpintos daugybos formulės.

6 pavyzdys

Padalinkite 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 iš 2 x + 3 .

Sprendimas

Padalinį parašykime kaip trupmeną. Gauname 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 . Atkreipkite dėmesį, kad skaitiklyje išraišką galima pridėti naudojant sumos kubo formulę. Mes tai turime

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Duotas daugianomas dalijasi be liekanos.

Sprendimui naudojamas patogesnis sprendimo būdas, o universaliausiu laikomas daugianario padalijimas iš daugianario, todėl dažnai naudojamas renkantis sveikąją dalį. Galutiniame įraše turi būti gautas polinomas iš padalijimo.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter