Visos kvadratų ir kubelių formulės. Sutrumpintos daugybos formulės. Daugiakalnio daugyba iš daugianario

Taip pat bus pateiktos užduotys savarankiškam sprendimui, į kurias matysite atsakymus.

Sutrumpintos daugybos formulės leidžia atlikti identiškas reiškinių transformacijas – daugianario. Jų pagalba daugianarius galima skaičiuoti faktoriais, o naudojant formules atvirkštine tvarka, dvinario, kvadrato ir kubo sandaugas pavaizduoti daugianariais. Panagrinėkime visas visuotinai priimtas sutrumpinto daugybos formules, jų išvedimą, bendras užduotis identiškoms išraiškų transformacijoms naudojant šias formules, taip pat namų darbų užduotis (atsakymus į juos atveria nuorodos).

sumos kvadratas

Sumos kvadrato formulė yra lygybė

(dviejų skaičių sumos kvadratas lygus pirmojo skaičiaus kvadratui plius du kartus pirmojo skaičiaus sandaugai ir antrojo skaičiaus ir antrojo skaičiaus kvadratui).

Vietoj a ir b bet kuris skaičius gali būti pakeistas į šią formulę.

Skaičiavimams supaprastinti dažnai naudojama sumos kvadrato formulė. Pavyzdžiui,

Naudojant sumos kvadrato formulę, daugianomas gali būti suskaidytas į faktorius, būtent, pavaizduotas kaip dviejų identiškų veiksnių sandauga.

1 pavyzdys

2 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką

Sprendimas. Pagal sumos kvadrato formulę gauname

Skirtumo kvadratas

Skirtumo kvadrato formulė yra lygybė

(skirtumo tarp dviejų skaičių kvadratas yra lygus pirmojo skaičiaus kvadratui atėmus du kartus pirmojo ir antrojo skaičiaus sandaugą plius antrojo skaičiaus kvadratą).

Kvadrato skirtumo formulė dažnai naudojama skaičiavimams supaprastinti. Pavyzdžiui,

Naudojant skirtumo kvadrato formulę, daugianomas gali būti suskaidytas į faktorius, ty pavaizduotas kaip dviejų identiškų faktorių sandauga.

Formulė išplaukia iš polinomo dauginimo iš daugianario taisyklės:

5 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką

Sprendimas. Pagal skirtumo kvadrato formulę gauname

Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą

Pilnas kvadrato pasirinkimas

Dažnai antrojo laipsnio daugianario yra sumos arba skirtumo kvadratas, tačiau jis yra paslėptoje formoje. Norėdami aiškiai gauti visą kvadratą, turite transformuoti daugianarį. Norėdami tai padaryti, paprastai vienas iš daugianario narių pavaizduojamas kaip dviguba sandauga, o tada tas pats skaičius pridedamas prie daugianario ir atimamas iš jo.

7 pavyzdys

Sprendimas. Šį daugianarį galima paversti taip:

Čia mes pristatėme 5 x dvigubo produkto 5/2 dydžio pavidalu x, pridėta prie daugianario ir iš jo atimta tas pats skaičius, tada dvinariui pritaikė sumos kvadrato formulę.

Taigi mes įrodėme lygybę

lygus visam kvadratui ir skaičiui .

8 pavyzdys Apsvarstykite antrojo laipsnio daugianarį

Sprendimas. Atlikime jame tokias transformacijas:

Čia mes pristatėme 8 x dvigubo produkto pavidalu x 4, pridėta prie daugianario ir iš jo atėmus tą patį skaičių 4², dvinariui pritaikė skirtumo kvadrato formulę x − 4 .

Taigi mes įrodėme lygybę

rodantis, kad antrojo laipsnio daugianario

lygus visam kvadratui ir skaičiui –16.

Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą

sumos kubas

Sumos kubo formulė yra lygybė

(dviejų skaičių sumos kubas yra lygus pirmojo skaičiaus kubui, pridėjus tris pirmojo skaičiaus kvadratą padauginus iš antrojo, pridėjus tris kartus pirmojo skaičiaus sandaugą padauginus iš antrojo kvadrato, plius kubu antrojo numerio).

Sumos kubo formulė gaunama taip:

10 pavyzdys Parašykite kaip daugianario išraišką

Sprendimas. Pagal sumos kubo formulę gauname

Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą

skirtumo kubas

Skirtumo kubo formulė yra lygybė

(dviejų skaičių skirtumo kubas yra lygus pirmojo skaičiaus kubui atėmus tris pirmojo ir antrojo skaičiaus kvadratą, pridėjus tris kartus pirmojo skaičiaus sandaugą ir antrojo kvadratą atėmus kubą antrasis skaičius).

Sumos kubo formulės pagalba daugianomas gali būti išskaidytas į veiksnius, būtent, jį galima pavaizduoti kaip trijų identiškų veiksnių sandaugą.

Skirtumo kubo formulė gaunama taip:

12 pavyzdys. Parašykite kaip daugianario išraišką

Sprendimas. Naudodami skirtumo kubo formulę gauname

Taikykite sutrumpintą daugybos formulę patys, tada žiūrėkite sprendimą

Kvadratų skirtumas

Kvadratų skirtumo formulė yra lygybė

(dviejų skaičių kvadratų skirtumas lygus šių skaičių sumos ir jų skirtumo sandaugai).

Naudojant sumos kubo formulę, bet kurį formos daugianarį galima koeficientuoti.

Formulės įrodymas buvo gautas naudojant daugianario daugybos taisyklę:

14 pavyzdys Parašykite sandaugą kaip daugianarį

Sprendimas. Pagal kvadratų skirtumo formulę gauname

15 pavyzdys Faktorizuoti

Sprendimas. Ši išraiška aiškia forma neatitinka jokios tapatybės. Tačiau skaičius 16 gali būti pavaizduotas kaip laipsnis su 4 baze: 16=4². Tada pradinė išraiška bus kitokia:

ir tai yra kvadratų skirtumo formulė, ir taikydami šią formulę gauname

Skaičiuodami algebrinius daugianorius, kad supaprastintume skaičiavimus, naudojame sutrumpintos daugybos formulės. Iš viso yra septynios tokios formulės. Juos visus reikia pažinti mintinai.

Taip pat reikia atsiminti, kad vietoj „a“ ir „b“ formulėse gali būti ir skaičiai, ir bet kokie kiti algebriniai daugianariai.

Kvadratų skirtumas

Prisiminti!

Kvadratų skirtumas du skaičiai yra lygūs šių skaičių ir jų sumos skirtumo sandaugai.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2 su 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

sumos kvadratas

Prisiminti!

Dviejų skaičių sumos kvadratas yra lygus pirmojo skaičiaus kvadratui plius du kartus pirmojo skaičiaus sandaugai ir antrojo skaičiaus ir antrojo skaičiaus kvadratui.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Atminkite, kad naudojant šią sumažintą daugybos formulę tai lengva padaryti Raskite didelių skaičių kvadratus nenaudojant skaičiuoklės ar ilgo daugybos. Paaiškinkime pavyzdžiu:

Raskite 112 2 .

Išskaidykime 112 į skaičių, kurių kvadratus gerai prisimename, sumą.
112 = 100 + 1
Skliausteliuose rašome skaičių sumą, o virš skliaustų dedame kvadratą.
112 2 = (100 + 12) 2
Naudokime sumos kvadrato formulę:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Atminkite, kad kvadratinės sumos formulė taip pat galioja bet kokiems algebriniams polinomams.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Įspėjimas!

(a + b) 2 nėra lygus (a 2 + b 2)

Skirtumo kvadratas

Prisiminti!

Dviejų skaičių skirtumo kvadratas yra lygus pirmojo skaičiaus kvadratui atėmus du kartus pirmojo ir antrojo sandaugą plius antrojo skaičiaus kvadratą.

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Taip pat verta prisiminti labai naudingą transformaciją:

(a – b) 2 = (b – a) 2

Aukščiau pateikta formulė įrodoma tiesiog išplečiant skliaustus:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

sumos kubas

Prisiminti!

Dviejų skaičių sumos kubas yra lygus pirmojo skaičiaus kubui, pridėjus tris pirmojo skaičiaus kvadratą ir antrąjį, plius tris kartus pirmojo skaičiaus sandaugą, antrojo kvadratą ir antrojo kubą.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Kaip atsiminti sumos kubą

Prisiminti šią „baisiai“ atrodančią formulę gana paprasta.

Sužinokite, kad „3“ yra pradžioje.
Du viduryje esantys daugianariai turi koeficientus 3.
Prisiminkite, kad bet kuris skaičius iki nulio laipsnio yra 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Nesunku pastebėti, kad formulėje yra „a“ laipsnio sumažėjimas ir „b“ laipsnio padidėjimas. Tai galite patikrinti:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Įspėjimas!

(a + b) 3 nėra lygus a 3 + b 3

skirtumo kubas

Prisiminti!

skirtumo kubas du skaičiai yra lygūs pirmojo skaičiaus kubui, atėmus tris pirmojo skaičiaus kvadratą ir antrąjį plius tris kartus pirmojo skaičiaus sandaugą ir antrojo kvadratą atėmus antrojo kubą.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Ši formulė prisimenama kaip ir ankstesnė, tačiau tik atsižvelgiant į ženklų „+“ ir „-“ kaitą. Prieš pirmąjį narį „a 3“ yra „+“ (pagal matematikos taisykles jo nerašome). Tai reiškia, kad prieš kitą narį bus „-“, tada vėl „+“ ir tt.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Kubų suma

Negalima painioti su sumos kubu!

Prisiminti!

Kubų suma yra lygus dviejų skaičių sumos sandaugai iš skirtumo nepilnojo kvadrato.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)

Kubų suma yra dviejų skliaustų sandauga.

Pirmas skliaustas yra dviejų skaičių suma.
Antrasis skliaustas yra nepilnas skaičių skirtumo kvadratas. Neužbaigtas skirtumo kvadratas vadinamas išraiška:
(a 2 – ab + b 2)
Šis kvadratas yra nepilnas, nes viduryje vietoj dvigubos sandaugos yra įprasta skaičių sandauga.

Kubelių skirtumas

Negalima painioti su skirtumo kubu!

Prisiminti!

Kubelių skirtumas yra lygus dviejų skaičių skirtumo sandaugai nepilnojo sumos kvadratu.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Būkite atsargūs rašydami simbolius.

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas

Reikėtų prisiminti, kad visos aukščiau pateiktos formulės taip pat naudojamos iš dešinės į kairę.

Daugelis vadovėliuose pateiktų pavyzdžių yra skirti tam, kad galėtumėte naudoti formules daugianario atgal surinkimui.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Galite atsisiųsti lentelę su visomis sutrumpinto daugybos formulėmis skyriuje "

Viena iš pirmųjų algebros kurse nagrinėjamų temų yra sutrumpinto daugybos formulės. 7 klasėje jie naudojami paprasčiausiose situacijose, kai reikia atpažinti vieną iš reiškinio formulių ir daugybinį daugianarį arba, atvirkščiai, greitai kvadratu ar kubu suma ar skirtumą. Ateityje FSU bus naudojamas greitai išspręsti nelygybes ir lygtis ir netgi apskaičiuoti kai kurias skaitines išraiškas be skaičiuotuvo.

Kaip atrodo formulių sąrašas?

Yra 7 pagrindinės formulės, leidžiančios greitai padauginti polinomus skliausteliuose.

Kartais šiame sąraše taip pat yra ketvirtojo laipsnio išplėtimas, kuris išplaukia iš pateiktų tapatybių ir turi tokią formą:

a⁴ - b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).

Visos lygybės turi porą (suma – skirtumas), išskyrus kvadratų skirtumą. Kvadratų sumos formulės nėra.

Likusias lygybes lengva prisiminti.:

Reikia atsiminti, kad FSO dirba bet kuriuo atveju ir bet kokioms vertybėms. a ir b: tai gali būti ir savavališki skaičiai, ir sveikųjų skaičių išraiškos.

Esant situacijai, kai staiga negalite prisiminti, kuris ženklas yra formulėje prieš vieną ar kitą terminą, galite atidaryti skliaustus ir gauti tokį patį rezultatą kaip ir panaudojus formulę. Pavyzdžiui, jei taikant skirtumo kubo FSU iškilo problema, turite parašyti pradinę išraišką ir atlikite dauginimą po vieną:

(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² – b³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

Dėl to, sumažinus visus tokius narius, gautas toks pat daugianomas kaip ir lentelėje. Tos pačios manipuliacijos gali būti atliekamos su visais kitais FSO.

FSO taikymas sprendžiant lygtis

Pavyzdžiui, reikia išspręsti lygtį, kurioje yra 3 laipsnio daugianario:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Mokyklos programoje nenagrinėjami universalūs kubinių lygčių sprendimo būdai, o tokie uždaviniai dažniausiai sprendžiami paprastesniais metodais (pavyzdžiui, faktorizacija). Jei pastebėsite, kad kairioji tapatybės pusė primena sumos kubą, tada lygtį galima parašyti paprastesne forma:

(x + 1)³ = 0.

Tokios lygties šaknis apskaičiuojama žodžiu: x=-1.

Nelygybės sprendžiamos panašiai. Pavyzdžiui, galime išspręsti nelygybę x³ – 6x² + 9x > 0.

Visų pirma, reikia išskaidyti išraišką į veiksnius. Pirmiausia reikia išimti laikiklius x. Po to turėtumėte atkreipti dėmesį, kad skliausteliuose esanti išraiška gali būti konvertuojama į skirtumo kvadratą.

Tada reikia rasti taškus, kuriuose išraiška įgyja nulines reikšmes, ir pažymėti juos skaičių eilutėje. Konkrečiu atveju tai bus 0 ir 3. Tada intervalų metodu nustatykite, kokiais intervalais x atitiks nelygybės sąlygą.

FSO gali būti naudingas vykdant kai kurie skaičiavimai be skaičiuoklės pagalbos:

703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.

Be to, faktorinuodami išraiškas galite lengvai sumažinti trupmenas ir supaprastinti įvairias algebrines išraiškas.

7-8 klasių užduočių pavyzdžiai

Pabaigoje išanalizuosime ir išspręsime du sutrumpintų daugybos formulių taikymo algebroje uždavinius.

1 užduotis. Supaprastinkite posakį:

(m + 3)² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Sprendimas. Užduoties sąlygoje reikia supaprastinti išraišką, t.y. atverti skliaustus, atlikti daugybos ir eksponencijos operacijas, taip pat pateikti visus tokius terminus. Išraišką sąlyginai padalijame į tris dalis (pagal terminų skaičių) ir po vieną atidarome skliaustus, kur įmanoma, naudodami FSU.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(suma kvadratu);
(3 m + 1) (3 m - 1) = 9 m² - 1(kvadratų skirtumas);
Paskutiniame termine turite atlikti daugybą: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Pakeiskite rezultatus pradine išraiška:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Atsižvelgdami į ženklus, atidarome skliaustus ir pateikiame tokius terminus:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

2 užduotis. Išspręskite lygtį, kurioje yra nežinomasis k iki 5 laipsnio:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Sprendimas. Šiuo atveju būtina naudoti FSO ir grupavimo metodą. Paskutinį ir priešpaskutinį terminus turime perkelti į dešinę tapatybės pusę.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Bendras daugiklis paimamas iš dešinės ir kairės dalių (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Viskas perkeliama į kairę lygties pusę, kad 0 liktų dešinėje:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Vėlgi, reikia išskirti bendrą veiksnį:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Iš pirmojo gauto faktoriaus galime išvesti k. Pagal trumpąją daugybos formulę antrasis koeficientas bus identiškai lygus (k + 2)²:

k (k² - 1) (k + 2)² = 0.

Naudojant kvadratų skirtumo formulę:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.

Kadangi sandauga yra 0, jei bent vienas jo veiksnys yra lygus nuliui, nebus sunku rasti visas lygties šaknis:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Remiantis iliustraciniais pavyzdžiais, galima suprasti, kaip atsiminti formules, jų skirtumus, taip pat išspręsti keletą praktinių problemų naudojant FSU. Užduotys yra paprastos ir neturėtų būti sudėtingos.

Pamokos turinys

Dviejų išraiškų sumos kvadratas

Yra nemažai atvejų, kai daugianario dauginimas iš daugianario gali būti labai supaprastintas. Pavyzdžiui, taip yra (2 x+ 3y) 2 .

Išraiška (2 x+ 3y) 2 yra dviejų daugianarių, kurių kiekvienas yra lygus (2 x+ 3y)

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)

Gavome daugianario padauginimą iš daugianario. Vykdykime tai:

(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Tai yra, išraiška (2 x+ 3y) 2 yra lygus 4x 2 + 12xy + 9y 2

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Išspręskime panašų pavyzdį, kuris yra paprastesnis:

(a+b) 2

Išraiška ( a+b) 2 yra dviejų daugianarių, kurių kiekvienas yra lygus ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Padauginkime taip:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2

Tokia yra išraiška (a+b) 2 yra lygus a 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Pasirodo, atvejis ( a+b) 2 gali būti pratęstas bet kuriam a ir b. Pirmasis pavyzdys, kurį išsprendėme, būtent (2 x+ 3y) 2 galima išspręsti naudojant tapatybę (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Norėdami tai padaryti, vietoj kintamųjų turite pakeisti a ir b atitinkami terminai iš išraiškos (2 x+ 3y) 2 . Šiuo atveju kintamasis a rungtynių penis 2 x, ir kintamasis b rungtynių penis 3 y

a = 2x

b = 3y

Ir tada mes galime naudoti tapatybę (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , bet vietoj kintamųjų a ir b reikia pakeisti posakius 2 x ir 3 y atitinkamai:

(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Kaip ir praėjusį kartą, gavome daugianarį 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Sprendimas dažniausiai rašomas trumpiau, atliekant visas elementarias transformacijas mintyse:

(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2

Tapatybė (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 vadinama dviejų išraiškų sumos kvadrato formule. Šią formulę galima perskaityti taip:

Dviejų išraiškų sumos kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui ir dvigubai pirmosios išraiškos sandaugai, o antrosios ir antrosios išraiškos kvadratui.

Apsvarstykite išraišką (2 + 3) 2 . Jį galima apskaičiuoti dviem būdais: atlikite sudėjimą skliausteliuose ir padėkite rezultatą kvadratu arba naudokite dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę.

Pirmas būdas:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

Antras būdas:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

2 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (5 a+ 3) 2 į daugianarį.

Naudokime dviejų išraiškų sumos kvadrato formulę:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(5a + 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9

Reiškia, (5a + 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.

Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami sumos kvadrato formulės. Turėtume gauti tą patį rezultatą:

(5a + 3) 2 = (5a + 3)(5a + 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9

Dviejų išraiškų sumos kvadrato formulė turi geometrinę reikšmę. Prisimename, kad norint apskaičiuoti kvadrato plotą, reikia pakelti jo kraštinę į antrą laipsnį.

Pavyzdžiui, kvadrato su šonine plotas a bus lygus a 2. Jei padidinsite kvadrato kraštinę b, tada plotas bus lygus ( a+b) 2

Apsvarstykite šį paveikslą:

Įsivaizduokite, kad šiame paveikslėlyje parodyta kvadrato kraštinė padidinama b. Kvadrato visos kraštinės yra lygios. Jei jo pusė padidinta b, tada kitos pusės taip pat padidės b

Rezultatas yra naujas kvadratas, didesnis nei ankstesnis. Kad gerai matytume, užpildykime trūkstamas puses:

Norėdami apskaičiuoti šio kvadrato plotą, galite atskirai apskaičiuoti į jį įtrauktus kvadratus ir stačiakampius, tada pridėti rezultatus.

Pirma, galite apskaičiuoti kvadratą su šonine a- jo plotas bus lygus a 2. Tada galite apskaičiuoti stačiakampius su kraštinėmis a ir b– jie bus lygūs ab. Tada galite apskaičiuoti kvadratą su kraštine b

Rezultatas yra ši sričių suma:

a 2 + ab+ab + b 2

Identiškų stačiakampių plotų sumą galima pakeisti padauginus iš 2 ab, kas pažodžiui reiškia "pakartokite du kartus stačiakampio ab plotą" . Algebriškai tai gaunama redukuojant panašius terminus ab ir ab. Rezultatas yra išraiška a 2 + 2ab+ b 2 , kuri yra dešinioji dviejų išraiškų sumos kvadrato formulės pusė:

(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2

Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas

Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė yra tokia:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Dviejų išraiškų skirtumo kvadratas yra lygus pirmosios išraiškos kvadratui, atėmus du kartus pirmosios išraiškos sandaugą, o antrosios ir antrosios išraiškos kvadratą.

Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė išvesta taip pat, kaip ir dviejų išraiškų sumos kvadrato formulė. Išraiška ( a-b) 2 yra dviejų daugianarių sandauga, kurių kiekvienas yra lygus ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Jei atliksite šį dauginimą, gausite daugianarį a 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2

1 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (7 x− 5) 2 į daugianarį.

Naudokime dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulę:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

(7x− 5) 2 = (7x) 2–2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25

Reiškia, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.

Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami skirtumo kvadrato formulės. Turėtume gauti tą patį rezultatą:

(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.

Dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulė taip pat turi geometrinę reikšmę. Jei kvadrato su kraštine plotas a yra lygus a 2, tada kvadrato, kurio kraštinė sumažinta, plotas b, bus lygus ( a-b) 2

Apsvarstykite šį paveikslą:

Įsivaizduokite, kad šiame paveikslėlyje parodyta kvadrato kraštinė sumažinta b. Kvadrato visos kraštinės yra lygios. Jei viena pusė sumažinama b, tada kitos pusės taip pat sumažės b

Rezultatas yra naujas kvadratas, kuris yra mažesnis nei ankstesnis. Paveiksle jis paryškintas geltonai. Jo pusė yra a− b nuo senosios pusės a sumažėjo b. Norėdami apskaičiuoti šio kvadrato plotą, galite naudoti pradinį kvadrato plotą a 2 atimkite stačiakampių plotus, gautus mažinant senojo kvadrato kraštines. Parodykime šiuos stačiakampius:

Tada galime parašyti tokią išraišką: senas plotas a 2 minus plotas ab minus plotas ( a-b)b

a 2 − ab − (a-b)b

Išskleiskite skliaustus išraiškoje ( a-b)b

a 2 − ab - ab + b 2

Čia yra panašūs terminai:

a 2 − 2ab + b 2

Rezultatas yra išraiška a 2 − 2ab + b 2 , kuri yra dviejų išraiškų skirtumo kvadrato formulės dešinioji pusė:

(a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

Paprastai vadinamos sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulės sutrumpintos daugybos formulės. Šios formulės leidžia žymiai supaprastinti ir pagreitinti daugianario daugybos procesą.

Anksčiau sakėme, kad daugianario narį vertinant atskirai, jis turi būti nagrinėjamas kartu su ženklu, esančiu prieš jį.

Tačiau taikant sutrumpintas daugybos formules, pradinio daugianario ženklas neturėtų būti laikomas paties šio termino ženklu.

Pavyzdžiui, atsižvelgiant į išraišką (5 x − 2y) 2 , ir mes norime naudoti formulę (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , tada vietoj b reikia pakeisti 2 y, o ne -2 y. Tai yra darbo su formulėmis ypatybė, kurios nereikėtų pamiršti.

(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Jei pakeisime −2 y, tai reikš, kad skirtumas pradinės išraiškos skliausteliuose buvo pakeistas suma:

(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2

ir šiuo atveju reikia taikyti ne skirtumo kvadrato formulę, o sumos kvadrato formulę:

(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2

Išimtis gali būti formos išraiškos (x− (−y)) 2 . Šiuo atveju naudojant formulę (a-b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 vietoj b turėtų būti pakeistas (- y)

(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Bet kvadratinės formos išraiškos x − (−y), bus patogiau atimtį pakeisti pridėjimu x+y. Tada pradinė išraiška įgaus formą ( x +y) 2 ir bus galima naudoti sumos kvadrato formulę, o ne skirtumą:

(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2

Sumos kubas ir skirtumo kubas

Dviejų išraiškų sumos kubo ir dviejų išraiškų skirtumo kubo formulės yra šios:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Dviejų išraiškų sumos kubo formulę galima perskaityti taip:

Dviejų išraiškų sumos kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, pridėjus tris kartus pirmosios išraiškos kvadratą, padaugintą iš antrosios, plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugai padauginus iš antrosios išraiškos kvadrato plius antrosios išraiškos kubu išraiška.

O dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę galima perskaityti taip:

Dviejų išraiškų skirtumo kubas yra lygus pirmosios išraiškos kubui, atėmus tris kartus pirmosios išraiškos kvadrato sandaugą, o antrosios - plius tris kartus pirmosios išraiškos sandaugą ir antrosios išraiškos kvadratą atėmus kubą antrosios išraiškos.

Sprendžiant uždavinius, šias formules pageidautina žinoti mintinai. Jei neprisimeni, nesijaudink! Galite juos išimti patys. Mes jau žinome, kaip.

Išveskime sumos kubo formulę patys:

(a+b) 3

Išraiška ( a+b) 3 yra trijų daugianario sandauga, kurių kiekvienas yra lygus ( a+ b)

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)

Bet išraiška ( a+b) 3 taip pat gali būti parašytas kaip (a+ b)(a+ b) 2

(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2

Šiuo atveju veiksnys ( a+ b) 2 yra dviejų išraiškų sumos kvadratas. Šis sumos kvadratas yra lygus išraiškai a 2 + 2ab + b 2 .

Tada ( a+b) 3 gali būti parašytas kaip (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)

Ir tai yra daugianario dauginimas iš daugianario. Vykdykime tai:

(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Panašiai galite išvesti dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę:

(a-b) 3 = (a- b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3

1 pavyzdys. Konvertuoti išraišką ( x+ 1) 3 į daugianarį.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami dviejų išraiškų sumos kubo formulės

(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1

2 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (6a 2 + 3b 3) 3 į daugianarį.

Naudokime kubo formulę dviejų išraiškų sumai:

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3+3×6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6+3×36 a 4×3 b 3+3×6 a 2×9 b 6 + 27b 9

3 pavyzdys. Konvertuoti išraišką ( n 2 − 3) 3 į daugianarį.

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3–3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

4 pavyzdys. Konvertuoti išraišką (2x 2 − x 3) 3 į daugianarį.

Naudokime dviejų išraiškų skirtumo kubo formulę:

(a-b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2 × x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9

Dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš jų sumos

Yra problemų, kuriose reikia padauginti dviejų išraiškų skirtumą iš jų sumos. Pavyzdžiui:

(a-b)(a+b)

Šioje išraiškoje dviejų posakių skirtumas a ir b padauginta iš tų pačių dviejų išraiškų sumos. Padauginkime taip:

(a-b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2

Tokia yra išraiška (a-b)(a+b) lygus a 2 − b 2

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

Matome, kad dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš jų sumos, gauname šių reiškinių kvadratų skirtumą.

Dviejų reiškinių skirtumo ir jų sumos sandauga yra lygi šių reiškinių kvadratų skirtumui.

Vyksta (a-b)(a+b) gali būti pratęstas iki bet kurio a ir b. Paprasčiau tariant, jei sprendžiant uždavinį reikia padauginti dviejų išraiškų skirtumą iš jų sumos, tai šį dauginimą galima pakeisti šių reiškinių kvadratų skirtumu.

1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x − 5)(2x + 5)

Šiame pavyzdyje išraiškos skirtumas yra 2 x ir 5 padaugintas iš tų pačių išraiškų sumos. Tada pagal formulę (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 mes turime:

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2

Apskaičiuojame dešinę pusę, gauname 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25

Pabandykime išspręsti šį pavyzdį nenaudodami formulės (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 . Gausime tą patį rezultatą 4 x 2 − 25

(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25

2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (4x − 5y)(4x + 5y)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2

3 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2a+ 3b)(2a− 3b)

Naudokime formulę, skirtą dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš jų sumos:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(2a + 3b)(2a- 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2

Šiame pavyzdyje terminų suma yra 2 a ir 3 b esančios anksčiau nei šių terminų skirtumas. Ir formulėje (a-b)(a+b) = a 2 − b 2 skirtumas yra anksčiau.

Nėra skirtumo, kaip veiksniai yra išdėstyti ( a-b) į ( a+b) formulėje. Jie gali būti parašyti kaip (a-b)(a+b) , ir (a+b)(a-b) . Rezultatas vis tiek bus a 2 − b 2 , nes sandauga nesikeičia dėl faktorių permutacijos.

Taigi šiame pavyzdyje veiksniai (2 a + 3b) ir 2 a- 3b) gali būti parašytas kaip (2a + 3b)(2a- 3b) , ir (2a- 3b)(2a + 3b) . Rezultatas vis tiek bus 4. a 2 − 9b 2 .

3 pavyzdys. Atlikite dauginimą (7 + 3x)(3x − 7)

Naudokime formulę, skirtą dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš jų sumos:

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49

4 pavyzdys. Atlikite dauginimą (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = a 2 − b 2

(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6

5 pavyzdys. Atlikite dauginimą (−5x− 3y)(5x− 3y)

Išraiškoje (−5 x− 3y) išimame −1, tada pradinė išraiška bus tokia:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)

Darbas (5x + 3y)(5x − 3y) pakeisti kvadratų skirtumu:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)

Kvadratų skirtumas buvo įrašytas skliausteliuose. Jei tai nebus padaryta, paaiškės, kad −1 padauginamas tik iš (5 x) 2 . Ir tai sukels klaidą ir pakeis pradinės išraiškos reikšmę.

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)

Dabar padauginkite −1 iš skliausteliuose esančios išraiškos ir gaukite galutinį rezultatą:

(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2

Dviejų išraiškų skirtumą padauginus iš nepilno jų sumos kvadrato

Yra uždavinių, kai dviejų išraiškų skirtumą reikia padauginti iš nepilno jų sumos kvadrato. Šis gabalas atrodo taip:

(a-b)(a 2 + ab + b 2)

Pirmasis daugianomas ( a-b) yra dviejų išraiškų ir antrojo daugianario skirtumas (a 2 + ab + b 2) yra nepilnas šių dviejų išraiškų sumos kvadratas.

Nebaigtas sumos kvadratas yra formos daugianario a 2 + ab + b 2 . Jis panašus į įprastą sumos kvadratą a 2 + 2ab + b 2

Pavyzdžiui, išraiška 4x 2 + 6xy + 9y 2 yra nepilnas reiškinių sumos kvadratas 2 x ir 3 y .

Iš tiesų, pirmasis išraiškos terminas 4x 2 + 6xy + 9y 2 , būtent 4 x 2 yra 2 išraiškos kvadratas x, nuo (2 x) 2 = 4x 2. Trečiasis išraiškos terminas 4x 2 + 6xy + 9y 2 , būtent 9 y 2 yra kvadratas iš 3 y, nes (3 y) 2 = 9y 2. vidurys 6 xy, yra 2 išraiškų sandauga x ir 3 y.

Taigi padauginkime skirtumą ( a-b) nepilnu sumos kvadratu a 2 + ab + b 2

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3

Tokia yra išraiška (a-b)(a 2 + ab + b 2) lygus a 3 − b 3

(a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

Ši tapatybė vadinama formule, skirta dviejų išraiškų skirtumui padauginti iš nepilno jų sumos kvadrato. Šią formulę galima perskaityti taip:

Dviejų reiškinių skirtumo ir nepilnojo jų sumos kvadrato sandauga lygi šių reiškinių kubų skirtumui.

1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)

Pirmasis daugianomas (2 x − 3y) yra dviejų išraiškų skirtumas 2 x ir 3 y. Antrasis daugianario 4x 2 + 6xy + 9y 2 yra nepilnas dviejų išraiškų sumos kvadratas 2 x ir 3 y. Tai leidžia mums naudoti formulę neatliekant ilgų skaičiavimų (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Mūsų atveju daugyba (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) gali būti pakeistas kubelių skirtumu 2 x ir 3 y

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3

(a-b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:

(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3

2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (3 − x)(9 + 3x + x 2)

Pirmasis daugianario (3 − x) yra dviejų išraiškų skirtumas, o antrasis daugianomas yra nepilnas šių dviejų išraiškų sumos kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę (a-b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3

(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3

Dviejų išraiškų sumą padauginus iš nepilno jų skirtumo kvadrato

Yra uždavinių, kai dviejų išraiškų sumą reikia padauginti iš nepilno jų skirtumo kvadrato. Šis gabalas atrodo taip:

(a+b)(a 2 − ab + b 2)

Pirmasis daugianomas ( a+b (a 2 − ab + b 2) yra nepilnas šių dviejų posakių skirtumo kvadratas.

Neužbaigtas skirtumo kvadratas yra formos daugianario a 2 − ab + b 2 . Tai panašu į įprastą kvadratinį skirtumą a 2 − 2ab + b 2 išskyrus tai, kad joje pirmosios ir antrosios išraiškos sandauga nėra padvigubinta.

Pavyzdžiui, išraiška 4x 2 − 6xy + 9y 2 yra nepilnas reiškinių skirtumo 2 kvadratas x ir 3 y .

(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2

Grįžkime prie pradinio pavyzdžio. Padauginkime sumą a+b nepilnu skirtumo kvadratu a 2 − ab + b 2

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3

Tokia yra išraiška (a+b)(a 2 − ab + b 2) lygus a 3 + b 3

(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3

Ši tapatybė vadinama dviejų išraiškų sumos padauginimo iš nepilno jų skirtumo kvadrato formule. Šią formulę galima perskaityti taip:

Dviejų išraiškų sumos ir nepilnojo jų skirtumo kvadrato sandauga lygi šių reiškinių kubų sumai.

1 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)

Pirmasis daugianomas (2 x + 3y) yra dviejų išraiškų 2 suma x ir 3 y, ir antrasis daugianario 4x 2 − 6xy + 9y 2 yra nepilnas šių posakių skirtumo kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę neatliekant ilgų skaičiavimų (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Mūsų atveju daugyba (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) galima pakeisti kubelių suma 2 x ir 3 y

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3

Pabandykime išspręsti tą patį pavyzdį nenaudodami formulės (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:

(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3

2 pavyzdys. Atlikite dauginimą (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)

Pirmasis daugianomas (2 x+ y) yra dviejų išraiškų ir antrojo daugianario suma (4x 2 − 2xy + y 2) yra nepilnas šių posakių skirtumo kvadratas. Tai leidžia mums naudoti formulę (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3

Pabandykime išspręsti tą patį pavyzdį nenaudodami formulės (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Gauname tą patį rezultatą, tačiau sprendimas tampa ilgesnis:

(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3

Savarankiško sprendimo užduotys

Ar patiko pamoka?
Prisijunkite prie mūsų naujos Vkontakte grupės ir pradėkite gauti pranešimus apie naujas pamokas

Siekiant supaprastinti algebrinius polinomus, yra sutrumpintos daugybos formulės. Jų nėra tiek daug ir juos lengva įsiminti, bet reikia juos atsiminti. Formulėse naudojamas žymėjimas gali būti bet kokios formos (skaičiaus arba daugianario).

Pirmoji sutrumpinta daugybos formulė vadinama kvadratų skirtumas. Tai slypi tame, kad iš vieno skaičiaus kvadrato atimamas antrojo skaičiaus kvadratas, lygus šių skaičių skirtumui, taip pat jų sandauga.

a 2 – b 2 \u003d (a – b) (a + b)

Aiškumo dėlei išanalizuokime:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Antroji formulė apie kvadratų suma. Atrodo, kad dviejų reikšmių suma kvadratu yra lygi pirmosios vertės kvadratui, prie jos pridedama dviguba pirmosios vertės sandauga, padauginta iš antrosios, prie jų pridedamas antrosios vertės kvadratas.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Dėl šios formulės daug lengviau apskaičiuoti didelio skaičiaus kvadratą, nenaudojant kompiuterinių technologijų.

Taigi, pavyzdžiui: bus 112 aikštė
1) Pradžioje mes analizuosime 112 į skaičius, kurių kvadratai mums yra žinomi
112 = 100 + 12
2) Gautą įrašome skliausteliuose kvadratu
112 2 = (100+12) 2
3) Pritaikę formulę, gauname:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

Trečioji formulė yra skirtumas kvadratu. Tai sako, kad dvi vertės, atimtos viena iš kitos kvadratu, yra lygios tam, kad iš pirmosios vertės kvadratu atimame dvigubą pirmosios vertės sandaugą, padaugintą iš antrosios, pridėdami prie jų antrosios vertės kvadratą. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

kur (a - b) 2 lygus (b - a) 2 . Norėdami tai įrodyti, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

Ketvirtoji sutrumpinta daugybos formulė vadinama sumos kubas. Kas skamba taip: du vertės nariai kube yra lygūs 1 vertės kubui, pridedama triguba 1 vertės sandauga, padauginta iš 2 vertės, prie jų pridedama triguba 1 vertės sandauga, padauginta iš kvadrato 2 vertės, pridėjus antrąją kubo vertę.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Penktasis, kaip jau supratote, vadinamas skirtumo kubas. Kuris nustato skirtumus tarp reikšmių, nes iš pirmojo žymėjimo kube atimame pirmojo pavadinimo trigubą sandaugą, padaugintą iš antrojo, prie jų pridedama pirmojo pavadinimo triguba sandauga, padauginta iš antrojo pavadinimo kvadrato , atėmus antrąjį žymėjimą kube.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Šeštasis vadinamas kubelių suma. Kubų suma yra lygi dviejų narių sandaugai, padaugintam iš skirtumo nepilno kvadrato, nes viduryje nėra dvigubos vertės.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Kitu būdu galima sakyti, kad kubelių suma gali būti vadinama sandauga dviejuose skliausteliuose.

Septintasis ir paskutinis vadinamas kubelių skirtumas(lengva supainioti su skirtumo kubo formule, bet tai skirtingi dalykai). Kubelių skirtumas yra lygus dviejų verčių skirtumo sandaugai, padaugintam iš nepilno sumos kvadrato, nes viduryje nėra dvigubos vertės.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Taigi sutrumpinto daugybos formulės yra tik 7, jos yra panašios viena į kitą ir lengvai įsimenamos, tik svarbu nepasimesti ženkluose. Jie taip pat skirti naudoti atvirkštine tvarka ir vadovėliuose surinkta nemažai tokių užduočių. Būkite atsargūs ir jums pasiseks.

Jei turite klausimų apie formules, būtinai parašykite juos komentaruose. Mes mielai jums atsakysime!

Jei esate motinystės atostogose, bet norite užsidirbti. Tiesiog sekite nuorodą Interneto verslas su Oriflame. Viskas parašyta ir parodyta labai detaliai. Bus įdomu!