Pareiza īpašību un apzīmējumu piramīda. Ģeometriskās figūras. Piramīda

apotēms- regulāras piramīdas sānu malas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas (turklāt apotēms ir perpendikula garums, kas ir nolaists no regulāra daudzstūra vidus līdz 1 no tā malām);
sānu sejas (ASB, BSC, CSD, DSA) - trijstūri, kas saplūst augšpusē;
sānu ribas ( AS , BS , Cs , DS ) - sānu virsmu kopīgās puses;
piramīdas virsotne (v. S) - punkts, kas savieno sānu malas un kas neatrodas pamatnes plaknē;
augstums ( SO ) - perpendikula segments, kas tiek novilkts caur piramīdas virsotni līdz tās pamatnes plaknei (šāda segmenta gali būs piramīdas augšdaļa un perpendikula pamatne);
piramīdas diagonālais griezums- piramīdas posms, kas iet cauri pamatnes augšai un diagonālei;
bāze (ABCD) ir daudzstūris, kuram nepieder piramīdas virsotne.

piramīdas īpašības.

1. Ja visas sānu malas ir vienāda izmēra, tad:

netālu no piramīdas pamatnes ir viegli aprakstīt apli, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
sānu ribas veido vienādus leņķus ar pamatplakni;
turklāt taisnība ir arī otrādi, t.i. kad sānu malas veido vienādus leņķus ar pamatplakni vai kad piramīdas pamatnes tuvumā var aprakstīt apli un piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā, tad visas piramīdas sānu malas ir vienāda izmēra.

2. Ja sānu virsmām ir vienādas vērtības slīpuma leņķis pret pamatnes plakni, tad:

netālu no piramīdas pamatnes ir viegli aprakstīt apli, savukārt piramīdas virsotne tiks projicēta šī apļa centrā;
sānu virsmu augstums ir vienāda garuma;
sānu virsmas laukums ir ½ pamatnes perimetra un sānu virsmas augstuma reizinājums.

3. Piramīdas tuvumā var aprakstīt lodi, ja piramīdas pamats ir daudzstūris, ap kuru var aprakstīt apli (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Sfēras centrs būs to plakņu krustošanās punkts, kas iet caur tām perpendikulāri piramīdas malu viduspunktiem. No šīs teorēmas secinām, ka sfēru var aprakstīt gan ap jebkuru trīsstūri, gan ap jebkuru regulāru piramīdu.

4. Piramīdā var ierakstīt lodi, ja piramīdas iekšējo divskaldņu leņķu bisektoru plaknes krustojas 1. punktā (nepieciešams un pietiekams nosacījums). Šis punkts kļūs par sfēras centru.

Vienkāršākā piramīda.

Pēc piramīdas pamatnes stūru skaita tos iedala trīsstūrveida, četrstūrveida un tā tālāk.

Piramīda būs trīsstūrveida, četrstūrveida, un tā tālāk, ja piramīdas pamats ir trīsstūris, četrstūris utt. Trīsstūrveida piramīda ir tetraedrs - tetraedrs. Četrstūrveida - piecsedrs un tā tālāk.

Trīsstūrveida piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir trīsstūris. Šīs piramīdas augstums ir perpendikuls, kas ir nolaists no piramīdas augšas līdz pamatiem.

Piramīdas augstuma atrašana

Kā uzzināt piramīdas augstumu? Ļoti vienkārši! Lai atrastu jebkuras trīsstūrveida piramīdas augstumu, var izmantot tilpuma formulu: V = (1/3)Sh, kur S ir pamatlaukums, V ir piramīdas tilpums, h ir tās augstums. No šīs formulas iegūstiet augstuma formulu: lai atrastu trīsstūrveida piramīdas augstumu, piramīdas tilpums jāreizina ar 3 un pēc tam iegūtā vērtība jādala ar pamatlaukumu, tā būs: h \u003d (3V ) / S. Tā kā trīsstūrveida piramīdas pamatne ir trīsstūris, varat izmantot formulu trijstūra laukuma aprēķināšanai. Ja zinām: trijstūra S laukums un tā malas z, tad pēc laukuma formulas S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, kur h piramīdas augstums, γ ir trijstūra mala; leņķi starp trijstūra malām un pašām abām malām, pēc tam, izmantojot šādu formulu: S = (1/2)γφsinQ, kur γ, φ ir trijstūra malas, mēs atrodam trīsstūra laukumu. Leņķa Q sinusa vērtība jāskatās sinusu tabulā, kas ir internetā. Tālāk mēs aizvietojam laukuma vērtību augstuma formulā: h = (2S)/γ. Ja uzdevums prasa aprēķināt trīsstūrveida piramīdas augstumu, tad piramīdas tilpums jau ir zināms.

Regulāra trīsstūrveida piramīda

Atrodiet regulāras trīsstūrveida piramīdas, t.i., piramīdas, kuras visas skaldnes ir vienādmalu trīsstūri, augstumu, zinot malas γ lielumu. Šajā gadījumā piramīdas malas ir vienādmalu trīsstūru malas. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums būs: h = γ√(2/3), kur γ ir vienādmalu trijstūra mala, h ir piramīdas augstums. Ja pamatnes laukums (S) nav zināms un ir norādīts tikai daudzskaldņa malas garums (γ) un tilpums (V), tad nepieciešamais mainīgais iepriekšējā soļa formulā ir jāaizstāj. ar tā ekvivalentu, ko izsaka ar malas garumu. Trijstūra laukums (regulārs) ir vienāds ar 1/4 no šī trijstūra malas garuma reizinājuma, kas reizināts ar kvadrātsakni no 3. Mēs aizstājam šo formulu iepriekšējās formulas pamatlaukuma vietā. , un mēs iegūstam šādu formulu: h \u003d 3V4 / (γ 2 √3) = 12 V/(γ 2 √3). Tetraedra tilpumu var izteikt ar tā malas garumu, tad no figūras augstuma aprēķināšanas formulas var izņemt visus mainīgos un atstāt tikai figūras trīsstūrveida skaldnes malu. Šādas piramīdas tilpumu var aprēķināt, dalot ar 12 no reizinājuma tās sejas garumu kubā ar kvadrātsakni no 2.

Aizvietojot šo izteiksmi iepriekšējā formulā, mēs iegūstam šādu aprēķina formulu: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2/3) = (1/3)γ√6. Tāpat sfērā var ierakstīt regulāru trīsstūrveida prizmu, un, zinot tikai sfēras rādiusu (R), var atrast pašu tetraedra augstumu. Tetraedra malas garums ir: γ = 4R/√6. Mainīgo γ aizstājam ar šo izteiksmi iepriekšējā formulā un iegūstam formulu: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. To pašu formulu var iegūt, zinot tetraedrā ierakstīta riņķa rādiusu (R). Šajā gadījumā trijstūra malas garums būs vienāds ar 12 attiecībām starp kvadrātsakni no 6 un rādiusu. Mēs aizstājam šo izteiksmi ar iepriekšējo formulu un iegūstam: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Kā atrast regulāras četrstūra piramīdas augstumu

Lai atbildētu uz jautājumu, kā atrast piramīdas augstuma garumu, jums jāzina, kas ir parastā piramīda. Četrstūra piramīda ir piramīda, kuras pamatā ir četrstūris. Ja problēmas apstākļos mums ir: piramīdas tilpums (V) un pamatnes laukums (S), tad daudzskaldņa (h) augstuma aprēķināšanas formula būs šāda. - sadaliet tilpumu, kas reizināts ar 3, ar laukumu S: h \u003d (3V) / S. Ar piramīdas kvadrātveida pamatni ar zināmu: doto tilpumu (V) un malas garumu γ, aizvietot laukumu (S) iepriekšējā formulā ar malas garuma kvadrātu: S = γ 2 ; H = 3 V/γ 2 . Parastās piramīdas augstums h = SO iet tieši caur apļa centru, kas ir norobežots netālu no pamatnes. Tā kā šīs piramīdas pamats ir kvadrāts, punkts O ir diagonāļu AD un BC krustošanās punkts. Mums ir: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Tālāk taisnleņķa trijstūrī SOC (saskaņā ar Pitagora teorēmu) atrodam: SO = √(SC 2 -OC 2). Tagad jūs zināt, kā atrast parastās piramīdas augstumu.

Studenti saskaras ar piramīdas jēdzienu ilgi pirms ģeometrijas studijām. Vainojiet slavenos lielos ēģiptiešu pasaules brīnumus. Tāpēc, uzsākot šī brīnišķīgā daudzskaldņa izpēti, lielākā daļa studentu jau to skaidri iztēlojas. Visi iepriekš minētie tēmēkļi ir pareizā formā. Kas notika pareiza piramīda, un kādas tam piemīt īpašības, un tas tiks apspriests tālāk.

Saskarsmē ar

Definīcija

Ir daudz piramīdas definīciju. Kopš seniem laikiem tas ir bijis ļoti populārs.

Piemēram, Eiklīds to definēja kā cietu figūru, kas sastāv no plaknēm, kuras, sākot no vienas, saplūst noteiktā punktā.

Herons sniedza precīzāku formulējumu. Viņš uzstāja, ka tā ir figūra ir pamats un plaknes trīsstūru formā, saplūst vienā punktā.

Pamatojoties uz mūsdienu interpretāciju, piramīda tiek attēlota kā telpisks daudzskaldnis, kas sastāv no noteikta k-gona un k plakanām trīsstūrveida figūrām, kurām ir viens kopīgs punkts.

Apskatīsim tuvāk, No kādiem elementiem tas sastāv?

k-gon tiek uzskatīts par figūras pamatu;
3 leņķa figūriņas izvirzītas kā sānu daļas malas;
augšējo daļu, no kuras rodas sānu elementi, sauc par augšējo;
visus segmentus, kas savieno virsotni, sauc par malām;
ja taisne ir nolaista no augšas uz figūras plakni 90 grādu leņķī, tad tās iekšējā telpā ietvertā daļa ir piramīdas augstums;
jebkurā sānu elementā uz mūsu daudzskaldņa pusi varat uzzīmēt perpendikulu, ko sauc par apotēmu.

Malu skaitu aprēķina, izmantojot formulu 2*k, kur k ir k-stūra malu skaits. Cik skalu ir daudzskaldnim, piemēram, piramīdai, var noteikt ar izteiksmi k + 1.

Svarīgs! Regulāras formas piramīda ir stereometriska figūra, kuras pamatplakne ir k-gon ar vienādām malām.

Pamatīpašības

Pareiza piramīda ir daudz īpašību kas viņai ir unikāli. Uzskaitīsim tos:

Pamatne ir pareizas formas figūra.
Piramīdas malām, kas ierobežo sānu elementus, ir vienādas skaitliskās vērtības.
Sānu elementi ir vienādsānu trīsstūri.
Figūras augstuma pamatne iekrīt daudzstūra centrā, bet vienlaikus ir ierakstītā un aprakstītā centrālais punkts.
Visas sānu ribas ir noliektas pret pamatplakni tādā pašā leņķī.
Visām sānu virsmām ir vienāds slīpuma leņķis attiecībā pret pamatni.

Pateicoties visām uzskaitītajām īpašībām, elementu aprēķinu veikšana ir ievērojami vienkāršota. Pamatojoties uz iepriekš minētajām īpašībām, mēs pievēršam uzmanību divas zīmes:

Gadījumā, ja daudzstūris iekļaujas aplī, sānu malām būs vienādi leņķi ar pamatni.
Aprakstot apli ap daudzstūri, visām piramīdas malām, kas izplūst no virsotnes, būs vienāds garums un vienādi leņķi ar pamatni.

Laukums ir balstīts

Regulāra četrstūra piramīda - daudzskaldnis, kura pamatā ir kvadrāts.

Tam ir četras sānu virsmas, kas pēc izskata ir vienādsānu.

Plaknē ir attēlots kvadrāts, bet to pamatā ir visas regulāra četrstūra īpašības.

Piemēram, ja ir nepieciešams savienot kvadrāta malu ar tā diagonāli, tad tiek izmantota šāda formula: diagonāle ir vienāda ar kvadrāta malas un divu kvadrātsaknes reizinājumu.

Pamatojoties uz regulāru trīsstūri

Regulāra trīsstūrveida piramīda ir daudzskaldnis, kura pamats ir regulārs 3 stūru.

Ja pamatne ir regulārs trīsstūris un sānu malas ir vienādas ar pamatnes malām, tad šāds skaitlis sauc par tetraedru.

Visas tetraedra skaldnes ir vienādmalu 3 stūri. Šajā gadījumā jums jāzina daži punkti un netērējiet tiem laiku, veicot aprēķinus:

ribu slīpuma leņķis pret jebkuru pamatni ir 60 grādi;
visu iekšējo virsmu vērtība arī ir 60 grādi;
jebkura seja var darboties kā pamats;
attēlā ir vienādi elementi.

Daudzskaldņa griezumi

Jebkurā daudzskaldņā tādi ir vairāku veidu sadaļas lidmašīna. Bieži skolas ģeometrijas kursā viņi strādā ar diviem:

aksiāls;
paralēlā bāze.

Aksiālo griezumu iegūst, krustojot daudzskaldni ar plakni, kas iet caur virsotni, sānu malām un asi. Šajā gadījumā ass ir augstums, kas novilkts no virsotnes. Griešanas plakni ierobežo krustošanās līnijas ar visām skaldnēm, kā rezultātā veidojas trīsstūris.

Uzmanību! Parastas piramīdas aksiālais posms ir vienādsānu trīsstūris.

Ja griešanas plakne iet paralēli pamatnei, tad rezultāts ir otrā iespēja. Šajā gadījumā mēs esam kontekstā ar skaitli, kas ir līdzīgs bāzei.

Piemēram, ja pamatne ir kvadrāts, tad arī pamatnei paralēlā sadaļa būs kvadrāts, tikai mazāka izmēra.

Risinot problēmas ar šo nosacījumu, tiek izmantotas figūru līdzības zīmes un īpašības, pamatojoties uz Thales teorēmu. Pirmkārt, ir jānosaka līdzības koeficients.

Ja plakne ir novilkta paralēli pamatnei, un tā nogriež daudzskaldņa augšējo daļu, tad apakšējā daļā tiek iegūta regulāra nošķelta piramīda. Tad nošķelta daudzskaldņa pamati tiek uzskatīti par līdzīgiem daudzstūriem. Šajā gadījumā sānu virsmas ir vienādsānu trapeces. Aksiālā daļa ir arī vienādsānu.

Lai noteiktu nošķelta daudzskaldņa augstumu, augstums jānozīmē aksiālā griezumā, tas ir, trapecveida formā.

Virsmas laukumi

Galvenās ģeometriskās problēmas, kas jāatrisina skolas ģeometrijas kursā, ir piramīdas virsmas laukuma un tilpuma atrašana.

Ir divu veidu virsmas laukums:

sānu elementu laukums;
visu virsmas laukumu.

No paša virsraksta ir skaidrs, par ko ir runa. Sānu virsma ietver tikai sānu elementus. No tā izriet, ka, lai to atrastu, jums vienkārši jāsaskaita sānu plakņu laukumi, tas ir, vienādsānu 3 stūru laukumi. Mēģināsim iegūt formulu sānu elementu laukumam:

Vienādsānu 3 stūra laukums ir Str=1/2(aL), kur a ir pamatnes mala, L ir apotēma.
Sānu plakņu skaits ir atkarīgs no k-gon veida pie pamatnes. Piemēram, regulārai četrstūra piramīdai ir četras sānu plaknes. Tāpēc ir jāsaskaita četru skaitļu laukumi Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Izteiksme ir vienkāršota šādā veidā, jo vērtība 4a=POS, kur POS ir bāzes perimetrs. Un izteiksme 1/2 * Rosn ir tā pusperimetrs.
Tātad, mēs secinām, ka regulāras piramīdas sānu elementu laukums ir vienāds ar pamatnes pusperimetra un apotēmas reizinājumu: Sside \u003d Rosn * L.

Piramīdas pilnas virsmas laukums sastāv no sānu plakņu un pamatnes laukumu summas: Sp.p. = Sside + Sbase.

Kas attiecas uz pamatnes laukumu, šeit tiek izmantota formula atbilstoši daudzstūra veidam.

Regulāras piramīdas tilpums ir vienāds ar pamatplaknes laukuma un augstuma reizinājumu, kas dalīts ar trīs: V=1/3*Sbāze*H, kur H ir daudzskaldņa augstums.

Kas ir regulāra piramīda ģeometrijā

Regulāras četrstūra piramīdas īpašības

Definīcija

Piramīda ir daudzstūris, kas sastāv no daudzstūra \(A_1A_2...A_n\) un \(n\) trijstūriem ar kopīgu virsotni \(P\) (neatrodas daudzstūra plaknē) un pretējām malām sakrīt ar daudzstūris.
Apzīmējums: \(PA_1A_2...A_n\) .
Piemērs: piecstūra piramīda \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Trijstūri \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) utt. tiek saukti sānu sejas piramīdas, segmenti \(PA_1, PA_2\) utt. - sānu ribas, daudzstūris \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – pamata, punkts \(P\) – virsotne.

Augstums Piramīdas ir perpendikuls, kas nomests no piramīdas augšdaļas uz pamatnes plakni.

Tiek saukta piramīda ar trīsstūri tās pamatnē tetraedrs.

Piramīdu sauc pareizi, ja tā pamatne ir regulārs daudzstūris un ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

\((a)\) piramīdas sānu malas ir vienādas;

\(b)\) piramīdas augstums iet caur ierobežotā apļa centru netālu no pamatnes;

\(c)\) sānu ribas ir slīpi pret pamatplakni tādā pašā leņķī.

\(d)\) sānu virsmas ir slīpi pret pamatplakni tādā pašā leņķī.

regulārs tetraedrs ir trīsstūrveida piramīda, kuras visas skaldnes ir vienādi vienādmalu trijstūri.

Teorēma

Nosacījumi \((a), (b), (c), (d)\) ir līdzvērtīgi.

Pierādījums

Uzzīmējiet piramīdas augstumu \(PH\) . Pieņemsim, ka \(\alpha\) ir piramīdas pamatnes plakne.

1) Pierādīsim, ka \((a)\) nozīmē \((b)\) . Ļaujiet \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Jo \(PH\perp \alpha\) , tad \(PH\) ir perpendikulāra jebkurai taisnei, kas atrodas šajā plaknē, tāpēc trijstūri ir taisnleņķi. Tātad šie trīsstūri ir vienādi kopējā kājā \(PH\) un hipotenūzā \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Tātad \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Tas nozīmē, ka punkti \(A_1, A_2, ..., A_n\) atrodas vienādā attālumā no punkta \(H\) , tāpēc tie atrodas uz viena apļa ar rādiusu \(A_1H\) . Šis aplis pēc definīcijas ir ierobežots ap daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) .

2) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida un vienāds divās kājās. Līdz ar to arī to leņķi ir vienādi, tāpēc \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Pierādīsim, ka \((c)\) nozīmē \((a)\) .

Līdzīgi kā pirmajā punktā, trijstūri \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) taisnstūrveida un gar kāju un akūtu leņķi. Tas nozīmē, ka arī to hipotenūzas ir vienādas, tas ir, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Pierādīsim, ka \((b)\) nozīmē \((d)\) .

Jo regulārā daudzstūrī norobežotā un ierakstītā apļa centri sakrīt (vispārīgi runājot, šo punktu sauc par regulāra daudzstūra centru), tad \(H\) ir ierakstītā apļa centrs. Zīmēsim perpendikulus no punkta \(H\) uz pamatnes malām: \(HK_1, HK_2\) utt. Tie ir ierakstītā apļa rādiusi (pēc definīcijas). Tad saskaņā ar TTP (\(PH\) ir perpendikuls plaknei, \(HK_1, HK_2\) utt. ir projekcijas, kas ir perpendikulāras malām) slīps \(PK_1, PK_2\) utt. perpendikulāri malām \(A_1A_2, A_2A_3\) utt. attiecīgi. Tātad, pēc definīcijas \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) vienāds ar leņķiem starp sānu virsmām un pamatni. Jo trijstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnleņķi uz divām kājām), tad leņķi \(\leņķis PK_1H, \leņķis PK_2H, ...\) ir vienādi.

5) Pierādīsim, ka \((d)\) nozīmē \((b)\) .

Līdzīgi kā ceturtajā punktā, trīsstūri \(PK_1H, PK_2H, ...\) ir vienādi (kā taisnstūrveida gar kāju un akūtu leņķi), kas nozīmē, ka segmenti \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ir vienādi. Tādējādi pēc definīcijas \(H\) ir apļa centrs, kas ierakstīts pamatnē. Bet kopš regulāriem daudzstūriem ierakstīto un ierobežoto apļu centri sakrīt, tad \(H\) ir ierobežotā apļa centrs. Chtd.

Sekas

Regulāras piramīdas sānu malas ir vienādi vienādsānu trīsstūri.

Definīcija

Tiek saukts regulāras piramīdas sānu virsmas augstums, kas vilkts no tās augšdaļas apotēma.
Regulāras piramīdas visu sānu skaldņu apotēmas ir vienādas viena ar otru un ir arī mediānas un bisektrise.

Svarīgas piezīmes

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes augstumu (vai bisektriņu, jeb mediānu) krustpunktam (pamats ir regulārs trīsstūris).

2. Regulāras četrstūra piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes diagonāļu krustpunktam (pamats ir kvadrāts).

3. Regulāras sešstūra piramīdas augstums nokrītas līdz pamatnes diagonāļu krustpunktam (pamats ir regulārs sešstūris).

4. Piramīdas augstums ir perpendikulārs jebkurai taisnei, kas atrodas pie pamatnes.

Definīcija

Piramīdu sauc taisnstūrveida ja viena no tā sānu malām ir perpendikulāra pamatnes plaknei.

Svarīgas piezīmes

1. Taisnstūra piramīdai mala, kas ir perpendikulāra pamatnei, ir piramīdas augstums. Tas ir, \(SR\) ir augstums.

2. Jo \(SR\) perpendikulāri jebkurai līnijai no pamatnes, tad \(\trijstūris SRM, \trijstūris SRP\) ir taisnleņķa trīsstūri.

3. Trijstūri \(\trijstūris SRN, \trijstūris SRK\) ir arī taisnstūrveida.
Tas ir, jebkurš trīsstūris, ko veido šī mala un diagonāle, kas iziet no šīs malas virsotnes, kas atrodas pie pamatnes, būs taisnleņķa.

\[(\Large(\text(Piramīdas tilpums un virsmas laukums)))\]

Teorēma

Piramīdas tilpums ir vienāds ar vienu trešdaļu no piramīdas pamatnes laukuma un augstuma reizinājuma: \

Sekas

Lai \(a\) ir pamatnes mala, \(h\) ir piramīdas augstums.

1. Regulāras trīsstūrveida piramīdas tilpums ir \(V_(\text(labais trīsstūris pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Regulāras četrstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Regulāras sešstūra piramīdas tilpums ir \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Regulāra tetraedra tilpums ir \(V_(\text(labais tetra.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Teorēma

Parastās piramīdas sānu virsmas laukums ir vienāds ar pusi no pamatnes perimetra un apotēmas reizinājuma.

\[(\Large(\text(Saīsināta piramīda)))\]

Definīcija

Apsveriet patvaļīgu piramīdu \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Nozīmēsim plakni, kas ir paralēla piramīdas pamatnei caur noteiktu punktu, kas atrodas uz piramīdas sānu malas. Šī plakne sadalīs piramīdu divos daudzskaldņos, no kuriem viens ir piramīda (\(PB_1B_2...B_n\) ), bet otru sauc par nošķelta piramīda(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Nocirstajai piramīdai ir divi pamati - daudzstūri \(A_1A_2...A_n\) un \(B_1B_2...B_n\) , kas ir līdzīgi viens otram.

Nocirstas piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no kāda augšējās pamatnes punkta uz apakšējās pamatnes plakni.

Svarīgas piezīmes

1. Visas nošķeltas piramīdas sānu virsmas ir trapeces.

2. Nogrieznis, kas savieno regulāras nošķeltas piramīdas (tas ir, piramīdas, kas iegūta ar regulāras piramīdas posmu) pamatu centrus, ir augstums.

Šeit ir apkopota pamatinformācija par piramīdām un saistītajām formulām un jēdzieniem. Tie visi tiek apgūti pie matemātikas pasniedzēja, gatavojoties eksāmenam.

Apsveriet plakni, daudzstūri guļ tajā un punkts S, kas tajā neguļ. Savienojiet S ar visām daudzstūra virsotnēm. Iegūto daudzskaldni sauc par piramīdu. Segmentus sauc par sānu malām. Daudzstūri sauc par pamatu, bet punktu S sauc par piramīdas virsotni. Atkarībā no skaitļa n piramīdu sauc par trīsstūrveida (n=3), četrstūrveida (n=4), piecstūrainu (n=5) un tā tālāk. Trīsstūrveida piramīdas alternatīvais nosaukums - tetraedrs. Piramīdas augstums ir perpendikuls, kas novilkts no tās virsotnes līdz pamatplaknei.

Piramīdu sauc par pareizu, ja regulārs daudzstūris, un piramīdas augstuma pamats (perpendikula pamats) ir tās centrs.

Pasniedzēja komentārs:
Nejauciet jēdzienus "regulāra piramīda" un "parastais tetraedrs". Parastajā piramīdā sānu malas ne vienmēr ir vienādas ar pamatnes malām, bet regulārā tetraedrā visas 6 malu malas ir vienādas. Šī ir viņa definīcija. Ir viegli pierādīt, ka vienādība nozīmē, ka daudzstūra centrs P ar augstuma pamatni, tāpēc regulārs tetraedrs ir regulāra piramīda.

Kas ir apotēms?
Piramīdas apotēma ir tās sānu virsmas augstums. Ja piramīda ir regulāra, tad visas tās apotēmas ir vienādas. Pretējais nav taisnība.

Matemātikas pasniedzējs par savu terminoloģiju: darbs ar piramīdām 80% ir veidots, izmantojot divu veidu trīsstūrus:
1) Satur apotēmu SK un augstumu SP
2) Kas satur sānu malu SA un tās projekciju PA

Lai vienkāršotu atsauces uz šiem trijstūriem, matemātikas skolotājam ir ērtāk nosaukt pirmo no tiem. apotēmisks, un otrkārt piekrastes. Diemžēl šo terminoloģiju jūs neatradīsiet nevienā mācību grāmatā, un skolotājam tā ir jāievieš vienpusēji.

Piramīdas tilpuma formula:
1) , kur ir piramīdas pamatnes laukums un piramīdas augstums
2) , kur ir ierakstītās sfēras rādiuss un piramīdas kopējais virsmas laukums.
3) , kur MN ir attālums no jebkurām divām krustojošām malām un ir paralelograma laukums, ko veido četru atlikušo malu viduspunkti.

Piramīdas augstuma pamatnes īpašums:

Punkts P (skatīt attēlu) sakrīt ar piramīdas pamatnē ierakstītā apļa centru, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:
1) Visi apotēmi ir vienādi
2) Visas sānu virsmas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visi apotēmi ir vienādi slīpi pret piramīdas augstumu
4) Piramīdas augstums ir vienādi slīps pret visām sānu malām

Matemātikas skolotāja komentārs: ņemiet vērā, ka visus punktus vieno viena kopīga īpašība: tā vai citādi sānu sejas piedalās visur (apotēmas ir to elementi). Tāpēc skolotājs var piedāvāt neprecīzāku, bet ērtāku formulējumu iegaumēšanai: punkts P sakrīt ar ierakstītā apļa centru, piramīdas pamatni, ja ir kāda vienlīdzīga informācija par tā sānu virsmām. Lai to pierādītu, pietiek parādīt, ka visi apotēmiskie trīsstūri ir vienādi.

Punkts P sakrīt ar ierobežotā apļa centru netālu no piramīdas pamatnes, ja ir patiess viens no trim nosacījumiem:
1) Visas sānu malas ir vienādas
2) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret pamatni
3) Visas sānu ribas ir vienādi slīpas pret augstumu