Šajā nodarbībā mēs turpinām pētīt funkciju atvasinājumus un pāriet uz sarežģītāku tēmu, proti, produktu un koeficientu atvasinājumiem. Ja skatījāties iepriekšējo nodarbību, jūs droši vien sapratāt, ka mēs apskatījām tikai visvienkāršākās konstrukcijas, proti, pakāpju funkcijas, summas un starpības atvasinājumu. Jo īpaši mēs uzzinājām, ka summas atvasinājums ir vienāds ar to summu, un starpības atvasinājums ir vienāds ar to starpību. Diemžēl koeficientu un produktu atvasinājumu gadījumā formulas būs daudz sarežģītākas. Sāksim ar formulu funkciju reizinājuma atvasināšanai.
Trigonometrisko funkciju atvasinājumi
Sākumā ļaujiet man izdarīt nelielu lirisku atkāpi. Fakts ir tāds, ka papildus standarta jaudas funkcijai - $y=((x)^(n))$, šajā nodarbībā mēs saskarsimies arī ar citām funkcijām, proti, $y=\sin x$, kā arī $ y=\ cos x$ un cita trigonometrija - $y=tgx$ un, protams, $y=ctgx$.
Ja mēs visi lieliski zinām jaudas funkcijas atvasinājumu, proti, $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, tad kā trigonometriskās funkcijas , ir jāmin atsevišķi. Pierakstīsim to:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
Bet jūs ļoti labi zināt šīs formulas, ejam tālāk.
Kas ir produkta atvasinājums?
Pirmkārt, vissvarīgākā lieta: ja funkcija ir divu citu funkciju reizinājums, piemēram, $f\cdot g$, tad šīs konstrukcijas atvasinājums būs vienāds ar šādu izteiksmi:
Kā redzat, šī formula ir ievērojami atšķirīga un sarežģītāka nekā iepriekš aplūkotās formulas. Piemēram, summas atvasinājums tiek aprēķināts elementāri - $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$ vai atvasinājums no starpība, kas arī tiek aprēķināta elementāri - $(( \left(f-g \right)))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
Mēģināsim izmantot pirmo formulu, lai aprēķinātu atvasinājumus no divām funkcijām, kas mums ir dotas uzdevumā. Sāksim ar pirmo piemēru:
Acīmredzot šāda konstrukcija darbojas kā produkts vai, precīzāk, kā reizinātājs: $((x)^(3))$, mēs to varam uzskatīt par $f$ un $\left(x-5 \right) $ mēs varam uzskatīt par $g$. Tad viņu produkts būs tieši divu funkciju produkts. Mēs nolemjam:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(3)) \labais))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\left(x-5 \) pa labi))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(līdzināt)\].
Tagad sīkāk aplūkosim katru no mūsu noteikumiem. Mēs redzam, ka gan pirmais, gan otrais termins satur pakāpi $x$: pirmajā gadījumā tas ir $((x)^(2))$, bet otrajā tas ir $((x)^(3)) $. Izņemsim mazāko pakāpi no iekavām, atstājot iekavās:
\[\begin(līdzināt)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2 ))\left(3\cdot 1\left(x-5 \right)+x \right)= \\& =((x)^(2))\left(3x-15+x \right)=( (x)^(2)) (4x-15)\\\beigas(līdzināt)\]
Tas arī viss, mēs atradām atbildi.
Atgriezīsimies pie savām problēmām un mēģināsim atrisināt:
Tātad, pārrakstīsim:
Atkal mēs atzīmējam, ka mēs runājam par divu funkciju reizinājumu: $x$, ko var apzīmēt ar $f$, un $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, kas var apzīmē ar $g$.
Tādējādi mūsu priekšā atkal ir divu funkciju reizinājums. Lai atrastu funkcijas $f\left(x \right)$ atvasinājumu, mēs atkal izmantosim mūsu formulu. Mēs iegūstam:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x)) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(līdzināt)\]
Atbilde ir atrasta.
Kāpēc faktoru atvasinājumi?
Tikko esam izmantojuši vairākus ļoti svarīgus matemātiskos faktus, kas paši par sevi nav saistīti ar atvasinājumiem, taču bez to ziņas visa tālāka šīs tēmas izpēte vienkārši nav jēga.
Pirmkārt, atrisinot pašu pirmo uzdevumu un jau atbrīvojoties no visām atvasinājumu pazīmēm, mēs nez kāpēc sākām ņemt vērā šo izteiksmi.
Otrkārt, risinot sekojošo uzdevumu, mēs vairākas reizes pārgājām no saknes uz pakāpju ar racionālu eksponentu un atpakaļ, vienlaikus izmantojot 8.-9.klases formulu, kuru būtu vērts atkārtot atsevišķi.
Kas attiecas uz faktorizēšanu – kāpēc ir vajadzīgas visas šīs papildu pūles un transformācijas? Faktiski, ja problēma vienkārši saka “atrast funkcijas atvasinājumu”, šīs papildu darbības nav nepieciešamas. Tomēr reālās problēmās, kas jūs sagaida visa veida eksāmenos un ieskaitēs, ar atvasinājuma atrašanu bieži vien nepietiek. Fakts ir tāds, ka atvasinājums ir tikai rīks, ar kuru jūs varat uzzināt, piemēram, funkcijas palielināšanu vai samazināšanu, un šim nolūkam jums ir jāatrisina vienādojums un tas jāfaktorē. Un šeit šī tehnika būs ļoti piemērota. Un vispār ir daudz ērtāk un patīkamāk strādāt ar faktorizētu funkciju nākotnē, ja ir nepieciešamas kādas transformācijas. Tāpēc noteikums Nr. 1: ja atvasinājumu var faktorizēt, tas ir jādara. Un uzreiz noteikums Nr.2 (būtībā tas ir 8.-9.klases materiāls): ja problēma satur sakni n-th pakāpe, un sakne ir nepārprotami lielāka par diviem, tad šo sakni var aizstāt ar parastu pakāpi ar racionālu eksponentu, un eksponentā parādīsies daļskaitlis, kur n― tieši šī pakāpe ― būs šīs daļskaitļa saucējā.
Protams, ja zem saknes ir kāds grāds (mūsu gadījumā tas ir grāds k), tad tas nekur nepazūd, bet vienkārši nonāk tieši šīs pakāpes skaitītājā.
Tagad, kad jūs to visu saprotat, atgriezīsimies pie produkta atvasinājumiem un aprēķināsim vēl dažus vienādojumus.
Bet, pirms pāriet tieši uz aprēķiniem, es vēlētos jums atgādināt šādus modeļus:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
Apskatīsim pirmo piemēru:
Mums atkal ir divu funkciju reizinājums: pirmā ir $f$, otrā ir $g$. Ļaujiet man jums atgādināt formulu:
\[((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
Izlemsim:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\left(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(līdzināt)\]
Pāriesim pie otrās funkcijas:
Atkal $\left(3x-2 \right)$ ir $f$ funkcija, $\cos x$ ir $g$ funkcija. Kopumā divu funkciju reizinājuma atvasinājums būs vienāds ar:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ pa kreisi(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(līdzināt)\]
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
Pierakstīsim to atsevišķi:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\left(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x) )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(līdzināt)\]
Mēs nefaktorizējam šo izteiksmi, jo tā vēl nav galīgā atbilde. Tagad mums ir jāatrisina otrā daļa. Izrakstīsim to:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\left(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(līdzināt)\]
Tagad atgriezīsimies pie sākotnējā uzdevuma un saliksim visu vienā struktūrā:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(līdzināt)\]
Tas ir viss, šī ir galīgā atbilde.
Pāriesim pie pēdējā piemēra – tas būs vissarežģītākais un aprēķinu ziņā apjomīgākais. Tātad, piemērs:
\[(y)"=((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Mēs uzskaitām katru daļu atsevišķi:
\[\begin(līdzināt)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
Atgriežoties pie sākotnējās funkcijas, aprēķināsim tās atvasinājumu kopumā:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
Tas ir viss, ko es gribēju jums pastāstīt par atvasinātajiem darbiem. Kā redzat, formulas galvenā problēma nav tās iegaumēšana, bet gan fakts, ka tā ietver diezgan lielu aprēķinu daudzumu. Bet tas ir labi, jo tagad mēs pārejam uz koeficienta atvasinājumu, kur mums būs ļoti smagi jāstrādā.
Kas ir koeficienta atvasinājums?
Tātad koeficienta atvasinājuma formula. Šī, iespējams, ir vissarežģītākā formula skolas kursā par atvasinājumiem. Pieņemsim, ka mums ir funkcija $\frac(f)(g)$, kur $f$ un $g$ arī ir funkcijas, no kurām mēs varam arī noņemt pirmskaitli. Tad to aprēķina pēc šādas formulas:
Skaitītājs mums nedaudz atgādina reizinājuma atvasinājuma formulu, taču starp vārdiem ir mīnusa zīme, un saucējam ir pievienots arī sākotnējā saucēja kvadrāts. Apskatīsim, kā tas darbojas praksē:
Mēģināsim atrisināt:
\[(f)"=((\left(\frac(((x)^(2))-1)(x+2) \right))^(\prime ))=\frac(((\left) (((x)^(2))-1 \labais))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\left(x+2 \right))^(\prime )))(((\left(x+2 \right))^(2)))\]
Es iesaku izrakstīt katru daļu atsevišķi un pierakstīt:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \ pa labi))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\left(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\beigt(līdzināt)\]
Pārrakstīsim savu izteiksmi:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\left(x+2 \right))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\left(x+2 \right))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\left(x+2 \right) ))^(2))) \\\end(līdzināt)\]
Mēs esam atraduši atbildi. Pāriesim pie otrās funkcijas:
Spriežot pēc tā, ka tā skaitītājs ir vienkārši viens, aprēķini šeit būs nedaudz vienkāršāki. Tātad, rakstīsim:
\[(y)"=((\left(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime )))(( (\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Aprēķināsim katru piemēra daļu atsevišķi:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(() (x)^(2)) \labais))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(līdzināt)\]
Pārrakstīsim savu izteiksmi:
\[(y)"=\frac(0\cdot \left(((x)^(2))+4 \right)-1\cdot 2x)(((\left(((x)^(2)) )+4 \right))^(2)))=-\frac(2x)(((\left(((x)^(2))+4 \right))^(2)))\]
Mēs esam atraduši atbildi. Kā gaidīts, aprēķinu apjoms izrādījās ievērojami mazāks nekā pirmajai funkcijai.
Kāda ir atšķirība starp apzīmējumiem?
Uzmanīgajiem studentiem droši vien jau rodas jautājums: kāpēc dažos gadījumos funkciju apzīmējam kā $f\left(x \right)$, bet citos vienkārši rakstām $y$? Faktiski no matemātikas viedokļa nav absolūti nekādas atšķirības - jums ir tiesības izmantot gan pirmo apzīmējumu, gan otro, un par eksāmeniem vai ieskaitēm nebūs sodu. Tiem, kam vēl ir interese, paskaidrošu, kāpēc mācību grāmatu un uzdevumu autori dažos gadījumos raksta $f\left(x \right)$, bet citos (daudz biežāk) - vienkārši $y$. Fakts ir tāds, ka, rakstot funkciju formā \, mēs netieši dodam mājienu tiem, kas lasa mūsu aprēķinus, ka mēs runājam tieši par funkcionālās atkarības algebrisko interpretāciju. Tas ir, ir noteikts mainīgais $x$, mēs apsveram atkarību no šī mainīgā un apzīmējam to $f\left(x \right)$. Tajā pašā laikā, redzot šādu apzīmējumu, tas, kurš lasa jūsu aprēķinus, piemēram, inspektors, zemapziņā sagaidīs, ka nākotnē viņu gaida tikai algebriskas pārvērtības - ne grafiki, ne ģeometrija.
No otras puses, izmantojot apzīmējumus formā \, t.i., apzīmējot mainīgo ar vienu burtu, mēs uzreiz saprotam, ka nākotnē mūs interesē funkcijas ģeometriskā interpretācija, t.i., mūs interesē, pirmkārt, viss, tā diagrammā. Attiecīgi, saskaroties ar formas ierakstu\, lasītājam ir tiesības sagaidīt grafiskus aprēķinus, t.i., grafikus, konstrukcijas utt., bet nekādā gadījumā analītiskas transformācijas.
Es arī vēlos pievērst jūsu uzmanību vienai to uzdevumu dizaina iezīmei, kurus mēs šodien apsveram. Daudzi studenti domā, ka es sniedzu pārāk detalizētus aprēķinus, un daudzi no tiem varētu tikt izlaisti vai vienkārši atrisināti viņu galvās. Taču tieši tik detalizēts ieraksts ļaus atbrīvoties no aizskarošām kļūdām un būtiski palielināt pareizi atrisināto problēmu procentuālo daļu, piemēram, pašgatavošanās ieskaitēm vai eksāmeniem. Tāpēc, ja vēl neesat pārliecināts par savām spējām, ja tikai sāciet pētīt šo tēmu, nesteidzieties - aprakstiet katru soli detalizēti, pierakstiet katru faktoru, katru insultu, un pavisam drīz jūs iemācīsities labāk atrisināt šādus piemērus. nekā daudzi skolu skolotāji. Es ceru, ka tas ir skaidrs. Saskaitīsim vēl dažus piemērus.
Vairāki interesanti uzdevumi
Šoreiz, kā redzam, aprēķinātajos atvasinājumos ir trigonometrija. Tāpēc ļaujiet man jums atgādināt sekojošo:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))=-\sin x \\\end(līdzināt )\]
Protams, mēs nevaram iztikt bez koeficienta atvasinājuma, proti:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Apskatīsim pirmo funkciju:
\[\begin(align)& (f)"=((\left(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\beigt(līdzināt)\]
Tātad mēs esam atraduši risinājumu šim izteicienam.
Pāriesim pie otrā piemēra:
Acīmredzot tā atvasinājums būs sarežģītāks, kaut vai tāpēc, ka trigonometrija ir gan šīs funkcijas skaitītājā, gan saucējā. Mēs nolemjam:
\[(y)"=((\left(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\left(x\sin x \right) ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Ņemiet vērā, ka mums ir produkta atvasinājums. Šajā gadījumā tas būs vienāds ar:
\[\begin(align)& ((\left(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\left(\sin x \) pa labi))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(līdzināt)\]
Atgriezīsimies pie mūsu aprēķiniem. Mēs pierakstām:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\left(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(līdzināt)\]
Tas ir viss! Mēs izdarījām matemātiku.
Kā koeficienta atvasinājumu samazināt līdz vienkāršai produkta atvasinājuma formulai?
Un šeit es gribētu izteikt vienu ļoti svarīgu piezīmi par trigonometriskajām funkcijām. Fakts ir tāds, ka mūsu sākotnējā konstrukcija satur izteiksmi formā $\frac(\sin x)(\cos x)$, kuru var vienkārši aizstāt ar $tgx$. Tādējādi mēs samazinām koeficienta atvasinājumu uz vienkāršāku produkta atvasinājuma formulu. Aprēķināsim šo piemēru vēlreiz un salīdzināsim rezultātus.
Tāpēc tagad mums jāapsver sekojošais:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
Pārrakstīsim mūsu sākotnējo funkciju $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$, ņemot vērā šo faktu. Mēs iegūstam:
Skaitīsim:
\[\begin(līdzināt)& (y)"=((\left(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right)) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(līdzināt) \]
Tagad, ja salīdzināsim iegūto rezultātu ar to, ko ieguvām agrāk, aprēķinot citādi, tad pārliecināsimies, ka esam saņēmuši tādu pašu izteiksmi. Tādējādi neatkarīgi no tā, uz kuru pusi mēs ietu, aprēķinot atvasinājumu, ja viss ir aprēķināts pareizi, tad atbilde būs vienāda.
Svarīgas nianses, risinot problēmas
Nobeigumā es vēlētos jums pastāstīt vēl vienu smalkumu, kas saistīts ar koeficienta atvasinājuma aprēķināšanu. Tas, ko es jums tagad pastāstīšu, nebija iekļauts video nodarbības sākotnējā scenārijā. Taču pāris stundas pirms filmēšanas es mācījos ar vienu savu studentu, un mēs tikko pārrunājām tēmu par koeficientu atvasinājumiem. Un, kā izrādījās, daudzi skolēni šo punktu nesaprot. Tātad, pieņemsim, ka mums ir jāaprēķina šādas funkcijas noņemšanas gājiens:
Principā no pirmā acu uzmetiena tajā nav nekā pārdabiska. Tomēr aprēķinu procesā mēs varam pieļaut daudzas stulbas un aizskarošas kļūdas, par kurām es gribētu tagad runāt.
Tātad, mēs aprēķinām šo atvasinājumu. Pirmkārt, mēs atzīmējam, ka mums ir termins $3((x)^(2))$, tāpēc ir lietderīgi atcerēties šādu formulu:
\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
Turklāt mums ir termins $\frac(48)(x)$ - mēs to aplūkosim, izmantojot koeficienta atvasinājumu, proti:
\[((\left(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Tātad, pieņemsim lēmumu:
\[(y)"=((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3(x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Ar pirmo terminu problēmu nav, skatiet:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Bet ar pirmo terminu, $\frac(48)(x)$, jums ir jāstrādā atsevišķi. Fakts ir tāds, ka daudzi skolēni jauc situāciju, kad viņiem jāatrod $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ un kad jāatrod $((\left (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Tas ir, viņi tiek sajaukti, kad konstante atrodas saucējā un kad konstante atrodas skaitītājā, attiecīgi, ja mainīgais atrodas skaitītājā vai saucējā.
Sāksim ar pirmo iespēju:
\[((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
No otras puses, ja mēģināsim darīt to pašu ar otro daļu, mēs iegūsim sekojošo:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48 )(((x)^(2))) \\\end(līdzināt)\]
Tomēr vienu un to pašu piemēru varētu aprēķināt citādi: posmā, kurā mēs pārgājām uz koeficienta atvasinājumu, $\frac(1)(x)$ varam uzskatīt par pakāpju ar negatīvu eksponentu, t.i., mēs iegūstam sekojošo. :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(-)) 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1 )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(līdzināt)\]
Un tā, un tā mēs saņēmām tādu pašu atbildi.
Tādējādi mēs vēlreiz pārliecināmies par diviem svarīgiem faktiem. Pirmkārt, vienu un to pašu atvasinājumu var aprēķināt pilnīgi dažādos veidos. Piemēram, $((\left(\frac(48)(x) \right)))^(\prime ))$ var uzskatīt gan par koeficienta atvasinājumu, gan kā pakāpju funkcijas atvasinājumu. Turklāt, ja visi aprēķini tiek veikti pareizi, atbilde vienmēr būs vienāda. Otrkārt, aprēķinot atvasinājumus, kas satur gan mainīgo, gan konstanti, ir būtiski svarīgi, kur mainīgais atrodas - skaitītājā vai saucējā. Pirmajā gadījumā, kad mainīgais atrodas skaitītājā, mēs iegūstam vienkāršu lineāru funkciju, kuru var viegli aprēķināt. Un, ja mainīgais ir saucējā, tad mēs iegūstam sarežģītāku izteiksmi ar iepriekš sniegtajiem pavadošajiem aprēķiniem.
Šajā brīdī nodarbību var uzskatīt par pabeigtu, tāpēc, ja neko nesaproti par koeficienta vai reizinājuma atvasinājumiem un vispār, ja jums ir kādi jautājumi par šo tēmu, nevilcinieties - dodieties uz manu vietni , rakstiet, zvaniet, un es noteikti mēģināšu vai varu jums palīdzēt.
Atvasinājumi paši par sevi nav sarežģīta tēma, taču tie ir ļoti apjomīgi, un tas, ko mēs šobrīd pētām, tiks izmantots nākotnē, risinot sarežģītākas problēmas. Tāpēc visus pārpratumus, kas saistīti ar koeficienta vai reizinājuma atvasinājumu aprēķināšanu, labāk identificēt uzreiz, tieši tagad. Nevis tad, kad tie ir milzīga pārpratumu sniega bumba, bet gan tad, kad tie ir maza tenisa bumbiņa, ar kuru ir viegli tikt galā.
Fizisko problēmu vai piemēru risināšana matemātikā ir pilnīgi neiespējama bez atvasinājuma un tā aprēķināšanas metožu zināšanām. Atvasinājums ir viens no svarīgākajiem matemātiskās analīzes jēdzieniem. Mēs nolēmām šodienas rakstu veltīt šai pamata tēmai. Kas ir atvasinājums, kāda ir tā fiziskā un ģeometriskā nozīme, kā aprēķināt funkcijas atvasinājumu? Visus šos jautājumus var apvienot vienā: kā saprast atvasinājumu?
Atvasinājuma ģeometriskā un fizikālā nozīme
Lai ir funkcija f(x) , kas norādīts noteiktā intervālā (a, b) . Punkti x un x0 pieder šim intervālam. Kad mainās x, mainās pati funkcija. Mainot argumentu - tā vērtību atšķirība x-x0 . Šī atšķirība ir uzrakstīta kā delta x un to sauc par argumentu pieaugumu. Funkcijas izmaiņas vai palielinājums ir atšķirība starp funkcijas vērtībām divos punktos. Atvasinājuma definīcija:
Funkcijas atvasinājums punktā ir funkcijas pieauguma noteiktā punktā un argumenta pieauguma attiecības robeža, kad pēdējam ir tendence uz nulli.
Citādi to var uzrakstīt šādi:
Kāda jēga atrast šādu robežu? Un lūk, kas tas ir:
funkcijas atvasinājums punktā ir vienāds ar leņķa pieskari starp OX asi un pieskares funkcijas grafikam dotajā punktā.
Atvasinājuma fiziskā nozīme: ceļa atvasinājums attiecībā pret laiku ir vienāds ar taisnvirziena kustības ātrumu.
Patiešām, kopš skolas laikiem visi zina, ka ātrums ir īpašs ceļš x=f(t) un laiks t . Vidējais ātrums noteiktā laika periodā:
Lai noskaidrotu kustības ātrumu konkrētā laika momentā t0 jums jāaprēķina limits:
Pirmais noteikums: iestatiet konstanti
Konstanti var izņemt no atvasinātās zīmes. Turklāt tas ir jādara. Risinot piemērus matemātikā, ņemiet to kā likumu - Ja varat vienkāršot izteiksmi, noteikti vienkāršojiet to .
Piemērs. Aprēķināsim atvasinājumu:
Otrais noteikums: funkciju summas atvasinājums
Divu funkciju summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu summu. Tas pats attiecas uz funkciju atšķirības atvasinājumu.
Mēs nesniegsim šīs teorēmas pierādījumu, bet drīzāk apsvērsim praktisku piemēru.
Atrodiet funkcijas atvasinājumu:
Trešais noteikums: funkciju reizinājuma atvasinājums
Divu diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājumu aprēķina pēc formulas:
Piemērs: atrodiet funkcijas atvasinājumu:
Risinājums: 
Šeit ir svarīgi runāt par sarežģītu funkciju atvasinājumu aprēķināšanu. Sarežģītas funkcijas atvasinājums ir vienāds ar šīs funkcijas atvasinājuma reizinājumu attiecībā uz starpposma argumentu un starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā uz neatkarīgo mainīgo.
Iepriekš minētajā piemērā mēs sastopamies ar izteicienu:
Šajā gadījumā starpposma arguments ir 8x līdz piektajai pakāpei. Lai aprēķinātu šādas izteiksmes atvasinājumu, vispirms mēs aprēķinām ārējās funkcijas atvasinājumu attiecībā pret starpposma argumentu un pēc tam reizinim ar paša starpposma argumenta atvasinājumu attiecībā pret neatkarīgo mainīgo.
Ceturtais noteikums: divu funkciju koeficienta atvasinājums
Formula divu funkciju koeficienta atvasinājuma noteikšanai:
Mēs mēģinājām runāt par manekenu atvasinājumiem no nulles. Šī tēma nav tik vienkārša, kā šķiet, tāpēc esiet brīdināts: piemēros bieži ir nepilnības, tāpēc esiet piesardzīgs, aprēķinot atvasinājumus.
Ja jums ir kādi jautājumi par šo un citām tēmām, varat sazināties ar studentu dienestu. Īsā laikā mēs palīdzēsim atrisināt vissarežģītāko testu un izprast uzdevumus, pat ja jūs nekad iepriekš neesat veicis atvasinātos aprēķinus.
Jūsu privātuma saglabāšana mums ir svarīga. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši Privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un uzglabājam jūsu informāciju. Lūdzu, pārskatiet mūsu privātuma praksi un informējiet mūs, ja jums ir kādi jautājumi.
Personiskās informācijas vākšana un izmantošana
Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu vai sazinātos ar konkrētu personu.
Jums var tikt lūgts sniegt savu personisko informāciju jebkurā laikā, kad sazināsieties ar mums.
Tālāk ir sniegti daži piemēri par to, kāda veida personas informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šādu informāciju.
Kādu personas informāciju mēs apkopojam:
- Kad jūs iesniedzat pieteikumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.
Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:
- Mūsu apkopotā personas informācija ļauj mums sazināties ar jums par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem pasākumiem.
- Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un paziņojumus.
- Mēs varam izmantot personas informāciju arī iekšējiem mērķiem, piemēram, auditu, datu analīzes un dažādu pētījumu veikšanai, lai uzlabotu mūsu sniegtos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
- Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā akcijā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju šādu programmu administrēšanai.
Informācijas izpaušana trešajām personām
Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.
Izņēmumi:
- Ja nepieciešams - saskaņā ar likumu, tiesas procedūru, tiesvedībā un/vai pamatojoties uz publiskiem pieprasījumiem vai valdības iestāžu lūgumiem Krievijas Federācijas teritorijā - izpaust savu personas informāciju. Mēs varam arī izpaust informāciju par jums, ja konstatēsim, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības, tiesībaizsardzības vai citiem sabiedrībai svarīgiem mērķiem.
- Reorganizācijas, apvienošanas vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personas informāciju attiecīgajai trešajai pusei.
Personiskās informācijas aizsardzība
Mēs veicam piesardzības pasākumus, tostarp administratīvus, tehniskus un fiziskus, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju pret pazaudēšanu, zādzību un ļaunprātīgu izmantošanu, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, pārveidošanas un iznīcināšanas.
Jūsu privātuma ievērošana uzņēmuma līmenī
Lai nodrošinātu jūsu personiskās informācijas drošību, mēs saviem darbiniekiem paziņojam par privātuma un drošības standartiem un stingri īstenojam privātuma praksi.
Atvasinājuma atrašanas darbību sauc par diferenciāciju.
Vienkāršāko (un ne pārāk vienkāršo) funkciju atvasinājumu atrašanas problēmu risināšanas rezultātā, definējot atvasinājumu kā pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robežu, parādījās atvasinājumu tabula un precīzi definēti diferenciācijas noteikumi. . Pirmie, kas strādāja atvasinājumu atrašanas jomā, bija Īzaks Ņūtons (1643-1727) un Gotfrīds Vilhelms Leibnics (1646-1716).
Tāpēc mūsdienās, lai atrastu jebkuras funkcijas atvasinājumu, nav jāaprēķina iepriekš minētā funkcijas pieauguma un argumenta pieauguma attiecības robeža, bet tikai jāizmanto tabula atvasinājumi un diferenciācijas noteikumi. Atvasinājuma atrašanai ir piemērots šāds algoritms.
Lai atrastu atvasinājumu, jums ir nepieciešama izteiksme zem galvenās zīmes sadalīt vienkāršas funkcijas komponentos un noteikt, kādas darbības (produkts, summa, koeficients)šīs funkcijas ir saistītas. Tālāk elementāro funkciju atvasinājumus atrodam atvasinājumu tabulā, bet reizinājuma, summas un koeficienta atvasinājumu formulas - diferenciācijas noteikumos. Atvasinājumu tabula un diferenciācijas noteikumi ir doti pēc pirmajiem diviem piemēriem.
1. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. No diferenciācijas likumiem noskaidrojam, ka funkciju summas atvasinājums ir funkciju atvasinājumu summa, t.i.
No atvasinājumu tabulas mēs uzzinām, ka "x" atvasinājums ir vienāds ar vienu, un sinusa atvasinājums ir vienāds ar kosinusu. Mēs šīs vērtības aizstājam ar atvasinājumu summu un atrodam atvasinājumu, kas nepieciešams problēmas nosacījumam:
2. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Diferencējam kā summas atvasinājumu, kurā otrajam loceklim ir nemainīgs faktors; to var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Ja joprojām rodas jautājumi par to, no kurienes kaut kas nāk, tie parasti tiek noskaidroti pēc iepazīšanās ar atvasinājumu tabulu un vienkāršākajiem diferenciācijas noteikumiem. Mēs šobrīd pārejam pie tiem.
Vienkāršu funkciju atvasinājumu tabula
| 1. Konstantes (skaitļa) atvasinājums. Jebkurš skaitlis (1, 2, 5, 200...), kas ir funkcijas izteiksmē. Vienmēr vienāds ar nulli. Tas ir ļoti svarīgi atcerēties, jo tas tiek prasīts ļoti bieži | |
| 2. Neatkarīgā mainīgā atvasinājums. Visbiežāk "X". Vienmēr vienāds ar vienu. Tas ir arī svarīgi atcerēties ilgu laiku | |
| 3. Grāda atvasinājums. Risinot problēmas, jums ir jāpārvērš ne-kvadrātsaknes pakāpēs. | |
| 4. Mainīgā atvasinājums pakāpei -1 | |
| 5. Kvadrātsaknes atvasinājums | |
| 6.Sinusa atvasinājums | |
| 7.Kosinusa atvasinājums |  |
| 8. Pieskares atvasinājums |  |
| 9. Kotangensa atvasinājums |  |
| 10.Arksīna atvasinājums |  |
| 11. Loka kosinusa atvasinājums |  |
| 12.Arktangenta atvasinājums |  |
| 13. Loka kotangensa atvasinājums |  |
| 14.Naturālā logaritma atvasinājums | |
| 15. Logaritmiskās funkcijas atvasinājums |  |
| 16. Eksponenta atvasinājums | |
| 17.Eksponenciālās funkcijas atvasinājums |
Diferencēšanas noteikumi
| 1. Summas vai starpības atvasinājums |  |
| 2. Produkta atvasinājums |  |
| 2a. Izteiksmes atvasinājums, kas reizināts ar konstantu koeficientu | |
| 3. Koeficienta atvasinājums |  |
| 4. Sarežģītas funkcijas atvasinājums |  |
1. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad funkcijas ir diferencējamas tajā pašā punktā
un
tie. funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu.
Sekas. Ja divas diferencējamas funkcijas atšķiras ar konstantu vārdu, tad to atvasinājumi ir vienādi, t.i.
2. noteikums.Ja funkcijas
ir diferencējami kādā brīdī, tad to produkts ir diferencējams tajā pašā punktā
un
tie. Divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas reizinājumu summu un otras funkcijas atvasinājumu.
Secinājums 1. Pastāvīgo koeficientu var izņemt no atvasinājuma zīmes:
Secinājums 2. Vairāku diferencējamu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katra faktora un visu pārējo atvasinājuma produktu summu.
Piemēram, trim reizinātājiem:
3. noteikums.Ja funkcijas
kādā brīdī atšķirties Un , tad šajā brīdī arī to koeficients ir diferencējamsu/v , un
tie. divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāju un saucēja atvasinājumu, un saucējs ir skaitļa kvadrāts. bijušais skaitītājs.
Kur meklēt lietas citās lapās
Meklējot reizinājuma atvasinājumu un koeficientu reālās problēmās, vienmēr ir jāpiemēro vairāki diferenciācijas noteikumi vienlaikus, tāpēc rakstā ir vairāk piemēru par šiem atvasinājumiem."Produkta atvasinājums un funkciju koeficients".
komentēt. Nevajag jaukt konstanti (tas ir, skaitli) kā terminu summā un kā nemainīgu faktoru! Termina gadījumā tā atvasinājums ir vienāds ar nulli, un nemainīga faktora gadījumā tas tiek izņemts no atvasinājumu zīmes. Tā ir tipiska kļūda, kas rodas atvasinājumu izpētes sākumposmā, taču, risinot vairākus viendaļīgus un divdaļīgus piemērus, vidusmēra students vairs nepieļauj šo kļūdu.
Un, ja, diferencējot produktu vai koeficientu, jums ir termins u"v, kurā u- skaitlis, piemēram, 2 vai 5, tas ir, konstante, tad šī skaitļa atvasinājums būs vienāds ar nulli un līdz ar to viss termins būs vienāds ar nulli (šis gadījums ir apskatīts 10. piemērā).
Vēl viena izplatīta kļūda ir sarežģītas funkcijas atvasinājuma mehāniska atrisināšana kā vienkāršas funkcijas atvasinājums. Tāpēc kompleksas funkcijas atvasinājums ir veltīts atsevišķs raksts. Bet vispirms mēs iemācīsimies atrast vienkāršu funkciju atvasinājumus.
Pa ceļam jūs nevarat iztikt bez izteiksmju pārveidošanas. Lai to izdarītu, rokasgrāmata var būt jāatver jaunos logos. Darbības ar spējām un saknēm Un Darbības ar daļskaitļiem .
Ja meklējat risinājumus daļskaitļu atvasinājumiem ar pakāpēm un saknēm, tas ir, kad funkcija izskatās šādi 
, pēc tam izpildiet nodarbību “Daļskaitļu summu atvasinājums ar pakāpēm un saknēm”.
Ja jums ir tāds uzdevums kā 
, tad jūs apmeklēsiet nodarbību “Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi”.
Soli pa solim piemēri - kā atrast atvasinājumu
3. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mēs definējam funkcijas izteiksmes daļas: visa izteiksme attēlo reizinājumu, un tās faktori ir summas, no kurām otrajā viens no terminiem satur nemainīgu faktoru. Mēs piemērojam produktu diferenciācijas noteikumu: divu funkciju reizinājuma atvasinājums ir vienāds ar katras šīs funkcijas produktu summu ar otras funkcijas atvasinājumu:
Tālāk piemērojam summas diferenciācijas likumu: funkciju algebriskās summas atvasinājums ir vienāds ar šo funkciju atvasinājumu algebrisko summu. Mūsu gadījumā katrā summā otrajam vārdam ir mīnusa zīme. Katrā summā redzam gan neatkarīgu mainīgo, kura atvasinājums ir vienāds ar vienu, gan konstanti (skaitli), kuras atvasinājums ir vienāds ar nulli. Tātad “X” pārvēršas par vienu, un mīnus 5 pārvēršas par nulli. Otrajā izteiksmē "x" tiek reizināts ar 2, tāpēc mēs reizinām divus ar tādu pašu vienību kā "x" atvasinājums. Mēs iegūstam šādas atvasinātās vērtības:
Atrastos atvasinājumus aizstājam produktu summā un iegūstam visas uzdevuma nosacījumam nepieciešamās funkcijas atvasinājumu:
4. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Mums ir jāatrod koeficienta atvasinājums. Mēs izmantojam koeficienta diferenciācijas formulu: divu funkciju koeficienta atvasinājums ir vienāds ar daļskaitli, kuras skaitītājs ir starpība starp saucēja reizinājumu un skaitītāja un skaitītāja atvasinājumu un skaitītāja atvasinājumu un atvasinājumu. saucējs, un saucējs ir iepriekšējā skaitītāja kvadrāts. Mēs iegūstam:
Mēs jau esam atraduši faktoru atvasinājumu skaitītājā 2. piemērā. Neaizmirsīsim arī to, ka reizinājums, kas pašreizējā piemērā ir otrais skaitītāja faktors, tiek ņemts ar mīnusa zīmi:
Ja meklējat risinājumus problēmām, kurās jums jāatrod funkcijas atvasinājums, kurā ir nepārtraukta sakņu un pakāpju kaudze, piemēram, 
, tad laipni lūdzam nodarbībā "Atvasinājums no daļskaitļu summām ar pakāpēm un saknēm" .
Ja jums ir nepieciešams uzzināt vairāk par sinusu, kosinusu, tangenšu un citu trigonometrisko funkciju atvasinājumiem, tas ir, kad funkcija izskatās šādi , tad mācība jums "Vienkāršu trigonometrisko funkciju atvasinājumi" .
5. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam reizinājumu, kura viens no faktoriem ir kvadrātsakne no neatkarīgā mainīgā, ar kura atvasinājumu mēs iepazināmies atvasinājumu tabulā. Izmantojot reizinājuma diferencēšanas noteikumu un kvadrātsaknes atvasinājuma tabulas vērtību, mēs iegūstam:
6. piemērs. Atrodiet funkcijas atvasinājumu
Risinājums. Šajā funkcijā mēs redzam koeficientu, kura dividende ir neatkarīgā mainīgā kvadrātsakne. Izmantojot koeficientu diferenciācijas likumu, ko atkārtojām un pielietojām 4. piemērā, un kvadrātsaknes atvasinājuma vērtību tabulā, iegūstam:
Lai atbrīvotos no daļskaitļa skaitītājā, reiziniet skaitītāju un saucēju ar .
Notiek ielāde...