Pirmais līmenis

Kvadrātvienādojumi. Visaptverošs ceļvedis (2019)

Terminā "kvadrātvienādojums" atslēgas vārds ir "kvadrātiskais". Tas nozīmē, ka vienādojumam jābūt mainīgam (tam pašam x) kvadrātā, un trešajā (vai lielākā) pakāpē nedrīkst būt x.

Daudzu vienādojumu risinājums tiek samazināts līdz kvadrātvienādojumu risinājumam.

Mācīsimies noteikt, ka mums ir kvadrātvienādojums, nevis kāds cits.

1. piemērs.

Atbrīvosimies no saucēja un reizināsim katru vienādojuma terminu ar

Pārvietojiet visu uz kreiso pusi un sakārtojiet nosacījumus dilstošā secībā pēc x grādiem

Tagad mēs varam droši apgalvot, ka šis vienādojums ir kvadrātisks!

2. piemērs.

Reizināsim kreiso un labo pusi ar:

Šis vienādojums, lai gan sākotnēji bija tajā, nav kvadrāts!

3. piemērs.

Reizināsim visu ar:

Bailīgi? Ceturtā un otrā pakāpe ... Tomēr, ja mēs veiksim nomaiņu, mēs redzēsim, ka mums ir vienkāršs kvadrātvienādojums:

4. piemērs.

Šķiet, ka tas ir tur, bet apskatīsim tuvāk. Pārvietojam visu uz kreiso pusi:

Redzi, tas ir sarucis - un tagad tas ir vienkāršs lineārs vienādojums!

Tagad mēģiniet paši noteikt, kuri no šiem vienādojumiem ir kvadrātiski un kuri nav:

Piemēri:

Atbildes:

1. kvadrāts;
2. kvadrāts;
3. nav kvadrātveida;
4. nav kvadrātveida;
5. nav kvadrātveida;
6. kvadrāts;
7. nav kvadrātveida;
8. kvadrāts.

Matemātiķi nosacīti sadala visus kvadrātvienādojumus šādā formā:

• Pabeigt kvadrātvienādojumus- vienādojumi, kuros koeficienti un, kā arī brīvais termins ar nav vienādi ar nulli (kā piemērā). Turklāt starp pilnīgajiem kvadrātvienādojumiem ir dots- tie ir vienādojumi, kuros koeficients (pirmā piemēra vienādojums ir ne tikai pilnīgs, bet arī samazināts!)

• Nepilni kvadrātvienādojumi- vienādojumi, kuros koeficients un vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

  Tie ir nepilnīgi, jo tiem trūkst kāda elementa. Bet vienādojumā vienmēr jābūt x kvadrātā !!! Pretējā gadījumā tas vairs nebūs kvadrāts, bet kāds cits vienādojums.

Kāpēc jūs izdomājāt šādu sadalījumu? Šķiet, ka ir X kvadrāts, un labi. Šis sadalījums ir saistīts ar risinājuma metodēm. Apsvērsim katru no tiem sīkāk.

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana

Pirmkārt, pievērsīsimies nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai - tie ir daudz vieglāk!

Nepilnīgi kvadrātvienādojumi ir šādi:

1. , šajā vienādojumā koeficients ir.
2. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.
3. , šajā vienādojumā koeficients un pārtveršana ir vienādi.

1.un. Tā kā mēs zinām, kā ņemt kvadrātsakni, izteiksimies no šī vienādojuma

Izteiksme var būt negatīva vai pozitīva. Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis, tātad: ja, tad vienādojumam nav risinājumu.

Un ja, tad mēs iegūstam divas saknes. Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir tas, ka jums jāzina un vienmēr jāatceras, ka mazāk nevar būt.

Mēģināsim atrisināt dažus piemērus.

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tagad atliek izvilkt sakni no kreisās un labās puses. Vai atceraties, kā iegūt saknes?

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par negatīvajām saknēm !!!

6. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

7. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Ak! Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu!

Šādiem vienādojumiem, kuriem nav sakņu, matemātiķi ir izdomājuši īpašu ikonu - (tukšs komplekts). Un atbildi var uzrakstīt šādi:

Atbilde:

Tādējādi šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes. Šeit nav ierobežojumu, jo mēs neizguvām sakni.
8. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Izņemsim kopējo faktoru no iekavām:

Tādējādi,

Šim vienādojumam ir divas saknes.

Atbilde:

Vienkāršākais nepilnīgu kvadrātvienādojumu veids (lai gan tie visi ir vienkārši, vai ne?). Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Šeit mēs iztiksim bez piemēriem.

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risināšana

Atgādinām, ka pilnīgs kvadrātiskais vienādojums ir formas vienādojuma vienādojums kur

Pilnīgu kvadrātvienādojumu atrisināšana ir nedaudz grūtāka (tikai nedaudz) nekā dotās.

Atcerieties, jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Pārējās metodes palīdzēs jums to izdarīt ātrāk, bet, ja jums ir problēmas ar kvadrātvienādojumiem, vispirms uzziniet risinājumu, izmantojot diskriminantu.

1. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot diskriminantu.

Kvadrātvienādojumu atrisināšana šādā veidā ir ļoti vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas.

Ja, tad vienādojumam ir sakne Jums jāpievērš īpaša uzmanība solim. Diskriminants () norāda mums vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad soļa formula tiks samazināta līdz. Tādējādi vienādojumam būs visa sakne.
• Ja tā, tad mēs nevarēsim izņemt sakni no diskriminētāja šajā solī. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Atgriezīsimies pie saviem vienādojumiem un apskatīsim dažus piemērus.

9. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

1. darbība izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminētāju:

Tātad vienādojumam ir divas saknes.

3. solis.

Atbilde:

10. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tāpēc vienādojums ir parādīts standarta formā 1. darbība izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminētāju:

Tātad vienādojumam ir viena sakne.

Atbilde:

11. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Tāpēc vienādojums ir parādīts standarta formā 1. darbība izlaist.

2. solis.

Mēs atrodam diskriminētāju:

Tāpēc mēs nevarēsim izņemt sakni no diskriminētāja. Nav vienādojuma sakņu.

Tagad mēs zinām, kā pareizi uzrakstīt šādas atbildes.

Atbilde: Nav sakņu

2. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot Vieta teorēmu.

Ja atceraties, tad ir šāda veida vienādojumi, kurus sauc par samazinātiem (ja koeficients a ir vienāds):

Šādus vienādojumus ir ļoti viegli atrisināt, izmantojot Vieta teorēmu:

Sakņu summa dots kvadrātvienādojums ir vienāds, un sakņu reizinājums ir vienāds ar.

12. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Šis vienādojums ir piemērots risināšanai, izmantojot Vieta teorēmu, jo ...

Vienādojuma sakņu summa ir, t.i. iegūstam pirmo vienādojumu:

Un produkts ir vienāds ar:

Sastādīsim un atrisināsim sistēmu:

• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Atbilde: ; .

13. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Atbilde:

14. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Atbilde:

Kvadrātiskie vienādojumi. VIDĒJĀ LĪMENIS

Kas ir kvadrātvienādojums?

Citiem vārdiem sakot, kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur ir nezināmais, daži skaitļi un.

Numuru sauc par vecāko vai pirmie koeficienti kvadrātvienādojums, - otrais koeficients, a - bezmaksas biedrs.

Kāpēc? Jo, ja, vienādojums uzreiz kļūs lineārs, jo pazust.

Turklāt, un tas var būt vienāds ar nulli. Šajā krēslā vienādojumu sauc par nepilnīgu. Ja visi nosacījumi ir vietā, tas ir, vienādojums ir pabeigts.

Dažādu kvadrātvienādojumu veidu risinājumi

Nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

Vispirms mēs analizēsim nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes - tās ir vienkāršākas.

Var izšķirt šādus vienādojumu veidus:

I., šajā vienādojumā koeficients un pārtveršana ir vienādi.

II. , šajā vienādojumā koeficients ir.

III. , šajā vienādojumā brīvais termins ir vienāds ar.

Tagad apskatīsim risinājumu katram no šiem apakštipiem.

Acīmredzot šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:

Skaitlis kvadrātā nevar būt negatīvs, jo, reizinot divus negatīvus vai divus pozitīvus skaitļus, rezultāts vienmēr būs pozitīvs skaitlis. Tāpēc:

ja, tad vienādojumam nav risinājumu;

ja mums ir divas saknes

Šīs formulas nav jāiegaumē. Galvenais ir atcerēties, ka tas nevar būt mazāks.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Nekad neaizmirstiet par negatīvajām saknēm!

Skaitļa kvadrāts nevar būt negatīvs, kas nozīmē, ka vienādojums

nav sakņu.

Lai īsi ierakstītu, ka problēmai nav risinājumu, mēs izmantojam tukšās kopas ikonu.

Atbilde:

Tātad, šim vienādojumam ir divas saknes: un.

Atbilde:

Izvelciet kopējo faktoru no iekavām:

Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir risinājums, ja:

Tātad šim kvadrātvienādojumam ir divas saknes: un.

Piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Faktorizējiet vienādojuma kreiso pusi un atrodiet saknes:

Atbilde:

Pilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanas metodes:

1. Diskriminants

Kvadrātvienādojumu atrisināšana šādā veidā ir vienkārša, galvenais ir atcerēties darbību secību un pāris formulas. Atcerieties, ka jebkuru kvadrātvienādojumu var atrisināt, izmantojot diskriminantu! Pat nepilnīgi.

Vai esat pamanījis diskriminētāja sakni saknes formulā? Bet diskriminants var būt negatīvs. Ko darīt? Īpaša uzmanība jāpievērš 2. solim. Diskriminants norāda mums vienādojuma sakņu skaitu.

• Ja, tad vienādojumam ir sakne:
• Ja, tad vienādojumam ir viena sakne, bet patiesībā viena sakne:

  Šādas saknes sauc par dubultām saknēm.

• Ja, tad diskriminanta sakne netiek izvilkta. Tas norāda, ka vienādojumam nav sakņu.

Kāpēc ir atšķirīgs sakņu skaits? Pievērsīsimies kvadrātvienādojuma ģeometriskajai nozīmei. Funkciju grafiks ir parabola:

Īpašā gadījumā, kas ir kvadrātvienādojums ,. Un tas nozīmē, ka kvadrātvienādojuma saknes ir krustošanās punkti ar abscisas asi (asi). Parabole nedrīkst šķērsot asi vispār vai krustot to vienā (kad paraboles virsotne atrodas uz ass) vai diviem punktiem.

Turklāt koeficients ir atbildīgs par parabolas zaru virzienu. Ja, tad parabolas zari ir vērsti uz augšu, un, ja - tad uz leju.

Piemēri:

Risinājumi:

Atbilde:

Atbilde:.

Atbilde:

Tātad risinājumu nav.

Atbilde:.

2. Vieta teorēma

Vieta teorēmu ir ļoti viegli izmantot: jums vienkārši jāizvēlas skaitļu pāris, kuru reizinājums ir vienāds ar vienādojuma brīvo terminu, un summa ir otrais koeficients, kas ņemts ar pretējo zīmi.

Ir svarīgi atcerēties, ka Vieta teorēmu var piemērot tikai samazinātie kvadrātvienādojumi ().

Apskatīsim dažus piemērus:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Šis vienādojums ir piemērots risināšanai, izmantojot Vieta teorēmu, jo ... Citi koeficienti :; ...

Vienādojuma sakņu summa ir:

Un produkts ir vienāds ar:

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda;
• un. Summa ir vienāda.

un ir sistēmas risinājums:

Tādējādi, un ir mūsu vienādojuma saknes.

Atbilde:; ...

2. piemērs:

Risinājums:

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kas ir izstrādājumā, un pēc tam pārbaudīsim, vai to summa ir vienāda:

un: summa ir norādīta.

un: summa ir norādīta. Lai to iegūtu, pietiek tikai ar iespējamo sakņu pazīmju maiņu: un, galu galā, darbu.

Atbilde:

3. piemērs:

Risinājums:

Vienādojuma brīvais termins ir negatīvs, kas nozīmē, ka sakņu reizinājums ir negatīvs skaitlis. Tas ir iespējams tikai tad, ja viena no saknēm ir negatīva, bet otra - pozitīva. Tāpēc sakņu summa ir to moduļu atšķirības.

Atlasīsim tādus skaitļu pārus, kas ir produktā un kuru starpība ir vienāda ar:

un: to atšķirība ir vienāda - neder;

un: - neder;

un: - neder;

un: - der. Atliek tikai atcerēties, ka viena no saknēm ir negatīva. Tā kā to summai jābūt vienādai, saknei jābūt negatīvai absolūtā vērtībā :. Mēs pārbaudām:

Atbilde:

4. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Brīvais termins ir negatīvs, kas nozīmē, ka sakņu produkts ir negatīvs. Un tas ir iespējams tikai tad, ja viena vienādojuma sakne ir negatīva, bet otra - pozitīva.

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds, un pēc tam nosakām, kurām saknēm jābūt ar negatīvu zīmi:

Acīmredzot tikai saknes un ir piemērotas pirmajam nosacījumam:

Atbilde:

5. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu.

Risinājums:

Vienādojums ir samazināts, kas nozīmē:

Sakņu summa ir negatīva, kas nozīmē, ka vismaz viena no saknēm ir negatīva. Bet, tā kā viņu produkts ir pozitīvs, tad abas saknes ir ar mīnusa zīmi.

Atlasīsim šādus skaitļu pārus, kuru reizinājums ir vienāds ar:

Acīmredzot skaitļi un ir saknes.

Atbilde:

Piekrītu, ir ļoti ērti nākt klajā ar saknēm mutiski, nevis skaitīt šo nejauko diskriminantu. Mēģiniet izmantot Vieta teorēmu pēc iespējas biežāk.

Bet Vieta teorēma ir nepieciešama, lai atvieglotu un paātrinātu sakņu atrašanu. Lai to lietderīgi izmantotu, jums ir jāpārvieto darbības automātiski. Un šim nolūkam izlemiet par vēl pieciem piemēriem. Bet nevajag krāpties: jūs nevarat izmantot diskriminantu! Tikai Vieta teorēma:

Risinājumi patstāvīga darba uzdevumiem:

1. uzdevums ((x) ^ (2)) - 8x + 12 = 0

Pēc Vieta teorēmas:

Kā parasti, atlasi sākam ar gabalu:

Nav piemērots, jo summa;

: summa ir nepieciešama.

Atbilde:; ...

2. uzdevums.

Un atkal mūsu iecienītākā Vieta teorēma: summai vajadzētu strādāt, bet produkts ir vienāds.

Bet, tā kā nevajadzētu būt, bet mēs mainām sakņu pazīmes: un (kopā).

Atbilde:; ...

3. uzdevums.

Hmm ... Kur tas ir?

Ir jāpārnes visi noteikumi vienā daļā:

Sakņu summa ir vienāda ar produktu.

Tāpēc apstājieties! Vienādojums nav dots. Bet Vieta teorēma ir piemērojama tikai iepriekš minētajos vienādojumos. Tātad vispirms jums ir jāiegūst vienādojums. Ja nevarat to izrunāt, atmetiet šo uzdevumu un atrisiniet to citā veidā (piemēram, ar diskriminētāja starpniecību). Atgādināšu, ka kvadrātvienādojuma iegūšana nozīmē, ka vadošais koeficients ir vienāds ar:

Labi. Tad sakņu summa ir vienāda, un produkts.

Šeit to ir viegli uzņemt: galu galā - pirmskaitlis (atvainojiet par tautoloģiju).

Atbilde:; ...

4. uzdevums.

Brīvais termins ir negatīvs. Kas tajā ir tik īpašs? Un tas, ka saknes būs no dažādām zīmēm. Un tagad atlases laikā mēs pārbaudām nevis sakņu summu, bet to moduļu atšķirību: šī atšķirība ir vienāda, bet produkts.

Tātad, saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir ar mīnusu. Vjetas teorēma stāsta, ka sakņu summa ir vienāda ar otro koeficientu ar pretēju zīmi, tas ir. Tas nozīmē, ka mazākajai saknei būs mīnuss: un, kopš.

Atbilde:; ...

5. uzdevums.

Kā vispirms rīkoties? Tieši tā, sniedziet vienādojumu:

Atkal: mēs izvēlamies skaitļa faktorus, un to atšķirībai jābūt:

Saknes ir vienādas un, bet viena no tām ir ar mīnusu. Kuru? Viņu summai jābūt vienādai, kas nozīmē, ka ar mīnusu būs lielāka sakne.

Atbilde:; ...

Apkopot:

1. Vītas teorēma tiek izmantota tikai dotajos kvadrātvienādojumos.
2. Izmantojot Vieta teorēmu, jūs varat atrast saknes, atlasot, mutiski.
3. Ja vienādojums nav dots vai nav neviena piemērota brīvo terminu reizinātāju pāra, tad nav veselu sakņu, un jums tas jārisina citā veidā (piemēram, izmantojot diskriminantu).

3. Pilna kvadrāta izvēles metode

Ja visi termini, kas satur nezināmo, ir attēloti terminu veidā no saīsinātās reizināšanas formulas - summas vai starpības kvadrāta -, tad pēc mainīgo mainīšanas vienādojumu var attēlot kā nepilnīgu tipa kvadrātvienādojumu.

Piemēram:

1. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu :.

Risinājums:

Atbilde:

2. piemērs:

Atrisiniet vienādojumu :.

Risinājums:

Atbilde:

Kopumā pārveidošana izskatīsies šādi:

Tas nozīmē:.

Vai tas neizskatās pēc kaut kā? Tas ir diskriminants! Tieši tā, mēs saņēmām diskriminējošo formulu.

Kvadrātiskie vienādojumi. ĪSUMĀ PAR GALVENO

Kvadrātvienādojums ir formas vienādojums, kur ir nezināmais, ir kvadrātvienādojuma koeficienti, ir brīvais termins.

Pilns kvadrātiskais vienādojums- vienādojums, kurā koeficienti nav vienādi ar nulli.

Samazināts kvadrātiskais vienādojums- vienādojums, kurā koeficients, tas ir:.

Nepilnīgs kvadrātvienādojums- vienādojums, kurā koeficients un vai brīvais termins c ir vienāds ar nulli:

• ja koeficients, vienādojumam ir šāda forma :,
• ja brīvais termins, vienādojumam ir šāda forma :,
• ja un, vienādojumam ir šāda forma:.

1. Algoritms nepilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai

1.1. Nepilns formas kvadrātvienādojums, kur:

1) Izteiksim nezināmo:

2) Pārbaudiet izteiksmes zīmi:

• ja, tad vienādojumam nav risinājumu,
• ja, tad vienādojumam ir divas saknes.

1.2. Nepilns formas kvadrātvienādojums, kur:

1) Izvelciet kopējo faktoru no iekavām :,

2) Produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Tāpēc vienādojumam ir divas saknes:

1.3. Nepilns formas kvadrātvienādojums, kur:

Šim vienādojumam vienmēr ir tikai viena sakne:.

2. Algoritms pilnīgu kvadrātvienādojumu risināšanai formā, kur

2.1. Diskriminējošs risinājums

1) Pievienosim vienādojumu standarta formai :,

2) Mēs aprēķinām diskriminantu pēc formulas :, kas norāda vienādojuma sakņu skaitu:

3) Atrodiet vienādojuma saknes:

• ja, tad vienādojumam ir saknes, kuras atrodamas pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam ir sakne, kas atrodama pēc formulas:
• ja, tad vienādojumam nav sakņu.

2.2. Risinājums, izmantojot Vieta teorēmu

Samazinātā kvadrātvienādojuma sakņu summa (formas vienādojumi, kur) ir vienāda, un sakņu reizinājums ir vienāds, t.i. , a.

2.3. Pilnīgs kvadrātveida risinājums

Kvadrātvienādojuma problēmas tiek pētītas skolu mācību programmās un universitātēs. Tos saprot kā vienādojumus formā a * x ^ 2 + b * x + c = 0, kur x - mainīgais, a, b, c - konstantes; a<>0. Uzdevums ir atrast vienādojuma saknes.

Kvadrātvienādojuma ģeometriskā nozīme

Funkcijas grafiks, ko attēlo kvadrātvienādojums, ir parabola. Kvadrātvienādojuma risinājumi (saknes) ir parabolas krustošanās punkti ar abscisas asi (x). No tā izriet, ka ir trīs iespējamie gadījumi:
1) parabolei nav krustošanās punktu ar abscisas asi. Tas nozīmē, ka tas atrodas augšējā plaknē ar zariem uz augšu vai zemāk ar zariem uz leju. Šādos gadījumos kvadrātvienādojumam nav reālu sakņu (tam ir divas sarežģītas saknes).

2) parabolei ir viens krustošanās punkts ar Vērša asi. Šādu punktu sauc par paraboles virsotni, un kvadrātvienādojums tajā iegūst minimālo vai maksimālo vērtību. Šajā gadījumā kvadrātvienādojumam ir viena reāla sakne (vai divas identiskas saknes).

3) Pēdējais gadījums praksē ir interesantāks - ir divi parabolas krustošanās punkti ar abscisas asi. Tas nozīmē, ka vienādojumam ir divas reālas saknes.

Pamatojoties uz koeficientu analīzi mainīgo grādos, var izdarīt interesantus secinājumus par parabolas izvietojumu.

1) Ja koeficients a ir lielāks par nulli, tad parabola tiek virzīta ar zariem uz augšu, ja negatīva, tad paraboles zari ir vērsti uz leju.

2) Ja koeficients b ir lielāks par nulli, tad paraboles virsotne atrodas kreisajā pusplaknē, ja tā iegūst negatīvu vērtību, tad labajā.

Formulas atvasināšana kvadrātvienādojuma risināšanai

Pārvietot konstanti no kvadrātvienādojuma

vienādības zīmei mēs iegūstam izteiksmi

Reiziniet abas puses ar 4a

Lai kreisajā pusē iegūtu pilnu kvadrātu, abās daļās pievienojiet b ^ 2 un veiciet pārveidošanu

No šejienes mēs atrodam

Kvadrātvienādojuma vienādotāja formula un saknes

Diskriminantu sauc par radikālās izteiksmes vērtību. Ja tas ir pozitīvs, tad vienādojumam ir divas reālas saknes, ko aprēķina pēc formulas Ja diskriminants ir nulle, kvadrātvienādojumam ir viens risinājums (divas sakrītošas ​​saknes), ko var viegli iegūt no iepriekš minētās formulas, kad D = 0. Ja diskriminants ir negatīvs, vienādojumam nav reālu sakņu. Tomēr tiek atrasti kvadrātvienādojuma risinājumi kompleksā plaknē, un to vērtību aprēķina pēc formulas

Vieta teorēma

Apsveriet divas kvadrātvienādojuma saknes un uz to pamata izveidojiet kvadrātvienādojumu. Vieta teorēma viegli izriet no apzīmējuma: ja mums ir formas kvadrātvienādojums tad tā sakņu summa ir vienāda ar koeficientu p, kas ņemts ar pretēju zīmi, un vienādojuma sakņu reizinājums ir vienāds ar brīvo terminu q. Iepriekšminētā formālais apzīmējums izskatīsies šādi: ja klasiskajā vienādojumā konstante a ir nulle, tad jums ir jāsadala viss vienādojums ar to un pēc tam jāpiemēro Vieta teorēma.

Plānojiet faktoru kvadrātisko vienādojumu

Ļaujiet noteikt uzdevumu: aprēķināt kvadrātvienādojumu. Lai to izpildītu, vispirms atrisinām vienādojumu (atrodam saknes). Tālāk mēs aizstājam atrastās saknes kvadrātvienādojuma paplašināšanas formulā, kas atrisinās problēmu.

Kvadrātvienādojumu problēmas

1. mērķis. Atrodiet kvadrātvienādojuma saknes

x ^ 2-26x + 120 = 0.

Risinājums: mēs pierakstām koeficientus un aizstājam tos ar diskriminējošo formulu

Šīs vērtības sakne ir 14, to ir viegli atrast, izmantojot kalkulatoru, vai atcerēties to bieži lietojot, tomēr ērtības labad raksta beigās es sniegšu sarakstu ar ciparu kvadrātiem, kas bieži vien var būt atrodams šādos uzdevumos.
Mēs aizstājam atrasto vērtību saknes formulā

un mēs saņemam

2. mērķis. Atrisiniet vienādojumu

2x 2 + x-3 = 0.

Risinājums: Mums ir pilnīgs kvadrātiskais vienādojums, uzrakstiet koeficientus un atrodiet diskriminantu


Izmantojot labi zināmās formulas, mēs atrodam kvadrātvienādojuma saknes

3. mērķis. Atrisiniet vienādojumu

9x 2 -12x + 4 = 0.

Risinājums: Mums ir pilns kvadrātvienādojums. Nosakiet diskriminētāju

Mēs saņēmām gadījumu, kad saknes sakrīt. Sakņu vērtības mēs atrodam pēc formulas

4. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu

x ^ 2 + x-6 = 0.

Risinājums: Gadījumos, kad pie x ir mazi koeficienti, ieteicams piemērot Vieta teorēmu. Pēc tā stāvokļa mēs iegūstam divus vienādojumus

No otrā nosacījuma mēs iegūstam, ka produktam jābūt vienādam ar -6. Tas nozīmē, ka viena no saknēm ir negatīva. Mums ir šāds iespējamais risinājumu pāris (-3; 2), (3; -2). Ņemot vērā pirmo nosacījumu, mēs noraidām otro risinājumu pāri.
Vienādojuma saknes ir vienādas

5. uzdevums. Atrodiet taisnstūra malu garumus, ja tā perimetrs ir 18 cm un laukums 77 cm 2.

Risinājums: puse no taisnstūra perimetra ir blakus esošo malu summa. Apzīmēsim x - lielo pusi, tad 18 -x ir tā mazākā puse. Taisnstūra laukums ir vienāds ar šo garumu reizinājumu:
x (18-x) = 77;
vai
x 2 -18x + 77 = 0.
Atrodiet vienādojuma diskriminantu

Aprēķiniet vienādojuma saknes

Ja x = 11, tad 18 = 7, gluži pretēji, tā ir arī taisnība (ja x = 7, tad 21-x = 9).

6. uzdevums. Faktorējiet 10x 2 -11x + 3 = 0 kvadrātvienādojumus.

Risinājums: mēs aprēķinām vienādojuma saknes, šim nolūkam atrodam diskriminantu

Aizstājiet atrasto vērtību saknes formulā un aprēķiniet

Mēs izmantojam formulu kvadrātvienādojuma paplašināšanai saknēs

Paplašinot iekavas, mēs iegūstam identitāti.

Kvadrātvienādojums ar parametru

Piemērs 1. Kādām parametra vērtībām a, vai vienādojumam (a-3) x 2 + (3-a) x-1/4 = 0 ir viena sakne?

Risinājums: tieši aizstājot vērtību a = 3, mēs redzam, ka tai nav risinājuma. Tālāk mēs izmantosim faktu, ka nulles diskriminantam vienādojumam ir viena daudzkārtības sakne 2. Izrakstīsim diskriminētāju

vienkāršojiet to un pielīdziniet to nullei

Mēs saņēmām kvadrātvienādojumu parametram a, kura risinājumu ir viegli iegūt pēc Vieta teorēmas. Sakņu summa ir 7, un to produkts ir 12. Vienkārši uzskaitot, mēs nosakām, ka skaitļi 3,4 būs vienādojuma saknes. Tā kā aprēķinu sākumā mēs jau esam noraidījuši risinājumu a = 3, vienīgais pareizais būs - a = 4. Tādējādi, ja a = 4, vienādojumam ir viena sakne.

Piemērs 2. Kādām parametra vērtībām a, vienādojums a (a + 3) x ^ 2 + (2a + 6) x-3a-9 = 0 ir vairāk nekā viena sakne?

Risinājums: vispirms apsveriet vienskaitļa punktus, tie būs vērtības a = 0 un a = -3. Kad a = 0, vienādojums tiks vienkāršots līdz formai 6x-9 = 0; x = 3/2 un būs viena sakne. Ja a = -3, mēs iegūstam identitāti 0 = 0.
Mēs aprēķinām diskriminējošo

un atrodiet a vērtības, pie kurām tas ir pozitīvs

No pirmā nosacījuma mēs iegūstam a> 3. Otrajā gadījumā mēs atrodam vienādojuma diskriminantu un saknes


Definēsim intervālus, kuros funkcija iegūst pozitīvas vērtības. Aizstājot punktu a = 0, iegūstam 3>0 . Tātad, ārpus intervāla (-3; 1/3), funkcija ir negatīva. Neaizmirstiet būtību a = 0, kas būtu jāizslēdz, jo sākotnējam vienādojumam ir viena sakne.
Rezultātā mēs iegūstam divus intervālus, kas atbilst problēmas stāvoklim

Praksē būs daudz līdzīgu uzdevumu, mēģiniet paši izdomāt uzdevumus un neaizmirstiet ņemt vērā nosacījumus, kas izslēdz viens otru. Labi apgūstiet formulas kvadrātvienādojumu risināšanai, tās bieži vien ir nepieciešamas dažādu problēmu un zinātņu aprēķinos.

Bibliogrāfiskais apraksts: Gasanovs A.R., Kuramshin A.A., El'kov A.A., Shilnenkov N.V., Ulanov D.D., Shmeleva O.V. Kvadrātvienādojumu risināšanas metodes // Jauns zinātnieks. - 2016. - Nr. 6.1. - S. 17-20..02.2019).



Mūsu projekts ir veltīts kvadrātvienādojumu risināšanas veidiem. Projekta mērķis: iemācīties atrisināt kvadrātvienādojumus veidā, kas nav iekļauts skolas programmā. Uzdevums: atrodiet visus iespējamos kvadrātvienādojumu risināšanas veidus un iemācieties tos izmantot paši un iepazīstiniet klasesbiedrus ar šīm metodēm.

Kas ir "kvadrātiskie vienādojumi"?

Kvadrātvienādojums- formas vienādojums cirvis2 + bx + c = 0, kur a, b, c- daži skaitļi ( a ≠ 0), x- nezināmais.

Skaitļus a, b, c sauc par kvadrātvienādojuma koeficientiem.

• a sauc par pirmo koeficientu;
• b sauc par otro koeficientu;
• c - brīvais biedrs.

Kurš pirmais "izgudroja" kvadrātvienādojumus?

Dažas algebriskās metodes lineāro un kvadrātvienādojumu risināšanai bija zināmas pirms 4000 gadiem Senajā Babilonā. Atrastās senās Babilonijas māla plāksnes, kas datētas kaut kur no 1800. līdz 1600. gadam pirms mūsu ēras, ir agrākais pierādījums kvadrātvienādojumu izpētei. Dažu kvadrātvienādojumu veidu risināšanas metodes ir norādītas uz tām pašām tabletēm.

Nepieciešamību atrisināt ne tikai pirmās, bet arī otrās pakāpes vienādojumus pat senos laikos radīja nepieciešamība atrisināt problēmas, kas saistītas ar militāra rakstura zemes un zemes darbu atrašanu, kā arī ar astronomijas attīstību un pati matemātika.

Noteikums šo vienādojumu risināšanai, kas izklāstīts babiloniešu tekstos, pēc būtības sakrīt ar mūsdienu, taču nav zināms, kā babilonieši nonāca pie šī noteikuma. Gandrīz visi līdz šim atrastie ķīļraksti rada problēmas tikai ar risinājumiem, kas izklāstīti recepšu veidā, bez norādījumiem par to atrašanu. Neskatoties uz augsto algebras attīstības līmeni Babilonā, ķīļrakstiem trūkst negatīva skaitļa jēdziena un vispārīgu metožu kvadrātvienādojumu risināšanai.

Babilonijas matemātiķi apmēram no 4. gadsimta pirms mūsu ēras izmantoja kvadrāta papildināšanas metodi, lai atrisinātu vienādojumus ar pozitīvām saknēm. Apmēram 300.g.pmē Eiklīds nāca klajā ar vispārīgāku ģeometriskā risinājuma metodi. Pirmais matemātiķis, kurš atrada risinājumus vienādojumam ar negatīvām saknēm algebriskās formulas veidā, bija indiešu zinātnieks Brahmagupta(Indija, VII gs.).

Brahmagupta ieskicēja vispārējo noteikumu kvadrātvienādojumu risināšanai, kas samazināts līdz vienai kanoniskai formai:

ax2 + bx = c, a> 0

Šajā vienādojumā koeficienti var būt negatīvi. Brahmagupta noteikums būtībā ir tāds pats kā mūsējais.

Indijā publiska konkurence par sarežģītām problēmām bija izplatīta. Vienā no seno indiešu grāmatām par šādiem konkursiem teikts šādi: "Kā saule aptumšo zvaigznes ar savu spožumu, tā arī mācītais cilvēks aizēnos slavu populārajos asamblejos, ierosinot un risinot algebriskās problēmas." Uzdevumi bieži bija ietērpti poētiskā formā.

Algebriskā traktātā Al-Khwarizmi dota lineāro un kvadrātvienādojumu klasifikācija. Autors saskaita 6 vienādojumu veidus, izsakot tos šādi:

1) "Kvadrāti ir vienādi ar saknēm", tas ir, ax2 = bx.

2) "Kvadrāti ir vienādi ar skaitli", tas ir, ax2 = c.

3) "Saknes ir vienādas ar skaitli", tas ir, ax2 = c.

4) “Kvadrāti un skaitļi ir vienādi ar saknēm”, ti, ax2 + c = bx.

5) "Kvadrāti un saknes ir vienādi ar skaitli", tas ir, ax2 + bx = c.

6) "Saknes un skaitļi ir vienādi ar kvadrātiem", tas ir, bx + c == ax2.

Al-Khwarizmi, kurš izvairījās no negatīvu skaitļu izmantošanas, katra no šiem vienādojumiem ir papildinājumi, nevis atņemti. Šajā gadījumā vienādojumi, kuriem nav pozitīvu risinājumu, noteikti netiek ņemti vērā. Autors izklāsta šo vienādojumu risināšanas veidus, izmantojot al-jabr un al-muqabal metodes. Viņa lēmums, protams, pilnībā nesakrīt ar mūsējo. Nemaz nerunājot par to, ka tas ir tīri retorisks, jāatzīmē, piemēram, ka, risinot nepilnīgu pirmā tipa kvadrātvienādojumu, Al-Horezmi, tāpat kā visi matemātiķi līdz 17. gadsimtam, neņem vērā nulli risinājums, iespējams, tāpēc, ka konkrētos praktiskos uzdevumos tam nav nozīmes. Risinot pilnus kvadrātvienādojumus, Al-Khwarizmi, izmantojot konkrētus skaitliskus piemērus, izklāsta to risināšanas noteikumus un pēc tam to ģeometriskos pierādījumus.

Kvadrātvienādojumu risināšanas formas pēc Al-Khwarizmi modeļa Eiropā pirmo reizi tika prezentētas 1202. gadā sarakstītajā "Abakusa grāmatā". Itāļu matemātiķis Leonards Fibonači... Autore patstāvīgi izstrādāja dažus jaunus algebriskus problēmu risināšanas piemērus un bija pirmā Eiropā, kas pietuvojās negatīvo skaitļu ieviešanai.

Šī grāmata veicināja algebrisko zināšanu izplatīšanu ne tikai Itālijā, bet arī Vācijā, Francijā un citās Eiropas valstīs. Daudzas šīs grāmatas problēmas tika pārnestas uz gandrīz visām XIV-XVII gadsimta Eiropas mācību grāmatām. Vispārējais noteikums kvadrātvienādojumu risināšanai, kas samazināts līdz vienotai kanoniskai formai x2 + bх = c ar visām iespējamām zīmju un koeficientu kombinācijām b, c, tika formulēts Eiropā 1544. gadā. M. Štefels.

Formulas atvasinājums kvadrātvienādojuma atrisināšanai vispārīgā formā ir pieejams Vjetnamā, tomēr Vjetnama atzina tikai pozitīvas saknes. Itāļu matemātiķi Tartaglia, Cardano, Bombelli starp pirmajiem XVI gs. papildus pozitīvajām un negatīvajām saknēm. Tikai 17. gs. pateicoties darbiem Žirards, Dekarts, Ņūtons un citiem zinātniekiem, kvadrātvienādojumu risināšanas metode iegūst mūsdienīgu formu.

Apsvērsim vairākus kvadrātvienādojumu risināšanas veidus.

Standarta veidi, kā atrisināt kvadrātvienādojumus no skolas programmas:

1. Faktorizējot vienādojuma kreiso pusi.
2. Pilnas kvadrātveida atlases metode.
3. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot formulu.
4. Kvadrātvienādojuma grafiskais risinājums.
5. Vienādojumu risināšana, izmantojot Vieta teorēmu.

Ļaujiet mums sīkāk pakavēties pie reducēto un nesamazināto kvadrātvienādojumu risinājuma pēc Vieta teorēmas.

Atgādinām, ka, lai atrisinātu iepriekš minētos kvadrātvienādojumus, pietiek atrast divus skaitļus, lai reizinājums būtu vienāds ar brīvo terminu, un summa būtu līdz otrajam koeficientam ar pretēju zīmi.

Piemērs.x 2 -5x + 6 = 0

Jums jāatrod skaitļi, kuru reizinājums ir 6, un summa ir 5. Šādi skaitļi būs 3 un 2.

Atbilde: x 1 = 2, x 2 =3.

Bet jūs varat izmantot šo metodi vienādojumiem, kuru pirmais koeficients nav vienāds ar vienu.

Piemērs.3x 2 + 2x-5 = 0

Mēs ņemam pirmo koeficientu un reizinām to ar brīvo terminu: x 2 + 2x-15 = 0

Šī vienādojuma saknes būs skaitļi, kuru reizinājums ir - 15, un summa ir - 2. Šie skaitļi ir 5 un 3. Lai atrastu sākotnējā vienādojuma saknes, iegūtās saknes dalās ar pirmo koeficientu .

Atbilde: x 1 = -5 / 3, x 2 =1

6. Vienādojumu risināšana ar "pārneses" metodi.

Aplūkosim kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, kur a ≠ 0.

Reizinot abas puses ar a, iegūstam vienādojumu a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Ļaujiet ax = y, no kurienes x = y / a; tad mēs nonākam pie vienādojuma y 2 + ar + ac = 0, kas ir ekvivalents dotajam. Mēs atrodam tās saknes 1 un 2, izmantojot Vieta teorēmu.

Visbeidzot, mēs iegūstam x 1 = y 1 / a un x 2 = y 2 / a.

Izmantojot šo metodi, koeficientu a reizina ar brīvo terminu, it kā uz to "izmestu", tāpēc to sauc par "mest" metodi. Šo metodi izmanto, ja, izmantojot Vieta teorēmu, jūs varat viegli atrast vienādojuma saknes un, pats galvenais, ja diskriminants ir precīzs kvadrāts.

Piemērs.2x 2 - 11x + 15 = 0.

"Pārmetīsim" koeficientu 2 uz brīvo terminu un, veicot aizstāšanu, iegūstam vienādojumu y 2 - 11y + 30 = 0.

Saskaņā ar Vieta pretējo teorēmu

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5; y 2 ​​= 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Atbilde: x 1 = 2,5; NS 2 = 3.

7. Kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības.

Dodam kvadrātvienādojumu ax 2 + bx + c = 0, un ≠ 0.

1. Ja a + b + c = 0 (tas ir, vienādojuma koeficientu summa ir vienāda ar nulli), tad x 1 = 1.

2. Ja a - b + c = 0 vai b = a + c, tad x 1 = - 1.

Piemērs.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Tā kā a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), tad x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Atbilde: x 1 = 1; NS 2 = -208/345 .

Piemērs.132x 2 + 247x + 115 = 0

Jo a -b + c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), tad x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Atbilde: x 1 = - 1; NS 2 =- 115/132

Ir arī citas kvadrātvienādojuma koeficientu īpašības. bet to izmantošana ir sarežģītāka.

8. Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu.

1. att. Nomogramma

Šī ir sena un tagad aizmirsta kvadrātvienādojumu risināšanas metode, kas novietota kolekcijas 83. lpp .: Bradis V.M. Četrciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.

XXII tabula. Nomogramma vienādojuma atrisināšanai z 2 + pz + q = 0... Šī nomogramma ļauj, neatrisinot kvadrātvienādojumu, noteikt vienādojuma saknes pēc tā koeficientiem.

Nomogrammas līknes skala ir veidota pēc formulām (1. att.):

Pieņemot OC = p, ED = q, OE = a(viss cm), no 1. att. trīsstūru līdzība SAN un CDF mēs iegūstam proporciju

no kurienes pēc aizvietošanas un vienkāršošanas seko vienādojums z 2 + pz + q = 0, un vēstuli z nozīmē jebkura izliektas skalas punkta atzīmi.

Rīsi. 2 Kvadrātvienādojumu risināšana, izmantojot nomogrammu

Piemēri.

1) Vienādojumam z 2 - 9z + 8 = 0 nomogramma dod saknes z 1 = 8,0 un z 2 = 1,0

Atbilde: 8,0; 1.0.

2) Atrisiniet vienādojumu ar nomogrammas palīdzību

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Sadaliet šī vienādojuma koeficientus ar 2, iegūstam vienādojumu z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Nomogramma dod saknēm z 1 = 4 un z 2 = 0,5.

Atbilde: 4; 0.5.

9. Ģeometriskā metode kvadrātvienādojumu risināšanai.

Piemērs.NS 2 + 10x = 39.

Oriģinālā šī problēma ir formulēta šādi: "Kvadrāts un desmit saknes ir vienādi ar 39".

Apsveriet kvadrātu ar malu x, tā sānos ir izveidoti taisnstūri tā, lai katra otra puse būtu 2,5, tāpēc katra laukums ir 2,5x. Pēc tam iegūtais skaitlis tiek papildināts ar jaunu kvadrātu ABCD, aizpildot četrus vienādus kvadrātus stūros, katra no tiem puse ir 2,5, un laukums ir 6,25

Rīsi. 3 Grafiskais veids, kā atrisināt vienādojumu x 2 + 10x = 39

Kvadrāta ABCD laukumu S var attēlot kā laukumu summu: sākotnējais kvadrāts x 2, četri taisnstūri (4 ∙ 2,5x = 10x) un četri pievienoti kvadrāti (6,25 ∙ 4 = 25), t.i. S = x 2 + 10x = 25. Aizstājot x 2 + 10x ar 39, iegūstam, ka S = 39 + 25 = 64, no kā izriet, ka kvadrāta mala ir ABCD, t.i. segments AB = 8. Sākotnējā kvadrāta vēlamajai malai x iegūstam

10. Vienādojumu risinājums, izmantojot Bezout teorēmu.

Bezout teorēma. Polinoma P (x) dalīšanas atlikums ar binomiālo x - α ir vienāds ar P (α) (t.i., P (x) vērtība pie x = α).

Ja skaitlis α ir polinoma P (x) sakne, tad šis polinoms dalās ar x -α bez atlikuma.

Piemērs.x²-4x + 3 = 0

P (x) = x²-4x + 3, α: ± 1, ± 3, α = 1, 1-4 + 3 = 0. Sadaliet P (x) ar (x-1) :( x²-4x + 3) / (x-1) = x-3

x²-4x + 3 = (x-1) (x-3), (x-1) (x-3) = 0

x-1 = 0; x = 1 vai x-3 = 0, x = 3; Atbilde: x1 = 2, x2 =3.

Izeja: Spēja ātri un efektīvi atrisināt kvadrātvienādojumus ir vienkārši nepieciešama, lai atrisinātu sarežģītākus vienādojumus, piemēram, daļējus racionālos vienādojumus, augstākas pakāpes vienādojumus, biquadratic vienādojumus un vidusskolā trigonometriskos, eksponenciālos un logaritmiskos vienādojumus. Izpētījuši visus atrastos kvadrātvienādojumu risināšanas veidus, mēs varam ieteikt klasesbiedriem papildus standarta metodēm atrisināt ar pārsūtīšanas metodi (6) un vienādojumus atrisināt pēc koeficientu īpašības (7), jo tie ir vieglāk pieejami saprašana.

Literatūra:

1. Bradis V.M. Četrciparu matemātiskās tabulas. - M., Izglītība, 1990.
2. Algebra 8. klase: mācību grāmata 8. klasei. vispārējā izglītība. iestādes Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov K. I., Suvorov S. B. ed. S. A. Telyakovsky 15. izdevums, pārskatīts. - M.: Izglītība, 2015
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 % B5_% D1% 83% D1% 80% D0% B0% D0% B2% D0% BD% D0% B5% D0% BD% D0% B8% D0% B5
4. Glazeris G.I. Matemātikas vēsture skolā. Rokasgrāmata skolotājiem. / Red. V.N. Jaunāks. - M.: Izglītība, 1964.

Ir zināms, ka tā ir īpaša versija vienādībai ax 2 + bx + c = o, kur a, b un c ir reāli koeficienti nezināmam x un kur a, o, un b un c būs nulles - vienlaicīgi vai atsevišķi. Piemēram, c = o, ≠ o vai otrādi. Mēs gandrīz atcerējāmies kvadrātvienādojuma definīciju.

Otrās pakāpes trīs termiņš ir vienāds ar nulli. Tās pirmais koeficients a ≠ o, b un c var iegūt jebkuras vērtības. Mainīgā x vērtība būs tad, kad pēc aizstāšanas tas pārvērtīsies par patiesu skaitlisku vienādību. Pakavēsimies pie reālajām saknēm, lai gan vienādojuma risinājumi var būt un Pilnīgs parasti tiek saukts par vienādojumu, kurā neviens no koeficientiem nav vienāds ar o, bet ≠ o, in,, ar ≠ o.
Atrisināsim piemēru. 2x 2 -9x -5 = ak, mēs atrodam
D = 81 + 40 = 121,
D ir pozitīvs, tāpēc ir saknes, x 1 = (9 + √121): 4 = 5, bet otrais x 2 = (9 -√121): 4 = -o, 5. Pārbaude palīdzēs pārliecināties, vai tie ir pareizi.

Šeit ir solis pa solim kvadrātvienādojuma risinājums

Izmantojot diskriminantu, jūs varat atrisināt jebkuru vienādojumu, kura kreisajā pusē ir labi zināms kvadrātiskais trijstūris. Mūsu piemērā. 2x 2 -9x -5 = 0 (cirvis 2 + bx + c = o)

Apsveriet, kādi ir nepabeigtie otrās pakāpes vienādojumi

1. cirvis 2 + in = o. Brīvais termins, koeficients c pie x 0, šeit ir vienāds ar nulli ≠ o.
   Kā atrisināt šāda veida nepilnīgu kvadrātvienādojumu? Izņemiet x no iekavām. Atcerieties, kad divu faktoru reizinājums ir nulle.
   x (ax + b) = o, tas varētu būt tad, kad x = o vai kad ax + b = o.
   Atrisinot otro, mums ir x = -v / a.
   Rezultātā mums ir saknes x 1 = 0, saskaņā ar aprēķiniem x 2 = -b / a.
2. Tagad koeficients pie x ir vienāds ar o, un c nav vienāds ar (≠) o.
   x 2 + c = o. Pārnesot с uz vienādības labo pusi, iegūstam x 2 = -с. Šim vienādojumam ir reālas saknes tikai tad, ja -c ir pozitīvs skaitlis (c x 1 tad ir vienāds ar √ (-c), attiecīgi x 2 --√ (-c). Pretējā gadījumā vienādojumam vispār nav sakņu.
3. Pēdējais variants: b = c = o, tas ir, cirvis 2 = o. Protams, šādam vienkāršam vienādojumam ir viena sakne, x = o.

Īpaši gadījumi

Mēs esam apsvēruši, kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, un tagad mēs ņemsim jebkurus veidus.

• Pilnā kvadrātiskajā vienādojumā otrais koeficients pie x ir pāra skaitlis.
  Ļaujiet k = o, 5b. Mums ir formulas diskriminanta un sakņu aprēķināšanai.
  D / 4 = k 2 - ac, saknes aprēķina kā x 1,2 = (-k ± √ (D / 4)) / a D ›o.
  x = -k / a, kad D = o.
  D ‹o sakņu nav.
• Ir doti kvadrātvienādojumi, kad koeficients pie x kvadrātā ir 1, ir ierasts tos rakstīt x 2 + px + q = o. Uz tiem attiecas visas iepriekš minētās formulas, taču aprēķini ir nedaudz vienkāršāki.
  Piemērs, x 2 -4x -9 = 0. Aprēķiniet D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2 + √13, x 2 = 2-√13.
• Turklāt to ir viegli attiecināt uz dotajiem. Tajā teikts, ka vienādojuma sakņu summa ir -p, otrais koeficients ar mīnusu (tas nozīmē pretējo zīmi), un šo sakņu reizinājums būs vienāds līdz q - brīvais termins. Pārbaudiet, cik viegli būtu mutiski noteikt šī vienādojuma saknes. Nesamazinātiem (visiem koeficientiem, kas nav vienādi ar nulli) šī teorēma ir piemērojama šādi: summa x 1 + x 2 ir vienāda ar -v / a, reizinājums x 1 x 2 ir vienāds ar c / a.

Pārtraukuma c un pirmā koeficienta a summa ir vienāda ar koeficientu b. Šādā situācijā vienādojumam ir vismaz viena sakne (viegli pierādāms), pirmais obligāti ir vienāds ar -1, bet otrais -c / a, ja tāds pastāv. Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, varat to pārbaudīt pats. Tik vienkārši kā pīrāgs. Koeficienti savā starpā var būt dažās attiecībās

• x 2 + x = o, 7x 2 -7 = o.
• Visu koeficientu summa ir o.
  Šāda vienādojuma saknes ir 1 un s / a. Piemērs, 2x 2 -15x + 13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Ir vairāki citi veidi, kā atrisināt dažādus otrās pakāpes vienādojumus. Šeit, piemēram, ir metode, kā iegūt noteiktu kvadrātu no dotā polinoma. Ir vairāki grafiski veidi. Kad jūs bieži nodarbojaties ar šādiem piemēriem, jūs iemācīsities tos "noklikšķināt" kā sēklas, jo visas metodes nāk prātā automātiski.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 vai x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Protams, iemācījies atrisināt pirmās pakāpes vienādojumus, jūs vēlaties strādāt ar citiem, jo ​​īpaši ar otrās pakāpes vienādojumiem, kurus citādi sauc par kvadrātveida.

Kvadrātvienādojumi ir ax ² + bx + c = 0 tipa vienādojumi, kur mainīgais ir x, skaitļi būs - a, b, c, kur a nav vienāds ar nulli.

Ja kvadrātvienādojumā viens vai otrs koeficients (c vai b) ir vienāds ar nulli, tad šis vienādojums attiecas uz nepilnīgu kvadrātvienādojumu.

Kā atrisināt nepilnīgu kvadrātvienādojumu, ja skolēni līdz šim ir spējuši atrisināt tikai pirmās pakāpes vienādojumus? Apsveriet dažāda veida nepabeigtus kvadrātvienādojumus un vienkāršus to risināšanas veidus.

a) Ja koeficients c ir vienāds ar 0 un koeficients b nav vienāds ar nulli, tad ax ² + bx + 0 = 0 tiek samazināts līdz formu ax ² + bx = 0 vienādojumam.

Lai atrisinātu šādu vienādojumu, jums jāzina nepilnīgas kvadrātvienādojuma atrisināšanas formula, kas sastāv no tā kreisās puses faktorizācijas un vēlāk produkta vienlīdzības nosacījuma izmantošanas līdz nullei.

Piemēram, 5x ² - 20x = 0. Veicot parasto matemātisko darbību, ņemiet vērā vienādojuma kreiso pusi: izņemiet kopējo koeficientu no iekavām

5x (x - 4) = 0

Mēs izmantojam nosacījumu, ka produkti ir vienādi ar nulli.

5 x = 0 vai x - 4 = 0

Atbilde būs: pirmā sakne ir 0; otrā sakne ir 4.

b) Ja b = 0 un brīvais termins nav vienāds ar nulli, tad vienādojums ax ² + 0x + c = 0 tiek samazināts līdz vienādojumam ax ² + c = 0. Vienādojumi tiek atrisināti divos veidos : a) paplašinot vienādojuma polinomu kreisajā pusē faktoros; b) izmantojot aritmētiskās kvadrātsaknes īpašības. Šādu vienādojumu var atrisināt ar vienu no metodēm, piemēram:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Atbilde ir: pirmā sakne ir 5/2; otrā sakne ir - 5/2.

c) ja b ir 0 un c ir 0, tad ax ² + 0 + 0 = 0 samazinās līdz vienādojumam ax ax ² = 0. Šādā vienādojumā x būs vienāds ar 0.

Kā redzat, nepilnīgiem kvadrātvienādojumiem var būt ne vairāk kā divas saknes.