Trapeces viduslīnijas jēdziens
Vispirms atcerēsimies, kādu figūru sauc par trapecveida formu.
1. definīcija
Trapece ir četrstūris, kura divas malas ir paralēlas, bet pārējās divas nav paralēlas.
Šajā gadījumā paralēlās malas sauc par trapeces pamatiem, nevis paralēlas - par trapeces malām.
2. definīcija
Trapeces viduslīnija ir līnijas segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus.
Trapeces viduslīnijas teorēma
Tagad mēs ieviešam teorēmu par trapeces viduslīniju un pierāda to ar vektoru metodi.
1. teorēma
Trapeces viduslīnija ir paralēla pamatiem un vienāda ar pusi to summas.
Pierādījums.
Dota mums trapece $ABCD$ ar bāzēm $AD\ un\ BC$. Un lai $MN$ ir šīs trapeces viduslīnija (1. att.).
1. attēls. Trapeces viduslīnija
Pierādīsim, ka $MN||AD\ un\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.
Apsveriet vektoru $\overrightarrow(MN)$. Tālāk mēs izmantojam daudzstūru likumu vektoru pievienošanai. No vienas puses, mēs to saņemam
Citā pusē
Saskaitot pēdējās divas vienādības, mēs iegūstam
Tā kā $M$ un $N$ ir trapeces malu viduspunkti, mums ir
Mēs iegūstam:
Līdz ar to
No tās pašas vienlīdzības (tā kā $\overrightarrow(BC)$ un $\overrightarrow(AD)$ ir līdzvirziena un līdz ar to kolineāri), mēs iegūstam, ka $MN||AD$.
Teorēma ir pierādīta.
Uzdevumu piemēri par trapeces viduslīnijas jēdzienu
1. piemērs
Trapeces malas ir attiecīgi $15\cm$ un $17\cm$. Trapeces perimetrs ir $52\cm$. Atrodiet trapeces viduslīnijas garumu.
Risinājums.
Trapeces viduslīniju apzīmē ar $n$.
Malu summa ir
Tāpēc, tā kā perimetrs ir $ 52\ cm $, bāzu summa ir
Tādējādi ar 1. teorēmu iegūstam
Atbilde:$10\cm$.
2. piemērs
Apļa diametra gali ir attiecīgi $9$ cm un $5$ cm no tā pieskares Atrodiet šī apļa diametru.
Risinājums.
Dosim mums apli ar centru $O$ un diametru $AB$. Uzzīmējiet tangensu $l$ un izveidojiet attālumus $AD=9\ cm$ un $BC=5\ cm$. Uzzīmēsim rādiusu $OH$ (2. att.).
2. attēls.
Tā kā $AD$ un $BC$ ir attālumi līdz pieskarei, tad $AD\bot l$ un $BC\bot l$ un tā kā $OH$ ir rādiuss, tad $OH\bot l$, tātad $OH | \left|AD\right||BC$. No tā visa mēs iegūstam, ka $ABCD$ ir trapece, bet $OH$ ir tās viduslīnija. Ar 1. teorēmu mēs iegūstam
Tiek saukts četrstūris, kuram ir tikai divas paralēlas malas trapece.
Trapeces paralēlās malas sauc par tās pamatojums, un tiek sauktas tās malas, kas nav paralēlas puses. Ja malas ir vienādas, tad šāda trapece ir vienādsānu. Attālumu starp pamatnēm sauc par trapeces augstumu.
Trapeces viduslīnija
Vidējā līnija ir segments, kas savieno trapeces malu viduspunktus. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem.
Teorēma:
Ja taisne, kas krusto vienas malas vidu, ir paralēla trapeces pamatiem, tad tā sadala uz pusēm trapeces otro malu.
Teorēma:
Viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko
MN || AB || DCAM=MD; BN=NC
MN viduslīnija, AB un CD - pamatnes, AD un BC - malas
MN=(AB+DC)/2
Teorēma:
Trapeces viduslīnijas garums ir vienāds ar tās pamatu garumu vidējo aritmētisko.
Galvenais uzdevums: Pierādīt, ka trapeces viduslīnija sadala uz pusēm segmentu, kura gali atrodas trapeces pamatu vidū.
Trīsstūra vidējā līnija
Līnijas posmu, kas savieno trijstūra abu malu viduspunktus, sauc par trijstūra viduslīniju. Tas ir paralēls trešajai malai, un tā garums ir puse no trešās malas garuma.
Teorēma: Ja taisne, kas krusto trijstūra vienas malas viduspunktu, ir paralēla otrai malai dots trīsstūris, tad tas sadala uz pusēm trešo pusi.
AM = MC un BN = NC =>
Trīsstūra un trapecveida viduslīnijas īpašību piemērošana
Segmenta sadalīšana noteiktā skaitā vienādās daļās.
Uzdevums: Sadaliet segmentu AB 5 vienādās daļās.
Risinājums:
Lai p ir nejaušs stars, kura sākums ir punkts A un kas neatrodas uz taisnes AB. Mēs secīgi noliekam malā 5 vienādus segmentus uz p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Mēs savienojam A 5 ar B un novelkam līnijas caur A 4 , A 3 , A 2 un A 1, kas ir paralēlas A 5 B. Tās krustojas AB attiecīgi B 4 , B 3 , B 2 un B 1 . Šie punkti sadala segmentu AB 5 vienādās daļās. Patiešām, no trapeces BB 3 A 3 A 5 mēs redzam, ka BB 4 = B 4 B 3 . Tādā pašā veidā no trapeces B 4 B 2 A 2 A 4 iegūstam B 4 B 3 = B 3 B 2
Kamēr no trapeces B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Tad no B 2 AA 2 izriet, ka B 2 B 1 = B 1 A. Noslēgumā mēs iegūstam:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Ir skaidrs, ka, lai sadalītu segmentu AB citā vienādās daļās, mums ir jāprojicē vienāds skaits vienādu segmentu uz staru p. Un pēc tam turpiniet iepriekš aprakstītajā veidā.
Šajā rakstā jums ir izveidota vēl viena uzdevumu izlase ar trapecveida formu. Nosacījumi ir kaut kā saistīti ar tā viduslīniju. Uzdevumu veidi tiek ņemti no tipisko uzdevumu atvērtās bankas. Ja vēlaties, varat atsvaidzināt teorētiskās zināšanas. Emuārā jau ir apskatīti uzdevumi, kuru nosacījumi ir saistīti, kā arī. Īsi par vidējo līniju:
Trapeces viduslīnija savieno malu viduspunktus. Tas ir paralēls bāzēm un vienāds ar to pussummu.
Pirms problēmu risināšanas apskatīsim teorētisku piemēru.
Dota trapecveida ABCD. Diagonāle AC, kas krustojas ar viduslīniju, veido punktu K, diagonāle BD – punktu L. Pierādīt, ka nogrieznis KL ir vienāds ar pusi no pamatu starpības.
Vispirms atzīmēsim faktu, ka trapeces viduslīnija sadala uz pusēm jebkuru segmentu, kura gali atrodas uz tā pamatiem. Šis secinājums liecina par sevi. Iedomājieties segmentu, kas savieno divus pamatu punktus, un tas sadalīs šo trapeci divos citos. Izrādās, ka segments, kas ir paralēls trapeces pamatiem un iet cauri malas vidum no otras puses, izies cauri tās vidum.
Tas ir balstīts arī uz Thales teorēmu:
Ja vienā no divām taisnēm secīgi tiek nolikti vairāki vienādi segmenti un caur to galiem tiek novilktas paralēlas līnijas, kas krustojas ar otro taisni, tad otrajā taisnē tās nogriezīs vienādus segmentus.
Tas ir, iekšā Šis gadījums K ir AC vidus un L ir BD vidus. Tādējādi EK ir trijstūra ABC viduslīnija, LF ir trijstūra DCB viduslīnija. Saskaņā ar trijstūra viduslīnijas īpašībām:
Tagad segmentu KL varam izteikt bāzēs:
Pierādīts!
Šis piemērs nav tikai dots. Uzdevumos par neatkarīgs lēmums ir tāds uzdevums. Tikai tajā nav teikts, ka segments, kas savieno diagonāļu viduspunktus, atrodas viduslīnijā. Apsveriet uzdevumus:
27819. Atrast trapeces viduslīniju, ja tās pamati ir 30 un 16.
Mēs aprēķinām pēc formulas:
27820. Trapeces viduslīnija ir 28 un mazākā bāze ir 18. Atrodiet trapeces lielāko pamatu.
Izteiksim lielāku bāzi:
Tādējādi:
27836. Perpendikuls nomests no strupa leņķa augšas uz lielāku pamatni vienādsānu trapece, sadala to daļās, kuru garums ir 10 un 4. Atrodiet šīs trapeces viduslīniju.
Lai atrastu vidējo līniju, jums jāzina pamati. Bāze AB ir viegli atrodama: 10+4=14. Atrodiet DC.
Konstruēsim otro perpendikulu DF:
Segmenti AF, FE un EB būs attiecīgi vienādi ar 4, 6 un 4. Kāpēc?
Vienādsānu trapecē perpendikuli, kas nolaisti uz lielāko pamatni, sadala to trīs segmentos. Divas no tām, kas ir nogrieztas kājas taisnie trīsstūri ir vienādi viens ar otru. Trešais segments ir vienāds ar mazāko pamatni, jo, veidojot norādītos augstumus, tiek izveidots taisnstūris, un taisnstūrī pretējās malas ir vienādas. Šajā uzdevumā:
Tādējādi DC=6. Mēs aprēķinām:
27839. Trapeces pamati ir proporcijā 2:3, un viduslīnija ir 5. Atrodiet mazāko pamatni.
Ieviesīsim proporcionalitātes koeficientu x. Tad AB = 3x, DC = 2x. Mēs varam rakstīt:
Tāpēc mazākā bāze ir 2∙2=4.
27840. Vienādsānu trapeces perimetrs ir 80, tās viduslīnija ir vienāda ar sānu malu. Atrodiet trapeces malu.
Pamatojoties uz nosacījumu, mēs varam rakstīt:
Ja mēs apzīmējam vidējo līniju caur x, mēs iegūstam:
Otro vienādojumu jau var uzrakstīt šādi:
27841. Trapeces viduslīnija ir 7, un viens tās pamats ir par 4 vairāk nekā otrs. Atrodiet trapeces lielāko pamatu.
Apzīmēsim mazāko bāzi (DC) kā x, tad lielākā (AB) būs vienāda ar x + 4. Mēs varam ierakstīt
Mēs sapratām, ka mazākā bāze ir agrīna par piecām, kas nozīmē, ka lielākā ir vienāda ar 9.
27842. Trapeces viduslīnija ir 12. Viena no diagonālēm sadala to divos posmos, kuru starpība ir 2. Atrodi trapeces lielāko pamatu.
Mēs varam viegli atrast trapecveida lielāko pamatu, ja aprēķinām segmentu EO. Tā ir vidējā līnija trijstūrī ADB, un AB = 2∙EO.
Kas mums ir? Saka, ka viduslīnija ir vienāda ar 12 un starpība starp segmentiem EO un OF ir vienāda ar 2. Varam pierakstīt divus vienādojumus un atrisināt sistēmu:
Ir skaidrs, ka šajā gadījumā ir iespējams izvēlēties skaitļu pāri bez aprēķiniem, tie ir 5 un 7. Bet, neskatoties uz to, mēs atrisināsim sistēmu:
Tātad EO=12–5=7. Tādējādi lielākā bāze ir vienāda ar AB=2∙EO=14.
27844. Vienādsānu trapecē diagonāles ir perpendikulāras. Trapeces augstums ir 12. Atrodi tās viduslīniju.
Tūlīt mēs atzīmējam, ka augstums, kas novilkts caur diagonāļu krustpunktu vienādsānu trapecē, atrodas uz simetrijas ass un sadala trapeci divās vienādās taisnstūrveida trapecēs, tas ir, šī augstuma pamatnes ir sadalītas uz pusēm.
Šķiet, ka, lai aprēķinātu vidējo līniju, mums ir jāatrod pamatojums. Šeit rodas neliels strupceļš ... Kā, zinot augstumu, šajā gadījumā aprēķināt bāzes? Un nē kā! Var uzbūvēt daudzas šādas trapeces ar fiksētu augstumu un diagonālēm, kas krustojas 90 grādu leņķī. Kā būt?
Apskatiet trapeces viduslīnijas formulu. Galu galā mums nav jāzina pašas bāzes, pietiek zināt to summu (vai pussummu). To mēs varam darīt.
Tā kā diagonāles krustojas taisnā leņķī, tiek veidoti vienādsānu taisnstūri ar augstumu EF:
No iepriekš minētā izriet, ka FO=DF=FC un OE=AE=EB. Tagad pierakstīsim, ar ko augstums, kas izteikts caur segmentiem DF un AE, ir vienāds ar:
Tātad vidējā līnija ir 12.
* Kopumā tā ir problēma, kā jūs saprotat, mutiskajam kontam. Bet, esmu pārliecināts, prezentēts detalizēts skaidrojums nepieciešams. Un tā... Ja paskatās uz figūru (ar nosacījumu, ka būvniecības laikā tiek ievērots leņķis starp diagonālēm), uzreiz iekrīt acīs vienādība FO=DF=FC, un OE=AE=EB.
Kā daļa no prototipiem ir arī uzdevumu veidi ar trapecveida formām. Tā tika uzbūvēta uz loksnes šūnā un ir jāatrod vidējā līnija, šūnas mala parasti ir 1, bet var būt arī cita vērtība.
27848. Atrast trapeces viduslīniju ABCD ja kvadrātveida šūnu malas ir 1.
Tas ir vienkārši, mēs aprēķinām bāzes pa šūnām un izmantojam formulu: (2 + 4) / 2 = 3
Ja pamatnes ir veidotas leņķī pret šūnu režģi, tad ir divi veidi. Piemēram!
Nodarbības mērķi:
1) iepazīstināt studentus ar trapeces viduslīnijas jēdzienu, apsvērt tās īpašības un pierādīt tās;
2) iemācīt veidot trapeces viduslīniju;
3) attīstīt studentu prasmi izmantot trapeces viduslīnijas definīciju un trapeces viduslīnijas īpašības, risinot uzdevumus;
4) turpināt attīstīt skolēnu prasmi runāt pareizi, izmantojot nepieciešamos matemātikas terminus; pierādīt savu viedokli;
5) attīstīties loģiskā domāšana, atmiņa, uzmanība.
Nodarbību laikā
1. Mājas darbu pārbaude notiek nodarbības laikā. Mājas darbs bija mutisks, atcerieties:
a) trapeces definīcija; trapeces veidi;
b) trijstūra viduslīnijas noteikšana;
c) trijstūra viduslīnijas īpašība;
d) trijstūra viduslīnijas zīme.
2. Jauna materiāla apgūšana.
a) Trapecveida ABCD ir parādīts uz tāfeles.
b) Skolotājs piedāvā atcerēties trapeces definīciju. Katram rakstāmgaldam ir mājienu diagramma, kas palīdz atcerēties pamatjēdzienus tēmā “Trapece” (skat. 1. pielikumu). Katram rakstāmgaldam tiek izsniegts 1. pielikums.
Skolēni savā piezīmju grāmatiņā uzzīmē trapecveida ABCD.
c) Skolotājs iesaka atcerēties, kurā tēmā tika sastapts viduslīnijas jēdziens (“Trīsstūra viduslīnija”). Studenti atceras trijstūra viduslīnijas definīciju un tās īpašības.
e) Pierakstiet trapeces viduslīnijas definīciju, attēlojot to piezīmju grāmatiņā.
vidējā līnija Trapeciju sauc par segmentu, kas savieno tā malu viduspunktus.
Trapeces viduslīnijas īpašība šajā posmā paliek nepierādīta, tāpēc nākamais nodarbības posms ietver darbu pie trapeces viduslīnijas īpašību pierādīšanas.
Teorēma. Trapeces viduslīnija ir paralēla tās pamatiem un vienāda ar pusi to summas.
Ņemot vērā: ABCD - trapecveida,
MN - vidējā līnija ABCD
Pierādīt, Kas:
1. BC || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Mēs varam pierakstīt dažas sekas, kas izriet no teorēmas nosacījumiem:
AM=MB, CN=ND, BC || AD.
Nav iespējams pierādīt prasīto, pamatojoties tikai uz uzskaitītajiem īpašumiem. Jautājumu un vingrinājumu sistēmai jārada studenti vēlme savienot trapecveida viduslīniju ar kāda trijstūra viduslīniju, kura īpašības viņi jau zina. Ja priekšlikumu nav, tad varam uzdot jautājumu: kā izveidot trijstūri, kuram segments MN būtu viduslīnija?
Vienam no gadījumiem uzrakstīsim papildu konstrukciju.
Novelkam taisni BN, kas krusto malas AD pagarinājumu punktā K.
Parādās papildu elementi - trīsstūri: ABD, BNM, DNK, BCN. Ja mēs pierādīsim, ka BN = NK, tad tas nozīmēs, ka MN ir ABD viduslīnija, un tad mēs varam izmantot trijstūra viduslīnijas īpašību un pierādīt nepieciešamo.
Pierādījums:
1. Apsveriet BNC un DNK, tajos:
a) CNB =DNK (vertikālo leņķu īpašība);
b) BCN = NDK (iekšējo šķērsguluma leņķu īpašība);
c) CN = ND (pēc teorēmas hipotēzes izriet).
Tātad BNC = DNK (sānos un divos tai blakus esošajos stūros).
Q.E.D.
Pierādījumu var veikt mutiski stundā, un mājās atjaunot un pierakstīt piezīmju grāmatiņā (pēc skolotāja ieskatiem).
Jāpiemin arī citi iespējamie šīs teorēmas pierādīšanas veidi:
1. Uzzīmējiet vienu no trapeces diagonālēm un izmantojiet trijstūra viduslīnijas zīmi un īpašību.
2. Palaist CF || BA un apsveriet paralelogramu ABCF un DCF.
3. Palaist EF || BA un apsveriet FND un ENC vienlīdzību.
g) Šajā posmā tas ir iestatīts mājasdarbs: 84. lpp., mācību grāmata, izd. Atanasjans L.S. (trapeces viduslīnijas īpašības pierādījums vektora veidā), ierakstiet piezīmju grāmatiņā.
h) Atrisinām trapeces viduslīnijas definīcijas un īpašību izmantošanas uzdevumus atbilstoši gatavajiem rasējumiem (skat. 2. pielikumu). Katram studentam tiek izsniegts 2. pielikums, un uzdevumu risinājums tiek sastādīts uz vienas lapas īsā formā.
Trapeces laukums. Sveiciens! Šajā publikācijā mēs apsvērsim šo formulu. Kāpēc tas tā ir un kā to saprast? Ja ir izpratne, tad tā nav jāmācās. Ja jūs vienkārši vēlaties redzēt šo formulu un to, kas ir steidzams, varat nekavējoties ritināt lapu uz leju))
Tagad detalizēti un kārtībā.
Trapece ir četrstūris, šī četrstūra divas malas ir paralēlas, pārējās divas nav. Tie, kas nav paralēli, ir trapeces pamati. Pārējās divas sauc par pusēm.
Ja malas ir vienādas, tad trapeci sauc par vienādsānu. Ja viena no malām ir perpendikulāra pamatnēm, tad šādu trapecveida formu sauc par taisnstūrveida.
IN klasiskā forma trapece ir attēlota šādi - lielāka pamatne ir apakšā, attiecīgi mazāka ir augšpusē. Taču neviens neliedz to attēlot un otrādi. Šeit ir skices:
Nākamais svarīgais jēdziens.
Trapeces viduslīnija ir segments, kas savieno malu viduspunktus. Vidējā līnija ir paralēla trapeces pamatiem un ir vienāda ar to pussummu.
Tagad iedziļināsimies dziļāk. Kāpēc tieši?
Apsveriet trapecveida formu ar pamatnēm a un b un ar vidējo līniju l, un veiciet dažas papildu konstrukcijas: velciet taisnas līnijas caur pamatnēm un perpendikulu caur viduslīnijas galiem, līdz tās krustojas ar pamatnēm:
*Virsotņu un citu punktu burtu apzīmējumi netiek ievadīti apzināti, lai izvairītos no liekiem apzīmējumiem.
Paskatieties, trijstūri 1 un 2 ir vienādi saskaņā ar otro trijstūra vienādības zīmi, trijstūri 3 un 4 ir vienādi. No trīsstūru vienādības izriet elementu, proti, kāju, vienlīdzība (tās ir norādītas attiecīgi zilā un sarkanā krāsā).
Tagad uzmanību! Ja mēs garīgi “nogriezīsim” zilos un sarkanos segmentus no apakšējās pamatnes, tad mums būs segments (tā ir taisnstūra mala), kas vienāds ar viduslīniju. Tālāk, ja nogrieztos zilos un sarkanos segmentus “līmēsim” pie trapeces augšējās pamatnes, tad iegūsim arī segmentu (tā ir arī taisnstūra mala), kas vienāds ar trapeces viduslīniju.
Sapratu? Izrādās, ka bāzu summa būs vienāda ar divām trapeces mediānām:
Skatiet citu skaidrojumu
Darīsim šādi - izveidosim taisni, kas iet caur trapeces apakšējo pamatni, un taisni, kas iet caur punktiem A un B:
Mēs iegūstam trijstūri 1 un 2, tie ir vienādi sānu un blakus leņķos (otra trijstūra vienādības zīme). Tas nozīmē, ka iegūtais segments (skicē tas ir atzīmēts zilā krāsā) ir vienāds ar trapeces augšējo pamatni.
Tagad apsveriet trīsstūri:
*Šīs trapeces viduslīnija un trijstūra viduslīnija sakrīt.
Ir zināms, ka trīsstūris ir vienāds ar pusi no pamatnes, kas ir paralēla tam, tas ir:
Labi, sapratu. Tagad par trapeces laukumu.
Trapeces laukuma formula:
Viņi saka: trapeces laukums ir vienāds ar pusi no tās pamatu un augstuma summas.
Tas ir, izrādās, ka tas ir vienāds ar viduslīnijas un augstuma reizinājumu:
Jūs droši vien jau pamanījāt, ka tas ir acīmredzams. Ģeometriski to var izteikt šādi: ja mēs garīgi nogriežam no trapeces trijstūri 2 un 4 un novietojam tos attiecīgi uz trijstūriem 1 un 3:
Tad mēs iegūstam taisnstūri apgabalā vienāds ar laukumu mūsu trapece. Šī taisnstūra laukums būs vienāds ar viduslīnijas un augstuma reizinājumu, tas ir, mēs varam rakstīt:
Bet jēga šeit, protams, nav rakstīšanā, bet gan izpratnē.
Lejupielādēt (skatīt) raksta materiālu *pdf formātā
Tas ir viss. Veiksmi tev!
Ar cieņu Aleksandrs.
Notiek ielāde...