Polinomu dalīšana ar “kolonnu” (“stūri”). Polinomu dalīšana ar stūri Sadaliet izteiksmi ar izteiksmi tiešsaistē

Paziņojums

atlikumu nepilnīgs privātais.

komentēt

Jebkuriem polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ ($B(x)$ pakāpe ir lielāka par 0), ir unikāli polinomi $Q(x)$ un $R(x)$ no paziņojuma nosacījums.

Polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalījuma atlikums ar $x^(2) + 1$ ir vienāds ar $3x + 4$:$x^(4) + 3x ^(3) +5 = (x^(2) + 3x +1) (x^(2) + 1) +3x + 4,$
Polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalījuma atlikums ar $x^(4) + 1$ ir vienāds ar $3x^(3) + 4$:$x^( 4) + 3x^(3) +5 = 1 \cpunkts (x^(2) + 1) +3x^(3) + 4,$
Polinoma $x^(4) + 3x^(3) +5$ dalījuma atlikums ar $x^(6) + 1$ ir vienāds ar $x^(4) + 3x^(3) +5 $:$x^(4) + 3x^(3) +5 = 0 \cdot (x^(6) + 1) + x^(4) + 3x^(3) +5.$

Paziņojums

Jebkuriem diviem polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ (kur polinoma $B(x)$ pakāpe nav nulle), ir attēlojums polinoma $A(x)$ formā. formā $A(x) = Q (x)B(x) + R(x)$, kur $Q(x)$ un $R(x)$ ir polinomi un $R(x)$ pakāpe ir mazāks par $B(x).$ pakāpi

Pierādījums

Ar indukcijas palīdzību pierādīsim apgalvojumu par polinoma $A(x).$ pakāpi. Apzīmēsim to $n$. Ja $n = 0$, apgalvojums ir patiess: $A(x)$ var uzrakstīt kā $A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$ Tagad ļaujiet apgalvojumam pierādīt, ka polinomi ar pakāpi $n \ leq m$. Pierādīsim apgalvojumu polinomiem ar pakāpi $k= n+1.$

Lai polinoma $B(x)$ pakāpe ir vienāda ar $m$. Apskatīsim trīs gadījumus: $k< m$, $k = m$ и $k >m$ un pierādiet apgalvojumu par katru no tiem.

$k< m$
Polinomu $A(x)$ var attēlot kā
$A(x) = 0 \cdot B(x) + A(x).$
Apstiprināšana ir pabeigta.
$k = m$
Ļaujiet polinomiem $A(x)$ un $B(x)$ būt formā
$A(x) = a_(n+1)x^(n+1) + a_(n)x^(n) + \punkti + a_(1)x + a_(0), \: \mbox(kur ) \: a_(n+1) \neq 0;$
$B(x) = b_(n+1)x^(n+1) + b_(n)x^(n) + \punkti + b_(1)x + b_(0), \: \mbox(kur ) \: b_(n+1) \neq 0.$
Atveidosim $A(x)$ kā
$A(x) = \dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - \Big(\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1)) B(x) - A(x)\Big).$
Ņemiet vērā, ka polinoma $\dfrac(a_(n+1))(b_(n+1))B(x) - A(x)$ pakāpe nav lielāka par $n+1$, tad šī ir nepieciešams attēlojums, un apgalvojums ir patiess.
$k > m$
Atveidosim polinomu $A(x)$ formā
$A(x) = x(a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \punkti + a_(1)) + a_(0), \: \mbox (kur) \: a_(n+1) \neq 0.$
Apsveriet polinomu $A"(x) = a_(n+1)x^(n) + a_(n)x^(n-1) + \dots + a_(1).$ Tam indukcijas hipotēze ir apmierināts, tāpēc to var attēlot kā $A"(x) = Q"(x)B(x) + R"(x)$, kur polinoma $R"(x)$ pakāpe ir mazāka par $m $, tad $A(x) $ attēlojumu var pārrakstīt kā
$A(x) = x(Q"(x)B(x) + R"(x)) + a_(0) = xQ"(x)B(x) + xR"(x) + a_(0) .$
Ņemiet vērā, ka polinoma $xR"(x)$ pakāpe ir mazāka par $m+1$, t.i., mazāka par $k$. Tad indukcijas hipotēze attiecas uz $xR"(x)$ un to var attēlot kā $ xR "(x) = Q""(x)B(x) + R""(x)$, kur polinoma $R""(x)$ pakāpe ir mazāka par $m$. Pārrakstīsim attēlojumu par $A(x)$ Kā
$A(x) = xQ"(x)B(x) + Q""(x)B(x) + R""(x) + a_(0) =$
$= (xQ"(x)+xQ""(x))B(x) + R""(x) + a_(0).$
Polinoma $R""(x) + a_(0)$ pakāpe ir mazāka par $m$, tāpēc apgalvojums ir patiess.

Apgalvojums ir pierādīts.

Šajā gadījumā tiek izsaukts polinoms $R(x)$ atlikumu dalot $A(x)$ ar $B(x)$ un $Q(x)$ - nepilnīgs privātais.

Ja atlikums $R(x)$ ir nulles polinoms, tad tiek uzskatīts, ka $A(x)$ dalās ar $B(x)$.

Ir sniegts pierādījums, ka nepareizu daļskaitli, kas sastāv no polinomiem, var attēlot kā polinoma un pareizas daļas summu. Detalizēti tiek analizēti piemēri polinomu dalīšanai ar stūri un reizināšanai ar kolonnu.

Saturs

Teorēma

Ļaujiet P k (x),Qn (x)- polinomi mainīgajā x ar attiecīgi k un n pakāpēm ar k ≥ n. (x) Tad polinoms P k
(1) var attēlot vienīgajā veidā šādā formā: Pk,
(x) = S k-n (x) Q n (x) + U n-1 (x) (x) kur S k-n - polinoms ar pakāpi k-n, U n- 1(x) 1 - polinoms, kura pakāpe nav augstāka par n-

Pierādījums

, vai nulle.
;
;
;
,
Pēc polinoma definīcijas:

kur p i, q i ir zināmie koeficienti, s i, u i ir nezināmie koeficienti.
.
Iepazīstinām ar apzīmējumu: (1) :
;
(2) .
Aizstāsim 1 Pirmais vārds labajā pusē ir k pakāpes polinoms.
Otrā un trešā vārda summa ir polinoms, kura pakāpe nav augstāka par k -
.

Pielīdzināsim koeficientus x k: (2) :
.
p k = s k-n q n .
Tādējādi s k-n = p k / q n. 1 Pārveidosim vienādojumu
(3) .

Ieviesīsim apzīmējumu: . (1) Tā kā s k-n = p k / q n, tad koeficients x k ir vienāds ar nulli. Tāpēc - tas ir pakāpes polinoms, kas nav augstāks par k - 1 , . Tad iepriekšējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:
,
Šim vienādojumam ir tāda pati forma kā vienādojumam - polinoms ar pakāpi k-n, U n-.

, kļuva tikai k vērtība 0 mazāk. Atkārtojot šo procedūru k-n reizes, iegūstam vienādojumu:

no kura nosakām polinoma U n- koeficientus

Tātad, mēs esam noteikuši visus nezināmos koeficientus s i, ul. (1) Turklāt s k-n ≠ (x).
(4) .
Pēc analoģijas ar decimālskaitļiem S k-n (x) ko sauc par daļskaitļa vai koeficienta veselo skaitļu daļu, U n- - polinoms ar pakāpi k-n, U n-- divīzijas atlikusī daļa. Polinomu daļu, kurā polinoma pakāpe skaitītājā ir mazāka par polinoma pakāpi saucējā, sauc par pareizu daļu. Polinomu daļu, kurā polinoma pakāpe skaitītājā ir lielāka vai vienāda ar polinoma pakāpi saucējā, sauc par nepareizo daļu.

Vienādojums (4) parāda, ka jebkuru nepareizu polinomu daļu var vienkāršot, attēlojot to kā veselas skaitļa daļas un pareizās daļas summu.

To pamatā veseli decimālskaitļi ir polinomi, kuros mainīgais ir vienāds ar skaitli 10 .
.
Piemēram, ņemiet numuru 265847. To var attēlot šādi: 10 Tas ir, tas ir piektās pakāpes polinoms in

Skaitļi 2, 6, 5, 8, 4, 7 ir skaitļa paplašināšanas koeficienti 10 pakāpēs.

Tāpēc dalīšanas likumu (dažreiz sauktu par garo dalīšanu), kas attiecas uz skaitļu dalīšanu, var piemērot polinomiem. Vienīgā atšķirība ir tā, ka, dalot polinomus, skaitļi, kas ir lielāki par deviņiem, nav jāpārvērš par lielākajiem cipariem. Apskatīsim polinomu sadalīšanas procesu ar stūri, izmantojot konkrētus piemērus. 4 ≥ 2 Piemērs polinomu dalīšanai ar stūri

Šeit skaitītājs satur ceturtās pakāpes polinomu. Saucējs ir otrās pakāpes polinoms. Kopš

1.1 , tad daļa ir nepareiza. Atlasīsim visu daļu, atdalot polinomus ar stūri (kolonnā):

1.2 Šeit ir detalizēts sadalīšanas procesa apraksts. Mēs rakstām sākotnējos polinomus kreisajā un labajā kolonnā. Zem saucēja polinoma labajā kolonnā novelciet horizontālu līniju (stūri). Zem šīs līnijas, zem stūra, būs vesela frakcijas daļa. Mēs atrodam visas daļas pirmo terminu (zem stūra). Lai to izdarītu, sadaliet skaitītāja galveno vārdu ar saucēja galveno vārdu: . Pavairot 2x2:
ar x

1.3 2–3 x + 5

.

. Mēs ierakstām rezultātu kreisajā kolonnā:
.

Mēs ņemam polinomu starpību kreisajā kolonnā: 3 Tātad, mēs saņēmām starprezultātu: 2 Labajā pusē esošā daļa ir nepareiza, jo polinoma pakāpe skaitītājā (
2.1 ) ir lielāks vai vienāds ar polinoma pakāpi saucējā (

2.2 ). Mēs atkārtojam aprēķinus. Tikai tagad daļskaitļa skaitītājs atrodas kreisās kolonnas pēdējā rindā.

2.3 Dalīsim skaitītāja vadošo vārdu ar saucēja vadošo vārdu: ;

Reiziniet ar saucēju: ;
.

Un atņemiet no kreisās kolonnas pēdējās rindas: ;
3.1 ;
3.2 ;
3.3 ;

Starprezultāts:
.
Mēs atkārtojam aprēķinus vēlreiz, jo labajā pusē ir nepareiza daļa. 1 < 2 .

;
Tāpēc frakcija ir pareiza. 2 x 2 - 4 x + 1
- šī ir vesela daļa; 8 x-

- nodaļas atlikums.

2. piemērs
.

Atlasiet visu daļskaitļa daļu un atrodiet dalījuma atlikušo daļu:

Mēs veicam tādas pašas darbības kā iepriekšējā piemērā:
.

Šeit atlikušā dalījuma daļa ir nulle:

Polinomu reizināšana ar kolonnu

Varat arī reizināt polinomus kolonnā, līdzīgi kā reizināt veselus skaitļus. Apskatīsim konkrētus piemērus.

Piemērs polinomu reizināšanai ar kolonnu
.

2.1
.

2.2
.

2.3
.
Atrodiet polinomu reizinājumu:

3
;
;
;
.

Rezultātu ierakstām kolonnā, izlīdzinot grādus x.

- nodaļas atlikums.

Ņemiet vērā, ka var uzrakstīt tikai koeficientus un var izlaist mainīgā x pakāpes. Tad reizināšana ar polinomu kolonnu izskatīsies šādi:
.

Atrodiet polinomu reizinājumu kolonnā:

Reizinot polinomus kolonnā, ir svarīgi vienu zem otra rakstīt vienādus mainīgā x pakāpjus. Ja trūkst dažu x pakāpju, tie ir skaidri jāuzraksta, jāreizina ar nulli vai jāatstāj tukšas vietas.
.
Šajā piemērā trūkst dažu grādu. Tāpēc mēs tos rakstām skaidri, reizinot ar nulli:

1 Polinomu reizināšana kolonnā.

2.1 Mēs ierakstām sākotnējos polinomus vienu zem otra kolonnā un novelkam līniju.
.
Reiziniet otrā polinoma mazāko daļu ar pirmo polinomu:

2.2 Mēs ierakstām rezultātu kolonnā.

2.3 Nākamais otrā polinoma loceklis ir nulle. Tāpēc arī tā reizinājums ar pirmo polinomu ir nulle. Nulles rindiņu var nerakstīt.
.
Atrodiet polinomu reizinājumu:

2.3 Reiziniet otrā polinoma nākamo vārdu ar pirmo polinomu:
.
Atrodiet polinomu reizinājumu:

3 Mēs reizinām otrā polinoma nākamo (augstāko) vārdu ar pirmo polinomu:
.

Kad visi otrā polinoma termini ir reizināti ar pirmo, novelciet līniju un pievienojiet terminus ar vienādām pakāpēm x:

Vispārējs skats uz monomu f(x)=ax n

-, Kur: a - koeficients, kas var piederēt jebkurai no kopām

-N, Z, Q, R, C x

-- mainīgs n eksponents, kas pieder kopai

Divi monomi ir līdzīgi, ja tiem ir viens un tas pats mainīgais un vienāds eksponents. Piemēri: 3x2 Un; -5x2 3x2 ½ x 4

2√3x4
Monomu summu, kas nav līdzīgas viena otrai, sauc par polinomu (vai polinomu). Šajā gadījumā monomi ir polinoma vārdi. Polinomu, kas satur divus vārdus, sauc par binomiālu (vai binomiālu). Piemērs:
p(x)=3x2-5; h(x)=5x-1

Polinomu, kas satur trīs vārdus, sauc par trinomu.

Polinoma ar vienu mainīgo vispārīgs skats

Kur: a n ,a n-1 ,a n-2 ,...,a 1 ,a 0
- polinoma koeficienti. Tie var būt dabiski, veseli skaitļi, racionāli, reāli vai kompleksi skaitļi.- termina koeficients ar lielāko eksponentu (vadošais koeficients)
a 0- termina koeficients ar mazāko eksponentu (brīvais termins vai konstante)
- mainīgs- polinoma pakāpe

1. piemērs
p(x)=5x3 -2x2 +7x-1

trešās pakāpes polinoms ar koeficientiem 5, -2, 7 3x2 -1
5 - vadošais koeficients
-1 - bezmaksas dalībnieks
N, Z, Q, R, C x

2. piemērs
h(x)=-2√3x4 +½x-4

ceturtās pakāpes polinoms ar koeficientiem -2√3,½ 3x2 -4
-2√3 - vadošais koeficients
-4 - bezmaksas dalībnieks
N, Z, Q, R, C x

Polinomu dalījums

p(x) 3x2 q(x)- divi polinomi:
p(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x 1 +a 0
q(x)=a p x p +a p-1 x p-1 +...+a 1 x 1 +a 0

Lai atrastu dalījuma koeficientu un atlikumu p(x) ieslēgts q(x), jums jāizmanto šāds algoritms:

Grāds p(x) jābūt lielākam vai vienādam ar q(x).
Abi polinomi jāraksta pakāpeniski dilstošā secībā. Ja iekšā p(x) nav termina ar kādu pakāpi, tas jāpievieno ar koeficientu 0.
Vadošais biedrs p(x) dalīts ar vadošo terminu q(x), un rezultāts tiek rakstīts zem dalīšanas līnijas (saucējā).
Reiziniet rezultātu ar visiem vārdiem q(x) un ierakstiet rezultātu ar pretējām zīmēm zem noteikumiem p(x) ar attiecīgiem grādiem.
Pievienojiet terminus ar vienādām pilnvarām pēc vārda.
Atlikušos nosacījumus piešķiram rezultātam p(x).
Sadaliet iegūtā polinoma vadošo vārdu ar polinoma pirmo biedru q(x) un atkārtojiet 3.-6. darbību.
Šo procedūru atkārto, līdz jauniegūtā polinoma pakāpe ir mazāka par q(x). Šis polinoms būs sadalījuma atlikums.
Polinoms, kas rakstīts zem dalīšanas līnijas, ir dalīšanas (daļņa) rezultāts.

1. piemērs
1. un 2. darbība) $p(x)=x^5-3x^4+2x^3+7x^2-3x+5 \\ q(x)=x^2-x+1$

3) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

4) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

5) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

6) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

7) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 +x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

8) x 5 -3x4 +2x 3 +7x 2 -3x+5

/ -2x 4 -x 3 +7x 2 -3x+5

2x4 -2x3 +2x2

/ -x 3 +9x 2 -3x+5

/ 6x-3 STOP

x 3 -2x 2 -x+8 --> C(x) Privāts

Atbilde: p(x) = x 5 - 3x 4 + 2x 3 + 7x 2 - 3x + 5 = (x 2 - x + 1) (x 3 - 2x 2 - x + 8) + 6x - 3

2. piemērs
p(x)=x 4 +3x 2 +2x-8
q(x)=x 2 -3x

X 4 +0x 3 +3x 2 +2x-8

/ 3x 3 +3x 2 +2x-8

/ 38x-8 r(x) STOP

x 2 +3x+12 --> C(x) koeficients

Atbilde: x 4 + 3x 2 + 2x - 8 = (x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 12) + 38x - 8

Dalīšana ar pirmās pakāpes polinomu

Šo sadalīšanu var veikt, izmantojot iepriekš minēto algoritmu vai pat ātrāk, izmantojot Hornera metodi.
Ja f(x)=a n x n +a n-1 x n-1 +...+a 1 x+a 0, polinomu var pārrakstīt kā f(x)=a 0 +x(a 1 +x(a 2 +...+x(a n-1 +a n x)...))

q(x)- pirmās pakāpes polinoms ⇒ q(x)=mx+n
Tad koeficientā esošajam polinomam būs pakāpe n-1.

Saskaņā ar Hornera metodi $x_0=-\frac(n)(m)$.
b n-1 =a n
b n-2 =x 0 .b n-1 +a n-1
b n-3 =x 0 .b n-2 +a n-2
...
b 1 = x 0 .b 2 + a 2
b 0 =x 0 .b 1 +a 1
r=x 0 .b 0 +a 0
Kur b n-1 x n-1 +b n-2 x n-2 +...+b 1 x+b 0- privāts. Atlikums būs nulles pakāpes polinoms, jo polinoma pakāpei atlikumā jābūt mazākai par dalītāja pakāpi.
Dalīšana ar atlikumu ⇒ p(x)=q(x).c(x)+r ⇒ p(x)=(mx+n).c(x)+r ja $x_0=-\frac(n)(m)$
Ņemiet vērā, ka p(x 0)=0.c(x 0)+r ⇒ p(x 0)=r

3. piemērs
p(x)=5x4-2x3 +4x2-6x-7
q(x)=x-3
p(x)=-7+x(-6+x(4+x(-2+5x)))
x 0 =3

b 3 =5
b 2 = 3,5-2 = 13
b 1 =3,13+4=43 ⇒ c(x)=5x3 +13x2 +43x+123; r=362
b 0 =3,43-6=123
r=3,123-7=362
5x4-2x3 +4x2-6x-7=(x-3)(5x3 +13x2 +43x+123)+362

4. piemērs
p(x)=-2x5 +3x4 +x2 -4x+1
q(x)=x+2
p(x)=-2x5 +3x4 +0x3 +x2 -4x+1
q(x)=x+2
x 0 =-2
p(x)=1+x(-4+x(1+x(0+x(3-2x))))

b 4 =-2 b 1 =(-2).(-14)+1=29
b 3 =(-2).(-2)+3=7 b 0 =(-2).29-4=-62
b 2 =(-2).7+0=-14 r=(-2).(-62)+1=125
⇒ c(x)=-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62; r=125
-2x5 +3x4 +x2 -4x+1=(x+2)(-2x4 +7x3 -14x2 +29x-62)+125

5. piemērs
p(x)=3x3 -5x2 +2x+3
q(x)=2x-1
$x_0=\frac(1)(2)$
p(x)=3+x(2+x(-5+3x))
b 2 =3
$b_1=\frac(1)(2)\cdot 3-5=-\frac(7)(2)$
$b_0=\frac(1)(2)\cdot \left(-\frac(7)(2)\right)+2=-\frac(7)(4)+2=\frac(1)(4 )$
$r=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(4)+3=\frac(1)(8)+3=\frac(25)(8) \Rightarrow c(x)= 3x^2-\frac(7)(2)x+\frac(1)(4)$
$\Labā bultiņa 3x^3-5x^2+2x+3=(2x-1)(3x^2--\frac(7)(2)x+\frac(1)(4))+\frac(25) (8) $
Secinājums
Ja dalām ar polinomu, kura pakāpe ir augstāka par vienu, mums ir jāizmanto algoritms, lai atrastu koeficientu un atlikumu 1-9 .
Ja dalām ar pirmās pakāpes polinomu mx+n, tad, lai atrastu koeficientu un atlikumu, jāizmanto Hornera metode ar $x_0=-\frac(n)(m)$.
Ja mūs interesē tikai divīzijas atlikusī daļa, pietiek atrast p(x 0).
6. piemērs
p(x)=-4x4 +3x3 +5x2 -x+2
q(x)=x-1
x 0 =1
r=p(1)=-4,1+3,1+5,1-1+2=5
r=5

Lai tas tiek prasīts

(2x 3 – 7x 2 + x + 1) ÷ (2x – 1).

Šeit mums tiek dots reizinājums (2x 3 – 7x 2 + x + 1) un viens faktors (2x – 1), jāatrod cits faktors. Šajā piemērā uzreiz ir skaidrs (bet kopumā to nevar noteikt), ka otrs, meklējamais faktors jeb koeficients, ir polinoms. Tas ir skaidrs, jo šim produktam ir 4 termini, bet šim reizinātājam tikai 2. Tomēr nav iespējams iepriekš pateikt, cik termini ir vajadzīgajam faktoram: var būt 2 termini, 3 termini utt. Atceroties, ka lielākais termiņš reizinājums vienmēr izrādās, reizinot viena faktora vadošo vārdu ar cita faktora vadošo vārdu (skatiet polinomu reizinot ar polinomu), un ka šādi termini nevar pastāvēt, mēs esam pārliecināti, ka 2x 3 (šī reizinājuma galvenais vārds) tiks iegūts, reizinot 2x (šī reizinātāja vadošais vārds) ar vajadzīgā koeficienta nezināmo vadošo vārdu. Lai atrastu pēdējo, jums būs jādala 2x 3 ar 2x - mēs iegūstam x 2. Šis ir koeficienta vadošais dalībnieks.

Tad atcerēsimies, ka, reizinot polinomu ar polinomu, katrs viena polinoma loceklis jāreizina ar otra polinomu. Tāpēc šis reizinājums (2x 3 – 7x 2 + x + 1) ir dalītāja (2x – 1) reizinājums ar visiem koeficienta nosacījumiem. Bet tagad mēs varam atrast dalītāja reizinājumu ar koeficienta pirmo (augstāko) biedru, t.i., (2x – 1) ∙ x 2 ; mēs iegūstam 2x 3 - x 2. Zinot dalītāja reizinājumu ar visiem koeficienta locekļiem (tas = 2x 3 – 7x 2 + x + 1) un zinot dalītāja reizinājumu ar koeficienta 1. biedru (tas = 2x 3 – x 2), atņemot mēs varam atrast dalītāja reizinājumu ar visiem pārējiem, izņemot 1., privātā locekļus. Mēs saņemam

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) - (2x 3 - x 2) = 2x 3 - 7x 2 + x + 1 - 2x 3 + x 2 = -6x 2 + x + 1.

Šī atlikušā reizinājuma vadošajam vārdam (–6x 2) ir jābūt dalītāja (2x) vadošā vārda reizinājumam ar koeficienta pārējā (izņemot 1. biedru) vadošo vārdu. No šejienes mēs atrodam pārējā koeficienta vadošo vārdu. Mums vajag –6x 2 ÷ 2x, iegūstam –3x. Šis ir vēlamā koeficienta otrais loceklis. Atkal varam atrast dalītāja (2x – 1) reizinājumu ar otro, tikko atrasto koeficienta biedru, t.i., ar –3x.

Mēs iegūstam (2x – 1) ∙ (–3x) = –6x 2 + 3x. No visas dotās reizinājuma mēs jau esam atņēmuši dalītāja reizinājumu ar koeficienta 1. daļu un ieguvuši atlikumu –6x 2 + x + 1, kas ir dalītāja reizinājums ar atlikušajiem, izņemot 1. no koeficienta. Atņemot no tā tikko atrasto reizinājumu –6x 2 + 3x, iegūstam atlikumu, kas ir dalītāja reizinājums ar visu pārējo, izņemot 1. un 2., koeficienta nosacījumus:

–6x 2 + x + 1 – (–6x 2 + 3x) = –6x 2 + x + 1 + 6x 2 – 3x = –2x + 1.

Izdalot šī atlikušā reizinājuma vadošo vārdu (–2x) ar dalītāja vadošo vārdu (2x), iegūstam atlikušā koeficienta vadošo vārdu jeb tā trešo daļu (–2x) ÷ 2x = –1, - tas ir koeficienta 3. loceklis.

Reizinot dalītāju ar to, mēs iegūstam

(2x – 1) ∙ (–1) = –2x + 1.

Atņemot šo dalītāja reizinājumu ar koeficienta 3. biedru no visa līdz šim atlikušā reizinājuma, t.i.

(–2x + 1) – (–2x + 1) = –2x + 1 + 2x – 1 = 0,

redzēsim, ka mūsu piemērā reizinājums ir sadalīts atlikušajos, izņemot 1., 2. un 3., koeficienta = 0 teikumos, no kā secinām, ka koeficientam vairs nav dalībnieku, t.i.

(2x 3 - 7x 2 + x + 1) ÷ (2x - 1) = x 2 - 3x - 1.

No iepriekšējā redzam: 1) ir ērti sakārtot dividenžu un dalītāja nosacījumus dilstošās pakāpēs, 2) nepieciešams noteikt kādu aprēķinu veikšanas kārtību. Par šādu ērtu secību var uzskatīt to, ko izmanto aritmētikā, dalot daudzciparu skaitļus. Pēc tam visus iepriekšējos aprēķinus sakārtosim šādi (īsi paskaidrojumi ir sniegti blakus):

Šeit nepieciešamās atņemšanas tiek veiktas, mainot apakšdaļas nosacījumu zīmes, un šīs mainīgās zīmes tiek rakstītas virsū.

Jā, ir rakstīts

Tas nozīmē: atņemtais bija 2x 3 – x 2, un pēc zīmju maiņas sanāca –2x 3 + x 2.

Sakarā ar pieņemto aprēķinu izkārtojumu, sakarā ar to, ka dividendes un dalītāja nosacījumi ir sakārtoti dilstošā pakāpē un sakarā ar to, ka burta x pakāpes abos polinomos iet, katru reizi samazinoties par 1, tas pagriezās noskaidro, ka viens zem otra ir rakstīti līdzīgi termini (piemēram: –7x 2 un +x 2), kāpēc tos ir viegli samazināt. Var atzīmēt, ka ne visi dividenžu nosacījumi ir nepieciešami katrā aprēķina brīdī. Piemēram, +1 vārds nav vajadzīgs brīdī, kad tika atrasts koeficienta 2. loceklis, un šo aprēķina daļu var vienkāršot.

Vairāk piemēru:

1. (2a 4 – 3ab 3 – b 4 – 3a 2 b 2) ÷ (b 2 + a 2 + ab).

Sakārtosim burtus a un dividendi un dalītāju dilstošā pakāpē:

(Ņemiet vērā, ka šeit, tā kā dividendē nav termina ar 3, pirmajā atņemšanā izrādījās, ka viens zem otra ir parakstīti atšķirīgi termini –a 2 b 2 un –2a 3 b. Protams, tie nevar jāsamazina līdz vienam termiņam, un abi ir rakstīti zem rindas darba stāža secībā).

Abos piemēros vairāk uzmanības jāpievērš līdzīgiem terminiem: 1) bieži viens zem otra tiek rakstīti nelīdzīgi termini un 2) dažreiz (kā, piemēram, pēdējā piemērā termini –4a n un –a n pirmā atņemšana) līdzīgi termini iznāk rakstīti nevis zem cita.

Ir iespējams veikt polinomu dalīšanu citā secībā, proti: katru reizi meklēt zemāko termiņu vai visu vai atlikušo koeficientu. Šajā gadījumā ir ērti sakārtot šos polinomus burta augošā pakāpē. Piemēram:

Šajā rakstā tiks aplūkotas racionālās daļas un to veselo skaitļu daļu izolācija. Frakcijas var būt regulāras vai nepareizas. Ja skaitītājs daļdaļā ir mazāks par saucēju, tā ir pareiza daļdaļa, un otrādi, nepareiza daļdaļa.

Apskatīsim pareizo daļskaitļu piemērus: 1 2, 9 29, 8 17, nepareizās daļskaitļus: 16 3, 21 20, 301 24.

Mēs aprēķināsim daļas, kuras var atcelt, tas ir, 12 16 ir 3 4, 21 14 ir 3 2.

Izvēloties veselu skaitļa daļu, tiek veikts skaitītāja dalīšanas process ar saucēju. Tad šādu daļskaitli var attēlot kā veselā skaitļa un daļskaitļu daļu summu, kur daļu uzskata par dalījuma atlikuma un saucēja attiecību.

1. piemērs

Atrodiet atlikušo daļu, dalot 27 ar 4.

Risinājums

Ir nepieciešams dalīt ar kolonnu, tad mēs to iegūstam

Tātad, 27 4 = visa daļa + pašreizējā vērtība = 6 + 3 4

Atbilde: atlikums 3.

2. piemērs

Izvēlieties visas daļas 331 12 un 41 57.

Risinājums

Mēs dalām saucēju ar skaitītāju, izmantojot stūri:

Tāpēc mums ir, ka 331 12 = 27 + 7 12.

Otrā daļa ir pareiza, kas nozīmē, ka visa daļa ir vienāda ar nulli.

Atbilde: veselas daļas 27 un 0.

Apskatīsim polinomu klasifikāciju, citiem vārdiem sakot, daļskaitļu-racionālo funkciju. To uzskata par pareizu, ja skaitītāja pakāpe ir mazāka par saucēja pakāpi, pretējā gadījumā to uzskata par nepareizu.

1. definīcija

Polinoma dalīšana ar polinomu notiek pēc dalīšanas ar leņķi principa un funkcijas attēlojuma kā vesela skaitļa un daļdaļas summas.

Lai sadalītu polinomu lineārā binomā, tiek izmantota Hornera shēma.

3. piemērs

Sadaliet x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 ar monomālu 2 x 2.

Risinājums

Izmantojot dalīšanas īpašību, mēs to rakstām

x 9 + 7 x 7 - 3 2 x 3 - 2 2 x 2 = x 9 2 x 2 + 7 x 7 2 x 2 - 3 2 x 3 2 x 2 + x 2 2 x 2 - 2 2 x 2 = = 1 2 x 7 + 7 2 x 5 - 3 4 x + 1 2 - 2 2 x - 2 .

Bieži vien šāda veida transformācijas tiek veiktas, ņemot integrāļus.

4. piemērs

Sadaliet polinomu ar polinomu: 2 x 3 + 3 ar x 3 + x.

Risinājums

Dalījuma zīmi var uzrakstīt kā daļskaitli no formas 2 x 3 + 3 x 3 + x. Tagad jums ir jāizvēlas visa daļa. Mēs to darām, izmantojot kolonnu dalīšanu. Mēs to saņemam

Tas nozīmē, ka mēs iegūstam, ka veselā skaitļa daļai ir vērtība - 2 x + 3, tad visa izteiksme tiek uzrakstīta kā 2 x 3 + 3 x 3 + x = 2 + - 2 x + 3 x 3 + x

5. piemērs

Sadaliet un atrodiet atlikušo 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 ar x 3 + 2 x 2 - 1.

Risinājums

Nofiksēsim daļu no formas 2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1.

Skaitītāja pakāpe ir lielāka par saucēja pakāpi, kas nozīmē, ka mums ir nepareiza daļa. Izmantojot kolonnu dalīšanu, atlasiet visu daļu. Mēs to saņemam

Sadalīsim vēlreiz un iegūstam:

No šejienes mēs iegūstam, ka atlikums ir vienāds ar - 65 x 2 + 10 x - 3, kas izriet:

2 x 6 - x 5 + 12 x 3 - 72 x 2 + 3 x 3 + 2 x 2 - 1 = 2 x 3 - 5 x 2 + 10 x - 6 + - 65 x 2 + 10 x - 3 x 3 + 2 x 2 - 1

Ir gadījumi, kad ir nepieciešams papildus pārveidot daļu, lai dalīšanas laikā identificētu atlikumu. Tas izskatās šādi:

3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 x 3 - 3 - 3 x 2 x 3 - 3 + 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x x 3 - 3 - 2 x x 3 - 3 + 2 x 4 - 3 x 2 - 4 x 3 - 3 = = 3 x 2 + 2 x (x 3 - 3) - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3 = 3 x 2 + 2 x + - 3 x 2 + 6 x - 4 x 3 - 3

Tas nozīmē, ka atlikums, dalot 3 x 5 + 2 x 4 - 12 x 2 - 4 ar x 3 - 3, iegūst vērtību - 3 x 2 + 6 x - 4. Lai ātri atrastu rezultātu, tiek izmantotas saīsinātas reizināšanas formulas.

6. piemērs

Sadaliet 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 ar 2 x + 3.

Risinājums

Iedalījumu rakstīsim kā daļskaitli. Mēs iegūstam, ka 8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3. Ņemiet vērā, ka skaitītājā izteiksmi var pievienot, izmantojot summas formulas kubu. Mums tas ir

8 x 3 + 36 x 2 + 54 x + 27 2 x + 3 = (2 x + 3) 3 2 x + 3 = (2 x + 3) 2 = 4 x 2 + 12 x + 9

Dotais polinoms dalās bez atlikuma.

Lai atrisinātu, tiek izmantota ērtāka risināšanas metode, un polinoma dalīšana ar polinomu tiek uzskatīta par universālāko, tāpēc to bieži izmanto, izolējot visu daļu. Galīgajā ierakstā jāiekļauj dalīšanas iegūtais polinoms.

Ja pamanāt tekstā kļūdu, lūdzu, iezīmējiet to un nospiediet Ctrl+Enter