Aritmētiskā metode. Matemātikas stunda "problēmu risināšanas algebriskās un aritmētiskās metodes". Metodes, kā mācīt studentus risināt

Analizējot šīs problēmas, vērojot, kas tām ir kopīgs no matemātikas viedokļa, kādas ir atšķirības, atrast neparastu problēmu risināšanas veidu, izveidot problēmu risināšanas paņēmienu krājkasīti, uzzināt, kā atrisināt vienu uzdevumu Dažādi ceļi.Tās pašas tēmas “Aritmētiskās metodes uzdevumu risināšanai” uzdevumu simulators, uzdevumi darbam grupā un individuālais darbs.

“uzdevumi simulatora rokasgrāmatai”

Treneris: “Aritmētiskās metodes uzdevumu risināšanai”

"Ciparu salīdzināšana pēc summas un starpības."

Divos grozos ir 80 baravikas. Pirmajā grozā ir par 10 baravikas mazāk nekā otrajā. Cik baravikas ir katrā grozā?

Šūšanas studija saņēma 480 m džinsa auduma un drapējumu. Džinsa audums tika piegādāts par 140 m vairāk nekā drapējums. Cik metrus džinsa auduma studija saņēma?

TV torņa modelis sastāv no diviem blokiem. Apakšējais bloks ir par 130 cm īsāks nekā augšējais. Kāds ir augšējo un apakšējo bloku augstums, ja torņa augstums ir 4 m 70 cm?

Divās kastītēs ir 16 kg cepumu. Atrodiet cepumu masu katrā kastē, ja vienā no tām ir par 4 kg vairāk cepumu.

Uzdevums no L. N. Tolstoja “Aritmētikas”.

a) Diviem vīriešiem ir 35 aitas. Vienai ir par 9 aitām vairāk nekā otrai. Cik aitu ir katram cilvēkam?

b) Diviem vīriešiem ir 40 aitas, un vienam ir par 6 aitām mazāk nekā otram. Cik aitu ir katram cilvēkam?

Garāžā atradās 23 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem. Automašīnām un motocikliem ir 87 riteņi. Cik motociklu ir garāžā, ja katram blakusvāģim ir rezerves ritenis?

"Eulera apļi".

Mājā dzīvo 120 iedzīvotāji, no kuriem daļai ir suņi un kaķi. Attēlā ir aplis AR attēlo iedzīvotājus ar suņiem, apli UZ – iedzīvotāji ar kaķiem. Cik īrniekiem ir gan suņi, gan kaķi? Cik īrniekiem ir tikai suņi? Cik īrniekiem ir tikai kaķi? Cik īrniekiem nav ne suņu, ne kaķu?

No 52 skolēniem 23 spēlē volejbolu un 35 basketbolu, bet 16 spēlē gan volejbolu, gan basketbolu. Pārējie nespēlē nevienu no šiem sporta veidiem. Cik daudz skolēnu nenodarbojas ar kādu no šiem sporta veidiem?

Attēlā ir aplis A attēlo visus universitātes darbiniekus, kuri zina angļu valoda, aplis N – kas prot vācu valodu un apli F - franču valoda. Cik augstskolu darbinieki zina: a) 3 valodas; b) angļu un vācu valoda; c) franču valoda? Cik augstskolu darbinieku ir? Cik daudzi no viņiem nerunā franču valodā?

Starptautisko konferenci apmeklēja 120 cilvēki. No tiem 60 runā krieviski, 48 runā angliski, 32 runā vāciski, 21 runā krieviski un vāciski, 19 runā angliski un vāciski, 15 runā krieviski un angliski, bet 10 cilvēki runā visās trīs valodās. Cik konferences dalībnieku nerunā nevienā no šīm valodām?

Korī dzied un dejojot praktizē 82 audzēkņi. ritmiskā vingrošana Mācās 32 skolēni, korī dzied un ritmisko vingrošanu nodarbojas 78 skolēni. Cik skolēnu atsevišķi dzied korī, dejo un ritmisko vingrošanu, ja zināms, ka katrs skolēns dara tikai vienu lietu?

Katra ģimene, kas dzīvo mūsu mājā, abonē vai nu avīzi, vai žurnālu, vai abus. 75 ģimenes abonē avīzi, bet 27 ģimenes abonē žurnālu, un tikai 13 ģimenes abonē gan žurnālu, gan laikrakstu. Cik ģimeņu dzīvo mūsu mājā?

"Datu korekcijas metode".

Ir 29 ziedi 3 mazos un 4 lielos pušķos un 35 ziedi 5 mazos un 4 lielos pušķos. Cik ziedu ir katrā pušķī atsevišķi?

2 šokolādes tāfelīšu – lielo un mazo – masa ir 120 g, bet 3 lielo un 2 mazo – 320 g Kāda ir katras tāfelītes masa?

5 āboli un 3 bumbieri sver 810 g, un 3 āboli un 5 bumbieri sver 870 g Cik sver viens ābols? Viens bumbieris?

Četri pīlēni un pieci zoslēni sver 4 kg 100 g, pieci pīlēni un četri zoslēni sver 4 kg. Cik sver viens pīlēns?

Par vienu zirgu un divām govīm dienā tiek doti 34 kg siena, bet par diviem zirgiem un vienu govi - 35 kg siena. Cik siena dod vienam zirgam un cik vienai govij?

3 sarkani kubi un 6 zili kubi maksā 165 tengu rubļus. Turklāt pieci sarkanie ir par 95 tengām dārgāki nekā divi zilie. Cik maksā katrs kubs?

2 skiču burtnīcas un 3 pastmarku albumi kopā maksā 160 rubļus, bet 3 skiču burtnīcas maksā 45 rubļus. dārgāki par diviem pastmarku albumiem.

"Grāfi".

Seryozha nolēma savai mātei dzimšanas dienā uzdāvināt ziedu pušķi (rozes, tulpes vai neļķes) un ievietot tos vai nu vāzē, vai krūzē. Cik daudzos veidos viņš to var izdarīt?

Cik trīsciparu skaitļus var izveidot no cipariem 0, 1, 3, 5, ja cipari skaitļā neatkārtojas?

Trešdien 5. klasē ir piecas stundas: matemātika, fizkultūra, vēsture, krievu valoda un dabaszinības. Cik daudz dažādas iespējas Vai varat sastādīt grafiku trešdienai?

"Sens veids, kā atrisināt problēmas, kas saistītas ar vielu sajaukšanu."

Kā sajaukt eļļas? Kādai personai bija pārdošanā divu veidu eļļa: viena par spaini bija 10 grivnas, otra par spaini bija 6 grivnas. Viņš gribēja no šīm divām eļļām pagatavot eļļu, tās sajaucot, maksājot 7 grivnas par spaini. Kādas šo divu eļļu daļas ir jāņem, lai iegūtu eļļas spaini 7 grivnu vērtībā?

Cik daudz karameles jāņem par cenu 260 tenges par 1 kg un 190 tenges par 1 kg, lai pagatavotu 21 kg maisījuma par cenu 210 tenges par kilogramu?

Kādam ir trīs tējas šķirnes – Ceilonas par 5 grivnām par mārciņu, Indijas par 8 grivnām par mārciņu un ķīniešu par 12 grivnām par mārciņu. Kādās proporcijās šīs trīs šķirnes jāsajauc, lai iegūtu tēju, kuras vērtība ir 6 grivnas par mārciņu?

Kādam ir dažādu standartu sudrabs: viens ir 12. standarts, cits ir 10. standarts, trešais ir 6. standarts. Cik daudz sudraba jāņem, lai iegūtu 1 mārciņu 9. standarta sudraba?

Tirgotājs nopirka 138 aršinus melnu un zilu audumu par 540 rubļiem. Jautājums, cik aršinus viņš nopirka par abiem, ja zilais maksāja 5 rubļus? par aršinu un melno - 3 rubļi?

Dažādi uzdevumi.

Jaungada dāvanām nopirkām 87 kg augļu, un ābolu bija par 17 kg vairāk nekā apelsīnu. Cik ābolus un apelsīnus nopirkāt?

Pie Jaungada eglītes bērniem karnevāla tērpos sniegpārsliņu bija 3 reizes vairāk nekā Pētersīļu tērpos. Cik bērnu bija Pētersīļu tērpos, ja viņu bija par 12 mazāk?

Maša saņēma 2 reizes mazāk Jaungada sveicieni nekā Koļa. Cik apsveikumu katrs saņēma, ja kopā bija 27? (9 un 18).

Jaungada balvām tika iegādāti 28 kg saldumu. Konfektes “Swallow” sastāvēja no 2 daļām, “Muse” - 3 daļām, “Romashka” - 2 daļām. Cik saldumu no katra veida jūs iegādājāties? (8, 8, 12).

Noliktavā ir 2004 kg miltu. Vai to var ievietot maisos, kas sver 9 kg un 18 kg?

Veikalā "Viss tējai" ir 5 dažādas krūzītes un 3 dažādas apakštasītes.Cik dažādos veidos var iegādāties krūzīti un apakštasīti?

Zirgs siena kaudzi apēd 2 dienās, govs – 3, aita – 6. Cik dienas viņiem vajadzēs, lai apēstu siena kaudzi, ja viņi to ēd kopā?

Skatīt dokumenta saturu
"nodarbības kopsavilkums arif sp"

"Aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai."

Matemātikas studentam bieži vien ir lietderīgāk vienu un to pašu uzdevumu atrisināt trīs dažādos veidos, nevis atrisināt trīs vai četrus dažādus uzdevumus. Risinot vienu problēmu dažādos veidos, salīdzinājumam var noskaidrot, kurš no tiem ir īsāks un efektīvāks. Tā tiek attīstīta pieredze.

V. V. Sojers

Nodarbības mērķis: izmantojiet iepriekšējās nodarbībās iegūtās zināšanas, parādiet iztēli, intuīciju, iztēli un atjautību, lai dažādos veidos atrisinātu pārbaudes uzdevumus.

Nodarbības mērķi: izglītojošs: analizējot šīs problēmas, vērojot, kas tām ir kopīgs no matemātiķa viedokļa, kādas ir atšķirības, atrodot neparastu problēmu risināšanas veidu, veidojot uzdevumu risināšanas paņēmienu krājkasīti, mācoties atrisināt vienu uzdevumu dažādos veidos.

Attīstošs: izjūt vajadzību pēc pašrealizācijas, nonākot noteiktā lomu situācijā.

Izglītojoši: attīstīt personiskās īpašības, veidot komunikatīvo kultūru.

Izglītības līdzekļi: vienā tēmā sagrupētu uzdevumu simulators “Uzdevumu risināšanas aritmētiskās metodes”, uzdevumi darbam grupā un individuālajam darbam.

NODARBĪBU LAIKĀ.

es Laika organizēšana

Sveiki puiši. Apsēdies. Šodien mums ir nodarbība par tēmu “Aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai”.

II. Zināšanu atjaunināšana.

Matemātika ir viena no senajām un svarīgas zinātnes. Cilvēki ļoti daudz matemātikas zināšanu izmantoja senatnē – pirms tūkstošiem gadu. Tie bija nepieciešami tirgotājiem un celtniekiem, karotājiem un mērniekiem, priesteriem un ceļotājiem.

Un mūsdienās ne viens vien nevar iztikt dzīvē bez labām matemātikas zināšanām. Pamats laba izpratne matemātika - spēja skaitīt, domāt, spriest, atrast veiksmīgus problēmu risinājumus.

Šodien mēs apskatīsim aritmētiskās metodes teksta uzdevumu risināšanai, mēs analizēsim senās problēmas, kas mums radušās no dažādas valstis un laiki, uzdevumi par izlīdzināšanu, salīdzināšanu pēc summas un starpības un citi.

Nodarbības mērķis ir iesaistīt jūs tajā apbrīnojama pasaule skaistums, bagātība un daudzveidība – pasaule interesanti uzdevumi. Un tāpēc iepazīstināsim jūs ar dažām aritmētiskām metodēm, kas noved pie ļoti elegantiem un pamācošiem risinājumiem.

Uzdevums gandrīz vienmēr ir meklējumi, kādu īpašību un sakarību atklāšana, un tā risināšanas līdzekļi ir intuīcija un minējumi, erudīcija un matemātisko metožu meistarība.

Galvenās matemātikā ir aritmētiskās un algebriskās uzdevumu risināšanas metodes.

Uzdevuma risināšana, izmantojot aritmētisko metodi, nozīmē atrast atbildi uz uzdevuma prasību, veicot aritmētiskas darbības ar skaitļiem.

Ar algebrisko metodi atbilde uz uzdevuma jautājumu tiek atrasta vienādojuma sastādīšanas un atrisināšanas rezultātā.

Nav noslēpums, ka cilvēks, kuram pieder dažādi instrumenti un kurš tos izmanto atkarībā no veicamā darba rakstura, sasniedz ievērojami labākus rezultātus nekā cilvēks, kuram pieder tikai viens universāls instruments.

Problēmu risināšanai ir daudz aritmētisko metožu un nestandarta paņēmienu. Šodien es vēlos jūs iepazīstināt ar dažiem no tiem.

1. Teksta uzdevumu risināšanas metode “Ciparu salīdzināšana pēc summas un starpības”.

Uzdevums : Vecmāmiņa no savas vasarnīcas rudenī savāca 51 kg burkānu un kāpostu. Kāpostu bija par 15 kg vairāk nekā burkānu. Cik kilogramus burkānu un cik kilogramus kāpostu savāca vecmāmiņa?

Jautājumi, kas atbilst problēmu risināšanas algoritma punktiem no šīs klases.

1. Uzziniet, kādi daudzumi tiek apspriesti uzdevumā

Par burkānu un kāpostu skaitu, ko vecmāmiņa savāca kopā un atsevišķi.

2. Norādiet, kuru lielumu vērtības ir jāatrod uzdevumā.

Cik kilogramus burkānu un cik kilogramus kāpostu savāca vecmāmiņa?

3. Nosauciet sakarību starp daudzumiem uzdevumā.

Problēma runā par daudzumu summu un starpību.

4. Nosauciet lielumu vērtību summu un starpību.

Summa – 51 kg, starpība – 15 kg.

5. Izlīdzinot daudzumus, atrodiet mazākā daudzuma dubulto vērtību (no daudzumu summas atņemiet lielumu starpību).

51 – 15 = 36 (kg) – dubultā burkānu daudzums.

6. Zinot dubultoto vērtību, atrodiet mazāko vērtību (dalītu dubultoto vērtību ar diviem).

36: 2 = 18 (kg) – burkāni.

7. Izmantojot starpību starp daudzumiem un mazākā daudzuma vērtību, atrodiet lielākā daudzuma vērtību.

18 + 15 = 33 (kg) – kāposti. Atbilde: 18 kg, 33 kg. Uzdevums.Būrī ir fazāni un truši. Kopā ir 6 galvas un 20 kājas. Cik trušu un cik fazānu ir būrī ?
1. metode. Atlases metode:
2 fazāni, 4 truši.
Pārbaude: 2 + 4 = 6 (vārti); 4 4 + 2 2 = 20 (pēdas).
Šī ir atlases metode (no vārda “izvēlēties”). Šīs risinājuma metodes priekšrocības un trūkumi (grūti izvēlēties, ja skaitļi ir lieli) Līdz ar to rodas stimuls meklēt ērtākas risinājuma metodes.
Diskusijas rezultāti: atlases metode ir ērta, strādājot ar maziem skaitļiem; kad vērtības palielinās, tas kļūst neracionāls un darbietilpīgs.
2. metode. Pabeigt opciju meklēšanu.

Tiek sastādīta tabula:

Atbilde: 4 truši, 2 fazāni.
Šīs metodes nosaukums ir “pilns”. Diskusijas rezultāti: izsmeļošā meklēšanas metode ir ērta, bet lielām vērtībām tā ir diezgan darbietilpīga.
3. metode. Uzminēšanas metode.

Ņemsim vecu ķīniešu problēmu:

Būrī ir nezināms skaits fazānu un trušu. Ir zināms, ka visā šūnā ir 35 galvas un 94 kājas. Uzziniet fazānu skaitu un trušu skaitu.(Problēma no ķīniešu matemātikas grāmatas “Kiu-Chang”, kas sastādīta 2600. gadā pirms mūsu ēras).

Šeit ir dialogs, kas atrodams matemātikas vecmeistaros. - Iedomāsimies, ka mēs uzliekam burkānu uz būra, kurā sēž fazāni un truši. Visi truši stāvēs uz pakaļkājām, lai sasniegtu burkānu. Cik pēdu šajā brīdī atradīsies uz zemes?

Bet problēmas izklāstā ir dotas 94 kājas, kur pārējās?

Atlikušās kājas netiek skaitītas - tās ir trušu priekšējās kājas.

Cik tādu ir?

24 (94 – 70 = 24)

Cik trušu tur ir?

12 (24: 2 = 12)

Kā ar fazāniem?

23 (35- 12 = 23)

Šīs metodes nosaukums ir “deficītu uzminēšanas metode”. Mēģiniet pats izskaidrot šo nosaukumu (būrī sēdošajiem ir 2 vai 4 kājas, un mēs pieņēmām, ka katram ir mazākais no šiem cipariem - 2 kājas).

Vēl viens veids, kā atrisināt to pašu problēmu. - Mēģināsim atrisināt šo problēmu, izmantojot “pārpalikuma pieņēmuma metodi”: iedomāsimies, ka fazāniem tagad ir vēl divas kājas, tad būs visas kājas 35 × 4 =140.

Bet pēc problēmas apstākļiem ir tikai 94 kājas, t.i. 140 – 94= 46 papildu kājas, kas tās ir? Tās ir fazānu kājas, tām ir papildu kāju pāris. nozīmē, fazāni gribu 46: 2 = 23, tad truši 35 -23 = 12.
Diskusijas rezultāti: pieņēmumu metodei ir divi varianti- Pēc trūkums un pārmērība; Salīdzinot ar iepriekšējām metodēm, tas ir ērtāk, jo ir mazāk darbietilpīgs.
Uzdevums. Pa tuksnesi lēnām soļo kamieļu karavāna, kopā to ir 40. Ja saskaitīsi visus kupri uz šiem kamieļiem, sanāk 57 kupri. Cik dromedāru kamieļu ir šajā karavānā?1 veids. Atrisiniet, izmantojot vienādojumu.

Kupru skaits uz cilvēku Kamieļu skaits Kopējais kupris

2 x 2 x

1 40 - X 40 - X 57

2 x + 40 - X = 57

x + 40 = 57

X = 57 -40

X = 17

2. metode.

- Cik kupri var būt kamieļiem?

(var būt divi vai viens)

Katram kamieļa kuprim piestiprināsim pa puķi.

- Cik ziedu tev vajadzēs? (40 kamieļi - 40 ziedi)

– Cik kupru paliks bez ziediem?

(Būs tādi 57-40=17 . Šis otrās kupras Baktrijas kamieļi).

Cik daudz Baktrijas kamieļi? (17)

Cik daudz dromedāri kamieļi? (40-17=23)

Kāda ir atbilde uz problēmu? ( 17 un 23 kamieļi).

Uzdevums.Garāžā atradās automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem, kopā 18. Automašīnām un motocikliem bija 65 riteņi. Cik motociklu ar blakusvāģiem atradās garāžā, ja automašīnām ir 4 riteņi un motocikliem ir 3 riteņi?

1 veids. Izmantojot vienādojumu:

Riteņu skaits 1 Kopējo riteņu skaits

Mash. 4x 4 x

Mot. 3 18 -X 3(18 - X ) 65

4 x + 3(18 - X ) = 65

4 x + 5 4 -3 X =65

X = 65 - 54

X = 11, 18 – 11 = 7.

Pārformulēsim problēmu : Laupītāji, kuri ieradās garāžā, kur bija novietotas 18 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem, katrai automašīnai un motociklam noņēma trīs riteņus un aizveda. Cik riteņu ir palicis garāžā, ja tie būtu 65? Vai tie pieder automašīnai vai motociklam?

3×18=54 – tik daudz riteņu laupītāji atņēma,

65- 54 = 11 – atlikuši tik daudz riteņu (mašīnas garāžā),

18 - 11 = 7 motocikli.

Atbilde: 7 motocikli.

Viens pats:

Garāžā atradās 23 automašīnas un motocikli ar blakusvāģiem. Automašīnām un motocikliem ir 87 riteņi. Cik motociklu ir garāžā, ja katram blakusvāģim ir rezerves ritenis?

- Cik riteņu kopā ir automašīnām un motocikliem? (4×23=92)

- Cik rezerves riteņus jūs ievietojāt katrā ratiņā? (92 - 87 = 5)

- Cik automašīnu ir garāžā? (23 - 5=18).

Uzdevums.Mūsu klasē varat mācīties angļu vai franču valodas(pēc izvēles). Zināms, ka angļu valodu mācās 20 skolēni, franču valodu – 17. Kopumā klasē mācās 32 skolēni. Cik studentu mācās gan angļu, gan franču valodu?

Zīmēsim divus apļus. Vienā fiksēsim to skolēnu skaitu, kuri mācās angļu valodu, otrā - franču valodu apgūstošos skolēnus. Tā kā atbilstoši problēmas apstākļiem tur mācās studentiabas valodas: angļu un franču, tad apļiem būs kopīgā daļa.Šīs problēmas nosacījumus nav tik viegli saprast. Ja saskaita 20 un 17, sanāk vairāk nekā 32. Tas izskaidrojams ar to, ka dažus skolēnus šeit saskaitījām divas reizes – proti, tos, kuri mācās abas valodas: angļu un franču. Tātad (20 + 17) – 32 = 5 Studenti apgūst abas valodas: angļu un franču.

Angļu Fran.

20 nodarbības 17 skolā

(20 + 17) – 32 = 5 (studenti).

Shēmas, kas līdzīgas tai, ko izmantojām problēmas risināšanai, sauc matemātikā Eilera apļi (vai diagrammas). Leonhards Eilers (1736) dzimis Šveicē. Bet ilgi gadi dzīvoja un strādāja Krievijā.

Uzdevums.Katra ģimene, kas dzīvo mūsu mājā, abonē vai nu avīzi, vai žurnālu, vai abus. 75 ģimenes abonē avīzi, bet 27 ģimenes abonē žurnālu, un tikai 13 ģimenes abonē gan žurnālu, gan laikrakstu. Cik ģimeņu dzīvo mūsu mājā?

Avīžu žurnāli

Attēlā redzams, ka mājā dzīvo 89 ģimenes.

Uzdevums.Starptautisko konferenci apmeklēja 120 cilvēki. No tiem 60 runā krieviski, 48 runā angliski, 32 runā vāciski, 21 runā krieviski un vāciski, 19 runā angliski un vāciski, 15 runā krieviski un angliski, bet 10 cilvēki runā visās trīs valodās. Cik konferences dalībnieku nerunā nevienā no šīm valodām?

krievu 15 angļu

21 10 19

vācu

Risinājums: 120 – (60 + 48 + 32 -21 – 19 – 15 + 10) = 25 (personas).

Uzdevums. Trīs kaķēni un divi kucēni sver 2 kg 600 g, un divi kaķēni un trīs kucēni sver 2 kg 900 g Cik sver kucēns?

3 kaķēni un 2 kucēni – 2kg 600 g

2 kaķēni un 3 kucēni – 2 kg 900 g.

No nosacījuma izriet, ka 5 kaķēni un 5 kucēni sver 5 kg 500 g Tas nozīmē, ka 1 kaķēns un 1 kucēns sver 1 kg 100 g

2 kaķi un 2 kucēni. sver 2 kg 200 g

Salīdzināsim nosacījumus -

2 kaķēni + 3 kucēni = 2kg 900 g

2 kaķēni + 2 kucēni = 2 kg 200 g, redzam, ka kucēns sver 700 g.

Uzdevums.Par vienu zirgu un divām govīm dienā tiek doti 34 kg siena, bet par diviem zirgiem un vienu govi - 35 kg siena. Cik siena dod vienam zirgam un cik vienai govij?

Pierakstīsim to īss stāvoklis uzdevumi:

1 zirgs un 2 govis -34kg.

2 zirgi un 1 govs -35kg.

Vai ir iespējams uzzināt, cik daudz siena nepieciešams 3 zirgiem un 3 govīm?

(3 zirgiem un 3 govīm – 34+35=69 kg)

Vai ir iespējams uzzināt, cik siena nepieciešams vienam zirgam un vienai govij? (69: 3–23 kg)

Cik daudz siena vajag vienam zirgam? (35–23 = 12 kg)

Cik daudz siena vajag vienai govij? (23–13 = 11 kg)

Atbilde: 12kg un 11kg.

Uzdevums.Madina nolēma ieturēt brokastis skolas kafejnīcā. Izpēti ēdienkarti un atbildi, cik daudzos veidos viņa var izvēlēties dzērienu un konditorejas izstrādājumu?

	Konditorejas izstrādājumi
	Siera kūka

Pieņemsim, ka Madina kā dzērienu izvēlas tēju. Kādu konditorejas izstrādājumu viņa var izvēlēties pie tējas? (tēja - siera kūka, tēja - cepumi, tēja - bulciņa)

Cik veidos? (3)

Ja tas ir kompots? (arī 3)

Kā uzzināt, cik daudz veidu Madina var izmantot pusdienu izvēlei? (3+3+3=9)

Jā tev ir taisnība. Bet, lai mums būtu vieglāk atrisināt šo problēmu, mēs izmantosim grafikus. Vārds "grafiks" matemātikā nozīmē attēlu ar vairākiem uzzīmētiem punktiem, no kuriem daži ir savienoti ar līnijām. Norādīsim dzērienus un konditorejas izstrādājumi punktus un savienojiet to ēdienu pārus, kurus izvēlas Madina.

tējas piena kompots

siera kūku cepumu bulciņa

Tagad saskaitīsim rindu skaitu. Tie ir 9. Tas nozīmē, ka ir 9 veidi, kā izvēlēties ēdienus.

Uzdevums.Seryozha nolēma savai mātei dzimšanas dienā uzdāvināt ziedu pušķi (rozes, tulpes vai neļķes) un ievietot tos vai nu vāzē, vai krūzē. Cik daudzos veidos viņš to var izdarīt?

Cik daudz veidu jūs domājat? (3)

Kāpēc? (3 krāsas)

Jā. Bet joprojām ir dažādi ēdieni: vai nu vāze, vai krūze. Mēģināsim izpildīt uzdevumu grafiski.

vāzes krūze

rozes tulpes neļķes

Skaitīt līnijas. Cik tādu ir? (6)

Tātad, cik daudz veidu Seryozha ir jāizvēlas? (6)

Nodarbības kopsavilkums.

Šodien mēs atrisinājām vairākas problēmas. Bet darbs nav pabeigts, ir vēlme to turpināt, un es ceru, ka tas palīdzēs veiksmīgi atrisināt teksta uzdevumus.

Mēs zinām, ka problēmu risināšana ir praktiska māksla, piemēram, peldēšana vai klavierspēle. To var apgūt tikai atdarinot labus piemērus un nemitīgi praktizējot.

Šīs ir tikai visvienkāršākās problēmas; sarežģītas joprojām ir turpmākās izpētes priekšmets. Taču to joprojām ir daudz vairāk, nekā mēs varētu atrisināt. Un, ja nodarbības beigās jūs varat atrisināt problēmas “aiz lapām” izglītojošs materiāls", tad varam pieņemt, ka esmu izpildījis savu uzdevumu.

Matemātikas zināšanas palīdz atrisināt noteiktu dzīves problēmu. Dzīvē jums būs regulāri jārisina noteikti jautājumi, tam ir jāattīsta intelektuālās spējas, pateicoties kurām attīstās iekšējais potenciāls, attīstās spēja paredzēt situāciju, prognozēt, pieņemt nestandarta lēmumus.

Nodarbību vēlos beigt ar vārdiem: “Katra labi atrisināta matemātiska problēma sniedz garīgu baudu.” (G. Hese).

Vai jūs piekrītat šim apgalvojumam?

Mājasdarbs .

Mājās tiks dots šāds uzdevums: izmantojot atrisināto uzdevumu tekstus kā paraugu, atrisināt uzdevumus Nr. 8, 17, 26 ar mūsu pētītajām metodēm.

Pamatojoties uz matemātiskās nozīmes līdzību un dažādu risinājumu metožu savstarpējo aizstājamību, visas aritmētiskās metodes var apvienot šādās grupās:

• 1) reducēšanas metode līdz vienotībai, reducēšana uz vispārēju mēru, apgriezta reducēšana uz vienotību, attiecību metode;
• 2) veids, kā atrisināt problēmas no “gala”;
• 3) nezināmo izslēgšanas metodi (viena nezināmā aizstāšana ar citu, nezināmo salīdzināšana, datu salīdzināšana, divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu, divu nosacījumu apvienošana vienā); uzminēšanas veids;
• 4) daļu proporcionālais dalījums, līdzība vai atrašana;
• 5) metode vienas problēmas pārveidošanai citā (sarežģītas problēmas sadalīšana vienkāršās, sagatavojošās; nezināmo pārvietošana uz tādām vērtībām, par kurām kļūst zināma to saistība; metode, kā noteikt patvaļīgu skaitli vienam no nezināmajiem lielumiem).

Papildus iepriekšminētajām metodēm vēlams ņemt vērā arī vidējā aritmētiskā metode, pārpalikuma metode, zināmā un nezināmā pārkārtošanas metode un “viltus” noteikumu metode.

Tā kā parasti nav iespējams iepriekš noteikt, kura no metodēm ir racionāla, paredzēt, kura no tām novedīs pie vienkāršākā un skolēnam saprotamākā risinājuma, tad studenti ir jāiepazīstina ar Dažādi ceļi un dot viņiem iespēju izvēlēties, kuru izmantot, risinot konkrētu problēmu.

Nezināmo izslēgšanas metode

Šo metodi izmanto, ja problēmā ir vairāki nezināmie. Šo problēmu var atrisināt, izmantojot vienu no pieciem paņēmieniem: 1) vienu nezināmo aizstājot ar citu; 2) nezināmo salīdzināšana; 3) divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu; 4) datu salīdzināšana; 5) vairāku nosacījumu apvienošana vienā.

Izmantojot vienu no uzskaitītajiem paņēmieniem, vairāku nezināmo vietā paliek viens, ko var atrast. Aprēķinot to, viņi izmanto datus atkarības stāvoklī, lai atrastu citus nezināmos.

Sīkāk apskatīsim dažus paņēmienus.

1. Viena nezināmā aizstāšana ar citu

Tehnikas nosaukums atklāj tās ideju: balstoties uz atkarībām (vairākkārtējām vai atšķirībām), kas tiek dotas atbilstoši problēmas nosacījumiem, caur vienu no tiem ir jāizsaka viss nezināmais.

Uzdevums. Sergejam un Andrejam ir tikai 126 pastmarkas. Sergejam par 14 atzīmēm vairāk nekā Andrejam. Cik pastmarku bija katram zēnam?

Īss stāvokļa apraksts:

Sergejs -? atzīmes, vēl 14 markas

Andrejs -? pastmarkas

Kopā -- 126 pastmarkas

1. risinājums.

• (lielāku nezināmo aizstājot ar mazāku)
• 1) Lai Sergejam ir tik daudz pastmarku, cik Andrejam. Tad Kopā būtu 126 atzīmes - 14 = 112 (atzīmes).
• 2) Tā kā zēniem tagad ir vienāds atzīmju skaits, mēs noskaidrosim, cik atzīmes bija Andrejam sākumā: 112: 2 = 56 (markas).
• 3) Ņemot vērā, ka Sergejam ir par 14 atzīmēm vairāk nekā Andrejam, mēs iegūstam: 56 + 14 = 70 (atzīmes).

2. risinājums.

• (mazāku nezināmo aizstājot ar lielāku)
• 1) Lai Andrejam ir tikpat daudz pastmarku kā Sergejam. Tad kopējais pastmarku skaits būtu 126 + 14 = 140 (markas).
• 2) Tā kā zēniem tagad ir vienāds punktu skaits, noskaidrosim, cik atzīmju sākumā bija Sergejam: 140: 2 = 70 (atzīmes).
• 3) Ņemot vērā, ka Andrejam bija par 14 atzīmēm mazāk nekā Sergejam, iegūstam: 70 - 14 = 56 (atzīmes).

Atbilde: Sergejam bija 70, bet Andrejam 56.

Priekš vislabākā uzsūkšanās studentiem metodi, kā aizstāt mazāku nezināmo ar lielāku, pirms to aplūkot, ar studentiem jānoskaidro šāds fakts: ja skaitlis A ir par C vienībām lielāks par skaitli B, tad, lai salīdzinātu skaitļi A un B ir nepieciešami:

• a) no skaitļa A atņem skaitli C (tad abi skaitļi ir vienādi ar skaitli B);
• b) pievienojiet skaitlim C skaitlim B (tad abi skaitļi ir vienādi ar skaitli A).

Skolēnu spēja aizstāt lielāku nezināmo ar mazāku un otrādi, vēl vairāk veicina spēju izvēlēties nezināmo un izteikt ar to citus lielumus, veidojot vienādojumu.

2. Nezināmo salīdzinājums

Uzdevums. Četros plauktos bija 188 grāmatas. Otrajā plauktā bija par 16 grāmatām mazāk nekā pirmajā, trešajā - par 8 vairāk nekā otrajā, bet ceturtajā - par 12 mazāk nekā trešajā plauktā. Cik grāmatu ir katrā plauktā?

Uzdevuma analīze

Priekš labāka informētībačetru nezināmu lielumu atkarības (grāmatu skaits katrā plauktā) mēs izmantojam šādu diagrammu:

Es_____________________________________

II________________________________

III___________________________________

IV_______________________ _ _ _ _ _

Salīdzinot segmentus, kas shematiski attēlo grāmatu skaitu katrā plauktā, mēs nonākam pie šādiem secinājumiem: pirmajā plauktā ir par 16 grāmatām vairāk nekā otrajā; trešajā ir par 8 vairāk nekā otrajā; ceturtajā - 12 - 8 = 4 (grāmatas) mazāk nekā otrajā. Tāpēc problēmu var atrisināt, salīdzinot grāmatu skaitu katrā plauktā. Lai to izdarītu, noņemiet 16 grāmatas no pirmā plaukta, 8 grāmatas no trešā un ievietojiet 4 grāmatas ceturtajā plauktā. Tad visos plauktos būs vienāds skaits grāmatu, proti, kā sākumā bija otrajā.

• 1) Cik grāmatu ir visos plauktos pēc problēmu analīzē aprakstītajām darbībām?
• 188 - 16 - 8 + 4 = 168 (grāmatas)
• 2) Cik grāmatu bija otrajā plauktā?
• 168: 4 = 42 (grāmatas)
• 3) Cik grāmatu bija pirmajā plauktā?
• 42 + 16 = 58 (grāmatas)
• 4) Cik grāmatu bija trešajā plauktā?
• 42 + 8 = 50 (grāmatas)
• 5) Cik grāmatu bija ceturtajā plauktā?
• 50–12 = 38 (grāmatas)

Atbilde: Katrā no četriem plauktiem bija 58, 42, 50 un 38 grāmatas.

komentēt. Varat aicināt skolēnus atrisināt šo problēmu citos veidos, salīdzinot nezināmo grāmatu skaitu, kas atradās pirmajā, otrajā vai ceturtajā plauktā.

3. Divu nosacījumu salīdzināšana ar atņemšanu

Problēmas sižets, kas tiek atrisināts ar šo paņēmienu, bieži ietver divus proporcionālus lielumus (preču daudzums un tā izmaksas, darbinieku skaits un viņu veiktais darbs utt.). Nosacījums dod divas viena daudzuma vērtības un tām proporcionālu divu starpību skaitliskās vērtības cita izmēra.

Uzdevums. Par 4 kg apelsīnu un 5 kg banānu viņi maksāja 620 rubļus, bet nākamajā reizē par 4 kg apelsīnu un 3 kg banānu, kas tika nopirkti par tādām pašām cenām, viņi maksāja 500 rubļus. Cik maksā 1kg apelsīnu un 1kg banānu?

Īss stāvokļa apraksts:

• 4 kg lietotne. un 5kg aizliegums. - 620 rubļi,
• 4 kg lietotne. un 3 kg aizliegums. - 500 rubļi.

• 1) Salīdzināsim divu pirkumu izmaksas. Gan pirmajā, gan otrajā reizē viņi iegādājās vienādu skaitu apelsīnu par vienādu cenu. Pirmajā reizē maksājām vairāk, jo nopirkām vairāk banānu. Noskaidrosim, cik kilogramus banānu vēl iegādājās pirmajā reizē: 5 - 3 = 2 (kg).
• 2) Noskaidrosim, cik vairāk samaksājām pirmajā reizē nekā otrajā (tas ir, noskaidrosim, cik maksāja 2 kg banānu): 620 - 500 = 120 (rub.).
• 3) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 120: 2 = 60 (rub.).
• 4) Zinot pirmā un otrā pirkuma pašizmaksu, varam atrast 1 kg apelsīnu cenu. Lai to izdarītu, vispirms atrodiet iegādāto banānu izmaksas, pēc tam apelsīnu izmaksas un pēc tam 1 kg cenu. Mums ir: (620 - 60*5): 4 = 80 (berzēt).

Atbilde: 1 kg apelsīnu cena ir 80 rubļi, un 1 kg banānu cena ir 60 rubļi.

4. Datu salīdzināšana

Pieteikums šī tehnikaļauj salīdzināt datus un pielietot atņemšanas metodi. Varat salīdzināt datu vērtības:

• 1) izmantojot reizināšanu (salīdzinot tos ar mazāko kopējo daudzkārtni);
• 2) izmantojot dalījumu (salīdzinot tos ar lielāko kopīgs dalītājs).

Parādīsim to ar piemēru.

Uzdevums. Par 4 kg apelsīnu un 5 kg banānu viņi maksāja 620 rubļus, bet nākamajā reizē par 6 kg apelsīnu un 3 kg banānu, kas tika nopirkti par tādām pašām cenām, viņi maksāja 660 rubļus. Cik maksā 1kg apelsīnu un 1kg banānu?

Īss stāvokļa apraksts:

• 4 kg lietotne. un 5kg aizliegums. - 620 rubļi,
• 6 kg aplikācija. un 3 kg aizliegums. - 660 rubļi.

Izlīdzināsim apelsīnu un banānu skaitu, salīdzinot tos ar mazāko kopējo reizinājumu: LCM(4;6) = 12.

Risinājums 1.

• 1) Palielināsim iegādāto augļu skaitu un to izmaksas pirmajā gadījumā 3 reizes, bet otrajā - 2 reizes. Mēs saņemam šādu īsu nosacījuma paziņojumu:
• 12 kg aplikācija. un 15 kg aizliegums. - 1860 rubļi,
• 12 kg aplikācija. un 6 kg aizliegums. - 1320 rubļi.
• 2) Uzziniet, cik vēl banānu iegādājāties pirmajā reizē: 15-6 = 9 (kg).
• 3) Cik maksā 9kg banānu? 1860 - 1320 = 540 (berzēt).
• 4) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 540: 9 = 60 (berzēt).
• 5) Atrodiet 3 kg banānu izmaksas: 60 * 3 = 180 (berzēt).
• 6) Atrodiet 6 kg apelsīnu izmaksas: 660 - 180 = 480 (berzēt).
• 7) Atrodiet 1 kg apelsīnu cenu: 480: 6 = 80 (berzēt).

Risinājums2.

Izlīdzināsim apelsīnu un banānu skaitu, salīdzinot tos ar lielāko kopīgo dalītāju: GCD (4; 6) = 2.

• 1) Lai izlīdzinātu pirmajā un otrajā reizē iegādāto apelsīnu skaitu, mēs samazinām iegādātās preces daudzumu un tās pašizmaksu pirmajā gadījumā 2 reizes, otrajā - 3 reizes. Iegūsim problēmu, kurai ir šāda īsa nosacījuma forma:
• 2 kg lietotne. un 2,5 kg aizliegums. - 310 rubļi,
• 2 kg lietotne. un 1 kg aizliegums. - 220 rubļi.
• 2) Cik daudz banānu viņi vēl tagad pērk: 2,5 — 1 = 1,5 kg.
• 3) Noskaidrosim, cik maksā 1,5 kg banānu: 310 - 220 = 90 (berzēt).
• 4) Atrodiet 1 kg banānu cenu: 90: 1,5 = 60 (berzēt).
• 5) Atrodiet 1 kg apelsīnu cenu: (660 - 60*3) : 6 = 80 (berzēt).

Atbilde: 1 kg apelsīnu cena ir 80 rubļi, 1 kg banānu ir 60 rubļi.

Risinot problēmas, izmantojot datu salīdzināšanas paņēmienu, jūs nevarat veikt tik detalizētu analīzi un ierakstus, bet tikai reģistrēt veiktās izmaiņas salīdzināšanai un pierakstīt tās tabulas veidā.

5. Vairāku nosacījumu apvienošana vienā

Dažreiz jūs varat atbrīvoties no nevajadzīgiem nezināmajiem, apvienojot vairākus nosacījumus vienā.

Uzdevums. Tūristi pameta nometni un vispirms 4 stundas gāja kājām, bet pēc tam vēl 4 stundas brauca ar velosipēdiem ar noteiktu nemainīgu ātrumu un pārvietojās 60 km attālumā no nometnes. Otrajā reizē viņi atstāja nometni un vispirms 7 stundas brauca ar velosipēdiem ar tādu pašu ātrumu, bet pēc tam pagriezās pretējā virzienā un, ejot 4 stundas, atradās 50 km attālumā no nometnes. Cik ātri tūristi brauca ar velosipēdiem?

Problēmā ir divi nezināmie: ātrums, ar kādu tūristi brauca ar velosipēdiem, un ātrums, ar kādu viņi gāja. Lai izslēgtu vienu no tiem, varat apvienot divus nosacījumus vienā. Tad attālums, ko tūristi veiks 4 stundās, pirmo reizi virzoties uz priekšu kājām, ir vienāds ar attālumu, ko viņi veica 4 stundās, otrreiz virzoties atpakaļ. Tāpēc mēs nepievēršam uzmanību šiem attālumiem. Tas nozīmē, ka attālums, ko tūristi veiks 4 + 7 = 11 (stundās) ar velosipēdu, būs vienāds ar 50 + 60 = 110 (km).

Tad tūristu ātrums uz velosipēdiem ir: 110: 11 = 10 (km/h).

Atbilde: Velosipēdu ātrums ir 10 km/h.

6. Pieņēmuma metode

Pieņēmumu metodes izmantošana problēmu risināšanā lielākajai daļai skolēnu nesagādā grūtības. Tāpēc, lai skolēni mehāniski neiegaumētu šīs metodes soļu diagrammu un neizprastu katrai no tām veikto darbību būtību, skolēniem vispirms jāparāda izmēģinājuma metode (“viltus noteikums” un “seno babiloniešu valdījums”).

Izmantojot paraugu ņemšanas metodi, jo īpaši “viltus noteikumu”, vienam no nezināmajiem lielumiem tiek dota (“atļauta”) noteikta vērtība. Pēc tam, izmantojot visus nosacījumus, viņi atrod cita lieluma vērtību. Iegūtā vērtība tiek salīdzināta ar nosacījumu, kas norādīta. Ja iegūtā vērtība atšķiras no nosacījumā dotās, tad pirmā norādītā vērtība nav pareiza un tā jāpalielina vai jāsamazina par 1, un atkal jāatrod citas vērtības vērtība. Tas jādara, līdz iegūstam cita daudzuma vērtību, piemēram, problēmas paziņojumā.

Uzdevums. Kasierei ir 50 monētas 50 kapeikas un 10 kapeikas, kopā 21 rublis. Uzziniet, cik atsevišķu 50 000 monētu kasierim bija. un katrs pa 10k.

Risinājums 1. (izlases metode)

Izmantosim “seno” babiloniešu likumu. Pieņemsim, ka kasierim ir vienāds katra nomināla monētu skaits, tas ir, katrā 25 gab. Tad naudas summa būs 50*25 + 10*25 = 1250+250=1500 (k.), jeb 15 rubļi. Bet stāvoklī 21 rublis, tas ir, 21 UAH vairāk nekā saņemts - 15 rubļi = 6 rubļi. Tas nozīmē, ka ir jāpalielina 50 kapeiku monētu skaits un jāsamazina 10 kapeiku monētu skaits, līdz mēs kopā iegūstam 21 rubli. Monētu skaita un kopējās summas izmaiņas fiksēsim tabulā.

Monētu skaits	Monētu skaits	Naudas daudzums	Naudas daudzums	kopējā summa	Mazāk vai vairāk nekā stāvoklī
					Par 6 rubļiem mazāk.
					Par 5 rubļiem 60 tūkst
					Kā stāvoklī

Kā redzams no tabulas, kasierei bija 40 monētas pa 50 kapeikām un 10 monētas pa 10 kapeikām.

Kā izrādījās 1. risinājumā, ja kasierim būtu vienāds skaits 50k monētu. un katrs pa 10k, tad kopā viņam bija 15 rubļi naudas. Ir viegli redzēt, ka katra monētas nomaiņa ir 10k. par monētu 50k. palielina kopējo summu par 40k. Tas nozīmē, ka mums ir jāatrod, cik daudz šādu nomaiņu ir jāveic. Lai to izdarītu, vispirms noskaidrosim, cik daudz naudas mums nepieciešams, lai palielinātu kopējo summu:

21 rublis - 15 rubļi. = 6 rub. = 600 k.

Noskaidrosim, cik reizes šāda nomaiņa ir jāveic: 600 k. : 40 k. = 15.

Tad 50 kapeikas būs 25 +15 = 40 (monētas), un 10 kapeiku monētas paliks 25 - 15 = 10.

Čeks apliecina, ka kopējā naudas summa šajā gadījumā ir 21 rublis.

Atbilde: Kasierei bija 40 monētas pa 50 kapeikām un 10 monētas pa 10 kapeikām.

Lūdzot studentiem pašiem izvēlēties dažādas nozīmes 50 kapeiku monētu skaitu, nepieciešams tās novest pie domas, ka no racionalitātes viedokļa vislabākais ir pieņēmums, ka kasierim bija tikai viena nomināla monētas (piemēram, visas 50 50 kapeikas vai visas 50 monētas pa 10 kapeikām katra). Sakarā ar to viens no nezināmajiem tiek izslēgts un aizstāts ar citu nezināmo.

7. Atlikumu metode

Šai metodei ir dažas līdzības ar domāšanu, risinot problēmas, izmantojot izmēģinājuma un minēšanas metodes. Atlieku metodi izmantojam, risinot uzdevumus, kas saistīti ar kustību vienā virzienā, proti, kad ir jāatrod laiks, kurā pirmais objekts, kas aizbrauc ar lielāku ātrumu, panāks otru objektu, kuram ir mazāks ātrums. 1 stundas laikā pirmais objekts tuvojas otrajam tādā attālumā, kas ir vienāds ar to ātrumu starpību, tas ir, vienāds ar ātruma “atlikumu”, kas tam ir salīdzinājumā ar otrā ātruma ātrumu. Lai atrastu laiku, kas nepieciešams, lai pirmais objekts pārvarētu attālumu, kas kustības sākumā bija starp to un otro, ir jānosaka, cik reižu “atlikums” tiek novietots šajā attālumā.

Ja mēs abstrahējamies no sižeta un ņemam vērā tikai problēmas matemātisko struktūru, tad tas runā par diviem faktoriem (abu objektu kustības ātrumu) vai atšķirību starp šiem faktoriem un diviem produktiem (attālumiem, ko tie veic) vai to atšķirību. Nezināmie faktori (laiks) ir vienādi, un tie ir jāatrod. No matemātiskā viedokļa nezināmais faktors parāda, cik reižu zināmo faktoru starpība ir ietverta produktu starpībā. Tāpēc problēmas, kas tiek atrisinātas, izmantojot atlikumu metodi, sauc par skaitļu atrašanas problēmām pēc divām atšķirībām.

Uzdevums. Skolēni nolēma albumā ielīmēt fotogrāfijas no svētkiem. Ja viņi uzlīmēs 4 fotoattēlus uz katras lapas, albumā nepietiks vietas 20 fotoattēliem. Ja katrā lapā ielīmēsiet 6 fotoattēlus, 5 lapas paliks bez maksas. Cik fotoattēlu skolēni plāno ievietot albumā?

Uzdevuma analīze

Pirmajai un otrajai līmēšanas iespējai fotoattēlu skaits paliek nemainīgs. Atbilstoši problēmas apstākļiem tā nav zināma, taču to var atrast, ja ir zināms fotogrāfiju skaits, kas ievietotas vienā lapā, un lappušu skaits albumā.

Ir zināms vienā lapā ielīmēto fotogrāfiju skaits (pirmais reizinātājs). Albuma lappušu skaits nav zināms un paliek nemainīgs (otrais reizinātājs). Tā kā ir zināms, ka 5 albuma lappuses otrreiz paliek brīvas, varat uzzināt, cik vēl fotoattēlus var ielīmēt albumā: 6 * 5 = 30 (foto).

Tas nozīmē, ka, palielinot fotoattēlu skaitu vienā lapā par 6 - 4 = 2, ielīmēto fotoattēlu skaits palielinās par 20 + 30 = 50.

Tā kā otrreiz uz katras lapas viņi ielīmēja vēl divas fotogrāfijas un kopā vēl 50 fotogrāfijas, tad albuma lappušu skaitu atradīsim: 50: 2 = 25 (lappuses).

Līdz ar to kopā bija 4*25 + 20 = 120 (foto).

Atbilde: albumā bija 25 lappuses un 120 fotogrāfijas.

Vispārīgas piezīmes par uzdevumu risināšanu, izmantojot aritmētisko metodi.

Problēmas atrast nezināmo, pamatojoties uz darbību rezultātiem.

Proporcionālās dalīšanas problēmas.

Problēmas, kas saistītas ar procentiem un daļām.

Problēmas atrisinātas otrādi.

1. Aritmētiskā metode ir galvenā teksta uzdevumu risināšanas metode pamatskola. Tas atrod savu pielietojumu arī vidusskolu vidējā līmenī. Šī metode ļauj labāk izprast un novērtēt katra uzdevuma darba posma svarīgumu un nozīmi.

Dažos gadījumos problēmas risināšana, izmantojot aritmētisko metodi, ir daudz vienkāršāka nekā izmantojot citas metodes.

Lai gan aritmētiskā metode valdzina ar savu vienkāršību un pieejamību, tajā pašā laikā tā ir diezgan sarežģīta, un problēmu risināšanas paņēmienu apguve, izmantojot šo metodi, prasa nopietnu un rūpīgu darbu. Problēmu veidu daudzveidība neļauj veidot universālu pieeju problēmu analīzei un to risināšanas veidu atrašanai: problēmām, pat apvienotām vienā grupā, ir pilnīgi atšķirīgi risināšanas veidi.

2 . Uz uzdevumiem nezināmo atrašana pēc to atšķirības un attiecības Tie ietver problēmas, kurās, izmantojot zināmo atšķirību un divu noteikta daudzuma vērtību koeficientu, ir jāatrod šīs vērtības.

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas: X= ak/(k – 1), y = a/(k – 1).

Piemērs.Ātrvilciena rezervētajos sēdvagonos ir par 432 pasažieriem vairāk nekā kupejas vagonos. Cik pasažieru ir rezervētajos sēdvietas un kupejas vagonos atsevišķi, ja nodalījuma vagonos ir 4 reizes mazāk pasažieru nekā rezervētajos sēdvietu vagonos?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis ir parādīts attēlā. 4.

Rīsi. 4

Pasažieru skaitu kupejas automašīnās ņemsim kā 1 daļu. Pēc tam jūs varat uzzināt, cik detaļu ir uz pasažieru skaitu rezervētajās automašīnās, un pēc tam, cik detaļu ir uz 432 pasažieriem. Pēc tam jūs varat noteikt pasažieru skaitu, kas veido 1 daļu (atrodas nodalījuma automašīnās). Zinot, ka rezervētajos sēdvietu vagonos ir 4 reizes vairāk pasažieru, varam noskaidrot viņu skaitu.

1  4 = 4 (stundas) – uzskaita pasažierus rezervētajos sēdvietu vagonos;

4 – 1 = 3 (st.) – atspoguļo starpību starp pasažieru skaitu rezervētajos sēdvietas un nodalījuma vagonos;

432: 3 = 144 (p.) – nodalījuma vagonos;

144  4 = 576 (p.) – rezervētajos sēdvietu ratiņos.

Šo problēmu var pārbaudīt, atrisinot to citā veidā, proti:

1  4 = 4(h);

4 – 1 = 3 (h);

432: 3 = 144 (lpp.);

144 + 432 = 576 (lpp.).

Atbilde: nodalījuma vagonos ir 144 pasažieri, bet rezervētajos sēdvietu vagonos - 576 pasažieri.

Uz uzdevumiem nezināmo atrašana no diviem vai diviem atlikumiem atšķirības, ietver problēmas, kurās tiek ņemti vērā divi tieši vai apgriezti proporcionāli lielumi tā, ka ir zināmas viena daudzuma divas vērtības un cita lieluma atbilstošo vērtību starpība, un ir jāatrod šī lieluma vērtības. daudzums paši.

Algebriskais modelis:

Atbildes var atrast, izmantojot formulas:

Piemērs. Divi vilcieni brauca ar vienādu ātrumu - viens 837 km, otrs 248 km, un pirmais ceļā bija 19 stundas ilgāk nekā otrs. Cik stundas brauca katrs vilciens?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis parādīts 5. attēlā.

Rīsi. 5

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, cik stundu tas vai cits vilciens bija ceļā, jums jāzina tā nobrauktais attālums un ātrums. Attālums norādīts stāvoklī. Lai uzzinātu ātrumu, ir jāzina attālums un laiks, kurā šī distance veikta. Nosacījums vēsta, ka pirmais vilciens braucis par 19 stundām ilgāk, un šajā laikā veikto attālumu var noskaidrot. Viņš soļoja papildu 19 stundas - acīmredzot, šajā laikā viņš veica arī papildu distanci.

837 – 248 = 589 (km) – pirmais vilciens nobrauca tik kilometrus vairāk;

589: 19 = 31 (km/h) – pirmā vilciena ātrums;

837: 31 = 27 (stundas) – pirmais vilciens bija ceļā;

4) 248: 31 = 8 (stundas) – otrs vilciens bija ceļā.

Pārbaudīsim problēmas risinājumu, nosakot atbilstību starp datiem un skaitļiem, kas iegūti, risinot uzdevumu.

Noskaidrojot, cik ilgi katrs vilciens atradās ceļā, mēs uzzināsim, cik stundu ilgāk pirmais vilciens bija ceļā nekā otrais: 27 – 8 = 19 (stundas). Šis numurs atbilst nosacījumā norādītajam. Tāpēc problēma tika atrisināta pareizi.

Šo problēmu var pārbaudīt, risinot to citā veidā. Visi četri jautājumi un pirmās trīs darbības paliek nemainīgas.

4) 27–19 = 8 (stundas).

Atbilde: pirmais vilciens brauca 31 stundu, otrais vilciens aizņēma 8 stundas.

Uzdevumi atrast trīs nezināmos no trim šo nezināmo summām, kas ņemti pa pāriem:

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

x =(A -b + c)/2, y = (a +b – c)/2, z = (b + Ar -a)/ 2.

Piemērs. angļu un vācu valodas Vācu valodu mācās 116 skolēni un spāņu valodas Mācās 46 skolēni, bet angļu un spāņu valodu – 90 studenti. Cik studentu atsevišķi mācās angļu, vācu un spāņu valodu, ja ir zināms, ka katrs students mācās tikai vienu valodu?

Risinājums. Problēmas grafiskais modelis parādīts 6. attēlā.

Cik studentu mācās katru valodu?

Problēmas grafiskais modelis parāda: ja saskaita nosacījumā norādīto skolēnu skaitu (116 + 90 + 46), iegūstam divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās angļu, vācu un spāņu valodu. Dalot to ar divi, atrodam kopējo skolēnu skaitu. Lai noskaidrotu to skolēnu skaitu, kuri mācās angļu valodu, pietiek no šī skaitļa atņemt to skolēnu skaitu, kuri mācās vācu un spāņu valodu. Līdzīgi mēs atrodam atlikušos nepieciešamos skaitļus.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

116 + 90 + 46 = 252 (skolēni) – divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās valodas;

252: 2 = 126 (skola) – mācību valodas;

126 – 46 = 80 (skola) – mācīties angļu valodu;

126 – 90 = 36 (skola) – mācās vācu valodu;

126 – 116 = 10 (skola) – mācies spāņu valodu.

Šo problēmu var pārbaudīt, risinot to citā veidā.

116 – 46 = 70 (skolēni) – tik daudz vairāk skolēnu mācās angļu valodu nekā spāņu valodu;

90 + 70 = 160 (skolēni) – divreiz vairāk skolēnu, kuri mācās angļu valodu;

160: 2 = 80 (skola) – mācīties angļu valodu;

90 – 80 = 10 (skola) – mācies spāņu valodu;

116 – 80 = 36 (skola) – mācies vācu valodu.

Atbilde: 80 skolēni mācās angļu valodu, 36 skolēni mācās vācu valodu, bet 10 skolēni mācās spāņu valodu.

3. Proporcionālās dalīšanas problēmas ietver problēmas, kurās noteikta daudzuma dotā vērtība ir jāsadala daļās, kas ir proporcionālas dotajiem skaitļiem. Dažās no tām daļas ir norādītas skaidri, savukārt citās šīs daļas ir jānošķir, ņemot vienu no šī daudzuma vērtībām kā vienu daļu un nosakot, cik daudz šādu daļu veido tās citas vērtības.

Ir pieci proporcionālās dalīšanas problēmu veidi.

1) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa tiešu sadalīšanu daļāsproporcionāla veselu vai daļskaitļu virknei

Uz uzdevumiem šāda veida iekļaut uzdevumus, kuros numurs A X 1, X 2 , x 3, ..., X n tieši proporcionāli skaitļiem A 1 , A 2 , A 3 , ..., A n .

Algebriskais modelis:

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Piemērs. Tūrisma kompānijai ir četri atpūtas centri, kuros ir tādas pašas jaudas ēkas. 1.atpūtas centra teritorijā atrodas 6 ēkas, 2. - 4 ēkas, 3. - 5 ēkas, 4. - 7 ēkas. Cik kemperu var izmitināt katrā bāzē, ja visās 4 bāzēs var izmitināt 2112 cilvēkus?

Risinājums. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 7. attēlā.

Rīsi. 7

Lai atbildētu uz problēmas jautājumu, cik atpūtnieku var izmitināt katrā bāzē, ir jāzina, cik atpūtnieku var izmitināt vienā ēkā un cik ēkas atrodas katras bāzes teritorijā. Ēku skaits uz katras bāzes ir norādīts stāvoklī. Lai uzzinātu, cik atpūtnieku var izmitināt vienā ēkā, ir jāzina, cik atpūtnieku var izmitināt visās 4 bāzēs (tas norādīts nosacījumā) un cik ēku atrodas visu 4 bāzu teritorijā. Pēdējo var noteikt, pēc stāvokļa zinot, cik ēku atrodas katras bāzes teritorijā.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

6 + 4 + 5 + 7 = 22 (k.) – atrodas 4 bāzu teritorijā;

2112: 22 = 96 (stundas) – var novietot vienā ēkā;

96  6 = 576 (h) – var novietot uz pirmās pamatnes;

96  4 = 384 (h) – var novietot uz otrās pamatnes;

96  5 = 480 (h) – var novietot uz trešās pamatnes;

96  7 = 672 (h) – var novietot uz ceturtās pamatnes.

Pārbaude. Mēs aprēķinām, cik daudz atpūtnieku var izmitināt 4 bāzēs: 576 + 384 + 480 + 672 = 2112 (stundas). Nav neatbilstību uzdevuma nosacījumiem. Problēma tika atrisināta pareizi.

Atbilde: pirmajā bāzē var izmitināt 576 atpūtniekus, otrajā - 384 atpūtniekus, trešajā - 480 atpūtniekus, ceturtajā - 672 atpūtniekus.

2) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kas ir apgriezti proporcionāla veselu skaitļu vai daļu sērijai

Tie ietver uzdevumus, kuros numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās x 1 i , x 2 , x 3 i , ..., X" apgriezti proporcionāls skaitļiem A 1b A 2 , A 3 ,..., A n .

Algebriskais modelis:

vai

x 1 : x 2 :X 3 :...:х„ = a 2 a 3 ...A n :A 1 A 3 ...A P :A 1 A 2 A 4 ...A n :...:A 1 A 2 ...A n -1

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Kur S = A 2 A 3 ...a„ +a l a i ... a n + a ] A 2 A 4 ...A n + ... + a 1 A 2 ...A n -1.

Piemērs.Četru mēnešu laikā kažokzvēru fermas ienākumi no kažokādu pārdošanas bija 1 925 000 rubļu, un pa mēnešiem saņemtā nauda tika sadalīta apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4. Kādi ir fermas ienākumi katrā mēnesī atsevišķi?

Risinājums. Nosacījumā minēto ienākumu noteikšanai tiek doti četru mēnešu kopējie ienākumi, tas ir, četru nepieciešamo skaitļu summa, kā arī nepieciešamo skaitļu attiecība. Nepieciešamie ienākumi ir apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4.

Apzīmēsim nepieciešamie ienākumi attiecīgi caur x, X 2 , X 3 , X 4 . Pēc tam problēmu var īsi uzrakstīt, kā parādīts 8. attēlā.

Rīsi. 8

Zinot detaļu skaitu uz katru no nepieciešamajiem skaitļiem, mēs atradīsim to summā ietverto detaļu skaitu. Pamatojoties uz dotajiem četru mēnešu kopējiem ienākumiem, tas ir, pamatojoties uz nepieciešamo skaitļu summu un šajā summā ietverto daļu skaitu, mēs noskaidrojam vienas daļas vērtību un pēc tam nepieciešamos ienākumus.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

1. Nepieciešamie ienākumi ir apgriezti proporcionāli skaitļiem 2, 3, 5, 4, kas nozīmē, ka tie ir tieši proporcionāli apgrieztajiem skaitļiem, tas ir, pastāv attiecības . Aizstāsim šīs attiecības daļskaitļos ar veselu skaitļu attiecībām:

2. Zinot to X satur 30 vienādas daļas, X 2 – 20, X 3 – 12, X 4 – 15, noskaidrosim, cik daļu ir to summā:

30 + 20 + 12+ 15 = 77 (stundas).

3. Cik rubļu ir vienai daļai?

1 925 000: 77 = 25 000 (r.).

4. Kādi ir saimniecības ienākumi pirmajā mēnesī?

25 000 30 = 750 000 (r.).

5. Kādi ir saimniecības ienākumi otrajā mēnesī?

25 000 20 = 500 000 (r.).

6. Kādi ir saimniecības ienākumi trešajā mēnesī?

25 000–12 = 300 000 (r.).

7. Kādi ir saimniecības ienākumi ceturtajā mēnesī?

25 000–15 = 375 000 (r.).

Atbilde: pirmajā mēnesī saimniecības ienākumi bija 750 000 rubļu, otrajā – 500 000 rubļu, trešajā – 300 000 rubļu, ceturtajā – 375 000 rubļu.

3) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kad katram nepieciešamo skaitļu pārim ir norādītas atsevišķas attiecības

Šāda veida problēmas ietver tos uzdevumus, kuros numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās x 1, X 2 , x 3, ..., X", kad vajadzīgajiem skaitļiem ir dota relāciju sērija, kas ņemta pa pāriem. Algebriskais modelis:

x 1: X 2 = a 1 : b 1, X 2 : X 3 = a 2 : b 2, x 3 : X 4 = a 3 : b 3 , ..., X n-1 : X n = a n -1 : b n-1 .

n = 4. Algebriskais modelis:

X X :X 2 = a 1 : b 1, X 2 :X 3= A 2 : b 2, X 3 : X 4 = a 3: b 3 .

Tātad, X 1: X 2 : x 3: X 4 = A 1 A 2 A 3 : b 1 A 2 A 3 : b 1 b 2 A 3 : b 1 b 2 b 3 .

Kur S = A 1 A 2 A 3 + b 1 A G A 3 + b 1 b 2 A 3 + b 1 b 2 b 3

Piemērs. Trīs pilsētās dzīvo 168 000 iedzīvotāju. Pirmās un otrās pilsētas iedzīvotāju skaits ir proporcijā , bet otrā un trešā pilsēta – attiecībā uz . Cik iedzīvotāju ir katrā pilsētā?

Risinājums. Apzīmēsim nepieciešamos iedzīvotāju skaitu attiecīgi ar X 1 , X 2 , X 3 . Pēc tam problēmu var īsi uzrakstīt, kā parādīts 9. attēlā.

Rīsi. 9

Iedzīvotāju skaita noteikšanai tiek doti iedzīvotāju skaitļi trijās pilsētās, tas ir, trīs nepieciešamo skaitļu summa, kā arī individuālas sakarības starp nepieciešamajiem skaitļiem. Aizstājot šīs attiecības ar attiecību virkni, mēs izsakām trīs pilsētu iedzīvotāju skaitu vienādās daļās. Zinot detaļu skaitu uz katru no nepieciešamajiem skaitļiem, mēs atradīsim to summā ietverto detaļu skaitu. No dotā iedzīvotāju kopskaita trijās pilsētās, tas ir, no nepieciešamo skaitļu summas un no šajā summā ietverto daļu skaita, mēs uzzinām vienas daļas lielumu un pēc tam nepieciešamos iedzīvotāju skaitu.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem.

1. Aizstāt daļskaitļu attiecību ar veselu skaitļu attiecību:

Otrās pilsētas iedzīvotāju skaitu salīdzinām ar skaitli 15 (skaitļu 3 un 5 mazāko kopīgo daudzkārtni).

Mēs attiecīgi mainām iegūtās attiecības:

X 1: X 2 = 4: 3 = (4-5): (3-5) = 20: 15, x 2: x 3 = 5: 7 = (5-3): (7-3) = 15: 21.

No individuālajām attiecībām mēs izveidojam virkni attiecību:

X 1: X 2 : X 3 = 20: 15: 21.

2. 20 + 15 + 21 = 56 (h) – skaitlis 168 000 atbilst tik daudzām vienādām daļām;

3. 168 000: 56 = 3000 (f.) – par daļu;

4. 3000 20 = 60 000 (f.) – pirmajā pilsētā;

5. 3000 15 = 45 000 (f.) – otrajā pilsētā;

3000 21 = 63 000 (f.) - trešajā pilsētā.

Atbilde: 60 000 iedzīvotāju; 45 000 iedzīvotāju; 63 000 iedzīvotāju.

4) Problēmas, kas saistītas ar skaitļa sadalīšanu daļās, kas ir proporcionālas diviem, trīs un tā tālāk skaitļu rindām

Šāda veida problēmas ietver problēmas, kurās numurs A(noteikta daudzuma vērtība) jāsadala daļās X 1, X 2 , X 3 ,..., X n proporcionāls diviem, trīs, ..., N skaitļu rindas.

Problēmas risināšanas formulu apgrūtinības dēļ vispārējs skats Apskatīsim īpašu gadījumu, kad n = 3 un N = 2.Ļaujiet X 1 X 2 , X 3 tieši proporcionāls skaitļiem A 1 , A 2 , A 3 un apgriezti proporcionāls skaitļiem b 1 , b 2 , b 3 .

Algebriskais modelis:

(skatīt šīs daļas 1. punktu),

Piemērs. Divi strādnieki saņēma 1800 rubļu. Viens strādāja 3 dienas 8 stundas, otrs 6 dienas 6 stundas.Cik katrs nopelnīja, ja par 1 stundu darbu saņēma vienādi?

Risinājums. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 10. attēlā.

Rīsi.10

Lai uzzinātu, cik katrs strādnieks saņēma, jums jāzina, cik rubļu tika samaksāts par 1 darba stundu un cik stundas katrs strādnieks strādāja. Lai uzzinātu, cik rubļu viņi maksāja par 1 darba stundu, jums jāzina, cik viņi samaksāja par visu darbu (norādīts stāvoklī) un cik stundas abi darbinieki strādāja kopā. Lai uzzinātu kopējo nostrādāto stundu skaitu, ir jāzina, cik stundas katrs nostrādāja, un šim nolūkam ir jāzina, cik dienas katrs strādāja un cik stundas dienā. Šie dati ir iekļauti nosacījumā.

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem:

8  3 = 24 (stundas) – strādāja pirmais strādnieks;

6  6 = 36 (stundas) – strādāja otrais strādnieks;

24 + 36 = 60 (stundas) – abi strādnieki strādāja kopā;

1800: 60 = 30 (r.) – strādnieki saņem par 1 stundu darbu;

30  24 = 720 (r.) – nopelnījis pirmais strādnieks;

30  36 = 1080 (r.) - nopelnījis otrais strādnieks. Atbilde: 720 rub.; 1080 rubļi.

5) Vairāku skaitļu atrašanas uzdevumipēc to attiecībām un summas vai starpības (dažu no tām summa vai starpība)

Piemērs. Spēļu laukuma, siltumnīcas un sporta zāles aprīkojuma iegādei skolas administrācija iztērēja 49 000 rubļu. Rotaļu laukuma aprīkojums maksā uz pusi mazāk nekā siltumnīcas, un siltumnīcas maksā 3 reizes mazāk nekā sporta zāle un rotaļu laukums kopā. Cik daudz naudas tika iztērēts aprīkojuma iegādei katrā no šīm iekārtām?

Risinājums. Uzdevuma kopsavilkums ir parādīts 11. attēlā.

Rīsi. vienpadsmit

Lai uzzinātu naudas summu, kas iztērēta katra objekta aprīkojumam, ir jāzina, cik daļas no visas iztērētās naudas bija katra objekta aprīkojumam un cik rubļi bija katrai daļai. Katra objekta aprīkojumam iztērēto naudas daļu skaits tiek noteikts no problēmas apstākļiem. Nosakot detaļu skaitu katra objekta aprīkojumam atsevišķi un pēc tam atrodot to summu, mēs aprēķinām vienas daļas vērtību (rubļos).

Pierakstīsim lēmumu par darbībām ar paskaidrojumiem.

Kā 1 daļu ņemam naudas summu, kas iztērēta rotaļu laukuma aprīkojumam. Atbilstoši nosacījumam siltumnīcu aprīkojumam iztērēts 2 reizes vairāk, tas ir, 1  2 = 2 (h); Rotaļu laukuma un sporta halles aprīkojuma iegādei tika iztērēts 3 reizes vairāk nekā siltumnīcai, tas ir, 2  3 = 6 (stundas), līdz ar to sporta halles aprīkojuma iegādei tika iztērēti 6 – 1 = 5 (stundas). .

1 daļa tika iztērēta rotaļu laukuma aprīkojuma iegādei, 2 daļas siltumnīcām un 5 daļas sporta zālei. Viss patēriņš bija 1 + 2 + + 5 = 8 (h).

8 daļas ir vienādas ar 49 000 rubļu, viena daļa ir 8 reizes mazāka par šo summu: 49 000: 8 = 6 125 (rub.). Līdz ar to rotaļu laukuma aprīkojuma iegādei tika iztērēti 6125 rubļi.

Siltumnīcu aprīkojumam iztērēts divreiz vairāk: 6 125  2 = 12 250 (r.).

Trenažieru zāles aprīkojuma iegādei tika iztērētas 5 daļas: 6 125  5 = 30 625 (r.).

Atbilde: 6125 rubļi; RUB 12 250; RUR 30 625

6) Problēmas, lai izslēgtu kādu no nezināmajiem

Problēmas šajā grupā ietver problēmas, kurās ir norādītas divu produktu summas, kurām ir divi atkārtojošie faktori, un ir jāatrod šo faktoru vērtības. Algebriskais modelis

Atbilde tiek atrasta, izmantojot formulas:

Šīs problēmas risina ar datu izlīdzināšanas metodi, datu un nepieciešamo izlīdzināšanas metodi, datu aizstāšanas metodi, kā arī tā saukto “pieņēmumu” metodi.

Piemērs. Apģērbu rūpnīcā 24 mēteļiem un 45 uzvalkiem tika izmantoti 204 m auduma, bet 24 mēteļiem un 30 uzvalkiem — 162 m. Cik auduma tiek izmantots vienam uzvalkam un cik vienam mētelim?

Risinājums. Atrisināsim problēmu, izmantojot datu pielāgošanas metodi. Īss uzdevuma apraksts.

Kowtowed Marija, Ludmila Brjančeva

Darbā parādīti teksta uzdevumu risināšanas veidi.

Lejupielādēt:

Priekšskatījums:

Pašvaldības izglītības iestāde vidēji vispārizglītojošā skola Nr.64 Volgograda

Pilsētas izglītības un pētniecības darbu konkurss

vārdā "Es un Zeme". UN. Vernadskis

(rajona posms)

ARITMĒTISKĀ RISINĀŠANAS METODE

TEKSTA PROBLĒMAS MATEMĀTIKĀ

Sadaļa "Matemātika"

Pabeidza: Ludmila Bryantseva,

Pašvaldības izglītības iestādes 64.vidusskolas 9.A klases skolnieks,

Zemā Marija,

Pašvaldības izglītības iestādes 64.vidusskolas 9.A klases skolnieks.

Vadītāja: Noskova Irina Anatoljevna,

Matemātikas skolotājs, Pašvaldības izglītības iestādes 64.vidusskola

Volgograda 2014

Ievads ………………………………………………………………………………… 3

1. nodaļa. Nestandarta metodes problēmu risināšana

1. Uzdevumi par tēmu " Veseli skaitļi“………………………….. 5

1. . Uzdevumi “pa daļām un procentiem” ……………………………… 8
2. Kustību problēmas……………………………………… 11
3. Sadarbības uzdevumi…………………………… 14

Secinājums …………………………………………………………. 16

Literatūra…………………………………………………………. 16

Ievads.

Ir zināms, ka vēsturiski ilgu laiku matemātiskās zināšanas tika nodotas no paaudzes paaudzē praktisko problēmu saraksta veidā kopā ar to risinājumiem. Sākotnēji matemātiku mācīja, izmantojot modeļus. Skolēni, atdarinot skolotāju, risināja problēmas, vadoties pēc noteikta “noteikuma”. Līdz ar to senos laikos par apmācītu tika uzskatīts kāds, kurš prata atrisināt noteikta veida praksē sastopamas problēmas (tirdzniecības aprēķinos utt.).

Viens no iemesliem ir tas, ka vēsturiski ilgu laiku bērnu aritmētikas mācīšanas mērķis bija iemācīt viņiem konkrētu skaitļošanas prasmju kopumu, kas saistīts ar praktiskiem aprēķiniem. Tajā pašā laikā aritmētikas līnija - skaitļu līnija - vēl nebija izstrādāta, un mācību aprēķini tika veikti, izmantojot uzdevumus. “Aritmētikā” L.F. Piemēram, Magņitska daļskaitļi tika uzskatīti par nosauktiem skaitļiem (ne tikai, A rublis, pūds utt.), un darbības ar daļdaļām tika pētītas uzdevumu risināšanas procesā. Šī tradīcija turpinājās diezgan ilgu laiku. Pat daudz vēlāk radās problēmas ar neticamiem skaitliskiem datiem, piemēram: “ Pārdots kg cukura uz rublis par kilogramu...",kuras iedzīvināja nevis prakses vajadzības, bet gan vajadzības mācīties rēķināt.

Otrs iemesls pastiprināta uzmanība Vārdu uzdevumu lietojums Krievijā ir tāds, ka Krievijā viņi ne tikai pārņēma un attīstīja seno metodi matemātisko zināšanu pārsūtīšanai un spriešanas paņēmienus, izmantojot teksta uzdevumus. Ar uzdevumu palīdzību mācījāmies veidot svarīgas vispārizglītojošas prasmes, kas saistītas ar teksta analīzi, problēmas apstākļu un galvenā jautājuma noteikšanu, risinājuma plāna sastādīšanu, apstākļu meklēšanu, no kuriem var saņemt atbildi uz jautājumu. galvenais jautājums, pārbaudot iegūto rezultātu. Svarīga loma bija arī skolēnu mācīšanai tulkot tekstu aritmētisko darbību, vienādojumu, nevienādību un grafisko attēlu valodā.

Vēl viens punkts, ko nevar ignorēt, runājot par problēmu risināšanu. Apmācība un attīstība daudzējādā ziņā atgādina cilvēces attīstību, tāpēc seno uzdevumu un dažādu aritmētisko metožu izmantošana to risināšanā ļauj doties uz vēsturiskais konteksts, kas attīsta radošumu. Turklāt risinājumu daudzveidība rosina bērnos iztēli un ļauj katru reizi organizēt risinājuma meklējumus jaunā veidā, kas rada labvēlīgu emocionālo fonu mācībām.

Tādējādi šī darba nozīmi var apkopot vairākos punktos:

Vārdu problēmas ir svarīgi līdzekļi matemātikas mācīšana. Ar to palīdzību skolēni gūst pieredzi darbā ar lielumiem, izprot to savstarpējās attiecības un gūst pieredzi matemātikas pielietošanā praktisku uzdevumu risināšanā;

Aritmētisko metožu izmantošana problēmu risināšanā attīsta atjautību un inteliģenci, spēju uzdot jautājumus un uz tiem atbildēt, tas ir, attīsta dabisko valodu;

Teksta uzdevumu risināšanas aritmētiskās metodes ļauj attīstīt spēju analizēt problēmsituācijas, veidot risinājuma plānu, ņemot vērā zināmo un nezināmo lielumu attiecības, interpretēt katras darbības rezultātu, pārbaudīt risinājuma pareizību, sastādot un risinot apgrieztā problēma;

Teksta uzdevumu risināšanas aritmētiskās metodes pieradina pie abstrakcijām, ļauj izkopt loģisko kultūru, var veicināt mācībām labvēlīga emocionālā fona izveidi, estētiskās izjūtas attīstību saistībā ar problēmu risināšanu un matemātikas izpēti, rosinot interese par risinājuma atrašanas procesu un pēc tam par pašu priekšmetu;

Vēsturisko problēmu un dažādu seno (aritmētisko) metožu izmantošana to risināšanā ne tikai bagātina pieredzi garīgā darbība, bet arī ļauj apgūt nozīmīgu cilvēces vēstures kultūrvēsturisko slāni, kas saistīts ar problēmu risinājumu meklējumiem. Tas ir svarīgs iekšējs stimuls, lai rastu risinājumus problēmām un studētu matemātiku.

No visa iepriekš minētā mēs izdarām šādus secinājumus:

pētījuma priekšmetsir teksta uzdevumu bloks matemātikā 5.-6.klasei;

pētījuma objektsir aritmētisks problēmu risināšanas veids.

pētījuma mērķisir apsvērums pietiekamā daudzumā skolas matemātikas kursa teksta uzdevumi un to risināšanas aritmētiskās metodes pielietojums;

uzdevumi pētījuma mērķa sasniegšanaiir teksta uzdevumu analīze un risināšana kursa “Dabiskie skaitļi”, “Racionālie skaitļi”, “Proporcijas un procenti”, “Kustības uzdevumi” galvenajās sadaļās;

pētījuma metodeir praktiska meklētājprogramma.

1. nodaļa. Nestandarta problēmu risināšanas veidi.

1. Uzdevumi par tēmu “Dabiskie skaitļi”.

Šajā darba ar skaitļiem posmā aritmētiskajām problēmu risināšanas metodēm ir priekšrocības salīdzinājumā ar algebriskajām metodēm jau tāpēc, ka katra atsevišķa darbību risināšanas soļa rezultātam ir pilnīgi skaidra un konkrēta interpretācija, kas nepārsniedz dzīves pieredzes robežas. Tāpēc tie uzsūcas ātrāk un labāk dažādas tehnikas spriešana, kas balstās uz iedomātām darbībām ar zināmiem lielumiem, nevis uz vienu risinājuma metodi problēmām ar dažādām aritmētiskām situācijām, pamatojoties uz vienādojuma izmantošanu.

1. Mēs izdomājām skaitli, palielinājām to par 45 un saņēmām 66. Atrodiet skaitli, par kuru domājāt.

Lai atrisinātu problēmu, varat izmantot shematisku zīmējumu, kas palīdz vizualizēt saskaitīšanas un atņemšanas operāciju attiecības. It īpaši efektīva palīdzība zīmējums būs plkst vairāk darbības ar nezināmu apjomu.Mēs domājām par numuru 21.

2. Vasarā mans logs bija atvērts visu dienu. Pirmajā stundā ielidoja 1 ods, otrajā - 2 odi, trešajā - 3 utt. Cik odu ielidoja dienā?

Šeit mēs izmantojam metodi, kurā visi termini tiek sadalīti pāros (pirmais ar pēdējo; otrais ar priekšpēdējo utt.), Atrodiet katra terminu pāra summu un reiziniet ar pāru skaitu.

1 + 2 + 3 + … + 23 + 24 = (1 + 24) + (2 + 23) + …. + (12 + 13) = 25 12 = 300.

Ielidoja 300 odi.

3. Viesi jautāja: cik veca bija katrai no māsām? Vera atbildēja, ka ar Nadju ir kopā 28 gadus; Nadjai un Ļubai kopā ir 23 gadi, un visām trim ir 38 gadi. Cik veca ir katrai māsai?

1. 38 – 28 = 10 (gadi) – Ļuba;

2. 23 – 10 = 13 (gadi) – Nadja;

3,28 – 13 = 15 (gadi) – Vera.

Lyuba ir 10 gadus veca, Nadja ir 13 gadus veca, Vera ir 15 gadus veca.

4. Mūsu klasē mācās 30 skolēni. 23 cilvēki devās ekskursijā uz muzeju, 21 devās uz kino, un 5 cilvēki netika ne ekskursijā, ne kino. Cik cilvēku devās gan ekskursijā, gan kino?

Apsvērsim problēmas risināšanu, attēlā parādīti spriešanas posmi.

1. 30 – 5 = 25 (personas) – aizgāja uz kino, vai uz

Ekskursija;

1. 25 – 23 = 2 (personas) – gāja tikai uz kino;
2. 21 – 2 = 19 (personas) – gāja uz kino un uz

Ekskursija.

19 cilvēki devās gan uz kino, gan ekskursiju.

5. Kādam ir 24 divu veidu rēķini - katrs 100 un 500 rubļi kopā par 4000 rubļiem. Cik viņam ir 500 rubļu banknošu?

Tā kā iegūtā summa ir “apaļš” skaitlis, no tā izriet, ka 100 rubļu banknošu skaits ir 1000 reizinājums. Tādējādi arī 500 rubļu banknošu skaits ir 1000 reizinājums. Tātad mums ir - 100 rubļu banknotes ir 20 ; 500 rubļi - 4 rēķini.

Kādam ir 4 rēķini par 500 rubļiem.

6. Vasaras iedzīvotājs ieradās no savas mājas uz staciju 12 minūtes pēc vilciena atiešanas. Ja viņš katrā kilometrā būtu pavadījis par 3 minūtēm mazāk, viņš būtu ieradies tieši laikā, kad vilciens aiziet. Cik tālu vasaras iedzīvotājs dzīvo no stacijas?

Patērējot par 3 minūtēm mazāk uz kilometru, vasaras iedzīvotājs 12 attālumā varētu ietaupīt 12 minūtes: 3 = 4 km.

Vasaras iedzīvotājs dzīvo 4 km attālumā no stacijas.

7. Avots iedod mucu ūdens 24 minūtēs. Cik mucu ūdens dienā saražo avots?

Tā kā mums ir jāstrādā par daļām, mums nav jāatrod, kura mucas daļa ir piepildīta 1 minūtē. Noskaidrosim, cik minūtes vajadzēs, lai piepildītu 5 mucas: 24 · 5 = 120 minūtes jeb 2 stundas. Tad 24. dienā tiks piepildīts 2 = 12 reizes vairāk mucu nekā 2 stundās, tas ir, 5 · 12 = 60 mucas.

Avots saražo 60 barelu dienā.

8. Kādā jomānomainīt vecās sliedes 8 m garumā pret jaunām 12 m garām Cik jaunas ir vajadzīgas 240 veco vietā?

Posmā 24 m garumā 3 veco sliežu vietā tiks uzstādītas 2 jaunas. Sliedes tiks nomainītas 240: 3 = 80 šādos posmos, un uz tām tiks novietotas 80 · 2 = 160 jaunas sliedes.

Būs nepieciešamas 160 jaunas sliedes.

9. Maiznīcā bija 654 kg melnā un baltmaize. Pēc 215 kg melnās un 287 kg baltmaizes realizācijas bija palicis vienāds daudzums abu veidu maizes. Cik kilogramu melnās un baltās maizes bija ceptuvē atsevišķi?

1) 215 + 287 = 502 (kg) – pārdota maize;

2) 654 – 502 = 152 (kg) – pārdošanai palikusi maize;

3) 152: 2 = 76 (kg) baltās (un melnās) maizes atlikušas pārdošanai;

4) 215 + 76 = 291 (kg) – sākotnēji bija melnā maize;

5) 287 + 76 = 363 (kg) – sākotnēji bija baltmaize.

Sākotnēji bija 291 kg melnās maizes un 363 kg baltmaizes.

1. Problēmas “pa daļām un procentiem”.

Darba ar uzdevumiem rezultātā šajā sadaļā ir jāņem piemērota vērtība 1 daļai, jānosaka, cik šādu daļu nokrīt uz citu vērtību, to summu (starpību), pēc tam iegūstiet atbildi uz problēmas jautājumu.

10. Pirmā brigāde uzdevumu var paveikt 20 stundās, bet otrā – 30 stundās. Pirmkārt, komandas izpildīja ¾ no uzdevuma, strādājot kopā, un pārējo uzdevumu paveica pirmā komanda vienatnē. Cik stundas prasīja uzdevuma izpilde?

Darba izpildes uzdevumi ir mazāk skaidri nekā kustību uzdevumi. Tāpēc šeit ir nepieciešama katra posma detalizēta analīze.

1) Ja pirmā komanda strādā viena, tad tā paveiks uzdevumu 20 stundās – tas nozīmē, ka katru stundu tā izpilda visu uzdevumu.

2) Strīdoties līdzīgi, iegūstam darba ražīgumu otrajai komandai - visu uzdevumu.

3) Pirmkārt, strādājot kopā, komandas nokomplektējāsvisu uzdevumu. Cik daudz laika viņi pavadīja?. Tas ir, vienas stundas laikā kopīgā darbā abas komandas izpilda uzdevuma divpadsmito daļu.

4) Tad viņi paveiks uzdevumu 9 stundās, kopš(atbilstoši daļskaitļa galvenajai īpašībai).

5) Atliek tikai pabeigtuzdevumus, bet tikai pirmajai komandai, kura izpilda 1 stundas laikāvisu uzdevumu. Tātad pirmajai brigādei jāstrādā 5:00 lai lieta tiktu līdz galam, kopš.

6) Visbeidzot, mums ir 5 + 9 = 14 stundas.

Uzdevums tiks izpildīts 14 stundu laikā.

vienpadsmit . Apjomi gada ieguve no pirmās, otrās un trešās urbuma ir samērota 7:5:13. Gada naftas ieguvi no pirmā urbuma plānots samazināt par 5% un no otrās par 6%. Par cik procentiem jāpalielina gada naftas ieguve no trešā urbuma, lai kopējais gadā saražotās naftas apjoms nemainītos??

Problēmas ar daļām un procentiem ir vēl laikietilpīgāka un nesaprotamāka problēmu joma. Tāpēc viskonkrētāk mēs tos sapratām ar skaitliskiem piemēriem. 1. piemērs. Lai naftas ieguve gadā būtu 1000 barelu. Tad, zinot, ka šī produkcija ir sadalīta 25 daļās (7+5+13=25, t.i., viena daļa ir 40 mucas) mums ir: pirmais tornis sūknē 280 mucas, otrais – 200 mucas, trešais – 520 mucas gadā. . Ja ražošana samazinās par 5%, pirmā platforma zaudē 14 barelu (280·0,05 = 14), tas ir, tā ražošana būs 266 bareli. Ja ražošana samazināsies par 6%, otrā platforma zaudē 12 barelu (200·0,06 = 12), tas ir, tā ražošana būs 188 bareli.

Tikai gada laikā viņi kopā pārsūknēs 454 barelu naftas, tad trešajā tornī būs jāsaražo 546 mucas 520 barelu vietā.

2. piemērs. Lai naftas ieguve gadā būtu 1500 barelu. Tad, zinot, ka šī produkcija ir sadalīta 25 daļās (7+5+13=25, t.i., viena daļa ir 60 mucas) mums ir: pirmais tornis sūknē 420 mucas, otrais - 300 mucas, trešais - 780 mucas gadā. . Ja ražošana samazināsies par 5%, pirmā platforma zaudē 21 barelu (420·0,05 = 21), tas ir, tā ražošana būs 399 bareli. Samazinoties ražošanai par 6%, otrā platforma zaudē 18 barelu(300·0,06 = 18), tas ir, tā ražošana būs 282 mucas.

Kopumā gada laikā viņi kopā sūknēs 681 barelu naftas, tad trešajā tornī 780 barelu vietā vajadzēs saražot 819 barelu.

Tas ir par 5% vairāk nekā iepriekšējā produkcija, kopš.

Ir nepieciešams palielināt ikgadējo naftas ieguvi no trešā urbuma par 5%, lai kopējais gadā saražotās naftas apjoms nemainītos.

Mēs varam apsvērt citu līdzīgas problēmas versiju. Šeit mēs iepazīstinām ar dažiem mainīgajiem, kas ir tikai tilpuma vienību “simbols”.

12. Gada naftas ieguves apjoms no pirmās, otrās un trešās urbuma ir 6:7:10. Gada naftas ieguvi no pirmā urbuma plānots samazināt par 10%, bet no otrās par 10%. Par cik procentiem jāpalielina gada naftas ieguve no trešā urbuma, lai kopējais saražotās naftas apjoms nemainītos?

Lai gada naftas ieguves apjomi no pirmās, otrās un trešās urbuma būtu vienādi ar attiecīgi 6x, 7x, 10x dažām tilpuma vienībām.

1) 0,1 ·6x = 0,6x (vienības) – ražošanas samazinājums pirmajā urbumā;

2)0,1 ·7x = 0,7x (vienības) – ražošanas samazinājums otrajā urbumā;

3) 0,6x + 0,7x = 1,3x (vienības) – vajadzētu būt naftas ieguves apjoma pieaugumam trešajā urbumā;

Par šo procentu jāpalielina gada naftas ieguve no trešā urbuma.

Ikgadējā naftas ieguve no trešā urbuma jāpalielina par 13%.

13. Nopirkām 60 klades - rūtiņu klades bija 2 reizes vairāk nekā rindu klades. Cik daļu ir piezīmju grāmatiņā ar līniju? uz kvadrātveida piezīmju grāmatiņas; visām piezīmju grāmatiņām? Cik rindu burtnīcu jūs iegādājāties? Cik vienā būrī?

Risinot problēmu, labāk paļauties uz shematisku zīmējumu, kuru var viegli pavairot piezīmju grāmatiņā un risinājuma gaitā papildināt ar nepieciešamajām piezīmēm. Ļaujiet izklātajām piezīmju grāmatiņām veido 1 daļu, tad kvadrātveida burtnīcas veido 2 daļas.

1) 1 + 2 = 3 (daļas) – aptver visas piezīmju grāmatiņas;

2) 60: 3 = 20 (piezīmju grāmatiņas) – veido 1 daļu;

3) 20 · 2 = 40 (piezīmju grāmatiņas) – rūtiņu burtnīcas;

4) 60 – 40 = 20 (piezīmju grāmatiņas) – izklāta.

Nopirkām 20 rindu klades un 40 rūtiņu klades.

14. 1892. gadā kāds izdomā Sanktpēterburgā pavadīt tikpat minūtes, cik stundas pavadīs ciemā. Cik ilgi kāds pavadīs Sanktpēterburgā?

Tā kā 1 stunda ir vienāda ar 60 minūtēm un minūšu skaits ir vienāds ar stundu skaitu, tad kāds ciematā pavadīs 60 reizes vairāk laika nekā Sanktpēterburgā (ceļa laiks šeit netiek ņemts vērā). Ja Sanktpēterburgā pavadīto dienu skaits ir 1 daļa, tad ciemā pavadīto dienu skaits ir 60 daļas. Tā kā mēs runājam par garo gadu, uz vienu daļu ir 366: (60 + 1) = 6 (dienas).

Kāds pavadīs 6 dienas Sanktpēterburgā.

15. Āboli satur 78% ūdens. Tie bija nedaudz žāvēti un tagad satur 45% ūdens. Cik procentus no savas masas āboli zaudēja žāvēšanas laikā?

Lai x kg ir ābolu masa, tad tajā ir 0,78x kg ūdens un x – 0,78x = 0,22x (kg) sausnas. Pēc žāvēšanas sausna ir 100 - 45 = 55 (%) no sauso ābolu masas, tātad sauso ābolu masa ir 0,22x: 0,55 = 0,46x (kg).

Tātad, žāvēšanas laikā āboli zaudēja x - 0,46x = 0,54x, tas ir, 54%.

Žāvēšanas laikā āboli zaudēja 54% no savas masas.

16. Zāle satur 82% ūdens. Tas bija nedaudz žāvēts, un tagad tajā ir 55% ūdens. Cik daudz masas zāle zaudēja žāvēšanas laikā?

Plkst sākotnējie nosacījumi zāles dzīvmasa bija 100% - 82% = 18%.

Pēc žāvēšanas šī vērtība pieauga līdz 45%, bet kopējā zāles masa samazinājās par 40% (45: 18 · 10% = 40%).

Žāvēšanas laikā zāle zaudēja 40% no savas masas.

1. Kustību uzdevumi.

Šie uzdevumi tiek uzskatīti par tradicionāli sarežģītiem. Tāpēc ir nepieciešams sīkāk analizēt aritmētisko metodi šāda veida problēmu risināšanai.

17. No punkta A uz punktu B vienlaikus pārvietojas divi velosipēdisti. Vienam no tiem ātrums ir par 2 km/h mazāks nekā otram. Velosipēdists, kurš pirmais ieradās B, nekavējoties pagriezās atpakaļ un pēc 1 stundas 30 minūtēm satika citu velosipēdistu. pēc aiziešanas no A. Kādā attālumā no punkta B notika tikšanās?

Arī šī problēma tiek atrisināta, izmantojot priekšmetu attēlu un asociāciju piemēru.

Pēc tam, kad ir izskatīti vairāki piemēri, un neviens nešaubās par skaitli - attālums ir 1,5 km, tas ir jāpamato ar uzrādītās problēmas datiem. Proti, 1,5 km ir 2 atpalicība no 1. riteņbraucēja uz pusi: 1,5 stundā otrais atpaliek no pirmā par 3 km, jo ​​atgriežas 1, tad abi velosipēdisti pietuvojas viens otram par pusi starpības. nobrauktais attālums, tas ir, par 1,5 km. Tas nozīmē atbildi uz problēmu un metodi šāda veida teksta uzdevumu risināšanai.

Tikšanās notika 1,5 km attālumā no punkta B.

18. Divi vilcieni vienlaikus izbrauca no Maskavas uz Tveru. Pirmā pagāja stundā 39 verstes un ieradās Tverā divas stundas agrāk nekā otrā, kas pagāja stundā 26 verstes. Cik jūdžu no Maskavas līdz Tverai?

1) 26 · 2 = 52 (verstas) – cik otrais vilciens atpaliek no pirmā;

2) 39 – 26 = 13 (verstas) – tik daudz otrais vilciens 1 stundā atpalika no pirmā;

3) 52: 13 = 4 (h) — tas ir, cik ilgi pirmais vilciens bija ceļā;

4) 39 · 4 = 156 (verstas) – attālums no Maskavas līdz Tverai.

No Maskavas līdz Tverai 156 verstes.

1. Sadarbības uzdevumi.

19. Viena komanda uzdevumu var izpildīt 9 dienās, bet otrā - 12 dienās. Pirmā komanda strādāja pie šī uzdevuma 3 dienas, tad otrā komanda pabeidza darbu. Cik dienu laikā uzdevums tika izpildīts?

1) 1: 9 = (uzdevumi) – pirmā komanda izpildīs vienas dienas laikā;

2) 3 = (uzdevumi) - pirmā brigāde izpilda trīs dienās;

3) 1 - = (uzdevumi) – izpilda otrā brigāde;

4) 1: 12 = (uzdevumi) – vienas dienas laikā izpildīs otrā komanda;

5) 8 (dienas) – strādāja otrā brigāde;

6) 3 + 8 = 11 (dienas) – pavadīts uzdevuma izpildei.

Uzdevums tika izpildīts 11 dienās.

20. Zirgs apēd siena kravu mēnesī, kaza – divos, aita – trīs mēnešos. Cik ilgi zirgam, kazai un aitai vajadzēs kopā ēst vienu un to pašu siena kravu?

Ļaujiet zirgam, kazai un aitām ēst sienu 6 mēnešus. Tad zirgs apēdīs 6 ratus, kaza – 3 ratus, aita – 2 ratus. Ir tikai 11 rati, kas nozīmē, ka tie irrati, un viens rats tiks apēsts par 1:= (mēneši).

Zirgs, kaza, aita apēdīs pajūgu siena par mēnesis.

21. Četri galdnieki vēlas būvēt māju. Pirmais galdnieks var uzcelt māju 1 gadā, otrais 2 gados, trešais 3 gados, ceturtais 4 gados. Cik ilgs laiks viņiem būs nepieciešams, lai uzceltu māju, ja viņi strādā kopā?

12 gadu laikā katrs individuālais galdnieks var uzbūvēt: pirmo - 12 mājas; otrā – 6 mājas; trešā – 4 mājas; ceturtā – 3 mājas. Tādējādi 12 gadu laikā viņi var uzbūvēt 25 mājas. Tāpēc, strādājot kopā, viņi varēs ierīkot vienu pagalmu 175,2 dienas.

Galdnieki, kopīgi strādājot, māju varēs uzbūvēt 175,2 dienās.

Secinājums.

Nobeigumā jāsaka, ka pētījumā izklāstītie uzdevumi ir tikai neliels piemērs aritmētisko metožu izmantošanai tekstuālo uzdevumu risināšanā. Jāsaka viena lieta svarīgs punkts– uzdevumu sižeta izvēle. Fakts ir tāds, ka, risinot problēmas, nav iespējams paredzēt visas grūtības. Bet, neskatoties uz to, sākotnējās jebkura veida problēmu risināšanas metodes apguves brīdī to sižetam jābūt pēc iespējas vienkāršākam.

Dotie paraugi reprezentē īpašs gadījums, bet tie atspoguļo virzienu – skolas tuvināšanu dzīvei.

Literatūra

1. Vileitner G. Lasītājs par matemātikas vēsturi. – I. izdevums. Aritmētika un algebra / tulk. ar viņu. P.S. Juškevičs. – M.-L.: 1932.g.

2.Toom A.L. Teksta problēmas: lietojumprogrammas vai mentālie manipulācijas // Matemātika, 2004.

3.Ševkins A.V. Teksta uzdevumi skolas matemātikas kursā.M, 2006.g.

Problēmu risināšana, izmantojot aritmētiskās metodes

Matemātikas stunda 5. klasē.

"Ja vēlaties iemācīties peldēt, tad drosmīgi ieejiet ūdenī, un, ja vēlaties iemācīties risināt problēmas, tad atrisiniet tās.".
D. Poļa

Nodarbības mērķi un uzdevumi:

attīstīt spēju risināt uzdevumus, izmantojot aritmētisko metodi;

attīstību radošums, kognitīvā interese;

attīstību loģiskā domāšana;

mīlestības pret priekšmetu audzināšana;

matemātiskās domāšanas kultūras veicināšana.

Aprīkojums: signāla kartes ar cipariem 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Nodarbību laikā

I. Organizatoriskais moments (1 minūte)

Nodarbība veltīta uzdevumu risināšanai, izmantojot aritmētisko metodi. Šodien mēs risināsim problēmas dažādi veidi, bet tie visi tiks atrisināti bez vienādojumu palīdzības.

II. Vēsturiska atsauce (1 minūte)

Vēsturiski ilgu laiku matemātiskās zināšanas tika nodotas no paaudzes paaudzē praktisko problēmu saraksta veidā kopā ar to risinājumiem. Senatnē par apmācītu tika uzskatīts kāds, kurš prata atrisināt noteikta veida problēmas, ar kurām saskaras praksē.

III. Iesildīšanās (problēmu risināšana mutiski - 6 min.)
a) Problēmas kartēs.
Katram skolēnam tiek izsniegta kartīte ar uzdevumu, kuru viņš mutiski atrisina un sniedz atbildi. Visi uzdevumi darbībai 3 - 1 = 2.

(Skolēni uzdevumus risina pareizi, daži ne. Visi mutiski. Viņi paceļ kārtis, un skolotājs redz, kurš problēmu atrisināja; kartītēs jābūt ciparam 2.)

b) Problēmas pantā un loģikas problēmas. (Skolotājs skaļi nolasa uzdevumu, skolēni paceļ kartīti ar pareizo atbildi.

Ezītis iedeva pīlēnus
Kurš no puišiem atbildēs?
Astoņi ādas zābaki
Cik pīļu tur bija?
(Četri.)

Divi veikli sivēni
Viņiem bija tik auksti, ka viņi trīcēja.
Saskaiti un saki:
Cik filca zābakus man vajadzētu iegādāties?
(Astoņi.)

Iegāju priežu mežā
Un es redzēju mušmire
Divas medus sēnes,
Divas morles.
Trīs eļļas kannas,
Divas rindas...
Kam ir gatava atbilde:
Cik sēņu es atradu?
(Desmit.)

4. Pagalmā staigāja vistas un suņi. Zēns skaitīja viņu ķepas. Izrādījās, ka ir desmit. Cik cāļu un cik suņu varētu būt? (Divi suņi un viena vista, viens suns un trīs vistas.)

5. Pēc ārsta receptes aptiekā nopirkām 10 tabletes. Ārsts man izrakstīja 3 tabletes dienā. Cik dienas ilgs šīs zāles? (Pilnas dienas.)

6. Brālim ir 7 gadi, un māsai 5. Cik veca būs māsai, kad brālim būs 10 gadi?

7. Doti skaitļi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. kas ir lielāks: to reizinājums vai summa?

8. Būvējot žogu, galdnieki taisnā līnijā novietoja 5 stabus. Attālums starp stabiem ir 2 m Kāds ir žoga garums?

IV. Problēmu risināšana

(Uzdevumi bērniem doti uz kartītēm - 15 minūtes. Bērni risina uzdevumus pie tāfeles)
Uzdevumi a) un b) ir vērsti uz sakarību “par... vairāk” un “par... mazāk” atkārtošanu ar saskaitīšanas un atņemšanas operācijām.

a) Virpotāja māceklis maiņā pagrieza 120 daļas, bet virpotājs par 36 daļām vairāk. Cik detaļu virpotājs un viņa māceklis pagrieza kopā?

b) Pirmā komanda maiņas laikā savāca 52 ierīces, otrā?- 9 ierīces mazāk nekā pirmā, bet trešā - 12 ierīces vairāk nekā otrā.Cik ierīces trīs komandas savāca maiņas laikā?

Izmantojot uzdevumu c), skolēniem var parādīt problēmas risinājumu “apgrieztā veidā”.

c) Trīs klasēs ir 44 meitenes - tas ir par 8 mazāk nekā zēni. Cik zēnu ir trīs klasēs?

d) uzdevumā studenti var piedāvāt vairākus risinājumus.

d) Trīs māsām jautāja: "Cik katrai no māsām ir gadu?" Vera atbildēja, ka viņai un Nadjai kopā bija 28 gadi, Nadjai un Ļubai kopā bija 23 gadi, un visām trim bija 38 gadi. Cik veca ir katrai no māsām?

Uzdevums e) ir paredzēts, lai atkārtotu saikni starp “vairāk iekšā...” un “mazāk iekšā...”.

e) Vasjai bija 46 atzīmes. Gada laikā viņa kolekcija palielinājās par 230 pastmarkām. Cik reizes viņa kolekcija ir palielinājusies?

V. Fiziskās audzināšanas minūte (2 minūtes.)

Stāviet uz vienas kājas
Tas ir tā, it kā jūs būtu nelokāms karavīrs.
Paceliet kreiso kāju.
Skaties, nekrīti.
Tagad stāviet pa kreisi,
Ja esi drosmīgs karavīrs.

VI. Senās, vēsturiskās problēmas. Problēmas ar pasaku saturu (10 min.)

Uzdevums e) atrast divus skaitļus pēc to summas un starpības.

e)(no Ļ.N. Tolstoja “Aritmētikas”)

Diviem vīriešiem ir 35 aitas. Vienam ir par 9 vairāk nekā otram. Cik aitu ir katram cilvēkam?

Kustības uzdevums.

un)(Sena problēma.)Divi vilcieni vienlaikus izbrauca no Maskavas uz Tveru. Pirmais brauca ar ātrumu 39 verstes stundā un ieradās Tverā divas stundas agrāk nekā otrais, kas pārvietojās ar ātrumu 26 verstes stundā. Cik jūdžu no Maskavas līdz Tverai?

(Vienkāršāk ir iegūt atbildi, izmantojot vienādojumu. Bet studenti tiek mudināti meklēt aritmētiskais risinājums uzdevumi.)

1) 26 * 2 = 52 (verstas) — otrais vilciens bija tik daudz jūdžu aiz pirmā;

2) 39 - 26 = 13 (verstas) - par tik daudzām jūdzēm otrais vilciens atpalika par 1 stundu no pirmā;

3) 52: 13 = 4 (h) — tas ir, cik ilgs laiks pagāja pirmajam vilcienam;

4) 39 * 4 = 156 (verstas) - attālums no Maskavas līdz Tverai.

Varat meklēt uzziņu grāmatās, lai atrastu attālumu kilometros.

1 versta = 1 km 69 m.

Uzdevums ir sadalīts daļās.

h)Kikimoras uzdevums.Mermens nolēma apprecēties ar kikimoru Ha-Ha. Viņš uzsēja vairākas dēles uz sava kikimora plīvura un divreiz vairāk uz apmetņa. Svētku laikā nokrita 15 dēles, un palika tikai 435. Cik dēles bija uz kikimoras plīvura?

(Uzdevumu ir dots atrisināt, izmantojot vienādojumu, bet mēs to risinām aritmētiskā veidā)

VII. Dzīvie numuri (izkraušanas pauze - 4 min.)

Skolotājs piesauc pie tāfeles 10 skolēnus un dod viņiem skaitļus no 1 līdz 10. Skolēni saņem dažādus uzdevumus;

a) skolotājs zvana uz numuriem; nosauktie sper soli uz priekšu (piem.: 5, 8, 1, 7);

b) iznāk tikai nosauktā numura kaimiņi (piemēram: iznāk cipars 6, 5 un 7);

c) skolotājs izdomā piemērus, un iznāk tikai tas, kuram ir atbilde uz šo piemēru vai problēmu (piemēram: 2 ´ 4; 160: 80; utt.);

d) skolotājs vairākas reizes aplaudē un arī parāda ciparu (vienu vai divus); jāiznāk skolēnam, kura skaitlis ir visu dzirdēto un redzēto skaitļu summa (piemēram: 3 aplaudējumi, cipars 5 un skaitlis 1.);

kāds skaitlis 4 ir lielāks par četriem?

Es izdomāju skaitli, atņēmu no tā 3, saņēmu 7. Kādu skaitli es izdomāju?

ja paredzētajam skaitlim pievieno 2, iegūst 8. Kāds ir paredzētais skaitlis?

Jācenšas uzdevumus atlasīt tā, lai atbildēs neatkārtotos vieni un tie paši skaitļi, lai visi varētu aktīvi piedalīties spēlē.

VIII. Apkopojot stundu (2 minūtes.)

- Ko mēs šodien nodarbībā darījām?

- Ko nozīmē atrisināt uzdevumu, izmantojot aritmētiku?

- Jāatceras, ka problēmas risinājumam ir jāatbilst problēmas nosacījumiem.

IX. Mājas darba uzdevums. Novērtēšana (2 minūtes.)

№ 387 (risiniet uzdevumus ar aritmētisko metodi), vājiem skolēniem. Vidējiem un spēcīgiem skolēniem mājasdarbi tiek doti uz kartītēm.

1. Maiznīcā bija 645 kg melnās un baltās maizes. Pārdodot 215 kg melnās un 287 kg baltmaizes, abu veidu maizes bija palicis vienāds daudzums. Cik kilogramu melnās un baltās maizes bija ceptuvē atsevišķi?

Brālis un māsa mežā atrada 25 sēnes. Brālis atrada par 7 sēnēm vairāk nekā viņa māsa. Cik sēņu brālis atrada?

Kompotam ņēmām 6 daļas ābolu, 5 daļas bumbieru un 3 daļas vārdu. Izrādījās, ka bumbieri un plūmes kopā paņēma 2 kg 400 g Nosaka ņemto ābolu masu; visu augļu masa.

Literatūra

Viļenkins N., Žohovs V., Česnokovs A.Matemātika. 5. klase. - M., "Mnemosyne", 2002.

Ševkins A.V.Teksta uzdevumi skolas matemātikas kursā. - M.: Pedagoģiskā universitāte “Pirmais septembris”, 2006.

Voļina V.Ciparu svētki. - M.: Zināšanas, 1994.