Būs arī pašam risināmas problēmas, uz kurām varēsi redzēt atbildes.
Saīsinātās reizināšanas formulas ļauj veikt identiskas izteiksmju transformācijas - polinomus. Ar to palīdzību var faktorēt polinomus un, piemērojot formulas apgrieztā secībā, binomiālu, kvadrātu un kubu reizinājumus var attēlot kā polinomus. Apskatīsim visas vispārpieņemtās saīsinātās reizināšanas formulas, to atvasināšanu, kopīgus uzdevumus par identiskām izteiksmju pārveidojumiem, izmantojot šīs formulas, kā arī mājasdarbus (atbildes uz tām var atrast, izmantojot saites).
Summas kvadrāts
Summas kvadrāta formula ir vienādība
(divu skaitļu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu plus divreiz pirmā skaitļa reizinājumu un otro plus otrā skaitļa kvadrātu).
Tā vietā a Un bŠajā formulā var aizstāt jebkurus skaitļus.
Kvadrātsummas formulu bieži izmanto, lai vienkāršotu aprēķinus. Piemēram,
Izmantojot kvadrātsummas formulu, polinomu var faktorizēt, proti, attēlot kā divu identisku faktoru reizinājumu.
1. piemērs.
.
2. piemērs. Uzrakstiet izteiksmi kā polinomu
Risinājums. Izmantojot formulu summas kvadrātam, ko iegūstam
Kvadrāta starpība
Kvadrātveida starpības formula ir vienādība
(divu skaitļu starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu, no kura atņemts divkāršs pirmā skaitļa reizinājums un otrais plus otrā skaitļa kvadrāts).
Kvadrātu starpības formulu bieži izmanto, lai vienkāršotu aprēķinus. Piemēram,
Izmantojot starpības formulu kvadrātā, polinomu var faktorizēt, proti, attēlot kā divu identisku faktoru reizinājumu.
Formula izriet no noteikuma polinoma reizināšanai ar polinomu:
5. piemērs. Uzrakstiet izteiksmi kā polinomu
Risinājums. Izmantojot formulu starpības kvadrātā, mēs iegūstam
.
Pielietojiet saīsināto reizināšanas formulu pats un pēc tam apskatiet risinājumu
Pilna kvadrāta izvēle
Bieži vien otrās pakāpes polinoms satur summas vai starpības kvadrātu, bet ir ietverts slēptā formā. Lai nepārprotami iegūtu perfektu kvadrātu, jums ir jāpārveido polinoms. Lai to izdarītu, parasti viens no polinoma vārdiem tiek attēlots kā dubultreizinājums, un pēc tam polinomam tiek pievienots un no tā atņemts tāds pats skaitlis.
7. piemērs.
Risinājums. Šo polinomu var pārveidot šādi:
Šeit mēs esam prezentējuši 5 x divreiz vairāk nekā 5/2 by x, pievieno polinomam un no tā atņem to pašu skaitli, pēc tam piemēroja binomāla summas kvadrāta formulu.
Tātad, mēs esam pierādījuši vienlīdzību
,
ir vienāds ar perfektu kvadrātu plus skaitli .
8. piemērs. Apsveriet otrās pakāpes polinomu
Risinājums. Veiksim tajā šādas transformācijas:
Šeit mēs esam prezentējuši 8 x kā dubultprodukts x ar 4, pievienojot polinomam un atņemot no tā to pašu skaitli 4², piemērojot binoma starpības kvadrātu formulu x − 4 .
Tātad, mēs esam pierādījuši vienlīdzību
,
kas parāda, ka otrās pakāpes polinoms
vienāds ar perfektu kvadrātu plus skaitli –16.
Pielietojiet saīsināto reizināšanas formulu pats un pēc tam apskatiet risinājumu
Summas kubs
Summas kuba formula ir vienādība
(divu skaitļu summas kubs ir vienāds ar pirmā skaitļa kubu plus trīskāršot pirmā un otrā skaitļa kvadrāta reizinājumu, plus trīskāršot pirmā skaitļa un otrā skaitļa kvadrāta reizinājumu un plus otrā numura kubs).
Summas kuba formula tiek iegūta šādi:
10. piemērs. Uzrakstiet izteiksmi kā polinomu
Risinājums. Izmantojot summas kuba formulu, mēs iegūstam
Pielietojiet saīsināto reizināšanas formulu pats un pēc tam apskatiet risinājumu
Atšķirības kubs
Atšķirības kuba formula ir vienādība
(divu skaitļu starpības kubs ir vienāds ar pirmā skaitļa kubu mīnus pirmā un otrā skaitļa kvadrāta trīskāršais reizinājums, plus pirmā skaitļa trīskāršais reizinājums un otrā skaitļa kvadrāts mīnus kubs no otrā numura).
Izmantojot summas kuba formulu, polinomu var faktorizēt, proti, attēlot kā trīs identisku faktoru reizinājumu.
Atšķirības kuba formula tiek iegūta šādi:
12. piemērs. Uzrakstiet izteiksmi kā polinomu
Risinājums. Izmantojot atšķirības kuba formulu, mēs iegūstam
Pielietojiet saīsināto reizināšanas formulu pats un pēc tam apskatiet risinājumu
Kvadrātu atšķirība
Kvadrātu atšķirības formula ir vienādība
(divu skaitļu kvadrātu starpība ir vienāda ar šo skaitļu un to starpības summas reizinājumu).
Izmantojot summas kuba formulu, jebkuru formas polinomu var faktorizēt.
Formulas pierādījumu iegūst, izmantojot polinoma reizināšanas likumu:
14. piemērs. Ierakstiet reizinājumu kā polinomu
.
Risinājums. Izmantojot kvadrātu starpības formulu, mēs iegūstam
15. piemērs. Faktorizēt
Risinājums. Šis izteiciens nepārprotami iekļaujas nevienā identitātē. Bet skaitli 16 var attēlot kā pakāpju ar bāzi 4: 16=4². Tad sākotnējai izteiksmei būs cita forma:
,
un šī ir kvadrātu atšķirības formula, un, piemērojot šo formulu, mēs iegūstam
Aprēķinot algebriskos polinomus, lai vienkāršotu aprēķinus, izmantojiet saīsinātās reizināšanas formulas. Kopumā ir septiņas šādas formulas. Jums tie visi ir jāzina no galvas.
Jāatceras arī, ka formulās “a” un “b” vietā var būt vai nu skaitļi, vai jebkuri citi algebriski polinomi.
Kvadrātu atšķirība
Atcerieties!
Kvadrātu atšķirība divi skaitļi ir vienādi ar šo skaitļu un to summas starpības reizinājumu.
a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)- 15 2–2 2 = (15–2) (15 + 2) = 13 17 = 221
- 9a 2 - 4b 2 ar 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Summas kvadrāts
Atcerieties!
Divu skaitļu summas kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu plus divreiz pirmā skaitļa reizinājumu un otro plus otrā skaitļa kvadrātu.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Lūdzu, ņemiet vērā, ka ar šo saīsināto reizināšanas formulu tas ir vienkārši atrast lielu skaitļu kvadrātus neizmantojot kalkulatoru vai garo reizināšanu. Paskaidrosim ar piemēru:
Atrodiet 112 2.
- Sadalīsim 112 skaitļu summā, kuru kvadrātus mēs labi atceramies.
112 = 100 + 1 - Iekavās ierakstiet skaitļu summu un virs iekavām novietojiet kvadrātu.
112 2 = (100 + 12) 2 - Izmantosim formulas summas kvadrātam:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544
Atcerieties, ka kvadrātsummas formula ir derīga arī visiem algebriskajiem polinomiem.
- (8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2
Brīdinājums!
(a + b) 2 nav vienāds ar (a 2 + b 2)Kvadrāta starpība
Atcerieties!
Divu skaitļu starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmā skaitļa kvadrātu mīnus divreiz pirmā un otrā reizinājums plus otrā skaitļa kvadrāts.
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Ir arī vērts atcerēties ļoti noderīgu transformāciju:
(a – b) 2 = (b – a) 2Iepriekš minēto formulu var pierādīt, vienkārši atverot iekavas:
(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2Summas kubs
Atcerieties!
Divu skaitļu summas kubs ir vienāds ar pirmā skaitļa kubu plus trīskāršot pirmā skaitļa kvadrāta reizinājumu un otro plus trīskāršot pirmā skaitļa reizinājumu ar otrā skaitļa kvadrātu plus otrā kuba reizinājumu. .
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Kā atcerēties summas kubu
Ir diezgan viegli atcerēties šo "biedējošā" izskata formulu.
- Uzziniet, ka “3” ir sākumā.
- Diviem polinomiem vidū ir koeficienti 3.
- Atcerieties, ka jebkurš skaitlis līdz nullei ir 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Ir viegli pamanīt, ka formulā ir “a” pakāpes samazinājums un “b” pakāpes pieaugums. Varat to pārbaudīt:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Brīdinājums!
(a + b) 3 nav vienāds ar a 3 + b 3Atšķirības kubs
Atcerieties!
Atšķirības kubs divi skaitļi ir vienādi ar pirmā skaitļa kubu, no kura atņemts trīs reizes pirmā skaitļa kvadrāta reizinājums un otrā skaitļa reizinājums plus trīs reizes pirmā skaitļa kvadrāts un otrā skaitļa kvadrāts, no kura atņemts otrā skaitļa kubs.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Šī formula tiek atcerēta tāpat kā iepriekšējā, bet tikai ņemot vērā zīmju “+” un “−” maiņu. Pirms pirmā termina "a 3" ir "+" (pēc matemātikas noteikumiem mēs to nerakstām). Tas nozīmē, ka pirms nākamā termina būs “−”, pēc tam atkal ar “+” utt.
(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3Kubu summa
Nejaukt ar summas kubu!
Atcerieties!
Kubu summa ir vienāds ar divu skaitļu summas un starpības daļējā kvadrāta reizinājumu.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 − ab + b 2)Kubu summa ir divu iekavu reizinājums.
- Pirmā iekava ir divu skaitļu summa.
- Otrā iekava ir nepilnīgs skaitļu starpības kvadrāts. Atšķirības nepilnīgais kvadrāts ir izteiksme:
(a 2 - ab + b 2)
Šis kvadrāts ir nepilnīgs, jo pa vidu dubultreizinājuma vietā ir parastais skaitļu reizinājums.
Kubu atšķirība
Nevajadzētu sajaukt ar atšķirības kubu!
Atcerieties!
Kubu atšķirība ir vienāds ar divu skaitļu starpības un summas daļējā kvadrāta reizinājumu.
a 3 − b 3 = (a − b) (a 2 + ab + b 2)Esiet piesardzīgs, pierakstot zīmes.
Izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas
Jāatceras, ka visas iepriekš dotās formulas tiek izmantotas arī no labās uz kreiso pusi.
Daudzi piemēri mācību grāmatās ir paredzēti, lai jūs varētu atkal apvienot polinomu, izmantojot formulas.
- a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
- (ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2
Jūs varat lejupielādēt tabulu ar visām saīsinātajām reizināšanas formulām sadaļā “
Viena no pirmajām algebras kursā apgūtajām tēmām ir saīsinātās reizināšanas formulas. 7. klasē tos izmanto visvienkāršākajās situācijās, kad izteiksmē jāatpazīst viena no formulām un jāfaktorē polinoms vai, gluži otrādi, ātri jāizliek kvadrātā vai kubā summa vai starpība. Nākotnē FSU izmantos, lai ātri atrisinātu nevienādības un vienādojumus un pat aprēķinātu dažas skaitliskās izteiksmes bez kalkulatora.
Kā izskatās formulu saraksts?
Ir 7 pamatformulas, kas ļauj ātri reizināt polinomus iekavās.
Dažreiz šajā sarakstā ir iekļauts arī ceturtās pakāpes paplašinājums, kas izriet no uzrādītajām identitātēm un ir šāds:
a⁴ — b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).
Visām vienādībām ir pāris (summa - starpība), izņemot kvadrātu starpību. Kvadrātu summas formula nav dota.
Atlikušās vienādības ir viegli atcerēties:
Jāatceras, ka FSU darbojas jebkurā gadījumā un jebkurām vērtībām a Un b: tie var būt patvaļīgi skaitļi vai veselu skaitļu izteiksmes.
Situācijā, kad pēkšņi nevarat atcerēties, kura zīme ir pirms noteikta vārda formulā, varat atvērt iekavas un iegūt tādu pašu rezultātu kā pēc formulas izmantošanas. Piemēram, ja, piemērojot atšķirības kubu FSU, radās problēma, jums ir jāpieraksta sākotnējā izteiksme un veikt reizināšanu pa vienam:
(a - b)³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² — b³ = a³ — 3a²b + 3ab² — b³.
Rezultātā pēc visu līdzīgo terminu ienesšanas tika iegūts tāds pats polinoms kā tabulā. Tādas pašas manipulācijas var veikt ar visiem citiem FSU.
FSU pielietojums vienādojumu risināšanai
Piemēram, jums ir jāatrisina vienādojums, kas satur 3. pakāpes polinoms:
x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.
Skolas mācību programmā nav ietverti universāli paņēmieni kubisko vienādojumu risināšanai, un šādus uzdevumus visbiežāk risina, izmantojot vienkāršākas metodes (piemēram, faktorizāciju). Ja pamanām, ka identitātes kreisā puse atgādina summas kubu, tad vienādojumu var uzrakstīt vienkāršāk:
(x + 1)³ = 0.
Šāda vienādojuma sakni aprēķina mutiski: x = -1.
Līdzīgā veidā tiek risinātas arī nevienlīdzības. Piemēram, jūs varat atrisināt nevienlīdzību x³ – 6x² + 9x > 0.
Pirmkārt, jums ir jāņem vērā izteiksme. Vispirms jums ir nepieciešams iekavās x. Pēc tam ņemiet vērā, ka izteiksmi iekavās var pārvērst starpības kvadrātā.
Pēc tam jums jāatrod punkti, kuros izteiksme iegūst nulles vērtības, un jāatzīmē tie skaitļu rindā. Konkrētā gadījumā tie būs 0 un 3. Pēc tam, izmantojot intervālu metodi, nosaka, kuros intervālos x atbildīs nevienlīdzības nosacījumam.
FSU var būt noderīgi, veicot daži aprēķini bez kalkulatora palīdzības:
703²–203² = (703 + 203) (703–203) = 906 ∙ 500 = 453 000.
Turklāt, faktorējot izteiksmes, jūs varat viegli samazināt daļskaitļus un vienkāršot dažādas algebriskās izteiksmes.
Problēmu piemēri 7.-8.klasei
Noslēgumā mēs analizēsim un atrisināsim divus uzdevumus par saīsināto reizināšanas formulu izmantošanu algebrā.
1. uzdevums. Vienkāršojiet izteiksmi:
(m + 3)² + (3 m + 1) (3 m - 1) - 2 m (5 m + 3).
Risinājums. Uzdevuma nosacījums prasa izteiksmes vienkāršošanu, t.i., atveriet iekavas, veiciet reizināšanas un kāpināšanas darbības, kā arī ienesiet visus līdzīgos terminus. Nosacīti sadalīsim izteiksmi trīs daļās (atbilstoši terminu skaitam) un atveram iekavas pa vienai, kur iespējams, izmantojot FSU.
- (m + 3)² = m² + 6m + 9(summa kvadrātā);
- (3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(kvadrātu starpība);
- Pēdējā termiņā jums jāreizina: 2 m (5 m + 3) = 10 m² + 6 m.
Aizstāsim iegūtos rezultātus ar sākotnējo izteiksmi:
(m² + 6m + 9) + (9m² – 1) - (10m² + 6m).
Ņemot vērā zīmes, mēs atvērsim iekavas un parādīsim līdzīgus terminus:
m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.
2. uzdevums. Atrisiniet vienādojumu, kas satur nezināmo k līdz 5. pakāpei:
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ – 4k² – 4k = k³.
Risinājums. Šajā gadījumā ir jāizmanto FSU un grupēšanas metode. Pēdējais un priekšpēdējais termins ir jāpārvieto uz identitātes labo pusi.
k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.
Kopējais faktors ir iegūts no labās un kreisās puses (k² + 4k +4):
k³(k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).
Viss tiek pārsūtīts uz vienādojuma kreiso pusi tā, lai 0 paliktu labajā pusē:
k³(k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.
Atkal ir nepieciešams izņemt kopējo faktoru:
(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.
No pirmā iegūtā faktora mēs varam iegūt k. Saskaņā ar īso reizināšanas formulu otrais faktors būs identiski vienāds ar (k+2)²:
k (k² - 1) (k + 2)² = 0.
Izmantojot kvadrātu starpības formulu:
k (k - 1) (k + 1) (k + 2)² = 0.
Tā kā reizinājums ir vienāds ar 0, ja vismaz viens no tā faktoriem ir nulle, nav grūti atrast visas vienādojuma saknes:
- k = 0;
- k - 1 = 0; k = 1;
- k + 1 = 0; k = -1;
- (k + 2)² = 0; k = -2.
Balstoties uz ilustratīviem piemēriem, jūs varat saprast, kā atcerēties formulas, to atšķirības, kā arī atrisināt vairākas praktiskas problēmas, izmantojot FSU. Uzdevumi ir vienkārši, un to izpildei nevajadzētu būt grūtībām.
Nodarbības saturs
Divu izteiksmju summas kvadrāts
Ir vairāki gadījumi, kad polinoma reizināšanu ar polinomu var ievērojami vienkāršot. Piemēram, šis ir gadījums (2 x+ 3y) 2 .
Izteiksme (2 x+ 3y) 2 ir divu polinomu reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Mēs ieguvām polinoma reizinājumu ar polinomu. Izpildīsim to:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Tas ir, izteiksme (2 x+ 3y) 2 vienāds 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Atrisināsim līdzīgu piemēru, kas ir vienkāršāks:
(a+b) 2
Izteiksme ( a+b) 2 ir divu polinomu reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
Veicam šo reizināšanu:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = a 2 + ab + ab + b 2 = a 2 + 2ab + b 2
Tas ir, izteiksme (a+b) 2 vienāds a 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Izrādās, ka lieta ( a+b) 2 var attiecināt uz jebkuru a Un b. Pirmais piemērs, ko atrisinājām, proti (2 x+ 3y) 2 var atrisināt, izmantojot identitāti (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . Lai to izdarītu, mainīgo vietā ir jāaizstāj a Un b atbilstošie termini no izteiksmes (2 x+ 3y) 2 . Šajā gadījumā mainīgais a atbilst dalībniekam 2 x, un mainīgais b atbilst dalībniekam 3 y
a = 2x
b = 3y
Un tad mēs varam izmantot identitāti (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 , bet mainīgo vietā a Un b jums ir jāaizstāj izteicieni 2 x un 3 y attiecīgi:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Tāpat kā pagājušajā reizē, kad mēs saņēmām polinomu 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Risinājumu parasti pieraksta īsi, prātā veicot visas elementārās pārvērtības:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Identitāte (a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 sauc par formulu divu izteiksmju summas kvadrātam. Šo formulu var lasīt šādi:
Divu izteiksmju summas kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrātu, pieskaitot divreiz pirmās izteiksmes reizinājumu un otro plus otrās izteiksmes kvadrātu.
Apsveriet izteiksmi (2 + 3) 2. To var aprēķināt divos veidos: veikt saskaitīšanu iekavās un iegūto rezultātu kvadrātā vai izmantot formulu divu izteiksmju summas kvadrātam.
Pirmais veids:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Otrais veids:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
2. piemērs. Pārvērst izteiksmi (5 a+ 3) 2 polinomā.
Izmantosim formulu divu izteiksmju summas kvadrātam:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(5a+ 3) 2 = (5a) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25a 2 + 30a + 9
nozīmē, (5a+ 3) 2 = 25a 2 + 30a + 9.
Mēģināsim atrisināt šo piemēru, neizmantojot summas formulas kvadrātu. Mums vajadzētu iegūt tādu pašu rezultātu:
(5a+ 3) 2 = (5a+ 3)(5a+ 3) = 25a 2 + 15a + 15a + 9 = 25a 2 + 30a + 9
Divu izteiksmju summas kvadrāta formulai ir ģeometriska nozīme. Mēs atceramies, ka, lai aprēķinātu kvadrāta laukumu, mums jāpaaugstina tā mala līdz otrajai pakāpei.
Piemēram, kvadrāta laukums ar malu a būs vienādi a 2. Ja palielināsiet kvadrāta malu par b, tad laukums būs vienāds ar ( a+b) 2
Apsveriet šādu attēlu:
Iedomāsimies, ka šajā attēlā redzamā kvadrāta mala ir palielināta par b. Kvadrātam visas malas ir vienādas. Ja tā puse ir palielināta par b, tad arī atlikušās malas palielināsies par b
Rezultāts ir jauns kvadrāts, kas ir lielāks par iepriekšējo. Lai to skaidri redzētu, aizpildīsim trūkstošās puses:
Lai aprēķinātu šī kvadrāta laukumu, varat atsevišķi aprēķināt tajā iekļautos kvadrātus un taisnstūrus un pēc tam pievienot rezultātus.
Vispirms varat aprēķināt kvadrātu ar malu a- tā platība būs vienāda a 2. Tad jūs varat aprēķināt taisnstūrus ar malām a Un b- viņi būs vienādi ab. Tad jūs varat aprēķināt kvadrātu ar malu b
Rezultāts ir šāda laukumu summa:
a 2 + ab+ab + b 2
Identisku taisnstūru laukumu summu var aizstāt, reizinot ar 2 ab, kas burtiski nozīmēs “atkārtot taisnstūra ab laukumu divreiz” . Algebriski to iegūst, apvienojot līdzīgus terminus ab Un ab. Rezultāts ir izteiksme a 2 + 2ab+ b 2 , kas ir divu izteiksmju summas kvadrāta formulas labā puse:
(a+b) 2 = a 2 + 2ab+ b 2
Divu izteiksmju starpības kvadrāts
Formula divu izteiksmju starpības kvadrātā ir šāda:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Divu izteiksmju starpības kvadrāts ir vienāds ar pirmās izteiksmes kvadrātu, no kura atņemts divreiz pirmās izteiksmes reizinājums un otrās plus otrās izteiksmes kvadrāts.
Divu izteiksmju starpības kvadrāta formula tiek iegūta tāpat kā divu izteiksmju summas kvadrāta formula. Izteiksme ( a − b) 2 ir divu polinomu reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar ( a − b)
(a − b) 2 = (a − b)(a − b)
Ja veicat šo reizināšanu, jūs iegūstat polinomu a 2 − 2ab + b 2
(a − b) 2 = (a − b)(a − b) = a 2 − ab− ab+ b 2 = a 2 − 2ab + b 2
1. piemērs. Pārvērst izteiksmi (7 x− 5) 2 uz polinomu.
Izmantosim formulu divu izteiksmju starpības kvadrātam:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2–2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
nozīmē, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
Mēģināsim atrisināt šo piemēru, neizmantojot atšķirības kvadrātā formulu. Mums vajadzētu iegūt tādu pašu rezultātu:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Divu izteiksmju starpības kvadrāta formulai ir arī ģeometriska nozīme. Ja kvadrāta laukums ar malu a vienāds ar a 2, tad kvadrāta laukums, kura mala ir samazināta par b, būs vienāds ar ( a − b) 2
Apsveriet šādu attēlu:
Iedomāsimies, ka šajā attēlā redzamā kvadrāta mala ir samazināta par b. Kvadrātam visas malas ir vienādas. Ja viena puse ir samazināta par b, tad arī atlikušās malas samazināsies par b
Rezultāts ir jauns kvadrāts, kas ir mazāks par iepriekšējo. Attēlā tas ir iezīmēts dzeltenā krāsā. Tā puse ir vienāda a− b jo vecā puse a samazinājies par b. Lai aprēķinātu šī kvadrāta laukumu, varat no sākotnējā laukuma a 2 atņemiet to taisnstūru laukumus, kas iegūti vecā kvadrāta malu samazināšanas procesā. Parādīsim šos taisnstūrus:
Tad jūs varat uzrakstīt šādu izteiksmi: vecs kvadrāts a 2 mīnus laukums ab mīnus laukums ( a − b)b
a 2 − ab − (a − b)b
Izvērsīsim iekavas izteiksmē ( a − b)b
a 2 − ab−ab + b 2
Apskatīsim līdzīgus terminus:
a 2 − 2ab + b 2
Rezultāts ir izteiksme a 2 − 2ab + b 2 , kas ir divu izteiksmju starpības kvadrāta formulas labā puse:
(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2
Kvadrātās summas un kvadrātiskās starpības formulas parasti sauc saīsinātās reizināšanas formulas. Šīs formulas var ievērojami vienkāršot un paātrināt polinomu reizināšanas procesu.
Iepriekš teicām, ka, aplūkojot polinoma locekli atsevišķi, tas ir jāaplūko kopā ar zīmi, kas atrodas tā priekšā.
Bet, izmantojot saīsinātās reizināšanas formulas, sākotnējā polinoma zīmi nevajadzētu uzskatīt par paša šī termina zīmi.
Piemēram, ja tiek dota izteiksme (5 x − 2y) 2 un mēs vēlamies izmantot formulu (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 , tad tā vietā b nepieciešams aizstāt 2 y, nevis -2 y. Šī ir darba ar formulām iezīme, kuru nevajadzētu aizmirst.
(5x − 2y) 2
a = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2–2 × 5 x× 2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Ja mēs aizstājam −2 y, tad tas nozīmēs, ka atšķirība sākotnējās izteiksmes iekavās ir aizstāta ar summu:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
un šajā gadījumā jums ir jāizmanto nevis kvadrātiskās starpības formula, bet gan kvadrātiskās summas formula:
(5x + (−2y) 2
a = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Izņēmums var būt formas izteiksmes (x− (−y)) 2 . Šajā gadījumā, izmantojot formulu (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 tā vietā b jāaizstāj (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2–2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Bet formas izteiksmes kvadrātā x − (−y), atņemšanu būs ērtāk aizstāt ar saskaitīšanu x+y. Tad sākotnējā izteiksme būs formā ( x+y) 2 un būs iespējams izmantot summas kvadrāta formulu, nevis starpību:
(x+y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Summas kubs un starpības kubs
Formulas divu izteiksmju summas kubam un divu izteiksmju starpības kubam ir šādas:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
Divu izteiksmju summas kuba formulu var lasīt šādi:
Divu izteiksmju summas kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu plus trīskāršot pirmās izteiksmes kvadrāta reizinājumu un otro plus trīskāršot pirmās izteiksmes reizinājumu un otrās izteiksmes kvadrātu plus kubu otrā izteiksme.
Un divu izteiksmju starpības kuba formulu var lasīt šādi:
Divu izteiksmju starpības kubs ir vienāds ar pirmās izteiksmes kubu, no kura atņemts trīskāršs pirmās izteiksmes kvadrāta reizinājums un otrās plus trīskāršs pirmās izteiksmes reizinājums un otrās izteiksmes kvadrāts, no kura atņemts kuba otrā izteiksme.
Risinot problēmas, šīs formulas vēlams zināt no galvas. Ja neatceries, nav problēmu! Jūs varat tos noņemt pats. Mēs jau zinām, kā to izdarīt.
Atvasināsim paši summas kuba formulu:
(a+b) 3
Izteiksme ( a+b) 3 ir trīs polinomu reizinājums, no kuriem katrs ir vienāds ar ( a+ b)
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b)(a+ b)
Bet izteiciens ( a+b) 3 var rakstīt arī kā (a+ b)(a+ b) 2
(a+b) 3 = (a+ b)(a+ b) 2
Šajā gadījumā faktors ( a+ b) 2 ir abu izteiksmju summas kvadrāts. Šis summas kvadrāts ir vienāds ar izteiksmi a 2 + 2ab + b 2 .
Tad ( a+b) 3 var uzrakstīt kā (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2)
Un tas ir polinoma reizināšana ar polinomu. Izpildīsim to:
(a+b) 3 = (a+ b)(a 2 + 2ab + b 2) = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + a 2 b + 2ab 2 + b 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Līdzīgi varat iegūt formulu divu izteiksmju starpības kubam:
(a − b) 3 = (a − b)(a 2 − 2ab + b 2) = a 3 − 2a 2 b + ab 2 − a 2 b + 2ab 2 − b 3 = a 3 − 3a 2 b+ 3ab 2 − b 3
1. piemērs. Pārveidot izteiksmi ( x+ 1) 3 polinomā.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2 × 1 + 3 × x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Mēģināsim atrisināt šo piemēru, neizmantojot divu izteiksmju summas kuba formulu
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
2. piemērs. Pārvērst izteiksmi (6a 2 + 3b 3) 3 par polinomu.
Izmantosim formulu divu izteiksmju summas kubam:
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(6a 2 + 3b 3) 3 = (6a 2) 3 + 3 × (6 a 2) 2 × 3 b 3 + 3 × 6 a 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216a 6 + 3 × 36 a 4 × 3 b 3 + 3 × 6 a 2×9 b 6 + 27b 9
3. piemērs. Pārvērst izteiksmi ( n 2 − 3) 3 polinomā.
(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3–3 × ( n 2) 2 × 3 + 3 × n 2 × 3 2 - 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
4. piemērs. Pārvērst izteiksmi (2x 2 − x 3) 3 par polinomu.
Izmantosim formulu divu izteiksmju starpības kubam:
(a − b) = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3–3 × (2 x 2) 2× x 3 + 3 × 2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6–3 × 4 x 4× x 3 + 3 × 2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Reizinot divu izteiksmju starpību ar to summu
Ir problēmas, kurās jums ir jāreizina divu izteiksmju starpība ar to summu. Piemēram:
(a − b)(a+b)
Šajā izteiksmē divu izteiksmju atšķirība a Un b reizināts ar to pašu divu izteiksmju summu. Veicam šo reizināšanu:
(a − b)(a+b) = a 2 + ab − ab − b 2 = a 2 − b 2
Tas ir, izteiksme (a − b)(a+b) vienāds a 2 − b 2
(a − b)(a+b) = a 2 − b 2
Mēs redzam, ka, reizinot divu izteiksmju starpību ar to summu, mēs iegūstam šo izteiksmju kvadrātu starpību.
Divu izteiksmju starpības un to summas reizinājums ir vienāds ar šo izteiksmju kvadrātu starpību.
Notiek (a − b)(a+b) var izplatīt ikvienam a Un b. Vienkārši sakot, ja, risinot uzdevumu, ir jāreizina divu izteiksmju starpība ar to summu, tad šo reizinājumu var aizstāt ar šo izteiksmju kvadrātu starpību.
1. piemērs. Veikt reizināšanu (2x − 5)(2x + 5)
Šajā piemērā izteiksmju atšķirība ir 2 x un 5 reizināts ar to pašu izteiksmju summu. Tad pēc formulas (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 mums ir:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Aprēķināsim labo pusi, iegūstam 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
Mēģināsim atrisināt šo piemēru, neizmantojot formulu (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 . Mēs iegūsim tādu pašu rezultātu 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
2. piemērs. Veikt reizināšanu (4x − 5y)(4x + 5y)
(a − b)(a+b) = a 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
3. piemērs. Veikt reizināšanu (2a+ 3b)(2a− 3b)
Izmantosim formulu divu izteiksmju starpības reizināšanai ar to summu:
(a − b)(a+b) = a 2 − b 2
(2a+ 3b)(2a − 3b) = (2a) 2 − (3b) 2 = 4a 2 − 9b 2
Šajā piemērā terminu summa ir 2 a un 3 b atradās agrāk nekā šo terminu atšķirība. Un formulā (a − b)(a+b) = a 2 − b 2 atšķirība atrodas agrāk.
Nav nozīmes tam, kā faktori ir sakārtoti ( a − b) V ( a+b) formulā. Tos var rakstīt kā (a − b)(a+b) , tātad (a+b)(a − b) . Rezultāts joprojām būs vienāds a 2 − b 2, jo produkts nemainās no faktoru pārkārtošanas.
Tātad šajā piemērā faktori (2 a+ 3b) un 2 a − 3b) var rakstīt kā (2a+ 3b)(2a − 3b) , tātad (2a − 3b)(2a+ 3b) . Rezultāts joprojām būs 4 a 2 − 9b 2 .
3. piemērs. Veikt reizināšanu (7 + 3x)(3x − 7)
Izmantosim formulu divu izteiksmju starpības reizināšanai ar to summu:
(a − b)(a+b) = a 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
4. piemērs. Veikt reizināšanu (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a − b)(a+b) = a 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
5. piemērs. Veikt reizināšanu (−5x− 3y)(5x− 3y)
Izteiksmē (-5 x− 3y) iekavās ievietojam −1, tad sākotnējai izteiksmei būs šāda forma:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Darbs (5x + 3y)(5x − 3y) aizstāt to ar kvadrātu starpību:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Kvadrātu atšķirība tika ievietota iekavās. Ja tas nav izdarīts, izrādās, ka −1 tiek reizināts tikai ar (5 x) 2 . Un tas novedīs pie kļūdas un sākotnējās izteiksmes vērtības izmaiņām.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Tagad reiziniet −1 ar izteiksmi iekavās un iegūstiet gala rezultātu:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Reizinot divu izteiksmju starpību ar to summas daļējo kvadrātu
Ir problēmas, kurās jums ir jāreizina divu izteiksmju starpība ar to summas daļējo kvadrātu. Šis gabals izskatās šādi:
(a − b)(a 2 + ab + b 2)
Pirmais polinoms ( a − b) ir divu izteiksmju atšķirība, bet otrā ir polinoms (a 2 + ab + b 2) ir šo divu izteiksmju summas daļējais kvadrāts.
Summas daļējais kvadrāts ir formas polinoms a 2 + ab + b 2 . Tas ir līdzīgs parastajam summas kvadrātam a 2 + 2ab + b 2
Piemēram, izteiksme 4x 2 + 6xy + 9y 2 ir izteiksmju summas 2 nepilnais kvadrāts x un 3 y .
Patiešām, izteiciena pirmais termins 4x 2 + 6xy + 9y 2 , proti, 4 x 2 ir izteiksmes 2 kvadrāts x, kopš (2 x) 2 = 4x 2. Trešais izteiksmes termins 4x 2 + 6xy + 9y 2 , proti, 9 y 2 ir izteiksmes 3 kvadrāts y, kopš (3 y) 2 = 9y 2. Biedrs vidū 6 xy, ir 2. izteiksmes reizinājums x un 3 y.
Tātad, reizināsim starpību ( a − b) ar summas nepilnīgo kvadrātu a 2 + ab + b 2
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a(a 2 + ab + b 2) − b(a 2 + ab + b 2) =
a 3 + a 2 b + ab 2 − a 2 b − ab 2 − b 3 = a 3 − b 3
Tas ir, izteiksme (a − b)(a 2 + ab + b 2) vienāds a 3 − b 3
(a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
Šo identitāti sauc par formulu divu izteiksmju starpības reizināšanai ar to summas daļējo kvadrātu. Šo formulu var lasīt šādi:
Divu izteiksmju starpības un to summas daļējā kvadrāta reizinājums ir vienāds ar šo izteiksmju kubu starpību.
1. piemērs. Veikt reizināšanu (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Pirmais polinoms (2 x − 3y) ir divu izteiksmju atšķirība 2 x un 3 y. Otrais polinoms 4x 2 + 6xy + 9y 2 tas ir divu izteiksmju summas daļējais kvadrāts 2 x un 3 y. Tas ļauj izmantot formulu, neveicot garus aprēķinus (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3 . Mūsu gadījumā reizināšana (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) var aizstāt ar kubu starpību 2 x un 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a − b)(a 2 + ab+ b 2) = a 3 − b 3 . Mēs iegūsim tādu pašu rezultātu, bet risinājums būs ilgāks:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
2. piemērs. Veikt reizināšanu (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Pirmais polinoms (3 - x) ir divu izteiksmju starpība, un otrais polinoms ir šo divu izteiksmju summas daļējais kvadrāts. Tas ļauj mums izmantot formulu (a − b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Divu izteiksmju summas reizināšana ar to starpības daļējo kvadrātu
Ir problēmas, kurās jums ir jāreizina divu izteiksmju summa ar to starpības daļējo kvadrātu. Šis gabals izskatās šādi:
(a+b)(a 2 − ab + b 2)
Pirmais polinoms ( a+b (a 2 − ab + b 2) ir šo divu izteiksmju starpības nepilnīgs kvadrāts.
Starpības daļējais kvadrāts ir formas polinoms a 2 − ab + b 2 . Tas izskatās kā regulārs starpības kvadrāts a 2 − 2ab + b 2 izņemot to, ka tajā pirmās un otrās izteiksmes reizinājums nav dubultots.
Piemēram, izteiksme 4x 2 − 6xy + 9y 2 ir izteiksmju starpības nepilnais kvadrāts 2 x un 3 y.
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
Atgriezīsimies pie sākotnējā piemēra. Sareizināsim summu a+b ar starpības daļējo kvadrātu a 2 − ab + b 2
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a(a 2 − ab + b 2) + b(a 2 − ab + b 2) =
a 3 − a 2 b + ab 2 + a 2 b − ab 2 + b 3 = a 3 + b 3
Tas ir, izteiksme (a+b)(a 2 − ab + b 2) vienāds a 3 + b 3
(a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3
Šo identitāti sauc par formulu divu izteiksmju summas reizināšanai ar to starpības nepilnīgo kvadrātu. Šo formulu var lasīt šādi:
Divu izteiksmju summas un to starpības daļējā kvadrāta reizinājums ir vienāds ar šo izteiksmju kubu summu.
1. piemērs. Veikt reizināšanu (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Pirmais polinoms (2 x + 3y) ir divu izteiksmju summa 2 x un 3 y, un otrais polinoms 4x 2 − 6xy + 9y 2 šis ir šo izteiksmju atšķirības nepilnīgais kvadrāts. Tas ļauj izmantot formulu, neveicot garus aprēķinus (a+b)(a 2 − ab + b 2) = a 3 + b 3 . Mūsu gadījumā reizināšana (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) var aizstāt ar kubu summu 2 x un 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
Mēģināsim atrisināt to pašu piemēru, neizmantojot formulu (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Mēs iegūsim tādu pašu rezultātu, bet risinājums būs ilgāks:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
2. piemērs. Veikt reizināšanu (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Pirmais polinoms (2 x+ y) ir divu izteiksmju un otrā polinoma summa (4x 2 − 2xy + y 2) ir šo izteiksmju starpības nepilnīgais kvadrāts. Tas ļauj mums izmantot formulu (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
Mēģināsim atrisināt to pašu piemēru, neizmantojot formulu (a+b)(a 2 − ab+ b 2) = a 3 + b 3 . Mēs iegūsim tādu pašu rezultātu, bet risinājums būs ilgāks:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Uzdevumi patstāvīgam risinājumam
Vai jums patika nodarbība?
Pievienojieties mūsu jaunajai VKontakte grupai un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām
Lai vienkāršotu algebriskos polinomus, ir saīsinātās reizināšanas formulas. Viņu nav tik daudz, un tos ir viegli atcerēties, bet jums tie ir jāatceras. Formulās izmantotajam apzīmējumam var būt jebkura forma (skaitlis vai polinoms).
Tiek saukta pirmā saīsinātā reizināšanas formula kvadrātu atšķirība. Tas sastāv no viena skaitļa kvadrāta atņemšanas no otrā skaitļa kvadrāta, kas ir vienāds ar starpību starp šiem skaitļiem, kā arī to reizinājumu.
a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)
Apskatīsim to skaidrības labad:
22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)
Otrā formula ir aptuveni kvadrātu summa. Izklausās, ka divu lielumu summa kvadrātā ir vienāda ar pirmā daudzuma kvadrātu, tam tiek pievienots pirmā daudzuma dubultais reizinājums, kas reizināts ar otro, un tiem tiek pievienots otrā daudzuma kvadrāts.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Pateicoties šai formulai, ir daudz vieglāk aprēķināt liela skaitļa kvadrātu, neizmantojot datortehnoloģiju.
Tātad, piemēram: kvadrāts 112 būs vienāds ar
1) Vispirms sadalīsim 112 skaitļos, kuru kvadrāti mums ir pazīstami
112 = 100 + 12
2) Ievadām rezultātu kvadrātiekavās
112 2 = (100+12) 2
3) Izmantojot formulu, mēs iegūstam:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544
Trešā formula ir starpība kvadrātā. Kas saka, ka divi lielumi, kas atņemti viens no otra kvadrātā, ir vienādi, jo no pirmā lieluma kvadrātā mēs atņemam pirmā daudzuma dubulto reizinājumu, kas reizināts ar otro, pievienojot tiem otrā daudzuma kvadrātu.
(a + b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
kur (a - b) 2 ir vienāds ar (b - a) 2. Lai to pierādītu, (a-b) 2 = a 2 -2ab+b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2
Tiek saukta ceturtā saīsinātās reizināšanas formula summas kubs. Izklausās šādi: divi summētie daudzumi kubā ir vienādi ar 1 daudzuma kubu, tiek pievienots 1 daudzuma trīskāršais reizinājums, kas reizināts ar 2. daudzumu, tiem tiek pievienots trīskāršais reizinājums no 1 daudzuma, kas reizināts ar kvadrātu no 2 daudzumi, plus otrais daudzums kubā.
(a+b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Piekto, kā jau sapratāt, sauc atšķirības kubs. Kas atrod atšķirības starp lielumiem, jo no pirmā apzīmējuma kubā mēs atņemam kvadrātā pirmā apzīmējuma trīskāršo reizinājumu, kas reizināts ar otro, tiem pieskaita pirmā apzīmējuma trīskāršo reizinājumu ar otrā apzīmējuma kvadrātu. apzīmējums, atskaitot otro apzīmējumu kubā.
(a-b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
Sesto sauc - kubu summa. Kubu summa ir vienāda ar divu saskaitījumu reizinājumu, kas reizināts ar starpības daļējo kvadrātu, jo vidū nav dubultās vērtības.
a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 -ab + b 2)
Vēl viens veids, kā pateikt kubu summu, ir saukt to par produktu divās iekavās.
Septītais un pēdējais tiek saukts kubu atšķirība(to var viegli sajaukt ar atšķirības kuba formulu, taču tās ir dažādas lietas). Kubu starpība ir vienāda ar divu lielumu starpības reizinājumu, kas reizināts ar summas daļējo kvadrātu, jo vidū nav dubultās vērtības.
a 3 - b 3 = (a-b) (a 2 +ab+b 2)
Un tātad saīsinātai reizināšanai ir tikai 7 formulas, tās ir līdzīgas viena otrai un ir viegli iegaumējamas, vienīgais svarīgais ir neapjukt zīmēs. Tie ir paredzēti arī lietošanai apgrieztā secībā, un mācību grāmatās ir diezgan daudz šādu uzdevumu. Esi uzmanīgs, un viss tev izdosies.
Ja jums ir jautājumi par formulām, noteikti rakstiet tos komentāros. Mēs ar prieku jums atbildēsim!
Ja esat grūtniecības un dzemdību atvaļinājumā, bet vēlaties nopelnīt naudu. Vienkārši sekojiet saitei Interneta bizness ar Oriflame. Tur viss ir uzrakstīts un parādīts ļoti detalizēti. Būs interesanti!
Notiek ielāde...