Skolas aritmētikas kursā visas matemātiskās darbības tiek veiktas ar reāliem skaitļiem. Šo skaitļu kopai (vai nepārtrauktam sakārtotam laukam) ir vairākas īpašības (aksiomas): reizināšanas un saskaitīšanas komutativitāte un asociativitāte, nulles, viena, pretējo un apgriezto elementu esamība. Tāpat tika piemērotas kārtības un nepārtrauktības aksiomas salīdzinošā analīze, ļauj noteikt visas reālo skaitļu īpašības.
Tā kā dalīšana ir reizināšanas apgrieztā darbība, dalot reālus skaitļus ar nulli, neizbēgami rodas divas neatrisināmas problēmas. Pirmkārt, dalīšanas ar nulli rezultāta pārbaudei, izmantojot reizināšanu, nav skaitliskas izteiksmes. Neatkarīgi no tā, kāds ir koeficients, ja to reizina ar nulli, nav iespējams iegūt dividendi. Otrkārt, piemērā 0:0 atbilde var būt pilnīgi jebkurš skaitlis, kas, reizinot ar dalītāju, vienmēr pārvēršas par nulli.
Augstākajā matemātikā dalījums ar nulli
Uzskaitītās grūtības dalīt ar nulli noveda pie tabu uzlikšanas šai operācijai, norāda vismaz, kā daļa no skolas kursa. Tomēr augstākajā matemātikā viņi atrod veidus, kā apiet šo aizliegumu.
Piemēram, izveidojot citu algebrisko struktūru, kas atšķiras no pazīstamās skaitļu līnijas. Šādas konstrukcijas piemērs ir ritenis. Šeit ir likumi un noteikumi. Jo īpaši dalīšana nav saistīta ar reizināšanu un pārvēršas no bināras darbības (ar diviem argumentiem) uz unāru darbību (ar vienu argumentu), ko apzīmē ar simbolu /x.
Reālo skaitļu lauka paplašināšanās notiek hiperreālu skaitļu ieviešanas dēļ, kas aptver bezgalīgi lielus un bezgalīgi mazus daudzumus. Šī pieeja ļauj uzskatīt terminu “bezgalība” par noteiktu skaitli. Turklāt, kad skaitļu līnija izplešas, šis skaitlis zaudē savu zīmi, pārvēršoties par idealizētu punktu, kas savieno šīs līnijas abus galus. Šo pieeju var salīdzināt ar datuma līniju, kad, pārvietojoties starp divām laika joslām UTC+12 un UTC-12, var atrasties nākamā diena vai iepriekšējā. Šajā gadījumā apgalvojums x/0=∞ jebkuram x≠0 kļūst patiess.
Lai novērstu nenoteiktību 0/0, ritenim tiek ieviests jauns elements ⏊=0/0. Tajā pašā laikā šai algebriskajai struktūrai ir savas nianses: 0 x≠0; x-x≠0 v vispārējs gadījums. Arī x·/x≠1, jo dalīšanu un reizināšanu vairs neuzskata par apgrieztām darbībām. Bet šīs riteņa īpašības ir labi izskaidrotas, izmantojot sadales likuma identitātes, kas šādā algebriskā struktūrā darbojas nedaudz atšķirīgi. Sīkākus skaidrojumus var atrast specializētajā literatūrā.
Algebra, pie kuras visi ir pieraduši, patiesībā ir īpašs gadījums vairāk sarežģītas sistēmas, piemēram, tas pats ritenis. Kā redzat, augstākajā matemātikā ir iespējams dalīt ar nulli. Tas prasa pārsniegt parasto priekšstatu par skaitļiem, algebriskām darbībām un likumiem, kuriem tie pakļaujas, robežas. Lai gan tas ir diezgan dabisks process, kas pavada jebkuru jaunu zināšanu meklēšanu.
Viņi saka, ka jūs varat dalīt ar nulli, ja nosakāt dalīšanas rezultātu ar nulli. Jums vienkārši jāpaplašina algebra. Dīvainas sakritības dēļ nav iespējams atrast vismaz kādu vai labāk saprotamu un vienkāršu šāda paplašinājuma piemēru. Lai labotu internetu, ir nepieciešams vai nu vienas no šāda paplašinājuma metožu demonstrācija, vai arī apraksts, kāpēc tas nav iespējams.
Raksts tika uzrakstīts, turpinot tendenci:
Atruna
Šī raksta mērķis ir izskaidrot " cilvēku valoda", kā darbojas matemātikas pamatprincipi, strukturē zināšanas un atjauno zaudētās cēloņsakarības starp matemātikas nozarēm. Visi argumenti ir filozofiski; dažos spriedumos tie atšķiras no vispārpieņemtajiem (tātad tie neizliekas par matemātiski stingriem). Raksts ir paredzēts lasītāja līmenim, kurš "pirms daudziem gadiem šķērsoja torni".Vēlama, bet nav obligāta izpratne par aritmētiskās, elementārās, vispārējās un lineārās algebras, matemātiskās un nestandarta analīzes, kopu teorijas, vispārējās topoloģijas, projektīvās un afīnās ģeometrijas principiem.
Eksperimentu laikā neviena bezgalība netika bojāta.
Prologs
Iet “pāri robežām” ir dabisks jaunu zināšanu meklēšanas process. Taču ne katrs meklējums nes jaunas zināšanas un līdz ar to arī labumu.1. Patiesībā jau pirms mums viss ir sadalīts!
1.1. Ciparu līnijas afīna pagarinājums
Sāksim ar to, kur, iespējams, sākas visi piedzīvojumu meklētāji, dalot ar nulli. Atcerēsimies funkcijas grafiku
.
Pa kreisi un pa labi no nulles funkcija pāriet uz dažādas puses"neesamība". Pašā apakšā ir vispārējs “baseins”, un nekas nav redzams.
Tā vietā, lai ar galvu steigtos baseinā, paskatīsimies uz to, kas tajā ieplūst un kas no tā iznāk. Lai to izdarītu, mēs izmantosim limitu - galveno matemātiskās analīzes rīku. Galvenais “triks” ir tas, ka ierobežojums ļauj aiziet līdz noteiktam punktam pēc iespējas tuvāk, bet ne “uzkāpt uz tā”. Tāds “žogs” “baseina” priekšā.
Oriģināls
Labi, "žogs" ir uzcelts. Tas vairs nav tik biedējoši. Mums ir divi ceļi uz baseinu. Ejam pa kreisi - stāvs nobrauciens, pa labi - stāvs kāpums. Neatkarīgi no tā, cik daudz jūs ejat uz "žogu", tas netuvojas. Nav iespējams šķērsot apakšējo un augšējo “neko”. Rodas aizdomas: varbūt ejam pa apli? Lai gan nē, skaitļi mainās, kas nozīmē, ka tie nav aplī. Pameklēsim vēl dažus matemātiskās analīzes rīkus. Papildus ierobežojumiem ar “žogu”, komplektā ietilpst pozitīvas un negatīvas bezgalības. Daudzumi ir pilnīgi abstrakti (nevis skaitļi), labi noformēti un gatavi lietošanai! Mums tas piestāv. Papildināsim savu “būtni” (reālo skaitļu kopu) ar divām bezgalībām ar zīmēm.
Matemātiskajā valodā:
Tas ir šis paplašinājums, kas ļauj jums noteikt ierobežojumu, kad arguments tiecas līdz bezgalībai un iegūt bezgalību, ņemot vērā ierobežojumu.Ir divas matemātikas nozares, kas apraksta vienu un to pašu, izmantojot atšķirīgu terminoloģiju.
Apkoposim:
Apakšējā līnija ir. Vecās pieejas vairs nedarbojas. Sistēmas sarežģītība “ja”, “visiem, izņemot” utt. veidā ir palielinājusies. Mums bija tikai divas nenoteiktības 1/0 un 0/0 (mēs neņēmām vērā jaudas darbības), tāpēc bija piecas. Vienas nenoteiktības atklāsme radīja vēl vairāk neskaidrību.
1.2 Ritenis
Tas neapstājās ar neparakstītas bezgalības ieviešanu. Lai izkļūtu no nenoteiktības, vajag otru vēju.Tātad mums ir reālu skaitļu kopa un divas nenoteiktības 1/0 un 0/0. Lai novērstu pirmo, mēs veicām skaitļu līnijas projektīvo izvēršanu (tas ir, mēs ieviesām neparakstīto bezgalību). Mēģināsim tikt galā ar formas 0/0 otro nenoteiktību. Darīsim tāpat. Pievienosim skaitļu kopai jaunu elementu, kas attēlo otro nenoteiktību.
Dalīšanas operācijas definīcija balstās uz reizināšanu. Tas mums neder. Atdalīsim darbības vienu no otras, bet saglabāsim parasto uzvedību reāliem skaitļiem. Definēsim unāru dalīšanas darbību, ko apzīmē ar zīmi "/".
Definēsim darbības.
Šo struktūru sauc par “riteni”. Termins tika ņemts tā līdzības dēļ ar skaitļu līnijas projektīvā pagarinājuma topoloģisko attēlu un 0/0 punktu.
Šķiet, ka viss izskatās labi, bet velns slēpjas detaļās:
Lai noteiktu visas pazīmes, papildus elementu kopas paplašināšanai tiek pievienots bonuss nevis vienas, bet divu identitāšu veidā, kas raksturo sadales likumu.
Matemātiskajā valodā:No vispārējās algebras viedokļa mēs darbojāmies ar lauku. Un laukā, kā jūs zināt, ir definētas tikai divas darbības (saskaitīšana un reizināšana). Sadalījuma jēdziens tiek iegūts, izmantojot apgrieztos un, vēl dziļāk, vienības elementus. Veiktās izmaiņas pārveido mūsu algebrisko sistēmu par monoīdu gan saskaitīšanas darbībai (ar nulli kā neitrālu elementu), gan reizināšanas darbībai (ar vienu kā neitrālu elementu).Pionieru darbos ne vienmēr tiek izmantoti simboli ∞ un ⊥. Tā vietā ierakstus var atrast formās /0 un 0/0.
Pasaule vairs nav tik brīnišķīga, vai ne? Tomēr nav nepieciešams steigties. Pārbaudīsim, vai jaunās sadales likuma identitātes var tikt galā ar mūsu paplašināto komplektu.
Šoreiz rezultāts ir daudz labāks.Apkoposim:
Apakšējā līnija ir. Algebra darbojas lieliski. Taču par pamatu tika ņemts jēdziens “nedefinēts”, ko viņi sāka uzskatīt par kaut ko esošu un ar to operēt. Kādu dienu kāds pateiks, ka viss ir slikti un vajag šo “nedefinēto” sadalīt vēl vairākos “nedefinētajos”, bet mazākos. Vispārējā algebra teiks: “No problem, Bro!”
Aptuveni šādi ceturtdaļās tiek postulētas papildu (j un k) iedomātās vienības Pievienot tagus
Jevgeņijs Širjajevs, skolotājs un Politehniskā muzeja matemātikas laboratorijas vadītājs, stāstīja AiF.ru par dalīšanu ar nulli:
1. Jautājuma piekritība
Piekrītiet, tas, kas šo noteikumu padara īpaši provokatīvu, ir aizliegums. Kā to var nedarīt? Kurš aizliedza? Kā ar mūsu pilsoniskajām tiesībām?
Ne Krievijas Federācijas konstitūcija, ne Kriminālkodekss, ne pat jūsu skolas harta neiebilst pret intelektuālo darbību, kas mūs interesē. Tas nozīmē, ka aizlieguma nav juridisks spēks, un nekas neliedz jums mēģināt kaut ko dalīt ar nulli tieši šeit, AiF.ru lapās. Piemēram, tūkstotis.
2. Sadalīsim kā mācīts
Atcerieties, kad pirmo reizi iemācījāties dalīt, pirmie piemēri tika atrisināti, pārbaudot reizināšanu: rezultātam, kas reizināts ar dalītāju, bija jābūt tādam pašam kā dalāmajam. Ja nesakrita, viņi neizlēma.
1. piemērs. 1000: 0 =...
Uz brīdi aizmirsīsim par aizliegto noteikumu un veiksim vairākus mēģinājumus uzminēt atbildi.
Nepareizos čeks nogriezīs. Izmēģiniet šādas opcijas: 100, 1, −23, 17, 0, 10 000. Katrai no tām pārbaude sniegs vienādu rezultātu:
100 0 = 1 0 = − 23 0 = 17 0 = 0 0 = 10 000 0 = 0
Reizinot ar nulli, viss pārvēršas par sevi un nekad par tūkstoti. Secinājumu ir viegli formulēt: neviens skaitlis neizturēs pārbaudi. Tas ir, neviens skaitlis nevar būt rezultāts, dalot skaitli, kas nav nulle, ar nulli. Šāds dalījums nav aizliegts, bet tam vienkārši nav rezultāta.
3.Niansējums
Gandrīz palaidām garām vienu iespēju atspēkot aizliegumu. Jā, mēs pieļaujam, ka skaitli, kas nav nulle, nevar dalīt ar 0. Bet varbūt pats 0 var?
2. piemērs. 0: 0 = ...
Kādi ir jūsu ieteikumi privātajam? 100? Lūdzu: koeficients 100, kas reizināts ar dalītāju 0, ir vienāds ar dividendi 0.
Vairāk iespēju! 1? Der arī. Un –23, un 17, un viss. Šajā piemērā tests būs pozitīvs jebkuram skaitlim. Un, godīgi sakot, risinājums šajā piemērā ir jāsauc nevis par skaitli, bet gan par skaitļu kopu. Visi. Un nav vajadzīgs ilgs laiks, lai piekristu, ka Alise nav Alise, bet gan Mērija Anna, un abas ir truša sapnis.
4. Kā ar augstāko matemātiku?
Problēma atrisināta, nianses ņemtas vērā, punkti salikti, viss kļuvis skaidrs - atbilde uz piemēru ar dalīšanu ar nulli nevar būt viens skaitlis. Šādu problēmu risināšana ir bezcerīga un neiespējama. Kas nozīmē... interesanti! Ņem divus.
3. piemērs. Izdomājiet, kā dalīt 1000 ar 0.
Bet nekādā gadījumā. Bet 1000 var viegli dalīt ar citiem skaitļiem. Nu, darīsim vismaz to, ko varam, pat ja mainām veicamo uzdevumu. Un tad, redz, aizraujamies, un atbilde parādīsies pati no sevis. Uz minūti aizmirsīsim par nulli un dalīsim ar simtu:
Simts ir tālu no nulles. Spersim soli uz to, samazinot dalītāju:
1000: 25 = 40,
1000: 20 = 50,
1000: 10 = 100,
1000: 8 = 125,
1000: 5 = 200,
1000: 4 = 250,
1000: 2 = 500,
1000: 1 = 1000.
Dinamika ir acīmredzama: jo tuvāk dalītājs ir nullei, jo lielāks ir koeficients. Tendenci var novērot tālāk, pārejot uz daļskaitļiem un turpinot samazināt skaitītāju:
Atliek atzīmēt, ka mēs varam pietuvoties tik tuvu nullei, cik mums patīk, padarot koeficientu tik lielu, cik mums patīk.
Šajā procesā nav nulles un nav pēdējā koeficienta. Mēs norādījām kustību uz tiem, aizstājot skaitli ar secību, kas saplūst ar mūs interesējošo numuru:
Tas nozīmē līdzīgu dividenžu aizstāšanu:
1000 ↔ { 1000, 1000, 1000,... }
Ne velti bultiņas ir abpusējas: dažas secības var saplūst ar skaitļiem. Tad mēs varam saistīt secību ar tās skaitlisko ierobežojumu.
Apskatīsim koeficientu secību:
Tas aug neierobežoti, netiecoties pēc skaita un pārspējot jebkuru. Matemātiķi skaitļiem pievieno simbolus ∞, lai blakus šādai secībai varētu ievietot abpusēju bultiņu:
Salīdzinājums ar to secību skaitu, kurām ir ierobežojums, ļauj mums piedāvāt risinājumu trešajam piemēram:
Elementāri dalot secību, kas saplūst ar 1000, ar pozitīvu skaitļu virkni, kas saplūst ar 0, mēs iegūstam secību, kas konverģē uz ∞.
5. Un šeit ir nianse ar divām nullēm
Kāds ir rezultāts, sadalot divas pozitīvo skaitļu virknes, kas saplūst līdz nullei? Ja tie ir vienādi, tad vienība ir identiska. Ja dividenžu secība ātrāk konverģē uz nulli, tad koeficientā secībai ir nulles robeža. Un, kad dalītāja elementi samazinās daudz ātrāk nekā dividendes elementi, koeficienta secība ievērojami pieaugs:
Neskaidra situācija. Un tā to sauc: tipa nenoteiktība 0/0 . Kad matemātiķi redz secības, kas atbilst šādai nenoteiktībai, viņi nesteidzas dalīt divus identiskus skaitļus savā starpā, bet izdomā, kura no sekvencēm ātrāk sasniedz nulli un cik precīzi. Un katram piemēram būs sava konkrēta atbilde!
6. Dzīvē
Oma likums attiecas uz strāvu, spriegumu un pretestību ķēdē. To bieži raksta šādā formā:
Ļausim ignorēt glīto fizisko izpratni un formāli aplūkosim labo pusi kā divu skaitļu koeficientu. Iedomāsimies, ka mēs risinām skolas problēmu ar elektrību. Nosacījums norāda spriegumu voltos un pretestību omos. Jautājums ir acīmredzams, risinājums ir vienā darbībā.
Tagad apskatīsim supravadītspējas definīciju: tā ir dažu metālu īpašība, ka tiem ir nulles elektriskā pretestība.
Nu, atrisināsim supravadošās ķēdes problēmu? Vienkārši iestatiet to R= 0 tas nedarbosies, fizika atmet interesants uzdevums, kas acīmredzami stāv aiz muguras zinātniskais atklājums. Un cilvēki, kuriem šajā situācijā izdevās dalīt ar nulli, saņēma Nobela prēmija. Ir noderīgi, ja var apiet visus aizliegumus!
Viņi saka, ka jūs varat dalīt ar nulli, ja nosakāt dalīšanas rezultātu ar nulli. Jums vienkārši jāpaplašina algebra. Dīvainas sakritības dēļ nav iespējams atrast vismaz kādu vai labāk saprotamu un vienkāršu šāda paplašinājuma piemēru. Lai labotu internetu, ir nepieciešams vai nu vienas no šāda paplašinājuma metožu demonstrācija, vai arī apraksts, kāpēc tas nav iespējams.
Raksts tika uzrakstīts, turpinot tendenci:
Atruna
Šī raksta mērķis ir “cilvēk valodā” izskaidrot, kā darbojas matemātikas pamatprincipi, strukturēt zināšanas un atjaunot zaudētās cēloņu un seku attiecības starp matemātikas nozarēm. Visi argumenti ir filozofiski; dažos spriedumos tie atšķiras no vispārpieņemtajiem (tātad tie neizliekas par matemātiski stingriem). Raksts ir paredzēts lasītāja līmenim, kurš "pirms daudziem gadiem šķērsoja torni".Vēlama, bet nav obligāta izpratne par aritmētiskās, elementārās, vispārējās un lineārās algebras, matemātiskās un nestandarta analīzes, kopu teorijas, vispārējās topoloģijas, projektīvās un afīnās ģeometrijas principiem.
Eksperimentu laikā neviena bezgalība netika bojāta.
Prologs
Iet “pāri robežām” ir dabisks jaunu zināšanu meklēšanas process. Taču ne katrs meklējums nes jaunas zināšanas un līdz ar to arī labumu.1. Patiesībā jau pirms mums viss ir sadalīts!
1.1. Ciparu līnijas afīna pagarinājums
Sāksim ar to, kur, iespējams, sākas visi piedzīvojumu meklētāji, dalot ar nulli. Atcerēsimies funkcijas grafiku.
Pa kreisi un pa labi no nulles funkcija iet dažādos “neesamības” virzienos. Pašā apakšā ir vispārējs “baseins”, un nekas nav redzams.
Tā vietā, lai ar galvu steigtos baseinā, paskatīsimies uz to, kas tajā ieplūst un kas no tā iznāk. Lai to izdarītu, mēs izmantosim limitu - galveno matemātiskās analīzes rīku. Galvenais “triks” ir tas, ka ierobežojums ļauj aiziet līdz noteiktam punktam pēc iespējas tuvāk, bet ne “uzkāpt uz tā”. Tāds “žogs” “baseina” priekšā.
Oriģināls
Labi, "žogs" ir uzcelts. Tas vairs nav tik biedējoši. Mums ir divi ceļi uz baseinu. Ejam pa kreisi - stāvs nobrauciens, pa labi - stāvs kāpums. Neatkarīgi no tā, cik daudz jūs ejat uz "žogu", tas netuvojas. Nav iespējams šķērsot apakšējo un augšējo “neko”. Rodas aizdomas: varbūt ejam pa apli? Lai gan nē, skaitļi mainās, kas nozīmē, ka tie nav aplī. Pameklēsim vēl dažus matemātiskās analīzes rīkus. Papildus ierobežojumiem ar “žogu”, komplektā ietilpst pozitīvas un negatīvas bezgalības. Daudzumi ir pilnīgi abstrakti (nevis skaitļi), labi noformēti un gatavi lietošanai! Mums tas piestāv. Papildināsim savu “būtni” (reālo skaitļu kopu) ar divām bezgalībām ar zīmēm.
Matemātiskajā valodā:
Tas ir šis paplašinājums, kas ļauj jums noteikt ierobežojumu, kad arguments tiecas līdz bezgalībai un iegūt bezgalību, ņemot vērā ierobežojumu.Ir divas matemātikas nozares, kas apraksta vienu un to pašu, izmantojot atšķirīgu terminoloģiju.
Apkoposim:
Apakšējā līnija ir. Vecās pieejas vairs nedarbojas. Sistēmas sarežģītība “ja”, “visiem, izņemot” utt. veidā ir palielinājusies. Mums bija tikai divas nenoteiktības 1/0 un 0/0 (mēs neņēmām vērā jaudas darbības), tāpēc bija piecas. Vienas nenoteiktības atklāsme radīja vēl vairāk neskaidrību.
1.2 Ritenis
Tas neapstājās ar neparakstītas bezgalības ieviešanu. Lai izkļūtu no nenoteiktības, vajag otru vēju.Tātad mums ir reālu skaitļu kopa un divas nenoteiktības 1/0 un 0/0. Lai novērstu pirmo, mēs veicām skaitļu līnijas projektīvo izvēršanu (tas ir, mēs ieviesām neparakstīto bezgalību). Mēģināsim tikt galā ar formas 0/0 otro nenoteiktību. Darīsim tāpat. Pievienosim skaitļu kopai jaunu elementu, kas attēlo otro nenoteiktību.
Dalīšanas operācijas definīcija balstās uz reizināšanu. Tas mums neder. Atdalīsim darbības vienu no otras, bet saglabāsim parasto uzvedību reāliem skaitļiem. Definēsim unāru dalīšanas darbību, ko apzīmē ar zīmi "/".
Definēsim darbības.
Šo struktūru sauc par “riteni”. Termins tika ņemts tā līdzības dēļ ar skaitļu līnijas projektīvā pagarinājuma topoloģisko attēlu un 0/0 punktu.
Šķiet, ka viss izskatās labi, bet velns slēpjas detaļās:
Lai noteiktu visas pazīmes, papildus elementu kopas paplašināšanai tiek pievienots bonuss nevis vienas, bet divu identitāšu veidā, kas raksturo sadales likumu.
Matemātiskajā valodā:No vispārējās algebras viedokļa mēs darbojāmies ar lauku. Un laukā, kā jūs zināt, ir definētas tikai divas darbības (saskaitīšana un reizināšana). Sadalījuma jēdziens tiek iegūts, izmantojot apgrieztos un, vēl dziļāk, vienības elementus. Veiktās izmaiņas pārveido mūsu algebrisko sistēmu par monoīdu gan saskaitīšanas darbībai (ar nulli kā neitrālu elementu), gan reizināšanas darbībai (ar vienu kā neitrālu elementu).Pionieru darbos ne vienmēr tiek izmantoti simboli ∞ un ⊥. Tā vietā ierakstus var atrast formās /0 un 0/0.
Pasaule vairs nav tik brīnišķīga, vai ne? Tomēr nav nepieciešams steigties. Pārbaudīsim, vai jaunās sadales likuma identitātes var tikt galā ar mūsu paplašināto komplektu
Šoreiz rezultāts ir daudz labāks.Apkoposim:
Apakšējā līnija ir. Algebra darbojas lieliski. Taču par pamatu tika ņemts jēdziens “nedefinēts”, ko viņi sāka uzskatīt par kaut ko esošu un ar to operēt. Kādu dienu kāds pateiks, ka viss ir slikti un vajag šo “nedefinēto” sadalīt vēl vairākos “nedefinētajos”, bet mazākos. Vispārējā algebra teiks: “No problem, Bro!”
Aptuveni šādi ceturtdaļās tiek postulētas papildu (j un k) iedomātās vienības Pievienot tagus
- Apmācība
Mana trīsgadīgā meita Sofija iekšā Nesen bieži piemin “nulle”, piemēram, šajā kontekstā:
- Sonja, šķiet, ka tu sākumā neklausīji, bet tad paklausīji, kas notiek?..
- Nu... nulle!
Tie. sajūta negatīvi skaitļi un neitralitātei jau nulle, ak kā. Drīz viņš jautās: kāpēc to nevar dalīt ar nulli?
Un tā es nolēmu vienkāršos vārdos pierakstu visu, ko vēl atceros par dalīšanu ar nulli un visu to.
Vispār ir labāk vienreiz redzēt šķelšanos, nekā simts reizes dzirdēt.
Nu, vai sadaliet vienu ar x reizēm, lai redzētu...
Šeit uzreiz var redzēt, ka nulle ir dzīvības centrs, Visums un viss. Atbildot uz galvenais jautājums par šo visu lai sev ir 42, bet centrs katrā ziņā ir 0. Tam pat nav zīmes, ne plusa (paklausīju), ne mīnusa (neklausījos), tas tiešām ir nulle. Un viņš daudz zina par sivēniem.
Jo, ja kādu sivēnu reizina ar nulli, tad sivēns tiek iesūkts šajā apaļajā melnajā caurumā, un rezultāts atkal ir nulle. Šī nulle nav tik neitrāla, ja nāk no saskaitīšanas un atņemšanas līdz reizināšanai, nemaz nerunājot par dalīšanu... Tur, ja nulle augšā ir “0/x”, tad atkal melnais caurums. Viss iet uz nulli. Bet, ja dalīšanas laikā un pat no apakšas ir “x/0”, tad sākas... seko baltajam trusi, Sonja!
Skolā viņi jums teiks: “Jūs nevarat dalīt ar nulli” un nenosarkst. Kā pierādījumu viņi iedurs kalkulatorā “1/0=” un parasts kalkulators, arī bez sārtuma, ierakstīs “E”, “Error”, viņi saka: “tas ir neiespējami - tas nozīmē, ka tas nav iespējams.” Lai gan tas, kas jums ir, tiks uzskatīts par parastu kalkulatoru, ir cits jautājums. Tagad, 2014. gadā, standarta kalkulators Android tālrunī man stāsta pavisam ko citu:
Oho, bezgalība. Bīdiet skatienu, izgrieziet apļus. Tātad jūs nevarat. Izrādās, ka tas ir iespējams. Ja esi uzmanīgs. Jo bez piesardzības arī mans Android vēl nepiekrīt: “0/0=Error”, atkal tas nav iespējams. Mēģināsim vēlreiz: “-1/0 = -∞”, ak, kā. Interesants viedoklis, bet es tam nepiekrītu. Es arī nepiekrītu “0/0=Error”.
Starp citu, JavaScript, kas nodrošina pašreizējās vietnes, arī nesaskan ar Android kalkulatoru: dodieties uz pārlūkprogrammas konsoli (joprojām F12?) un ierakstiet tur: “0/0” (ievade). JS jums atbildēs: “NaN”. Tā nav kļūda. Tas ir "Nav numurs" - t.i. kaut kāda lieta, bet ne skaitlis. Neskatoties uz to, ka JS ar “1/0” saprot arī “bezgalību”. Tas jau ir tuvāk. Bet pagaidām ir tikai silts...
Universitātē - augstākā matemātika. Ir robežas, stabi un cits šamanisms. Un viss kļūst arvien sarežģītāk, viņi sitas pa krūmiem, bet tikai tāpēc, lai nepārkāptu matemātikas kristāla likumus. Bet, ja jūs nemēģināt šajos esošajos likumos iekļaut dalījumu ar nulli, tad jūs varat sajust šo fantāziju - uz pirkstiem.
Lai to izdarītu, vēlreiz aplūkosim sadalījumu:
Sekojiet labā līnija, no labās uz kreiso. Jo tuvāk X ir nullei, jo vairāk dalītais ar X lido uz augšu. Un kaut kur mākoņos “plus bezgalība”. Viņa vienmēr ir tālāk, tāpat kā horizonts, jūs nevarat viņu panākt.
Tagad sekojiet kreisajai līnijai no kreisās puses uz labo. Tas pats stāsts, tikai tagad sadalītais lido uz leju, bezgalīgi lejup, "mīnus bezgalībā". Līdz ar to viedoklis, ka “1/0= +∞” un “-1/0 = 1/-0 = -∞”.
Bet triks ir tāds, ka “0 = -0”, nullei nav zīmes, ja nesarežģī lietas ar ierobežojumiem. Un, ja jūs dalāt vienu ar tik “vienkāršu” nulli bez zīmes, tad vai nav loģiski pieņemt, ka iegūsit bezgalību - “tikai” bezgalību, bez zīmes, piemēram, nulli. Kur tas atrodas - augšā vai apakšā? Tas ir visur – bezgala tālu no nulles visos virzienos. Tas ir nulle, apgriezts otrādi. Nulle - nav nekā. Bezgalība ir viss. Gan pozitīvi, gan negatīvi. Tas ir viss. Un uzreiz. Absolūti.
Bet tur bija kaut kas par “0/0”, kaut kas cits, nevis bezgalība... Izdarīsim šo triku: “2*0=0”, jā, teiks skolotājs skolā. Arī: “3*0=0” — jā vēlreiz. Un, ja mēs nedomājam, ka “ar nulli nevar dalīt”, viņi saka, visa pasaule tik un tā lēnām dalās, mēs iegūstam: “2=0/0” un “3=0/0”. Kurā klasē viņi to māca, tikai bez nulles, protams.
Pagaidi, izrādās “2 = 0/0 = 3”, “2=3”?! Tāpēc viņi baidās, tāpēc tas ir "neiespējami". Vienīgais, kas baisāks par “1/0”, ir “0/0”; pat Android kalkulators no tā baidās.
Bet mēs nebaidāmies! Jo mums ir iztēles matemātikas spēks. Mēs varam iedomāties sevi kā bezgalīgo Absolūtu kaut kur tur, zvaigznēs, skatīties no turienes uz grēcīgo ierobežoto skaitļu un cilvēku pasauli un saprast, ka no šī viedokļa viņi visi ir vienādi. Un “2” ar “3” un pat “-1”, un varbūt arī skolotājs skolā.
Tāpēc es pieticīgi ierosinu, ka 0/0 ir visa ierobežotā pasaule vai drīzāk viss, kas nav bezgalīgs un nav tukšs.
Tā nulle dalīta ar X izskatās manās fantāzijās, kas ir tālu no oficiālās matemātikas. Patiesībā tas izskatās kā 1/x, tikai lēciena punkts nav pie viena, bet gan uz nulli. Starp citu, 2/x locījums ir divi, un 0,5/x locījums ir 0,5.
Izrādās, ka 0/x pie x=0 pieņem visas galīgās vērtības - ne bezgalību, ne tukšumu. Grafikā pie nulles ir caurums, ir redzamas asis.
Protams, var apgalvot, ka “0*0 = 0”, kas nozīmē, ka nulle (tukšums) arī ietilpst 0/0 kategorijā. Ļaujiet man nedaudz apsteigt - būs nulles grādi un šis iebildums saplīsīs fragmentos.
Hmm, vienību bezgalībā var uzrakstīt arī kā 0/0, kā rezultātā (0/0)/0 — bezgalība. Tagad kārtība ir sakārtota, visu var izteikt ar nulles attiecību.
Piemēram, ja mēs pievienojam galīgo bezgalībai, tad bezgalība absorbēs galīgo un paliks bezgalība:
1/0 + 0/0 = (1+0)/0 = 1/0.
Un, ja bezgalība tiek reizināta ar tukšumu, tad tie absorbē viens otru, un rezultāts ir ierobežota pasaule:
1/0 * 0 = (1*0)/0 = 0/0.
Bet tas ir tikai pirmais sapņu līmenis. Jūs varat rakt dziļāk.
Ja jūs jau zināt jēdzienu “skaitļa jauda” un “1/x = x^-1”, tad, nedaudz pārdomājot, varat pāriet no visiem šiem dalījumiem un iekavām (piemēram, (0/0)/ 0) vienkārši pilnvarām:
1/0 = 0^-1
0/0 = 0^0
0 = 0^1
Padoms.
Šeit ar bezgalību un tukšumu viss ir tikpat vienkārši kā skolā. Un ierobežotā pasaule iet uz šādām pakāpēm:
0/0
= (0*1)/0
= 0*(1/0)
= 0 * 1/0
= 0^1 * 0^-1
= 0^(1 + -1)
= 0^(1-1)
= 0^0.
Ak!
Izrādās, ka nulles pozitīvais spēks ir nulles, negatīvās pilnvaras nulle ir bezgalība, un nulles pakāpe ir ierobežota pasaule.
Šādi izrādās universālais objekts “0^x”. Šādi objekti lieliski mijiedarbojas viens ar otru, atkal tie pakļaujas daudziem likumiem, skaistumam kopumā.
Ar manām pieticīgajām matemātikas zināšanām pietika, lai no tām izveidotu Ābela grupu, kas, būdama vakuumā izolēta (“tikai abstrakti objekti, apzīmējuma forma, kā eksponents”), pat nokārtoja stilīgākā matemātikas skolotāja pārbaudījumu ar spriedums "interesanti, bet nekas nedarbosies." Ja kaut kas te būtu izdevies, šī ir tabu tēma - dalīšana ar nulli. Vispār neuztraucieties.
Mēģināsim vienkārši reizināt bezgalību ar ierobežotu skaitli:
0^-1 * 0^0 = 0^(-1 + 0) = 0^-1.
Atkal, bezgalība absorbēja ierobežotu skaitu tādā pašā veidā, kā tās nulles antipods absorbē galīgos skaitļus, to pašu melno caurumu:
0^1 * 0^0 = 0^(1 + 0) = 0^1.
Izrādās arī, ka grādi ir kā spēks. Tie. Otrās pakāpes nulle ir spēcīgāka par parasto nulli (pirmās pakāpes, 0^1). Un bezgalība mīnus otrā pakāpe ir spēcīgāka par parasto bezgalību (0^-1).
Un, kad tukšums saduras ar absolūtu, viņi mēra savu spēku - uzvarēs tas, kuram ir vairāk:
0^1 * 0^-2 = 0^(1 + -2) = 0^-1 = ∞.
0^2 * 0^-1 = 0^(2 + -1) = 0^1 = 0.
Ja tie ir vienādi pēc spēka, tie iznīcinās un paliek ierobežota pasaule:
0^1 * 0^-1 = 0^(1 + -1) = 0^0.
Starp citu, oficiālā matemātika jau ir netālu. Tās pārstāvji zina par “stabiem” un to, ka stabiem ir dažādas stiprības (kārtības), kā arī par “kārtības k nulli”. Bet viņi joprojām mīda cieto virsmu “blakus” un baidās ielēkt melnajā caurumā.
Un pēdējais man ir trešais sapņu līmenis. Piemēram, visi šie 0^-1 un 0^-2 ir dažāda stipruma bezgalības. Vai 0^1, 0^2 — dažāda stipruma nulles. Bet “-1” un “-2” un “+1” un “+2” - tas ir viss - 0/0, kas vienāds ar 0^0, jau ir pagājuši. Izrādās, ka no šī sapņu līmeņa nav svarīgi, kas tie ir - nulles, bezgalības un pat ierobežotā pasaule tur nonāk ar zināmu apgaismību. Uz vienu punktu. Vienā kategorijā. Šo laimi sauc par singularitāti.
Man jāatzīst, ka ārpus apgaismības stāvokļa es neievēroju vienu punktu, bet viena kategorija - savienība "0^0 U 0^(0^0)" - ir diezgan pilnīga.
Kāds labums no tā visa var būt? Galu galā pat nedaudz mazāk traki “iedomātie skaitļi”, kas arī saplēš kalkulatorus Kļūda = √-1, un tie varēja kļūt par oficiālu matemātiku un tagad vienkāršot tērauda ražošanas aprēķinus.
Tāpat kā lapas uz koka no tālienes šķiet vienādas, bet, ja paskatās uz tām vērīgāk, tās visas ir atšķirīgas. Un, ja tā padomā, viņi atkal ir tādi paši. Un daudz neatšķiras no tevis vai manis. Pareizāk sakot, tie nemaz neatšķiras, ja labi padomā.
Ieguvums šeit ir spēja koncentrēties gan uz atšķirībām, gan abstrakti. Tas ir ļoti noderīgi darbā, dzīvē un pat saistībā ar nāvi.
Tāds ceļojums pa trušu caurumu, Sonja!
Notiek ielāde...