Nodarbības veids: apgūt jaunu materiālu.

Nodarbības mērķi:

• paplašināt un padziļināt studentu izpratni par problēmām, kas risinātas, izmantojot aritmētisko progresiju; studentu meklēšanas darbību organizēšana, atvasinot aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summas formulu;
• attīstot spēju patstāvīgi apgūt jaunas zināšanas un izmantot jau iegūtās zināšanas dotā uzdevuma sasniegšanai;
• attīstot vēlmi un nepieciešamību vispārināt iegūtos faktus, attīstot neatkarību.

Uzdevumi:

• apkopot un sistematizēt esošās zināšanas par tēmu “Aritmētiskā progresija”;
• atvasināt formulas aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summas aprēķināšanai;
• iemācīt pielietot iegūtās formulas dažādu uzdevumu risināšanā;
• vērst skolēnu uzmanību uz skaitliskās izteiksmes vērtības atrašanas procedūru.

Aprīkojums:

• kartītes ar uzdevumiem darbam grupās un pāros;
• novērtējuma papīrs;
• prezentācija “Aritmētiskā progresija”.

I. Pamatzināšanu papildināšana.

1. Patstāvīgs darbs pāros.

1. variants:

Definējiet aritmētisko progresiju. Pierakstiet atkārtošanās formulu, kas definē aritmētisko progresiju. Lūdzu, sniedziet aritmētiskās progresijas piemēru un norādiet tās atšķirību.

2. variants:

Pierakstiet aritmētiskās progresijas n-tā vārda formulu. Atrodiet aritmētiskās progresijas 100. a n}: 2, 5, 8 …
Šobrīd divi skolēni aizmugurējā puse padomes gatavo atbildes uz šiem pašiem jautājumiem.
Studenti novērtē partnera darbu, pārbaudot tos uz tāfeles. (Tiek nodotas lapas ar atbildēm.)

2. Spēles moments.

1. vingrinājums.

Skolotājs. Es izdomāju kādu aritmētisko progresiju. Uzdodiet man tikai divus jautājumus, lai pēc atbildēm ātri varētu nosaukt šīs progresijas 7. termiņu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Studentu jautājumi.

1. Kāds ir progresēšanas sestais termiņš un kāda ir atšķirība?
2. Kāds ir progresēšanas astotais termiņš un kāda ir atšķirība?

Ja jautājumu vairs nav, skolotājs var tos stimulēt - “aizliegums” uz d (atšķirība), tas ir, nav atļauts jautāt, ar ko ir vienāda atšķirība. Varat uzdot jautājumus: ar ko ir vienāds progresijas 6. un ar ko ir vienāds progresijas 8. loceklis?

2. uzdevums.

Uz tāfeles ir uzrakstīti 20 skaitļi: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Skolotājs stāv ar muguru pret dēli. Skolēni izsauc numuru, un skolotājs uzreiz izsauc pašu numuru. Paskaidrojiet, kā es varu to izdarīt?

Skolotājs atceras n-tā semestra formulu a n = 3n – 2 un, aizstājot norādītās vērtības n, atrod atbilstošās vērtības a n.

II. Mācību uzdevuma noteikšana.

Es ierosinu atrisināt senu problēmu, kas datēta ar 2. gadu tūkstoti pirms mūsu ēras, kas atrasta Ēģiptes papirusos.

Uzdevums:"Lai jums saka: sadaliet 10 mērus miežu 10 cilvēkiem, starpība starp katru cilvēku un viņa kaimiņu ir 1/8 no mēra."

• Kā šī problēma ir saistīta ar tēmas aritmētisko progresiju? (Katra nākamā persona saņem par 1/8 no pasākuma vairāk, kas nozīmē, ka atšķirība ir d=1/8, 10 cilvēki, kas nozīmē n=10.)
• Ko, jūsuprāt, nozīmē skaitlis 10? (Visu progresijas nosacījumu summa.)
• Kas vēl jāzina, lai būtu viegli un vienkārši sadalīt miežus atbilstoši problēmas apstākļiem? (Pirmais progresēšanas termiņš.)

Nodarbības mērķis– progresijas terminu summas atkarības iegūšana no to skaita, pirmā locekļa un starpības un pārbaude, vai senatnē uzdevums tika pareizi atrisināts.

Pirms izsecinām formulu, apskatīsim, kā senie ēģiptieši atrisināja problēmu.

Un viņi to atrisināja šādi:

1) 10 pasākumi: 10 = 1 pasākums – vidējā daļa;
2) 1 mērs ∙ = 2 mēri – dubultots vidēji dalīties.
Dubults vidēji akcija ir 5. un 6. personas daļu summa.
3) 2 pasākumi – 1/8 mēri = 1 7/8 pasākumi – dubultā piektās personas daļa.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – piektdaļas daļa; un tā tālāk, jūs varat atrast katras iepriekšējās un nākamās personas daļu.

Mēs iegūstam secību:

III. Problēmas risināšana.

1. Darbs grupās

I grupa: Atrodiet 20 secīgu summu naturālie skaitļi: S 20 =(20+1)∙10 =210.

IN vispārējs skats

II grupa: Atrodiet naturālu skaitļu summu no 1 līdz 100 (Leģenda par mazo Gausu).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Secinājums:

III grupa: Atrodiet naturālu skaitļu summu no 1 līdz 21.

Risinājums: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Secinājums:

IV grupa: Atrodiet naturālu skaitļu summu no 1 līdz 101.

Secinājums:

Šo apskatīto problēmu risināšanas metodi sauc par Gausa metodi.

2. Katra grupa uz tāfeles uzrāda problēmas risinājumu.

3. Piedāvāto risinājumu vispārināšana patvaļīgai aritmētiskajai progresijai:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Atradīsim šo summu, izmantojot līdzīgu argumentāciju:

4. Vai esam atrisinājuši problēmu?(Jā.)

IV. Iegūto formulu primārā izpratne un pielietošana uzdevumu risināšanā.

1. Senas problēmas risinājuma pārbaude, izmantojot formulu.

2. Formulas pielietojums dažādu uzdevumu risināšanā.

3. Vingrinājumi, lai attīstītu prasmi pielietot formulas, risinot uzdevumus.

A) Nr.613

Dots:( a n) - aritmētiskā progresija;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Atrast: S 1500

Risinājums: , a 1 = 1 un 1500 = 1500,

B) Ņemot vērā: ( a n) - aritmētiskā progresija;
(a n): 1, 2, 3, …
Sn = 210

Atrast: n
Risinājums:

V. Patstāvīgs darbs ar savstarpēju pārbaudi.

Deniss sāka strādāt par kurjeru. Pirmajā mēnesī viņa alga bija 200 rubļu, katrā nākamajā mēnesī tā pieauga par 30 rubļiem. Cik viņš kopā nopelnīja gada laikā?

Dots:( a n) - aritmētiskā progresija;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Atrast: S 12
Risinājums:

Atbilde: Deniss par gadu saņēma 4380 rubļus.

VI. Mājas darbu instrukcija.

1. 4.3. sadaļa – apgūstiet formulas atvasināšanu.
2. №№ 585, 623 .
3. Izveidojiet uzdevumu, ko var atrisināt, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas pirmo n vārdu summai.

VII. Apkopojot stundu.

1. Rezultātu lapa

2. Turpiniet teikumus

• Šodien klasē iemācījos...
• Iemācītas formulas...
• ES ticu, ka …

3. Vai varat atrast skaitļu summu no 1 līdz 500? Kādu metodi izmantosit šīs problēmas risināšanai?

Bibliogrāfija.

1. Algebra, 9. klase. Apmācība par izglītības iestādēm. Ed. G.V. Dorofejeva. M.: “Apgaismība”, 2009.

Ja katram naturālajam skaitlim n atbilst reālam skaitlim a n , tad saka, ka ir dots numuru secība :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n , . . . .

Tātad skaitļu secība ir dabiskā argumenta funkcija.

Numurs a 1 sauca secības pirmais termins , numurs a 2 — secības otrais termins , numurs a 3 — trešais un tā tālāk. Numurs a n sauca n-tais termiņš sekvences , un naturāls skaitlis n — viņa numurs .

No diviem blakus biedriem a n Un a n +1 secības dalībnieks a n +1 sauca sekojošais (pret a n ), A a n — iepriekšējā (pret a n +1 ).

Lai definētu secību, ir jānorāda metode, kas ļauj atrast secības dalībnieku ar jebkuru skaitli.

Bieži secība tiek norādīta, izmantojot n-tā termina formulas , tas ir, formula, kas ļauj noteikt secības dalībnieku pēc tā skaitļa.

Piemēram,

pozitīvo nepāra skaitļu secību var iegūt pēc formulas

a n= 2n- 1,

un pārmaiņu secība 1 Un -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Secību var noteikt atkārtota formula, tas ir, formula, kas izsaka jebkuru secības locekli, sākot ar dažiem, izmantojot iepriekšējos (vienu vai vairākus) dalībniekus.

Piemēram,

Ja a 1 = 1 , A a n +1 = a n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ja a 1= 1, a 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , tad ciparu secības pirmos septiņus vārdus nosaka šādi:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Secības var būt galīgais Un bezgalīgs .

Secība tiek saukta galīgais , ja tajā ir ierobežots dalībnieku skaits. Secība tiek saukta bezgalīgs , ja tajā ir bezgalīgi daudz dalībnieku.

Piemēram,

divciparu naturālo skaitļu secība:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

galīgais.

Pirmskaitļu secība:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

bezgalīgs. ◄

Secība tiek saukta pieaug , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir lielāks par iepriekšējo.

Secība tiek saukta samazinās , ja katrs tā dalībnieks, sākot no otrā, ir mazāks par iepriekšējo.

Piemēram,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . — pieaugoša secība;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . — samazinās secība. ◄

Tiek izsaukta secība, kuras elementi, palielinoties skaitam, nesamazinās vai, gluži pretēji, nepalielinās monotona secība .

Jo īpaši monotoniskās sekvences ir pieaugošas un samazinošas sekvences.

Aritmētiskā progresija

Aritmētiskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kuram tiek pievienots tāds pats skaitlis.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , a n, . . .

ir aritmētiskā progresija, ja jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

a n +1 = a n + d,

Kur d - noteikts skaitlis.

Tādējādi atšķirība starp dotās aritmētiskās progresijas nākamajiem un iepriekšējiem nosacījumiem vienmēr ir nemainīga:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = a n +1 - a n = d.

Numurs d sauca aritmētiskās progresijas atšķirība.

Lai definētu aritmētisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un atšķirību.

Piemēram,

Ja a 1 = 3, d = 4 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Aritmētiskajai progresijai ar pirmo termiņu a 1 un atšķirība d viņu n

a n = a 1 + (n- 1)d.

Piemēram,

atrast aritmētiskās progresijas trīsdesmito daļu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

a 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 1 + (n- 2)d,

a n= a 1 + (n- 1)d,

a n +1 = a 1 + nd,

tad acīmredzot

a n=	a n-1 + a n+1
	2

Katrs aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo locekļu vidējo aritmētisko.

skaitļi a, b un c ir kādas aritmētiskās progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viens no tiem ir vienāds ar pārējo divu vidējo aritmētisko.

Piemēram,

a n = 2n- 7 , ir aritmētiskā progresija.

Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

a n = 2n- 7,

a n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Tāpēc

a n+1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = a n,
2		2

◄

Pieraksti to n Aritmētiskās progresijas th var atrast ne tikai caur a 1 , bet arī jebkuru iepriekšējo a k

a n = a k + (n- k)d.

Piemēram,

Priekš a 5 var pierakstīt

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n+k - kd,

tad acīmredzot

a n=	a n-k + a n+k
	2

jebkurš aritmētiskās progresijas loceklis, sākot no otrās, ir vienāds ar pusi no šīs aritmētiskās progresijas locekļu summas, kas atrodas vienādi.

Turklāt jebkurai aritmētiskajai progresijai ir spēkā šāda vienādība:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, jo

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ a n,

vispirms n aritmētiskās progresijas termini ir vienādi ar pusi no galējo terminu summas un terminu skaita:

No šejienes jo īpaši izriet, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus

a k, a k +1 , . . . , a n,

tad iepriekšējā formula saglabā savu struktūru:

Piemēram,

aritmētiskajā progresijā 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ja ir dota aritmētiskā progresija, tad lielumus a 1 , a n, d, n UnS n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja trīs nozīmes no šiem daudzumiem tiek doti, tad no šīm formulām tiek noteiktas atbilstošās pārējo divu lielumu vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Aritmētiskā progresija ir monotona secība. Kurā:

• Ja d > 0 , tad tas palielinās;
• Ja d < 0 , tad tas samazinās;
• Ja d = 0 , tad secība būs stacionāra.

Ģeometriskā progresija

Ģeometriskā progresija ir secība, kurā katrs dalībnieks, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo, kas reizināts ar to pašu skaitli.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ir ģeometriskā progresija jebkuram naturālam skaitlim n nosacījums ir izpildīts:

b n +1 = b n · q,

Kur q ≠ 0 - noteikts skaitlis.

Tādējādi noteiktās ģeometriskās progresijas nākamā termiņa attiecība pret iepriekšējo ir nemainīgs skaitlis:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Numurs q sauca ģeometriskās progresijas saucējs.

Lai definētu ģeometrisko progresiju, pietiek norādīt tās pirmo terminu un saucēju.

Piemēram,

Ja b 1 = 1, q = -3 , tad secības pirmos piecus vārdus atrodam šādi:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 un saucējs q viņu n Terminu var atrast, izmantojot formulu:

b n = b 1 · qn -1 .

Piemēram,

atrast ģeometriskās progresijas septīto biedru 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

tad acīmredzot

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

katrs ģeometriskās progresijas elements, sākot no otrā, ir vienāds ar iepriekšējo un nākamo elementu ģeometrisko vidējo (proporcionālo).

Tā kā ir arī otrādi, tad spēkā ir šāds apgalvojums:

skaitļi a, b un c ir kādas ģeometriskas progresijas secīgi dalībnieki tad un tikai tad, ja viena no tiem kvadrāts ir vienāds ar pārējo divu reizinājumu, tas ir, viens no skaitļiem ir pārējo divu ģeometriskais vidējais.

Piemēram,

Pierādīsim, ka ar formulu dotā secība b n= -3 2 n , ir ģeometriska progresija. Izmantosim iepriekš minēto apgalvojumu. Mums ir:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Tāpēc

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

kas pierāda vēlamo apgalvojumu. ◄

Pieraksti to n Ģeometriskās progresijas th terminu var atrast ne tikai caur b 1 , bet arī jebkurš iepriekšējais dalībnieks b k , kam pietiek izmantot formulu

b n = b k · qn - k.

Piemēram,

Priekš b 5 var pierakstīt

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

tad acīmredzot

b n 2 = b n - k· b n + k

jebkura ģeometriskās progresijas vārda kvadrāts, sākot no otrās, ir vienāds ar šīs progresijas vārdu reizinājumu vienādā attālumā no tā.

Turklāt jebkurai ģeometriskai progresijai ir taisnība:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Piemēram,

ģeometriskā progresijā

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , jo

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

vispirms n ģeometriskās progresijas locekļi ar saucēju q ≠ 0 aprēķina pēc formulas:

Un tad, kad q = 1 - pēc formulas

S n= nb 1

Ņemiet vērā, ka, ja jums ir nepieciešams summēt noteikumus

b k, b k +1 , . . . , b n,

tad tiek izmantota formula:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - qn - k +1	.
	1 - q

Piemēram,

ģeometriskā progresijā 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ja ir dota ģeometriskā progresija, tad lielumus b 1 , b n, q, n Un S n savienotas ar divām formulām:

Tāpēc, ja ir norādītas kādu trīs no šiem daudzumiem vērtības, tad no šīm formulām tiek noteiktas pārējo divu lielumu atbilstošās vērtības, kas apvienotas divu vienādojumu sistēmā ar diviem nezināmiem.

Ģeometriskajai progresijai ar pirmo termiņu b 1 un saucējs q notiek sekojošais monotonitātes īpašības :

• progresēšana palielinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un q> 1;

b 1 < 0 Un 0 < q< 1;

• Progresēšana samazinās, ja ir izpildīts viens no šiem nosacījumiem:

b 1 > 0 Un 0 < q< 1;

b 1 < 0 Un q> 1.

Ja q< 0 , tad ģeometriskā progresija ir mainīga: tās vārdiem ar nepāra skaitļiem ir tāda pati zīme kā pirmajam vārdam, un vārdiem ar pāra skaitļiem ir pretēja zīme. Ir skaidrs, ka mainīga ģeometriskā progresija nav monotona.

Pirmā prece n ģeometriskās progresijas nosacījumus var aprēķināt, izmantojot formulu:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Piemēram,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija

Bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija sauc par bezgalīgu ģeometrisko progresiju, kuras saucēja modulis ir mazāks 1 , tas ir

|q| < 1 .

Ņemiet vērā, ka bezgalīgi dilstoša ģeometriskā progresija var nebūt dilstoša secība. Tas atbilst gadījumam

1 < q< 0 .

Ar šādu saucēju secība ir mainīga. Piemēram,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Bezgalīgi dilstošās ģeometriskās progresijas summa nosauciet skaitli, kuram bez ierobežojumiem tuvojas pirmo summa n progresijas dalībnieki ar neierobežotu skaita pieaugumu n . Šis skaitlis vienmēr ir ierobežots un tiek izteikts ar formulu

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

Piemēram,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Aritmētiskās un ģeometriskās progresijas attiecības

Aritmētiskā un ģeometriskā progresija ir cieši saistītas. Apskatīsim tikai divus piemērus.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Tas

ba 1 , ba 2 , ba 3 , . . . b d .

Piemēram,

1, 3, 5, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību 2 Un

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju q , Tas

log a b 1, log a b 2, log a b 3, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību žurnāls aq .

Piemēram,

2, 12, 72, . . . - ģeometriskā progresija ar saucēju 6 Un

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmētiskā progresija ar starpību lg 6 . ◄

Pirmais līmenis

Aritmētiskā progresija. Detalizēta teorija ar piemēriem (2019)

Skaitļu secība

Tātad, apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:
Jūs varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties (mūsu gadījumā tie ir). Neatkarīgi no tā, cik skaitļus mēs rakstām, mēs vienmēr varam pateikt, kurš no tiem ir pirmais, kurš ir otrais un tā tālāk līdz pēdējam, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu secības piemērs:

Skaitļu secība
Piemēram, mūsu secībai:

Piešķirtais numurs ir raksturīgs tikai vienam numuram secībā. Citiem vārdiem sakot, secībā nav trīs sekunžu skaitļu. Otrais cipars (tāpat kā th cipars) vienmēr ir vienāds.
Skaitli ar skaitli sauc par secības th terminu.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Mūsu gadījumā:

Pieņemsim, ka mums ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.
Piemēram:

utt.
Šo skaitļu secību sauc par aritmētisko progresiju.
Terminu "progresēšana" ieviesa romiešu autors Boetijs tālajā 6. gadsimtā un plašākā nozīmē to saprata kā bezgalīgu ciparu secību. Nosaukums "aritmētika" tika pārcelts no nepārtraukto proporciju teorijas, kuru pētīja senie grieķi.

Šī ir skaitļu virkne, kuras katrs dalībnieks ir vienāds ar iepriekšējo, kas pievienots tam pašam skaitlim. Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas starpību un apzīmē.

Mēģiniet noteikt, kuras skaitļu secības ir aritmētiskā progresija un kuras nav:

a)
b)
c)
d)

Sapratu? Salīdzināsim mūsu atbildes:
Ir aritmētiskā progresija - b, c.
Nav aritmētiskā progresija - a, d.

Atgriezīsimies pie dotās progresijas () un mēģināsim atrast tās th vārda vērtību. Pastāv divi veids, kā to atrast.

1. Metode

Mēs varam pievienot progresijas skaitli iepriekšējai vērtībai, līdz mēs sasniedzam progresijas th. Labi, ka mums nav daudz ko apkopot - tikai trīs vērtības:

Tātad aprakstītās aritmētiskās progresijas th loceklis ir vienāds ar.

2. Metode

Ko darīt, ja mums būtu jāatrod progresijas th termina vērtība? Summēšana mums aizņemtu vairāk nekā vienu stundu, un tas nav fakts, ka mēs nekļūdītos, saskaitot skaitļus.
Protams, matemātiķi ir izdomājuši veidu, kā aritmētiskās progresijas starpību nav nepieciešams pievienot iepriekšējai vērtībai. Apskatiet uzzīmēto attēlu tuvāk... Noteikti jau esat pamanījuši noteiktu rakstu, proti:

Piemēram, paskatīsimies, no kā sastāv šīs aritmētiskās progresijas th termiņa vērtība:


Citiem vārdiem sakot:

Mēģiniet pats šādā veidā atrast dotās aritmētiskās progresijas locekļa vērtību.

Vai jūs aprēķinājāt? Salīdziniet savas piezīmes ar atbildi:

Lūdzu, ņemiet vērā, ka jūs saņēmāt tieši tādu pašu skaitli kā iepriekšējā metodē, kad mēs secīgi pievienojām aritmētiskās progresijas nosacījumus iepriekšējai vērtībai.
Mēģināsim “depersonalizēt” šo formulu - formulēsim to vispārīgā formā un iegūsim:

Aritmētiskās progresijas vienādojums.

Aritmētiskā progresija var palielināties vai samazināties.

Pieaug- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir lielāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Dilstoša- progresijas, kurās katra nākamā terminu vērtība ir mazāka par iepriekšējo.
Piemēram:

Atvasinātā formula tiek izmantota aritmētiskās progresijas terminu aprēķināšanai gan pieaugošajos, gan samazinošajos termiņos.
Pārbaudīsim to praksē.
Mums ir dota aritmētiskā progresija, kas sastāv no šādus skaitļus: Pārbaudīsim, kāds būs šīs aritmētiskās progresijas skaitlis, ja izmantosim formulu, lai to aprēķinātu:

Kopš tā laika:

Tādējādi esam pārliecināti, ka formula darbojas gan dilstošā, gan pieaugošā aritmētiskajā progresijā.
Mēģiniet pats atrast šīs aritmētiskās progresijas th un th nosacījumus.

Salīdzināsim rezultātus:

Aritmētiskās progresijas īpašība

Sarežģīsim uzdevumu – atvasināsim aritmētiskās progresijas īpašību.
Pieņemsim, ka mums ir šāds nosacījums:
- aritmētiskā progresija, atrodiet vērtību.
Vienkārši, jūs sakāt un sāciet skaitīt pēc formulas, kuru jau zināt:

Ļaujiet, ah, tad:

Pilnīga taisnība. Sanāk, ka vispirms atrodam, tad pievienojam pirmajam ciparam un iegūstam to, ko meklējam. Ja progresiju attēlo mazas vērtības, tad tajā nav nekā sarežģīta, bet ja nu nosacījumā mums ir doti skaitļi? Piekrītu, aprēķinos ir iespējama kļūda.
Tagad padomājiet, vai šo problēmu ir iespējams atrisināt vienā solī, izmantojot jebkuru formulu? Protams, jā, un tieši to mēs tagad mēģināsim izcelt.

Apzīmēsim vajadzīgo aritmētiskās progresijas terminu kā mums zināmo formulu tā atrašanai - šī ir tā pati formula, ko mēs atvasinājām sākumā:
, Tad:

• iepriekšējais progresēšanas termiņš ir:
• nākamais progresēšanas termiņš ir:

Apkoposim iepriekšējos un turpmākos progresēšanas nosacījumus:

Izrādās, ka iepriekšējo un nākamo progresijas nosacījumu summa ir starp tiem esošā progresijas vārda dubultā vērtība. Citiem vārdiem sakot, lai atrastu progresijas vārda vērtību ar zināmām iepriekšējām un secīgām vērtībām, tās ir jāpievieno un jādala ar.

Tieši tā, mums ir vienāds numurs. Nostiprināsim materiālu. Aprēķiniet progresa vērtību pats, tas nepavisam nav grūti.

Labi padarīts! Jūs zināt gandrīz visu par progresu! Atliek noskaidrot tikai vienu formulu, kuru, saskaņā ar leģendu, viegli izsecināja viens no visu laiku izcilākajiem matemātiķiem, “matemātiķu karalis” - Karls Gauss...

Kad Kārlim Gausam bija 9 gadi, skolotājs, kas bija aizņemts ar citu klašu skolēnu darbu pārbaudīšanu, stundā uzdeva šādu uzdevumu: “Aprēķiniet visu naturālo skaitļu summu no līdz (saskaņā ar citiem avotiem līdz) ieskaitot.” Iedomājieties skolotāja pārsteigumu, kad viens no viņa audzēkņiem (tas bija Kārlis Gauss) minūti vēlāk sniedza pareizo atbildi uz uzdevumu, savukārt lielākā daļa pārdrošnieka klasesbiedru pēc ilgiem aprēķiniem saņēma nepareizu rezultātu...

Jaunais Karls Gauss pamanīja noteiktu modeli, ko arī jūs varat viegli pamanīt.
Pieņemsim, ka mums ir aritmētiskā progresija, kas sastāv no --ajiem vārdiem: Mums jāatrod šo aritmētiskās progresijas nosacījumu summa. Protams, mēs varam manuāli summēt visas vērtības, bet ja uzdevums prasa atrast tā terminu summu, kā to meklēja Gauss?

Attēlosim mums doto progresu. Apskatiet izceltos skaitļus tuvāk un mēģiniet ar tiem veikt dažādas matemātiskas darbības.


Vai esat to mēģinājuši? Ko jūs pamanījāt? Pa labi! Viņu summas ir vienādas

Tagad sakiet, cik mums dotajā progresijā kopumā ir šādu pāru? Protams, tieši puse no visiem skaitļiem, tas ir.
Pamatojoties uz to, ka aritmētiskās progresijas divu vārdu summa ir vienāda un līdzīgi pāri ir vienādi, mēs iegūstam, ka kopējā summa ir vienāda ar:
.
Tādējādi jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas formula būs šāda:

Dažās problēmās mēs nezinām th terminu, bet mēs zinām progresijas atšķirību. Mēģiniet aizstāt th termina formulu ar summas formulu.
Ko tu dabūji?

Labi padarīts! Tagad atgriezīsimies pie uzdevuma, kas tika uzdots Karlam Gausam: aprēķiniet paši, ar ko ir vienāda skaitļu summa, sākot no th, un skaitļu summa, kas sākas no th.

Cik tu saņēmi?
Gauss atklāja, ka terminu summa ir vienāda, un terminu summa. Vai tā nolēmāt?

Faktiski aritmētiskās progresijas terminu summas formulu jau 3. gadsimtā pierādīja sengrieķu zinātnieks Diofants, un visu šo laiku asprātīgi cilvēki pilnībā izmantoja aritmētiskās progresijas īpašības.
Piemēram, iedomājieties Senā Ēģipte un tā laika lielākais būvprojekts - piramīdas celtniecība... Bildē redzama viena puse.

Kur te ir progresija, jūs sakāt? Paskatieties uzmanīgi un atrodiet smilšu bloku skaitu katrā piramīdas sienas rindā.


Kāpēc ne aritmētiskā progresija? Aprēķiniet, cik bloku nepieciešams vienas sienas uzbūvēšanai, ja pie pamatnes ir likti bloku ķieģeļi. Es ceru, ka jūs neskaitīsit, pārvietojot pirkstu pa monitoru, atceraties pēdējo formulu un visu, ko mēs teicām par aritmētisko progresiju?

IN šajā gadījumā Progresija izskatās šādi: .
Aritmētiskās progresijas atšķirība.
Aritmētiskās progresijas terminu skaits.
Aizstāsim savus datus pēdējās formulās (bloku skaitu aprēķināsim divos veidos).

1. metode.

2. metode.

Un tagad jūs varat aprēķināt monitorā: salīdziniet iegūtās vērtības ar bloku skaitu, kas atrodas mūsu piramīdā. Sapratu? Labi darīts, jūs esat apguvis aritmētiskās progresijas n-to vārdu summu.
Protams, jūs nevarat uzbūvēt piramīdu no blokiem pie pamatnes, bet no tā? Mēģiniet aprēķināt, cik smilšu ķieģeļu ir nepieciešams, lai izveidotu sienu ar šo nosacījumu.
Vai jums izdevās?
Pareizā atbilde ir bloki:

Apmācība

Uzdevumi:

1. Maša iegūst formu vasarai. Katru dienu viņa palielina pietupienu skaitu par. Cik reizes Maša veiks pietupienus nedēļā, ja viņa veica pietupienus pirmajā treniņā?
2. Kāda ir visu nepāra skaitļu summa, kas ietverta.
3. Uzglabājot baļķus, mežizstrādātāji tos sakrauj tā, lai katrs augšējais slānis satur par vienu žurnālu mazāk nekā iepriekšējā. Cik baļķu ir vienā mūrī, ja mūra pamats ir baļķi?

Atbildes:

1. Definēsim aritmētiskās progresijas parametrus. Šajā gadījumā
   (nedēļas = dienas).

   Atbilde: Divu nedēļu laikā Mašai reizi dienā jāveic pietupieni.

2. Pirmais nepāra skaitlis, pēdējais cipars.
   Aritmētiskās progresijas atšķirība.
   Nepāra skaitļu skaits ir uz pusi, tomēr pārbaudīsim šo faktu, izmantojot formulu aritmētiskās progresijas biedra atrašanai:

   Cipari satur nepāra skaitļus.
   Aizstāsim pieejamos datus formulā:

   Atbilde: Visu nepāra skaitļu summa ir vienāda.

3. Atcerēsimies problēmu par piramīdām. Mūsu gadījumā a , jo katrs virsējais slānis ir samazināts par vienu baļķi, tad kopā ir slāņu ķekars, tas ir.
   Aizstāsim datus formulā:

   Atbilde: Mūrē ir baļķi.

Apkoposim to

1. - skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda. Tas var palielināties vai samazināties.
2. Formulas atrašana Aritmētiskās progresijas th termiņu raksta ar formulu - , kur ir skaitļu skaits progresijā.
3. Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība- - kur ir progresējošo skaitļu skaits.
4. Aritmētiskās progresijas vārdu summa var atrast divos veidos:
   
   , kur ir vērtību skaits.

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. VIDĒJAIS LĪMENIS

Skaitļu secība

Apsēdīsimies un sāksim rakstīt dažus skaitļus. Piemēram:

Varat rakstīt jebkurus ciparus, un to var būt tik daudz, cik vēlaties. Bet mēs vienmēr varam pateikt, kurš ir pirmais, kurš otrais un tā tālāk, tas ir, mēs varam tos numurēt. Šis ir skaitļu virknes piemērs.

Skaitļu secība ir skaitļu kopa, no kuriem katram var piešķirt unikālu numuru.

Citiem vārdiem sakot, katru skaitli var saistīt ar noteiktu naturālu skaitli un unikālu. Un mēs nepiešķirsim šo numuru nevienam citam numuram no šī komplekta.

Skaitli ar skaitli sauc par secības th locekli.

Mēs parasti saucam visu secību ar kādu burtu (piemēram,), un katrs šīs secības dalībnieks ir viens un tas pats burts ar indeksu, kas vienāds ar šī elementa numuru: .

Tas ir ļoti ērti, ja secības th vārdu var norādīt ar kādu formulu. Piemēram, formula

nosaka secību:

Un formula ir šāda secība:

Piemēram, aritmētiskā progresija ir secība (pirmais termins šeit ir vienāds, un atšķirība ir). Vai (, atšķirība).

n-tā termina formula

Mēs saucam par atkārtotu formulu, kurā, lai uzzinātu th terminu, jums jāzina iepriekšējais vai vairāki iepriekšējie:

Lai, piemēram, atrastu progresijas th, izmantojot šo formulu, mums būs jāaprēķina iepriekšējie deviņi. Piemēram, ļaujiet tam. Pēc tam:

Nu, vai tagad ir skaidrs, kāda ir formula?

Katrā rindā mēs pievienojam, reizinot ar kādu skaitli. Kurš? Ļoti vienkārši: šis ir pašreizējā dalībnieka numurs mīnus:

Tagad daudz ērtāk, vai ne? Mēs pārbaudām:

Izlemiet paši:

Aritmētiskajā progresijā atrodiet n-tā vārda formulu un atrodiet simto daļu.

Risinājums:

Pirmais termiņš ir vienāds. Kāda ir atšķirība? Lūk, kas:

(Tāpēc to sauc par atšķirību, jo tā ir vienāda ar secīgu progresijas nosacījumu starpību).

Tātad, formula:

Tad simtais loceklis ir vienāds ar:

Kāda ir visu naturālo skaitļu summa no līdz?

Saskaņā ar leģendu, izcilais matemātiķis Karls Gauss, būdams 9 gadus vecs zēns, šo summu aprēķināja dažu minūšu laikā. Viņš pamanīja, ka pirmā un pēdējā skaitļa summa ir vienāda, otrā un priekšpēdējā summa ir vienāda, trešā un 3. summa no beigām ir vienāda un tā tālāk. Cik tādu pāru kopumā ir? Tieši tā, tieši puse no visu skaitļu skaita, tas ir. Tātad,

Jebkuras aritmētiskās progresijas pirmo vārdu summas vispārējā formula būs šāda:

Piemērs:
Atrodiet visu divciparu reizinājumu summu.

Risinājums:

Pirmais šāds skaitlis ir šis. Katru nākamo skaitli iegūst, pievienojot iepriekšējam skaitlim. Tādējādi mūs interesējošie skaitļi veido aritmētisko progresiju ar pirmo biedru un starpību.

Šīs progresēšanas termiņa formula:

Cik terminu ir progresijā, ja tiem visiem ir jābūt divciparu skaitlim?

Ļoti viegli: .

Pēdējais progresēšanas termiņš būs vienāds. Tad summa:

Atbilde: .

Tagad izlemiet paši:

1. Katru dienu sportists noskrien vairāk metru nekā iepriekšējā dienā. Cik kopumā kilometrus viņš noskries nedēļā, ja pirmajā dienā noskrēja km m?
2. Velosipēdists katru dienu nobrauc vairāk kilometru nekā iepriekšējā dienā. Pirmajā dienā viņš nobrauca km. Cik dienas viņam jābrauc, lai nobrauktu kilometru? Cik kilometrus viņš nobrauks pēdējā ceļojuma dienā?
3. Ledusskapja cena veikalā katru gadu samazinās par tādu pašu summu. Nosakiet, cik daudz ledusskapja cena samazinājās katru gadu, ja, laists pārdošanā par rubļiem, pēc sešiem gadiem tas tika pārdots par rubļiem.

Atbildes:

1. Šeit vissvarīgākais ir atpazīt aritmētisko progresiju un noteikt tās parametrus. Šajā gadījumā (nedēļas = dienas). Jums ir jānosaka šīs progresēšanas pirmo nosacījumu summa:
   .
   Atbilde:
2. Šeit ir dots: , jāatrod.
   Acīmredzot jums ir jāizmanto tā pati summas formula kā iepriekšējā uzdevumā:
   .
   Aizstāt vērtības:

   Sakne acīmredzami neder, tāpēc atbilde ir.
   Aprēķināsim pēdējās dienas laikā noieto ceļu, izmantojot th termina formulu:
   (km).
   Atbilde:

3. Ņemot vērā:. Atrast: .
   Tas nevar būt vienkāršāk:
   (berzēt).
   Atbilde:

ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA. ĪSUMĀ PAR GALVENĀM LIETĀM

Šī ir skaitļu secība, kurā starpība starp blakus esošajiem skaitļiem ir vienāda un vienāda.

Aritmētiskā progresija var palielināties () un samazināties ().

Piemēram:

Formula aritmētiskās progresijas n-tā vārda atrašanai

tiek uzrakstīts pēc formulas, kur ir progresējošo skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas locekļu īpašība

Tas ļauj viegli atrast progresijas terminu, ja ir zināmi tā blakus vārdi - kur ir progresijas skaitļu skaits.

Aritmētiskās progresijas terminu summa

Ir divi veidi, kā atrast summu:

Kur ir vērtību skaits.

Kur ir vērtību skaits.

Instrukcijas

Aritmētiskā progresija ir secība formā a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Numura d solis progresēšanu.Ir skaidrs, ka aritmētikas patvaļīga n-tā termina vispārīgais progresēšanu ir šāda forma: An = A1+(n-1)d. Tad zinot vienu no biedriem progresēšanu, biedrs progresēšanu un soli progresēšanu, varat, tas ir, progresa dalībnieka numurs. Acīmredzot to noteiks pēc formulas n = (An-A1+d)/d.

Lai tagad ir zināms m-tais termins progresēšanu un vēl viens biedrs progresēšanu- nth, bet n , tāpat kā iepriekšējā gadījumā, bet ir zināms, ka n un m nesakrīt. Solis progresēšanu var aprēķināt, izmantojot formulu: d = (An-Am)/(n-m). Tad n = (An-Am+md)/d.

Ja ir zināma aritmētiskā vienādojuma vairāku elementu summa progresēšanu, kā arī tā pirmo un pēdējo, tad var noteikt arī šo elementu skaitu Aritmētikas summa progresēšanu būs vienāds ar: S = ((A1+An)/2)n. Tad n = 2S/(A1+An) - chdenov progresēšanu. Izmantojot faktu, ka An = A1+(n-1)d, šo formulu var pārrakstīt šādi: n = 2S/(2A1+(n-1)d). No tā mēs varam izteikt n, risinot kvadrātvienādojums.

Aritmētiskā secība ir sakārtota skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks, izņemot pirmo, atšķiras no iepriekšējā par tādu pašu summu. Šo nemainīgo vērtību sauc par progresijas vai tās soļa starpību, un to var aprēķināt no zināmajiem aritmētiskās progresijas nosacījumiem.

Instrukcijas

Ja no uzdevuma nosacījumiem ir zināmas pirmā un otrā vai jebkura cita blakus esošo terminu pāra vērtības, lai aprēķinātu starpību (d), vienkārši atņemiet iepriekšējo no nākamā termina. Iegūtā vērtība var būt pozitīva vai negatīvs skaitlis- tas ir atkarīgs no tā, vai progresēšana palielinās. IN vispārējā forma uzrakstiet atrisinājumu patvaļīgi izvēlētam progresijas blakus terminu pārim (aᵢ un aᵢ₊₁) šādi: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Šādas progresijas terminu pārim, no kuriem viens ir pirmais (a₁), bet otrs ir jebkurš cits patvaļīgi izvēlēts, var arī izveidot formulu atšķirības (d) atrašanai. Tomēr šajā gadījumā ir jāzina patvaļīgi izvēlēta secības dalībnieka sērijas numurs (i). Lai aprēķinātu starpību, saskaitiet abus skaitļus un izdaliet iegūto rezultātu ar patvaļīga vārda kārtas skaitli, kas samazināts par vienu. Parasti rakstiet šo formulu šādi: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ja papildus patvaļīgam aritmētiskās progresijas loceklim ar kārtas skaitli i ir zināms vēl viens loceklis ar kārtas skaitli u, attiecīgi mainiet iepriekšējās darbības formulu. Šajā gadījumā progresijas starpība (d) būs šo divu terminu summa, kas dalīta ar to kārtas skaitļu starpību: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Formula starpības (d) aprēķināšanai kļūs nedaudz sarežģītāka, ja uzdevuma nosacījumi dos tā pirmā vārda (a₁) vērtību un pirmo vārdu dotā skaitļa (i) summu (Sᵢ). aritmētiskā secība. Lai iegūtu vēlamo vērtību, sadaliet summu ar to veidojošo vārdu skaitu, atņemiet secības pirmā skaitļa vērtību un dubultojiet rezultātu. Sadaliet iegūto vērtību ar terminu skaitu, kas veido summu, kas samazināta par vienu. Vispārīgi rakstiet formulu diskriminanta aprēķināšanai šādi: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Studējot algebru in vidusskola(9. klase) viens no svarīgas tēmas ir skaitļu secību izpēte, kas ietver progresijas - ģeometrisko un aritmētisko. Šajā rakstā apskatīsim aritmētisko progresiju un piemērus ar risinājumiem.

Kas ir aritmētiskā progresija?

Lai to saprastu, ir jādefinē attiecīgā progresija, kā arī jānodrošina pamatformulas, kuras vēlāk tiks izmantotas problēmu risināšanā.

Aritmētiskais jeb ir sakārtotu racionālu skaitļu kopa, kuras katrs dalībnieks atšķiras no iepriekšējā ar kādu nemainīgu vērtību. Šo vērtību sauc par starpību. Tas ir, zinot jebkuru sakārtotas skaitļu sērijas dalībnieku un atšķirību, jūs varat atjaunot visu aritmētisko progresiju.

Sniegsim piemēru. Sekojošā skaitļu secība būs aritmētiskā progresija: 4, 8, 12, 16, ..., jo šajā gadījumā atšķirība ir 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Bet skaitļu kopu 3, 5, 8, 12, 17 vairs nevar attiecināt uz aplūkojamo progresēšanas veidu, jo atšķirība tai nav nemainīga vērtība (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Svarīgas formulas

Tagad iepazīstināsim ar pamata formulas, kas būs nepieciešamas, lai atrisinātu uzdevumus, izmantojot aritmētisko progresiju. Apzīmēsim ar simbolu a n n-tais termiņš sekvences, kur n ir vesels skaitlis. Mēs apzīmējam atšķirību Latīņu burts d. Tad ir derīgas šādas izteiksmes:

1. Lai noteiktu n-tā vārda vērtību, ir piemērota formula: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Lai noteiktu pirmo n vārdu summu: S n = (a n +a 1)*n/2.

Lai saprastu aritmētiskās progresijas piemērus ar risinājumiem 9. klasē, pietiek atcerēties šīs divas formulas, jo jebkura izskatāmā veida problēma ir balstīta uz to izmantošanu. Jums arī jāatceras, ka progresijas starpību nosaka pēc formulas: d = a n - a n-1.

1. piemērs: nezināma vārda atrašana

Sniegsim vienkāršu aritmētiskās progresijas piemēru un formulas, kas jāizmanto tās risināšanai.

Lai ir dota secība 10, 8, 6, 4, ..., tajā jāatrod pieci termini.

No uzdevuma nosacījumiem jau izriet, ka ir zināmi pirmie 4 termini. Piekto var definēt divos veidos:

1. Vispirms aprēķināsim starpību. Mums ir: d = 8 - 10 = -2. Tāpat jūs varētu paņemt divus citus dalībniekus, kas stāv viens otram blakus. Piemēram, d = 4 - 6 = -2. Tā kā ir zināms, ka d = a n - a n-1, tad d = a 5 - a 4, no kā iegūstam: a 5 = a 4 + d. Aizstāsim zināmās vērtības: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Otrajai metodei ir nepieciešamas arī zināšanas par attiecīgās progresijas atšķirību, tāpēc vispirms tā ir jānosaka, kā parādīts iepriekš (d = -2). Zinot, ka pirmais vārds a 1 = 10, mēs izmantojam secības n skaitļa formulu. Mums ir: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Aizstājot n = 5 pēdējā izteiksmē, mēs iegūstam: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kā redzat, abi risinājumi noveda pie viena un tā paša rezultāta. Ņemiet vērā, ka šajā piemērā progresijas starpība d ir negatīva vērtība. Šādas secības sauc par dilstošām, jo ​​katrs nākamais termiņš ir mazāks par iepriekšējo.

2. piemērs: progresēšanas atšķirība

Tagad nedaudz sarežģīsim problēmu, sniegsim piemēru, kā atrast aritmētiskās progresijas starpību.

Ir zināms, ka kādā algebriskā progresijā 1. termins ir vienāds ar 6, bet 7. loceklis ir vienāds ar 18. Ir jāatrod atšķirība un jāatjauno šī secība uz 7. terminu.

Nezināmā vārda noteikšanai izmantosim formulu: a n = (n - 1) * d + a 1 . Aizstāsim tajā zināmos datus no nosacījuma, tas ir, skaitļus a 1 un a 7, mums ir: 18 = 6 + 6 * d. No šīs izteiksmes jūs varat viegli aprēķināt starpību: d = (18 - 6) /6 = 2. Tādējādi mēs esam atbildējuši uz problēmas pirmo daļu.

Lai atjaunotu secību uz 7. terminu, jums vajadzētu izmantot algebriskās progresijas definīciju, tas ir, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d utt. Rezultātā mēs atjaunojam visu secību: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Piemērs Nr. 3: progresijas sastādīšana

Sarežģīsim to vēl vairāk spēcīgāks stāvoklis uzdevumus. Tagad mums ir jāatbild uz jautājumu, kā atrast aritmētisko progresiju. Var dot šādu piemēru: ir doti divi skaitļi, piemēram - 4 un 5. Jāizveido algebriskā progresija, lai starp tiem būtu vēl trīs vārdi.

Pirms sākat risināt šo problēmu, jums ir jāsaprot, kādu vietu dotie skaitļi ieņems turpmākajā progresē. Tā kā starp tiem būs vēl trīs termini, tad a 1 = -4 un a 5 = 5. Kad tas ir konstatēts, mēs pārejam pie problēmas, kas ir līdzīga iepriekšējai. Atkal, n-tajam terminam mēs izmantojam formulu, mēs iegūstam: a 5 = a 1 + 4 * d. No: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Šeit iegūtais nav starpības vesels skaitlis, bet gan racionāls skaitlis, tāpēc algebriskās progresijas formulas paliek nemainīgas.

Tagad pievienosim atrasto starpību 1 un atjaunosim trūkstošos progresijas nosacījumus. Mēs iegūstam: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, kas sakrita ar problēmas apstākļiem.

Piemērs Nr. 4: pirmais progresēšanas termiņš

Turpināsim sniegt piemērus aritmētiskajai progresijai ar risinājumiem. Visos iepriekšējos uzdevumos bija zināms pirmais algebriskās progresijas skaitlis. Tagad aplūkosim cita veida uzdevumu: doti divi skaitļi, kur a 15 = 50 un 43 = 37. Jāatrod, ar kuru skaitli sākas šī secība.

Līdz šim izmantotās formulas pieņem zināšanas par 1 un d. Problēmas izklāstā par šiem skaitļiem nekas nav zināms. Tomēr mēs pierakstīsim izteiksmes katram terminam, par kuru ir pieejama informācija: a 15 = a 1 + 14 * d un a 43 = a 1 + 42 * d. Mēs saņēmām divus vienādojumus, kuros ir 2 nezināmi lielumi (a 1 un d). Tas nozīmē, ka problēma tiek reducēta līdz lineāro vienādojumu sistēmas atrisināšanai.

Vienkāršākais veids, kā atrisināt šo sistēmu, ir katrā vienādojumā izteikt 1 un pēc tam salīdzināt iegūtās izteiksmes. Pirmais vienādojums: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; otrais vienādojums: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Pielīdzinot šīs izteiksmes, mēs iegūstam: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, no kurienes starpība d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (tiek dotas tikai 3 zīmes aiz komata).

Zinot d, varat izmantot jebkuru no 2 iepriekš minētajām izteiksmēm 1. Piemēram, vispirms: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Ja rodas šaubas par iegūto rezultātu, to var pārbaudīt, piemēram, noteikt nosacījumā norādīto progresijas 43. termiņu. Mēs iegūstam: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Nelielā kļūda ir saistīta ar to, ka aprēķinos tika izmantota noapaļošana līdz tūkstošdaļām.

Piemērs Nr.5: summa

Tagad apskatīsim vairākus piemērus ar risinājumiem aritmētiskās progresijas summai.

Dota skaitliskā progresija šāda veida: 1, 2, 3, 4, ...,. Kā aprēķināt šo skaitļu 100 summu?

Pateicoties attīstībai datortehnoloģijas jūs varat atrisināt šo problēmu, tas ir, pievienot visus skaitļus secīgi, kas Aprēķinu mašīna darīs, tiklīdz persona nospiedīs taustiņu Enter. Tomēr problēmu var atrisināt garīgi, ja pievēršat uzmanību tam, ka uzrādītā skaitļu sērija ir algebriska progresija, un tās starpība ir vienāda ar 1. Izmantojot formulas summai, mēs iegūstam: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Interesanti, ka šo problēmu sauc par Gausu, jo 18. gadsimta sākumā slavenais vācietis, vēl tikai 10 gadus vecs, spēja to savā galvā atrisināt dažu sekunžu laikā. Zēns nezināja algebriskās progresijas summas formulu, taču viņš pamanīja, ka, saskaitot skaitļus secības galos pa pāriem, jūs vienmēr iegūstat vienu un to pašu rezultātu, tas ir, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., un tā kā šīs summas būs tieši 50 (100 / 2), tad, lai iegūtu pareizo atbildi, pietiek ar 50 reizināt ar 101.

Piemērs Nr. 6: terminu summa no n līdz m

Vēl vienu tipisks piemērs aritmētiskās progresijas summa ir šāda: ja dota skaitļu virkne: 3, 7, 11, 15, ..., jums jāatrod, ar ko būs vienāda tās vārdu summa no 8 līdz 14.

Problēma tiek atrisināta divos veidos. Pirmais no tiem ietver nezināmu terminu atrašanu no 8 līdz 14 un pēc tam to secīgu summēšanu. Tā kā terminu ir maz, šī metode nav diezgan darbietilpīga. Tomēr ir ierosināts šo problēmu atrisināt, izmantojot otru metodi, kas ir universālāka.

Ideja ir iegūt formulu algebriskās progresijas summai starp terminiem m un n, kur n > m ir veseli skaitļi. Abos gadījumos mēs rakstām divas summas izteiksmes:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Tā kā n > m, ir acīmredzams, ka 2. summa ietver pirmo. Pēdējais secinājums nozīmē, ka, ja mēs ņemam starpību starp šīm summām un pievienosim tai terminu a m (starpības ņemšanas gadījumā to atņem no summas S n), mēs iegūsim nepieciešamo problēmas atbildi. Mums ir: S mn = S n - S m + a m = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Šajā izteiksmē ir jāaizstāj formulas n un m. Tad mēs iegūstam: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Rezultātā iegūtā formula ir nedaudz apgrūtinoša, tomēr summa S mn ir atkarīga tikai no n, m, a 1 un d. Mūsu gadījumā a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Aizstājot šos skaitļus, mēs iegūstam: S mn = 301.

Kā redzams no iepriekš minētajiem risinājumiem, visas problēmas ir balstītas uz n-tā termina izteiksmes un pirmo terminu kopas summas formulas zināšanām. Pirms sākat risināt kādu no šīm problēmām, ieteicams rūpīgi izlasīt nosacījumu, skaidri saprast, kas jums jāatrod, un tikai tad turpināt risinājumu.

Vēl viens padoms ir tiekties pēc vienkāršības, tas ir, ja varat atbildēt uz jautājumu, neizmantojot sarežģītus matemātiskos aprēķinus, tad jums tas ir jādara, jo šajā gadījumā kļūdas iespējamība ir mazāka. Piemēram, aritmētiskās progresijas piemērā ar risinājumu Nr. 6 varētu apstāties pie formulas S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, un pārtraukums kopīgs uzdevums atsevišķos apakšuzdevumos (šajā gadījumā vispirms atrodiet terminus a n un a m).

Ja jums ir šaubas par iegūto rezultātu, ieteicams to pārbaudīt, kā tas tika darīts dažos sniegtajos piemēros. Mēs uzzinājām, kā atrast aritmētisko progresiju. Ja jūs to izdomājat, tas nav tik grūti.