Kvadrātsakņu atšķirības piemēri. Kvadrātsakņu pievienošanas noteikums

Tēma par kvadrātsaknes ir obligāta skolas mācību programma matemātikas kurss. Atrisinot kvadrātvienādojumus, bez tiem neiztikt. Un vēlāk kļūst nepieciešams ne tikai iegūt saknes, bet arī veikt ar tām citas darbības. Starp tiem ir diezgan sarežģīti: kāpināšana, reizināšana un dalīšana. Bet ir arī pavisam vienkārši: sakņu atņemšana un pievienošana. Starp citu, tie tādi šķiet tikai no pirmā acu uzmetiena. Tos izpildīt bez kļūdām ne vienmēr ir viegli kādam, kurš tikai sāk ar tiem iepazīties.

Kas ir matemātiskā sakne?

Šī darbība radās pretstatā paaugstināšanai. Matemātika ierosina divas pretējas darbības. Saskaitīšanai ir atņemšana. Reizināšana ir pretrunā ar dalīšanu. Pakāpes apgrieztā darbība ir atbilstošās saknes iegūšana.

Ja pakāpe ir divi, tad sakne būs kvadrātveida. Tas ir visizplatītākais skolas matemātika. Tam pat nav norādes, ka tas ir kvadrāts, tas ir, blakus nav piešķirts skaitlis 2. Šī operatora (radikāļa) matemātiskais apzīmējums ir parādīts attēlā.

Tās definīcija vienmērīgi izriet no aprakstītās darbības. Lai iegūtu skaitļa kvadrātsakni, jums ir jānoskaidro, ko radikālā izteiksme dos, reizinot ar sevi. Šis skaitlis būs kvadrātsakne. Ja mēs to pierakstām matemātiski, mēs iegūstam sekojošo: x*x=x 2 =y, kas nozīmē √y=x.

Kādas darbības jūs varat veikt ar viņiem?

Sakne būtībā ir daļskaitlis ar vienu skaitītājā. Un saucējs var būt jebkas. Piemēram, kvadrātsaknei ir divi. Tāpēc visas darbības, kuras var veikt ar pilnvarām, būs derīgas arī saknēm.

Un prasības šīm darbībām ir vienādas. Ja reizināšana, dalīšana un kāpināšana skolēniem nesagādā grūtības, tad sakņu pievienošana, tāpat kā atņemšana, dažkārt rada neskaidrības. Un viss tāpēc, ka es vēlos veikt šīs darbības, neņemot vērā saknes zīmi. Un šeit sākas kļūdas.

Kādi ir saskaitīšanas un atņemšanas noteikumi?

Vispirms jums jāatceras divi kategoriski “nedrīkst”:

nav iespējams veikt sakņu saskaitīšanu un atņemšanu, kā ar pirmskaitļiem, tas ir, nav iespējams zem vienas zīmes uzrakstīt summas radikālas izteiksmes un veikt ar tām matemātiskas darbības;
Jūs nevarat pievienot un atņemt saknes ar dažādiem eksponentiem, piemēram, kvadrātu un kubikmetru.

Spilgts pirmā aizlieguma piemērs: √6 + √10 ≠ √16, bet √(6 + 10) = √16.

Otrajā gadījumā labāk ir aprobežoties ar pašu sakņu vienkāršošanu. Un atstājiet to summu atbildē.

Tagad pie noteikumiem

Atrodiet un grupējiet līdzīgas saknes. Tas ir, tiem, kuriem zem radikāļa ir ne tikai vienādi skaitļi, bet arī viņiem pašiem ir tāds pats rādītājs.
Pirmajā darbībā veiciet vienā grupā apvienoto sakņu pievienošanu. To ir viegli ieviest, jo jums ir jāpievieno tikai vērtības, kas parādās radikāļu priekšā.
Izvelciet to terminu saknes, kuros radikālā izteiksme veido veselu kvadrātu. Citiem vārdiem sakot, neatstājiet neko zem radikāļa zīmes.
Vienkāršojiet radikālas izteiksmes. Lai to izdarītu, tie jāieskaita primārajos faktoros un jānoskaidro, vai tie dod kāda skaitļa kvadrātu. Ir skaidrs, ka tā ir taisnība, ja mēs runājam par kvadrātsakni. Ja eksponents ir trīs vai četri, tad pirmfaktoriem ir jādod kubs vai skaitļa ceturtā pakāpe.
Izņemiet no zem radikāļa zīmes faktoru, kas dod visu spēku.
Skatiet, vai līdzīgi vienumi atkal parādās. Ja jā, tad vēlreiz veiciet otro darbību.

Situācijā, kad uzdevums neprasa precīza vērtība sakne, to var aprēķināt uz kalkulatora. Bezgalīgs decimālzīme, kas tiks parādīts tā logā, noapaļo uz augšu. Visbiežāk tas tiek darīts līdz simtdaļām. Un pēc tam veiciet visas darbības ar decimāldaļskaitļiem.

Šī ir visa informācija par to, kā pievienot saknes. Tālāk sniegtie piemēri ilustrēs iepriekš minēto.

Pirmais uzdevums

Aprēķiniet izteiksmju vērtību:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) 275 √ √11 + 2√99 + 396.

a) Ja sekojat iepriekš minētajam algoritmam, jūs varat redzēt, ka šajā piemērā pirmajām divām darbībām nav nekā. Bet jūs varat vienkāršot dažus radikālus izteicienus.

Piemēram, sadaliet 32 divos faktoros 2 un 16; 18 būs vienāds ar 9 un 2 reizinājumu; 128 ir 2 pret 64. Ņemot to vērā, izteiksme tiks rakstīta šādi:

√2 + 3√ (2 * 16) + ½ √ (2 * 64) - 6 √ (2 * 9).

Tagad jums ir jānoņem no zem radikālas zīmes tie faktori, kas dod skaitļa kvadrātu. Tas ir 16 = 4 2, 9 = 3 2, 64 = 8 2. Izteiksmei būs šāda forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Mums ir nedaudz jāvienkāršo ierakstīšana. Lai to izdarītu, reiziniet koeficientus pirms saknes zīmēm:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Šajā izteiksmē visi termini izrādījās līdzīgi. Tāpēc jums tie vienkārši jāsaloka. Atbilde būs: 5√2.

b) Līdzīgi kā iepriekšējā piemērā, sakņu pievienošana sākas ar to vienkāršošanu. Radikālās izteiksmes 75, 147, 48 un 300 tiks attēlotas šādos pāros: 5 un 25, 3 un 49, 3 un 16, 3 un 100. Katrā no tiem ir skaitlis, ko var izņemt no saknes zīmes. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Pēc vienkāršošanas atbilde ir: 5√5 - 5√3. To var atstāt šādā formā, bet labāk ir izņemt kopējo koeficientu 5 no iekavām: 5 (√5 - √3).

c) Un atkal faktorizācija: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Pēc faktoru noņemšanas zem saknes zīmes mēs iegūstam:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Pēc līdzīgu nosacījumu ienesšanas iegūstam rezultātu: 7√11.

Piemērs ar daļskaitļu izteiksmēm

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Jums būs jāaprēķina šādi skaitļi: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Līdzīgi tiem, kas jau tika apspriesti, jums ir jānoņem faktori no saknes zīmes. un vienkāršojiet izteicienu:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Šis izteiciens prasa atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Lai to izdarītu, jums ir jāreizina otrais termins ar √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Lai pabeigtu darbības, jums ir jāatlasa visa faktoru daļa sakņu priekšā. Pirmajam tas ir 1, otrajam tas ir 2.

Sakņu formulas. Kvadrātsakņu īpašības.

Uzmanību!
Ir papildu
materiāli speciālajā 555. sadaļā.
Tiem, kas ir ļoti "ne ļoti..."
Un tiem, kas “ļoti…”)

Iepriekšējā nodarbībā mēs sapratām, kas ir kvadrātsakne. Ir pienācis laiks noskaidrot, kuri no tiem pastāv formulas saknēm kas ir sakņu īpašības, un ko ar to visu var darīt.

Sakņu formulas, sakņu īpašības un noteikumi darbam ar saknēm- būtībā tas ir viens un tas pats. Kvadrātsakņu formulu ir pārsteidzoši maz. Kas mani noteikti iepriecina! Pareizāk sakot, jūs varat rakstīt daudz dažādu formulu, bet praktiskam un pārliecinātam darbam ar saknēm pietiek tikai ar trim. Viss pārējais izriet no šiem trim. Lai gan daudzi cilvēki apjūk trīs sakņu formulās, jā...

Sāksim ar vienkāršāko. Šeit viņa ir:

Ja jums patīk šī vietne...

Starp citu, man jums ir vēl dažas interesantas vietnes.)

Jūs varat praktizēt piemēru risināšanu un uzzināt savu līmeni. Testēšana ar tūlītēju verifikāciju. Mācīsimies - ar interesi!)

Var iepazīties ar funkcijām un atvasinājumiem.

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Tāpat kā ar jebkuru skaitļu, jūs varat veikt aritmētiskās saskaitīšanas un atņemšanas darbības ar kvadrātsaknēm.

Instrukcijas

1. Pirmkārt, pievienojot kvadrātsaknes, mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs pieņemami, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Pieņemsim, ka dotā izteiksme ir ?4 + ?9. Pirmais skaitlis 4 ir skaitļa 2 kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3 kvadrāts. Tādējādi iznāk, ka: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, mēģiniet pārvietot skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Teiksim, teiksim, ka izteiksme ir dota?24 +?54. Salīdziniet skaitļus: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var pārnest no kvadrātsaknes zīmes. Skaitļa 54 koeficients ir 9. Tādējādi izrādās, ka: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Šajā piemērā reizinātāja noņemšanas rezultātā zem saknes zīmes bija iespējams vienkāršot doto izteiksmi.

3. Lai daļskaitļa saucējs ir 2 kvadrātsakņu summa, teiksim A / (?a + ?b). Un lai jūsu uzdevums būtu "atbrīvoties no iracionalitātes saucējā". Pēc tam varat izmantot nākamo metodi. Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar izteiksmi ?a - ?b. Tādējādi saucējs saturēs saīsinātu reizināšanas formulu: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Pēc analoģijas, ja saucējs satur starpību starp saknēm: ?a - ?b, tad daļskaitļa skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi ?a + ?b. Piemēram, pieņemsim, ka daļa 4 / (?3 +?5) = 4 * (?3 -?5) / ((?3 +?5) * (?3 -?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 -?3).

4. Apsveriet sarežģītāku piemēru, kā atbrīvoties no iracionalitātes saucējā. Dota daļa 12 / (?2 + ?3 +?5). Daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 +?3 +?5) * (?2 +?3 -?5)) = 12 * (?2 +?3 -?5) / (2 *?6) =?6 * (?2 + ?3 -?5) = 2 * ?3 + 3 *? 2 -?30.

5. Un visbeidzot, ja jums ir nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, varat aprēķināt kvadrātsaknes, izmantojot kalkulatoru. Aprēķiniet vērtības atsevišķi visam skaitlim un pierakstiet to līdz vajadzīgajai precizitātei (piemēram, divām zīmēm aiz komata). Un pēc tam veiciet vajadzīgās aritmētiskās darbības, tāpat kā ar parastajiem skaitļiem. Pieņemsim, ka jums ir jānoskaidro aptuvenā izteiksmes vērtība ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video par tēmu

Piezīme!
Nekādā gadījumā nevar pievienot kvadrātsaknes kā primitīvus skaitļus, t.i. ?3 +?2? ?5!!!

Noderīgs padoms
Ja jūs ieskaitāt skaitli, lai pārvietotu kvadrātu no saknes zīmes, tad veiciet apgriezto pārbaudi - reiziniet visus iegūtos faktorus un iegūstiet sākotnējo skaitli.

Saturs:

Matemātikā saknes var būt kvadrātveida, kubiskas vai ar jebkuru citu eksponentu (pakāpju), ko raksta pa kreisi virs saknes zīmes. Izteicienu zem saknes zīmes sauc par radikālu izteiksmi. Sakņu pievienošana ir līdzīga algebriskās izteiksmes terminu pievienošanai, tas ir, ir jānosaka līdzīgas saknes.

Soļi

1. daļa Sakņu noteikšana

1 Sakņu apzīmējums. Izteiksme zem saknes zīmes (√) nozīmē, ka no šīs izteiksmes ir jāizņem noteiktas pakāpes sakne.
- Sakni apzīmē ar zīmi √.
- Saknes eksponents (grāds) ir rakstīts pa kreisi virs saknes zīmes. Piemēram, skaitļa 27 kuba sakne ir rakstīta šādi: 3 √(27)
- Ja saknes indeksa (pakāpes) trūkst, tad eksponents tiek uzskatīts par vienādu ar 2, tas ir, tā ir kvadrātsakne (vai otrās pakāpes sakne).
- Skaitli, kas rakstīts pirms saknes zīmes, sauc par reizinātāju (tas ir, šis skaitlis tiek reizināts ar sakni), piemēram, 5√(2)
- Ja saknes priekšā nav faktora, tad tas ir vienāds ar 1 (atcerieties, ka jebkurš skaitlis, kas reizināts ar 1, ir vienāds ar sevi).
- Ja pirmo reizi strādājat ar saknēm, veiciet atbilstošas piezīmes par reizinātāju un saknes eksponentu, lai izvairītos no neskaidrībām un labāk izprastu to mērķi.
2 Atcerieties, kuras saknes var salocīt un kuras nevar. Tāpat kā jūs nevarat pievienot dažādus izteiksmes terminus, piemēram, 2a + 2b ≠ 4ab, jūs nevarat pievienot dažādas saknes.
- Jūs nevarat pievienot saknes ar dažādām radikāļu izteiksmēm, piemēram, √(2) + √(3) ≠ √(5). Bet jūs varat pievienot skaitļus zem vienas saknes, piemēram, √(2 + 3) = √(5) (kvadrātsakne no 2 ir aptuveni 1,414, kvadrātsakne no 3 ir aptuveni 1,732 un kvadrātsakne no 5 ir aptuveni 2,236) .
- Jūs nevarat pievienot saknes ar vienādām radikāļu izteiksmēm, bet dažādiem eksponentiem, piemēram, √(64) + 3 √(64) (šī summa nav vienāda ar 5 √(64), jo 64 kvadrātsakne ir 8, 64 kuba sakne ir 4, 8 + 4 = 12, kas ir daudz lielāka nekā 64 piektā sakne, kas ir aptuveni 2,297).

2. daļa Sakņu vienkāršošana un pievienošana

1 Nosakiet un grupējiet līdzīgas saknes. Līdzīgas saknes ir saknes, kurām ir vienādi rādītāji un tādas pašas radikālas izteiksmes. Piemēram, apsveriet izteicienu:
2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
- Vispirms pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar tādu pašu indeksu atrastos secīgi.
  2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
- Pēc tam pārrakstiet izteiksmi tā, lai saknes ar vienādu eksponentu un ar to pašu radikālo izteiksmi atrastos secīgi.
  2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2 Vienkāršojiet saknes. Lai to izdarītu, sadaliet (ja iespējams) radikālas izteiksmes divos faktoros, no kuriem viens tiek izņemts no saknes. Šajā gadījumā tiek reizināts noņemtais skaitlis un saknes koeficients.
- Iepriekš minētajā piemērā aprēķina skaitli 50 ar 2*25 un skaitli 32 ar 2*16. No 25 un 16 var ņemt kvadrātsaknes (attiecīgi 5 un 4) un izņemt zem saknes 5 un 4, reizinot tos attiecīgi ar koeficientiem 2 un 1. Tādējādi tiek iegūta vienkāršota izteiksme: 10√(2 ) + 4√(2) + 2√(3) + 6√(3) + 3√(81)
- Skaitli 81 var skaitīt 3*27, un no skaitļa 27 var ņemt kuba sakni no 3. Šo skaitli 3 var izņemt no apakšas saknes. Tādējādi jūs iegūstat vēl vienkāršāku izteiksmi: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3 Pievienojiet līdzīgu sakņu faktorus. Mūsu piemērā ir līdzīgas kvadrātsaknes no 2 (tās var pievienot) un līdzīgas kvadrātsaknes no 3 (tās var arī pievienot). 3 kuba saknei šādu sakņu nav.
- 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
- 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
- Galīgā vienkāršotā izteiksme: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

Nav vispārpieņemtu noteikumu par sakņu rakstīšanas secību izteiksmē. Tāpēc jūs varat rakstīt saknes to rādītāju augošā secībā un radikālo izteiksmju augošā secībā.

Skaitļa x kvadrātsakne ir skaitlis a, kuru reizinot ar sevi, iegūst skaitli x: a * a = a^2 = x, √x = a. Tāpat kā ar jebkuriem skaitļiem, jūs varat veikt saskaitīšanas un atņemšanas aritmētiskās darbības ar kvadrātsaknēm.

Instrukcijas

Pirmkārt, pievienojot kvadrātsaknes, mēģiniet iegūt šīs saknes. Tas būs iespējams, ja skaitļi zem saknes zīmes ir ideāli kvadrāti. Piemēram, dota izteiksme √4 + √9. Pirmais skaitlis 4 ir skaitļa 2 kvadrāts. Otrais skaitlis 9 ir skaitļa 3 kvadrāts. Tādējādi iznāk, ka: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
Ja zem saknes zīmes nav pilnu kvadrātu, mēģiniet noņemt skaitļa reizinātāju no zem saknes zīmes. Piemēram, dota izteiksme √24 + √54. Sakārtojiet skaitļus: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Skaitlim 24 ir koeficients 4, ko var izņemt zem kvadrātsaknes zīmes. Skaitlim 54 ir koeficients 9. Tādējādi izrādās, ka: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Šajā piemērā reizinātāja noņemšanas rezultātā zem saknes zīmes bija iespējams vienkāršot doto izteiksmi.
Lai divu kvadrātsakņu summa ir daļdaļas saucējs, piemēram, A / (√a + √b). Un lai jūsu uzdevums būtu "atbrīvoties no iracionalitātes saucējā". Pēc tam varat izmantot šādu metodi. Daļas skaitītāju un saucēju reiziniet ar izteiksmi √a - √b. Tādējādi saucējā iegūstam saīsināto reizināšanas formulu: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Pēc analoģijas, ja saucējs satur starpību starp saknēm: √a - √b, tad daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √a + √b. Piemēram, pieņemsim, ka daļa 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2* (√5 - √3).
Apsveriet vairāk sarežģīts piemērs atbrīvojoties no iracionalitātes saucējā. Daļa 12 / (√2 + √3 + √5) ir dota. Daļas skaitītājs un saucējs jāreizina ar izteiksmi √2 + √3 - √5:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
Visbeidzot, ja jums ir nepieciešama tikai aptuvenā vērtība, varat izmantot kalkulatoru, lai aprēķinātu kvadrātsaknes. Aprēķiniet vērtības katram skaitlim atsevišķi un pierakstiet tās ar nepieciešamo precizitāti (piemēram, ar divām zīmēm aiz komata). Un pēc tam veiciet vajadzīgās aritmētiskās darbības, tāpat kā ar parastajiem skaitļiem. Piemēram, pieņemsim, ka jums jāzina izteiksmes aptuvenā vērtība √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.