Понекогаш во животот има ситуации кога треба да навлезете во вашата меморија во потрага по одамна заборавено училишно знаење. На пример, треба да ја одредите површината на парцела во форма на триаголник или дојде време за ново реновирање во стан или приватна куќа и треба да пресметате колку материјал ќе биде потребен за површина со триаголен облик. Имаше време кога можевте да решите таков проблем за неколку минути, но сега очајно се обидувате да се сетите како да ја одредите плоштината на триаголникот?
Не грижете се за тоа! На крајот на краиштата, сосема е нормално кога мозокот на една личност одлучи да пренесе долго неискористено знаење некаде во далечен агол, од кој понекогаш не е толку лесно да се извлече. За да не морате да се борите со барање заборавено училишно знаење за да решите таков проблем, овој напис содржи различни методи кои го олеснуваат наоѓањето на потребната површина на триаголникот.
Добро е познато дека триаголникот е тип на многуаголник кој е ограничен на минималниот можен број на страни. Во принцип, секој многуаголник може да се подели на неколку триаголници со поврзување на неговите темиња со отсечки кои не ги сечат неговите страни. Затоа, знаејќи го триаголникот, можете да ја пресметате областа на речиси секоја фигура.
Помеѓу сите можни триаголници што се појавуваат во животот, може да се разликуваат следните посебни типови: и правоаголни.
Најлесен начин да се пресмета плоштината на триаголник е кога еден од неговите агли е прав, односно во случај на правоаголен триаголник. Лесно е да се види дека е половина правоаголник. Затоа, неговата површина е еднаква на половина од производот на страните што формираат прав агол една со друга.
Ако ја знаеме висината на триаголникот, спуштен од едно од неговите темиња на спротивната страна, и должината на оваа страна, која се нарекува основа, тогаш плоштината се пресметува како половина од производот на висината и основата. Ова е напишано со следнава формула:
S = 1/2*b*h, во која
S е потребната површина на триаголникот;
b, h - соодветно, висината и основата на триаголникот.
Толку е лесно да се пресмета плоштината на рамнокрак триаголник бидејќи висината ќе ја преполови спротивната страна и лесно може да се измери. Ако површината е одредена, тогаш е погодно да се земе должината на една од страните што формираат прав агол како висина.
Сето ова е секако добро, но како да се утврди дали еден од аглите на триаголникот е правилен или не? Ако големината на нашата фигура е мала, тогаш можеме да користиме конструктивен агол, триаголник за цртање, разгледница или друг предмет со правоаголна форма.
Но, што ако имаме триаголна парцела? Во овој случај, постапете на следниов начин: броете од врвот на претпоставениот прав агол на едната страна растојание повеќекратно од 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), а од другата страна измерете растојание повеќекратно од 4 во истата пропорција (40 см, 160 см, 4 м). Сега треба да го измерите растојанието помеѓу крајните точки на овие два сегменти. Ако резултатот е множител од 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), тогаш можеме да кажеме дека аголот е прав.
Ако должината на секоја од трите страни на нашата фигура е позната, тогаш плоштината на триаголникот може да се одреди со помош на формулата на Херон. За да има поедноставна форма се користи нова вредност која се нарекува полупериметар. Ова е збир на сите страни на нашиот триаголник, поделени на половина. Откако ќе се пресмета полупериметарот, можете да започнете да ја одредувате областа користејќи ја формулата:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), каде
sqrt - квадратен корен;
p - полупериметарска вредност (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - рабовите (страните) на триаголникот.
Но, што ако триаголникот има неправилна форма? Тука има два можни начини. Првиот од нив е да се обидеме да ја поделиме таквата фигура на два правоаголни триаголници, чиј збир на области се пресметува одделно, а потоа се додава. Или, ако аголот помеѓу двете страни и големината на овие страни се познати, тогаш примени ја формулата:
S = 0,5 * ab * sinC, каде
a,b - страни на триаголникот;
c е големината на аголот помеѓу овие страни.
Вториот случај е редок во пракса, но сепак, сè е можно во животот, така што горенаведената формула нема да биде излишна. Среќно со вашите пресметки!
Триаголникот е фигура позната на сите. И ова и покрај богатата разновидност на нејзините форми. Правоаголна, рамностран, остра, рамнокрак, тап. Секој од нив е различен на некој начин. Но, за секој треба да ја дознаете плоштината на триаголникот.
Формули заеднички за сите триаголници кои користат должина на страни или висини
Ознаките усвоени во нив: страни - а, б, в; висини на соодветните страни на a, n во, n со.
1. Плоштината на триаголникот се пресметува како производ од ½, страна и висината одземена од него. S = ½ * a * n a. Формулите за другите две страни треба да бидат напишани слично.
2. Херонова формула, во која се појавува полупериметарот (обично се означува со малата буква p, за разлика од целосниот периметар). Полупериметарот мора да се пресмета на следниов начин: соберете ги сите страни и поделете ги со 2. Формулата за полупериметарот е: p = (a+b+c) / 2. Тогаш еднаквоста за плоштината на фигурата изгледа вака: S = √ (p * (p - a) * (р - в) * (р - с)).
3. Ако не сакате да користите полупериметар, тогаш ќе ви биде корисна формула која ги содржи само должините на страните: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (а + в - в) * (а + б - в)). Тој е малку подолг од претходниот, но ќе ви помогне ако сте заборавиле како да го најдете полупериметарот.
Општи формули кои ги вклучуваат аглите на триаголникот
Ознаки потребни за читање на формулите: α, β, γ - агли. Тие лежат спротивните страни a, b, c, соодветно.
1. Според него, половина од производот на двете страни и синусот на аголот меѓу нив е еднаков на плоштината на триаголникот. Тоа е: S = ½ a * b * sin γ. Формулите за другите два случаи треба да бидат напишани на сличен начин.
2. Плоштината на триаголникот може да се пресмета од една страна и од три познати агли. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).
3. Постои и формула со една позната страна и два соседни агли. Изгледа вака: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Последните две формули не се наједноставни. Прилично е тешко да ги запомните.
Општи формули за ситуацијата кога се познати радиусите на впишани или ограничени кругови
Дополнителни ознаки: r, R - радиуси. Првиот се користи за радиусот на впишаниот круг. Вториот е за опишаниот.
1. Првата формула со која се пресметува плоштината на триаголникот е поврзана со полупериметарот. S = r * r. Друг начин да се напише е: S = ½ r * (a + b + c).
2. Во вториот случај, ќе треба да ги помножите сите страни на триаголникот и да ги поделите со четирикратно радиусот на ограничениот круг. Во буквален израз изгледа вака: S = (a * b * c) / (4R).
3. Третата ситуација ви овозможува да направите без да ги знаете страните, но ќе ви требаат вредностите на сите три агли. S = 2 R 2 * sin α * грев β * грев γ.
Посебен случај: правоаголен триаголник
Ова е наједноставната ситуација, бидејќи е потребна само должината на двете нозе. Тие се означени со латинските букви a и b. Плоштината на правоаголен триаголник е еднаква на половина од областа на правоаголникот додаден на него.
Математички изгледа вака: S = ½ a * b. Најлесно е да се запамети. Бидејќи изгледа како формулата за плоштина на правоаголник, се појавува само дропка, што означува половина.
Посебен случај: рамнокрак триаголник
Бидејќи има две еднакви страни, некои формули за неговата површина изгледаат малку поедноставени. На пример, формулата на Херон, која ја пресметува плоштината на рамнокрак триаголник, ја има следната форма:
S = ½ во √((a + ½ инчи)*(a - ½ инчи)).
Ако го трансформирате, ќе стане пократок. Во овој случај, формулата на Херон за рамнокрак триаголник е напишана на следниов начин:
S = ¼ во √(4 * a 2 - b 2).
Формулата за плоштина изгледа нешто поедноставна отколку за произволен триаголник ако се познати страните и аголот меѓу нив. S = ½ a 2 * sin β.
Посебен случај: рамностран триаголник
Обично во проблемите се знае страната за тоа или на некој начин може да се дознае. Тогаш формулата за наоѓање на плоштината на таков триаголник е како што следува:
S = (a 2 √3) / 4.
Проблеми да се најде областа ако триаголникот е прикажан на карирана хартија
Наједноставната ситуација е кога ќе се нацрта правоаголен триаголник така што неговите краци се совпаѓаат со линиите на хартијата. Тогаш само треба да го броите бројот на клетки што се вклопуваат во нозете. Потоа помножете ги и поделете со два.
Кога триаголникот е остар или тап, треба да се нацрта до правоаголник. Тогаш добиената фигура ќе има 3 триаголници. Еден е оној што е даден во проблемот. А другите две се помошни и правоаголни. Областите на последните две треба да се одредат со користење на методот опишан погоре. Потоа пресметајте ја плоштината на правоаголникот и од него одземете ги пресметаните за помошните. Се одредува плоштината на триаголникот.
Ситуацијата во која ниту една од страните на триаголникот не се совпаѓа со линиите на хартијата се покажува како многу посложена. Потоа треба да се впише во правоаголник, така што темињата на оригиналната фигура лежат на нејзините страни. Во овој случај, ќе има три помошни правоаголни триаголници.
Пример за проблем со хероновата формула
Состојба. Некој триаголник има познати страни. Тие се еднакви на 3, 5 и 6 см Треба да ја дознаете неговата површина.
Сега можете да ја пресметате површината на триаголникот користејќи ја горната формула. Под квадратниот корен е производ на четири броја: 7, 4, 2 и 1. Односно, плоштината е √(4 * 14) = 2 √(14).
Ако не е потребна поголема точност, тогаш можете да го земете квадратниот корен од 14. Тоа е еднакво на 3,74. Тогаш површината ќе биде 7,48.
Одговори. S = 2 √14 cm 2 или 7,48 cm 2.
Пример проблем со правоаголен триаголник
Состојба. Едниот крак на правоаголен триаголник е 31 cm поголем од вториот, треба да ги дознаете нивните должини ако плоштината на триаголникот е 180 cm 2.
Решение. Ќе треба да решиме систем од две равенки. Првиот е поврзан со областа. Вториот е со односот на нозете, кој е даден во проблемот.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Прво, вредноста на „а“ мора да се замени во првата равенка. Излегува: 180 = ½ (во + 31) * во. Има само една непозната количина, па затоа е лесно да се реши. По отворањето на заградите, се добива квадратната равенка: 2 + 31 360 = 0. Ова дава две вредности за „во“: 9 и - 40. Вториот број не е погоден како одговор, бидејќи должината на страната на триаголник не може да биде негативна вредност.
Останува да се пресмета вториот крак: додадете 31 на добиениот број Излегува 40. Ова се количините што се бараат во проблемот.
Одговори. Кратките на триаголникот се 9 и 40 см.
Задача на наоѓање страна низ плоштината, страната и аголот на триаголникот
Состојба. Плоштината на одреден триаголник е 60 cm 2. Неопходно е да се пресмета една од неговите страни ако втората страна е 15 cm, а аголот меѓу нив е 30º.
Решение. Врз основа на прифатената нотација, саканата страна е „a“, познатата страна е „b“, дадениот агол е „γ“. Потоа формулата за областа може да се препише на следниов начин:
60 = ½ a * 15 * грев 30º. Овде синусот од 30 степени е 0,5.
По трансформациите, „а“ излегува дека е еднакво на 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Тоа е 16.
Одговори. Потребната страна е 16 см.
Задача за квадрат впишан во правоаголен триаголник
Состојба. Темето на квадрат со страна од 24 cm се совпаѓа со правиот агол на триаголникот. Останатите две лежат на страните. Третиот припаѓа на хипотенузата. Должината на едната нога е 42 см. Колкава е плоштината на правоаголен триаголник?
Решение. Размислете за два правоаголни триаголници. Првиот е оној наведен во задачата. Вториот се заснова на познатата катета на оригиналниот триаголник. Тие се слични бидејќи имаат заеднички агол и се формирани од паралелни прави.
Тогаш соодносите на нивните нозе се еднакви. Катетите на помалиот триаголник се еднакви на 24 cm (страната на квадратот) и 18 cm (дадената кратечка 42 cm се одзема од страната на квадратот 24 cm). Соодветните краци на голем триаголник се 42 cm и x cm што е потребно за да се пресмета површината на триаголникот.
18/42 = 24 / x, односно x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).
Тогаш површината е еднаква на производот од 56 и 42 поделен со два, односно 1176 cm 2.
Одговори. Потребната површина е 1176 cm 2.
Концепт на област
Концептот на областа на која било геометриска фигура, особено триаголник, ќе биде поврзан со фигура како што е квадрат. За единица површина на која било геометриска фигура ќе ја земеме плоштината на квадрат чија страна е еднаква на една. За комплетност, да се потсетиме на две основни својства за концептот на области на геометриски фигури.
Сопственост 1:Ако геометриските фигури се еднакви, тогаш и нивните плоштини се еднакви.
Сопственост 2:Секоја фигура може да се подели на неколку фигури. Покрај тоа, плоштината на оригиналната фигура е еднаква на збирот на површините на сите нејзини составни фигури.
Ајде да погледнеме на пример.
Пример 1
Очигледно, една од страните на триаголникот е дијагонала на правоаголник, чија една страна има должина од $5$ (бидејќи има ќелии $5$), а другата е $6$ (бидејќи има $6$ ќелии). Затоа, површината на овој триаголник ќе биде еднаква на половина од таков правоаголник. Површината на правоаголникот е
Тогаш површината на триаголникот е еднаква на
Одговор: 15 долари.
Следно, ќе разгледаме неколку методи за пронаоѓање на плоштините на триаголниците, имено користење на висината и основата, користејќи ја формулата на Херон и плоштината на рамностран триаголник.
Како да ја пронајдете плоштината на триаголникот користејќи ја неговата висина и основа
Теорема 1
Плоштината на триаголникот може да се најде како половина од производот од должината на страната и висината на таа страна.
Математички изгледа вака
$S=\frac(1)(2)αh$
каде што $a$ е должината на страната, $h$ е висината навлечена кон неа.
Доказ.
Размислете за триаголник $ABC$ во кој $AC=α$. На оваа страна е нацртана висината $BH$, што е еднакво на $h$. Ајде да го изградиме до квадратот $AXYC$ како на слика 2.
Областа на правоаголникот $AXBH$ е $h\cdot AH$, а областа на правоаголникот $HBYC$ е $h\cdot HC$. Потоа
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Затоа, потребната површина на триаголникот, според својството 2, е еднаква на
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac (1) (2) αh$
Теоремата е докажана.
Пример 2
Најдете ја областа на триаголникот на сликата подолу ако ќелијата има површина еднаква на една
Основата на овој триаголник е еднаква на 9$ (бидејќи 9$ е квадрати од 9$). Висината е исто така 9$. Потоа, според теорема 1, добиваме
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Одговор: 40,5 долари.
Формулата на Херон
Теорема 2
Ако ни се дадени три страни на триаголник $α$, $β$ и $γ$, тогаш неговата плоштина може да се најде на следниов начин
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
овде $ρ$ значи полупериметар на овој триаголник.
Доказ.
Размислете за следнава слика:
Според Питагоровата теорема, од триаголникот $ABH$ добиваме
Од триаголникот $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Од овие две односи ја добиваме еднаквоста
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((a^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-a^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-a)(γ+β+a))(4β^2)$
Бидејќи $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогаш $α+β+γ=2ρ$, што значи
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Со теорема 1, добиваме
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Концепт на област
Концептот на областа на која било геометриска фигура, особено триаголник, ќе биде поврзан со фигура како што е квадрат. За единица површина на која било геометриска фигура ќе ја земеме плоштината на квадрат чија страна е еднаква на една. За комплетност, да се потсетиме на две основни својства за концептот на области на геометриски фигури.
Сопственост 1:Ако геометриските фигури се еднакви, тогаш и нивните плоштини се еднакви.
Сопственост 2:Секоја фигура може да се подели на неколку фигури. Покрај тоа, плоштината на оригиналната фигура е еднаква на збирот на површините на сите нејзини составни фигури.
Ајде да погледнеме на пример.
Пример 1
Очигледно, една од страните на триаголникот е дијагонала на правоаголник, чија една страна има должина од $5$ (бидејќи има ќелии $5$), а другата е $6$ (бидејќи има $6$ ќелии). Затоа, површината на овој триаголник ќе биде еднаква на половина од таков правоаголник. Површината на правоаголникот е
Тогаш површината на триаголникот е еднаква на
Одговор: 15 долари.
Следно, ќе разгледаме неколку методи за пронаоѓање на плоштините на триаголниците, имено користење на висината и основата, користејќи ја формулата на Херон и плоштината на рамностран триаголник.
Како да ја пронајдете плоштината на триаголникот користејќи ја неговата висина и основа
Теорема 1
Плоштината на триаголникот може да се најде како половина од производот од должината на страната и висината на таа страна.
Математички изгледа вака
$S=\frac(1)(2)αh$
каде што $a$ е должината на страната, $h$ е висината навлечена кон неа.
Доказ.
Размислете за триаголник $ABC$ во кој $AC=α$. На оваа страна е нацртана висината $BH$, што е еднакво на $h$. Ајде да го изградиме до квадратот $AXYC$ како на слика 2.
Областа на правоаголникот $AXBH$ е $h\cdot AH$, а областа на правоаголникот $HBYC$ е $h\cdot HC$. Потоа
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Затоа, потребната површина на триаголникот, според својството 2, е еднаква на
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac (1) (2) αh$
Теоремата е докажана.
Пример 2
Најдете ја областа на триаголникот на сликата подолу ако ќелијата има површина еднаква на една
Основата на овој триаголник е еднаква на 9$ (бидејќи 9$ е квадрати од 9$). Висината е исто така 9$. Потоа, според теорема 1, добиваме
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$
Одговор: 40,5 долари.
Формулата на Херон
Теорема 2
Ако ни се дадени три страни на триаголник $α$, $β$ и $γ$, тогаш неговата плоштина може да се најде на следниов начин
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
овде $ρ$ значи полупериметар на овој триаголник.
Доказ.
Размислете за следнава слика:
Според Питагоровата теорема, од триаголникот $ABH$ добиваме
Од триаголникот $CBH$, според Питагоровата теорема, имаме
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Од овие две односи ја добиваме еднаквоста
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((a^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-a^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-a)(γ+β+a))(4β^2)$
Бидејќи $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, тогаш $α+β+γ=2ρ$, што значи
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2)$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Со теорема 1, добиваме
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Формула за површинанеопходно е да се одреди плоштината на фигурата, која е функција со реална вредност дефинирана на одредена класа фигури од Евклидовата рамнина и исполнува 4 услови:
- Позитивност - Површината не може да биде помала од нула;
- Нормализација - квадрат со странична единица има површина 1;
- Конгруентност - складните фигури имаат еднаква површина;
- Адитивност - областа на спојување на 2 фигури без заеднички внатрешни точки е еднаква на збирот на површините на овие бројки.
| Геометриска фигура | Формула | Цртеж |
|---|---|---|
|
Резултатот од собирањето на растојанијата помеѓу средните точки на спротивните страни на конвексниот четириаголник ќе биде еднаков на неговиот полупериметар. |
||
|
Кружен сектор. Површината на секторот на кругот е еднаква на производот на неговиот лак и половина од неговиот радиус. |
|
|
|
Кружен сегмент. За да се добие плоштината на сегментот ASB, доволно е да се одземе плоштината на триаголникот AOB од областа на секторот AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Површината на елипсата е еднаква на производот од должините на главните и малите полуоски на елипсата и бројот пи. |
|
|
|
Елипса. Друга опција за пресметување на површината на елипсата е преку два нејзини радиуси. |
|
|
|
Тријаголник. Преку основата и висината. Формула за плоштина на круг користејќи го неговиот радиус и дијаметар. |
||
|
Плоштад . Преку негова страна. Плоштината на квадрат е еднаква на квадратот на должината на неговата страна. |
|
|
|
Плоштад. Преку неговите дијагонали. Површината на квадрат е еднаква на половина од квадратот од должината на неговата дијагонала. |
||
|
Правилен многуаголник. За да се одреди плоштината на правилен многуаголник, потребно е да се подели на еднакви триаголници кои би имале заедничко теме во центарот на впишаниот круг. |
S= r p = 1/2 r n a |
Се вчитува...