За да се поедностави делењето на природните броеви, изведени се правилата за делење со броевите од првата десетка и броевите 11, 25, кои се комбинираат во дел знаци на деливост на природните броеви. Подолу се дадени правилата со кои анализата на број без да се дели со друг природен број ќе одговори на прашањето дали природен број е повеќекратен од броевите 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 и малку единица?
Природните броеви кои имаат цифри (кои завршуваат на) 2,4,6,8,0 во првата цифра се нарекуваат парни.
Знак за деливост на броевите со 2
Сите парни природни броеви се деливи со 2, на пример: 172, 94,67 838, 1670.
Знак за деливост на броевите со 3
Сите природни броеви се деливи со 3, чиј збир на цифри е множител на 3. На пример:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);
16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).
Знак за деливост на броевите со 4
Сите природни броеви се деливи со 4, од кои последните две цифри се нули или повеќекратно од 4. На пример:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).
Знак за деливост на броевите со 5
Знак за деливост на броевите со 6
Оние природни броеви кои се деливи со 2 и 3 во исто време се деливи со 6 (сите парни броеви кои се деливи со 3). На пример: 126 (б - парен, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).
Знак за деливост на броевите со 9
Тие природни броеви се деливи со 9, чиј збир на цифри е множител на 9. На пример:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).
Знак за деливост на броевите со 10
Знак за деливост на броевите со 11
Само оние природни броеви се деливи со 11, во кои збирот на цифрите што зафаќаат парни места е еднаков на збирот на цифрите што зафаќаат непарни места, или разликата помеѓу збирот на цифрите на непарните места и збирот на цифрите на парните места. е множител на 11. На пример:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 и 0 + 7 + 7 = 14);
9,163,627 (9 + 6 + b + 7 = 28 и 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).
Знак за деливост на броевите со 25
Тие природни броеви се деливи со 25, од кои последните две цифри се нули или се множител на 25. На пример:
2 300; 650 (50: 25 = 2);
1 475 (75: 25 = 3).
Знак за деливост на броевите со бит единица
Тие природни броеви се поделени на битна единица, во која бројот на нули е поголем или еднаков на бројот на нули на битската единица. На пример: 12.000 се дели со 10, 100 и 1000.
Серијата написи за знаците на деливост продолжува знак за деливост со 3. Во овој напис најпрвин се дава формулација на критериумот за деливост со 3 и се дадени примери за примена на овој критериум за да се открие кои од дадените цели броеви се деливи со 3, а кои не. Понатаму, даден е доказ за тестот за деливост со 3. Се разгледуваат и пристапите за утврдување на деливоста со 3 од броевите дадени како вредност на некој израз.
Навигација на страница.
Знак за деливост со 3, примери
Да почнеме со формулации на тестот за деливост со 3: цел број е делив со 3 ако збирот на неговите цифри е делив со 3 , ако збирот на неговите цифри не се дели со 3 , тогаш самиот број не се дели со 3 .
Од горната формулација е јасно дека знакот за деливост со 3 не може да се користи без можност за собирање на природни броеви. Исто така, за успешна примена на знакот за деливост со 3, треба да знаете дека од сите едноцифрени природни броеви, броевите 3, 6 и 9 се деливи со 3, а броевите 1, 2, 4, 5, 7 и 8 не се делат со 3.
Сега можеме да го разгледаме наједноставниот примери за примена на тестот за деливост со 3. Ајде да откриеме дали бројот е делив со 3? 42. За да го направите ова, го пресметуваме збирот на цифрите на бројот?42, тоа е еднакво на 4+2=6. Бидејќи 6 е делив со 3, тогаш, според знакот за деливост со 3, може да се тврди дека бројот?42 е исто така делив со 3. Но, позитивниот цел број 71 не се дели со 3, бидејќи збирот на неговите цифри е 7+1=8, а 8 не се дели со 3.
Дали 0 се дели со 3? За да одговориме на ова прашање, критериумот за деливост со 3 не е потребен, тука треба да се потсетиме на соодветното својство на деливост, кое вели дека нулата е делива со кој било цел број. Значи 0 се дели со 3.
Во некои случаи, за да се покаже дека даден број има или нема способност да се дели со 3, тестот за деливост со 3 треба да се примени неколку пати по ред. Да земеме пример.
Покажете дека бројот 907444812 е делив со 3.
Збирот на цифрите од 907444812 е 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39. За да откриеме дали 39 е делив со 3, го пресметуваме неговиот збир на цифри: 3+9=12. А за да откриеме дали 12 се дели со 3, го наоѓаме збирот на цифрите на бројот 12, имаме 1+2=3. Бидејќи го добивме бројот 3, кој се дели со 3, тогаш, поради знакот за деливост со 3, бројот 12 се дели со 3. Според тоа, 39 е делив со 3, бидејќи збирот на неговите цифри е 12, а 12 е делив со 3. Конечно, 907333812 е делив со 3 бидејќи збирот на неговите цифри е 39, а 39 е делив со 3.
За да го консолидираме материјалот, ќе го анализираме решението на друг пример.
Дали бројот е делив со 3?543 205?
Да го пресметаме збирот на цифрите на овој број: 5+4+3+2+0+5=19 . За возврат, збирот на цифрите од бројот 19 е 1+9=10, а збирот на цифрите од бројот 10 е 1+0=1. Бидејќи го добивме бројот 1, кој не се дели со 3, од критериумот за деливост со 3 произлегува дека 10 не се дели со 3. Според тоа, 19 не се дели со 3, бидејќи збирот на неговите цифри е 10, а 10 не се дели со 3. Според тоа, оригиналниот број?543205 не се дели со 3, бидејќи збирот на неговите цифри, еднаков на 19, не се дели со 3.
Вреди да се напомене дека директното делење на даден број со 3 ни овозможува и да заклучиме дали дадениот број е делив со 3 или не. Со ова сакаме да кажеме дека не треба да се занемари поделбата во корист на знакот на деливост со 3. Во последниот пример, делејќи го 543 205 со 3 со колона, би се погрижиле 543 205 да не се дели со 3, од што би можеле да кажеме дека 543 205 не се дели ниту со 3.
Доказ за тестот за деливост со 3
Следното претставување на бројот a ќе ни помогне да го докажеме знакот за деливост со 3. Секој природен број a можеме да го разложиме на цифри, по што правилото за множење со 10, 100, 1000 и така натаму ни овозможува да добиеме претстава на формата a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , каде a n , a n?1 , …, a 0 се цифри од лево кон десно во бројот a . За јасност, даваме пример за такво претставување: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .
Сега да напишеме голем број прилично очигледни равенства: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 и така натаму.
Замена во равенката a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +…+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 наместо 10 , 100 , 1 000 и така натаму изрази 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 и така натаму, добиваме
.
Својствата на собирање природни броеви и својствата на множење на природните броеви овозможуваат добиената еднаквост да се препише на следниов начин:
Изразување 
е збир од цифрите на a. Дозволете ни да го означиме за краткост и погодност со буквата А, односно прифаќаме. Потоа добиваме претстава за бројот a од формата, која ќе ја користиме при докажување на тестот за деливост со 3.
Исто така, за да го докажеме тестот за деливост со 3, потребни ни се следниве својства на деливост:
- за цел број a да биде делив со цел број b потребно е и доволно модулот на a да се дели со модулот b;
- ако во еднаквоста a=s+t сите членови, освен некој, се деливи со некој цел број b, тогаш и овој член е делив со b.
Сега сме целосно подготвени и можеме да го спроведеме доказ за деливост со 3, за погодност, оваа карактеристика ја формулираме како неопходен и доволен услов за деливост со 3 .
За цел број a да се дели со 3, потребно е и доволно збирот на неговите цифри да се дели со 3.
За a=0 теоремата е очигледна.
Ако a е различен од нула, тогаш модулот на a е природен број, тогаш можно е претставување, каде е збирот на цифрите на a.
Бидејќи збирот и производот на цели броеви е цел број, тогаш е цел број, тогаш според дефиницијата за деливост, производот е делив со 3 за кое било a 0 , a 1 , ..., a n .
Ако збирот на цифрите на бројот a е делив со 3, односно А е делив со 3, тогаш, поради својството на деливост означено пред теоремата, тој е делив со 3, според тоа, а се дели со 3. Ова ја докажува доволноста.
Ако a е делив со 3, тогаш се дели и со 3, тогаш поради истото својство на деливост, бројот А се дели со 3, односно збирот на цифрите на бројот a се дели со 3. Ова ја докажува неопходноста.
Други случаи на деливост со 3
Понекогаш цели броеви не се назначуваат експлицитно, туку како вредност на некој израз со променлива за дадена вредност на променливата. На пример, вредноста на изразот за некое природно n е природен број. Јасно е дека со таква спецификација на броеви, директното делење со 3 нема да помогне да се утврди нивната деливост со 3, а знакот за деливост со 3 не секогаш ќе може да се примени. Сега ќе разгледаме неколку пристапи за решавање на ваквите проблеми.
Суштината на овие пристапи е да се претстави оригиналниот израз како производ на неколку фактори, а ако барем еден од факторите е делив со 3, тогаш, поради соодветното својство на деливост, ќе може да се заклучи дека целиот производ се дели со 3.
Понекогаш овој пристап може да се имплементира со користење на Њутновиот бином. Да разгледаме пример за решение.
Дали вредноста на изразот е делива со 3 за која било природна n ?
Еднаквоста е очигледна. Да ја користиме биномната формула на Њутн: 
Во последниот израз, можеме да извадиме 3 од загради и добиваме. Добиениот производ е делив со 3, бидејќи содржи фактор 3, а вредноста на изразот во загради за природен n е природен број. Според тоа, е делив со 3 за која било природна n.
Во многу случаи, деливоста со 3 може да се докаже со методот на математичка индукција. Ајде да ја анализираме неговата примена при решавање на пример.
Докажете дека за секое природно n вредноста на изразот е делива со 3 .
За докажување го користиме методот на математичка индукција.
За n=1, вредноста на изразот е , а 6 е делив со 3 .
Да претпоставиме дека вредноста на изразот е делива со 3 кога n=k , односно е делива со 3 .
Имајќи предвид дека е делив со 3, ќе покажеме дека вредноста на изразот за n=k+1 е делива со 3, односно ќе покажеме дека 
се дели со 3.
Ајде да направиме некои трансформации: 
Изразот се дели со 3 и изразот 
е делив со 3, па нивниот збир е делив со 3.
Така, методот на математичка индукција ја докажа деливоста со 3 за која било природна n.
Да покажеме уште еден пристап кон доказот за деливост со 3. Ако покажеме дека за n=3 m, n=3 m+1 и n=3 m+2, каде што m е произволен цел број, вредноста на некој израз (со променлива n) е делива со 3, тогаш ова ќе докаже деливост на изразот со 3 за кој било цел број n. Размислете за овој пристап кога го решавате претходниот пример.
Покажете што е деливо со 3 за која било природна n .
За n=3 m имаме. Добиениот производ е делив со 3 бидејќи содржи фактор 3 делив со 3.
Добиениот производ е исто така делив со 3.
И овој производ е делив со 3.
Според тоа, е делив со 3 за која било природна n.
Како заклучок, ви го претставуваме решението на уште еден пример.
Дали вредноста на изразот е делива со 3 
за некои природни n.
За n=1 имаме. Збирот на цифрите на добиениот број е 3, така што знакот за деливост со 3 ни овозможува да тврдиме дека овој број е делив со 3.
За n=2 имаме. Збирот на цифрите и овој број е 3 , значи се дели со 3 .
Јасно е дека за кое било друго природно n ќе имаме броеви чиј збир на цифри е 3, затоа овие броеви се деливи со 3.
На овој начин, за секое природно n е деливо со 3.
www.cleverstudents.ru
Математика, 6 одделение, учебник за ученици од образовни организации, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014 г.
Математика, 6 одделение, учебник за студенти на образовни организации, Зубарева И.И., Мордкович А.Г., 2014 година.
Теоретскиот материјал во учебникот е претставен на тој начин што наставникот може да примени проблемски пристап во наставата. Со помош на системот за нотација се разликуваат вежби од четири нивоа на сложеност. Во секој пасус, контролните задачи се формулирани врз основа на она што учениците треба да го знаат и умеат да го постигнат за да го достигнат нивото на стандардот на математичкото образование. На крајот од учебникот има домашни тестови и одговори. Илустрациите во боја (цртежи и дијаграми) обезбедуваат високо ниво на јасност на едукативниот материјал.
Ги исполнува барањата на ГЕФ ДОО.
Задачи.
4. Нацртајте триаголник ABC и означете точка O надвор од него (како на слика 11). Конструирај фигура симетрична на триаголникот ABC во однос на точката О.
5. Нацртајте триаголник KMN и изградете фигура симетрична на овој триаголник во однос на:
а) неговите темиња - точки М;
б) точки O - средните точки на страната MN.
6. Изградете фигура која е симетрична:
а) зрак OM во однос на точката O; запишете која точка е симетрична на точката О;
б) зракот OM во однос на произволна точка А што не припаѓа на овој зрак;
в) права линија AB во однос на точката О, која не припаѓа на оваа права;
г) права AB во однос на точката O што припаѓа на оваа права; запишете која точка е симетрична на точката О.
Во секој случај, опишете ја релативната положба на централно симетричните фигури.
Содржина
Поглавје I. Позитивни и негативни броеви. Координати
§ 1. Ротација и централна симетрија
§ 2. Позитивни и негативни броеви. Координатна линија
§ 3. Модул на број. Спротивни бројки
§ 4. Споредба на броеви
§ 5. Паралелизам на прави
§ 6. Нумерички изрази што ги содржат знаците „+“, „-“
§ 7. Алгебарски збир и неговите својства
§ 8. Правилото за пресметување на вредноста на алгебарскиот збир на два броја
§ 9. Растојание помеѓу точките на координатната права
§ 10. Аксијална симетрија
§ 11. Празнини на броеви
§ 12. Множење и делење на позитивни и негативни броеви
§ 13. Координати
§ 14. Координатна рамнина
§ 15. Множење и делење на обични дропки
§ 16. Правило за множење за комбинаторни задачи
Поглавје II. Претворање на буквални изрази
§ 17. Проширување на заградата
§ 18. Поедноставување на изразите
§ 19. Решение на равенки
§ 20. Решавање задачи за составување равенки
§ 21. Два главни проблеми на дропките
§ 22. Заокружи. Обем
§ 23. Заокружи. Површина на круг
§ 24. Топка. Сфера
Поглавје III. Деливост на природните броеви
§ 25. Делители и множители
§ 26. Деливост на дело
§ 27. Деливост на збирот и разликата на броевите
§ 28. Знаци на деливост со 2, 5, 10, 4 и 25
§ 29. Знаци на деливост со 3 и 9
§ 30. Прости броеви. Разложување на број на прости множители
§ 31. Најголем заеднички делител
§ 32. Копрости броеви. Знак за деливост по производ. Најмалку заеднички множител
Поглавје IV. Математиката околу нас
§ 33. Односот на два броја
§ 34. Дијаграми
§ 35. Пропорционалност на количините
§ 36. Решавање задачи со помош на пропорции
§ 37. Разни задачи
§ 38. Прво запознавање со концептот на „веројатност“
§ 39. Прво запознавање со пресметката на веројатноста
Домашни тестови
Теми за проектни активности
Одговори
Бесплатно преземете е-книга во пригоден формат и прочитајте:
Математика
РЕФЕРЕНТЕН МАТЕРИЈАЛ ЗА МАТЕМАТИКА ЗА 1-6 ОДДЕЛЕНИЕ.
Драги родители!Доколку барате учител по математика за вашето дете, тогаш оваа реклама е за вас. Нудам туторство на Skype: подготовка за OGE, унифициран државен испит, елиминација на празнините во знаењето. Вашите придобивки се јасни:
1) Вашето дете е дома, а вие можете да бидете мирни за него;
2) Часовите се одржуваат во погодно време за детето, па дури и можете да ги посетувате овие часови. Објаснувам едноставно и јасно на вообичаената училишна табла.
3) Можете сами да размислите за други важни предности на часовите на Skype!
Пиши ми на: или веднаш додај ме на Skype, и ќе се договориме за се. Цените се достапни.
П.С. Часовите се достапни во групи од 2-4 студенти.
Со почит, Татјана Јаковлевна Андриушченко е автор на оваа страница.
Драги пријатели!
Задоволство ми е да ви понудам да преземете бесплатни референтни материјали за математика 5-то одделение. Преземете овде!
Драги пријатели!
Не е тајна дека некои деца имаат потешкотии со множење и долго делење. Најчесто тоа се должи на недоволното познавање на табелата за множење. Предлагам да ја научам табелата за множење со помош на лото. Видете повеќе овде. Преземете лото овде.
Драги пријатели!Наскоро ќе се соочите (или веќе сте се соочиле) со потребата да одлучите интересни задачи. Ваквите проблеми почнуваат да се решаваат во 5-то одделение и завршуваат. но тие не завршуваат со решавање на проблеми во проценти! Овие задачи се наоѓаат и во контролата и во испитите: и преносливите, и ОГЕ и Единствениот државен испит. Што да се прави? Треба да научиме како да ги решиме овие проблеми. Мојата книга Како да решавате проблеми со проценти ќе ви помогне во тоа. Детали тука!
Собирање на броеви.
- a+b=c, каде што a и b се членови, c е збирот.
- За да го пронајдете непознатиот член, одземете го познатиот член од збирот.
Одземање на броеви.
- a-b=c, каде што a е минуендот, b е подзаконската лента, c е разликата.
- За да го пронајдете непознатиот минуенд, треба да го додадете и подземјето на разликата.
- За да го пронајдете непознатиот подлог, треба да ја одземете разликата од минуендот.
Множење на броеви.
- a b=c, каде што a и b се фактори, c е производ.
- За да го пронајдете непознатиот фактор, треба да го поделите производот со познатиот фактор.
Поделба на броеви.
- a:b=c, каде што a е дивиденда, b е делител, c е количник.
- За да ја пронајдете непознатата дивиденда, треба да го помножите делителот со количникот.
- За да најдете непознат делител, треба да ја поделите дивидендата со количникот.
Законите на додавање.
- а+б=б+а(поместување: збирот не се менува од преуредувањето на термините).
- (а+б)+в=а+(б+в)(асоцијативно: за да додадете трет број на збирот од два члена, можете да го додадете збирот на вториот и третиот на првиот број).
Табела за додавање.
- 1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
- 1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.
Закони за множење.
- a b=b a(поместување: пермутацијата на факторите не го менува производот).
- (а б) c=a (б в)(комбинација: за да го помножите производот од два броја со трет број, можете да го помножите првиот број со производот на вториот и третиот).
- (а+б) c=a c+b в(дистрибутивен закон на множење во однос на собирањето: за да се помножи збирот на два броја со трет број, можете да го помножите секој член со овој број и да ги соберете резултатите).
- (а-б) c=a c-b в(дистрибутивен закон на множење во однос на одземање: за да ја помножите разликата на два броја со трет број, можете да помножите со овој број намален и одземен одделно и да го одземете вториот од првиот резултат).
Табела за множење.
2 1=2; 3 1=3; 4 1=4; 5 1=5; 6 1=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.
2 2=4; 3 2=6; 4 2=8; 5 2=10; 6 2=12; 7 2=14; 8 2=16; 9 2=18.
2 3=6; 3 3=9; 4 3=12; 5 3=15; 6 3=18; 7 3=21; 8 3=24; 9 3=27.
2 4=8; 3 4=12; 4 4=16; 5 4=20; 6 4=24; 7 4=28; 8 4=32; 9 4=36.
2 5=10; 3 5=15; 4 5=20; 5 5=25; 6 5=30; 7 5=35; 8 5=40; 9 5=45.
2 6=12; 3 6=18; 4 6=24; 5 6=30; 6 6=36; 7 6=42; 8 6=48; 9 6=54.
2 7=14; 3 7=21; 4 7=28; 5 7=35; 6 7=42; 7 7=49; 8 7=56; 9 7=63.
2 8=16; 3 8=24; 4 8=32; 5 8=40; 6 8=48; 7 8=56; 8 8=64; 9 8=72.
2 9=18; 3 9=27; 4 9=36; 5 9=45; 6 9=54; 7 9=63; 8 9=72; 9 9=81.
2 10=20; 3 10=30; 4 10=40; 5 10=50; 6 10=60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.
Делители и множители.
- делителприроден број аименувај го природниот број со кој аподелени без остаток. (Броевите 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 се делители на бројот 24, бидејќи 24 е делив со секој од нив без остаток) 1-деленик на кој било природен број. Најголем делител на кој било број е самиот број.
- Повеќекратниприроден број бе природен број кој е делив без остаток со б. (Броевите 24, 48, 72, ... се множители на бројот 24, бидејќи се деливи со 24 без остаток). Најмалиот множител на кој било број е самиот број.
Знаци за деливост на природните броеви.
- Броевите што се користат при броење предмети (1, 2, 3, 4, ...) се нарекуваат природни броеви. Множеството природни броеви се означува со буквата Н.
- Броеви 0, 2, 4, 6, 8 повикани дуриброеви. Броевите што завршуваат со парни цифри се нарекуваат парни броеви.
- Броеви 1, 3, 5, 7, 9 повикани чудноброеви. Броевите кои завршуваат со непарни цифри се нарекуваат непарни броеви.
- Знак за деливост со број 2. Сите природни броеви кои завршуваат со парна цифра се деливи со 2.
- Знак за деливост со бројот 5. Сите природни броеви кои завршуваат на 0 или 5 се деливи со 5.
- Знак за деливост со бројот 10. Сите природни броеви кои завршуваат на 0 се деливи со 10.
- Знак за деливост со број 3. Ако збирот на цифрите на некој број е делив со 3, тогаш самиот број е делив со 3.
- Знак за деливост со бројот 9. Ако збирот на цифрите на некој број е делив со 9, тогаш самиот број е делив со 9.
- Знак за деливост со број 4. Ако бројот составен од последните две цифри на даден број е делив со 4, тогаш самиот даден број се дели со 4.
- Знак за деливост со бројот 11.Ако разликата помеѓу збирот на цифрите на непарните места и збирот на цифрите на парните места се дели со 11, тогаш самиот број се дели со 11.
- Прост број е број кој има само два делители: еден и самиот број.
- Композитен број е број кој има повеќе од два делители.
- Бројот 1 не е ниту прост ниту композитен број.
- Запишувањето композитен број како производ само од прости броеви се нарекува факторингирање на композитен број во прости множители. Секој композитен број може уникатно да се претстави како производ на прости фактори.
- Најголемиот заеднички делител на дадените природни броеви е најголемиот природен број со кој секој од овие броеви е делив.
- Најголемиот заеднички делител на овие броеви е еднаков на производот на заедничките прости множители во проширувањата на овие броеви. Пример. GCD(24, 42)=2 3=6, бидејќи 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, нивните заеднички прости множители се 2 и 3.
- Ако природните броеви имаат само еден заеднички делител - еден, тогаш овие броеви се нарекуваат сопрост.
- Најмалиот заеднички множител на дадените природни броеви е најмалиот природен број кој е множител на секој од дадените броеви. Пример. LCM(24, 42)=168. Ова е најмалиот број што е делив и со 24 и со 42.
- За да се најде LCM на неколку дадени природни броеви, потребно е: 1) да се разложи секој од дадените броеви на прости множители; 2) запишете го проширувањето на најголемиот од броевите и помножете го со факторите што недостасуваат од проширувањата на другите броеви.
- Најмалиот множител на два сопрости броеви е еднаков на производот на овие броеви.
б- именител на дропка, покажува колку еднакви делови се делат;
а-броителот на дропката, покажува колку такви делови се земени. Дробната лента значи знак за поделба.
Некогаш наместо хоризонтална дробна линија ставаат коса црта, а обична дропка се пишува вака: а/б.
- На соодветна дропкаброителот е помал од именителот.
- На неправилна дропкаброителот е поголем од именителот или еднаков на именителот.
Ако броителот и именителот на дропка се помножат или поделат со ист природен број, тогаш ќе се добие дропка еднаква на него.
Поделувањето на броителот и именителот на дропка со нивниот заеднички делител освен еден се нарекува редукција на дропка.
- Бројот што се состои од цел број и фракционо дел се нарекува мешан број.
- За да се прикаже неправилна дропка како мешан број, потребно е да се подели броителот на дропката со именителот, тогаш нецелосниот количник ќе биде цел број од мешаниот број, остатокот ќе биде броител на дробниот дел. , а именителот ќе остане ист.
- За да претставите мешан број како неправилна дропка, треба да го помножите целобројниот дел од мешаниот број со именителот, да го додадете броителот на дробниот дел на резултатот и да го запишете во броителот на неправилната дропка и да го оставите именителот. исто.
- Реј Осо потекло во точка О, на кој еднократно сечењедо и насока, повикан координатен зрак.
- Се повикува бројот што одговара на точката на координатниот зрак координираатоваа точка. На пример , А(3). Прочитајте: точка А со координата 3.
- Најмал заеднички именител ( НОЗ) од овие нередуцирани дропки е најмалиот заеднички множител ( НОК) именители на овие дропки.
- За да ги доведете дропките до најмал заеднички именител, мора: 1) да го пронајдете најмалиот заеднички множител од именителот на овие дропки, тој ќе биде најмал заеднички именител. 2) најдете дополнителен фактор за секоја од дропките, за што го делиме новиот именител со именителот на секоја дропка. 3) помножете ги броителите и именителот на секоја дропка со неговиот дополнителен фактор.
- Од две дропки со ист именител, онаа со поголем броител е поголем, а помалиот броител е помал.
- Од две дропки со ист броител, онаа со помал именител е поголема, а онаа со поголем именител е помал.
- За да споредите дропки со различни броители и различни именители, треба да ги намалите дропките на најмал заеднички именител, а потоа да ги споредите дропките со исти именители.
Операции на обични дропки.
- За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот ист.
- Ако треба да собирате дропки со различни именители, тогаш прво сведете ги дропките на најмал заеднички именител, а потоа додадете ги дропките со исти именители.
- За одземање на дропки со исти именители, броителот на втората дропка се одзема од броителот на првата дропка, а именителот останува ист.
- Ако треба да одземете дропки со различни именители, тогаш тие прво се доведуваат до заеднички именител, а потоа се одземаат дропките со исти именители.
- При извршување на операции за собирање или одземање мешани броеви, овие операции се вршат посебно за цели и за дробни делови, а потоа резултатот се запишува како мешан број.
- Производот на две обични дропки е еднаков на дропка чиј броител е еднаков на производот на броителите, а именителот е производ на именителот на дадените дропки.
- За да помножите обична дропка со природен број, треба да го помножите броителот на дропката со овој број, а именителот да го оставите ист.
- Два броја чиј производ е еднаков на еден се нарекуваат меѓусебно реципрочни броеви.
- Кога се множат мешаните броеви, тие прво се претвораат во неправилни дропки.
- За да најдете дропка од некој број, треба да го помножите бројот со таа дропка.
- За да поделите заедничка дропка со заедничка дропка, треба да ја помножите дивидендата со реципроцитет на делителот.
- Кога се делат мешани броеви, тие прво се претвораат во неправилни дропки.
- За да поделите обична дропка со природен број, треба да го помножите именителот на дропката со овој природен број и да го оставите броителот ист. ((2/7):5=2/(7 5)=2/35).
- За да најдете број по неговата дропка, треба да го поделите со оваа дропка бројот што одговара на него.
- Децимална дропка е број запишан во децимален систем и има цифри помали од една. (3,25; 0,1457 итн.)
- Децималните места по децималната точка се нарекуваат децимални места.
- Децималната дропка нема да се промени ако се додадат или отфрлат нули на крајот од децималната дропка.
За додавање децимални дропки, потребно е: 1) да се изедначи бројот на децимални места во овие дропки; 2) запишете ги едно под друго така што запирката се пишува под запирка; 3) извршете го собирањето, игнорирајќи ја запирката и ставете запирка под запирките во сумираните дропки во збирот.
За да се изврши одземање на децимални дропки, потребно е: 1) да се изедначи бројот на децимални места во минуендот и подтраенот; 2) потпишете го одземеното под намаленото така што запирката е под запирка; 3) извршете го одземањето, игнорирајќи ја запирката, и како резултат, ставете ја запирката под запирките на минуендот и подзапирката.
- За да помножите децимална дропка со природен број, треба да ја помножите со овој број, игнорирајќи ја запирката, а во добиениот производ да одвоите онолку цифри оддесно колку што имало по децималната точка во дадената дропка.
- За да помножите една децимална дропка со друга, треба да го извршите множењето, игнорирајќи ги запирките, и како резултат на резултатот, одделете онолку цифри со запирка десно колку што имаше по запирките во двата фактора заедно.
- За да помножите децимална со 10, 100, 1000 итн., треба да ја поместите децималната точка надесно со цифри 1, 2, 3 итн.
- Да се помножи децимална со 0,1; 0,01; 0,001, итн., треба да ја преместите запирката налево за цифри 1, 2, 3 итн.
- За да се подели децимална дропка со природен број, треба да се подели дропката со овој број, бидејќи природните броеви се делат и се ставаат во приватна запирка кога ќе заврши делењето на целиот дел.
- За да се подели децимална со 10, 100, 1000 итн., треба да ја поместите децималната точка налево со цифри 1, 2, 3 итн.
- За да поделите број со децимален, треба да ги поместите запирките во дивидендата и да делите надесно онолку цифри колку што се по децималната точка во делителот, а потоа да ги делите со природен број.
- Да се подели децимална со 0,1; 0,01; 0,001, итн., треба да ја поместите запирката надесно за цифри 1, 2, 3 итн. (Да се подели децимална со 0,1; 0,01; 0,001 итн. е исто како да се помножи таа децимала со 10, 100, 1000 итн.)
За да заокружиме број на одредена цифра, ја подвлекуваме цифрата од оваа цифра, а потоа сите цифри зад подвлечената ги заменуваме со нули, а ако се по децималната точка, ги отфрламе. Ако првата нула заменета или отфрлена цифра е 0, 1, 2, 3 или 4, тогаш подвлечената цифра останува непроменета. Ако првата цифра заменета со нула или отфрлена е 5, 6, 7, 8 или 9, тогаш подвлечената цифра се зголемува за 1.
Аритметичка средина на неколку броеви.
Аритметичката средина на неколку броеви е количник на делење на збирот на овие броеви со бројот на членовите.
Опсегот на низа броеви.
Разликата помеѓу најголемите и најмалите вредности на сериите на податоци се нарекува опсег на серијата броеви.
Мода на серии на броеви.
Бројот што се јавува со најголема фреквенција меѓу дадените броеви од серијата се нарекува режим на серијата броеви.
- Стотината се нарекува процент. Купете книга која учи „Како да решавате процентуални проблеми“.
- За да ги изразите процентите како дропка или природен број, треба да го поделите процентот со 100%. (4%=0,04; 32%=0,32).
- За да изразите број како процент, треба да го помножите со 100%. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
- За да најдете процент од некој број, треба да го изразите процентот како обична или децимална дропка и да ја помножите добиената дропка со дадениот број.
- За да пронајдете број со неговиот процент, треба да го изразите процентот како обична или децимална дропка и дадениот број да го поделите со оваа дропка.
- За да го најдете процентот на првиот број од вториот, треба да го поделите првиот број со вториот и да го помножите резултатот за 100%.
- Количникот на два броја се нарекува сооднос на овие броеви. а: били а/бе односот на броевите a и b, згора на тоа, a е претходниот член, b е следниот член.
- Ако условите на оваа релација се преуредуваат, тогаш добиената релација се нарекува инверзна на оваа релација. Односите b/a и a/b се меѓусебно инверзни.
- Односот нема да се промени ако двата члена на односот се помножат или поделат со ист број што не е нула.
- Еднаквоста на два соодноси се нарекува пропорција.
- a:b=c:d. Ова е пропорција. Прочитајте: атака важи и за б, како все однесува на г. Броевите a и d се нарекуваат екстремни членови на пропорцијата, а броевите b и c се средни членови на пропорцијата.
- Производот на екстремните членови на пропорцијата е еднаков на производот од неговите средни членови. За пропорција a:b=c:dили a/b=c/dглавниот имот е напишан вака: a d=b в.
- За да го пронајдете непознатиот екстремен член на пропорцијата, треба да го поделите производот од просечните членови на пропорцијата со познатиот екстремен член.
- За да го пронајдете непознатиот среден член на пропорцијата, треба да го поделите производот од екстремните членови на пропорцијата со познатиот среден член. Задачи за пропорција.
Нека вредноста yзависи од големината X. Доколку со зголемување Xнеколку пати поголема насе зголемува за истиот фактор, тогаш таквите вредности Xи насе нарекуваат правопропорционални.
Ако две количини се директно пропорционални, тогаш односот на две произволни вредности на првата количина е еднаков на односот на двете соодветни вредности на втората количина.
Односот на должината на отсечката на картата до должината на соодветното растојание на земјата се нарекува размер на картата.
Нека вредноста назависи од големината X. Доколку со зголемување Xнеколку пати поголема насе намалува за истиот фактор, тогаш таквите вредности Xи насе нарекуваат обратно пропорционални.
Ако две количини се обратно пропорционални, тогаш односот на две произволно земени вредности на едната количина е еднаков на обратниот однос на соодветните вредности на другата количина.
- Множеството е збирка од некои предмети или броеви составени според некои општи својства или закони (многу букви на страница, многу правилни дропки со именител 5, многу ѕвезди на небото итн.).
- Множествата се составени од елементи и се или конечни или бесконечни. Множеството кое не содржи ниту еден елемент се нарекува празно множество и се означува О
- Многу ATнаречено подмножество од множеството НОако сите елементи од множеството ATсе елементи на множеството НО.
- Поставете раскрсница НОи ATе множество чии елементи припаѓаат на множеството НОи многу AT.
- Унија на комплети НОи ATе множество чии елементи припаѓаат барем на едно од дадените множества НОи AT.
Збирки од броеви.
- Н– збир на природни броеви: 1, 2, 3, 4,…
- З– множество цели броеви: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,…
- Пе множество од рационални броеви што може да се претстават како дропка m/n, каде м- целина, n- природно (-2; 3/5; v9; v25, итн.)
- Координатна линија е права линија на која се дадени позитивна насока, референтна точка (точка O) и единичен сегмент.
- Секоја точка на координатната линија одговара на одреден број, кој се нарекува координата на оваа точка. На пример, А(5). Прочитајте: точка А со координата пет. НА 3). Прочитајте: точка Б со координати минус три.
- Модулот на бројот a (запиши |а|) се нарекува растојание од потеклото до точката што одговара на дадениот број а. Вредноста на модулот на кој било број е ненегативна. |3|=3; |-3|=3, бидејќи растојанието од потеклото до бројот -3 и до бројот 3 е еднакво на три единични отсечки. |0|=0 .
- По дефиниција на модулот на број: |а|=а, ако а?0и |а|=-а, ако а б.
- Ако при споредување на броевите a и b разликата а-бтогаш е негативен број а , тогаш тие се нарекуваат строги нееднаквости.
- Ако неравенките се напишани во знаци? или ?, тогаш тие се нарекуваат нестроги неравенки.
Својства на нумерички неравенки.
G) 
Неравенство од формата x?a. Одговор:
Употребата на вештини за деливост ги поедноставува пресметките и пропорционално ја зголемува брзината на нивното извршување. Дозволете ни да ја анализираме детално главната карактеристика карактеристики на деливост.
Наједноставниот критериум за деливост за единици: сите броеви се деливи со еден. Тоа е исто толку елементарно и со знаци на деливост со два, пет, десет. Парен број може да се подели со два, или еден со конечна цифра 0, со пет - број со конечна цифра 5 или 0. Само оние броеви со конечна цифра 0 ќе се поделат со десет, со 100 - само оние броеви чии две последни цифри се нули, на 1000 - само оние со три конечни нули.
На пример:
Бројот 79516 може да се подели со 2, бидејќи завршува на 6, парен број; 9651 не е делив со 2, бидејќи 1 е непарна цифра; 1790 е делив со 2 бидејќи последната цифра е нула. 3470 ќе се подели со 5 (конечната цифра е 0); 1054 не се дели со 5 (конечно 4). 7800 ќе се подели со 10 и 100; 542000 се дели со 10, 100, 1000.
Помалку широко позната, но многу лесна за употреба карактеристика карактеристики на деливостна 3 и 9 , 4 , 6 и 8, 25 . Постојат и карактеристични црти на деливост со 7, 11, 13, 17, 19 и така натаму, но тие се користат многу поретко во пракса.
Карактеристична карактеристика на делење со 3 и со 9.
На трии/или на деветбез остаток ќе се поделат оние броеви за кои резултатот од собирањето на цифрите е множител на три и/или девет.
На пример:
Бројот 156321, резултатот од собирањето 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 ќе се подели со 3 и ќе се подели со 9, соодветно, самиот број може да се подели со 3 и 9. Бројот 79123 нема да биде поделено со 3 или 9, така што збирот на неговите цифри (22) не се дели со овие броеви.
Карактеристична карактеристика на делење со 4, 8, 16 и така натаму.
Бројот може да се подели без остаток со четири, ако неговите последни две цифри се нули или се број кој може да се подели со 4. Во сите други случаи, делењето без остаток не е можно.
На пример:
Бројот 75300 се дели со 4, бидејќи последните две цифри се нули; 48834 не се дели со 4 бидејќи последните две цифри даваат 34, што не се дели со 4; 35908 е делив со 4, бидејќи последните две цифри од 08 го даваат бројот 8 делив со 4.
Сличен принцип е применлив и за критериумот на деливост со осум. Бројот се дели со осум ако неговите последни три цифри се нули или формираат број делив со 8. Во спротивно, количникот добиен од делењето нема да биде цел број.
Истите својства за делење со 16, 32, 64 итн., но тие не се користат во секојдневните пресметки.
Карактеристична карактеристика на деливоста со 6.
Бројот се дели со шест, ако е делив и со два и со три, со сите други опции, поделбата без остаток е невозможна.
На пример:
126 е делив со 6, бидејќи е делив и со 2 (крајниот парен број е 6) и со 3 (збирот на цифрите 1 + 2 + 6 = 9 се дели со три)
Карактеристична карактеристика на деливоста со 7.
Бројот се дели со седумако разликата на неговиот двоен последен број и „бројот што остана без последната цифра“ се дели со седум, тогаш самиот број се дели со седум.
На пример:
Бројот е 296492. Земете ја последната цифра „2“, дуплирајте ја, излегува 4. Одземете 29649 - 4 = 29645. Проблематично е да откриете дали е делива со 7, затоа пак анализирајте. Следно, ја удвојуваме последната цифра „5“, излегува 10. Одземаме 2964 - 10 = 2954. Резултатот е ист, не е јасно дали е делив со 7, затоа ја продолжуваме анализата. Ние анализираме со последната цифра "4", двојно, излегува 8. Одземаме 295 - 8 = 287. Споредуваме двесте осумдесет и седум - не се дели со 7, во врска со ова продолжуваме со пребарувањето. По аналогија, последната цифра „7“, двојно, излегува 14. Одземете 28 - 14 \u003d 14. Бројот 14 се дели со 7, така што оригиналниот број е делив со 7.
Карактеристична карактеристика на деливоста со 11.
На единаесетДеливи се само оние броеви за кои резултатот од собирањето на цифрите сместени на непарни места е или еднаков на збирот на цифрите поставени на парни места или е различен со број делив со единаесет.
На пример:
Бројот 103.785 е делив со 11, бидејќи збирот на цифрите на непарните места, 1 + 3 + 8 = 12, е еднаков на збирот на цифрите на парните места, 0 + 7 + 5 = 12. Бројот 9.163.627 е делив со 11, бидејќи збирот на цифрите на непарните места е 9 + 6 + 6 + 7 = 28, а збирот на цифрите на парните места е 1 + 3 + 2 = 6; разликата помеѓу броевите 28 и 6 е 22, а овој број е делив со 11. Бројот 461.025 не се дели со 11, бидејќи броевите 4 + 1 + 2 = 7 и 6 + 0 + 5 = 11 не се еднакви на едни со други, а нивната разлика 11 - 7 = 4 не се дели со 11.
Карактеристична карактеристика на деливоста со 25.
На Дваесет и петќе подели броеви чии две последни цифри се нули или ќе сочинуваат број што може да се подели со дваесет и пет (односно, броеви што завршуваат на 00, 25, 50 или 75). Во други случаи, бројот не може целосно да се подели со 25.
На пример:
9450 е делив со 25 (завршува на 50); 5085 не се дели со 25.
знак за деливост
Знак за деливост- правило кое ви овозможува релативно брзо да одредите дали бројот е множител на однапред одреден број без да мора да извршите вистинско делење. По правило, се заснова на дејства со дел од цифрите од ознаката на број во позиционен броен систем (обично децимален).
Постојат неколку едноставни правила кои ви дозволуваат да најдете мали делители на број во декадниот броен систем:
Знак за деливост со 2
Знак за деливост со 3
Деливост со знакот 4
Знак за деливост со 5
Знак за деливост со 6
Знак за деливост со 7
Знак за деливост со 8
Знак за деливост со 9
Знак за деливост со 10
Знак за деливост со 11
Знак за деливост со 12
Знак за деливост со 13
Знак за деливост со 14
Знак за деливост со 15
Знак за деливост со 17
Знак за деливост со 19
Знак за деливост со 23
Знак за деливост со 25
Знак за деливост со 99
Бројот го делиме во групи од 2 цифри од десно кон лево (најлевата група може да има една цифра) и го наоѓаме збирот на овие групи, сметајќи ги за двоцифрени броеви. Овој збир е делив со 99 ако и само ако самиот број е делив со 99.
Знак за деливост со 101
Бројот го делиме во групи од 2 цифри од десно кон лево (најлевата група може да има една цифра) и го наоѓаме збирот на овие групи со променливи знаци, сметајќи ги за двоцифрени броеви. Оваа сума се дели со 101 ако и само ако самиот број е делив со 101. На пример, 590547 е делив со 101, бидејќи 59-05+47=101 се дели со 101).
Знак за деливост со 2 n
Бројот е делив со n-тата сила од два, ако и само ако бројот формиран од неговите последни n цифри е делив со истата моќност.
Знак за деливост со 5 n
Бројот е делив со n-тата моќност од 5, ако и само ако бројот формиран од неговите последни n цифри е делив со истата моќност.
Знак за деливост со 10 n − 1
Бројот го делиме во групи од n цифри од десно кон лево (најлевата група може да содржи од 1 до n цифри) и го наоѓаме збирот на овие групи, сметајќи ги за n-цифрени броеви. Оваа сума се дели со 10 n− 1 ако и само ако самиот број е делив со 10 n − 1 .
Знак за деливост со 10 n
Бројот се дели со n-тата сила од десет ако и само ако неговите последни n цифри се
Се вчитува...