Основни тригонометриски идентитети.
secα гласи: „секантна алфа“. Ова е реципроцитет на косинус алфа.
cosecα гласи: „косекантна алфа“. Ова е реципроцитет на синус алфа.
Примери.Поедноставете го изразот:
А) 1 – грев 2 α; б) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; г) sin 2 α+1+cos 2 α;
д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; и) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; ж) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; И) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
А) 1 – sin 2 α = cos 2 α според формулата 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α исто така ја примени формулата 1) ;
V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Прво ја применивме формулата за разликата на квадратите на два израза: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, а потоа формулата 1) ;
G)грев 2 αcosα – cosα. Да го извадиме заедничкиот фактор од загради.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вие, се разбира, веќе забележавте дека бидејќи 1 – sin 2 α = cos 2 α, тогаш sin 2 α – 1 = -cos 2 α. На ист начин, ако 1 – cos 2 α = sin 2 α, тогаш cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
г) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имаме: квадрат на изразот sin 2 α плус двојниот производ на sin 2 α со cos 2 α и плус квадратот на вториот израз cos 2 α. Да ја примениме формулата за квадрат од збирот на два изрази: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Следно ја применуваме формулата 1) . Добиваме: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
и) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = грев 2 α. Примени ја формулата 1) , а потоа формулата 2) .
Запомнете: тгα ∙ cosα = гревα.
Слично, користејќи ја формулата 3) достапни: ctgα ∙ гревα = cosα. Запомнете!
ж) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
И) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Прво го извадивме заедничкиот фактор од заградите и ја поедноставивме содржината на заградите користејќи ја формулата 7).
Конвертирај израз:
Ја применивме формулата 7) и го добил производот од збирот на два изрази со нецелосниот квадрат на разликата на овие изрази - формулата за збир на коцки од два израза.
Статијата детално ги опишува основните тригонометриски идентитети Овие еднаквости ја воспоставуваат врската помеѓу sin, cos, t g, c t g од даден агол. Ако една функција е позната, преку неа може да се најде друга.
Тригонометриски идентитети што треба да се разгледаат во оваа статија. Подолу прикажуваме пример за нивно изведување со објаснување.
sin 2 α + cos 2 α = 1 t g α = грев α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , 1 + c t g 2 α = 1 грев 2 α
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ајде да зборуваме за важен тригонометриски идентитет, кој се смета за основа на тригонометријата.
sin 2 α + cos 2 α = 1
Дадените равенства t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α се изведени од главната со делење на двата дела со sin 2 α и cos 2 α. По што добиваме t g α = sin α cos α, c t g α = cos α sin α и t g α · c t g α = 1 - ова е последица на дефинициите за синус, косинус, тангента и котангента.
Еднаквоста sin 2 α + cos 2 α = 1 е главниот тригонометриски идентитет. За да го докажете тоа, треба да се свртите кон темата на кругот на единицата.
Нека се дадени координатите на точката A (1, 0), која по ротација за агол α станува точка A 1. По дефиниција за sin и cos, точката A 1 ќе добие координати (cos α, sin α). Бидејќи A 1 се наоѓа во кругот на единицата, тоа значи дека координатите мора да го задоволат условот x 2 + y 2 = 1 од овој круг. Треба да важи изразот cos 2 α + sin 2 α = 1. За да го направите ова, неопходно е да се докаже главниот тригонометриски идентитет за сите агли на ротација α.
Во тригонометријата, изразот sin 2 α + cos 2 α = 1 се користи како Питагорова теорема во тригонометријата. За да го направите ова, разгледајте детален доказ.
Со помош на единечна кружница, ја ротираме точката А со координати (1, 0) околу централната точка О по агол α. По ротацијата, точката ги менува координатите и станува еднаква на A 1 (x, y). Ја спуштаме нормалната права A 1 H на O x од точката A 1.
Сликата јасно покажува дека е формиран правоаголен триаголник O A 1 N Модулот на катетите O A 1 N и O N се еднакви, записот ќе го добие следниот облик: | A 1 H | = | y | , | O N | = | x | . Хипотенузата O A 1 има вредност еднаква на радиусот на единечната кружница, | O A 1 | = 1. Користејќи го овој израз, можеме да ја напишеме еднаквоста користејќи ја Питагоровата теорема: | A 1 N | 2 + | O N | 2 = | O A 1 | 2. Да ја напишеме оваа еднаквост како | y | 2 + | x | 2 = 1 2, што значи y 2 + x 2 = 1.
Користејќи ја дефиницијата за sin α = y и cos α = x, ги заменуваме податоците за аголот наместо координатите на точките и преминуваме на неравенката sin 2 α + cos 2 α = 1.
Основната врска помеѓу гревот и cos на аголот е можна преку овој тригонометриски идентитет. Така, можеме да го пресметаме гревот на аголот со познат cos и обратно. За да го направите ова, неопходно е да се реши sin 2 α + cos 2 = 1 во однос на sin и cos, потоа добиваме изрази од формата sin α = ± 1 - cos 2 α и cos α = ± 1 - sin 2 α , соодветно. Големината на аголот α го одредува знакот пред коренот на изразот. За детално објаснување, треба да го прочитате делот за пресметување на синус, косинус, тангента и котангента користејќи тригонометриски формули.
Најчесто, основната формула се користи за трансформација или поедноставување на тригонометриските изрази. Можно е збирот на квадратите на синус и косинус да се замени со 1. Замената на идентитетот може да биде или директна или обратен редослед: единицата се заменува со изразот на збирот на квадратите на синус и косинус.
Тангента и котангента преку синус и косинус
Од дефиницијата за косинус и синус, тангента и котангента, јасно е дека тие се меѓусебно поврзани едни со други, што ви овозможува одделно да ги конвертирате потребните количини.
t g α = грев α cos α c t g α = cos α sin α
Од дефиницијата, синус е ордината на y, а косинус е апсциса на x. Тангента е односот помеѓу ординатата и апсцисата. Така имаме:
t g α = y x = sin α cos α , а котангентниот израз има спротивно значење, т.е.
c t g α = x y = cos α sin α .
Следи дека добиените идентитети t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α се специфицирани со помош на аглите sin и cos. За тангента се смета односот на синусот и косинусот на аголот меѓу нив, а котангентата е спротивна.
Забележете дека t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α се точни за која било вредност на аголот α, чии вредности се вклучени во опсегот. Од формулата t g α = sin α cos α вредноста на аголот α е различна од π 2 + π · z, а c t g α = cos α sin α ја зема вредноста на аголот α различен од π · z, z го зема вредност на кој било цел број.
Врска помеѓу тангента и котангента
Постои формула која ја покажува врската помеѓу аглите преку тангента и котангента. Овој тригонометриски идентитет е важен во тригонометријата и се означува како t g α · c t g α = 1. Има смисла за α со која било вредност освен π 2 · z, инаку функциите нема да бидат дефинирани.
Формулата t g α · c t g α = 1 има свои особености во докажувањето. Од дефиницијата имаме дека t g α = y x и c t g α = x y, оттука добиваме t g α · c t g α = y x · x y = 1. Трансформирајќи го изразот и заменувајќи t g α = sin α cos α и c t g α = cos α sin α, добиваме t g α · c t g α = sin α cos α · cos α sin α = 1.
Тогаш изразот на тангента и котангента има значење кога на крајот ќе добиеме заемно инверзни броеви.
Тангента и косинус, котангента и синус
Откако ги трансформиравме главните идентитети, доаѓаме до заклучок дека тангентата е поврзана преку косинус, а котангентата преку синус. Ова може да се види од формулите t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α.
Дефиницијата е следна: збирот на квадратот на тангентата на аголот и 1 се изедначува со дропка, каде што во броителот имаме 1, а во именителот квадратот на косинусот на даден агол и збирот на квадратот на котангенсот на аголот е спротивно. Благодарение на тригонометрискиот идентитет sin 2 α + cos 2 α = 1, можеме да ги поделиме соодветните страни со cos 2 α и да добиеме t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α, каде што вредноста на cos 2 α не треба да биде еднаква на нула. Кога се делиме со sin 2 α, го добиваме идентитетот 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α, каде што вредноста на sin 2 α не треба да биде еднаква на нула.
Од горенаведените изрази откривме дека идентитетот t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α е точен за сите вредности на аголот α што не припаѓаат на π 2 + π · z, и 1 + c t g 2 α = 1 sin 2 α за вредности на α кои не припаѓаат на интервалот π · z.
Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter
Основни тригонометриски идентитети.
secα гласи: „секантна алфа“. Ова е реципроцитет на косинус алфа.
cosecα гласи: „косекантна алфа“. Ова е реципроцитет на синус алфа.
Примери.Поедноставете го изразот:
А) 1 – грев 2 α; б) cos 2 α – 1; V)(1 – cosα)(1+cosα); G) sin 2 αcosα – cosα; г) sin 2 α+1+cos 2 α;
д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α; и) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α; ж) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α; И) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α.
А) 1 – sin 2 α = cos 2 α според формулата 1) ;
б) cos 2 α – 1 =- (1 – cos 2 α) = -sin 2 α исто така ја примени формулата 1) ;
V)(1 – cosα)(1+cosα) = 1 – cos 2 α = sin 2 α. Прво ја применивме формулата за разликата на квадратите на два израза: (a – b)(a+b) = a 2 – b 2, а потоа формулата 1) ;
G)грев 2 αcosα – cosα. Да го извадиме заедничкиот фактор од загради.
sin 2 αcosα – cosα = cosα(sin 2 α – 1) = -cosα(1 – sin 2 α) = -cosα ∙ cos 2 α = -cos 3 α. Вие, се разбира, веќе забележавте дека бидејќи 1 – sin 2 α = cos 2 α, тогаш sin 2 α – 1 = -cos 2 α. На ист начин, ако 1 – cos 2 α = sin 2 α, тогаш cos 2 α – 1 = -sin 2 α.
г) sin 2 α+1+cos 2 α = (sin 2 α+cos 2 α)+1 = 1+1 = 2;
д) sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α. Имаме: квадрат на изразот sin 2 α плус двојниот производ на sin 2 α со cos 2 α и плус квадратот на вториот израз cos 2 α. Да ја примениме формулата за квадрат од збирот на два изрази: a 2 +2ab+b 2 =(a+b) 2. Следно ја применуваме формулата 1) . Добиваме: sin 4 α+2sin 2 αcos 2 α+cos 4 α = (sin 2 α+cos 2 α) 2 = 1 2 = 1;
и) tg 2 α – sin 2 αtg 2 α = tg 2 α(1 – sin 2 α) = tg 2 α ∙ cos 2 α = грев 2 α. Примени ја формулата 1) , а потоа формулата 2) .
Запомнете: тгα ∙ cosα = гревα.
Слично, користејќи ја формулата 3) достапни: ctgα ∙ гревα = cosα. Запомнете!
ж) ctg 2 αcos 2 α – ctg 2 α = ctg 2 α(cos 2 α – 1) = ctg 2 α ∙ (-sin 2 α) = -cos 2 α.
И) cos 2 α+tg 2 αcos 2 α = cos 2 α(1+tg 2 α) = 1. Прво го извадивме заедничкиот фактор од заградите и ја поедноставивме содржината на заградите користејќи ја формулата 7).
Конвертирај израз:
Барањето „грев“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „сек“ е пренасочено овде; види и други значења. Барањето „Sine“ е пренасочено овде; види и други значења... Википедија
Ориз. 1 Табели тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секантна, косекантна, котангента Тип на тригонометриски функции елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Ориз. 1 Графикони на тригонометриски функции: синус, косинус, тангента, секанта, косекантна, котангента Тригонометриските функции се вид на елементарни функции. Обично тие вклучуваат синус (sin x), косинус (cos x), тангента (tg x), котангента (ctg x), ... ... Википедија
Геодетски мерења (XVII век) ... Википедија
Во тригонометријата, формулата за тен на половина агол го поврзува тенот на половина агол со тригонометриските функции полн агол: Различни варијации на оваа формула се како што следува... Википедија
- (од грчкиот τρίγονο (триаголник) и грчкиот μετρειν (мерка), односно мерење на триаголници) гранка на математиката во која се изучуваат тригонометриските функции и нивната примена во геометријата. Овој термин првпат се појавил во 1595 година како... ... Википедија
- (лат. solutio triangulorum) историски поим што значи решение на главниот тригонометриски проблем: користејќи познати податоци за триаголник (страни, агли и сл.) најдете ги неговите преостанати карактеристики. Триаголникот може да се наоѓа на... ... Википедија
Книги
- Комплет маси. Алгебра и почетоците на анализата. Одделение 10. 17 табели + методологија, . Табелите се испечатени на дебел печатен картон со димензии 680 x 980 mm. Комплетот вклучува брошура со методолошки препоракиза наставникот. Едукативен албум од 17 листови.…
- Табели на интеграли и други математички формули, Двајт Г.Б. Десеттото издание на познатата референтна книга содржи многу детални табели на неопределени и одредени интеграли, како и. голем бројдруги математички формули: сериски проширувања,...
Дадени се односите меѓу основните тригонометриски функции - синус, косинус, тангента и котангента. тригонометриски формули. И бидејќи има доста врски помеѓу тригонометриските функции, ова го објаснува изобилството на тригонометриски формули. Некои формули поврзуваат тригонометриски функции од ист агол, други - функции од повеќекратен агол, други - ви дозволуваат да го намалите степенот, четврти - да ги изразите сите функции преку тангента на половина агол итн.
Во оваа статија ќе ги наведеме по редослед сите главни тригонометриски формули, кои се доволни за решавање на огромното мнозинство на тригонометриски проблеми. За полесно запаметување и користење, ќе ги групираме по намена и ќе ги внесеме во табели.
Навигација на страницата.
Основни тригонометриски идентитети
Основни тригонометриски идентитетидефинирање на односот помеѓу синус, косинус, тангента и котангента на еден агол. Тие произлегуваат од дефиницијата за синус, косинус, тангента и котангента, како и од концептот на единична кружница. Тие ви дозволуваат да изразите една тригонометриска функција во однос на која било друга.
За детален опис на овие тригонометриски формули, нивното изведување и примери за примена, видете ја статијата.
Формули за намалување
Формули за намалувањеследат од својствата на синус, косинус, тангента и котангента, односно тие го одразуваат својството на периодичност на тригонометриските функции, својството на симетрија, како и својството на поместување за даден агол. Овие тригонометриски формули ви овозможуваат да преминете од работа со произволни агли на работа со агли кои се движат од нула до 90 степени.
Образложението за овие формули, мнемоничко правило за нивно меморирање и примери за нивната примена може да се проучат во статијата.
Формули за додавање
Формули за тригонометриско собирањепокажете како тригонометриските функции од збирот или разликата на два агли се изразуваат во однос на тригонометриските функции на тие агли. Овие формули служат како основа за изведување на следните тригонометриски формули.
Формули за двојни, тројни итн. агол
Формули за двојни, тројни итн. агол (тие се нарекуваат и формули за повеќекратни агли) покажуваат како тригонометриските функции на двојно, тројно, итн. аглите () се изразуваат во однос на тригонометриските функции на еден агол. Нивното изведување се заснова на формули за собирање.
Подетални информации се собрани во формулите на написот за двојно, тројно, итн. агол
Формули за половина агол
Формули за половина аголпокажете како тригонометриските функции на половина агол се изразени во однос на косинус на цел агол. Овие тригонометриски формули следат од формулите со двоен агол.
Нивниот заклучок и примери за примена може да се најдат во статијата.
Формули за намалување на степенот
Тригонометриски формули за намалување на степенисе дизајнирани да го олеснат преминот од природните сили на тригонометриските функции кон синусите и косинусите од прв степен, но повеќекратни агли. Со други зборови, тие ви дозволуваат да ги намалите моќите на тригонометриските функции на првото.
Формули за збир и разлика на тригонометриски функции
Главната цел формули за збир и разлика на тригонометриски функциие да се оди на производ на функции, што е многу корисно при поедноставување на тригонометриски изрази. Овие формули се исто така широко користени при решавање на тригонометриски равенки, бидејќи ви овозможуваат да го факторизирате збирот и разликата на синусите и косинусите.
Формули за производ од синуси, косинуси и синус по косинус
Преминот од производ на тригонометриски функции до збир или разлика се врши со користење на формулите за производ на синуси, косинуси и синус по косинус.
Авторско право од паметни студенти
Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од www.site, вклучувајќи внатрешни материјали и надворешен дизајн, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.
Се вчитува...