Примери за собирање и одземање дропки. Собирање и одземање на алгебарски дропки: правила, примери. Собирање и одземање алгебарски дропки со различни именители

Класа: 5

Презентација за лекцијата

Назад Напред

Внимание! Прегледите на слајдовите се само за информативни цели и може да не ги претставуваат сите карактеристики на презентацијата. Ако сте заинтересирани оваа работа, ве молиме преземете ја целосната верзија.

Цели на лекцијата:

Образовни:

систематизира знаење за обични дропки;
повторете ги правилата за собирање и одземање дропки со слични именители;
повторете ги правилата за собирање и одземање дропки со различни именители.

Образовни:

развиваат внимание, говор, меморија, логично размислување, независност.

Образовни:

негувајте желба за постигнување на целта; самодоверба, способност за тимска работа.

Знајте:правила за собирање и одземање на дропки со слични и не слични именители.

Тип на лекција:лекција за генерализација и систематизација на знаењата.

Опрема:екран, мултимедија, презентација „Собирање и одземање обични дропки“ (Прилог 1), модел на обична дропка (слика 1); формулар со тест, табела со одговори (слика 2), емотикони за размислување (слика 3), нацртана елка (слика 4).

Бр.	Фаза на лекција	Време	Сценски задачи
1.	Организациски момент.	3 мин.	Подгответе ги учениците за лекцијата.
2.	Ажурирање на знаењето. Повторување на покриен материјал.	10 мин.	Прегледајте правилни и неправилни дропки, намалувајќи ги дропките, доведувајќи ги дропките до нов именител, истакнувајќи го целиот дел.
3.	Примена на правилата за собирање и одземање обични дропкисо исти именители.	10 мин.	Прегледајте го собирањето и одземањето на заеднички дропки со слични именители.
4.	Минута за физичко образование.	3 мин.	Ослободете го заморот на детето, обезбедете активен одмор и зголемете ги менталните перформанси на учениците.
5.	Примена на правилата за собирање и одземање на заеднички дропки со различни именители.	13 мин.	Преглед на собирање и одземање на заеднички дропки со различни именители.
6.	Домашна задача.	2 мин.	Упатство за домашна задача.
7.	Резиме на лекција.	4 мин.	Сумирајќи. Оценување.

Рефлексија.

Напредокот на лекцијата

1). Организациски момент.

- „Собирање и одземање на обични дропки“.

2). Ажурирање на знаењето. Повторување на покриен материјал. (Слајд бр. 1).

а) Денес ќе ја започнеме лекцијата со аукција. Достапно е само еден куп: „обична фракција“ (Слика 1). Да се потсетиме што знаеме за обичните дропки:

броител;

Именителот;

Дробна шипка - поделба;

Вклучено бделиме делови, земаме Атакви делови;

Точно;

Неточно;

Изберете цел дел;

Намали;

Намалување на нов именител;

Примери.

Кој последен зборувал за заедничка дропка добива модел на заедничка дропка.

б) Ајде да го консолидираме нашето знаење со полагање на тестот(образец за одговор, задача бр. 1, слајд бр. 2).

ТЕСТ

1. Најдете ја точната дропка:

А); Б) ; ВО) .

2. Најдете ја неправилната дропка:

А); Б) ; ВО) .

3. Намали ја дропката:

А); Б) ; ВО) .

4. Намали ја дропката на именителот 28:

А); Б) ; ВО) .

5. Изберете го целиот дел:

А); Б) ; ВО) .

Одговорите се внесуваат во табелата.

1 2 3 4 5

Да резимираме:

5 „+“ ознака 5,
4 „+“ ознака 4,
3 „+“ ознака 3.

3).Примена на правилата за собирање и одземање на обични дропки со слични именители.

Кои обични дропки можеме да ги додадеме?

Дропки со слични и различни именители (слајд број 3).

Да повториме собирање дропки со исти именители.

За да додадете две дропки со исти именители, треба да ги соберете нивните броители и да го оставите именителот непроменет.

За да одземете дропки со исти именители, треба да го одземете броителот на минуендот од броителот на минуендот и да го оставите именителот непроменет.

Ајде да го консолидираме знаењето во пракса.

Од учениците се бара усно да ги пресметаат примерите и да ги запишат одговорите на листот со одговори за задача бр.2.

Разменете тетратки и извршете меѓусебни проверки.

Да резимираме:

9-8 „+“ ознака 5,
7-6 „+“ ознака 4,
5 „+“ ознака 3.

4). Минута за физичко образование.

5). Примена на правилата за собирање и одземање на заеднички дропки со различни именители.

Додадовме дропки со исти именители. Што треба да се направи за да се соберат обични дропки со различни именители?(слајд број 4).

За да собирате и одземате дропки со различни именители, треба да ги намалите дропките на заеднички именител со наоѓање дополнителни фактори. Врши собирање и одземање на обични дропки со исти именители.

Дејства со дропки.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Значи, што се дропки, видови дропки, трансформации - се сетивме. Ајде да дојдеме до главното прашање.

Што можете да направите со дропките?Да, сè е исто како кај обичните броеви. Додавање, одземање, множење, делење.

Сите овие акции со децималнаработата со дропки не се разликува од работата со цели броеви. Всушност, тоа е она што е добро за нив, децимали. Единственото нешто е што треба правилно да ставите запирка.

Мешани броеви, како што веќе реков, се од мала корист за повеќето акции. Тие сè уште треба да се претворат во обични фракции.

Но, дејствијата со обични дропкиќе бидат поитри. И многу поважно! Да те потсетам: сите дејства со дробни изрази со букви, синуси, непознати и така натаму и така натаму не се разликуваат од дејствата со обични дропки! Операциите со обични дропки се основа за целата алгебра. Токму поради оваа причина, овде детално ќе ја анализираме сета оваа аритметика.

Собирање и одземање дропки.

Секој може да собира (одзема) дропки со исти именители (навистина се надевам!). Па, да ги потсетам оние кои се целосно заборавени: при собирање (одземање), именителот не се менува. Броителите се собираат (одземаат) за да се добие броителот на резултатот. Тип:

Накратко, во општ поглед:

Што ако именителот се различни? Потоа, користејќи го основното својство на дропка (еве пак добро ни доаѓа!), ги правиме именителот исти! На пример:

Тука моравме да ја направиме дропот 4/10 од дропот 2/5. Со единствена цел именителите да бидат исти. Да забележам, за секој случај, дека 2/5 и 4/10 се истата дропка! Само 2/5 ни се непријатни, а 4/10 се навистина океј.

Патем, ова е суштината на решавање на какви било математички проблеми. Кога ние од непријатноправиме изрази истото, но попогодно за решавање.

Друг пример:

Слична е ситуацијата. Овде правиме 48 од 16. Со едноставно множење со 3. Сето ова е јасно. Но, наидовме на нешто како:

Како да се биде?! Тешко е да се направи девет од седум! Но, ние сме паметни, ги знаеме правилата! Ајде да се трансформираме секојдропка така што именителот се исти. Ова се нарекува „сведување на заеднички именител“:

Леле! Како знаев за 63? Многу едноставно! 63 е број кој истовремено се дели со 7 и 9. Таков број секогаш може да се добие со множење на именителот. Ако помножиме број со 7, на пример, тогаш резултатот сигурно ќе биде делив со 7!

Ако треба да соберете (одземете) неколку дропки, нема потреба тоа да го правите во парови, чекор по чекор. Треба само да го пронајдете именителот заеднички за сите дропки и да ја намалите секоја дропка на истиот именител. На пример:

А кој ќе биде заедничкиот именител? Се разбира, можете да помножите 2, 4, 8 и 16. Добиваме 1024. Кошмар. Полесно е да се процени дека бројот 16 е совршено делив со 2, 4 и 8. Затоа, од овие броеви лесно е да се добие 16. Овој број ќе биде заеднички именител. Да го претвориме 1/2 во 8/16, 3/4 во 12/16 итн.

Патем, ако земете 1024 за заеднички именител, се ќе успее, на крајот се ќе се намали. Но, не секој ќе дојде до оваа цел, поради калкулациите ...

Дополнете го сами примерот. Не некаков логаритам... Треба да испадне 29/16.

Значи, собирањето (одземањето) на дропки е јасно, се надевам? Се разбира, полесно е да се работи во скратена верзија, со дополнителни мултипликатори. Но, ова задоволство им е достапно на оние кои чесно работеле во пониските одделенија... И ништо не заборавиле.

И сега ќе ги правиме истите дејства, но не со дропки, туку со фракциони изрази. Овде ќе се открие ново гребло, да...

Значи, треба да додадеме два фракциони изрази:

Треба да ги направиме именителите исти. И само со помош множење! Ова е она што го диктира главното својство на дропка. Затоа, не можам да додадам еден на X во првата дропка во именителот. (тоа би било убаво!). Но, ако ги помножите именителот, гледате, сè расте заедно! Така, ја запишуваме линијата на дропката, оставаме празно место на врвот, потоа ја додаваме и го запишуваме производот од именителот подолу, за да не заборавиме:

И, се разбира, ништо не множиме на десната страна, не ги отвораме заградите! И сега, гледајќи го заедничкиот именител на десната страна, сфаќаме: за да го добиете именителот x(x+1) во првата дропка, треба да ги помножите броителот и именителот на оваа дропка со (x+1) . И во втората дропка - до x. Ова е она што го добивате:

Обрнете внимание! Еве ги заградите! Ова е гребло на кое газат многу луѓе. Не загради, се разбира, туку нивно отсуство. Заградите се појавуваат затоа што се множиме ситеброител и ситеименител! А не нивните поединечни парчиња...

Во броителот од десната страна го пишуваме збирот на броителите, се е како во нумеричките дропки, потоа ги отвораме заградите во броителот од десната страна, т.е. Се множиме и даваме слични. Нема потреба да се отвораат заградите во именителот или да се множи било што! Во принцип, во именители (било кој) производот е секогаш попријатен! Добиваме:

Така го добивме одговорот. Процесот изгледа долг и тежок, но зависи од практиката. Откако ќе ги решите примерите, навикнете се, сè ќе стане едноставно. Оние кои навремено ги совладале дропките, сите овие операции ги прават со едната лева рака, автоматски!

И уште една забелешка. Многумина паметно се справуваат со дропки, но се заглавуваат на примери со целинаброеви. Како: 2 + 1/2 + 3/4= ? Каде да се прицврсти дводелот? Не треба никаде да го прицврстите, треба да направите фракција од два. Не е лесно, но многу едноставно! 2=2/1. Вака. Секој цел број може да се напише како дропка. Бројачот е самиот број, именителот е еден. 7 е 7/1, 3 е 3/1 и така натаму. Исто е и со буквите. (а+б) = (а+б)/1, х=х/1 итн. И тогаш работиме со овие дропки според сите правила.

Па, се освежија знаењата за собирање и одземање на дропки. Се повторуваше претворањето на дропки од еден тип во друг. Можете исто така да се проверите. Да се средиме малку?)

Пресметајте:

Одговори (во неред):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Множење/делење на дропки - во следниот час. Има и задачи за сите операции со дропки.

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Оваа статија го започнува проучувањето на операциите со алгебарски дропки: детално ќе ги разгледаме операциите како собирање и одземање на алгебарски фракции. Да ја анализираме шемата за собирање и одземање на алгебарски дропки и со исти и со различни именители. Ајде да научиме како да додадеме алгебарска дропка со полином и како да ги одземеме. Вклучено конкретни примериЌе го објасниме секој чекор во изнаоѓање решенија за проблемите.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Операции со собирање и одземање со еднакви именители

Шемата за собирање обични дропки е применлива и за алгебарските. Знаеме дека кога собирате или одземате заеднички дропки со слични именители, мора да ги собирате или одземете нивните броители, но именителот останува ист.

На пример: 3 7 + 2 7 = 3 + 2 7 = 5 7 и 5 11 - 4 11 = 5 - 4 11 = 1 11.

Според тоа, правилото за собирање и одземање на алгебарски дропки со слични именители е напишано на сличен начин:

Дефиниција 1

За да додадете или одземете алгебарски дропки со слични именители, треба да ги соберете или одземете броителите на оригиналните дропки, соодветно, и да го напишете именителот непроменет.

Ова правило овозможува да се заклучи дека резултатот од собирањето или одземањето на алгебарските дропки е нова алгебарска дропка (во одреден случај: полином, моном или број).

Да наведеме пример за примена на формулираното правило.

Пример 1

Дадените алгебарски дропки се: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 и 3 - x · y x 2 · y - 2 . Неопходно е да ги додадете.

Решение

Оригиналните дропки ги содржат истите именители. Според правилото ќе извршиме собирање на броителите на дадените дропки, а именителот ќе го оставиме непроменет.

Со собирање на полиномите кои се броители на оригиналните дропки, добиваме: x 2 + 2 x y − 5 + 3 − x y = x 2 + (2 x y − x y) − 5 + 3 = x 2 + x y − 2.

Тогаш потребната сума ќе се запише како: x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2.

Во пракса, како и во многу случаи, решението е дадено со синџир на еднаквости, јасно прикажувајќи ги сите фази на решението:

x 2 + 2 x y - 5 x 2 y - 2 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + 2 x y - 5 + 3 - x y x 2 y - 2 = x 2 + x y - 2 x 2 y - 2

Одговор: x 2 + 2 · x · y - 5 x 2 · y - 2 + 3 - x · y x 2 · y - 2 = x 2 + x · y - 2 x 2 · y - 2 .

Резултатот од собирањето или одземањето може да биде редуцирана дропка, во тој случај оптимално е да се намали.

Пример 2

Потребно е да се одземе дропката 2 · y x 2 - 4 · y 2 од алгебарската дропка x x 2 - 4 · y 2 .

Решение

Именителот на првобитните дропки се еднакви. Ајде да извршиме операции со броителите, имено: да го одземеме броителот на вториот од броителот на првата дропка, а потоа да го напишеме резултатот, оставајќи го именителот непроменет:

x x 2 - 4 y 2 - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y x 2 - 4 y 2

Гледаме дека добиената фракција е редуцирана. Ајде да го намалиме со трансформирање на именителот користејќи ја формулата за квадратна разлика:

x - 2 y x 2 - 4 y 2 = x - 2 y (x - 2 y) (x + 2 y) = 1 x + 2 y

Одговор: x x 2 - 4 · y 2 - 2 · y x 2 - 4 · y 2 = 1 x + 2 · y.

Користејќи го истиот принцип, се собираат или одземаат три или повеќе алгебарски дропки со исти именители. На пример:

1 x 5 + 2 x 3 - 1 + 3 x - x 4 x 5 + 2 x 3 - 1 - x 2 x 5 + 2 x 3 - 1 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1 = 1 + 3 x - x 4 - x 2 - 2 x 3 x 5 + 2 x 3 - 1

Операции со собирање и одземање со различни именители

Ајде повторно да ја разгледаме шемата на операции со обични дропки: за да соберете или одземете обични дропки со различни именители, треба да ги доведете до заеднички именител, а потоа да ги додадете добиените дропки со исти именители.

На пример, 2 5 + 1 3 = 6 15 + 5 15 = 11 15 или 1 2 - 3 7 = 7 14 - 6 14 = 1 14.

Исто така, по аналогија, го формулираме правилото за собирање и одземање на алгебарски дропки со различни именители:

Дефиниција 2

За да додадете или одземете алгебарски дропки со различни именители, мора:

доведете ги оригиналните дропки до заеднички именител;
врши собирање или одземање на добиените дропки со исти именители.

Очигледно, клучот овде ќе биде умешноста за намалување на алгебарските дропки на заеднички именител. Ајде да погледнеме подетално.

Намалување на алгебарските дропки на заеднички именител

За да се доведат алгебарските дропки до заеднички именител, неопходно е да се изврши идентична трансформација на дадените дропки, како резултат на што именители на првобитните дропки стануваат исти. Овде е оптимално да се дејствува на следниот алгоритамНамалување на алгебарските дропки на заеднички именител:

прво го одредуваме заедничкиот именител на алгебарските дропки;
тогаш наоѓаме дополнителни фактори за секоја од дропките со делење на заедничкиот именител со именителот на првобитните дропки;
Последното дејство е да се помножат броителите и именителот на дадените алгебарски дропки со соодветните дополнителни фактори.

Пример 3

Дадени се алгебарските дропки: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 , a + 3 3 · a 2 - 6 · a и a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 . Неопходно е да се доведат до заеднички именител.

Решение

Постапуваме според горенаведениот алгоритам. Да го одредиме заедничкиот именител на првобитните дропки. За таа цел ги факторизираме именителот на дадените дропки: 2 a 3 − 4 a 2 = 2 a 2 (a − 2), 3 a 2 − 6 a = 3 a (a − 2) и 4 a 5 − 16 a 3 = 4 a 3 (a − 2) (a + 2). Од тука можеме да го напишеме заедничкиот именител: 12 a 3 (a − 2) (a + 2).

Сега треба да најдеме дополнителни фактори. Дозволете ни да го поделиме, според алгоритмот, пронајдениот заеднички именител на именители на оригиналните дропки:

за првата дропка: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (2 · a 2 · (a − 2)) = 6 · a · (a + 2) ;
за втората дропка: 12 · a 3 · (a − 2) · (a + 2) : (3 · a · (a − 2)) = 4 · a 2 · (a + 2);
за третата дропка: 12 a 3 (a − 2) (a + 2) : (4 a 3 (a − 2) (a + 2)) = 3 .

Следниот чекор е да се помножат броителите и именители на дадените дропки со пронајдените дополнителни фактори:

a + 2 2 a 3 - 4 a 2 = (a + 2) 6 a (a + 2) (2 a 3 - 4 a 2) 6 a (a + 2) = 6 a (a + 2) 2 12 a 3 (а - 2) (а + 2) а + 3 3 а 2 - 6 а = (а + 3) 4 а 2 ( а + 2) 3 а 2 - 6 а 4 а 2 (а + 2) = 4 a 2 (a + 3) (a + 2) 12 a 3 (a - 2) · (a + 2) a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = (a + 1) · 3 (4 · a 5 - 16 · а 3) · 3 = 3 · (а + 1) 12 · а 3 (а - 2) (а + 2)

Одговор: a + 2 2 · a 3 - 4 · a 2 = 6 · a · (a + 2) 2 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 3 3 · a 2 - 6 · a = 4 · a 2 · (a + 3) · (a + 2) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) ; a + 1 4 · a 5 - 16 · a 3 = 3 · (a + 1) 12 · a 3 · (a - 2) · (a + 2) .

Значи, ги намаливме оригиналните дропки на заеднички именител. Доколку е потребно, тогаш можете да го претворите добиениот резултат во форма на алгебарски дропки со множење на полиноми и мономи во броителите и именителот.

Дозволете ни да ја разјасниме оваа точка: оптимално е да се остави пронајдениот заеднички именител во форма на производ во случај кога е неопходно да се намали конечната фракција.

Детално ја испитавме шемата за намалување на почетните алгебарски дропки на заеднички именител, сега можеме да започнеме да анализираме примери на собирање и одземање дропки со различни именители.

Пример 4

Дадените алгебарски дропки се: 1 - 2 x x 2 + x и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2. Неопходно е да се изврши дејството на нивното додавање.

Решение

Оригиналните дропки имаат различни именители, така што првиот чекор е да ги доведете до заеднички именител. Ги факторизираме именителот: x 2 + x = x · (x + 1) , и x 2 + 3 x + 2 = (x + 1) (x + 2) ,бидејќи корени на квадратен трином x 2 + 3 x + 2овие броеви се: - 1 и - 2. Го одредуваме заедничкиот именител: x (x + 1) (x + 2), тогаш дополнителните фактори ќе бидат: x+2И – xза првата и втората дропка, соодветно.

Така: 1 - 2 x x 2 + x = 1 - 2 x x (x + 1) = (1 - 2 x) (x + 2) x (x + 1) (x + 2) = x + 2 - 2 x 2 - 4 x x (x + 1) x + 2 = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) и 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x + 5 (x + 1) (x + 2) = 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 · x 2 + 5 · x x · (x + 1) · (x + 2)

Сега да ги додадеме дропките што ги доведовме до заеднички именител:

2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 2 x x (x + 1) (x + 2)

Добиената фракција може да се намали со заеднички фактор x+1:

2 + 2 x x (x + 1) (x + 2) = 2 (x + 1) x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2)

И, конечно, го запишуваме добиениот резултат во форма на алгебарска дропка, заменувајќи го производот во именителот со полином:

2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Дозволете ни да го запишеме процесот на решавање накратко во форма на синџир на еднаквости:

1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 1 - 2 x x (x + 1) + 2 x + 5 (x + 1) (x + 2 ) = = 1 - 2 x (x + 2) x x + 1 x + 2 + 2 x + 5 x (x + 1) (x + 2) x = 2 - 2 x 2 - 3 x x (x + 1) (x + 2) + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = = 2 - 2 x 2 - 3 x + 2 x 2 + 5 x x (x + 1) (x + 2) = 2 x + 1 x (x + 1) (x + 2) = 2 x (x + 2) = 2 x 2 + 2 x

Одговор: 1 - 2 x x 2 + x + 2 x + 5 x 2 + 3 x + 2 = 2 x 2 + 2 x

Обрнете внимание на овој детал: пред да додадете или одземате алгебарски фракции, ако е можно, препорачливо е да ги трансформирате за да се поедностават.

Пример 5

Потребно е да се одземат дропки: 2 1 1 3 · x - 2 21 и 3 · x - 1 1 7 - 2 · x.

Решение

Ајде да ги трансформираме оригиналните алгебарски дропки за да го поедноставиме понатамошното решение. Да ги извадиме нумеричките коефициенти на променливите во именителот надвор од загради:

2 1 1 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 2 21 = 2 4 3 x - 1 14 и 3 x - 1 1 7 - 2 x = 3 x - 1 - 2 x - 1 14

Оваа трансформација јасно ни даде придобивка: јасно го гледаме присуството на заеднички фактор.

Ајде целосно да се ослободиме од нумеричките коефициенти во именителот. За да го направите ова, го користиме главното својство на алгебарските дропки: ги множиме броителот и именителот на првата дропка со 3 4, а втората со - 1 2, тогаш добиваме:

2 4 3 x - 1 14 = 3 4 2 3 4 4 3 x - 1 14 = 3 2 x - 1 14 и 3 x - 1 - 2 x - 1 14 = - 1 2 3 x - 1 - 1 2 · - 2 · x - 1 14 = - 3 2 · x + 1 2 x - 1 14 .

Ајде да извршиме дејство што ќе ни овозможи да се ослободиме од фракционите коефициенти: помножете ги добиените фракции со 14:

3 2 x - 1 14 = 14 3 2 14 x - 1 14 = 21 14 x - 1 и - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = 14 - 3 2 x + 1 2 x - 1 14 = - 21 · x + 7 14 · x - 1.

Конечно, да го извршиме дејството што се бара во изјавата за проблемот - одземање:

2 1 1 3 x - 2 21 - 3 x - 1 1 7 - 2 x = 21 14 x - 1 - - 21 x + 7 14 x - 1 = 21 - - 21 x + 7 14 · x - 1 = 21 · x + 14 14 · x - 1

Одговор: 2 1 1 3 · x - 2 21 - 3 · x - 1 1 7 - 2 · x = 21 · x + 14 14 · x - 1 .

Собирање и одземање алгебарски дропки и полиноми

Ова дејство се сведува и на собирање или одземање на алгебарски дропки: потребно е да се претстави оригиналниот полином како дропка со именител 1.

Пример 6

Потребно е да се додаде полином x 2 − 3со алгебарската дропка 3 x x + 2.

Решение

Да го запишеме полиномот како алгебарска дропка со именител 1: x 2 - 3 1

Сега можеме да извршиме собирање според правилото за собирање дропки со различни именители:

x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 1 + 3 x x + 2 = x 2 - 3 (x + 2) 1 x + 2 + 3 x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 x + 2 + 3 · x x + 2 = x 3 + 2 · x 2 - 3 · x - 6 + 3 · x x + 2 = = x 3 + 2 · x 2 - 6 x + 2

Одговор: x 2 - 3 + 3 x x + 2 = x 3 + 2 x 2 - 6 x + 2.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter

Дропките се обични броеви и можат да се собираат и одземаат. Но, бидејќи имаат именител, тие бараат посложени правила отколку за цели броеви.

Да го разгледаме наједноставниот случај, кога има две дропки со исти именители. Потоа:

За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет.

За да одземете дропки со исти именители, треба да го одземете броителот на вториот од броителот на првата дропка и повторно да го оставите именителот непроменет.

Во секој израз, именителите на дропките се еднакви. Со дефиниција за собирање и одземање дропки добиваме:

Како што можете да видите, не е ништо комплицирано: ние само ги собираме или одземаме броителите и тоа е тоа.

Но, и во такви едноставни постапки, луѓето успеваат да направат грешки. Она што најчесто се заборава е дека именителот не се менува. На пример, кога ги собираат, тие исто така почнуваат да собираат, и ова е фундаментално погрешно.

Ослободете се од лоша навикаДодавањето именители е прилично едноставно. Пробајте го истото кога одземате. Како резултат на тоа, именителот ќе биде нула, а дропката (одеднаш!) ќе го изгуби своето значење.

Затоа, запомнете еднаш засекогаш: при собирање и одземање, именителот не се менува!

Многу луѓе исто така грешат кога додаваат неколку негативни дропки. Има конфузија со знаците: каде да се стави минус и каде да се стави плус.

Овој проблем е исто така многу лесен за решавање. Доволно е да се запамети дека минусот пред знакот на дропка секогаш може да се пренесе на броителот - и обратно. И, се разбира, не заборавајте две едноставни правила:

Плус по минус дава минус;
Два негатива прават потврден.

Да го погледнеме сето ова со конкретни примери:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Во првиот случај, сè е едноставно, но во вториот, да додадеме минуси на броителите на дропките:

Што да направите ако именителот се различни

Не можете директно да додавате дропки со различни именители. Од страна на барем, не го знам овој метод. Сепак, оригиналните дропки секогаш може да се препишат така што именителот ќе стане ист.

Постојат многу начини за претворање на дропки. Три од нив се дискутирани во лекцијата „Намалување на дропките на заеднички именител“, па затоа нема да се задржиме на нив овде. Ајде да погледнеме неколку примери:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Во првиот случај, ги намалуваме дропките на заеднички именител користејќи го методот „вкрстен“. Во вториот ќе го бараме НОК. Забележете дека 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последните фактори во овие проширувања се еднакви, а првите се релативно прости. Затоа, LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.

Што да направите ако дропка има цел број

Можам да ве задоволи: различните именители во дропки не се најголемото зло. Многу повеќе грешки се случуваат кога целиот дел е означен во додадените фракции.

Се разбира, за такви фракции има сопственички алгоритмисобирање и одземање, но тие се доста сложени и бараат многу учење. Подобра употреба едноставен дијаграм, дадено подолу:

Претворете ги сите дропки што содржат цел број во неправилни. Добиваме нормални термини (дури и со различни именители), кои се пресметуваат според правилата дискутирани погоре;
Всушност, пресметајте го збирот или разликата на добиените фракции. Како резултат на тоа, практично ќе го најдеме одговорот;
Ако ова е се што се бараше во проблемот, ја извршуваме инверзната трансформација, т.е. Се ослободуваме од неправилна дропка со истакнување на целиот дел.

Правилата за преместување на неправилни дропки и истакнување на целиот дел се детално опишани во лекцијата „Што е нумеричка дропка“. Ако не се сеќавате, задолжително повторете го. Примери:

Задача. Најдете го значењето на изразот:

Сè е едноставно овде. Именителот во секој израз се еднакви, така што останува само да се претворат сите дропки во неправилни и да се избројат. Имаме:

За да ги поедноставам пресметките, прескокнав некои очигледни чекори во последните примери.

Мала забелешка за последните два примери, каде што се одземаат дропките со означените цел дел. Минусот пред втората дропка значи дека се одзема целата дропка, а не само целиот нејзин дел.

Повторно прочитајте ја оваа реченица, погледнете ги примерите - и размислете за тоа. Ова е местото каде што почетниците признаваат огромна сумагрешки. Обожаваат да им даваат такви задачи тестови. Со нив неколку пати ќе се сретнете и во тестовите за овој час, кои ќе бидат објавени наскоро.

Резиме: општа шема за пресметка

Како заклучок ќе дадам општ алгоритам, што ќе ви помогне да го пронајдете збирот или разликата на две или повеќе дропки:

Ако една или повеќе дропки имаат цел број, претворете ги овие дропки во неправилни;
Доведете ги сите дропки до заеднички именител на кој било начин погоден за вас (освен, се разбира, ако тоа го направиле пишувачите на проблемите);
Добивајте или одземете ги добиените броеви според правилата за собирање и одземање дропки со слични именители;
Ако е можно, скратете го резултатот. Ако дропката е неточна, изберете го целиот дел.

Запомнете дека е подобро да го истакнете целиот дел на самиот крај на задачата, веднаш пред да го запишете одговорот.

Содржина на лекцијата

Собирање на дропки со слични именители

Постојат два вида на собирање на дропки:

Собирање на дропки со слични именители
Собирање на дропки со различни именители

Прво, да научиме собирање дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да додадете дропки со исти именители, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет. На пример, да ги додадеме дропките и . Додадете ги броителите и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако додадете пица на пицата, добивате пица:

Пример 2.Додадете дропки и .

Одговорот не беше соодветна дропка. Кога ќе дојде крајот на задачата, вообичаено е да се ослободите од несоодветните фракции. За да се ослободите од несоодветна фракција, треба да го изберете целиот дел од неа. Во нашиот случај, целиот дел е лесно изолиран - два поделени со два еднакви:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пица која е поделена на два дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате една цела пица:

Пример 3. Додадете дропки и .

Повторно, ги собираме броителите и го оставаме именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако додадете повеќе пица на пицата, добивате пица:

Пример 4.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Броителите мора да се додадат, а именителот да остане непроменет:

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пици на пица и додадете повеќе пици, ќе добиете 1 цела пица и повеќе пици.

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во собирањето дропки со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

За да додадете дропки со ист именител, треба да ги додадете нивните броители и да го оставите именителот непроменет;

Собирање на дропки со различни именители

Сега да научиме како да собираме дропки со различни именители. При собирање дропки, именителите на дропките мора да бидат исти. Но, тие не се секогаш исти.

На пример, дропките може да се додаваат затоа што имаат исти именители.

Но, дропките не можат веднаш да се соберат, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Постојат неколку начини за намалување на дропките на ист именител. Денес ќе разгледаме само еден од нив, бидејќи другите методи може да изгледаат комплицирани за почетник.

Суштината на овој метод е дека прво се пребарува LCM на именители на двете дропки. LCM потоа се дели со именителот на првата дропка за да се добие првиот дополнителен фактор. Истото го прават и со втората дропка - LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор.

Броителите и именителот на дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие дејства, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки.

Пример 1. Да ги собереме дропките и

Како прво, го наоѓаме најмалиот заеднички множител на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 2. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 6

LCM (2 и 3) = 6

Сега да се вратиме на дропките и . Прво, поделете го LCM со именителот на првата дропка и добијте го првиот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 6 со 3, добиваме 2.

Добиениот број 2 е првиот дополнителен множител. Го запишуваме до првата дропка. За да го направите ова, направете мала коси линија над дропот и запишете го дополнителниот фактор што се наоѓа над неа:

Истото го правиме и со втората дропка. LCM го делиме со именителот на втората дропка и го добиваме вториот дополнителен фактор. LCM е бројот 6, а именителот на втората дропка е бројот 2. Поделете 6 со 2, добиваме 3.

Добиениот број 3 е вториот дополнителен множител. Го запишуваме до втората дропка. Повторно, правиме мала коси линија над втората дропка и го запишуваме дополнителниот фактор пронајден над неа:

Сега имаме сè подготвено за додавање. Останува да се помножат броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни фактори:

Погледнете внимателно до што дојдовме. Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да собираме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Ова го комплетира примерот. Излегува да се додаде .

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако додадете пица на пица, добивате една цела пица и уште една шестина од пица:

Намалувањето на дропките на ист (заеднички) именител може да се прикаже и со помош на слика. Намалувајќи ги дропките и на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие две фракции ќе бидат претставени со исти парчиња пица. Единствената разлика ќе биде што овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви акции (сведени на ист именител).

Првиот цртеж претставува дропка (четири парчиња од шест), а вториот цртеж претставува дропка (три дела од шест). Додавајќи ги овие парчиња добиваме (седум парчиња од шест). Оваа дропка е неправилна, па затоа го истакнавме целиот дел од неа. Како резултат на тоа, добивме (една цела пица и друга шеста пица).

Ве молиме имајте предвид дека овој пример го опишавме премногу детално. ВО образовните институцииНе е вообичаено да се пишува толку детално. Треба да можете брзо да го најдете LCM на именителот и дополнителните фактори за нив, како и брзо да ги помножите пронајдените дополнителни фактори со вашите броителите и именители. Ако бевме на училиште, ќе требаше да го напишеме овој пример на следниов начин:

Но, исто така постои задната странамедали. Ако не земате детални белешки во првите фази од изучувањето на математиката, тогаш почнуваат да се појавуваат прашања од тој вид. „Од каде доаѓа тој број?“, „Зошто дропките одеднаш се претвораат во сосема различни дропки? «.

За полесно да додавате дропки со различни именители, можете да ги користите следните чекор-по-чекор инструкции:

Најдете LCM на именители на дропки;
Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка;
Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители;
Додадете дропки кои имаат исти именители;
Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел;

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот .

Ајде да ги користиме упатствата дадени погоре.

Чекор 1. Најдете го LCM на именителот на дропките

Најдете го LCM на именителот на двете дропки. Именители на дропките се броевите 2, 3 и 4

Чекор 2. Поделете го LCM со именителот на секоја дропка и добијте дополнителен фактор за секоја дропка

Поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 2. Поделете 12 со 2, добиваме 6. Го добивме првиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над првата дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Го добиваме вториот дополнителен фактор 4. Го запишуваме над втората дропка:

Сега го делиме LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на третата дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Го добиваме третиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над третата дропка:

Чекор 3. Помножете ги броителите и именителот на дропките со нивните дополнителни множители

Ги множиме броителите и именителот со нивните дополнителни фактори:

Чекор 4. Додадете дропки со исти именители

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. Останува само да се додадат овие фракции. Додај го:

Додавањето не одговараше на една линија, па го преместивме преостанатиот израз во следниот ред. Ова е дозволено во математиката. Кога изразот не одговара на една линија, тој се преместува во следниот ред, и потребно е да се стави знак за еднаквост (=) на крајот од првиот ред и на почетокот на новиот ред. Знакот за еднаквост на вториот ред покажува дека ова е продолжение на изразот што беше на првиот ред.

Чекор 5. Ако одговорот се покаже дека е неправилна дропка, тогаш изберете го целиот негов дел

Нашиот одговор се покажа како неправилна дропка. Мораме да истакнеме цел дел од тоа. Истакнуваме:

Добивме одговор

Одземање на дропки со слични именители

Постојат два вида на одземање на дропки:

Одземање на дропки со слични именители
Одземање на дропки со различни именители

Прво, да научиме како да одземаме дропки со слични именители. Сè е едноставно овде. За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка, но именителот да го оставите ист.

На пример, да ја најдеме вредноста на изразот . За да го решите овој пример, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет. Ајде да го направиме ова:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на четири дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот.

Повторно, од броителот на првата дропка, одземете го броителот на втората дропка и оставете го именителот непроменет:

Овој пример може лесно да се разбере ако се потсетиме на пицата, која е поделена на три дела. Ако исечете пици од пица, добивате пици:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Овој пример е решен на ист начин како и претходните. Од броителот на првата дропка треба да ги одземете броителите на преостанатите дропки:

Како што можете да видите, нема ништо комплицирано во одземањето на дропките со исти именители. Доволно е да се разберат следниве правила:

За да одземете друга од една дропка, треба да го одземете броителот на втората дропка од броителот на првата дропка и да го оставите именителот непроменет;
Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, тогаш треба да го истакнете целиот дел од него.

Одземање на дропки со различни именители

На пример, може да одземе дропка од дропка бидејќи дропките имаат исти именители. Но, не можете да одземете дропка од дропка, бидејќи овие дропки имаат различни именители. Во такви случаи, дропките мора да се сведат на ист (заеднички) именител.

Заедничкиот именител се наоѓа користејќи го истиот принцип што го користевме кога собиравме дропки со различни именители. Најпрво пронајдете го LCM на именителот на двете дропки. Потоа LCM се дели со именителот на првата дропка и се добива првиот дополнителен фактор кој се запишува над првата дропка. Слично, LCM се дели со именителот на втората дропка и се добива втор дополнителен фактор кој е запишан над втората дропка.

Дропките потоа се множат со нивните дополнителни фактори. Како резултат на овие операции, дропките кои имале различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки.

Пример 1.Најдете го значењето на изразот:

Овие дропки имаат различни именители, затоа треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Прво го наоѓаме LCM на именителот на двете дропки. Именителот на првата дропка е бројот 3, а именителот на втората дропка е бројот 4. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 12

LCM (3 и 4) = 12

Сега да се вратиме на дропки и

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на првата дропка. LCM е бројот 12, а именителот на првата дропка е бројот 3. Поделете 12 со 3, добиваме 4. Запишете четворка над првата дропка:

Истото го правиме и со втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 12, а именителот на втората дропка е бројот 4. Поделете 12 со 4, добиваме 3. Запишете тројка над втората дропка:

Сега сме подготвени за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го земеме овој пример до крај:

Добивме одговор

Ајде да се обидеме да го прикажеме нашето решение користејќи цртеж. Ако ја исечете пицата од пица, добивате пица

Ова е деталната верзија на решението. Да бевме на училиште, овој пример ќе требаше да го решиме пократко. Таквото решение би изгледало вака:

Намалувањето на дропките до заеднички именител може да се прикаже и со помош на слика. Сведувајќи ги овие дропки на заеднички именител, ги добивме дропките и . Овие дропки ќе бидат претставени со исти парчиња пица, но овој пат тие ќе бидат поделени на еднакви делови (сведени на ист именител):

На првата слика е прикажана дропка (осум парчиња од дванаесет), а на втората слика е прикажана дропка (три парчиња од дванаесет). Со сечење три парчиња од осум парчиња, добиваме пет парчиња од дванаесет. Дропката ги опишува овие пет парчиња.

Пример 2.Најдете ја вредноста на изразот

Овие дропки имаат различни именители, па прво треба да ги намалите на ист (заеднички) именител.

Да го најдеме LCM на именителот на овие дропки.

Именители на дропките се броевите 10, 3 и 5. Најмалиот заеднички множител од овие броеви е 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Сега наоѓаме дополнителни фактори за секоја дропка. За да го направите ова, поделете го LCM со именителот на секоја дропка.

Ајде да најдеме дополнителен фактор за првата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на првата дропка е бројот 10. Поделете 30 со 10, го добиваме првиот дополнителен фактор 3. Го запишуваме над првата дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за втората дропка. Поделете го LCM со именителот на втората дропка. LCM е бројот 30, а именителот на втората дропка е бројот 3. Поделете 30 со 3, го добиваме вториот дополнителен фактор 10. Го запишуваме над втората дропка:

Сега наоѓаме дополнителен фактор за третата дропка. Поделете го LCM со именителот на третата дропка. LCM е бројот 30, а именителот на третата дропка е бројот 5. Поделете 30 со 5, го добиваме третиот дополнителен фактор 6. Го запишуваме над третата дропка:

Сега сè е подготвено за одземање. Останува да се помножат дропките со нивните дополнителни фактори:

Дојдовме до заклучок дека дропките кои имаат различни именители се претвораат во дропки кои имаат исти (заеднички) именители. И ние веќе знаеме како да одземеме такви дропки. Да го завршиме овој пример.

Продолжението на примерот нема да се вклопи на една линија, па продолжението го преместуваме во следниот ред. Не заборавајте за знакот за еднаквост (=) на новата линија:

Одговорот се покажа како редовна дропка, и се чини дека сè ни одговара, но е премногу гломазен и грд. Треба да го направиме поедноставно. Што може да се направи? Можете да ја скратите оваа фракција.

За да намалите дропка, треба да ги поделите неговиот броител и именителот со (GCD) од броевите 20 и 30.

Значи, го наоѓаме gcd на броевите 20 и 30:

Сега се враќаме на нашиот пример и го делиме броителот и именителот на дропката со пронајдениот gcd, односно со 10

Добивме одговор

Множење на дропка со број

За да помножите дропка со број, треба да го помножите броителот на дропката со тој број и да го оставите именителот непроменет.

Пример 1. Помножете дропка со бројот 1.

Помножете го броителот на дропката со бројот 1

Снимката може да се сфати како да трае половина време. На пример, ако земете пица еднаш, добивате пица

Од законите за множење знаеме дека ако множителот и факторот се заменат, производот нема да се промени. Ако изразот е напишан како , тогаш производот сепак ќе биде еднаков на . Повторно, правилото за множење цел број и дропка функционира:

Оваа нотација може да се сфати како преземање на половина од еден. На пример, ако има 1 цела пица и земеме половина од неа, тогаш ќе имаме пица:

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на дропката со 4

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Изразот може да се сфати како преземање две четвртини 4 пати. На пример, ако земете 4 пици, ќе добиете две цели пици

И ако го замениме множителот и множителот, го добиваме изразот . Исто така, ќе биде еднакво на 2. Овој израз може да се сфати како преземање две пици од четири цели пици:

Бројот што се множи со дропката и именителот на дропката се решаваат ако имаат заеднички делител, поголем од еден.

На пример, изразот може да се оцени на два начина.

Првиот начин. Помножете го бројот 4 со броителот на дропката и оставете го именителот на дропката непроменет:

Втор начин. Четирите се множат и четирите во именителот на дропката може да се намалат. Овие четири може да се намалат за 4, бидејќи најголемиот заеднички делител за две четворки е самата четворка:

Го добивме истиот резултат 3. По намалувањето на четирите, на нивно место се формираат нови броеви: два. Но, множење на еден со три, а потоа делење со еден не менува ништо. Затоа, решението може да се напише накратко:

Намалувањето може да се изврши дури и кога решивме да го користиме првиот метод, но во фазата на множење на бројот 4 и броителот 3 решивме да го користиме намалувањето:

Но, на пример, изразот може да се пресмета само на првиот начин - помножете 7 со именителот на дропката и оставете го именителот непроменет:

Ова се должи на фактот дека бројот 7 и именителот на дропката немаат заеднички делител поголем од еден и соодветно не се откажуваат.

Некои ученици погрешно го скратуваат бројот што се множи и броителот на дропката. Не можете да го направите ова. На пример, следниов запис не е точен:

Намалувањето на дропка значи дека и броител и именителќе се подели со ист број. Во ситуацијата со изразот, поделбата се врши само во броителот, бидејќи пишувањето на ова е исто што и пишувањето. Гледаме дека делењето се врши само во броителот, а не се случува делење во именителот.

Множење на дропки

За да множите дропки, треба да ги помножите нивните броители и именители. Ако одговорот се испостави дека е неправилна дропка, треба да го истакнете целиот дел од него.

Пример 1.Најдете ја вредноста на изразот.

Добивме одговор. Препорачливо е да се намали оваа фракција. Дропката може да се намали за 2. Тогаш конечното решение ќе ја добие следната форма:

Изразот може да се разбере како да се земе пица од половина пица. Да речеме дека имаме половина пица:

Како да земете две третини од оваа половина? Прво треба да ја поделите оваа половина на три еднакви делови:

И земете две од овие три дела:

Ќе направиме пица. Запомнете како изгледа пица, поделена на три дела:

Едно парче од оваа пица и двете парчиња што ги земавме ќе имаат исти димензии:

Со други зборови, зборуваме за пица со иста големина. Затоа вредноста на изразот е

Пример 2. Најдете ја вредноста на изразот

Помножете го броителот на првата дропка со броителот на втората дропка, а именителот на првата дропка со именителот на втората дропка:

Одговорот беше несоодветна дропка. Да го истакнеме целиот дел од него:

Пример 3.Најдете ја вредноста на изразот

Одговорот се покажа како правилна дропка, но би било добро да се скрати. За да ја намалите оваа дропка, треба да ги поделите броителот и именителот на оваа дропка со најголемиот заеднички делител (GCD) од броевите 105 и 450.

Значи, да го најдеме gcd на броевите 105 и 450:

Сега ги делиме броителот и именителот на нашиот одговор со gcd што сега го најдовме, односно со 15

Претставување цел број како дропка

Секој цел број може да се претстави како дропка. На пример, бројот 5 може да се претстави како . Ова нема да го промени значењето на пет, бидејќи изразот значи „бројот пет поделен со еден“, а ова, како што знаеме, е еднакво на пет:

Реципрочни броеви

Сега ќе се запознаеме со многу интересна темапо математика. Тоа се нарекува „обратни броеви“.

Дефиниција. Обратно на бројота е број кој, кога ќе се помножи соа дава еден.

Ајде да ја замениме оваа дефиниција наместо променливата аброј 5 и обидете се да ја прочитате дефиницијата:

Обратно на бројот 5 е број кој, кога ќе се помножи со 5 дава еден.

Дали е можно да се најде број кој кога ќе се помножи со 5 дава еден? Излегува дека е можно. Да замислиме пет како дропка:

Потоа помножете ја оваа дропка сама по себе, само заменете ги броителот и именителот. Со други зборови, ајде да ја помножиме дропот сама по себе, само наопаку:

Што ќе се случи како резултат на ова? Ако продолжиме да го решаваме овој пример, ќе добиеме еден:

Ова значи дека инверзната на бројот 5 е бројот, бидејќи кога ќе помножите 5 со ќе добиете еден.

Реципроцитет на број може да се најде и за кој било друг цел број.

Можете да го најдете и реципроцитетот на која било друга дропка. За да го направите ова, само превртете го.

Делење дропка со број

Да речеме дека имаме половина пица:

Ајде да го поделиме подеднакво на две. Колку пица ќе добие секој човек?

Се гледа дека по делењето на половина од пицата се добиени две еднакви парчиња, од кои секое претставува пица. Значи секој добива пица.