Почетно ниво

Квадратни равенки. Сеопфатен водич (2019)

Во терминот „квадратна равенка“, клучниот збор е „квадратна“. Ова значи дека равенката нужно мора да содржи променлива (иста х) на квадрат и не треба да има xes до третата (или поголема) моќност.

Решението на многу равенки се сведува на точно решавање квадратни равенки.

Ајде да научиме да утврдиме дека ова е квадратна равенка, а не некоја друга равенка.

Пример 1.

Ајде да се ослободиме од именителот и да го помножиме секој член од равенката со

Ајде да преместиме сè на левата странаи подредете ги поимите по опаѓачки редослед на силите на x

Сега можеме со сигурност да кажеме дека оваа равенка е квадратна!

Пример 2.

Помножете ја левата и десната страна со:

Оваа равенка, иако првично беше во неа, не е квадратна!

Пример 3.

Ајде да помножиме сè со:

Страшно? Четвртиот и вториот степен... Меѓутоа, ако направиме замена, ќе видиме дека имаме едноставна квадратна равенка:

Пример 4.

Се чини дека е таму, но ајде да погледнеме подетално. Ајде да преместиме сè на левата страна:

Видете, тоа е намалено - и сега тоа е едноставна линеарна равенка!

Сега обидете се сами да одредите кои од следните равенки се квадратни, а кои не се:

Примери:

Одговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадрат;
4. не квадрат;
5. не квадрат;
6. квадрат;
7. не квадрат;
8. квадрат.

Математичарите конвенционално ги делат сите квадратни равенки на следниве типови:

• Целосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентите и, како и слободниот член c, не се еднакви на нула (како во примерот). Покрај тоа, меѓу целосните квадратни равенки постојат дадена- ова се равенки во кои коефициентот (равенката од примерот еден не само што е целосна, туку и намалена!)

• Нецелосни квадратни равенки- равенки во кои коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

  Тие се нецелосни бидејќи им недостасува некој елемент. Но, равенката секогаш мора да содржи x квадрат!!! Во спротивно веќе нема да биде квадратна равенка, туку некоја друга равенка.

Зошто дошле до ваква поделба? Се чини дека има X квадрат, и во ред. Оваа поделба се одредува со методите на решение. Ајде да го разгледаме секој од нив подетално.

Решавање на нецелосни квадратни равенки

Прво, да се фокусираме на решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се многу поедноставни!

Постојат типови на нецелосни квадратни равенки:

1. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.
2. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.
3. , во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

1. јас. Бидејќи знаеме како да го земеме квадратниот корен, ајде да ја искористиме оваа равенка за изразување

Изразот може да биде или негативен или позитивен. Квадрат број не може да биде негативен, бидејќи при множење на два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број, така што: ако, тогаш равенката нема решенија.

И ако, тогаш добиваме два корени. Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа е дека мора да знаете и секогаш да запомните дека не може да биде помалку.

Ајде да се обидеме да решиме неколку примери.

Пример 5:

Решете ја равенката

Сега останува само да се извлече коренот од левата и десната страна. На крајот на краиштата, се сеќавате како да извлечете корени?

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!!!

Пример 6:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 7:

Решете ја равенката

О! Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени!

За такви равенки кои немаат корени, математичарите излегоа со посебна икона - (празен сет). А одговорот може да се напише вака:

Одговор:

Така, оваа квадратна равенка има два корени. Овде нема ограничувања, бидејќи не го извадивме коренот.
Пример 8:

Решете ја равенката

Да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Така,

Оваа равенка има два корени.

Одговор:

Наједноставниот тип на нецелосни квадратни равенки (иако сите се едноставни, нели?). Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Овде ќе направиме без примери.

Решавање на целосни квадратни равенки

Потсетуваме дека целосна квадратна равенка е равенка на формата равенка каде

Решавањето на целосни квадратни равенки е малку потешко (само малку) од овие.

Запомнете Секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Останатите методи ќе ви помогнат да го направите тоа побрзо, но ако имате проблеми со квадратните равенки, прво совладајте го решението користејќи ја дискриминаторот.

1. Решавање на квадратни равенки со помош на дискриминант.

Решавањето на квадратните равенки со помош на овој метод е многу едноставно, главната работа е да се запамети низата дејства и неколку формули.

Ако, тогаш равенката има корен. посебно вниманиенаправи чекор. Дискриминантот () ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш формулата во чекорот ќе се сведе на. Така, равенката ќе има само корен.
• Ако, тогаш нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот на чекорот. Ова покажува дека равенката нема корени.

Да се ​​вратиме на нашите равенки и да погледнеме неколку примери.

Пример 9:

Решете ја равенката

Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има два корени.

Чекор 3.

Одговор:

Пример 10:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека равенката има еден корен.

Одговор:

Пример 11:

Решете ја равенката

Равенката е претставена во стандардна форма, па Чекор 1прескокнуваме.

Чекор 2.

Го наоѓаме дискриминаторот:

Ова значи дека нема да можеме да го извлечеме коренот на дискриминаторот. Нема корени на равенката.

Сега знаеме како правилно да ги запишеме таквите одговори.

Одговор:без корени

2. Решавање на квадратни равенки со помош на теоремата на Виета.

Ако се сеќавате, постои еден вид равенка што се нарекува намалена (кога коефициентот a е еднаков на):

Ваквите равенки се многу лесно да се решат користејќи ја теоремата на Виета:

Збир на корени даденаквадратната равенка е еднаква, а производот на корените е еднаков.

Пример 12:

Решете ја равенката

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи .

Збирот на корените на равенката е еднаков, т.е. ја добиваме првата равенка:

И производот е еднаков на:

Ајде да го составиме и решиме системот:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Одговор: ; .

Пример 13:

Решете ја равенката

Одговор:

Пример 14:

Решете ја равенката

Равенката е дадена, што значи:

Одговор:

КВАДРАТНИ РАВЕНКИ. СРЕДНО НИВО

Што е квадратна равенка?

Со други зборови, квадратна равенка е равенка на формата, каде што - непознатото, - некои броеви и.

Бројот се нарекува највисок или првиот коефициентквадратна равенка, - втор коефициент, А - слободен член.

Зошто? Затоа што ако равенката веднаш стане линеарна, затоа што ќе исчезне.

Во овој случај, и може да биде еднаква на нула. Во овој стол равенката се нарекува нецелосна. Ако сите поими се на место, односно равенката е завршена.

Решенија на различни типови квадратни равенки

Методи за решавање на нецелосни квадратни равенки:

Прво, да ги погледнеме методите за решавање на нецелосни квадратни равенки - тие се поедноставни.

Можеме да ги разликуваме следниве видови равенки:

I., во оваа равенка коефициентот и слободниот член се еднакви.

II. , во оваа равенка коефициентот е еднаков.

III. , во оваа равенка слободниот член е еднаков на.

Сега да го погледнеме решението за секој од овие подтипови.

Очигледно, оваа равенка секогаш има само еден корен:

Квадратен број не може да биде негативен, бидејќи кога ќе помножите два негативни или два позитивни броја, резултатот секогаш ќе биде позитивен број. Затоа:

ако, тогаш равенката нема решенија;

ако имаме два корени

Нема потреба да ги меморирате овие формули. Главната работа што треба да се запамети е дека не може да биде помалку.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Никогаш не заборавајте за корените со негативен знак!

Квадратот на број не може да биде негативен, што значи дека равенката

без корени.

За накратко да запишеме дека проблемот нема решенија, ја користиме иконата за празно поставување.

Одговор:

Значи, оваа равенка има два корени: и.

Одговор:

Да го извадиме заедничкиот фактор од загради:

Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Ова значи дека равенката има решение кога:

Значи, оваа квадратна равенка има два корени: и.

Пример:

Решете ја равенката.

Решение:

Да ја пресметаме левата страна на равенката и да ги најдеме корените:

Одговор:

Методи за решавање на целосни квадратни равенки:

1. Дискриминаторски

Решавањето на квадратните равенки на овој начин е лесно, главната работа е да се запамети низата на дејства и неколку формули. Запомнете, секоја квадратна равенка може да се реши со помош на дискриминатор! Дури и нецелосни.

Дали го забележавте коренот од дискриминантот во формулата за корени? Но, дискриминаторот може да биде негативен. Што да се прави? Треба да обрнеме посебно внимание на чекор 2. Дискриминаторот ни го кажува бројот на корените на равенката.

• Ако, тогаш равенката има корени:
• Ако, тогаш равенката има исти корени, а всушност, еден корен:

  Таквите корени се нарекуваат двојни корени.

• Ако, тогаш коренот на дискриминантот не е извлечен. Ова покажува дека равенката нема корени.

Зошто е можно различни количиникорени? Да се ​​свртиме кон геометриска смислаквадратна равенка. Графикот на функцијата е парабола:

Во посебен случај, кој е квадратна равенка, . Ова значи дека корените на квадратната равенка се точките на пресек со оската на апсцисата (оската). Параболата може воопшто да не ја пресекува оската или може да ја пресече на една (кога темето на параболата лежи на оската) или две точки.

Покрај тоа, коефициентот е одговорен за насоката на гранките на параболата. Ако, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, а ако, тогаш надолу.

Примери:

Решенија:

Одговор:

Одговор:.

Одговор:

Ова значи дека нема решенија.

Одговор:.

2. Теорема на Виета

Користењето на теоремата на Виета е многу лесно: само треба да изберете пар броеви чиј производ е еднаков на слободниот член на равенката, а збирот е еднаков на вториот коефициент, земен со спротивен знак.

Важно е да се запамети дека теоремата на Виета може да се примени само во намалени квадратни равенки ().

Ајде да погледнеме неколку примери:

Пример #1:

Решете ја равенката.

Решение:

Оваа равенка може да се реши со помош на теоремата на Виета бидејќи . Други коефициенти: ; .

Збирот на корените на равенката е:

И производот е еднаков на:

Ајде да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков и да провериме дали нивниот збир е еднаков:

• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков на;
• И. Износот е еднаков.

и се решение за системот:

Така, и се корените на нашата равенка.

Одговор: ; .

Пример #2:

Решение:

Ајде да избереме парови на броеви што даваат во производот, а потоа да провериме дали нивниот збир е еднаков:

и: вкупно даваат.

и: вкупно даваат. За да се добие, доволно е едноставно да се сменат знаците на наводните корени: и, на крајот на краиштата, производот.

Одговор:

Пример #3:

Решение:

Слободниот член на равенката е негативен, и затоа производот на корените е негативен број. Ова е можно само ако еден од корените е негативен, а другиот е позитивен. Затоа збирот на корените е еднаков на разлики во нивните модули.

Дозволете ни да избереме такви парови на броеви кои даваат во производот, а чија разлика е еднаква на:

и: нивната разлика е еднаква - не одговара;

и: - не е соодветно;

и: - не е соодветно;

и: - погоден. Останува само да се запамети дека еден од корените е негативен. Бидејќи нивниот збир мора да биде еднаков, коренот со помал модул мора да биде негативен: . Проверуваме:

Одговор:

Пример #4:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Слободниот член е негативен, и затоа производот на корените е негативен. И ова е можно само кога едниот корен од равенката е негативен, а другиот позитивен.

Ајде да избереме парови чиј производ е еднаков, а потоа да одредиме кои корени треба да имаат негативен знак:

Очигледно, само корените се погодни за првиот услов:

Одговор:

Пример #5:

Решете ја равенката.

Решение:

Равенката е дадена, што значи:

Збирот на корените е негативен, што значи дека, според барем, еден од корените е негативен. Но, бидејќи нивниот производ е позитивен, тоа значи дека двата корени имаат знак минус.

Дозволете ни да избереме парови на броеви чиј производ е еднаков на:

Очигледно, корените се броевите и.

Одговор:

Се согласувам, многу е погодно да се дојде до корени усно, наместо да се брои оваа гадна дискриминаторка. Обидете се да ја користите теоремата на Виета што е можно почесто.

Но, теоремата на Виета е потребна за да се олесни и забрза пронаоѓањето на корените. За да имате корист од неговото користење, мора да ги доведете дејствата до автоматизам. И за ова, решете уште пет примери. Но, не изневерувајте: не можете да користите дискриминатор! Само теоремата на Виета:

Решенија за задачи за самостојна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Како и обично, изборот го започнуваме со парчето:

Не е погоден бидејќи износот;

: износот е токму она што ви треба.

Одговор: ; .

Задача 2.

И повторно нашата омилена теорема Виета: збирот мора да биде еднаков, а производот мора да биде еднаков.

Но бидејќи не смее, туку, ги менуваме знаците на корените: и (вкупно).

Одговор: ; .

Задача 3.

Хм... Каде е тоа?

Треба да ги преместите сите термини во еден дел:

Збирот на корените е еднаков на производот.

Добро, застани! Равенката не е дадена. Но, теоремата на Виета е применлива само во дадените равенки. Значи, прво треба да дадете равенка. Ако не можете да водите, откажете се од оваа идеја и решете се на друг начин (на пример, преку дискриминатор). Дозволете ми да ве потсетам дека да се даде квадратна равенка значи да се направи водечки коефициент еднаков:

Одлично. Тогаш збирот на корените е еднаков на и производот.

Овде е лесно да се избере како лупење круши: на крајот на краиштата, тоа е прост број (извинете за тавтологијата).

Одговор: ; .

Задача 4.

Слободниот член е негативен. Што е посебно за ова? И факт е дека корените ќе имаат различни знаци. И сега, при изборот, не го проверуваме збирот на корените, туку разликата во нивните модули: оваа разлика е еднаква, но производ.

Значи, корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Теоремата на Виета ни кажува дека збирот на корените е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак, т.е. Ова значи дека помалиот корен ќе има минус: и, бидејќи.

Одговор: ; .

Задача 5.

Што треба прво да направите? Така е, дајте ја равенката:

Повторно: ги избираме факторите на бројот, а нивната разлика треба да биде еднаква на:

Корените се еднакви на и, но еден од нив е минус. Која? Нивниот збир треба да биде еднаков, што значи дека минусот ќе има поголем корен.

Одговор: ; .

Дозволете ми да резимирам:

1. Теоремата на Виета се користи само во дадените квадратни равенки.
2. Користејќи ја теоремата на Виета, можете да ги најдете корените со избор, усно.
3. Ако равенката не е дадена или не се најде соодветен пар фактори од слободниот член, тогаш нема цели корени и треба да го решите на друг начин (на пример, преку дискриминатор).

3. Метод за избор на целосен квадрат

Ако сите поими што ја содржат непознатата се претставени во форма на поими од скратените формули за множење - квадратот на збирот или разликата - тогаш по замена на променливите, равенката може да се претстави во форма на нецелосна квадратна равенка од типот.

На пример:

Пример 1:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

Пример 2:

Решете ја равенката: .

Решение:

Одговор:

ВО општ погледтрансформацијата ќе изгледа вака:

Следува: .

Не те потсетува на ништо? Ова е дискриминаторска работа! Токму така ја добивме формулата за дискриминација.

КВАДРАТНИ РАВЕНКИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Квадратна равенка- ова е равенка на формата, каде што - непознатото, - коефициентите на квадратната равенка, - слободниот член.

Целосна квадратна равенка- равенка во која коефициентите не се еднакви на нула.

Намалена квадратна равенка- равенка во која коефициентот, односно: .

Нецелосна квадратна равенка- равенка во која коефициентот и или слободниот член c се еднакви на нула:

• ако коефициентот, равенката изгледа вака:
• ако има слободен член, равенката има форма: ,
• ако и, равенката изгледа вака: .

1. Алгоритам за решавање на нецелосни квадратни равенки

1.1. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го изразиме непознатото: ,

2) Проверете го знакот на изразот:

• ако, тогаш равенката нема решенија,
• ако, тогаш равенката има два корени.

1.2. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што, :

1) Да го извадиме заедничкиот фактор од загради: ,

2) Производот е еднаков на нула ако барем еден од факторите е еднаков на нула. Според тоа, равенката има два корени:

1.3. Нецелосна квадратна равенка на формата, каде што:

Оваа равенка секогаш има само еден корен: .

2. Алгоритам за решавање на целосни квадратни равенки од формата каде

2.1. Решение со помош на дискриминант

1) Да ја доведеме равенката во стандардна форма: ,

2) Да ја пресметаме дискриминаторот користејќи ја формулата: , која го означува бројот на корените на равенката:

3) Најдете ги корените на равенката:

• ако, тогаш равенката има корени, кои се наоѓаат со формулата:
• ако, тогаш равенката има корен, кој се наоѓа со формулата:
• ако, тогаш равенката нема корени.

2.2. Решение со помош на теорема на Виета

Збирот на корените на намалената квадратна равенка (равенка на формата каде) е еднаков, а производот на корените е еднаков, т.е. , А.

2.3. Решение со методот на избор на целосен квадрат

Проблемите со квадратните равенки се изучуваат и во училишната програма и на универзитетите. Тие значат равенки од формата a*x^2 + b*x + c = 0, каде x-променлива, a, b, c – константи; а<>0 . Задачата е да се најдат корените на равенката.

Геометриско значење на квадратната равенка

Графикот на функција која е претставена со квадратна равенка е парабола. Решенијата (корените) на квадратна равенка се точките на пресек на параболата со оската на апсцисата (x). Следи дека постојат три можни случаи:
1) параболата нема точки на пресек со оската на апсцисата. Тоа значи дека е во горната рамнина со гранки нагоре или на дното со гранки надолу. Во такви случаи, квадратната равенка нема вистински корени (има два сложени корени).

2) параболата има една точка на пресек со оската Ox. Таквата точка се нарекува теме на параболата, а квадратната равенка на неа ја добива својата минимална или максимална вредност. Во овој случај, квадратната равенка има еден реален корен (или два идентични корени).

3) Последниот случај е поинтересен во пракса - има две точки на пресек на параболата со оската на апсцисата. Ова значи дека има два реални корени на равенката.

Врз основа на анализата на коефициентите на моќите на променливите, може да се извлечат интересни заклучоци за поставеноста на параболата.

1) Ако коефициентот a е поголем од нула, тогаш гранките на параболата се насочени нагоре, ако е негативен, гранките на параболата се насочени надолу.

2) Ако коефициентот b е поголем од нула, тогаш темето на параболата лежи во левата полурамнина, ако зема негативна вредност, тогаш во десната полурамнина.

Изведување на формулата за решавање на квадратна равенка

Да ја пренесеме константата од квадратната равенка

за знакот за еднаквост го добиваме изразот

Помножете ги двете страни со 4а

За да добиете целосен квадрат лево, додадете b^2 на двете страни и извршете ја трансформацијата

Од тука наоѓаме

Формула за дискриминација и корени на квадратна равенка

Дискриминантот е вредноста на радикалниот израз, тогаш равенката има два реални корени, пресметани со формулата Кога дискриминантата е нула, квадратната равенка има едно решение (два совпаѓачки корени), што лесно може да се добие од горната формула за D=0 Кога дискриминантата е негативна, равенката нема вистински корени. Сепак, решенијата на квадратната равенка се наоѓаат во сложената рамнина, а нивната вредност се пресметува со формулата

Теорема на Виета

Да разгледаме два корени на квадратна равенка и да изградиме квадратна равенка врз основа на нив. Самата теорема на Виета лесно произлегува од ознаката: ако имаме квадратна равенка на формата. тогаш збирот на неговите корени е еднаков на коефициентот p земен со спротивен знак, а производот од корените на равенката е еднаков на слободниот член q. Формулата за горенаведеното ќе изгледа како Ако во класичната равенка константата a е ненула, тогаш треба да ја поделите целата равенка со неа, а потоа да ја примените теоремата на Виета.

Распоред на квадратни равенки на факторинг

Нека е поставена задачата: факторинг квадратна равенка. За да го направите ова, прво ја решаваме равенката (најдете ги корените). Следно, пронајдените корени ги заменуваме во формулата за проширување за квадратната равенка. Ова ќе го реши проблемот.

Проблеми со квадратни равенки

Задача 1. Најдете ги корените на квадратната равенка

x^2-26x+120=0.

Решение: Запишете ги коефициентите и заменете ги во формулата за дискриминација

Корен на дадена вредносте еднакво на 14, лесно е да се најде со калкулатор или да се запомни со честа употреба, но, за погодност, на крајот од статијата ќе ви дадам список со квадрати на броеви кои често може да се сретнат во вакви проблеми.
Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула

и добиваме

Задача 2. Решете ја равенката

2x 2 +x-3=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка, ги запишуваме коефициентите и ја наоѓаме дискриминантната


Од страна на познати формулинаоѓање на корените на квадратна равенка

Задача 3. Решете ја равенката

9x 2 -12x+4=0.

Решение: Имаме целосна квадратна равенка. Одредување на дискриминатор

Добивме случај кога корените се совпаѓаат. Најдете ги вредностите на корените користејќи ја формулата

Задача 4. Решете ја равенката

x^2+x-6=0 .

Решение: Во случаи кога има мали коефициенти за x, препорачливо е да се примени теоремата на Виета. Според неговата состојба добиваме две равенки

Од вториот услов откриваме дека производот мора да биде еднаков на -6. Ова значи дека еден од корените е негативен. Го имаме следниот можен пар решенија (-3;2), (3;-2) . Земајќи го предвид првиот услов, го отфрламе вториот пар решенија.
Корените на равенката се еднакви

Задача 5. Најдете ги должините на страните на правоаголникот ако неговиот периметар е 18 cm, а неговата плоштина е 77 cm 2.

Решение: Половина од периметарот на правоаголникот е еднаква на збирот на неговите соседни страни. Да го означиме x како поголема страна, тогаш 18-x е нејзината помала страна. Површината на правоаголникот е еднаква на производот од овие должини:
x(18-x)=77;
или
x 2 -18x+77=0.
Да ја најдеме дискриминаторот на равенката

Пресметување на корените на равенката

Ако x=11,Тоа 18 = 7,точно е и спротивното (ако x=7, тогаш 21's=9).

Задача 6. Факторирајте ја квадратната равенка 10x 2 -11x+3=0.

Решение: Да ги пресметаме корените на равенката, за да го направиме ова, ја наоѓаме дискриминантната

Пронајдената вредност ја заменуваме во коренската формула и пресметуваме

Ја применуваме формулата за разложување на квадратна равенка по корени

Отворајќи ги заградите добиваме идентитет.

Квадратна равенка со параметар

Пример 1. На кои вредности на параметрите А ,дали равенката (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 има еден корен?

Решение: Со директна замена на вредноста a=3 гледаме дека нема решение. Следно, ќе го искористиме фактот дека со нулта дискриминанта равенката има еден корен од множина 2. Ајде да го отпишеме дискриминаторот

Да го поедноставиме и да го изедначиме со нула

Добивме квадратна равенка во однос на параметарот a, чиешто решение може лесно да се добие со помош на теоремата на Виета. Збирот на корените е 7, а нивниот производ е 12. Со едноставно пребарување утврдуваме дека броевите 3,4 ќе бидат корени на равенката. Бидејќи веќе го отфрливме решението a=3 на почетокот на пресметките, единственото точно ќе биде - a=4.Така, за a=4 равенката има еден корен.

Пример 2. При кои вредности на параметрите А ,равенка a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повеќе од еден корен?

Решение: Прво да ги разгледаме точките во еднина, тие ќе бидат вредностите a=0 и a=-3. Кога a=0, равенката ќе се поедностави во форма 6x-9=0; x=3/2 и ќе има еден корен. За a= -3 го добиваме идентитетот 0=0.
Да ја пресметаме дискриминаторот

и најдете ја вредноста на a на која е позитивна

Од првиот услов добиваме a>3. За втората, ги наоѓаме дискриминаторот и корените на равенката


Дозволете ни да ги одредиме интервалите каде функцијата зема позитивни вредности. Со замена на точката a=0 добиваме 3>0 . Значи, надвор од интервалот (-3;1/3) функцијата е негативна. Не заборавајте на поентата a=0,што треба да се исклучи бидејќи првобитната равенка има еден корен во неа.
Како резултат на тоа, добиваме два интервали кои ги задоволуваат условите на проблемот

Ќе има многу слични задачи во пракса, обидете се сами да ги сфатите задачите и не заборавајте да ги земете предвид условите кои меѓусебно се исклучуваат. Добро проучете ги формулите за решавање на квадратни равенки, тие често се потребни при пресметување во различни задачии науките.

Библиографски опис: Gasanov A. R., Kuramshin A. A., Elkov A. A., Shilnenkov N. V., Ulanov D. D., Shmeleva O. V. Методи за решавање на квадратни равенки // Млад научник. 2016. Бр.6.1. P. 17-20..02.2019).



Нашиот проект е за начини за решавање на квадратни равенки. Цел на проектот: научете да решавате квадратни равенки на начини кои не се вклучени во училишната програма. Задача: најдете сè можни начинирешавање на квадратни равенки и учење како самите да ги користите и воведување на овие методи на вашите соученици.

Што се „квадратни равенки“?

Квадратна равенка- равенка на формата секира2 + bx + c = 0, Каде а, б, в- некои бројки ( a ≠ 0), x- непознато.

Броевите a, b, c се нарекуваат коефициенти на квадратната равенка.

• a се нарекува прв коефициент;
• b се нарекува втор коефициент;
• в - слободен член.

Кој беше првиот што ги „измисли“ квадратните равенки?

Некои алгебарски техники за решавање на линеарни и квадратни равенки биле познати пред 4000 години во Антички Вавилон. Откривањето на древните вавилонски глинени плочи, кои датираат од некаде помеѓу 1800 и 1600 п.н.е., ги дава најраните докази за проучување на квадратните равенки. Истите таблети содржат методи за решавање на одредени типови квадратни равенки.

Потребата за решавање равенки не само од прв, туку и од втор степен во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со наоѓање области земјишни парцелии со земјени работиод воен карактер, како и со развојот на самата астрономија и математика.

Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со модерното, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило. Речиси сите досега пронајдени текстови со клинесто писмо даваат само проблеми со решенија изложени во форма на рецепти, без индикации за тоа како се пронајдени. И покрај тоа високо ниворазвој на алгебрата во Вавилон, текстовите со клинесто писмо немаат концепт за негативен број и општи методирешавање на квадратни равенки.

Вавилонски математичари од околу 4 век п.н.е. го користел методот на квадратен комплемент за решавање равенки со позитивни корени. Околу 300 п.н.е Евклид смислил поопшт метод на геометриско решение. Првиот математичар кој најде решенија за равенки со негативни корени во форма на алгебарска формула беше индиски научник Брамагупта(Индија, 7 век н.е.).

Брамагупта постави општо правило за решавање на квадратни равенки сведени на една канонска форма:

ax2 + bx = c, a>0

Коефициентите во оваа равенка можат да бидат и негативни. Правилото на Брамагупта во суштина е исто како и нашето.

Јавните натпревари во решавање на тешки проблеми беа вообичаени во Индија. Една од старите индиски книги го вели следново за ваквите натпревари: „Како што сонцето ги затемнува ѕвездите со својот сјај, така учен човекќе ја засени својата слава на јавните собири со предлагање и решавање на алгебарски проблеми“. Проблемите честопати беа претставени во поетска форма.

Во еден алгебарски трактат Ал-Хваризмидадена е класификација на линеарни и квадратни равенки. Авторот брои 6 типа равенки, изразувајќи ги на следниов начин:

1) „Квадратите се еднакви на корените“, т.е. ax2 = bx.

2) „Квадратите се еднакви на броевите“, т.е. ax2 = c.

3) „Корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 = c.

4) „Квадратите и броевите се еднакви на корените“, т.е. ax2 + c = bx.

5) „Квадратите и корените се еднакви на бројот“, т.е. ax2 + bx = c.

6) „Корените и броевите се еднакви на квадрати“, т.е. bx + c == ax2.

За Ал-Хваризми, кој избегнуваше консумација негативни броеви, членовите на секоја од овие равенки се додавања, а не одземања. Во овој случај, равенките кои немаат позитивни решенија очигледно не се земаат предвид. Авторот поставува методи за решавање на овие равенки користејќи ги техниките на ал-џабр и ал-мукабал. Неговата одлука, се разбира, не се совпаѓа целосно со нашата. Да не зборуваме дека е чисто реторичко, треба да се забележи, на пример, дека при решавањето на нецелосна квадратна равенка од прв тип, Ал-Хорезми, како и сите математичари до 17 век, не го земаат предвид нултото решение. веројатно затоа што во конкретни практични тоа не е важно во задачите. Кога решава целосни квадратни равенки, Ал-Хваризми ги поставува правилата за нивно решавање користејќи одредени нумерички примери, а потоа и нивните геометриски докази.

Формите за решавање на квадратни равенки по моделот на Ал-Хваризми во Европа за првпат беа претставени во „Книгата на абакусот“, напишана во 1202 година. италијански математичар Леонард Фибоначи. Авторот самостојно развил некои нови алгебарски примерирешавајќи проблеми и прв во Европа воведе негативни бројки.

Оваа книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји. Многу проблеми од оваа книга се користени во речиси сите европски учебници од 14-17 век. Општо правилорешението на квадратните равенки сведено на една канонска форма x2 + bх = с за сите можни комбинации на знаци и коефициенти b, c беше формулирано во Европа во 1544 година. М. Штифел.

Изведувањето на формулата за решавање на квадратна равенка во општа форма е достапна од Vieth, но Vieth препозна само позитивни корени. Италијански математичари Тартаља, Кардано, Бомбелимеѓу првите во 16 век. Покрај позитивните, се земаат предвид и негативните корени. Само во 17 век. благодарение на напорите Жирар, Декарт, Њутни други научници, методот на решавање на квадратни равенки добива современа форма.

Ајде да погледнеме неколку начини за решавање на квадратни равенки.

Стандардни методи за решавање на квадратни равенки од училишна наставна програма:

1. Факторирање на левата страна на равенката.
2. Начин за избор на целосен квадрат.
3. Решавање на квадратни равенки со помош на формулата.
4. Графичко решениеквадратна равенка.
5. Решавање равенки со помош на теоремата на Виета.

Дозволете ни да се задржиме подетално на решението на намалените и нередуцираните квадратни равенки користејќи ја теоремата на Виета.

Потсетиме дека за да се решат горенаведените квадратни равенки, доволно е да се најдат два броја чиј производ е еднаков на слободниот член, а чиј збир е еднаков на вториот коефициент со спротивен знак.

Пример.x 2 -5x+6=0

Треба да најдете броеви чиј производ е 6, а збирот е 5. Овие броеви ќе бидат 3 и 2.

Одговор: x 1 =2, x 2 =3.

Но, овој метод можете да го користите и за равенки со првиот коефициент не еднаков на еден.

Пример.3x 2 +2x-5=0

Земете го првиот коефициент и помножете го со слободниот член: x 2 +2x-15=0

Корените на оваа равенка ќе бидат броеви чиј производ е еднаков на - 15, а чиј збир е еднаков на - 2. Овие броеви се 5 и 3. За да ги најдете корените на првобитната равенка, поделете ги добиените корени со првиот коефициент.

Одговор: x 1 =-5/3, x 2 =1

6. Решавање равенки со методот „фрлање“.

Размислете за квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, каде што a≠0.

Помножувајќи ги двете страни со a, ја добиваме равенката a 2 x 2 + abx + ac = 0.

Нека ax = y, од каде x = y/a; тогаш доаѓаме до равенката y 2 + со + ac = 0, еквивалентна на дадената. Ги наоѓаме неговите корени за 1 и 2 користејќи ја теоремата на Виета.

Конечно добиваме x 1 = y 1 /a и x 2 = y 2 /a.

Со овој метод, коефициентот a се множи со слободниот член, како да е „фрлен“ кон него, поради што се нарекува метод на „фрлање“. Овој метод се користи кога можете лесно да ги пронајдете корените на равенката користејќи ја теоремата на Виета и, што е најважно, кога дискриминаторот е точен квадрат.

Пример.2x 2 - 11x + 15 = 0.

Ајде да го „фрлиме“ коефициентот 2 на слободниот член и да направиме замена, ја добиваме равенката y 2 - 11y + 30 = 0.

Според конверзната теорема на Виета

y 1 = 5, x 1 = 5/2, x 1 = 2,5 y 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.

Одговор: x 1 =2,5; X 2 = 3.

7. Својства на коефициенти на квадратна равенка.

Нека е дадена квадратната равенка ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0.

1. Ако a+ b + c = 0 (т.е. збирот на коефициентите на равенката е нула), тогаш x 1 = 1.

2. Ако a - b + c = 0, или b = a + c, тогаш x 1 = - 1.

Пример.345x 2 - 137x - 208 = 0.

Бидејќи a + b + c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), тогаш x 1 = 1, x 2 = -208/345.

Одговор: x 1 =1; X 2 = -208/345 .

Пример.132x 2 + 247x + 115 = 0

Бидејќи a-b+c = 0 (132 - 247 +115=0), потоа x 1 = - 1, x 2 = - 115/132

Одговор: x 1 = - 1; X 2 =- 115/132

Постојат и други својства на коефициентите на квадратна равенка. но нивната употреба е посложена.

8. Решавање на квадратни равенки со помош на номограм.

Сл 1. Номограм

Ова е стар и моментално заборавен метод за решавање на квадратни равенки, поставен на стр 83 од збирката: Bradis V.M. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.

Табела XXII. Номограм за решавање на равенката z 2 + pz + q = 0. Овој номограм овозможува, без да се реши квадратна равенка, да се одредат корените на равенката од нејзините коефициенти.

Криволинеарната скала на номограмот е изградена според формулите (сл. 1):

Верувајќи OS = p, ED = q, OE = a(сите во cm), од сл. 1 сличности на триаголници САНИ ЦДФја добиваме пропорцијата

што по замените и поедноставувањата ја дава равенката z 2 + pz + q = 0,и писмото zзначи ознака на која било точка на закривена скала.

Ориз. 2 Решавање на квадратни равенки со помош на номограм

Примери.

1) За равенката z 2 - 9z + 8 = 0номограмот ги дава корените z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0

Одговор:8.0; 1.0.

2) Со номограм ја решаваме равенката

2z 2 - 9z + 2 = 0.

Поделете ги коефициентите на оваа равенка со 2, ја добиваме равенката z 2 - 4,5z + 1 = 0.

Номограмот дава корени z 1 = 4 и z 2 = 0,5.

Одговор: 4; 0,5.

9. Геометриски метод за решавање на квадратни равенки.

Пример.X 2 + 10x = 39.

Во оригиналот, овој проблем е формулиран на следниов начин: „Квадратот и десетте корени се еднакви на 39“.

Размислете за квадрат со страна x, на неговите страни се конструираат правоаголници така што другата страна на секоја од нив е 2,5, затоа плоштината на секоја е 2,5x. Добиената бројка потоа се дополнува со нов квадрат ABCD, градејќи четири еднакви квадрати во аглите, страната на секој од нив е 2,5, а плоштината е 6,25

Ориз. 3 Графички метод за решавање на равенката x 2 + 10x = 39

Плоштината S на квадратот ABCD може да се претстави како збир од плоштините на: оригиналниот квадрат x 2, четири правоаголници (4∙2,5x = 10x) и четири дополнителни квадрати (6,25∙4 = 25), т.е. S = x 2 + 10x = 25. Заменувајќи го x 2 + 10x со бројот 39, добиваме дека S = 39+ 25 = 64, што значи дека страната на квадратот е ABCD, т.е. отсечка AB = 8. За бараната страна x од оригиналниот квадрат добиваме

10. Решавање равенки користејќи ја теоремата на Безут.

Теорема на Безут. Остатокот од делењето на полиномот P(x) со биномот x - α е еднаков на P(α) (односно, вредноста на P(x) при x = α).

Ако бројот α е коренот на полиномот P(x), тогаш овој полином е делив со x -α без остаток.

Пример.x²-4x+3=0

Р(x)= x²-4x+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Поделете го P(x) со (x-1): (x²-4x+3)/(x-1)=x-3

x²-4x+3=(x-1)(x-3), (x-1)(x-3)=0

x-1=0; x=1, или x-3=0, x=3; Одговор: x1 =2, x2 =3.

Заклучок:Способноста за брзо и рационално решавање на квадратни равенки е едноставно неопходна за да се реши повеќе сложени равенки, на пример, дробни рационални равенки, равенки повисоки степени, биквадратни равенки, а во средно тригонометриски, експоненцијални и логаритамски равенки. Откако ги проучувавме сите пронајдени методи за решавање на квадратни равенки, можеме да ги советуваме нашите соученици, покрај стандардните методи, да решаваат со методот на пренос (6) и да решаваат равенки користејќи својство на коефициенти (7), бидејќи тие се попристапни до разбирање.

Литература:

1. Брадис В.М. Математички табели со четири цифри. - М., Образование, 1990 година.
2. Алгебра 8 одделение: учебник за 8 одделение. општо образование институции Макаричев Ју Н., Миндјук Н.Г., Нешков К.И., Суворова С. Б. ед. S. A. Telyakovsky 15-то издание, ревидирана. - М.: Образование, 2015 година
3. https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0 %B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
4. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. Прирачник за наставници. / Ед. В.Н. Помлади. - М.: Образование, 1964 година.

Познато е дека тоа е одредена верзија на еднаквоста ax 2 + bx + c = o, каде што a, b и c се реални коефициенти за непозната x, и каде што a ≠ o, и b и c ќе бидат нули - истовремено или одделно. На пример, c = o, b ≠ o или обратно. Речиси се сетивме на дефиницијата за квадратна равенка.

Триномот од втор степен е нула. Неговиот прв коефициент a ≠ o, b и c може да земе какви било вредности. Вредноста на променливата x тогаш ќе биде кога замената ќе ја претвори во правилна нумеричка еднаквост. Ајде да се фокусираме на реалните корени, иако решенијата на равенката исто така може да се нарекуваат комплетна во која ниту еден од коефициентите не е еднаков на o, a ≠ o, b ≠ o, c ≠ o.
Ајде да решиме пример. 2x 2 -9x-5 = ох, наоѓаме
D = 81+40 = 121,
D е позитивен, што значи дека има корени, x 1 = (9+√121):4 = 5, а вториот x 2 = (9-√121):4 = -o.5. Проверката ќе помогне да се уверите дека се точни.

Еве чекор-по-чекор решение за квадратната равенка

Со помош на дискриминантата, можете да решите која било равенка на левата страна од која има познат квадратен трином за a ≠ o. Во нашиот пример. 2x 2 -9x-5 = 0 (секира 2 +in+c = o)

Да разгледаме кои се нецелосни равенки од втор степен

1. секира 2 +во = о. Слободниот член, коефициентот c на x 0, овде е еднаков на нула, во ≠ o.
   Како да се реши нецелосна квадратна равенка од овој тип? Да го извадиме x од загради. Да се ​​потсетиме кога производот на два фактора е еднаков на нула.
   x(ax+b) = o, ова може да биде кога x = o или кога ax+b = o.
   Откако го решивме 2-то, имаме x = -в/а.
   Како резултат на тоа, имаме корени x 1 = 0, според пресметките x 2 = -b/a.
2. Сега коефициентот x е еднаков на o, а c не е еднаков (≠) o.
   x 2 +c = o. Да го преместиме c на десната страна на еднаквоста, добиваме x 2 = -с. Оваа равенка има вистински корени само кога -c е позитивен број (c ‹ o),
   x 1 е тогаш еднакво на √(-c), соодветно, x 2 е -√(-c). Инаку, равенката воопшто нема корени.
3. Последната опција: b = c = o, односно секира 2 = o. Природно, таквата едноставна равенка има еден корен, x = o.

Посебни случаи

Разгледавме како да решиме нецелосна квадратна равенка, а сега да земеме какви било типови.

• Во целосна квадратна равенка, вториот коефициент x е парен број.
  Нека k = o.5б. Имаме формули за пресметување на дискриминантот и корените.
  D/4 = k 2 - ac, корените се пресметуваат како x 1,2 = (-k±√(D/4))/a за D › o.
  x = -k/a на D = o.
  Нема корени за D ‹ o.
• Дадени се квадратни равенки, кога коефициентот на x квадрат е 1, тие обично се пишуваат x 2 + рх + q = o. Сите горенаведени формули важат за нив, но пресметките се нешто поедноставни.
  Пример, x 2 -4x-9 = 0. Пресметај D: 2 2 +9, D = 13.
  x 1 = 2+√13, x 2 = 2-√13.
• Дополнително, лесно е да се примени на дадените. Таа вели дека збирот на корените на равенката е еднаков на -p, вториот коефициент со минус (што значи. спротивен знак), а производот на истите корени ќе биде еднаков на q, слободниот член. Погледнете колку лесно би било вербално да се одредат корените на оваа равенка. За ненамалени коефициенти (за сите коефициенти кои не се еднакви на нула), оваа теорема е применлива на следниов начин: збирот x 1 + x 2 е еднаков на -b/a, производот x 1 ·x 2 е еднаков на c/a.

Збирот на слободниот член c и првиот коефициент a е еднаков на коефициентот b. Во оваа ситуација, равенката има барем еден корен (лесен за докажување), првиот е нужно еднаков на -1, а вториот -c/a, доколку постои. Можете сами да проверите како да решите нецелосна квадратна равенка. Не може да биде поедноставно. Коефициентите може да бидат во одредени односи меѓу себе

• x 2 +x = o, 7x 2 -7 = o.
• Збирот на сите коефициенти е еднаков на o.
  Корените на таквата равенка се 1 и c/a. Пример, 2x 2 -15x+13 = o.
  x 1 = 1, x 2 = 13/2.

Постојат голем број други начини за решавање на разни равенки од втор степен. Еве, на пример, метод за извлекување на целосен квадрат од даден полином. Постојат неколку графички методи. Кога често се занимавате со такви примери, ќе научите да ги „кликате“ како семки, бидејќи сите методи автоматски ви паѓаат на ум.

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 или x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Откако научивте да решавате равенки од прв степен, се разбира, сакате да работите со други, особено со равенки од втор степен, кои инаку се нарекуваат квадратни.

Квадратни равенки се равенки како ax² + bx + c = 0, каде што променливата е x, броевите се a, b, c, каде што a не е еднаква на нула.

Ако во квадратна равенка едниот или другиот коефициент (c или b) е еднаков на нула, тогаш оваа равенка ќе се класифицира како нецелосна квадратна равенка.

Како да се реши нецелосна квадратна равенка ако учениците досега можеле да решаваат само равенки од прв степен? Размислете за нецелосни квадратни равенки различни видовии едноставни начини за нивно решавање.

а) Ако коефициентот c е еднаков на 0, а коефициентот b не е еднаков на нула, тогаш ax ² + bx + 0 = 0 се сведува на равенка од формата ax ² + bx = 0.

За да решите таква равенка, треба да ја знаете формулата за решавање на нецелосна квадратна равенка, која се состои во факторингирање на левата страна од неа и подоцна користење на условот дека производот е еднаков на нула.

На пример, 5x² - 20x = 0. Ја факторизираме левата страна на равенката, додека ја извршуваме вообичаената математичка операција: вадење на заедничкиот фактор од загради

5x (x - 4) = 0

Го користиме условот производите да се еднакви на нула.

5 x = 0 или x - 4 = 0

Одговорот ќе биде: првиот корен е 0; вториот корен е 4.

б) Ако b = 0, а слободниот член не е еднаков на нула, тогаш равенката ax ² + 0x + c = 0 се сведува на равенка од формата ax ² + c = 0. Равенките се решаваат на два начина : а) со факторинг на полиномот на равенката од левата страна; б) користење на својствата на аритметиката квадратен корен. Таквата равенка може да се реши со помош на еден од методите, на пример:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Одговорот ќе биде: првиот корен е 5/2; вториот корен е еднаков на - 5/2.

в) Ако b е еднаков на 0, а c е еднаков на 0, тогаш ax ² + 0 + 0 = 0 се сведува на равенка од формата ax ² = 0. Во таква равенка x ќе биде еднаква на 0.

Како што можете да видите, нецелосните квадратни равенки можат да имаат не повеќе од два корени.