Потребно е да се споредуваат количините и количините при решавање на практични проблеми уште од античко време. Во исто време, се појавија зборови како што се повеќе и помалку, повисоки и пониски, полесни и потешки, потивки и погласни, поевтини и поскапи итн., означувајќи ги резултатите од споредувањето на хомогени количини.
Концептите на повеќе и помалку се појавија во врска со броењето предмети, мерењето и споредувањето на количините. На пример, математичарите од Античка Грција знаеле дека страната на кој било триаголник е помала од збирот на другите две страни и дека поголемата страна на триаголникот лежи спроти поголемиот агол. Архимед, при пресметувањето на обемот, утврдил дека периметарот на кој било круг е еднаков на три пати поголем од дијаметарот со вишок што е помал од една седмина од дијаметарот, но повеќе од десет седумдесет пати поголем од дијаметарот.
Симболично запишете ги врските помеѓу броевите и количините користејќи ги знаците > и b. Записи во кои два броја се поврзани со еден од знаците: > (поголем од), Бројни неравенки сте сретнале и во пониските одделенија. Знаете дека нееднаквостите можат да бидат вистинити или лажни. На пример, \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3)\) е правилна нумеричка неравенка, 0,23 > 0,235 е неточна нумеричка неравенка.
Нееднаквостите што вклучуваат непознати може да бидат вистинити за некои вредности на непознатите и неточни за други. На пример, неравенството 2x+1>5 е точно за x = 3, но неточно за x = -3. За неравенство со една непозната, можете да поставите задача: да ја решите неравенката. Проблемите за решавање на нееднаквости во пракса се поставуваат и решаваат не поретко од проблемите за решавање равенки. На пример, многу економски проблеми се сведуваат на проучување и решавање на системи на линеарни нееднаквости. Во многу гранки на математиката, неравенките се почести од равенките.
Некои нееднаквости служат како единствени помош, овозможувајќи ви да докажете или побиете постоење на одреден објект, на пример, коренот на равенката.
Нумерички неравенки
Можете ли да споредите цели броеви? децимали. Дали ги знаете правилата за споредба? обични дропкисо исти именители, но различни броители; со исти броители, но различни именители. Овде ќе научите како да споредите кои било два броја со наоѓање на знакот за нивната разлика.
Споредувањето на броеви е широко користено во пракса. На пример, економист ги споредува планираните показатели со вистинските, лекарот ја споредува температурата на пациентот со нормалната, вртечот ги споредува димензиите на обработениот дел со стандардот. Во сите такви случаи, некои бројки се споредуваат. Како резултат на споредување на броеви, се појавуваат нумерички неравенки.
Дефиниција.Број а повеќе бројб, ако разлика а-бпозитивен. Број а помал број b, ако разликата a-b е негативна.
Ако a е поголемо од b, тогаш тие пишуваат: a > b; ако a е помало од b, тогаш пишуваат: a Така, неравенството a > b значи дека разликата a - b е позитивна, т.е. a - b > 0. Неравенство a За кои било два броја a и b од следните три односи a > b, a = b, a Да се споредат броевите a и b значи да се открие кој од знаците >, = или Теорема.Ако a > b и b > c, тогаш a > c.
Теорема.Ако додадете ист број на двете страни на неравенката, знакот на неравенството нема да се промени.
Последица.Секој член може да се премести од еден дел од неравенката во друг со менување на знакот на овој член во спротивното.
Теорема.Ако двете страни на неравенката се помножат со ист позитивен број, тогаш знакот на неравенството нема да се промени. Ако двете страни на неравенката се помножат со исто негативен број, тогаш знакот на нееднаквост ќе се промени во спротивното.
Последица.Ако двете страни на неравенката се поделат со ист позитивен број, тогаш знакот на неравенството нема да се промени. Ако двете страни на неравенката се поделат со ист негативен број, тогаш знакот на неравенството ќе се промени на спротивен.
Знаете дека нумеричките еднаквости може да се собираат и множат член по член. Следно, ќе научите како да вршите слични дејства со нееднаквости. Способноста за собирање и множење на неравенки по термин често се користи во пракса. Овие дејства помагаат да се решат проблемите за оценување и споредување на значењата на изразите.
При решавање на различни проблеми, често е потребно да се собираат или множат левата и десната страна на неравенките по член. Во исто време, понекогаш се вели дека неравенките се собираат или множат. На пример, ако турист пешачел повеќе од 20 километри првиот ден, а повеќе од 25 километри на вториот, тогаш можеме да кажеме дека за два дена пешачел повеќе од 45 километри. Слично, ако должината на правоаголникот е помала од 13 cm, а ширината е помала од 5 cm, тогаш можеме да кажеме дека површината на овој правоаголник е помала од 65 cm2.
При разгледување на овие примери, се користеа следново: теореми за собирање и множење на неравенки:
Теорема.При собирање на неравенки од ист знак, се добива неравенство од истиот знак: ако a > b и c > d, тогаш a + c > b + d.
Теорема.При множење на неравенки од ист знак, чија лева и десна страна се позитивни, се добива неравенство од истиот знак: ако a > b, c > d и a, b, c, d се позитивни броеви, тогаш ac > bd.
Неравенки со знакот > (поголем од) и 1/2, 3/4 b, c Заедно со знаците на строги неравенки > и На ист начин, неравенката \(a \geq b \) значи дека бројот a е поголема или еднаква на b, т.е. .и не помала b.
Неравенките што го содржат знакот \(\geq \) или знакот \(\leq \) се нарекуваат нестроги. На пример, \(18 \geq 12, \; 11 \leq 12 \) не се строги нееднаквости.
Сите својства на строги неравенки важат и за нестроги неравенки. Згора на тоа, ако за строги неравенки знаците > се сметаа за спротивни и знаете дека за да решите голем број применети проблеми треба да креирате математички модел во форма на равенка или систем на равенки. Следно, ќе научите дека математичките модели за решавање на многу проблеми се неравенки со непознати. Ќе го воведеме концептот за решавање на нееднаквост и ќе покажеме како да провериме дали даден бројрешавање на одредена неравенка.
Неравенки на формата
\(ax > b, \quad ax во кои a и b се дадени броеви, а x е непозната, се нарекуваат линеарни неравенки со една непозната.
Дефиниција.Решението на неравенка со една непозната е вредноста на непознатата при која оваа неравенка станува вистинска нумеричка неравенка. Решавањето на нееднаквоста значи да се најдат сите нејзини решенија или да се утврди дека нема.
Равенките ги решивте намалувајќи ги на наједноставните равенки. Слично на тоа, кога се решаваат неравенки, се обидуваме да ги намалиме, користејќи својства, во форма на едноставни неравенки.
Решавање на неравенки од втор степен со една променлива
Неравенки на формата
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c каде x е променлива, a, b и c се некои броеви и \(a \neq 0 \), наречени неравенки од втор степен со една променлива.
Решение за нееднаквоста
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c може да се смета како пронаоѓање интервали во кои функцијата \(y= ax^2+bx+c \) зема позитивни или негативни вредности За да го направите ова, доволно е да се анализира како графикот на функцијата \(y= ax^2+bx+c\) се наоѓа во координатната рамнина: каде се насочени гранките на параболата - нагоре или надолу, дали параболата ја пресекува оската x и ако е, тогаш во кои точки.
Алгоритам за решавање на неравенки од втор степен со една променлива:
1) најдете ја дискриминантата на квадратниот трином \(ax^2+bx+c\) и дознајте дали триномот има корени;
2) ако триномот има корени, тогаш означете ги на оската x и низ означените точки нацртајте шематска парабола, чии гранки се насочени нагоре за > 0 или надолу за 0 или на дното за 3) најдете интервали на оската x за кои точките параболи се наоѓаат над оската x (ако ја решат неравенката \(ax^2+bx+c >0\)) или под оската x (ако ја решат нееднаквост
\(ax^2+bx+c Решавање на неравенки со методот на интервал
Размислете за функцијата
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)
Доменот на оваа функција е множеството од сите броеви. Нули на функцијата се броевите -2, 3, 5. Тие го делат доменот на дефинирање на функцијата на интервали \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; ( 3; 5) \) и \( (5; +\infty)\)
Дозволете ни да дознаеме кои се знаците на оваа функција во секој од наведените интервали.
Изразот (x + 2) (x - 3) (x - 5) е производ на три фактори. Знакот на секој од овие фактори во интервалите што се разгледуваат е наведен во табелата:
Во принцип, функцијата нека биде дадена со формулата
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
каде што x е променлива, а x 1, x 2, ..., x n се броеви кои не се еднакви еден на друг. Броевите x 1 , x 2 , ..., x n се нули на функцијата. Во секој од интервалите во кои доменот на дефиниција е поделен со нули на функцијата, знакот на функцијата се зачувува, а при минување низ нула нејзиниот знак се менува.
Ова својство се користи за решавање на неравенки на формата
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) каде што x 1, x 2, ..., x n се броеви кои не се еднакви еден на друг
Разгледан метод решавањето на неравенки се нарекува метод на интервал.
Да дадеме примери за решавање на неравенки со помош на методот на интервал.
Решете ја нееднаквоста:
\(x(0,5-x)(x+4) Очигледно, нулите на функцијата f(x) = x(0,5-x)(x+4) се точките \(x=0, \; x= \ frac(1)(2), \;Ги исцртуваме нулите на функцијата на бројната оска и го пресметуваме знакот на секој интервал:
Ги избираме оние интервали во кои функцијата е помала или еднаква на нула и го запишуваме одговорот.
Одговор:
\(x \во \лево(-\infty; \; 1 \десно) \шолја \лево[ 4; \; +\infty \десно) \)
Концептот на математичка нееднаквост се појавил во античко време. Ова се случило кога примитивниот човек почнал да има потреба од споредување на нивната количина и големина при броење и ракување со разни предмети. Од античките времиња, Архимед, Евклид и други познати научници: математичари, астрономи, дизајнери и филозофи користеле нееднаквости во нивното расудување.
Но, тие, по правило, користеле вербална терминологија во своите дела. За прв пат, во Англија беа измислени и спроведени модерни знаци за означување на концептите „повеќе“ и „помалку“ во форма во која ги знае секој ученик денес. Таква услуга на своите потомци им пружил математичарот Томас Хариот. И ова се случи пред околу четири века.
Познати се многу видови на нееднаквости. Меѓу нив има едноставни, кои содржат една, две или повеќе променливи, квадратни, фракциони, сложени соодноси, па дури и оние претставени со систем на изрази. Најдобар начин да се разбере како да се решат нееднаквостите е да се користат различни примери.
Не го пропуштајте возот
За почеток, да замислиме дека жител руралните срединибрза да железничка станица, кој се наоѓа на оддалеченост од 20 километри од неговото село. За да не го пропушти возот кој тргнува во 11 часот, мора да излезе од дома на време. Во кое време треба да се направи ова ако неговата брзина е 5 km/h? Решението на овој практичен проблем се сведува на исполнување на условите на изразот: 5 (11 - X) ≥ 20, каде што X е времето на поаѓање.
Ова е разбирливо, бидејќи растојанието што еден селанец треба да го помине до станицата е еднакво на брзината на движење помножена со бројот на часови на патот. Човек може да дојде рано, но не може да задоцни. Знаејќи како да ги решите нееднаквостите и применувајќи ги своите вештини во пракса, ќе завршите со X ≤ 7, што е одговорот. Тоа значи дека селанецот треба да оди на железничка станица во седум наутро или малку порано.
Нумерички интервали на координатна линија
Сега ајде да дознаеме како да ги мапираме опишаните односи на горната нееднаквост не е строга. Тоа значи дека променливата може да земе вредности помали од 7, или може да биде еднаква на овој број. Да дадеме други примери. За да го направите ова, внимателно разгледајте ги четирите бројки претставени подолу.
На првиот можете да видите графичка сликајаз [-7; 7]. Се состои од збир на броеви поставени на координатна линија и лоцирани помеѓу -7 и 7, вклучувајќи ги и границите. Во овој случај, точките на графиконот се прикажани како пополнети кругови, а интервалот се снима со помош на
Втората слика е графички приказ на строгата нееднаквост. Во овој случај, граничните броеви -7 и 7, прикажани со пробиени (не пополнети) точки, не се вклучени во наведеното множество. А самиот интервал е запишан во загради вака: (-7; 7).
Односно, откако сфативме како да ги решиме неравенките од овој тип и добивме сличен одговор, можеме да заклучиме дека тој се состои од броеви кои се меѓу границите за кои станува збор, освен -7 и 7. Следните два случаи мора да се оценат во сличен начин. Третата слика покажува слики од интервалите (-∞; -7] U ∪[ \frac(2)(3);∞)\)
Квадратни неравенки со негативна и нулта дискриминантна
Алгоритмот погоре работи кога дискриминаторот е поголем од нула, односно има \(2\) корени. Што да се прави во други случаи? На пример, овие:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4)-x^2-64<0\) |
|
\(Д=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Ако \(Д<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
Тоа е изразот:
\(x^2+2x+9\) – позитивно за кое било \(x\), бидејќи \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - негативен за кој било \(x\), бидејќи \(а=-1<0\)
Ако \(D=0\), тогаш квадратниот трином за една вредност \(x\) е еднаков на нула, а за сите други има постојан знак, кој се совпаѓа со знакот на коефициентот \(a\).
Тоа е изразот:
\(x^2+6x+9\) е еднакво на нула за \(x=-3\) и позитивно за сите други x, бидејќи \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - еднакво на нула за \(x=-2\) и негативно за сите други, бидејќи \(а=-1<0\).
Како да се најде x кај кој квадратниот трином е еднаков на нула? Треба да ја решиме соодветната квадратна равенка.
Со оглед на овие информации, да ги решиме квадратните неравенки:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Неравенството, може да се каже, ни го поставува прашањето: „за кое \(x\) изразот лево е поголем од нула? Веќе дознавме погоре дека за било кој. Во одговорот можете да напишете: „за кое било \(x\)“, но подобро е истата идеја да се изрази на јазикот на математиката. |
|
|
Одговор: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Прашање од неравенство: „за кое \(x\) изразот лево е помал или еднаков на нула? Тоа не може да биде помало од нула, но може да биде еднакво на нула. И за да дознаеме со кое тврдење ќе се случи ова, да ја решиме соодветната квадратна равенка. |
|
|
Ајде да го составиме нашиот израз според \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Сега единственото нешто што не запира е плоштадот. Ајде да размислиме заедно - кој број на квадрат е еднаков на нула? Нула! Ова значи дека квадратот на изразот е еднаков на нула само ако самиот израз е еднаков на нула. |
||
|
\(x+3=0\) |
Овој број ќе биде одговорот. |
|
|
Одговор: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Кога изразот лево е поголем од нула? Како што веќе беше кажано погоре, изразот лево е или негативен или еднаков на нула, не може да биде позитивен. Значи одговорот никогаш не е. Ајде да напишеме „никогаш“ на јазикот на математиката, користејќи го симболот „празен сет“ - \(∅\). |
|
|
Одговор: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Кога изразот е лево помалку од нула? Секогаш. Ова значи дека неравенството важи за кое било \(x\). |
|
|
Одговор: \(x∈(-∞;∞)\) |
Се вчитува...