Тип на лекција:учење нов материјал.

Цели на часот:

проширување и продлабочување на идеите на учениците за проблемите решени со помош на аритметичка прогресија; организација на активност за пребарување на учениците при изведување формула за збир на првите n членови на аритметичка прогресија;
развој на вештини за самостојно стекнување нови знаења, користење на веќе стекнато знаење за постигнување на поставената задача;
развојот на желбата и потребата за генерализирање на добиените факти, развојот на независноста.

Задачи:

да ги сумира и систематизира постојните знаења на тема „Аритметичка прогресија“;
изведуваат формули за пресметување на збирот на првите n услови од аритметичка прогресија;
да научи како да ги примени добиените формули при решавање на разни проблеми;
да го свртат вниманието на учениците кон редоследот на дејствија при наоѓање на вредноста на нумерички израз.

Опрема:

картички со задачи за работа во групи и парови;
хартија за евалуација;
презентација„Аритметичка прогресија“.

I. Ажурирање на основните знаења.

1. Самостојна работа во парови.

1 -ва опција:

Дајте дефиниција за аритметичка прогресија. Запишете ја повторливата формула што ја дефинира аритметичката прогресија. Здраво пример за аритметичка прогресија и означете ја неговата разлика.

Втора опција:

Запишете ја формулата за n -тиот член од аритметичката прогресија. Најдете го 100 -от член на аритметичката прогресија ( a n}: 2, 5, 8 …
Во тоа време, двајца студенти на задната страна на таблата подготвуваат одговори на истите прашања.
Учениците ја оценуваат работата на партнерот наспроти таблата. (Се предаваат листовите со одговорите).

2. Момент за игра.

Вежба 1.

Наставник.Замислив некаква аритметичка прогресија. Само поставете ми две прашања, така што по одговорите ќе можете брзо да го именувате 7 -миот термин од оваа прогресија. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Прашања на учениците.

Кој е шестиот термин во прогресијата и која е разликата?
Кој е осмиот термин во прогресијата и која е разликата?

Ако нема повеќе прашања, тогаш наставникот може да ги стимулира - „забрана“ на г (разлика), односно, не е дозволено да се прашува која е разликата. Може да поставувате прашања: кој е 6 -тиот термин од прогресијата и кој е 8 -миот рок од прогресијата?

Задача 2.

Има 20 броеви напишани на таблата: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Наставникот стои со грбот кон таблата. Учениците го повикуваат бројот на бројот, а наставникот веднаш го повикува самиот број. Објаснете како го правам тоа?

Наставникот се сеќава на формулата за деветтиот термин a n = 3n - 2и, заменувајќи ги дадените вредности на n, ги наоѓа соодветните вредности a n

II. Изјава за образовниот проблем.

Предлагам да се реши древниот проблем што датира од 2 милениум п.н.е., пронајден во египетските папируси.

Задача:„Нека ви се каже: поделете 10 мери јачмен помеѓу 10 луѓе, разликата помеѓу секој човек и неговиот сосед е еднаква на 1/8 од мерката“.

Како оваа задача е поврзана со темата за аритметичка прогресија? (Секој следен добива 1/8 од мерката повеќе, што значи разлика d = 1/8, 10 луѓе, што значи n = 10.)
Што мислите, што значи бројот 10? (Збирот на сите членови на прогресијата.)
Што друго треба да знаете за да биде лесно и едноставно да се подели јачменот според состојбата на задачата? (Првиот термин во прогресијата.)

Цел на лекцијата- добивање зависност од збирот на членовите на прогресијата од нивниот број, првиот член и разликата и проверка дали проблемот бил правилно решен во античко време.

Пред да донесеме заклучок за формулата, да видиме како древните Египќани го решиле проблемот.

И тие го решија на следниов начин:

1) 10 мерки: 10 = 1 мерка - просечно учество;
2) 1 мерка ∙ = 2 мерки - удвоена просечносподели.
Двојно просечноакцијата е збир на акциите на 5 -то и 6 -то лице.
3) 2 мерки - 1/8 мерки = 1 7/8 мерки - двојно повеќе од учеството на петтото лице.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - уделот на петтиот; и така натаму, можете да го најдете уделот на секое претходно и следно лице.

Ја добиваме низата:

III. Решението на проблемот.

1. Работа во групи

Група I:Пронајдете ја сумата од 20 последователни природни броеви: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Генерално

II група:Најдете збир на природни броеви од 1 до 100 (Легендата за малите Гауси).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Излез:

III група:Пронајдете го збирот на природни броеви од 1 до 21.

Решение: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Излез:

IV група:Пронајдете го збирот на природни броеви од 1 до 101.

Излез:

Овој метод за решавање на разгледаните проблеми се нарекува „Гаусов метод“.

2. Секоја група презентира решение на проблемот на табла.

3. Генерализација на предложените решенија за произволна аритметичка прогресија:

a 1, a 2, a 3, ..., a-2, a-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Ајде да ја најдеме оваа сума со расудување на сличен начин:

4. Дали ја решивме задачата?(Да.)

IV. Примарно разбирање и примена на добиените формули при решавање проблеми.

1. Проверка на решението за стар проблем користејќи ја формулата.

2. Примена на формулата во решавање на разни проблеми.

3. Вежби за формирање способност за примена на формулата при решавање проблеми.

А) број 613

Со оглед: ( а н) -аритметичка прогресија;

(а н): 1, 2, 3, ..., 1500

Најдете: С 1500

Решение: , а 1 = 1, 1500 = 1500,

Б) Со оглед: ( а н) -аритметичка прогресија;
(а н): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Најдете: н
Решение:

V. Самостојна работа со меѓусебна верификација.

Денис отиде да работи како курир. Во првиот месец, неговата плата беше 200 рубли, во секој нареден месец се зголемуваше за 30 рубли. Колку заработил за една година?

Со оглед: ( а н) -аритметичка прогресија;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Најдете: С 12
Решение:

Одговор: Денис доби 4380 рубли за една година.

Vi. Брифинг за домашни задачи.

стр 4.3 - научи го изведувањето на формулата.
№№ 585, 623 .
Создадете проблем што би се решил со помош на формулата за збирот на првите n -услови од аритметичка прогресија.

Vii. Сумирање на лекцијата.

1. Лист за евалуација

2. Продолжете ги речениците

Денес на лекцијата што ја научив ...
Научени формули ...
Јас мислам дека …

3. Можете ли да најдете збир на броеви од 1 до 500? Кој метод ќе го користите за да го решите овој проблем?

Библиографија.

1. Алгебра, 9 одделение. Учебник за образовни институции. Ед. Г.В. Дорофеева.М.: "Образование", 2009 година.

Ако секој природен број н одговара на реален број a n , тогаш велат дека е дадено нумеричка низа :

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n , . . . .

Значи, нумеричката секвенца е функција на природен аргумент.

Број а 1 се викаат првиот член на низата , број а 2 — втор мандат , број а 3 — трето итн Број a n се викаат n -тиот член на низата , и природниот број н — неговиот број .

Од двајца соседни членови a n и a n +1 секвенца член a n +1 се викаат последователните (кон a n ), А a n — претходниот (кон a n +1 ).

За да наведете низа, треба да наведете метод што ви овозможува да пронајдете член на низата со кој било број.

Често редоследот е даден со формули за n -тиот рок , односно формула што ви овозможува да одредите член на низа по нејзиниот број.

На пример,

низа позитивни непарни броеви може да се определи со формулата

a n= 2n - 1,

и низата наизменични 1 и -1 - по формулата

бн = (-1)н +1 . ◄

Редоследот може да се одреди рекурзивна формула, односно формула која го изразува секој член на низата, почнувајќи од некои, преку претходните (еден или повеќе) членови.

На пример,

ако а 1 = 1 , а a n +1 = a n + 5

а 1 = 1,

а 2 = а 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

а 3 = а 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

а 4 = а 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

а 5 = а 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Ако а 1= 1, а 2 = 1, a n +2 = a n + a n +1 , тогаш првите седум членови на нумеричката низа се поставени како што следува:

а 1 = 1,

а 2 = 1,

а 3 = а 1 + а 2 = 1 + 1 = 2,

а 4 = а 2 + а 3 = 1 + 2 = 3,

а 5 = а 3 + а 4 = 2 + 3 = 5,

а 6 = а 4 + а 5 = 3 + 5 = 8,

а 7 = а 5 + а 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Редоследот може да биде конечно и бескрајно .

Редоследот се нарекува крајниот ако има конечен број на членови. Редоследот се нарекува бескрајно ако има бесконечно многу членови.

На пример,

низа двоцифрени природни броеви:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

конечно.

Редослед на првични вредности:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

бескрајно. ◄

Редоследот се нарекува се зголемува ако секој од неговите членови, почнувајќи од вториот, е поголем од претходниот.

Редоследот се нарекува се намалува ако секој од неговите членови, почнувајќи од вториот, е помал од претходниот.

На пример,

2, 4, 6, 8, . . . , 2н, . . . - зголемување на низата;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /н, . . . - опаѓачка секвенца. ◄

Се нарекува низа чии елементи не се намалуваат со зголемување на бројот, или, обратно, не се зголемуваат монотона низа .

Монотоните секвенци, особено, се растечки и опаѓачки секвенци.

Аритметичка прогресија

Аритметичка прогресија се нарекува низа, од кои секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, на кој се додава истиот број.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . , a n, . . .

е аритметичка прогресија ако за кој било природен број н условот е исполнет:

a n +1 = a n + г,

каде г - некој број.

Така, разликата помеѓу следните и претходните членови на дадена аритметичка прогресија е секогаш константна:

а 2 - а 1 = а 3 - а 2 = . . . = a n +1 - a n = г.

Број г се викаат разлика во аритметичката прогресија.

За да поставите аритметичка прогресија, доволно е да го наведете неговиот прв член и разликата.

На пример,

ако а 1 = 3, г = 4 , тогаш првите пет членови на низата се наоѓаат како што следува:

а 1 =3,

а 2 = а 1 + г = 3 + 4 = 7,

а 3 = а 2 + г= 7 + 4 = 11,

а 4 = а 3 + г= 11 + 4 = 15,

а 5 = а 4 + г= 15 + 4 = 19. ◄

За аритметичка прогресија со првиот член а 1 и разликата г неа н

a n = а 1 + (н- 1)г

На пример,

најдете го триесеттиот член на аритметичката прогресија

1, 4, 7, 10, . . .

а 1 =1, г = 3,

30 = а 1 + (30 - 1)г = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = а 1 + (н- 2)г,

a n= а 1 + (н- 1)г,

a n +1 = а 1 + nd,

тогаш очигледно

a n=	a n-1 + a n + 1
	2

секој член на аритметичката прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на аритметичката средина на претходните и следните членови.

броевите a, b и c се последователни членови на некоја аритметичка прогресија ако и само ако еден од нив е еднаков на аритметичката средина на другите два.

На пример,

a n = 2н- 7 , е аритметичка прогресија.

Ајде да ја искористиме горната изјава. Ние имаме:

a n = 2н- 7,

a n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2н- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2н- 5.

Оттука,

a n + 1 + a n-1	=	2н- 5 + 2н- 9	= 2н- 7 = a n,
2		2

◄

Забележи го тоа н -ти термин на аритметичка прогресија може да се најде не само преку а 1 , но и секој претходен а к

a n = а к + (н- к)г.

На пример,

за а 5 може да се напише

а 5 = а 1 + 4г,

а 5 = а 2 + 3г,

а 5 = а 3 + 2г,

а 5 = а 4 + г. ◄

a n = a n-k + kd,

a n = a n + k - kd,

тогаш очигледно

a n=	а n-k + а n + k
	2

секој член на аритметичка прогресија, почнувајќи од втората, е еднаков на половина збир од членовите на оваа аритметичка прогресија еднакво распоредени од неа.

Покрај тоа, за секоја аритметичка прогресија, еднаквоста е вистинита:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

На пример,

во аритметичка прогресија

1) а 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (а 9 + а 11 )/2;

2) 28 = 10 = а 3 + 7г= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 + 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, затоа што

2 + 12= 4 + 34 = 38,

5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= а 1 + а 2 + а 3 +. ... ...+ a n,

првиот н членовите на аритметичката прогресија е еднаков на производот од половина збир на екстремни термини по бројот на термини:

Оттука, особено, следува дека доколку е потребно да се сумираат условите

а к, а к +1 , . . . , a n,

тогаш претходната формула ја задржува својата структура:

На пример,

во аритметичка прогресија 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

С 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = С 10 - С 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ако е дадена аритметичка прогресија, тогаш вредностите а 1 , a n, г, ниС н поврзани со две формули:

Затоа, ако се дадени вредностите на три од овие количини, тогаш соодветните вредности на другите две количини се одредуваат од овие формули, комбинирани во систем од две равенки со две непознати.

Аритметичка прогресија е монотона секвенца. При што:

ако г > 0 , тогаш се зголемува;
ако г < 0 , тогаш се намалува;
ако г = 0 , тогаш низата ќе биде стационарна.

Геометриска прогресија

Геометриска прогресија се нарекува низа, од кои секој член, почнувајќи од вториот, е еднаков на претходниот, помножен со ист број.

б 1 , б 2 , б 3 , . . . , b n, . . .

е геометриска прогресија ако за било кој природен број н условот е исполнет:

b n +1 = b n · q,

каде q ≠ 0 - некој број.

Така, односот на следниот член на дадена геометриска прогресија со претходниот е константен број:

б 2 / б 1 = б 3 / б 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Број q се викаат именител на геометриска прогресија.

За да поставите геометриска прогресија, доволно е да го означите неговиот прв член и именител.

На пример,

ако б 1 = 1, q = -3 , тогаш првите пет членови на низата се наоѓаат како што следува:

б 1 = 1,

б 2 = б 1 · q = 1 · (-3) = -3,

б 3 = б 2 · q= -3 · (-3) = 9,

б 4 = б 3 · q= 9 · (-3) = -27,

б 5 = б 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

б 1 и именителот q неа н Терминот може да се најде со формулата:

b n = б 1 · q n -1 .

На пример,

најдете го седмиот член на геометриската прогресија 1, 2, 4, . . .

б 1 = 1, q = 2,

б 7 = б 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = б 1 · q n -2 ,

b n = б 1 · q n -1 ,

b n +1 = б 1 · q n,

тогаш очигледно

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

секој член на геометриската прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на геометриската средина (пропорционална) на претходните и следните членови.

Бидејќи обратната изјава е исто така точна, следната изјава важи:

броевите a, b и c се последователни членови на некоја геометриска прогресија ако и само ако квадратот на едниот од нив е еднаков на производот на другите два, односно еден од броевите е геометриска средина на другите два.

На пример,

да докажеме дека низата дадена со формулата b n= -3 2 н , е експоненцијална прогресија. Ајде да ја искористиме горната изјава. Ние имаме:

b n= -3 2 н,

b n -1 = -3 2 н -1 ,

b n +1 = -3 2 н +1 .

Оттука,

b n 2 = (-3 2 н) 2 = (-3 2 н -1 ) (-3 2 н +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

што ја докажува бараната изјава. ◄

Забележи го тоа н -ти термин на геометриската прогресија може да се најде не само преку б 1 , но и секој претходен термин б к , за што е доволно да се користи формулата

b n = б к · q n - к.

На пример,

за б 5 може да се напише

б 5 = б 1 · q 4 ,

б 5 = б 2 · q 3,

б 5 = б 3 · q 2,

б 5 = б 4 · q. ◄

b n = б к · q n - к,

b n = b n - к · q k,

тогаш очигледно

b n 2 = b n - к· b n + к

квадратот на кој било член на геометриска прогресија, почнувајќи од вториот, е еднаков на производот на членовите на оваа прогресија на еднакво растојание од него.

Покрај тоа, за секоја геометриска прогресија, еднаквоста е вистинска:

б м· b n= б к· б л,

м+ н= к+ л.

На пример,

експоненцијално

1) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = б 5 · б 7 ;

2) 1024 = б 11 = б 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) б 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = б 4 · б 8 ;

4) б 2 · б 7 = б 4 · б 5 , затоа што

б 2 · б 7 = 2 · 64 = 128,

б 4 · б 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= б 1 + б 2 + б 3 + . . . + b n

првиот н членови на геометриска прогресија со именител q ≠ 0 пресметано со формулата:

И кога q = 1 - според формулата

S n= нб 1

Забележете дека ако треба да ги сумирате условите

б к, б к +1 , . . . , b n,

тогаш се користи формулата:

S n- С к -1 = б к + б к +1 + . . . + b n = б к ·	1 - q n - к +1	.
	1 - q

На пример,

експоненцијално 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

С 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = С 10 - С 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ако е дадена геометриска прогресија, тогаш вредностите б 1 , b n, q, ни S n поврзани со две формули:

Затоа, ако се дадени вредностите на која било од овие количини, тогаш соодветните вредности на другите две количини се одредуваат од овие формули, комбинирани во систем од две равенки со две непознати.

За геометриска прогресија со првиот мандат б 1 и именителот q следното монотони својства :

прогресијата е нагорна ако е исполнет еден од следниве услови:

б 1 > 0 и q> 1;

б 1 < 0 и 0 < q< 1;

прогресијата се намалува ако е исполнет еден од следниве услови:

б 1 > 0 и 0 < q< 1;

б 1 < 0 и q> 1.

Ако q< 0 , тогаш геометриската прогресија се менува: нејзините членови со непарен број имаат ист знак како и неговиот прв член, а термините со парен број имаат спротивен знак. Јасно е дека наизменичната геометриска прогресија не е монотона.

Работата на првиот н членовите на геометриска прогресија може да се пресметаат со формулата:

P n= б 1 · б 2 · б 3 · . . . · b n = (б 1 · b n) н / 2 .

На пример,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Бесконечно намалена геометриска прогресија

Бесконечно намалена геометриска прогресија се нарекува бесконечна геометриска прогресија, чиј модул е помал 1 , тоа е

|q| < 1 .

Имајте на ум дека бесконечно намалената геометриска прогресија не може да биде секвенца што се намалува. Ова одговара на случајот

1 < q< 0 .

Со таков именител, редоследот се менува. На пример,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Збир на бесконечно намалена геометриска прогресија е бројот на кој збирот на првиот н членови на прогресијата со неограничено зголемување на бројот н ... Овој број е секогаш конечен и се изразува со формулата

С= б 1 + б 2 + б 3 + . . . =	б 1	.
	1 - q

На пример,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Однос помеѓу аритметичка и геометриска прогресија

Аритметичките и геометриските прогресии се тесно поврзани. Ајде да погледнеме само два примери.

а 1 , а 2 , а 3 , . . . г , тогаш

б а 1 , б а 2 , б а 3 , . . . б г .

На пример,

1, 3, 5, . . . - аритметичка прогресија со разлика 2 и

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - геометриска прогресија со именител 7 2 . ◄

б 1 , б 2 , б 3 , . . . - геометриска прогресија со именител q , тогаш

лог а б 1, лог а б 2, лог а б 3, . . . - аритметичка прогресија со разлика најавете сеq .

На пример,

2, 12, 72, . . . - геометриска прогресија со именител 6 и

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - аритметичка прогресија со разлика lg 6 . ◄

Прво ниво

Аритметичка прогресија. Детална теорија со примери (2019)

Нумеричка низа

Па, ајде да седнеме и да започнеме да пишуваме некои бројки. На пример:
Можете да напишете какви било броеви, и може да има онолку колку што сакате (во нашиот случај, тие). Без разлика колку броеви пишуваме, секогаш можеме да кажеме кој од нив е првиот, кој е вториот, и така натаму до последниот, односно можеме да ги нумерираме. Ова е пример за низа бројки:

Нумеричка низа
На пример, за нашата низа:

Назначениот број е специфичен само за еден број во низата. Со други зборови, нема три секунди броеви во низата. Вториот број (како -ти број) е секогаш еден.
Бројот со бројот се нарекува ти член на низата.

Обично целата секвенца ја нарекуваме буква (на пример,), и секој член на оваа секвенца е иста буква со индекс еднаков на бројот на овој член:.

Во нашиот случај:

Да речеме дека имаме нумеричка низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.
На пример:

итн
Оваа бројна секвенца се нарекува аритметичка прогресија.
Терминот "прогресија" беше воведен од римскиот автор Боетиус уште во 6 век и беше разбран во поширока смисла како бесконечна секвенца на броеви. Името „аритметика“ беше пренесено од теоријата за континуирани пропорции, која беше окупирана од античките Грци.

Ова е нумеричка секвенца, чијшто член е еднаков на претходниот, додаден на ист број. Овој број се нарекува разлика во аритметичката прогресија и се означува со.

Обидете се да одредите кои бројни секвенци се аритметичка прогресија, а кои не:

а)
б)
в)
г)

Разбра? Ајде да ги споредиме нашите одговори:
Еаритметичка прогресија - б, в.
Не еаритметичка прогресија - а, г.

Ајде да се вратиме на дадената прогресија () и да се обидеме да ја најдеме вредноста на нејзиниот член. Постои двеначинот да се најде.

1. Метод

Можеме да додадеме на претходната вредност на бројот на прогресијата с we додека не стигнеме до петтиот член на прогресијата. Добро е што немаме многу да сумираме - само три вредности:

Значи, третиот член на опишаната аритметичка прогресија е еднаков на.

2. Метод

Што ако треба да ја пронајдеме вредноста на вториот рок од прогресијата? Сумирањето би ни одзело повеќе од еден час, и не е факт дека не би згрешиле при собирање броеви.
Се разбира, математичарите смислија начин на кој не треба да ја додавате разликата во аритметичката прогресија на претходната вредност. Погледнете одблизу нацртаната слика ... Сигурно веќе забележавте одредена шема, имено:

На пример, да видиме како се додава вредноста на членот на оваа аритметичка прогресија:

Со други зборови:

Обидете се сами да ја пронајдете вредноста на член на дадена аритметичка прогресија.

Пресметано? Споредете ги вашите белешки со одговорот:

Ве молиме имајте предвид дека го добивте истиот број како и во претходниот метод, кога сукцесивно ги додадовме членовите на аритметичката прогресија на претходната вредност.
Ајде да се обидеме да ја „обезличиме“ оваа формула - ќе ја донесеме во општа форма и ќе добиеме:

Аритметичка равенка за прогресија.

Аритметичките прогресии се зголемуваат, а понекогаш и се намалуваат.

Растечки- прогресии во кои секоја наредна вредност на членовите е поголема од претходната.
На пример:

Намалување- прогресии во кои секоја наредна вредност на членовите е помала од претходната.
На пример:

Изведената формула се користи за пресметување на термините и во зголемување и во намалување на условите на аритметичка прогресија.
Ајде да го провериме во пракса.
Дадена ни е аритметичка прогресија која се состои од следните броеви: Ајде да провериме каков ќе биде бројот на оваа аритметичка прогресија ако ја користиме нашата формула за да ја пресметаме:

Од тогаш:

Така, ние се уверивме дека формулата работи и во намалување и во зголемување на аритметичката прогресија.
Обидете се сами да ги најдете татиот и татиот поим на оваа аритметичка прогресија.

Да ги споредиме добиените резултати:

Својство на аритметичка прогресија

Ајде да ја комплицираме задачата - ќе го изведеме својството на аритметичката прогресија.
Да речеме дека ни е даден следниот услов:
- аритметичка прогресија, пронајдете ја вредноста.
Лесно, велиш и почнуваш да броиш според формулата што веќе ја знаеш:

Ајде, а, тогаш:

Апсолутно во право. Излезе дека прво го наоѓаме, потоа го додаваме на првиот број и го добиваме она што го бараме. Ако прогресијата е претставена со мали вредности, тогаш нема ништо комплицирано во тоа, но ако ни се дадат броеви во состојба? Признајте, постои шанса да направите грешка во пресметките.
Сега размислете, дали е можно да се реши овој проблем со една акција користејќи каква било формула? Се разбира, да, и токму таа ќе се обидеме да се повлечеме сега.

Ајде да го означиме потребниот термин за аритметичка прогресија како што, ја знаеме формулата за наоѓање - ова е истата формула што ја извлековме на почетокот:
, тогаш:

претходниот член на прогресијата е:
следниот член на прогресијата е:

Ајде да ги сумираме претходните и следните членови на прогресијата:

Излегува дека збирот на претходните и следните членови на прогресијата е двојно зголемена вредност на членот на прогресијата лоцирана помеѓу нив. Со други зборови, за да се најде вредноста на член на прогресијата со познати претходни и последователни вредности, потребно е да се соберат и поделат со.

Точно, го добивме истиот број. Ајде да го поправиме материјалот. Сами пресметајте ја вредноста за прогресијата, бидејќи тоа воопшто не е тешко.

Добро сторено! Знаете скоро с about за прогресијата! Останува само една формула за учење, која, според легендата, лесно за себе ја заклучил еден од најголемите математичари на сите времиња, „кралот на математичарите“ - Карл Гаус ...

Кога Карл Гаус имаше 9 години, наставник ангажиран во проверка на работата на учениците во другите одделенија ја постави следната задача на часот: „Пресметај го збирот на сите природни броеви од до (според други извори до) вклучително“. Замислете го изненадувањето на наставникот кога еден од неговите ученици (тоа беше Карл Гаус) даде точен одговор на проблемот за една минута, додека повеќето од соучениците на дрдожецот, по долги пресметки, добија погрешен резултат ...

Младиот Карл Гаус забележа одредена шема што лесно можете да ја забележите.
Да речеме дека имаме аритметичка прогресија која се состои од -ти членови: Треба да ја најдеме сумата од дадените членови на аритметичката прогресија. Се разбира, можеме рачно да ги сумираме сите вредности, но што ако во задачата е неопходно да се најде збирот на неговите членови, како што бараше Гаус?

Ајде да ја прикажеме дадената прогресија. Погледнете внимателно на означените броеви и обидете се да извршите разни математички операции со нив.

Дали сте го пробале? Што забележавте? Точно! Нивните суми се еднакви

Сега кажи ми, колку такви парови има во дадената прогресија? Се разбира, точно половина од сите бројки, тоа е.
Врз основа на фактот дека збирот на два члена од аритметичка прогресија е еднаков, и слични еднакви парови, добиваме дека вкупниот збир е:
.
Така, формулата за збирот на првите термини од која било аритметичка прогресија ќе биде следна:

Во некои проблеми, ние не го знаеме терминот, но ја знаеме разликата во прогресијата. Обидете се да ја замените во формулата збирот, формулата на титулата.
Што направи?

Добро сторено! Сега да се вратиме на проблемот што му беше даден на Карл Гаус: пресметајте сами колку е збирот на броевите почнувајќи од -ти, и збирот на броевите почнувајќи од -ти.

Колку добивте?
Гаус откри дека збирот на членовите е еднаков, а збирот на членовите. Така одлучивте?

Всушност, формулата за збирот на членовите на аритметичка прогресија ја докажа античкиот грчки научник Диофантус во 3 век, и за сето ова време, духовитите луѓе ги користеа својствата на аритметичка прогресија со моќ и главно.
На пример, замислете го Антички Египет и најголемото градилиште во тоа време - изградбата на пирамидата ... Сликата ја покажува едната страна од неа.

Каде е прогресијата овде, велите? Погледнете внимателно и пронајдете шема во бројот на песочни блокови во секој ред од pyидот на пирамидата.

Зарем тоа не е аритметичка прогресија? Пресметајте колку блокови се потребни за изградба на еден wallид ако се поставени блок тули во основата. Се надевам дека нема да сметате со поминување со прстот преку мониторот, се сеќавате ли на последната формула и на сето она што го кажавме за аритметичката прогресија?

Во овој случај, прогресијата изгледа вака:
Разлика на аритметичка прогресија.
Бројот на членови на аритметичка прогресија.
Ајде да ги замениме нашите податоци во последните формули (ќе го броиме бројот на блокови на 2 начини).

Метод 1.

Метод 2.

И сега можете да пресметате на мониторот: споредете ги добиените вредности со бројот на блокови што се наоѓаат во нашата пирамида. Дали се собра? Браво, го совладавте збирот на условите на аритметичката прогресија.
Се разбира, не можете да изградите пирамида од блокови во основата, но од? Обидете се да пресметате колку тули од песок се потребни за изградба на ид со оваа состојба.
Дали успеавте?
Точниот одговор е блокови:

Вежба

Задачи:

Маша е во форма до лето. Секој ден таа го зголемува бројот на сквотови за. Колку пати Маша ќе сквоти за неколку недели, ако на првиот тренинг направи сквотови.
Колкав е збирот на сите непарни броеви содржани во.
При складирање на трупци, дрвосечачите ги редат на таков начин што секој горен слој содржи по еден дневник помалку од претходниот. Колку трупци има во една asonидарија, ако трупците служат како основа на идањето.

Одговори:

Ајде да ги дефинираме параметрите на аритметичката прогресија. Во овој случај
(недели = денови).
Одговори:По две недели, Маша треба да сквоти еднаш дневно.
Прв непарен број, последен број.
Разлика на аритметичка прогресија.
Бројот на непарни броеви е половина, меѓутоа, ние ќе го провериме овој факт користејќи ја формулата за пронаоѓање на -тиот член на аритметичка прогресија:
Броевите содржат непарни броеви.
Заменете ги достапните податоци во формулата:
Одговори:Збирот на сите непарни броеви содржани во е еднаков на.
Да се потсетиме на проблемот со пирамидата. За нашиот случај, a, бидејќи секој горен слој е намален за еден дневник, тогаш само во еден куп слоеви, тоа е.
Ајде да ги замениме податоците во формулата:
Одговори:Во theидарството има логови.

Ајде да резимираме

- нумеричка низа во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква. Може да биде растечки и опаѓачки.
Наоѓање формула-ти член на аритметичка прогресија е напишан со формулата -, каде е бројот на броеви во прогресијата.
Сопственост на членови на аритметичка прогресија- - каде е бројот на броеви во прогресијата.
Збирот на членовите на аритметичка прогресијаможе да се најде на два начина:

, каде е бројот на вредности.

АРИТМЕТСКА ПРОГРЕСА. СРЕДНО НИВО

Нумеричка низа

Ајде да седнеме и да почнеме да пишуваме бројки. На пример:

Можете да напишете какви било броеви, и може да има онолку колку што сакате. Но, секогаш можете да кажете кој е првиот, кој е втор, и така натаму, односно можеме да ги нумерираме. Ова е пример за бројна низа.

Нумеричка низае збир на броеви, од кои на секој може да му се додели единствен број.

Со други зборови, секој број може да се поврзе со одреден природен број, и единствениот. И ние нема да го доделиме овој број на кој било друг број од овој сет.

Бројот со бројот се нарекува ти член на низата.

Многу е погодно ако терминот на низата може да се определи со некоја формула. На пример, формулата

ја одредува низата:

И формулата е следнава низа:

На пример, аритметичка прогресија е низа (првиот член тука е еднаков, а разликата). Или (, разлика).

Формула за деветти термин

Ние ја нарекуваме рекурентна формула во која за да го дознаете членот, треба да ги знаете претходните или неколку претходни:

За да го најдеме, на пример, третиот термин на прогресијата користејќи таква формула, ќе треба да ги пресметаме претходните девет. На пример, нека. Потоа:

Па, која е формулата сега?

Во секоја линија додаваме, помножена со некој број. За што? Многу едноставно: ова е бројот на тековниот член минус:

Многу поудобно сега, нели? Ние проверуваме:

Одлучете сами:

Во аритметичка прогресија, пронајдете ја формулата за n -от член и пронајдете го стотиот член.

Решение:

Првиот член е еднаков. Што е разликата? И еве што:

(тоа е затоа што се нарекува разлика, што е еднакво на разликата на последователните членови на прогресијата).

Значи формулата е:

Тогаш стотиот мандат е:

Колкав е збирот на сите природни броеви од до?

Според легендата, големиот математичар Карл Гаус, како 9-годишно момче, ја пресметал оваа сума за неколку минути. Тој забележа дека збирот на првиот и последниот број е еднаков, збирот на вториот и последниот, но еден е ист, збирот на третиот и третиот од крајот е ист, и така натаму. Колку такви парови ќе има? Точно, точно половина од сите броеви, тоа е. Значи,

Општата формула за збирот на првите членови на која било аритметичка прогресија би била:

Пример:
Најдете го збирот на сите двоцифрени множители.

Решение:

Првиот таков број е. Секој следен се добива со собирање на претходниот број. Така, броевите за кои сме заинтересирани формираат аритметичка прогресија со првиот член и разликата.

Формулата на овој термин за оваа прогресија е:

Колку членови се во прогресија ако сите тие треба да бидат двоцифрени?

Многу лесно: .

Последниот мандат во прогресијата ќе биде еднаков. Потоа сумата:

Одговор:.

Сега одлучете сами:

Секој ден, спортистот трча повеќе метри од претходниот ден. Колку километри ќе истрча за неколку недели ако истрча км м првиот ден?
Велосипедист вози повеќе километри секој ден од претходниот. Првиот ден, возеше км. Колку дена му требаат да патува за да помине километар? Колку километри ќе помине во последниот ден од патувањето?
Цената на фрижидерот во продавница се намалува за иста сума секоја година. Определете колку се намалуваше цената на фрижидерот секоја година, ако, ставен на продажба за рубли, шест години подоцна беше продаден за рубли.

Одговори:

Најважно тука е да ја препознаете аритметичката прогресија и да ги одредите нејзините параметри. Во овој случај, (недели = денови). Треба да го одредите збирот на првите членови на оваа прогресија:
.
Одговори:
Тука е дадено :, потребно е да се најде.
Очигледно, треба да ја користите истата формула за збир како и во претходниот проблем:
.
Заменете ги вредностите:
Коренот очигледно не се вклопува, така што одговорот е.
Ајде да го пресметаме растојанието поминато последниот ден користејќи ја формулата за терминот:
(км).
Одговори:
Со оглед :. Најдете:.
Не може да биде полесно:
(тријте).
Одговори:

АРИТМЕТСКА ПРОГРЕСА. КРАТКО ЗА ГЛАВНАТА

Ова е нумеричка секвенца во која разликата помеѓу соседните броеви е иста и еднаква.

Аритметичката прогресија може да биде растечка () и опаѓачка ().

На пример:

Формулата за пронаоѓање на n-тиот термин на аритметичка прогресија

напишано со формулата, каде е бројот на броеви во прогресијата.

Сопственост на членови на аритметичка прогресија

Ви овозможува лесно да пронајдете член на прогресијата ако се познати неговите соседни членови - каде е бројот на броеви во прогресијата.

Збирот на членовите на аритметичка прогресија

Постојат два начина да се најде сумата:

Каде е бројот на вредности.

Инструкции

Аритметичка прогресија е низа од формата a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. Д во чекори прогресијаОчигледно е дека вкупниот произволен n-ти член на аритметиката прогресијаима форма: An = A1 + (n-1) d. Потоа знаејќи еден од членовите прогресија, член прогресијаи чекор прогресија, можете, односно бројот на членот на напредокот. Очигледно, тоа ќе се определи со формулата n = (An-A1 + d) / d.

Сега нека се знае месечниот термин прогресијаи друг член прогресија- n-ти, но n, како и во претходниот случај, но се знае дека n и m не се совпаѓаат. прогресијаможе да се пресмета со формулата: d = (An-Am) / (n-m). Потоа n = (An-Am + md) / d.

Ако се знае збирот на неколку елементи од аритметиката прогресија, како и нејзиниот прв и последен, тогаш може да се одреди и бројот на овие елементи. прогресијаќе биде еднаков на: S = ((A1 + An) / 2) n. Потоа n = 2S / (A1 + An) - chdenov прогресија... Користејќи го фактот дека An = A1 + (n-1) d, оваа формула може да се препише како: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Од ова може да се изрази n со решавање на квадратна равенка.

Аритметичка секвенца е таков подреден сет на броеви, од кои секој член, освен првиот, се разликува од претходниот по иста количина. Оваа константа се нарекува разлика на прогресијата или нејзиниот чекор и може да се пресмета од познатите членови на аритметичката прогресија.

Инструкции

Ако вредностите на првиот и вториот или кој било друг пар соседни поими се познати од условите на проблемот, за да ја пресметате разликата (г), едноставно одземете го претходниот од следниот член. Добиената вредност може да биде позитивна или негативна, во зависност од тоа дали прогресијата се зголемува. Во општа форма, запишете го решението за произволен пар (aᵢ и aᵢ₊₁) од соседните членови на прогресијата на следниов начин: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

За пар членови на таква прогресија, од кои едниот е првиот (a₁), а другиот е кој било друг произволно избран, исто така е можно да се состави формула за пронаоѓање на разликата (г). Меѓутоа, во овој случај, бројот на секвенцата (i) на произволно избраниот член на низата мора да биде познат. За да ја пресметате разликата, додадете ги двата броја и поделете го резултатот со реден број на произволен израз, намален за еден. Општо земено, напишете ја оваа формула на следниов начин: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Ако, покрај произволен член на аритметичката прогресија со реден i, е познат друг член со реден u, соодветно сменете ја формулата од претходниот чекор. Во овој случај, разликата (г) на прогресијата ќе биде збир на овие два термина поделена со разликата во нивните редни броеви: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Формулата за пресметување на разликата (г) ќе стане нешто посложена доколку вредноста на нејзиниот прв член (a₁) и збирот (Sᵢ) од даден број (i) од првите членови на аритметичката низа се дадени во услови на проблемот. За да ја добиете саканата вредност, поделете го износот со бројот на членови што го сочинуваат, одземете ја вредноста на првиот број во низата и дуплирајте го резултатот. Поделете ја добиената вредност со бројот на членови што го сочинуваат збирот, намален за еден. Општо земено, запишете ја формулата за пресметување на дискриминаторот на следниов начин: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Кога студирате алгебра во училиште за општо образование (одделение 9), една од важните теми е проучувањето на нумерички секвенци, кои вклучуваат прогресии - геометриски и аритметички. Во оваа статија, ќе ги разгледаме аритметичката прогресија и примери со решенија.

Што е аритметичка прогресија?

За да се разбере ова, неопходно е да се даде дефиниција за разгледуваната прогресија, како и да се дадат основните формули што понатаму ќе се користат при решавање проблеми.

Аритметички или е збир на подредени рационални броеви, од кои секој член се разликува од претходниот за одредена константна количина. Оваа вредност се нарекува разлика. Тоа е, знаејќи кој било член од подредената серија броеви и разликата, можете да ја вратите целата аритметичка прогресија.

Да дадеме пример. Следната низа броеви ќе биде аритметичка прогресија: 4, 8, 12, 16, ..., бидејќи разликата во овој случај е 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Но, множеството броеви 3, 5, 8, 12, 17 повеќе не може да се припише на разгледаниот тип на прогресија, бидејќи разликата за тоа не е константна вредност (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Важни формули

Дозволете ни сега да ги дадеме основните формули што ќе бидат потребни за решавање проблеми користејќи аритметичка прогресија. Дозволете да го означиме со n nтиот член на низата, каде n е цел број. Разликата е означена со латинската буква г. Тогаш важат следниве изрази:

За да се одреди вредноста на n-тиот член, формулата е соодветна: a n = (n-1) * d + a 1.
За да се одреди збирот на првите n поими: S n = (a n + a 1) * n / 2.

За да разберете какви било примери за аритметичка прогресија со решение во одделение 9, доволно е да ги запомните овие две формули, бидејќи сите проблеми од типот што се разгледуваат се изградени врз нивната употреба. Исто така, треба да запомните дека разликата во прогресијата е одредена со формулата: d = a n - a n -1.

Пример # 1: пронаоѓање непознат член

Да дадеме едноставен пример за аритметичка прогресија и формули што мора да се користат за решавање.

Нека се даде низата 10, 8, 6, 4, ..., потребно е да се најдат пет термини во неа.

Од изјавата за проблемот веќе произлегува дека се познати првите 4 термини. Петтиот може да се дефинира на два начина:

Ајде прво да ја пресметаме разликата. Имаме: d = 8 - 10 = -2. Слично, може да се земат и двајца други членови што стојат еден до друг. На пример, d = 4 - 6 = -2. Бидејќи е познато дека d = a n - a n -1, тогаш d = a 5 - a 4, од каде што добиваме: a 5 = a 4 + d. Заменете ги познатите вредности: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Вториот метод, исто така, бара да се знае разликата во разгледуваната прогресија, затоа прво треба да ја одредите како што е прикажано погоре (d = -2). Знаејќи дека првиот член a 1 = 10, ја користиме формулата за n број на низата. Имаме: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Заменувајќи n = 5 во последниот израз, добиваме: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Како што можете да видите, двата методи на решение доведоа до ист резултат. Забележете дека во овој пример, разликата d од прогресијата е негативна. Таквите секвенци се нарекуваат опаѓачки, бидејќи секој нареден термин е помал од претходниот.

Пример # 2: Разлика на прогресија

Сега ајде малку да ја комплицираме задачата, ќе дадеме пример како да ја пронајдеме разликата во аритметичка прогресија.

Познато е дека во некоја алгебарска прогресија 1 -виот член е еднаков на 6, а 7 -миот е еднаков на 18. Неопходно е да се најде разликата и да се врати оваа секвенца во 7 -миот член.

Ајде да ја користиме формулата за да го одредиме непознатиот термин: a n = (n - 1) * d + a 1. Во него ги заменуваме познатите податоци од состојбата, односно броевите 1 и 7, имаме: 18 = 6 + 6 * г. Од овој израз, лесно можете да ја пресметате разликата: d = (18 - 6) / 6 = 2. Така, ние одговоривме на првиот дел од проблемот.

За да вратите низа до 7 термини, треба да ја користите дефиницијата за алгебарска прогресија, односно, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, и така натаму. Како резултат на тоа, ја враќаме целата низа: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , а 6 = 14 + 2 = 16, а 7 = 18.

Пример # 3: напредување

Дозволете ни да ја комплицираме состојбата на проблемот уште повеќе. Сега е неопходно да се одговори на прашањето како да се најде аритметичката прогресија. Може да го дадете следниов пример: со оглед на два броја, на пример - 4 и 5. Неопходно е да се направи алгебарска прогресија, така што помеѓу овие да се вклопат уште три термини.

Пред да започнете со решавање на овој проблем, неопходно е да разберете какво место ќе заземат дадените бројки во идната прогресија. Бидејќи ќе има уште три термини меѓу нив, тогаш 1 = -4 и 5 = 5. Откако го утврдивме ова, продолжуваме кон проблемот, кој е сличен на претходниот. Повторно, за n -тиот член, ја користиме формулата, добиваме: a 5 = a 1 + 4 * d. Од каде: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Тука не добивме цела вредност на разликата, но тоа е рационален број, така што формулите за алгебарска прогресија остануваат исти.

Сега додадете ја пронајдената разлика во 1 и вратете ги исчезнатите членови на прогресијата. Добиваме: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, a 5 = 2.75 + 2.25 = 5, што се совпадна со состојбата на проблемот.

Пример # 4: првиот термин на прогресијата

Ајде да продолжиме да даваме примери за аритметичка прогресија со решение. Во сите претходни проблеми, првиот број на алгебарска прогресија беше познат. Сега разгледајте проблем од различен тип: нека се дадат два броја, каде што 15 = 50 и 43 = 37. Неопходно е да се најде бројот од кој започнува оваа низа.

Досега користените формули претпоставуваат знаење за 1 и г. Ништо не е познато за овие бројки во изјавата за проблемот. Како и да е, ние пишуваме изрази за секој член за кои има информации: a 15 = a 1 + 14 * d и 43 = a 1 + 42 * d. Доби две равенки во кои 2 непознати количини (а 1 и г). Ова значи дека проблемот се сведува на решавање на систем на линеарни равенки.

Најлесен начин да се реши овој систем е да се изрази 1 во секоја равенка, а потоа да се споредат добиените изрази. Првата равенка: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; втора равенка: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Порамнувајќи ги овие изрази, добиваме: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, од каде разликата d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (дадени се само 3 децимални места).

Знаејќи г, можете да користите кој било од двата горенаведени изрази за 1. На пример, првиот: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * ( - 0.464) = 56.496.

Ако се сомневате во резултатот, можете да го проверите, на пример, да го одредите терминот 43 на прогресијата, што е наведено во состојбата. Добиваме: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Една мала грешка се должи на фактот дека пресметките користеа заокружување до илјадници делови.

Пример # 5: износ

Сега да погледнеме неколку примери со решенија за збир на аритметичка прогресија.

Нека се даде нумеричка прогресија на следната форма: 1, 2, 3, 4, ...,. Како ја пресметувате сумата од овие 100 броеви?

Благодарение на развојот на компјутерската технологија, можно е да се реши овој проблем, односно да се соберат сите броеви последователно, што компјутерот ќе го направи веднаш штом едно лице ќе го притисне копчето Enter. Меѓутоа, проблемот може да се реши во умот, ако обрнеме внимание дека презентираната серија броеви е алгебарска прогресија, а нејзината разлика е 1. Применувајќи ја формулата за збирот, добиваме: S n = n * (a 1 + ан) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Curубопитно е да се забележи дека овој проблем се нарекува „Гаус“, бидејќи на почетокот на 18 век славниот Германец, иако имал само 10 години, успеал да го реши во главата за неколку секунди. Момчето не ја знаеше формулата за збир на алгебарска прогресија, но забележа дека ако ги додадете во парови броевите на рабовите на низата, секогаш добивате еден резултат, односно 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., и бидејќи од овие износи ќе бидат точно 50 (100/2), тогаш за да го добиете точниот одговор, доволно е да помножите 50 со 101.

Пример # 6: збир на членови од n до m

Друг типичен пример за збирот на аритметичка прогресија е следниот: со оглед на серија броеви: 3, 7, 11, 15, ..., треба да пронајдете колку ќе изнесува збирот на неговите членови од 8 до 14.

Проблемот се решава на два начина. Првиот од нив вклучува пронаоѓање непознати поими од 8 до 14, а потоа нивно последователно сумирање. Бидејќи постојат неколку термини, овој метод не е доволно макотрпен. Како и да е, се предлага овој проблем да се реши со вториот метод, кој е поуниверзален.

Идејата е да се добие формула за збир на алгебарска прогресија помеѓу термините m и n, каде што n> m се цели броеви. Дозволете ни да напишеме два изрази за збирот за двата случаи:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Бидејќи n> m, очигледно е дека збирот 2 го вклучува првиот. Последниот заклучок значи дека ако ја земеме разликата помеѓу овие суми и го додадеме терминот a m (во случај на земање на разликата, тој се одзема од збирот S n), тогаш го добиваме потребниот одговор на проблемот. Имаме: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). Во овој израз потребно е формулите да се заменат со n и m. Потоа добиваме: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Резултирачката формула е донекаде тешка; сепак, збирот на S mn зависи само од n, m, a 1 и d. Во нашиот случај, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Заменувајќи ги овие броеви, добиваме: S mn = 301.

Како што може да се види од дадените решенија, сите проблеми се базираат на знаење за изразот за n -тиот член и формулата за збир на множеството од првите членови. Пред да продолжите со решавање на кој било од овие проблеми, се препорачува внимателно да ја прочитате состојбата, јасно да разберете што се бара да се најде и само тогаш да продолжите со решението.

Друг совет е да се стремите кон едноставност, односно ако можете да одговорите на прашање без да користите сложени математички пресметки, тогаш треба да го направите токму тоа, бидејќи во овој случај веројатноста да направите грешка е помала. На пример, во пример на аритметичка прогресија со решение # 6, може да се запре на формулата S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, и да се скрши општиот проблем во одделни подзадачи (во овој случај, прво најдете ги членовите а и сум).

Ако има сомнежи за добиениот резултат, се препорачува да се провери, како што беше направено во некои од дадените примери. Откривме како да ја најдеме аритметичката прогресија. Ако сфатите, не е толку тешко.