Ирационален број- Ова реален број, што не е рационално, односно не може да се претстави како дропка, каде што се цели броеви, . Ирационален број може да се претстави како бесконечна непериодична децимална дропка.
Множеството ирационални броеви обично се означува со голема латинична буква во задебелен стил без засенчување. Така: т.е. има многу ирационални броеви разлика помеѓу множествата реални и рационални броеви.
За постоењето на ирационални броеви, поточно отсечките неспоредливи со отсечка од единица должина веќе им биле познати на античките математичари: тие ја знаеле, на пример, неспоредливоста на дијагоналата и страната на квадратот, што е еквивалентно на ирационалноста на бројот.
Својства
- Секој реален број може да се запише како бесконечна децимална дропка, додека ирационалните броеви и само тие се запишуваат како непериодични бесконечни децимали.
- Ирационалните броеви ги дефинираат резовите на Дедекинд во множеството рационални броеви кои немаат најголем број во пониската класа и немаат најмал број во горната класа.
- Секој реален трансцендентален број е ирационален.
- Секој ирационален број е или алгебарски или трансцендентален.
- Множеството ирационални броеви е густо насекаде на бројната права: помеѓу кои било два броја има ирационален број.
- Редоследот на множеството ирационални броеви е изоморфен на редот на множеството реални трансцендентални броеви.
- Множеството ирационални броеви е неброено и е множество од втората категорија.
Примери
| Ирационални броеви - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Ирационални се:
Примери за доказ за ирационалност
Корен од 2
Да го претпоставиме спротивното: тој е рационален, односно е претставен во форма на нередуцирана дропка, каде што е цел број и е природен број. Да ја квадрираме претпоставената еднаквост:
.Следи дека дури е парен и . Нека биде таму каде што е целината. Потоа
Затоа, дури значи дури и . Откривме дека и се парни, што е во спротивност со несведливоста на дропката . Тоа значи дека првобитната претпоставка била неточна, а тоа е ирационален број.
Бинарен логаритам на бројот 3
Да го претпоставиме спротивното: рационално е, односно е претставено како дропка, каде и се цели броеви. Бидејќи , и може да се избере да биде позитивен. Потоа
Но парни и непарни. Добиваме контрадикторност.
д
Приказна
Концептот на ирационални броеви бил имплицитно усвоен од индиските математичари во 7 век п.н.е., кога Манава (околу 750 п.н.е. - околу 690 п.н.е.) сфатила дека квадратните корени на некои природни броеви, како што се 2 и 61 не можат експлицитно да се изразат .
Првиот доказ за постоењето на ирационални броеви обично му се припишува на Хипас од Метапонт (околу 500 п.н.е.), Питагореец кој го нашол овој доказ проучувајќи ги должините на страните на пентаграмот. Во времето на Питагорејците, се верувало дека има една единица должина, доволно мала и неделива, која влегува во кој било сегмент цел број пати. Сепак, Хипас тврдеше дека не постои единствена единица за должина, бидејќи претпоставката за нејзиното постоење води до контрадикција. Тој покажа дека ако хипотенузата на рамнокрак правоаголен триаголник содржи цел број на единечни отсечки, тогаш овој број мора да биде и парен и непарен. Доказот изгледаше вака:
- Односот на должината на хипотенузата до должината на кракот на рамнокрак правоаголен триаголник може да се изрази како а:б, Каде аИ бизбрана како најмала можна.
- Според Питагоровата теорема: а² = 2 б².
- Бидејќи а- дури, амора да биде парен (бидејќи квадратот на непарен број би бил непарен).
- Бидејќи а:бненамалување бмора да биде чудно.
- Бидејќи адури, означуваме а = 2y.
- Потоа а² = 4 y² = 2 б².
- б² = 2 y², затоа б- дури тогаш бдури.
- Сепак, тоа е докажано бчудно. Контрадикторност.
Грчките математичари го нарекоа овој однос на неспоредливи големини алогос(неискажливо), но според легендите не му оддале должна почит на Хипас. Постои легенда дека Хипаз го открил откритието додека бил на морско патување и бил фрлен во морето од други Питагорејци „затоа што создал елемент на универзумот кој ја негира доктрината дека сите ентитети во универзумот можат да се сведуваат на цели броеви и нивните соодноси“. Откривањето на Хипаз претставувало сериозен проблем за питагоровата математика, уништувајќи ја основната претпоставка дека броевите и геометриските објекти се едно и неразделни.
Ирационалните броеви им се познати на луѓето уште од античко време. Неколку векови пред нашата ера, индискиот математичар Манава открил дека квадратните корени на некои броеви (на пример, 2) не можат експлицитно да се изразат.
Оваа статија е еден вид воведна лекција за темата „Ирационални броеви“. Ќе дадеме дефиниција и примери на ирационални броеви со објаснување, а исто така ќе дознаеме како да утврдиме дали даден број е ирационален.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Ирационални броеви. Дефиниција
Се чини дека самото име „ирационални бројки“ ни сугерира дефиниција. Ирационален број е реален број кој не е рационален. Со други зборови, таков број не може да се претстави како дропка m n, каде што m е цел број, а n е природен број.
Дефиниција. Ирационални броеви
Ирационалните броеви се броеви кои, кога се напишани во децимална форма, претставуваат бесконечни непериодични децимални дропки.
Ирационален број може да се претстави како бесконечна непериодична дропка. Множеството ирационални броеви се означува со $I$ и е еднакво на: $I=R / Q$ .
На пример. Ирационалните броеви се:
Операции на ирационални броеви
На множеството ирационални броеви може да се воведат четири основни аритметички операции: собирање, одземање, множење и делење; но за ниту една од наведените операции множеството ирационални броеви нема својство да биде затворено. На пример, збирот на два ирационални броја може да биде рационален број.
На пример. Да го најдеме збирот на два ирационални броја $0,1010010001 \ldots$ и $0,0101101110 \ldots$ . Првиот од овие броеви е формиран со низа од единици, одделени соодветно со една нула, две нули, три нули итн., Вториот - со низа од нули, меѓу кои се поставени еден, два еден, три еден, итн.:
$$0,1010010001 \ldots+0,0101101110 \ldots=0,111111=0,(1)=\frac(1)(9)$$
Така, збирот на два дадени ирационални броја е бројот $\frac(1)(9)$, кој е рационален.
Пример
Вежбајте.Докажете дека бројот $\sqrt(3)$ е ирационален.
Доказ.Ќе го користиме методот на докажување со контрадикторност. Да претпоставиме дека $\sqrt(3)$ е рационален број, односно може да се претстави како дропка $\sqrt(3)=\frac(m)(n)$ , каде што $m$ и $n$ се копрости природни броеви броеви.
Да ги квадратиме двете страни на еднаквоста и да добиеме
$$3=\frac(m^(2))(n^(2)) \лева стрелка 3 \cdot n^(2)=m^(2)$$
Бројот 3$\cdot n^(2)$ е делив со 3. Затоа, $m^(2)$ и, според тоа, $m$ е делив со 3. Поставување $m=3 \cdot k$, еднаквоста $3 \cdot n^ (2)=m^(2)$ може да се запише како
$3 \cdot n^(2)=(3 \cdot k)^(2) \левадесна стрелка 3 \cdot n^(2)=9 \cdot k^(2) \левадесна стрелка n^(2)=3 \cdot k^(2)$$
Од последното равенство следува дека $n^(2)$ и $n$ се делат со 3, затоа, дропката $\frac(m)(n)$ може да се намали за 3. Но, по претпоставка, дропката $ \frac(m)(n)$ е нередуциран. Добиената контрадикција докажува дека бројот $\sqrt(3)$ не може да се претстави како дропка $\frac(m)(n)$ и затоа е ирационален.
Q.E.D.
Сите рационални броеви може да се претстават како заедничка дропка. Ова се однесува на цели броеви (на пример, 12, -6, 0) и конечни децимални фракции (на пример, 0,5; -3,8921) и бесконечни периодични децимални фракции (на пример, 0,11 (23); -3, (87 )).
Сепак бесконечни непериодични децималине може да се претстават како обични дропки. Тоа се тие ирационални броеви(односно ирационално). Пример за таков број е бројот π, кој е приближно еднаков на 3,14. Сепак, не може да се одреди што точно е еднакво, бидејќи по бројот 4 има бескрајна серија други броеви во кои не може да се разликуваат периоди што се повторуваат. Покрај тоа, иако бројот π не може прецизно да се изрази, тој има специфично геометриско значење. Бројот π е односот на должината на кој било круг до должината на неговиот дијаметар. Така, ирационалните броеви всушност постојат во природата, исто како и рационалните броеви.
Друг пример за ирационални броеви се квадратните корени на позитивните броеви. Извлекувањето корени од некои броеви дава рационални вредности, од други - ирационални. На пример, √4 = 2, т.е. коренот на 4 е рационален број. Но, √2, √5, √7 и многу други резултираат со ирационални броеви, односно тие можат да се извлечат само со приближување, заокружување на одредено децимално место. Во овој случај, фракцијата станува непериодична. Односно, невозможно е точно и дефинитивно да се каже кој е коренот на овие бројки.
Значи, √5 е број кој лежи помеѓу броевите 2 и 3, бидејќи √4 = 2, и √9 = 3. Можеме да заклучиме и дека √5 е поблиску до 2 отколку до 3, бидејќи √4 е поблиску до √5 од √9 до √5. Навистина, √5 ≈ 2,23 или √5 ≈ 2,24.
Ирационалните броеви се добиваат и во други пресметки (и не само при вадење корени), а може да бидат негативни.
Во однос на ирационалните броеви, можеме да кажеме дека без разлика која единица отсечка ќе ја земеме за да ја измериме должината изразена со таков број, нема да можеме дефинитивно да ја измериме.
Во аритметичките операции, ирационалните броеви можат да учествуваат заедно со рационалните броеви. Во исто време, постојат голем број на законитости. На пример, ако во аритметичка операција се вклучени само рационални броеви, тогаш резултатот е секогаш рационален број. Ако во операцијата учествуваат само ирационални, тогаш е невозможно недвосмислено да се каже дали резултатот ќе биде рационален или ирационален број.
На пример, ако помножите два ирационални броеви √2 * √2, ќе добиете 2 - ова е рационален број. Од друга страна, √2 * √3 = √6 е ирационален број.
Ако аритметичката операција вклучува рационални и ирационални броеви, тогаш резултатот ќе биде ирационален. На пример, 1 + 3,14... = 4,14... ; √17 – 4.
Зошто √17 – 4 е ирационален број? Да замислиме дека добиваме рационален број x. Тогаш √17 = x + 4. Но, x + 4 е рационален број, бидејќи претпоставивме дека x е рационален. Бројот 4 е исто така рационален, па x + 4 е рационален. Меѓутоа, рационален број не може да биде еднаков на ирационалниот број √17. Затоа, претпоставката дека √17 – 4 дава рационален резултат е неточна. Резултатот од аритметичката операција ќе биде ирационален.
Сепак, постои исклучок од ова правило. Ако помножиме ирационален број со 0, ќе го добиеме рационалниот број 0.
Дефиниција за ирационален број
Ирационални броеви се оние броеви кои во децимална нотација претставуваат бескрајни непериодични децимални дропки.
Така, на пример, броевите добиени со земање на квадратниот корен на природните броеви се ирационални и не се квадрати на природните броеви. Но, не сите ирационални броеви се добиваат со земање квадратни корени, бидејќи бројот пи добиен со делење е исто така ирационален, и веројатно нема да го добиете со обид да го извлечете квадратниот корен на природен број.
Својства на ирационални броеви
За разлика од броевите напишани како бесконечни децимали, само ирационалните броеви се запишуваат како непериодични бесконечни децимали.
Збирот на два ненегативни ирационални броја може да заврши како рационален број.
Ирационалните броеви ги дефинираат Дедекиндските резови во множеството рационални броеви, од кои во долната класа нема најголем број, а во горната класа нема помал.
Секој реален трансцендентален број е ирационален.
Сите ирационални броеви се или алгебарски или трансцендентални.
Множеството ирационални броеви на правата е густо лоцирано, а помеѓу кои било два негови броеви сигурно има ирационален број.
Множеството ирационални броеви е бесконечно, неброиво и е множество од втора категорија.
При извршување на која било аритметичка операција на рационални броеви, освен делење со 0, резултатот ќе биде рационален број.
Кога се додава рационален број на ирационален број, резултатот е секогаш ирационален број.
Кога собираме ирационални броеви, можеме да завршиме со рационален број.
Множеството ирационални броеви не е парно.
Броевите не се ирационални
Понекогаш е доста тешко да се одговори на прашањето дали некој број е ирационален, особено во случаи кога бројот е во форма на децимална дропка или во форма на нумерички израз, корен или логаритам.
Затоа, нема да биде излишно да се знае кои бројки не се ирационални. Ако ја следиме дефиницијата за ирационални броеви, тогаш веќе знаеме дека рационалните броеви не можат да бидат ирационални.
Ирационалните броеви не се:
Прво, сите природни броеви;
Второ, цели броеви;
Трето, обични дропки;
Четврто, различни мешани броеви;
Петто, ова се бесконечни периодични децимални фракции.
Покрај сето горенаведено, ирационален број не може да биде која било комбинација од рационални броеви што се изведуваат со знаците на аритметички операции, како што се +, -, , :, бидејќи во овој случај резултатот од два рационални броја исто така ќе биде рационален број.
Сега да видиме кои бројки се ирационални:
Дали знаете за постоењето на фан клуб каде љубителите на овој мистериозен математички феномен бараат се повеќе информации за Пи, обидувајќи се да ја откријат неговата мистерија? Секој што знае напамет одреден број Пи броеви по децималната точка може да стане член на овој клуб;
Дали знаевте дека во Германија, под заштита на УНЕСКО, се наоѓа палатата Кастадел Монте, благодарение на чии пропорции можете да го пресметате Пи. Кралот Фредерик II ја посветил целата палата на овој број.
Излегува дека тие се обиделе да го користат бројот Пи во изградбата на Вавилонската кула. Но, за жал, ова доведе до колапс на проектот, бидејќи во тоа време точната пресметка на вредноста на Пи не беше доволно проучена.
Пејачката Кејт Буш во својот нов диск сними песна наречена „Пи“, во која се слушнаа сто дваесет и четири броеви од познатата серија 3, 141...
Се вчитува...