Примери за разлика на квадратни корени. Правило за додавање квадратни корени

Тема за квадратни корение задолжително во училишна наставна програмакурс по математика. Не можете без нив кога решавате квадратни равенки. И подоцна станува неопходно не само да се извлечат корените, туку и да се извршат други дејства со нив. Меѓу нив се доста сложени: степенување, множење и делење. Но, има и прилично едноставни: одземање и собирање корени. Патем, така изгледаат само на прв поглед. Нивното извршување без грешки не е секогаш лесно за некој кој штотуку почнува да се запознава со нив.

Што е математички корен?

Оваа акција настана во спротивставување на експонентацијата. Математиката сугерира две спротивставени операции. Има одземање за собирање. Множењето е спротивно на делењето. Инверзното дејство на степенот е да се извлече соодветниот корен.

Ако степенот е два, тогаш коренот ќе биде квадрат. Таа е најчеста кај училишна математика. Нема ни индикација дека е квадрат, односно до него не е доделен бројот 2 Математичката нотација на овој оператор (радикал) е претставена на сликата.

Неговата дефиниција тече непречено од опишаното дејство. За да го извлечете квадратниот корен на број, треба да откриете што ќе даде радикалниот израз кога ќе се помножи со себе. Овој број ќе биде квадратен корен. Ако го запишеме ова математички, го добиваме следново: x*x=x 2 =y, што значи √y=x.

Кои дејства можете да ги извршите со нив?

Во неговото јадро, коренот е фракциона сила со еден во броителот. А именителот може да биде што било. На пример, квадратниот корен има два. Затоа, сите дејства што можат да се извршат со моќи ќе важат и за корените.

И барањата за овие акции се исти. Ако множењето, делењето и степенувањето не наидат на потешкотии за учениците, тогаш додавањето корени, како и нивното одземање, понекогаш доведува до забуна. И сето тоа затоа што сакам да ги извршувам овие операции без оглед на знакот на коренот. И тука почнуваат грешките.

Кои се правилата за собирање и одземање?

Прво треба да запомните две категорични „не“:

• невозможно е да се изврши собирање и одземање на корените, како кај простите броеви, односно, невозможно е да се напишат радикални изрази на збирот под еден знак и да се вршат математички операции со нив;
• Не можете да собирате и одземате корени со различни експоненти, на пример квадрат и кубни.

Јасен пример за првата забрана: √6 + √10 ≠ √16, но √(6 + 10) = √16.

Во вториот случај, подобро е да се ограничиме на поедноставување на самите корени. И оставете ја нивната сума во одговорот.

Сега на правилата

1. Најдете и групирајте слични корени. Односно, оние кои не само што имаат исти бројки под радикалот, туку и самите имаат ист показател.
2. Изведете додавање на корените комбинирани во една група во првата акција. Лесно е да се имплементира бидејќи треба само да ги додадете вредностите што се појавуваат пред радикалите.
3. Извадете ги корените на оние поими во кои радикалниот израз формира цел квадрат. Со други зборови, не оставајте ништо под знакот на радикал.
4. Поедноставете ги радикалните изрази. За да го направите ова, треба да ги пресметате во прости множители и да видите дали тие даваат квадрат на кој било број. Јасно е дека тоа е точно кога зборуваме за квадратен корен. Кога експонентот е три или четири, тогаш простите множители мора да ја дадат коцката или четвртата моќност на бројот.
5. Отстранете го од под знакот на радикалот факторот што ја дава целата моќ.
6. Погледнете дали слични термини се појавуваат повторно. Ако одговорот е да, тогаш повторно направете го вториот чекор.

Во ситуација кога задачата не бара точна вредносткорен, може да се пресмета на калкулатор. Бескрајна децимална, кој ќе се појави во неговиот прозорец, заокружете се нагоре. Најчесто тоа се прави до стотинки. И потоа извршете ги сите операции за децимални фракции.

Ова се сите информации за тоа како да додадете корени. Примерите подолу ќе го илустрираат горенаведеното.

Прва задача

Пресметајте ја вредноста на изразите:

а) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

б) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

в) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

а) Ако го следите горенаведениот алгоритам, можете да видите дека нема ништо за првите две дејства во овој пример. Но, можете да поедноставите некои радикални изрази.

На пример, разложи 32 на два фактора 2 и 16; 18 ќе биде еднаков на производот од 9 и 2; 128 е 2 над 64. Со оглед на ова, изразот ќе биде напишан вака:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Сега треба да ги отстраните од под радикалниот знак оние фактори што го даваат квадратот на бројот. Ова е 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Изразот ќе има форма:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Треба малку да го поедноставиме снимањето. За да го направите ова, помножете ги коефициентите пред знаците на коренот:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Во овој израз, сите термини се покажаа слични. Затоа, само треба да ги преклопите. Одговорот ќе биде: 5√2.

б) Слично на претходниот пример, додавањето корени започнува со нивно поедноставување. Радикалните изрази 75, 147, 48 и 300 ќе бидат претставени во следните парови: 5 и 25, 3 и 49, 3 и 16, 3 и 100. Секој од нив содржи број што може да се извади од под знакот на коренот :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

По поедноставувањето, одговорот е: 5√5 - 5√3. Може да се остави во оваа форма, но подобро е да се извади заедничкиот фактор 5 од заградите: 5 (√5 - √3).

в) И повторно размножување: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Откако ќе ги отстраниме факторите од под знакот на коренот, имаме:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Откако ќе донесеме слични поими, го добиваме резултатот: 7√11.

Пример со фракциони изрази

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Ќе треба да ги пресметате следните броеви: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Слично на оние што веќе беа дискутирани, треба да ги отстраните факторите од под знакот на коренот и поедностави го изразот:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Овој израз бара да се ослободиме од ирационалноста во именителот. За да го направите ова, треба да го помножите вториот член со √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

За да ги завршите дејствата, треба да го изберете целиот дел од факторите пред корените. За првиот е 1, за вториот е 2.

Формули за корени. Својства на квадратни корени.

Внимание!
Има дополнителни
материјали во Посебен дел 555.
За оние кои се многу „не многу...“
И за оние кои „многу...“)

Во претходната лекција сфативме што е квадратен корен. Време е да откриеме кои од нив постојат формули за кореништо се својства на корените, и што може да се направи со сето ова.

Формули на корени, својства на корените и правила за работа со корени- ова е во суштина иста работа. Има изненадувачки малку формули за квадратни корени. Што секако ме прави среќен! Или подобро кажано, можете да напишете многу различни формули, но за практична и сигурна работа со корени, доволни се само три. Сè друго тече од овие три. Иако многу луѓе се збунуваат во трите коренски формули, да...

Да почнеме со наједноставниот. Еве ја таа:

Доколку ви се допаѓа оваа страница...

Патем, имам уште неколку интересни страници за вас.)

Можете да вежбате да решавате примери и да го дознаете вашето ниво. Тестирање со инстант верификација. Ајде да научиме - со интерес!)

Можете да се запознаете со функции и деривати.

Квадратниот корен на бројот x е број a, кој кога ќе се помножи со себе го дава бројот x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Како и со сите броеви, можете да извршите аритметички операции на собирање и одземање со квадратни корени.

Инструкции

1. Прво, кога додавате квадратни корени, обидете се да ги извлечете овие корени. Ова ќе биде прифатливо ако броевите под знакот на коренот се совршени квадрати. Да речеме дека дадениот израз е ?4 + ?9. Првиот број 4 е квадратот на бројот 2. Вториот број 9 е квадратот на бројот 3. Така излегува дека: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ако нема целосни квадрати под знакот за корен, тогаш обидете се да го преместите множителот на бројот од под знакот за корен. Да речеме, да речеме изразот е даден?24 +?54. Факторирајте ги броевите: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Бројот 24 има фактор 4, оној што може да се пренесе под знакот на квадратен корен. Бројот 54 има фактор 9. Така, излегува дека: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Во овој пример, како резултат на отстранување на множителот од под знакот на коренот, беше можно да се поедностави дадениот израз.

3. Нека збирот од 2 квадратни корени е именителот на дропка, да речеме A / (?a + ?b). И нека вашата задача е „да се ослободите од ирационалноста во именителот“. Потоа можете да го користите следниот метод. Помножете ги броителот и именителот на дропката со изразот ?a - ?b. Така, именителот ќе ја содржи скратената формула за множење: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. По аналогија, ако именителот ја содржи разликата меѓу корените: ?a - ?b, тогаш броителот и именителот на дропката мора да се помножат со изразот ?a + ?b. На пример, нека дропот 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Размислете за покомплексен пример за ослободување од ирационалноста во именителот. Нека е дадена дропката 12 / (?2 + ?3 + ?5). Треба да ги помножите броителот и именителот на дропката со изразот?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. И, конечно, ако ви треба само приближна вредност, можете да ги пресметате квадратните корени со помош на калкулатор. Пресметајте ги вредностите одделно за целиот број и запишете го до потребната прецизност (да речеме, две децимални места). И после тоа, извршете ги бараните аритметички операции, како со обичните броеви. Да речеме, да речеме дека треба да ја дознаете приближната вредност на изразот?7 + ?5? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Видео на темата

Забелешка!
Во никој случај не може да се додадат квадратни корени како примитивни броеви, т.е. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Корисен совет
Ако факторингирате број за да го поместите квадратот под знакот на коренот, тогаш извршете ја обратната проверка - помножете ги сите добиени фактори и добијте го оригиналниот број.

Содржина:

Во математиката, корените можат да бидат квадратни, кубни или да имаат кој било друг експонент (моќ), кој е запишан лево над знакот за корен. Изразот под знакот на коренот се нарекува радикален израз. Додавањето корени е слично на додавањето термини на алгебарски израз, односно бара одредување слични корени.

Чекори

Дел 1 Определување на корените

1. 1 Означување на корените.Изразот под знакот за корен (√) значи дека е неопходно да се извлече коренот од одреден степен од овој израз.
   • Коренот се означува со знакот √.
   • Експонентот (степенот) на коренот се запишува лево над знакот за корен. На пример, коренот на коцката од 27 е напишан како: 3 √(27)
   • Ако недостасува експонентот (степен) на коренот, тогаш експонентот се смета за еднаков на 2, односно тоа е квадратен корен (или корен од втор степен).
   • Бројот напишан пред знакот за корен се нарекува множител (односно, овој број се множи со коренот), на пример 5√(2)
   • Ако нема фактор пред коренот, тогаш тој е еднаков на 1 (се потсетиме дека секој број помножен со 1 е еднаков на самиот себе).
   • Ако ова е вашиот прв пат да работите со корени, направете соодветни белешки за множителот и коренскиот експонент за да избегнете забуна и подобро да ја разберете нивната цел.
2. 2 Запомнете кои корени можат да се преклопат, а кои не.Исто како што не можете да додавате различни термини на изразот, на пример, 2a + 2b ≠ 4ab, не можете да додавате различни корени.
   • Не можете да додавате корени со различни радикални изрази, на пример, √(2) + √(3) ≠ √(5). Но, можете да ги додадете броевите под истиот корен, на пример, √(2 + 3) = √(5) (квадратниот корен од 2 е приближно 1,414, квадратниот корен од 3 е приближно 1,732, а квадратниот корен од 5 е приближно 2.236).
   • Не можете да додавате корени со исти радикални изрази, но различни експоненти, на пример, √(64) + 3 √(64) (овој збир не е еднаков на 5 √(64), бидејќи квадратниот корен од 64 е 8, коцканиот корен од 64 е 4, 8 + 4 = 12, што е многу поголемо од петтиот корен од 64, што е приближно 2,297).

Дел 2 Поедноставување и додавање на корени

1. 1 Идентификувајте и групирајте слични корени.Слични корени се корени кои имаат исти показатели и исти радикални изрази. На пример, разгледајте го изразот:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Прво, препишете го изразот така што корените со ист индекс се наоѓаат последователно.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Потоа препишете го изразот така што корените со ист експонент и со ист радикален израз се лоцирани последователно.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Поедноставете ги корените.За да го направите ова, разградете ги (каде што е можно) радикалните изрази на два фактори, од кои едниот е изваден од под коренот. Во овој случај, отстранетиот број и коренскиот фактор се множат.
   • Во горниот пример, пресметајте го бројот 50 на 2*25, а бројот 32 на 2*16. Од 25 и 16 можете да ги земете квадратните корени (5 и 4, соодветно) и да ги отстраните 5 и 4 од под коренот, множејќи ги со факторите 2 и 1, соодветно, добивате поедноставен израз: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Бројот 81 може да се множи 3*27, а од бројот 27 може да се земе коцканиот корен од 3. Овој број 3 може да се извади од под коренот. Така, добивате уште поедноставен израз: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Додадете ги факторите на слични корени.Во нашиот пример, постојат слични квадратни корени од 2 (може да се додадат) и слични квадратни корени од 3 (тие исто така може да се додадат). Коцканиот корен од 3 нема такви корени.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Краен поедноставен израз: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Не постојат општо прифатени правила за редоследот по кој корените се пишуваат во изразот. Затоа, можете да пишувате корени во растечки редослед на нивните индикатори и во растечки редослед на радикални изрази.

Квадратниот корен на бројот x е број a, кој кога ќе се помножи со себе го дава бројот x: a * a = a^2 = x, √x = a. Како и кај сите броеви, аритметичките операции собирање и одземање можете да ги извршите со квадратни корени.

Инструкции

• Прво, кога додавате квадратни корени, обидете се да ги извлечете тие корени. Ова ќе биде можно ако броевите под знакот на коренот се совршени квадрати. На пример, нека биде даден изразот √4 + √9. Првиот број 4 е квадратот на бројот 2. Вториот број 9 е квадратот на бројот 3. Така излегува дека: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Ако нема целосни квадрати под знакот за корен, тогаш обидете се да го отстраните множителот на бројот од под знакот за корен. На пример, нека биде даден изразот √24 + √54. Факторирајте ги броевите: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Бројот 24 има фактор 4, кој може да се извади под знакот на квадратен корен. Бројот 54 има фактор 9. Така, излегува дека: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Во овој пример, како резултат на отстранување на множителот од под знакот на коренот, беше можно да се поедностави дадениот израз.
• Нека збирот на два квадратни корени е именителот на дропка, на пример, A / (√a + √b). И нека вашата задача е „да се ослободите од ирационалноста во именителот“. Потоа можете да го користите следниов метод. Помножете ги броителот и именителот на дропката со изразот √a - √b. Така, во именителот ја добиваме скратената формула за множење: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. По аналогија, ако именителот ја содржи разликата помеѓу корените: √a - √b, тогаш броителот и именителот на дропката мора да се помножат со изразот √a + √b. На пример, нека дропот 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Размислете повеќе комплексен примерослободување од ирационалноста во именител. Нека е дадена дропката 12 / (√2 + √3 + √5). Потребно е да се помножат броителот и именителот на дропката со изразот √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• Конечно, ако ви треба само приближна вредност, можете да користите калкулатор за да ги пресметате квадратните корени. Пресметајте ги вредностите одделно за секој број и запишете ги до потребната прецизност (на пример, две децимални места). И потоа извршете ги бараните аритметички операции, како со обичните броеви. На пример, да речеме дека треба да ја знаете приближната вредност на изразот √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.