Apakah gandaan nombor asli nok. Pembahagi dan gandaan

Bagaimana untuk mencari gandaan sepunya terkecil?

    Kita perlu mencari setiap faktor bagi setiap dua nombor yang kita dapati gandaan sepunya terkecil, dan kemudian darab dengan satu sama lain faktor yang bertepatan dalam nombor pertama dan kedua. Hasil produk akan menjadi berbilang yang diperlukan.

    Sebagai contoh, kita mempunyai nombor 3 dan 5 dan kita perlu mencari LCM (gandaan sepunya terkecil). Kami perlu membiak dan tiga dan lima untuk semua nombor bermula dari 1 2 3 ... dan seterusnya sehingga kita melihat nombor yang sama di kedua-dua tempat.

    Darab tiga dan dapatkan: 3, 6, 9, 12, 15

    Darab dengan lima dan dapatkan: 5, 10, 15

    Kaedah pemfaktoran perdana ialah kaedah paling klasik untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) bagi beberapa nombor. Kaedah ini jelas dan ringkas ditunjukkan dalam video berikut:

    Menambah, mendarab, membahagi, mengurangkan kepada penyebut biasa dan operasi aritmetik lain adalah aktiviti yang sangat menarik, contoh-contoh yang mengambil keseluruhan helaian kertas adalah sangat menarik.

    Jadi cari gandaan sepunya bagi dua nombor, yang akan menjadi nombor terkecil yang kedua-dua nombor itu boleh dibahagikan. Saya ingin ambil perhatian bahawa tidak perlu menggunakan formula pada masa hadapan untuk mencari apa yang anda cari, jika anda boleh mengira dalam kepala anda (dan ini boleh dilatih), maka nombor itu sendiri muncul di kepala anda dan maka pecahan pecah seperti kacang.

    Mula-mula, mari kita ketahui bahawa anda boleh mendarab dua nombor dengan satu sama lain, dan kemudian mengurangkan nombor ini dan membahagi secara berselang-seli dengan dua nombor ini, jadi kita akan mencari gandaan terkecil.

    Sebagai contoh, dua nombor 15 dan 6. Darab dan dapatkan 90. Ini jelas bilangan yang lebih besar. Selain itu, 15 boleh dibahagi dengan 3 dan 6 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud kita juga membahagi 90 dengan 3. Kita dapat 30. Kita cuba 30 bahagi 15 sama dengan 2. Dan 30 bahagi 6 sama dengan 5. Oleh kerana 2 ialah had, ia bertukar bahawa gandaan terkecil untuk nombor ialah 15 dan 6 akan menjadi 30.

    Dengan nombor yang lebih besar ia akan menjadi sedikit lebih sukar. tetapi jika anda tahu nombor mana yang memberikan baki sifar apabila membahagi atau mendarab, maka, pada dasarnya, tidak ada kesukaran yang besar.

  • Bagaimana untuk mencari NOC

    Berikut ialah video yang akan memberi anda dua cara untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM). Selepas berlatih menggunakan kaedah pertama yang dicadangkan, anda boleh memahami dengan lebih baik apakah gandaan sepunya terkecil.

    • Saya mengemukakan cara lain untuk mencari gandaan sepunya terkecil. Mari kita lihat dengan contoh yang jelas.

    Anda perlu mencari LCM bagi tiga nombor serentak: 16, 20 dan 28.

    • Kami mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya:
    • Kami menulis kuasa semua faktor utama:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • Kami memilih semua pembahagi utama (pendarab) dengan kuasa terbesar, darabkannya dan cari LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16, 20, 28) = 560.

    Oleh itu, hasil pengiraan ialah nombor 560. Ia adalah gandaan sepunya terkecil, iaitu, ia boleh dibahagikan dengan setiap tiga nombor tanpa baki.

    Gandaan sepunya terkecil ialah nombor yang boleh dibahagikan kepada beberapa nombor tertentu tanpa meninggalkan baki. Untuk mengira angka sedemikian, anda perlu mengambil setiap nombor dan menguraikannya kepada faktor mudah. Nombor yang sepadan dialih keluar. Meninggalkan semua orang satu demi satu, gandakan mereka di antara mereka secara bergilir-gilir dan dapatkan yang diingini - gandaan sepunya terkecil.

    NOC, atau gandaan sepunya terkecil, ialah nombor asli terkecil bagi dua atau lebih nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor yang diberi tanpa baki.

    Berikut ialah contoh cara mencari gandaan sepunya terkecil bagi 30 dan 42.

    • Langkah pertama ialah memfaktorkan nombor ini ke dalam faktor perdana.

    Untuk 30 ia adalah 2 x 3 x 5.

    Untuk 42, ini ialah 2 x 3 x 7. Oleh kerana 2 dan 3 berada dalam pengembangan nombor 30, kami memotongnya.

    • Kami menuliskan faktor-faktor yang termasuk dalam pengembangan nombor 30. Ini ialah 2 x 3 x 5.
    • Sekarang kita perlu mendarabnya dengan faktor yang hilang, yang kita ada apabila mengembangkan 42, iaitu 7. Kita mendapat 2 x 3 x 5 x 7.
    • Kami mencari apa yang 2 x 3 x 5 x 7 bersamaan dengan dan mendapat 210.

    Hasilnya, kita dapati bahawa KPK bagi nombor 30 dan 42 ialah 210.

    Untuk mencari gandaan sepunya terkecil, anda perlu melakukan beberapa langkah mudah mengikut urutan. Mari kita lihat ini menggunakan dua nombor sebagai contoh: 8 dan 12

    1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor ke dalam faktor perdana: 8=2*2*2 dan 12=3*2*2
    2. Kami mengurangkan faktor yang sama bagi salah satu nombor. Dalam kes kita, 2 * 2 bertepatan, mari kita kurangkan mereka untuk nombor 12, maka 12 akan mempunyai satu faktor yang tinggal: 3.
    3. Cari hasil darab semua faktor yang tinggal: 2*2*2*3=24

    Menyemak, kami memastikan bahawa 24 boleh dibahagi dengan kedua-dua 8 dan 12, dan ini ialah nombor asli terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Inilah kami didapati gandaan sepunya terkecil.

    Saya akan cuba menerangkan menggunakan nombor 6 dan 8 sebagai contoh Gandaan sepunya terkecil ialah nombor yang boleh dibahagikan dengan nombor ini (dalam kes kami, 6 dan 8) dan tidak akan ada baki.

    Jadi, mula-mula kita mula mendarabkan 6 dengan 1, 2, 3, dsb. dan 8 dengan 1, 2, 3, dsb.

Kalkulator dalam talian membolehkan anda mencari dengan cepat pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil untuk dua atau mana-mana nombor nombor lain.

Kalkulator untuk mencari GCD dan LCM

Cari GCD dan LOC

Menjumpai GCD dan LOC: 5806

Cara menggunakan kalkulator

  • Masukkan nombor dalam medan input
  • Jika anda memasukkan aksara yang salah, medan input akan diserlahkan dengan warna merah
  • klik butang "Cari GCD dan LCM".

Cara memasukkan nombor

  • Nombor dimasukkan dipisahkan oleh ruang, noktah atau koma
  • Panjang nombor yang dimasukkan tidak terhad, jadi mencari GCD dan LCM bagi nombor panjang tidaklah sukar

Apakah GCD dan NOC?

Pembahagi sepunya terbesar beberapa nombor ialah integer semula jadi terbesar di mana semua nombor asal boleh dibahagikan tanpa baki. Pembahagi sepunya terbesar disingkatkan sebagai GCD.
Gandaan sepunya terkecil beberapa nombor ialah nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan setiap nombor asal tanpa baki. Gandaan sepunya terkecil disingkatkan sebagai NOC.

Bagaimana untuk menyemak bahawa nombor boleh dibahagikan dengan nombor lain tanpa baki?

Untuk mengetahui sama ada satu nombor boleh dibahagi dengan yang lain tanpa baki, anda boleh menggunakan beberapa sifat kebolehbahagi nombor. Kemudian, dengan menggabungkannya, anda boleh menyemak kebolehpecahan sebahagian daripadanya dan gabungannya.

Beberapa tanda pembahagian nombor

1. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 2
Untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagikan dengan dua (sama ada genap), cukup untuk melihat digit terakhir nombor ini: jika ia sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka nombor itu adalah genap, yang bermaksud ia boleh dibahagikan dengan 2.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 2.
Penyelesaian: tengoklah digit terakhir: 8 bermaksud nombor boleh dibahagi dengan dua.

2. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 3
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 3 apabila jumlah digitnya boleh dibahagi dengan tiga. Oleh itu, untuk menentukan sama ada nombor boleh dibahagi dengan 3, anda perlu mengira jumlah digit dan menyemak sama ada ia boleh dibahagikan dengan 3. Walaupun jumlah digit itu sangat besar, anda boleh mengulangi proses yang sama sekali lagi.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 3.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 3, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagi dengan tiga.

3. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 5
Suatu nombor boleh dibahagi dengan 5 apabila digit terakhirnya ialah sifar atau lima.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 5.
Penyelesaian: lihat digit terakhir: 8 bermakna nombor itu TIDAK boleh dibahagikan dengan lima.

4. Ujian kebolehbahagiaan untuk nombor dengan 9
Tanda ini hampir sama dengan tanda boleh bahagi dengan tiga: nombor boleh dibahagi dengan 9 apabila jumlah digitnya boleh dibahagikan dengan 9.
Contoh: tentukan sama ada nombor 34938 boleh dibahagi dengan 9.
Penyelesaian: Kami mengira jumlah nombor: 3+4+9+3+8 = 27. 27 boleh dibahagi dengan 9, yang bermaksud nombor itu boleh dibahagikan dengan sembilan.

Bagaimana untuk mencari GCD dan LCM bagi dua nombor

Bagaimana untuk mencari gcd dua nombor

Kebanyakan dengan cara yang mudah Mengira pembahagi sepunya terbesar bagi dua nombor adalah untuk mencari semua pembahagi yang mungkin bagi nombor ini dan pilih yang terbesar daripadanya.

Mari kita pertimbangkan kaedah ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36):

  1. Kami memfaktorkan kedua-dua nombor: 28 = 1·2·2·7, 36 = 1·2·2·3·3
  2. Kami mencari faktor sepunya, iaitu faktor yang kedua-dua nombor mempunyai: 1, 2 dan 2.
  3. Kami mengira hasil darab faktor ini: 1 2 2 = 4 - ini adalah pembahagi sepunya terbesar bagi nombor 28 dan 36.

Bagaimana untuk mencari LCM bagi dua nombor

Terdapat dua cara yang paling biasa untuk mencari gandaan terkecil daripada dua nombor. Kaedah pertama ialah anda boleh menulis gandaan pertama bagi dua nombor, dan kemudian memilih antara mereka nombor yang akan menjadi biasa kepada kedua-dua nombor dan pada masa yang sama yang terkecil. Dan yang kedua ialah mencari gcd nombor ini. Mari kita pertimbangkan sahaja.

Untuk mengira LCM, anda perlu mengira hasil darab nombor asal dan kemudian membahagikannya dengan GCD yang ditemui sebelum ini. Mari cari LCM untuk nombor 28 dan 36 yang sama:

  1. Cari hasil darab nombor 28 dan 36: 28·36 = 1008
  2. GCD(28, 36), seperti yang telah diketahui, adalah sama dengan 4
  3. LCM(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari GCD dan LCM untuk beberapa nombor

Pembahagi sepunya terbesar boleh didapati untuk beberapa nombor, bukan hanya dua. Untuk melakukan ini, nombor yang ditemui untuk pembahagi sepunya terbesar diuraikan kepada faktor perdana, kemudian hasil darab faktor perdana sepunya nombor ini ditemui. Anda juga boleh menggunakan hubungan berikut untuk mencari gcd beberapa nombor: GCD(a, b, c) = GCD(GCD(a, b), c).

Hubungan yang serupa digunakan untuk gandaan sepunya terkecil: LCM(a, b, c) = LCM(LCM(a, b), c)

Contoh: cari GCD dan LCM untuk nombor 12, 32 dan 36.

  1. Mula-mula, mari kita faktorkan nombor: 12 = 1·2·2·3, 32 = 1·2·2·2·2·2, 36 = 1·2·2·3·3.
  2. Mari cari faktor sepunya: 1, 2 dan 2.
  3. Produk mereka akan memberikan GCD: 1·2·2 = 4
  4. Sekarang mari kita cari LCM: untuk melakukan ini, mari kita cari LCM(12, 32): 12·32 / 4 = 96 .
  5. Untuk mencari LCM bagi ketiga-tiga nombor, anda perlu mencari GCD(96, 36): 96 = 1·2·2·2·2·2·3 , 36 = 1·2·2·3·3 , GCD = 1·2· 2 3 = 12.
  6. LCM(12, 32, 36) = 96·36 / 12 = 288.

Tetapi banyak nombor asli juga boleh dibahagikan dengan nombor asli yang lain.

Contohnya:

Nombor 12 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12;

Nombor 36 boleh dibahagi dengan 1, dengan 2, dengan 3, dengan 4, dengan 6, dengan 12, dengan 18, dengan 36.

Nombor yang nombor itu boleh dibahagikan dengan keseluruhan (untuk 12 ini adalah 1, 2, 3, 4, 6 dan 12) dipanggil pembahagi nombor. Pembahagi nombor asli a- ialah nombor asli yang membahagi nombor tertentu a tanpa jejak. Nombor asli yang mempunyai lebih daripada dua pembahagi dipanggil komposit .

Sila ambil perhatian bahawa nombor 12 dan 36 mempunyai faktor sepunya. Nombor-nombor ini ialah: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Pembahagi terbesar bagi nombor ini ialah 12. Pembahagi sepunya bagi kedua-dua nombor ini a Dan b- ini ialah nombor di mana kedua-dua nombor yang diberi dibahagikan tanpa baki a Dan b.

Gandaan sepunya beberapa nombor ialah nombor yang boleh dibahagi dengan setiap nombor ini. Contohnya, nombor 9, 18 dan 45 mempunyai gandaan sepunya 180. Tetapi 90 dan 360 juga adalah gandaan sepunya mereka. Di antara semua gandaan sepunya sentiasa ada yang terkecil, dalam dalam kes ini ini ialah 90. Nombor ini dipanggil yang terkecilberbilang sepunya (CMM).

LCM sentiasa nombor asli yang mesti lebih besar daripada nombor terbesar yang ditakrifkan.

Gandaan sepunya terkecil (LCM). Hartanah.

Komutatif:

pergaulan:

Khususnya, jika dan ialah nombor koprima, maka:

Gandaan sepunya terkecil bagi dua integer m Dan n ialah pembahagi semua gandaan sepunya yang lain m Dan n. Selain itu, set gandaan sepunya m, n bertepatan dengan set gandaan untuk LCM( m, n).

Asimtotik untuk boleh dinyatakan dalam beberapa fungsi teori nombor.

Jadi, Fungsi Chebyshev. Dan juga:

Ini berikutan daripada definisi dan sifat fungsi Landau g(n).

Apakah yang berikut daripada hukum taburan nombor perdana.

Mencari gandaan sepunya terkecil (LCM).

NOC( a, b) boleh dikira dalam beberapa cara:

1. Jika pembahagi sepunya terbesar diketahui, anda boleh menggunakan sambungannya dengan LCM:

2. Biarkan penguraian kanonik kedua-dua nombor menjadi faktor perdana diketahui:

di mana p 1 ,...,p k- pelbagai nombor perdana, dan d 1 ,...,d k Dan e 1 ,...,e k— integer bukan negatif (ia boleh menjadi sifar jika perdana sepadan tiada dalam pengembangan).

Kemudian NOC ( a,b) dikira dengan formula:

Dalam erti kata lain, penguraian LCM mengandungi semua faktor perdana yang termasuk dalam sekurang-kurangnya satu daripada penguraian nombor. a, b, dan yang terbesar daripada dua eksponen pengganda ini diambil.

Contoh:

Mengira gandaan sepunya terkecil bagi beberapa nombor boleh dikurangkan kepada beberapa pengiraan berurutan bagi LCM bagi dua nombor:

peraturan. Untuk mencari LCM bagi satu siri nombor, anda memerlukan:

- menguraikan nombor kepada faktor perdana;

- memindahkan pengembangan terbesar (produk faktor produk yang diingini) ke dalam faktor produk yang diingini bilangan yang besar daripada yang diberikan), dan kemudian tambah faktor daripada pengembangan nombor lain yang tidak muncul dalam nombor pertama atau muncul di dalamnya lebih sedikit kali;

— hasil darab faktor perdana akan menjadi LCM nombor yang diberikan.

Mana-mana dua atau lebih nombor asli mempunyai LCM mereka sendiri. Jika nombor bukan gandaan antara satu sama lain atau tidak mempunyai faktor yang sama dalam pengembangan, maka LCM mereka adalah sama dengan hasil darab nombor ini.

Faktor perdana bagi nombor 28 (2, 2, 7) ditambah dengan faktor 3 (nombor 21), hasil darab (84) akan menjadi nombor terkecil yang boleh dibahagi dengan 21 dan 28.

Faktor perdana bagi nombor terbesar 30 ditambah dengan faktor 5 daripada nombor 25, hasil darab 150 yang terhasil adalah lebih besar daripada nombor terbesar 30 dan boleh dibahagikan dengan semua nombor yang diberi tanpa baki. ini produk paling sedikit daripada kemungkinan (150, 250, 300...), yang mana semua nombor yang diberikan adalah gandaan.

Nombor 2,3,11,37 ialah nombor perdana, jadi LCMnya adalah sama dengan hasil darab nombor yang diberikan.

peraturan. Untuk mengira LCM nombor perdana, anda perlu mendarab semua nombor ini bersama-sama.

Pilihan lain:

Untuk mencari gandaan sepunya terkecil (LCM) beberapa nombor yang anda perlukan:

1) mewakili setiap nombor sebagai hasil darab faktor perdananya, contohnya:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) tuliskan kuasa semua faktor utama:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) tuliskan semua pembahagi utama (pendarab) bagi setiap nombor ini;

4) pilih tahap terbesar setiap daripada mereka, yang terdapat dalam semua pengembangan nombor ini;

5) gandakan kuasa ini.

Contoh. Cari LCM nombor: 168, 180 dan 3024.

Penyelesaian. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Kami menulis kuasa terbesar dari semua pembahagi utama dan melipatgandakannya:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Gandaan sepunya

Ringkasnya, sebarang integer yang boleh dibahagi dengan setiap nombor yang diberi ialah gandaan sepunya diberi integer.

Anda boleh mencari gandaan sepunya bagi dua atau lebih integer.

Contoh 1

Kira gandaan sepunya dua nombor: $2$ dan $5$.

Penyelesaian.

Mengikut definisi, gandaan sepunya $2$ dan $5$ ialah $10$, kerana ia adalah gandaan nombor $2$ dan nombor $5$:

Gandaan sepunya bagi nombor $2$ dan $5$ juga akan menjadi nombor $–10, 20, –20, 30, –30$, dsb., kerana semuanya dibahagikan kepada nombor $2$ dan $5$.

Nota 1

Sifar ialah gandaan sepunya bagi sebarang bilangan integer bukan sifar.

Mengikut sifat kebolehbahagi, jika nombor tertentu ialah gandaan sepunya beberapa nombor, maka nombor berlawanan dalam tanda juga akan menjadi gandaan sepunya bagi nombor yang diberikan. Ini dapat dilihat daripada contoh yang dipertimbangkan.

Untuk integer tertentu, anda sentiasa boleh mencari gandaan sepunya mereka.

Contoh 2

Kira gandaan sepunya $111$ dan $55$.

Penyelesaian.

Mari kita darabkan nombor yang diberikan: $111\div 55=6105$. Adalah mudah untuk mengesahkan bahawa nombor $6105$ boleh dibahagikan dengan nombor $111$ dan nombor $55$:

$6105\div 111=$55;

$6105\div 55=$111.

Oleh itu, $6105$ ialah gandaan sepunya bagi $111$ dan $55$.

Jawab: Gandaan sepunya $111$ dan $55$ ialah $6105$.

Tetapi, seperti yang telah kita lihat dari contoh sebelumnya, gandaan sepunya ini bukanlah satu. Gandaan sepunya lain ialah $–6105, 12210, –12210, 61050, –61050$, dsb. Oleh itu, kami sampai pada kesimpulan berikut:

Nota 2

Mana-mana set integer mempunyai bilangan gandaan sepunya yang tidak terhingga.

Dalam amalan, mereka terhad kepada mencari gandaan sepunya bagi nombor integer (semula jadi) positif sahaja, kerana set gandaan nombor yang diberi dan sebaliknya bertepatan.

Menentukan Gandaan Sepunya Terkecil

Daripada semua gandaan nombor yang diberikan, gandaan sepunya terkecil (LCM) digunakan paling kerap.

Definisi 2

Gandaan sepunya terkecil positif bagi integer yang diberi ialah gandaan sepunya terkecil nombor-nombor ini.

Contoh 3

Kirakan LCM bagi nombor $4$ dan $7$.

Penyelesaian.

Kerana nombor ini tidak mempunyai pembahagi biasa, kemudian $NOK(4,7)=28$.

Jawab: $NOK (4,7)=28$.

Mencari NOC melalui GCD

Kerana terdapat hubungan antara LCM dan GCD, dengan bantuannya anda boleh mengira LCM bagi dua integer positif:

Nota 3

Contoh 4

Hitung LCM bagi nombor $232$ dan $84$.

Penyelesaian.

Mari gunakan formula untuk mencari LCM melalui GCD:

$LCD (a,b)=\frac(a\cdot b)(GCD (a,b))$

Mari cari GCD bagi nombor $232$ dan $84$ menggunakan algoritma Euclidean:

$232=84\cdot 2+64$,

$84=64\cdot 1+20$,

$64=20\cdot 3+4$,

Itu. $GCD(232, 84)=4$.

Mari cari $LCC (232, 84)$:

$NOK (232.84)=\frac(232\cdot 84)(4)=58\cdot 84=4872$

Jawab: $NOK (232.84)=$4872.

Contoh 5

Kira $LCD(23, 46)$.

Penyelesaian.

Kerana $46$ boleh dibahagi dengan $23$, kemudian $gcd (23, 46)=23$. Mari cari LOC:

$NOK (23.46)=\frac(23\cdot 46)(23)=46$

Jawab: $NOK (23.46)=$46.

Oleh itu, seseorang boleh merumuskan peraturan:

Nota 4

Pembahagi sepunya terbesar dan gandaan sepunya terkecil ialah konsep aritmetik utama yang membolehkan anda beroperasi dengan mudah pecahan biasa. LCM dan paling kerap digunakan untuk mencari penyebut sepunya beberapa pecahan.

Konsep Asas

Pembahagi bagi integer X ialah satu lagi integer Y yang mana X dibahagikan tanpa meninggalkan baki. Sebagai contoh, pembahagi bagi 4 ialah 2, dan 36 ialah 4, 6, 9. Gandaan bagi integer X ialah nombor Y yang boleh dibahagi dengan X tanpa baki. Sebagai contoh, 3 ialah gandaan 15, dan 6 ialah gandaan 12.

Untuk mana-mana pasangan nombor, kita boleh mencari pembahagi dan gandaan sepunya mereka. Sebagai contoh, untuk 6 dan 9, gandaan sepunya ialah 18, dan pembahagi sepunya ialah 3. Jelas sekali, pasangan boleh mempunyai beberapa pembahagi dan gandaan, jadi pengiraan menggunakan GCD pembahagi terbesar dan LCM berbilang terkecil.

Pembahagi terkecil tidak bermakna, kerana untuk sebarang nombor ia sentiasa satu. Gandaan terbesar juga tidak bermakna, kerana urutan gandaan pergi ke infiniti.

Mencari gcd

Terdapat banyak kaedah untuk mencari pembahagi sepunya terbesar, yang paling terkenal ialah:

  • penghitungan pembahagi berurutan, pemilihan pembahagi biasa untuk sepasang dan cari pembahagi terbesar;
  • penguraian nombor kepada faktor yang tidak boleh dibahagikan;
  • Algoritma Euclidean;
  • algoritma binari.

Hari ini di institusi pendidikan Yang paling popular ialah kaedah pemfaktoran perdana dan algoritma Euclidean. Yang terakhir, seterusnya, digunakan apabila menyelesaikan persamaan Diophantine: mencari GCD diperlukan untuk menyemak persamaan untuk kemungkinan resolusi dalam integer.

Mencari NOC

Gandaan sepunya terkecil juga ditentukan oleh penghitungan berurutan atau pemfaktoran kepada faktor tidak boleh dibahagikan. Di samping itu, adalah mudah untuk mencari LCM jika pembahagi terbesar telah ditentukan. Untuk nombor X dan Y, LCM dan GCD dikaitkan dengan hubungan berikut:

LCD(X,Y) = X × Y / GCD(X,Y).

Sebagai contoh, jika GCM(15,18) = 3, maka LCM(15,18) = 15 × 18 / 3 = 90. Contoh paling jelas penggunaan LCM ialah mencari penyebut sepunya, iaitu gandaan sepunya terkecil bagi pecahan yang diberi.

Nombor koprima

Jika sepasang nombor tidak mempunyai pembahagi sepunya, maka pasangan sedemikian dipanggil coprime. Gcd untuk pasangan sedemikian sentiasa sama dengan satu, dan berdasarkan hubungan antara pembahagi dan gandaan, gcd untuk pasangan coprime adalah sama dengan hasil darabnya. Sebagai contoh, nombor 25 dan 28 adalah relatif perdana, kerana mereka tidak mempunyai pembahagi sepunya, dan LCM(25, 28) = 700, yang sepadan dengan hasil darabnya. Mana-mana dua nombor tak boleh bahagi akan sentiasa menjadi perdana secara relatif.

Pembahagi biasa dan kalkulator berbilang

Menggunakan kalkulator kami, anda boleh mengira GCD dan LCM untuk nombor sewenang-wenangnya untuk dipilih. Tugas untuk mengira pembahagi dan gandaan sepunya terdapat dalam aritmetik gred 5 dan 6, tetapi GCD dan LCM ialah konsep utama dalam matematik dan digunakan dalam teori nombor, planimetri dan algebra komunikatif.

Contoh kehidupan sebenar

Penyebut sepunya bagi pecahan

Gandaan sepunya terkecil digunakan apabila mencari penyebut sepunya beberapa pecahan. Biar masuk masalah aritmetik anda perlu menjumlahkan 5 pecahan:

1/8 + 1/9 + 1/12 + 1/15 + 1/18.

Untuk menambah pecahan, ungkapan mesti dikurangkan kepada penyebut biasa, yang mengurangkan kepada masalah mencari LCM. Untuk melakukan ini, pilih 5 nombor dalam kalkulator dan masukkan nilai penyebut dalam sel yang sesuai. Program ini akan mengira LCM (8, 9, 12, 15, 18) = 360. Sekarang anda perlu mengira faktor tambahan untuk setiap pecahan, yang ditakrifkan sebagai nisbah LCM kepada penyebut. Jadi pengganda tambahan akan kelihatan seperti:

  • 360/8 = 45
  • 360/9 = 40
  • 360/12 = 30
  • 360/15 = 24
  • 360/18 = 20.

Selepas ini, kita darabkan semua pecahan dengan faktor tambahan yang sepadan dan dapatkan:

45/360 + 40/360 + 30/360 + 24/360 + 20/360.

Kita boleh menjumlahkan pecahan tersebut dengan mudah dan mendapatkan hasilnya sebagai 159/360. Kami mengurangkan pecahan sebanyak 3 dan melihat jawapan akhir - 53/120.

Menyelesaikan persamaan Diophantine linear

Persamaan Diophantine Linear ialah ungkapan bentuk ax + by = d. Jika nisbah d / gcd(a, b) ialah integer, maka persamaan itu boleh diselesaikan dalam integer. Mari kita semak beberapa persamaan untuk melihat sama ada ia mempunyai penyelesaian integer. Mula-mula, mari kita semak persamaan 150x + 8y = 37. Dengan menggunakan kalkulator, kita dapati GCD (150.8) = 2. Bahagi 37/2 = 18.5. Nombor itu bukan integer, oleh itu persamaan tidak mempunyai punca integer.

Mari kita semak persamaan 1320x + 1760y = 10120. Gunakan kalkulator untuk mencari GCD(1320, 1760) = 440. Bahagikan 10120/440 = 23. Hasilnya, kita mendapat integer, oleh itu, persamaan kosolvensi Diophantine dalam ialah .

Kesimpulan

GCD dan LCM memainkan peranan yang besar dalam teori nombor, dan konsep itu sendiri digunakan secara meluas dalam pelbagai bidang matematik. Gunakan kalkulator kami untuk mengira pembahagi terbesar dan gandaan terkecil sebarang nombor nombor.

Memuatkan...Memuatkan...