Konsep garis tengah trapezoid
Sebagai permulaan, mari kita ingat bentuk mana yang dipanggil trapezoid.
Definisi 1
Trapezoid ialah segi empat di mana dua sisi adalah selari dan dua sisi yang lain tidak selari.
Dalam kes ini, sisi selari dipanggil asas trapezoid, dan tidak selari - sisi trapezoid.
Definisi 2
Garis tengah trapezoid ialah segmen garis yang menghubungkan titik tengah sisi trapezoid.
Teorem garis tengah untuk trapezium
Sekarang kita memperkenalkan teorem pada garis tengah trapezoid dan membuktikannya dengan kaedah vektor.
Teorem 1
Garis tengah trapezoid adalah selari dengan tapak dan sama dengan separuh jumlahnya.
Bukti.
Marilah kita diberi trapezoid $ ABCD $ dengan tapak $ AD \ dan \ BC $. Dan biarkan $ MN $ menjadi garis tengah trapezoid ini (Rajah 1).
Rajah 1. Garis tengah trapezoid
Mari kita buktikan bahawa $ MN || AD \ dan \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Pertimbangkan vektor $ \ overrightarrow (MN) $. Seterusnya, kami menggunakan peraturan poligon untuk menambah vektor. Di satu pihak, kita mendapat itu
Di sebelah sana
Kami menambah dua persamaan terakhir, kami dapat
Oleh kerana $ M $ dan $ N $ ialah titik tengah bagi sisi sisi trapezoid, kita akan mempunyai
Kita mendapatkan:
Oleh itu
Daripada kesamaan yang sama (sejak $ \ overrightarrow (BC) $ dan $ \ overrightarrow (AD) $ adalah codirectional dan, oleh itu, collinear) kita memperoleh bahawa $ MN || AD $.
Teorem dibuktikan.
Contoh tugasan mengenai konsep garis tengah trapezium
Contoh 1
Sisi trapezium ialah $ 15 \ cm $ dan $ 17 \ cm $, masing-masing. Perimeter trapezoid ialah $ 52 \ cm $. Cari panjang garis tengah trapezium itu.
Penyelesaian.
Mari kita nyatakan garis tengah trapezoid dengan $ n $.
Jumlah sisi ialah
Oleh itu, oleh kerana perimeter ialah $ 52 \ cm $, jumlah tapaknya ialah
Oleh itu, dengan Teorem 1, kita memperoleh
Jawapan:$ 10 \ sm $.
Contoh 2
Hujung diameter bulatan dikeluarkan daripada tangennya masing-masing sebanyak $ 9 $ cm dan $ 5 $ cm Cari diameter bulatan ini.
Penyelesaian.
Biarkan kita diberi bulatan dengan pusat $ O $ dan diameter $ AB $. Lukis garis tangen $ l $ dan bina jarak $ AD = 9 \ cm $ dan $ BC = 5 \ cm $. Mari kita lukis jejari $ OH $ (Gamb. 2).
Rajah 2.
Oleh kerana $ AD $ dan $ BC $ ialah jarak kepada tangen, maka $ AD \ bot l $ dan $ BC \ bot l $ dan oleh kerana $ OH $ ialah jejari, maka $ OH \ bot l $, oleh itu, $ OH | \ kiri | AD \ kanan || BC $. Daripada semua ini kita dapati bahawa $ ABCD $ ialah trapezoid, dan $ OH $ ialah garis tengahnya. Dengan Teorem 1, kita perolehi
Sisi empat dengan hanya dua sisi selari dipanggil trapezoid.
Sisi selari trapezoid dipanggil alasan, dan sisi yang tidak selari dipanggil sisi sisi... Jika sisinya sama, maka trapezoid tersebut adalah sama kaki. Jarak antara tapak dipanggil ketinggian trapezoid.
Garis Tengah Trapezium
Garis tengah ialah segmen garis yang menghubungkan titik tengah sisi trapezoid. Garis tengah trapezoid adalah selari dengan tapaknya.
Teorem:
Jika garis lurus yang melintasi bahagian tengah satu sisi adalah selari dengan tapak trapezoid, maka ia membelah bahagian kedua trapezium itu.
Teorem:
Panjang garis tengah adalah sama dengan min aritmetik bagi panjang tapaknya
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
Garis tengah MN, AB dan CD - tapak, AD dan BC - sisi
MN = (AB + DC) / 2
Teorem:
Panjang garis tengah trapezoid adalah sama dengan min aritmetik bagi panjang tapaknya.
Tugas utama: Buktikan bahawa garis tengah trapezium membelah dua ruas yang hujungnya terletak di tengah pangkal trapezoid.
Garisan Tengah Segi Tiga
Segmen yang menghubungkan titik tengah dua sisi segitiga dipanggil garis tengah segitiga. Ia selari dengan sisi ketiga dan separuh panjang sisi ketiga.
Teorem: Jika garis yang bersilang dengan titik tengah satu sisi segitiga adalah selari dengan sisi lain segitiga ini, maka ia membahagikan sisi ketiga kepada separuh.
AM = MC dan BN = NC =>
Mengaplikasikan Sifat Garis Tengah Segitiga dan Trapezoid
Pembahagian segmen kepada bilangan bahagian yang sama.
Tugasan: Bahagikan segmen AB kepada 5 bahagian yang sama banyak.
Penyelesaian:
Biarkan p ialah sinar rawak dengan asalan pada titik A dan tidak terletak pada garis AB. Kami berturut-turut meletakkan 5 segmen yang sama pada p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Kami menyambungkan A 5 ke B dan melukis garisan sedemikian melalui A 4, A 3, A 2 dan A 1, yang selari dengan A 5 B. Mereka bersilang AB, masing-masing, di titik B 4, B 3, B 2 dan B 1 . Titik-titik ini membahagi segmen garis AB kepada 5 bahagian yang sama. Sesungguhnya, daripada trapezoid BB 3 A 3 A 5 kita lihat bahawa BB 4 = B 4 B 3. Dengan cara yang sama, daripada trapezoid B 4 B 2 A 2 A 4 kita dapat B 4 B 3 = B 3 B 2
Manakala daripada trapezoid B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Kemudian daripada B 2 AA 2 ia berikutan bahawa B 2 B 1 = B 1 A. Kesimpulannya, kita memperoleh:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Adalah jelas bahawa untuk membahagikan segmen AB kepada beberapa bahagian yang sama, kita perlu mengunjurkan bilangan segmen yang sama ke sinar p. Dan kemudian teruskan dengan cara yang diterangkan di atas.
Dalam artikel ini, kami telah membuat satu lagi pilihan masalah trapezoid untuk anda. Keadaannya entah bagaimana bersambung dengan garis tengahnya. Jenis tugasan diambil dari bank terbuka tugas biasa. Jika anda mahu, anda boleh menyegarkan pengetahuan teori anda. Blog telah pun meliputi tugas-tugas yang berkaitan dengan syarat-syaratnya juga. Secara ringkas mengenai garis tengah:
Garis tengah trapezoid menghubungkan titik tengah sisi sisi. Ia selari dengan tapak dan sama dengan separuh jumlahnya.
Sebelum menyelesaikan masalah, mari kita lihat contoh teori.
Diberi sebuah trapezoid ABCD. AC pepenjuru yang bersilang dengan garis tengah membentuk titik K, pepenjuru BD membentuk titik L. Buktikan bahawa ruas KL adalah sama dengan separuh perbezaan antara tapak.
Mari kita perhatikan fakta bahawa garis tengah trapezoid membelah dua bahagian mana-mana segmen yang hujungnya terletak pada tapaknya. Kesimpulan ini mencadangkan dirinya sendiri. Bayangkan satu segmen yang menghubungkan dua titik asas, ia akan membelah trapezoid ini kepada dua yang lain. Ternyata segmen selari dengan tapak trapezoid dan melalui bahagian tengah sisi di sisi lain akan melalui bahagian tengahnya.
Ia juga berdasarkan teorem Thales:
Jika pada salah satu daripada dua garis lurus kita mengetepikan beberapa segmen yang sama berturut-turut dan melalui hujungnya lukis garis lurus selari yang bersilang dengan garis lurus kedua, maka ia akan memotong segmen yang sama pada garis lurus kedua.
Iaitu, dalam kes ini, K ialah tengah AC dan L ialah tengah BD. Oleh itu EK ialah garis tengah segitiga ABC, LF ialah garis tengah segitiga DCB. Dengan sifat garis tengah segitiga:
Kami kini boleh menyatakan segmen KL melalui pangkalan:
Terbukti!
Contoh ini diberikan atas sebab tertentu. Dalam masalah untuk penyelesaian bebas, terdapat masalah sedemikian. Cuma ia tidak menyatakan bahawa segmen yang menghubungkan titik tengah pepenjuru terletak pada garis tengah. Pertimbangkan tugas:
27819. Cari garis tengah trapezium jika tapaknya ialah 30 dan 16.
Kami mengira dengan formula:
27820. Garis tengah trapezoid ialah 28 dan tapak yang lebih kecil ialah 18. Cari tapak trapezoid yang lebih besar.
Mari kita nyatakan asas yang lebih besar:
Dengan cara ini:
27836. Serenjang, diturunkan dari bahagian atas sudut tumpul ke tapak yang lebih besar bagi trapezoid sama kaki, membahagikannya kepada bahagian-bahagian dengan panjang 10 dan 4. Cari garis tengah trapezoid ini.
Untuk mencari garis tengah, anda perlu mengetahui asasnya. Asas AB mudah dicari: 10 + 4 = 14. Cari DC.
Mari kita bina DF berserenjang kedua:
AF, FE dan EB masing-masing akan menjadi 4, 6 dan 4. Mengapa?
Dalam trapezoid sama kaki, serenjang yang diturunkan ke tapak yang lebih besar membahagikannya kepada tiga segmen. Dua daripadanya, iaitu kaki bagi segi tiga bersudut tegak yang dipotong, adalah sama antara satu sama lain. Segmen ketiga adalah sama dengan tapak yang lebih kecil, kerana apabila membina ketinggian yang ditunjukkan, segi empat tepat terbentuk, dan dalam segi empat tepat sisi bertentangan adalah sama. Dalam tugasan ini:
Oleh itu DC = 6. Kami mengira:
27839. Tapak trapezoid ialah 2: 3, dan garis tengah ialah 5. Cari tapak yang lebih kecil.
Mari kita perkenalkan pekali kekadaran x. Kemudian AB = 3x, DC = 2x. Kita boleh menulis:
Oleh itu, tapak yang lebih kecil ialah 2 ∙ 2 = 4.
27840. Perimeter trapezium isosceles ialah 80, garis tengahnya adalah sama dengan sisi sisi. Cari sisi trapezoid itu.
Berdasarkan keadaan, kita boleh menulis:
Jika anda menetapkan garis tengah melalui nilai x, anda mendapat:
Persamaan kedua sudah boleh ditulis dalam bentuk:
27841. Garis tengah trapezoid ialah 7, dan salah satu tapaknya lebih besar daripada yang lain sebanyak 4. Cari tapak trapezoid yang lebih besar.
Mari kita nyatakan tapak yang lebih kecil (DC) sebagai x, maka yang lebih besar (AB) akan sama dengan x + 4. Kita boleh tulis
Kami mendapat bahawa pangkalan bawah adalah awal lima, jadi lebih besar ialah 9.
27842. Garis tengah trapezoid ialah 12. Salah satu pepenjuru membahagikannya kepada dua bahagian, bezanya ialah 2. Cari tapak trapezoid yang lebih besar.
Kita boleh mencari tapak trapezoid yang lebih besar dengan mudah jika kita mengira segmen EO. Ia ialah garis tengah dalam segi tiga ADB, dan AB = 2 ∙ EO.
Apa yang kita ada? Dikatakan bahawa garis tengah ialah 12 dan perbezaan antara segmen EO dan OF ialah 2. Kita boleh menulis dua persamaan dan menyelesaikan sistem:
Adalah jelas bahawa dalam kes ini adalah mungkin untuk mengambil sepasang nombor tanpa pengiraan, ini adalah 5 dan 7. Tetapi, bagaimanapun, kami akan menyelesaikan sistem:
Oleh itu EO = 12–5 = 7. Oleh itu, tapak yang lebih besar adalah sama dengan AB = 2 ∙ EO = 14.
27844. Dalam trapezoid isosceles, pepenjuru adalah berserenjang. Ketinggian trapezoid ialah 12. Cari garis tengahnya.
Dengan serta-merta, kita perhatikan bahawa ketinggian yang dilukis melalui titik persilangan pepenjuru dalam trapezoid isosceles terletak pada paksi simetri dan membelah trapezoid kepada dua trapezoid segi empat tepat yang sama, iaitu tapak ketinggian ini dibahagikan kepada separuh.
Nampaknya untuk mengira garis tengah, kita mesti mencari pangkalan. Di sini kebuntuan kecil timbul ... Bagaimana, mengetahui ketinggian, dalam kes ini, untuk mengira pangkalan? Dan bukan bagaimana! Terdapat banyak trapezoid sedemikian dengan ketinggian tetap dan pepenjuru bersilang pada sudut 90 darjah. Bagaimana untuk menjadi?
Lihat formula untuk garis tengah trapezoid. Lagipun, kita tidak perlu mengetahui alasannya sendiri, cukup untuk mengetahui jumlah mereka (atau separuh jumlah). Kita boleh lakukan ini.
Oleh kerana pepenjuru bersilang pada sudut tegak, segi tiga bersudut tegak isosceles terbentuk dengan ketinggian EF:
Daripada perkara di atas, ia mengikuti bahawa FO = DF = FC, dan OE = AE = EB. Sekarang mari kita tuliskan apakah ketinggian yang dinyatakan dari segi segmen DF dan AE:
Jadi garis tengah ialah 12.
* Secara umum, ini adalah tugas, seperti yang anda faham, untuk pengiraan lisan. Tetapi saya pasti penjelasan terperinci yang diberikan adalah perlu. Dan sebagainya ... Jika anda melihat rajah (dengan syarat bahawa sudut antara pepenjuru diperhatikan semasa pembinaan), kesamaan FO = DF = FC, dan OE = AE = EB, segera menarik perhatian anda.
Sebagai sebahagian daripada prototaip, terdapat juga jenis tugasan dengan trapezium. Ia dibina di atas helaian dalam sangkar dan anda perlu mencari garis tengah, sisi sangkar biasanya 1, tetapi mungkin terdapat nilai yang berbeza.
27848. Cari garis tengah trapezoid itu ABCD jika sisi sel segi empat sama ialah 1.
Mudah sahaja, kami mengira asas mengikut sel dan menggunakan formula: (2 + 4) / 2 = 3
Jika tapak dibina pada sudut ke grid sel, maka terdapat dua cara. Sebagai contoh!
Objektif pelajaran:
1) membiasakan pelajar dengan konsep garis tengah trapezoid, pertimbangkan sifatnya dan buktikan;
2) mengajar cara membina garis tengah trapezoid;
3) membangunkan keupayaan pelajar menggunakan definisi garis tengah trapezoid dan sifat garis tengah trapezoid semasa menyelesaikan masalah;
4) terus membentuk kebolehan pelajar bertutur dengan betul, menggunakan istilah matematik yang diperlukan; buktikan pandangan anda;
5) membangunkan pemikiran logik, ingatan, perhatian.
Semasa kelas
1. Menyemak kerja rumah berlaku semasa pelajaran. Kerja rumah adalah lisan, ingat:
a) takrifan trapezium; jenis trapezium;
b) menentukan garis tengah segitiga;
c) sifat garis tengah segitiga;
d) tanda garis tengah segitiga.
2. Mempelajari bahan baharu.
a) Trapezoid ABCD ditunjukkan pada papan.
b) Guru mencadangkan mengingati definisi trapezium. Setiap meja sekolah mempunyai rajah pembayang yang membantu mengingati konsep asas dalam topik "Trapezium" (lihat Lampiran 1). Lampiran 1 dikeluarkan untuk setiap meja sekolah.
Murid melukis trapezoid ABCD dalam buku tulis.
c) Guru mencadangkan mengingat dalam topik mana konsep garis tengah ditemui (“Garisan tengah segitiga”). Pelajar mengimbas kembali definisi garis tengah segitiga dan sifatnya.
e) Tulis takrif garis tengah trapezoid, menggambarkannya dalam buku nota.
Garis tengah trapezoid dipanggil segmen yang menghubungkan titik tengah sisi sisinya.
Sifat garis tengah trapezoid pada peringkat ini masih belum terbukti, oleh itu peringkat pelajaran seterusnya melibatkan kerja pada bukti sifat garis tengah trapezoid.
Teorem. Garis tengah trapezoid adalah selari dengan tapaknya dan sama dengan separuh jumlahnya.
Diberi: ABCD - trapezoid,
MN - garis tengah ABCD
Buktikan, apa:
1. SM || MN || AD.
2. MN = (AD + BC).
Kita boleh menulis beberapa akibat yang berikut daripada syarat teorem:
AM = MB, CN = ND, BC || AD.
Adalah mustahil untuk membuktikan apa yang diperlukan berdasarkan hanya sifat yang disenaraikan. Sistem soalan dan latihan harus membawa pelajar kepada keinginan untuk menyambung garis tengah trapezium dengan garis tengah segitiga, sifat-sifatnya yang sudah mereka ketahui. Sekiranya tiada cadangan, maka anda boleh bertanya soalan: bagaimana untuk membina segitiga yang mana segmen MN akan menjadi garis tengah?
Mari tuliskan pembinaan tambahan untuk salah satu kes.
Lukis garis BN yang bersilang dengan sambungan sisi AD di titik K.
Elemen tambahan muncul - segi tiga: ABD, BNM, DNK, BCN. Jika kita membuktikan BN = NK, maka ini bermakna MN ialah garis tengah ABD, dan kemudian kita boleh menggunakan sifat garis tengah segitiga dan membuktikan apa yang diperlukan.
Bukti:
1. Pertimbangkan BNC dan DNK, di dalamnya:
a) CNB = DNK (sifat sudut menegak);
b) BCN = NDK (sifat sudut bersilang);
c) CN = ND (dengan akibat daripada syarat teorem).
Oleh itu BNC = DNK (di sepanjang sisi dan dua sudut bersebelahan).
Q.E.D.
Buktinya boleh dijalankan secara lisan dalam pelajaran, dan di rumah ia boleh dipulihkan dan ditulis dalam buku nota (mengikut budi bicara guru).
Adalah perlu untuk mengatakan tentang cara lain yang mungkin untuk membuktikan teorem ini:
1. Lukis salah satu pepenjuru trapezoid dan gunakan tanda dan sifat garis tengah segi tiga.
2. Menjalankan CF || BA dan pertimbangkan segi empat selari ABCF dan DCF.
3. Menjalankan EF || BA dan pertimbangkan kesamarataan FND dan ENC.
g) Pada peringkat ini, kerja rumah diberikan: ms 84, buku teks, ed. Atanasyan L.S. (bukti sifat garis tengah trapezoid dengan cara vektor), tulis dalam buku nota.
h) Kami menyelesaikan masalah menggunakan definisi dan sifat garis tengah trapezoid mengikut lukisan siap (lihat Lampiran 2). Lampiran 2 dikeluarkan kepada setiap pelajar, dan penyelesaian masalah disediakan pada helaian yang sama dalam bentuk ringkas.
Kawasan trapezium. salam sejahtera! Dalam siaran ini, kita akan melihat formula yang ditentukan. Kenapa dia betul-betul sama dan bagaimana untuk memahaminya. Jika ada pemahaman, maka anda tidak perlu mempelajarinya. Jika anda hanya mahu melihat formula ini dan apa yang mendesak, maka anda boleh segera tatal ke bawah halaman))
Sekarang secara terperinci dan teratur.
Trapezoid ialah segiempat, dua sisi segiempat ini selari, dua yang lain tidak. Yang tidak selari ialah tapak trapezoid. Dua yang lain dipanggil sisi.
Jika sisinya sama, maka trapezoid itu dipanggil isosceles. Jika salah satu sisi sisi berserenjang dengan tapak, maka trapezoid seperti itu dipanggil segi empat tepat.
Dalam bentuk klasik, trapezoid digambarkan seperti berikut - pangkalan yang lebih besar di bahagian bawah, masing-masing, yang lebih kecil di bahagian atas. Tetapi tiada siapa yang melarang menggambarkannya dan begitu juga sebaliknya. Berikut adalah lakarannya:
Konsep penting seterusnya.
Garis tengah trapezoid ialah segmen garisan yang menghubungkan titik tengah sisi. Garis tengah adalah selari dengan tapak trapezoid dan sama dengan separuh jumlahnya.
Sekarang mari kita mendalami lebih mendalam. Kenapa jadi begitu?
Pertimbangkan trapezoid dengan tapak a dan b dan dengan garis tengah l, dan kami akan melakukan beberapa pembinaan tambahan: lukis garis lurus melalui tapak, dan serenjang melalui hujung garis tengah sehingga ia bersilang dengan tapak:
* Penetapan huruf bucu dan titik lain tidak sengaja diperkenalkan untuk mengelakkan sebutan yang tidak perlu.
Lihat, segitiga 1 dan 2 adalah sama dalam tanda kedua kesamaan segitiga, segitiga 3 dan 4 adalah sama. Kesamaan segi tiga membayangkan kesamaan unsur, iaitu kaki (masing-masing ditunjukkan dalam warna biru dan merah).
Sekarang perhatian! Jika kita secara mental "memotong" segmen biru dan merah dari pangkal bawah, maka kita akan mempunyai segmen (ini adalah sisi segi empat tepat) sama dengan garis tengah. Selanjutnya, jika kita "melekatkan" garis biru dan merah yang dipotong ke pangkal atas trapezoid, maka kita juga akan mendapat segmen (ini juga sisi segi empat tepat) sama dengan garis tengah trapezoid.
faham? Ternyata jumlah tapak akan sama dengan dua garis tengah trapezoid:
Lihat penjelasan lain
Mari kita lakukan perkara berikut - bina garis lurus melalui tapak bawah trapezoid dan garis lurus yang akan melalui titik A dan B:
Kami mendapat segitiga 1 dan 2, mereka sama di sisi dan sudut yang bersebelahan dengannya (tanda kedua kesamaan segitiga). Ini bermakna bahawa segmen yang terhasil (dalam lakaran ia ditunjukkan dalam warna biru) adalah sama dengan pangkal atas trapezoid.
Sekarang pertimbangkan segitiga:
* Garis tengah trapezoid ini dan garis tengah segi tiga bertepatan.
Diketahui bahawa segitiga sama dengan separuh tapak selarinya, iaitu:
Okay, selesaikan. Sekarang mengenai kawasan trapezoid.
Formula luas trapezium:
Mereka berkata: luas trapezoid adalah sama dengan hasil tambah separuh tapak dan ketinggiannya.
Iaitu, ternyata ia sama dengan produk garis tengah dan ketinggian:
Anda mungkin perasan sekarang bahawa ini jelas. Secara geometri, ini boleh dinyatakan seperti berikut: jika kita secara mental memotong segitiga 2 dan 4 dari trapezoid dan meletakkannya, masing-masing, pada segitiga 1 dan 3:
Kemudian kita mendapat segi empat tepat di kawasan yang sama dengan luas trapezoid kita. Luas segi empat tepat ini akan sama dengan hasil darab garis tengah dan ketinggian, iaitu, kita boleh menulis:
Tetapi perkara di sini bukan dalam rakaman, sudah tentu, tetapi dalam pemahaman.
Muat turun (lihat) bahan artikel dalam * format pdf
Itu sahaja. Kejayaan untuk anda!
Yang ikhlas, Alexander.
Memuatkan...