Menukar pecahan biasa kepada perpuluhan bermakna mencari pecahan perpuluhan yang akan sama dengan pecahan biasa yang diberikan. Apabila menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, kita akan menghadapi dua kes:
1) apabila pecahan biasa boleh ditukar kepada perpuluhan betul-betul;
2) apabila pecahan biasa hanya boleh ditukar kepada perpuluhan lebih kurang. Mari kita pertimbangkan kes ini secara berurutan.
1. Bagaimana untuk menukar pecahan biasa yang tidak boleh dikurangkan kepada perpuluhan, atau, dengan kata lain, bagaimana untuk menggantikan pecahan biasa dengan perpuluhan yang sama dengannya?
Dalam kes di mana pecahan biasa boleh betul-betul ditukar kepada perpuluhan, ada dua cara perlakuan sedemikian.
Mari kita ingat bagaimana untuk menggantikan satu pecahan dengan pecahan lain yang sama dengan yang pertama, atau bagaimana untuk bergerak dari satu pecahan ke pecahan lain tanpa mengubah nilai yang pertama. Kami melakukan ini apabila kami mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa (§86). Apabila kita mengurangkan pecahan kepada penyebut biasa, kita meneruskan seperti berikut: kita mencari penyebut sepunya untuk pecahan ini, mengira faktor tambahan untuk setiap pecahan, dan kemudian mendarabkan pengangka dan penyebut setiap pecahan dengan faktor ini.
Setelah menyedari perkara ini, mari kita ambil pecahan tidak boleh dikurangkan 3/20 dan cuba tukarkannya kepada perpuluhan. Penyebut pecahan ini ialah 20, tetapi anda perlu membawanya ke penyebut lain, yang akan diwakili oleh satu dengan sifar. Kami akan mencari penyebut terkecil satu diikuti dengan sifar.
Cara pertama menukar pecahan kepada perpuluhan adalah berdasarkan penguraian penyebut kepada faktor perdana.
Anda perlu mengetahui nombor yang perlu anda darabkan 20 supaya hasil darab dinyatakan sebagai satu diikuti dengan sifar. Untuk mengetahui, anda perlu mengingati faktor perdana apakah nombor yang diwakili oleh satu dan sifar diuraikan. Ini adalah penguraian:
10 = 2 5,
100 = 2 2 5 . 5,
1 000 = 2 2 2 5 5 5,
10 000 = 2 2 2 2 5 5 5 5.
Kami melihat bahawa nombor yang diwakili oleh satu dengan sifar hanya diuraikan kepada dua dan lima, dan tiada faktor lain dalam pengembangan. Di samping itu, dua dan lima termasuk dalam pengembangan dalam bilangan yang sama. Dan, akhirnya, bilangan faktor itu dan faktor lain secara berasingan adalah sama dengan bilangan sifar selepas satu dalam imej nombor tertentu.
Sekarang mari kita lihat bagaimana 20 diuraikan menjadi faktor utama: 20 = 2 2 5. Dari sini jelas bahawa dalam penguraian nombor 20 terdapat dua dua, dan satu lima. Ini bermakna jika kita menambah satu lima kepada faktor ini, kita akan mendapat nombor yang diwakili oleh satu dengan sifar. Dalam erti kata lain, agar penyebut mempunyai nombor yang diwakili oleh satu dengan sifar dan bukannya 20, anda perlu mendarab 20 dengan 5, dan supaya nilai pecahan tidak berubah, anda perlu mendarabkan pengangkanya dengan 5. , iaitu
Oleh itu, untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan, anda perlu menguraikan penyebut pecahan biasa ini kepada faktor perdana dan kemudian menyamakan bilangan dua dan lima di dalamnya, memasukkan ke dalamnya (dan, sudah tentu, ke dalam pengangka ) faktor yang hilang dalam nombor yang diperlukan.
Mari kita gunakan kesimpulan ini untuk beberapa pecahan.
Tukarkan 3/50 kepada perpuluhan. Penyebut pecahan ini dikembangkan seperti berikut:
Ini bermakna ia tiada satu deuce. Mari tambahkannya:
Tukarkan 7/40 kepada perpuluhan.
Penyebut pecahan ini diuraikan seperti berikut: 40 = 2 2 2 5, iaitu tiada dua lima. Mari kita perkenalkan mereka ke dalam pengangka dan penyebut sebagai faktor:
Daripada apa yang telah dinyatakan, tidak sukar untuk membuat kesimpulan pecahan biasa mana yang menukar tepat kepada perpuluhan. Agak jelas bahawa pecahan biasa yang tidak boleh dikurangkan, penyebutnya tidak mengandungi sebarang faktor perdana lain selain daripada 2 dan 5, bertukar tepat kepada perpuluhan. Pecahan perpuluhan, yang diperoleh dengan membalikkan beberapa pecahan biasa, akan mempunyai tempat perpuluhan sebanyak bilangan kali penyebut pecahan biasa selepas pengurangannya termasuk faktor dominan berangka 2 atau 5.
Jika kita mengambil pecahan 9/40, maka, pertama, ia akan bertukar menjadi perpuluhan, kerana penyebutnya termasuk faktor 2 2 2 5, dan kedua, pecahan perpuluhan yang terhasil akan mempunyai 3 tempat perpuluhan, kerana faktor dominan secara berangka 2 memasuki pengembangan tiga kali. Sebenarnya:
Cara kedua(dengan membahagikan pengangka dengan penyebut).
Katakan anda ingin menukar 3/4 kepada pecahan perpuluhan. Kita tahu bahawa 3/4 ialah hasil bagi 3 dibahagikan dengan 4. Kita boleh mencari hasil bahagi ini dengan membahagikan 3 dengan 4. Mari kita lakukan ini:
Oleh itu, 3 / 4 = 0.75.
Contoh lain: tukarkan 5/8 kepada pecahan perpuluhan.
Jadi 5 / 8 = 0.625.
Jadi, untuk menukar pecahan kepada perpuluhan, anda hanya perlu membahagikan pengangka pecahan itu dengan penyebutnya.
2. Sekarang mari kita pertimbangkan kes kedua yang ditunjukkan pada permulaan perenggan, iaitu, kes apabila pecahan biasa tidak boleh ditukar kepada perpuluhan tepat.
Pecahan biasa tidak boleh dikurangkan yang penyebutnya mengandungi sebarang faktor perdana selain 2 dan 5 tidak boleh ditukar tepat kepada perpuluhan. Malah, sebagai contoh, pecahan 8/15 tidak boleh ditukar kepada perpuluhan, kerana penyebutnya 15 diuraikan kepada dua faktor: 3 dan 5.
Kita tidak boleh menghapuskan tiga kali ganda daripada penyebut dan tidak boleh memilih integer supaya, selepas mendarabkan penyebut yang diberikan dengannya, hasil darab dinyatakan sebagai satu diikuti oleh sifar.
Dalam kes sedemikian, kita hanya boleh bercakap tentang penghampiran pecahan biasa kepada perpuluhan.
Bagaimana ini dilakukan? Ini dilakukan dengan membahagikan pengangka pecahan biasa dengan penyebut, iaitu dalam kes ini, kaedah kedua untuk menukar pecahan biasa kepada perpuluhan digunakan. Ini bermakna kaedah ini digunakan untuk pengendalian yang tepat dan anggaran.
Jika pecahan ditukar tepat kepada perpuluhan, maka pembahagian menghasilkan pecahan perpuluhan akhir.
Jika pecahan biasa tidak bertukar kepada perpuluhan tepat, maka pembahagian menghasilkan pecahan perpuluhan tak terhingga.
Oleh kerana kita tidak boleh menjalankan proses pembahagian yang tidak berkesudahan, kita mesti menghentikan pembahagian pada beberapa tempat perpuluhan, iaitu melakukan pembahagian anggaran. Kita boleh, sebagai contoh, berhenti membahagi pada tempat perpuluhan pertama, iaitu, menghadkan diri kita kepada persepuluh; jika perlu, kita boleh berhenti di tempat perpuluhan kedua, mendapatkan perseratus, dsb. Dalam kes ini, kita katakan bahawa kita sedang membundarkan pecahan perpuluhan tak terhingga. Pembundaran dilakukan dengan ketepatan yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini.
§ 115. Konsep pecahan berkala.
Pecahan perpuluhan kekal di mana satu atau lebih digit sentiasa berulang dalam urutan yang sama dipanggil pecahan perpuluhan berkala. Contohnya:
0,33333333...; 1,12121212...; 3,234234234...
Satu set nombor berulang dipanggil tempoh pecahan ini. Tempoh pecahan pertama yang ditulis di atas ialah 3, tempoh pecahan kedua ialah 12, tempoh pecahan ketiga ialah 234. Ini bermakna tempoh boleh terdiri daripada beberapa digit - satu, dua, tiga, dsb. Set pertama digit berulang dipanggil tempoh pertama, kedua jumlah - tempoh kedua, dsb., i.e.
Pecahan berkala boleh tulen atau bercampur. Pecahan berkala dipanggil tulen jika tempohnya bermula serta-merta selepas titik perpuluhan. Ini bermakna pecahan berkala yang ditulis di atas adalah tulen. terhadap, pecahan berkala dipanggil bercampur jika ia mempunyai satu atau lebih digit tidak berulang antara titik perpuluhan dan noktah pertama, contohnya:
2,5333333...; 4,1232323232...; 0,2345345345345... 160
Untuk memendekkan huruf, anda boleh menulis nombor titik sekali dalam kurungan dan jangan letakkan elipsis selepas kurungan, iaitu bukannya 0.33... anda boleh menulis 0,(3); bukannya 2.515151... anda boleh menulis 2,(51); bukannya 0.2333... anda boleh menulis 0.2(3); bukannya 0.8333... anda boleh menulis 0.8(3).
Pecahan berkala dibaca seperti ini:
0,(3) - 0 integer, 3 dalam tempoh.
7,2(3) - 7 integer, 2 sebelum noktah, 3 dalam period.
5.00(17) - 5 integer, dua sifar sebelum noktah, 17 dalam noktah.
Bagaimanakah pecahan berkala timbul? Kita telah melihat bahawa apabila menukar pecahan kepada perpuluhan, boleh ada dua kes.
Pertama sekali, penyebut bagi pecahan biasa tidak boleh dikurangkan tidak mengandungi sebarang faktor selain daripada 2 dan 5; dalam kes ini, pecahan biasa menjadi perpuluhan akhir.
Kedua, penyebut pecahan biasa tidak boleh dikurangkan mengandungi sebarang faktor perdana selain daripada 2 dan 5; dalam kes ini, pecahan biasa tidak bertukar menjadi perpuluhan akhir. Dalam kes terakhir ini, percubaan untuk menukar pecahan kepada perpuluhan dengan membahagikan pengangka dengan penyebut menghasilkan pecahan tak terhingga yang akan sentiasa berkala.
Untuk melihat ini, mari kita lihat contoh. Mari cuba tukarkan pecahan 18/7 kepada perpuluhan.
Kami, sudah tentu, mengetahui terlebih dahulu bahawa pecahan dengan penyebut sedemikian tidak boleh ditukar kepada perpuluhan akhir, dan kami hanya bercakap tentang penukaran anggaran. Bahagikan pengangka 18 dengan penyebut 7.
Kami mendapat lapan tempat perpuluhan dalam hasil bagi. Tidak perlu meneruskan pembahagian lagi, kerana ia tidak akan berakhir. Tetapi daripada ini adalah jelas bahawa pembahagian boleh diteruskan selama-lamanya dan dengan itu memperoleh nombor baru dalam hasil bagi. Nombor baru ini akan timbul kerana kita akan sentiasa mempunyai sisa; tetapi tiada baki boleh lebih besar daripada pembahagi, yang bagi kita ialah 7.
Mari lihat apakah baki yang kita ada: 4; 5; 1; 3; 2; b, iaitu nombor-nombor yang kurang daripada 7. Jelas sekali, tidak boleh lebih daripada enam daripadanya, dan dengan kesinambungan pembahagian lagi, ia perlu diulang, dan selepasnya digit bagi hasil akan diulang. Contoh di atas mengesahkan idea ini: tempat perpuluhan dalam hasil bagi adalah dalam susunan ini: 571428, dan selepas itu nombor 57 muncul semula Ini bermakna noktah pertama telah tamat dan yang kedua bermula.
Oleh itu, pecahan perpuluhan tak terhingga yang diperoleh dengan menyongsangkan pecahan sepunya akan sentiasa berkala.
Sekiranya pecahan berkala ditemui semasa menyelesaikan masalah, maka ia diambil dengan ketepatan yang diperlukan oleh keadaan masalah (hingga persepuluh, hingga perseratus, hingga seperseribu, dll.).
§ 116. Tindakan bersama dengan pecahan biasa dan perpuluhan.
Apabila menyelesaikan pelbagai masalah, kita akan menghadapi kes di mana masalah itu merangkumi kedua-dua biasa dan perpuluhan.
Dalam kes ini, anda boleh pergi dengan cara yang berbeza.
1. Tukarkan semua pecahan kepada perpuluhan. Ini mudah kerana pengiraan dengan pecahan perpuluhan adalah lebih mudah daripada dengan pecahan biasa. Sebagai contoh,
Mari kita tukarkan pecahan 3/4 dan 1 1/5 kepada perpuluhan:
2. Tukarkan semua pecahan kepada pecahan biasa. Ini paling kerap dilakukan dalam kes di mana terdapat pecahan biasa yang tidak bertukar menjadi perpuluhan akhir.
Sebagai contoh, 
Mari kita tukar pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa:
3. Pengiraan dijalankan tanpa menukar beberapa pecahan kepada pecahan lain.
Ini amat berguna apabila contoh hanya melibatkan pendaraban dan pembahagian. Sebagai contoh,
Mari kita tulis semula contoh seperti ini:
4. Dalam sesetengah kes menukar semua pecahan kepada perpuluhan(walaupun yang bertukar menjadi yang berkala) dan cari hasil anggaran. Sebagai contoh,
Mari kita tukar 2/3 kepada pecahan perpuluhan, hadkan diri kita kepada perseribu.
Ingat bagaimana dalam pelajaran pertama tentang perpuluhan saya mengatakan bahawa terdapat pecahan berangka yang tidak boleh diwakili sebagai perpuluhan (lihat pelajaran " Perpuluhan")? Kami juga mempelajari cara memfaktorkan penyebut pecahan untuk melihat sama ada terdapat sebarang nombor selain daripada 2 dan 5.
Jadi: Saya berbohong. Dan hari ini kita akan belajar cara menukar mana-mana pecahan berangka secara mutlak kepada perpuluhan. Pada masa yang sama, kita akan berkenalan dengan keseluruhan kelas pecahan dengan bahagian bererti tak terhingga.
Perpuluhan berkala ialah sebarang perpuluhan yang:
- Bahagian penting terdiri daripada bilangan digit yang tidak terhingga;
- Pada selang waktu tertentu, nombor dalam bahagian penting diulang.
Set digit berulang yang membentuk bahagian penting dipanggil bahagian berkala pecahan, dan bilangan digit dalam set ini dipanggil tempoh pecahan. Segmen baki bahagian penting, yang tidak berulang, dipanggil bahagian tidak berkala.
Oleh kerana terdapat banyak takrifan, adalah wajar mempertimbangkan secara terperinci beberapa pecahan ini:
Pecahan ini paling kerap muncul dalam masalah. Bahagian tidak berkala: 0; bahagian berkala: 3; panjang tempoh: 1.
Bahagian tidak berkala: 0.58; bahagian berkala: 3; panjang tempoh: sekali lagi 1.
Bahagian tidak berkala: 1; bahagian berkala: 54; panjang tempoh: 2.
Bahagian tidak berkala: 0; bahagian berkala: 641025; panjang tempoh: 6. Untuk kemudahan, bahagian yang berulang dipisahkan antara satu sama lain dengan ruang - ini tidak perlu dalam penyelesaian ini.
Bahagian tidak berkala: 3066; bahagian berkala: 6; panjang tempoh: 1.
Seperti yang anda lihat, takrifan pecahan berkala adalah berdasarkan konsep bahagian penting bagi sesuatu nombor. Oleh itu, jika anda terlupa apa itu, saya cadangkan mengulanginya - lihat pelajaran "".
Peralihan kepada pecahan perpuluhan berkala
Pertimbangkan pecahan biasa bagi bentuk a /b. Mari kita memfaktorkan penyebutnya kepada faktor perdana. Terdapat dua pilihan:
- Pengembangan hanya mengandungi faktor 2 dan 5. Pecahan ini mudah ditukar kepada perpuluhan - lihat pelajaran "Perpuluhan". Kami tidak berminat dengan orang seperti itu;
- Terdapat sesuatu yang lain dalam pengembangan selain 2 dan 5. Dalam kes ini, pecahan tidak boleh diwakili sebagai perpuluhan, tetapi ia boleh ditukar kepada perpuluhan berkala.
Untuk menentukan pecahan perpuluhan berkala, anda perlu mencari bahagian berkala dan bukan berkala. Bagaimana? Tukarkan pecahan kepada pecahan tak wajar, dan kemudian bahagikan pengangka dengan penyebut menggunakan sudut.
Perkara berikut akan berlaku:
- Akan berpecah dahulu keseluruhan bahagian , jika ia wujud;
- Mungkin terdapat beberapa nombor selepas titik perpuluhan;
- Selepas beberapa ketika nombor akan bermula ulang.
Itu sahaja! Nombor berulang selepas titik perpuluhan dilambangkan dengan bahagian berkala, dan nombor di hadapan dilambangkan dengan bahagian bukan berkala.
Tugasan. Tukar pecahan biasa kepada perpuluhan berkala:
Semua pecahan tanpa bahagian integer, jadi kami hanya membahagikan pengangka dengan penyebut dengan "penjuru":
Seperti yang anda lihat, baki diulang. Mari kita tulis pecahan dalam bentuk “betul”: 1.733 ... = 1.7(3).
Hasilnya ialah pecahan: 0.5833 ... = 0.58(3).
Tulis kepada bentuk biasa: 4,0909 ... = 4,(09).
Kami mendapat pecahan: 0.4141 ... = 0,(41).
Peralihan daripada pecahan perpuluhan berkala kepada pecahan biasa
Pertimbangkan pecahan perpuluhan berkala X = abc (a 1 b 1 c 1). Ia diperlukan untuk menukarnya menjadi "dua tingkat" klasik. Untuk melakukan ini, ikuti empat langkah mudah:
- Cari tempoh pecahan itu, i.e. kira berapa digit dalam bahagian berkala. Biar ini nombor k;
- Cari nilai ungkapan X · 10 k. Ini bersamaan dengan mengalihkan titik perpuluhan dengan tempoh penuh ke kanan - lihat pelajaran "Mendarab dan membahagi perpuluhan";
- Ungkapan asal mesti ditolak daripada nombor yang terhasil. Dalam kes ini, bahagian berkala "dibakar" dan kekal pecahan sepunya;
- Cari X dalam persamaan yang terhasil. Kami menukar semua pecahan perpuluhan kepada pecahan biasa.
Tugasan. Kurangkan kepada biasa pecahan tak wajar nombor:
- 9,(6);
- 32,(39);
- 0,30(5);
- 0,(2475).
Kami bekerja dengan pecahan pertama: X = 9,(6) = 9.666 ...
Tanda kurung mengandungi hanya satu digit, jadi tempohnya ialah k = 1. Seterusnya, kita darabkan pecahan ini dengan 10 k = 10 1 = 10. Kita ada:
10X = 10 9.6666... = 96.666...
Tolak pecahan asal dan selesaikan persamaan:
10X − X = 96.666 ... − 9.666 ... = 96 − 9 = 87;
9X = 87;
X = 87/9 = 29/3.
Sekarang mari kita lihat pecahan kedua. Jadi X = 32,(39) = 32.393939...
Kala k = 2, jadi kalikan semuanya dengan 10 k = 10 2 = 100:
100X = 100 · 32.393939 ... = 3239.3939 ...
Tolak pecahan asal semula dan selesaikan persamaan:
100X − X = 3239.3939 ... − 32.3939 ... = 3239 − 32 = 3207;
99X = 3207;
X = 3207/99 = 1069/33.
Mari kita beralih kepada pecahan ketiga: X = 0.30(5) = 0.30555 ... Gambar rajah adalah sama, jadi saya hanya akan memberikan pengiraan:
Kala k = 1 ⇒ darab semuanya dengan 10 k = 10 1 = 10;
10X = 10 0.30555... = 3.05555...
10X − X = 3.0555 ... − 0.305555 ... = 2.75 = 11/4;
9X = 11/4;
X = (11/4) : 9 = 11/36.
Akhir sekali, pecahan terakhir: X = 0,(2475) = 0.2475 2475... Sekali lagi, untuk kemudahan, bahagian berkala dipisahkan antara satu sama lain dengan ruang. Kami ada:
k = 4 ⇒ 10 k = 10 4 = 10,000;
10,000X = 10,000 0.2475 2475 = 2475.2475 ...
10,000X − X = 2475.2475 ... − 0.2475 2475 ... = 2475;
9999X = 2475;
X = 2475: 9999 = 25/101.
Operasi pembahagian melibatkan penyertaan beberapa komponen utama. Yang pertama ialah dividen yang dipanggil, iaitu nombor yang tertakluk kepada prosedur pembahagian. Yang kedua ialah pembahagi, iaitu nombor di mana pembahagian dilakukan. Yang ketiga ialah hasil bagi, iaitu hasil operasi membahagikan dividen oleh pembahagi.
Hasil pembahagian
yang paling banyak pilihan mudah Keputusan yang boleh diperolehi apabila dua integer positif digunakan sebagai dividen dan pembahagi ialah satu lagi integer positif. Sebagai contoh, apabila membahagi 6 dengan 2, hasil bagi akan sama dengan 3. Keadaan ini mungkin jika dividen adalah pembahagi, iaitu ia dibahagikan dengannya tanpa baki.Walau bagaimanapun, terdapat pilihan lain apabila adalah mustahil untuk menjalankan operasi pembahagian tanpa baki. Dalam kes ini, nombor bukan integer menjadi hasil bagi, yang boleh ditulis sebagai gabungan integer dan bahagian pecahan. Sebagai contoh, apabila membahagi 5 dengan 2, hasil bahagi ialah 2.5.
Nombor dalam tempoh
Salah satu pilihan yang boleh terhasil jika dividen bukan gandaan pembahagi ialah nombor yang dipanggil dalam tempoh. Ia boleh timbul akibat pembahagian jika hasil bagi menjadi set nombor berulang tanpa henti. Sebagai contoh, nombor dalam suatu noktah mungkin muncul apabila membahagikan nombor 2 dengan 3. Dalam keadaan ini, hasilnya, sebagai pecahan perpuluhan, akan dinyatakan sebagai gabungan nombor tak terhingga 6 digit selepas titik perpuluhan.Untuk menunjukkan hasil pembahagian sedemikian, cara khas untuk menulis nombor dalam tempoh dicipta: nombor sedemikian ditunjukkan dengan meletakkan digit berulang dalam kurungan. Sebagai contoh, hasil pembahagian 2 dengan 3 akan ditulis menggunakan kaedah ini sebagai 0,(6). Notasi ini juga terpakai jika hanya sebahagian daripada nombor yang terhasil daripada pembahagian berulang.
Sebagai contoh, apabila membahagi 5 dengan 6, hasilnya akan menjadi nombor berkala dalam bentuk 0.8(3). Menggunakan kaedah ini, pertama, adalah lebih berkesan berbanding dengan cuba menulis semua atau sebahagian daripada digit nombor dalam satu noktah, dan kedua, ia mempunyai ketepatan yang lebih tinggi berbanding kaedah lain untuk menghantar nombor tersebut - pembundaran, dan sebagai tambahan, ia membolehkan anda membezakan nombor dalam noktah daripada pecahan perpuluhan tepat dengan nilai yang sepadan apabila membandingkan magnitud nombor ini. Jadi, sebagai contoh, adalah jelas bahawa 0.(6) adalah jauh lebih besar daripada 0.6.
Seperti yang diketahui, set nombor rasional (Q) termasuk set integer (Z), yang seterusnya termasuk set nombor asli (N). Selain nombor bulat, nombor rasional termasuk pecahan.
Mengapakah keseluruhan set nombor rasional kadangkala dianggap sebagai pecahan perpuluhan berkala tak terhingga? Malah, sebagai tambahan kepada pecahan, ia juga termasuk integer, serta pecahan bukan berkala.
Hakikatnya ialah semua integer, serta mana-mana pecahan, boleh diwakili sebagai pecahan perpuluhan berkala tak terhingga. Iaitu, untuk semua nombor rasional anda boleh menggunakan kaedah rakaman yang sama.
Bagaimanakah perpuluhan berkala tak terhingga diwakili? Di dalamnya, kumpulan nombor berulang selepas titik perpuluhan diletakkan dalam kurungan. Sebagai contoh, 1.56(12) ialah pecahan di mana kumpulan digit 12 diulang, iaitu pecahan itu mempunyai nilai 1.561212121212... dan seterusnya tanpa henti. Kumpulan nombor yang berulang dipanggil noktah.
Walau bagaimanapun, kita boleh mewakili sebarang nombor dalam bentuk ini jika kita menganggap tempohnya sebagai nombor 0, yang juga berulang tanpa henti. Sebagai contoh, nombor 2 adalah sama dengan 2.00000.... Oleh itu, ia boleh ditulis sebagai pecahan berkala tak terhingga, iaitu 2,(0).
Perkara yang sama boleh dilakukan dengan mana-mana pecahan terhingga. Contohnya:
0,125 = 0,1250000... = 0,125(0)
Walau bagaimanapun, dalam amalan mereka tidak menggunakan transformasi pecahan terhingga kepada pecahan berkala tak terhingga. Oleh itu, ia memisahkan pecahan terhingga dan pecahan berkala tak terhingga. Oleh itu, adalah lebih tepat untuk mengatakan bahawa nombor rasional termasuk
- semua integer
- pecahan akhir,
- pecahan berkala tak terhingga.
Pada masa yang sama, ingatlah bahawa integer dan pecahan terhingga boleh diwakili secara teori dalam bentuk pecahan berkala tak terhingga.
Sebaliknya, konsep pecahan terhingga dan pecahan tak terhingga boleh digunakan untuk pecahan perpuluhan. Apabila bercakap tentang pecahan, kedua-dua perpuluhan terhingga dan tak terhingga boleh diwakili dengan jelas sebagai pecahan. Ini bermakna dari sudut pecahan biasa, pecahan berkala dan terhingga adalah perkara yang sama. Selain itu, nombor bulat juga boleh diwakili sebagai pecahan dengan membayangkan bahawa kita membahagikan nombor itu dengan 1.
Bagaimana untuk mewakili pecahan berkala tak terhingga perpuluhan sebagai pecahan biasa? Algoritma yang paling biasa digunakan adalah seperti ini:
- Kurangkan pecahan supaya selepas titik perpuluhan hanya ada titik.
- Darabkan pecahan berkala tak terhingga dengan 10 atau 100 atau ... supaya titik perpuluhan bergerak ke kanan dengan satu noktah (iaitu, satu noktah berakhir di seluruh bahagian).
- Samakan pecahan asal (a) dengan pembolehubah x, dan pecahan (b) yang diperoleh dengan mendarab dengan nombor N kepada Nx.
- Tolak x daripada Nx. Daripada b saya tolak a. Iaitu, mereka membentuk persamaan Nx – x = b – a.
- Apabila menyelesaikan persamaan, hasilnya ialah pecahan biasa.
Contoh menukar pecahan perpuluhan berkala tak terhingga kepada pecahan biasa:
x = 1.13333...
10x = 11.3333...
10x * 10 = 11.33333... * 10
100x = 113.3333...
100x – 10x = 113.3333... – 11.3333...
90x = 102
x =
Pecahan berkala pecahan perpuluhan tak terhingga di mana, bermula dari titik tertentu, hanya terdapat kumpulan digit tertentu yang berulang secara berkala. Contohnya, 1.3181818...; Ringkasnya, pecahan ini ditulis seperti ini: 1.3(18), iaitu, mereka meletakkan tempoh dalam kurungan (dan berkata: "18 dalam tempoh"). P. dipanggil tulen jika tempoh bermula sejurus selepas titik perpuluhan, contohnya 2(71) = 2.7171..., dan bercampur jika selepas titik perpuluhan terdapat nombor sebelum tempoh, contohnya 1.3(18). Peranan pecahan perpuluhan dalam aritmetik adalah disebabkan apabila nombor rasional, iaitu pecahan biasa (mudah), diwakili oleh pecahan perpuluhan, sama ada pecahan terhingga atau berkala sentiasa diperolehi. Lebih tepat lagi: pecahan perpuluhan akhir diperoleh apabila penyebut pecahan mudah tak boleh dikurangkan tidak mengandungi faktor perdana lain selain daripada 2 dan 5; dalam semua kes lain, hasilnya adalah pecahan P., dan, lebih-lebih lagi, adalah tulen jika penyebut pecahan tak dapat dikurangkan yang diberikan tidak mengandungi faktor 2 dan 5 sama sekali, dan bercampur jika sekurang-kurangnya satu daripada faktor ini terkandung dalam penyebut. Mana-mana pecahan pecahan boleh ditukar kepada pecahan mudah (iaitu, ia sama dengan beberapa nombor rasional). Pecahan tulen adalah sama dengan pecahan mudah, pengangkanya ialah noktah, dan penyebutnya diwakili oleh nombor 9, ditulis seberapa banyak bilangan digit dalam tempoh itu; Apabila menukar pecahan bercampur kepada pecahan mudah, pengangka ialah perbezaan antara nombor yang diwakili oleh nombor sebelum noktah kedua dan nombor yang diwakili oleh nombor sebelum noktah pertama; Untuk menyusun penyebut, anda perlu menulis nombor 9 seberapa banyak bilangan nombor dalam noktah, dan menambah seberapa banyak sifar di sebelah kanan kerana terdapat nombor sebelum noktah. Peraturan ini menganggap bahawa P. yang diberikan adalah betul, iaitu, ia tidak mengandungi unit keseluruhan; sebaliknya keseluruhan bahagian diberi pertimbangan khusus. Peraturan untuk menentukan panjang tempoh pecahan yang sepadan dengan pecahan biasa yang diberikan juga diketahui. Sebagai contoh, untuk pecahan a/p, Di mana r - nombor perdana dan 1 ≤ a ≤ p- 1, panjang tempoh adalah pembahagi r - 1. Jadi, untuk anggaran yang diketahui kepada nombor (lihat Pi)
Tempoh 22/7 dan 355/113 adalah sama dengan 6 dan 112 masing-masing.
besar Ensiklopedia Soviet. - M.: Ensiklopedia Soviet. 1969-1978 .
sinonim:Lihat apakah "pecahan berkala" dalam kamus lain:
Pecahan perpuluhan tak terhingga di mana, bermula dari tempat tertentu, kumpulan digit tertentu (tempoh) diulang secara berkala, contohnya. 0.373737... pecahan berkala tulen atau 0.253737... pecahan berkala bercampur... besar Kamus Ensiklopedia
Pecahan, pecahan tak terhingga Kamus sinonim bahasa Rusia. kata nama pecahan berkala, bilangan sinonim: 2 pecahan tak terhingga (2) ... Kamus sinonim
Pecahan perpuluhan di mana satu siri digit diulang dalam susunan yang sama. Contohnya, 0.135135135... ialah p.d yang tempohnya ialah 135 dan yang sama dengan pecahan mudah 135/999 = 5/37. Kamus perkataan asing termasuk dalam bahasa Rusia. Pavlenkov F... Kamus perkataan asing bahasa Rusia
Perpuluhan ialah pecahan dengan penyebut 10n, di mana n nombor asli. Mempunyai bentuk khas entri: bahagian integer dalam sistem nombor perpuluhan, kemudian koma dan kemudian bahagian pecahan dalam sistem nombor perpuluhan, dan bilangan digit bahagian pecahan ... Wikipedia
Pecahan perpuluhan tak terhingga di mana, bermula dari titik tertentu, kumpulan digit tertentu (tempoh) diulang secara berkala; contohnya, 0.373737... pecahan berkala tulen atau 0.253737... pecahan berkala bercampur. * * * BERKALA… … Kamus Ensiklopedia
Pecahan perpuluhan tidak berkesudahan di mana, bermula dari tempat tertentu, takrifan diulang secara berkala. kumpulan digit (tempoh); contohnya, 0.373737... P. tulen atau 0.253737... campuran P. d. Sains semula jadi. Kamus Ensiklopedia
Lihat bahagian... Kamus sinonim Rusia dan ungkapan yang serupa. bawah. ed. N. Abramova, M.: Kamus Rusia, 1999. pecahan kecil, bahagian; dunst, bola, makan, buckshot; nombor pecahan Kamus sinonim bahasa Rusia... Kamus sinonim
perpuluhan berkala- - [L.G. Sumenko. Kamus Inggeris-Rusia mengenai teknologi maklumat. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Topik teknologi maklumat secara umum EN mengedar perpuluhan berulang perpuluhanperiodik perpuluhanperiodik perpuluhan berkala ... Panduan Penterjemah Teknikal
Jika beberapa integer a dibahagikan dengan integer b yang lain, iaitu, nombor x dicari yang memenuhi syarat bx = a, maka dua kes boleh timbul: sama ada dalam siri integer terdapat nombor x yang memenuhi syarat ini, atau ia ternyata,…… Kamus Ensiklopedia F.A. Brockhaus dan I.A. Efron
Pecahan yang penyebutnya ialah keseluruhan ijazah nombor 10. D. ditulis tanpa penyebut, dipisahkan dalam pengangka di sebelah kanan dengan koma sebanyak digit kerana terdapat sifar dalam penyebut. Sebagai contoh, Dalam rekod sedemikian, bahagian di sebelah kiri... ... Ensiklopedia Soviet yang Hebat
Memuatkan...