I denne leksjonen fortsetter vi å studere derivater av funksjoner og gå videre til et mer avansert emne, nemlig derivater av produkter og kvotienter. Hvis du så på forrige leksjon, skjønte du sannsynligvis at vi bare vurderte de enkleste konstruksjonene, nemlig den deriverte av en potensfunksjon, sum og differanse. Spesielt lærte vi at den deriverte av en sum er lik summen deres, og den deriverte av en forskjell er henholdsvis lik deres forskjell. Dessverre, når det gjelder kvotient- og produktderivater, vil formlene være mye mer kompliserte. Vi starter med formelen for den deriverte av et produkt av funksjoner.
Derivater av trigonometriske funksjoner
Til å begynne med, la meg gjøre en liten lyrisk digresjon. Faktum er at i tillegg til standard potensfunksjon - $y=((x)^(n))$, vil vi i denne leksjonen også møte andre funksjoner, nemlig $y=\sin x$, samt $ y=\ cos x$ og annen trigonometri - $y=tgx$ og, selvfølgelig, $y=ctgx$.
Hvis vi alle godt kjenner den deriverte av en potensfunksjon, nemlig $\left(((x)^(n)) \right)=n\cdot ((x)^(n-1))$, så som for trigonometriske funksjoner, må nevnes separat. La oss skrive det ned:
\[\begin(align)& ((\left(\sinx \right))^(\prime ))=\cosx \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime ))= -\sin x \\& ((\left(tgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left( ctgx \right))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
Men du kjenner disse formlene veldig godt, la oss gå videre.
Hva er derivatet av et produkt?
Først, det viktigste: hvis en funksjon er produktet av to andre funksjoner, for eksempel $f\cdot g$, vil den deriverte av denne konstruksjonen være lik følgende uttrykk:
Som du kan se, er denne formelen vesentlig annerledes og mer kompleks enn formlene vi så på tidligere. For eksempel beregnes den deriverte av en sum på en elementær måte - $((\venstre(f+g \høyre))^(\primtall ))=(f)"+(g)"$, eller den deriverte av en forskjell, som også beregnes på en elementær måte - $(( \left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$.
La oss prøve å bruke den første formelen for å beregne derivertene av de to funksjonene som er gitt oss i oppgaven. La oss starte med det første eksemplet:
Åpenbart fungerer følgende konstruksjon som et produkt, eller mer presist, som en multiplikator: $((x)^(3))$, vi kan betrakte det som $f$, og $\left(x-5 \right) $ kan vi betrakte som $g$. Da vil deres produkt være nettopp produktet av to funksjoner. Vi bestemmer:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\cdot \left(x-5 \right) \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot ((\venstre(x-5 \ høyre))^(\prime ))= \\& =3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1 \\ \end(align)\].
La oss nå se nærmere på hver av termene våre. Vi ser at både det første og andre leddet inneholder graden $x$: i det første tilfellet er det $((x)^(2))$, og i det andre er det $((x)^(3)) $. La oss ta den minste graden ut av parentes, og la i parentes:
\[\begin(align)& 3((x)^(2))\cdot \left(x-5 \right)+((x)^(3))\cdot 1=((x)^(2) ))\venstre(3\cdot 1\venstre(x-5 \høyre)+x \høyre)= \\& =((x)^(2))\venstre(3x-15+x \høyre)=( (x)^(2))(4x-15)\\\end(align)\]
Det var det, vi fant svaret.
La oss gå tilbake til problemene våre og prøve å løse:
Så la oss omskrive:
Igjen merker vi at vi snakker om produktet av produktet av to funksjoner: $x$, som kan betegnes med $f$, og $\left(\sqrt(x)-1 \right)$, som kan betegnes med $g$.
Dermed har vi igjen produktet av to funksjoner foran oss. For å finne den deriverte av funksjonen $f\left(x \right)$ vil vi igjen bruke formelen vår. Vi får:
\[\begin(align)& (f)"=\left(x \right)"\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\cdot ((\left(\sqrt(x) -1 \right))^(\prime ))=1\cdot \left(\sqrt(x)-1 \right)+x\frac(1)(3\sqrt(x))= \\& =\ sqrt(x)-1+\sqrt(x)\cdot \frac(1)(3)=\frac(4)(3)\sqrt(x)-1 \\\end(align)\]
Svaret er funnet.
Hvorfor faktorderivater?
Vi har nettopp brukt flere svært viktige matematiske fakta, som i seg selv ikke er relatert til derivater, men uten deres viten gir all videre studier av dette emnet rett og slett ikke mening.
For det første, å løse det aller første problemet og allerede ha blitt kvitt alle tegn på derivater, begynte vi av en eller annen grunn å faktorisere dette uttrykket.
For det andre, når vi løste følgende problem, gikk vi flere ganger fra roten til potensen med en rasjonell eksponent og tilbake, mens vi brukte formelen for 8-9 klasse, som ville være verdt å gjenta separat.
Når det gjelder faktorisering – hvorfor trengs all denne ekstra innsatsen og transformasjonene? Faktisk, hvis problemet bare sier "finn den deriverte av en funksjon", er ikke disse ekstra trinnene nødvendige. Men i reelle problemer som venter deg i alle slags eksamener og tester, er det ofte ikke nok å bare finne den deriverte. Faktum er at den deriverte bare er et verktøy som du kan finne ut for eksempel økning eller reduksjon av en funksjon med, og for dette må du løse ligningen og faktorisere den. Og det er her denne teknikken vil være veldig passende. Og generelt er det mye mer praktisk og behagelig å jobbe med en funksjon som er faktorisert i fremtiden hvis det er nødvendig med transformasjoner. Derfor, regel nr. 1: hvis den deriverte kan faktoriseres, er det det du bør gjøre. Og umiddelbart regel nr. 2 (i hovedsak er dette materiale fra 8.-9. klasse): hvis problemet inneholder en rot n-te grad, og roten er klart større enn to, så kan denne roten erstattes av en ordinær grad med en rasjonell eksponent, og en brøk vil vises i eksponenten, der n-- akkurat den grad -- vil være i nevneren til denne brøken.
Selvfølgelig, hvis det er en viss grad under roten (i vårt tilfelle er dette graden k), så går den ingen steder, men ender rett og slett opp i telleren for akkurat denne graden.
Nå som du forstår alt dette, la oss gå tilbake til produktets deriverte og beregne noen flere ligninger.
Men før jeg går direkte til beregningene, vil jeg minne deg på følgende mønstre:
\[\begin(align)& ((\left(\sin x \right))^(\prime ))=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime) )=-\sin x \\& \left(tgx \right)"=\frac(1)(((\cos )^(2))x) \\& ((\left(ctgx \right))^ (\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
La oss vurdere det første eksemplet:
Vi har igjen et produkt av to funksjoner: den første er $f$, den andre er $g$. La meg minne deg på formelen:
\[((\venstre(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"\]
La oss bestemme:
\[\begin(align)& (y)"=((\venstre(((x)^(4)) \right))^(\prime ))\cdot \sin x+((x)^(4) )\cdot ((\venstre(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =3((x)^(3))\cdot \sin x+((x)^(4)) \cdot \cos x=((x)^(3))\venstre(3\sin x+x\cdot \cos x \right) \\\end(align)\]
La oss gå videre til den andre funksjonen:
Igjen, $\left(3x-2 \right)$ er en funksjon av $f$, $\cos x$ er en funksjon av $g$. Totalt vil den deriverte av produktet av to funksjoner være lik:
\[\begin(align)& (y)"=((\left(3x-2 \right))^(\prime ))\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot ((\ venstre(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =3\cdot \cos x+\left(3x-2 \right)\cdot \left(-\sin x \right)=3\ cos x-\left(3x-2 \right)\cdot \sin x \\\end(align)\]
\[(y)"=((\venstre(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))+((\left(4x\sin x \right)) ^(\prime ))\]
La oss skrive det ned separat:
\[\begin(align)& ((\venstre(((x)^(2))\cdot \cos x \right))^(\prime ))=\venstre(((x)^(2)) \right)"\cos x+((x)^(2))\cdot ((\venstre(\cos x \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot \cos x+((x )^(2))\cdot \left(-\sin x \right)=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x \\\end(align)\]
Vi faktoriserer ikke dette uttrykket, fordi dette ikke er det endelige svaret ennå. Nå må vi løse den andre delen. La oss skrive det ut:
\[\begin(align)& ((\left(4x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=((\left(4x \right))^(\prime ))\cdot \sin x+4x\cdot ((\venstre(\sin x \right))^(\prime ))= \\& =4\cdot \sin x+4x\cdot \cos x \\\end(align)\]
La oss nå gå tilbake til vår opprinnelige oppgave og sette alt sammen til en enkelt struktur:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x+4x\cos x=6x\cdot \cos x= \\& =6x\cdot \cos x-((x)^(2))\cdot \sin x+4\sin x \\\end(align)\]
Det er det, dette er det endelige svaret.
La oss gå videre til det siste eksemplet - det vil være det mest komplekse og mest omfangsrike når det gjelder beregninger. Så, et eksempel:
\[(y)"=((\venstre(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))-((\left(2xctgx \right))^(\prime ) )\]
Vi teller hver del for seg:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))\cdot tgx \right))^(\prime ))=(\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))\cdot tgx+((x)^(2))\cdot ((\left(tgx \right))^(\prime ))= \\& =2x\cdot tgx+( (x)^(2))\cdot \frac(1)(((\cos )^(2))x) \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((\left(2x\cdot ctgx \right))^(\prime ))=((\left(2x \right))^(\prime ))\cdot ctgx+2x\ cdot ((\left(ctgx \right))^(\prime ))= \\& =2\cdot ctgx+2x\left(-\frac(1)(((\sin )^(2))x) \right)=2\cdot ctgx-\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Tilbake til den opprinnelige funksjonen, la oss beregne dens deriverte som en helhet:
\[\begin(align)& (y)"=2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2)))(((\cos)^(2))x)-\left(2ctgx-\ frac(2x)(((\sin )^(2))x) \right)= \\& =2x\cdot tgx+\frac(((x)^(2))))((\cos )^( 2))x)-2ctgx+\frac(2x)(((\sin )^(2))x) \\\end(align)\]
Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg om de avledede verkene. Som du kan se, er hovedproblemet med formelen ikke å huske den, men i det faktum at den involverer en ganske stor mengde beregninger. Men det er greit, for nå går vi over til kvotederivatet, hvor vi må jobbe hardt.
Hva er den deriverte av en kvotient?
Så formelen for den deriverte av kvotienten. Dette er kanskje den mest komplekse formelen i skolekurset om derivater. La oss si at vi har en funksjon av formen $\frac(f)(g)$, der $f$ og $g$ også er funksjoner som vi også kan fjerne primtall fra. Deretter vil det bli beregnet i henhold til følgende formel:
Telleren minner oss litt om formelen for den deriverte av et produkt, men det er et minustegn mellom leddene og kvadratet til den opprinnelige nevneren er også lagt til nevneren. La oss se hvordan dette fungerer i praksis:
La oss prøve å løse:
\[(f)"=((\venstre(\frac(((x)^(2)))-1)(x+2) \høyre))^(\prime ))=\frac(((\venstre) (((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right )\cdot ((\venstre(x+2 \høyre))^(\prime )))(((\venstre(x+2 \høyre))^(2)))\]
Jeg foreslår at du skriver ut hver del separat og skriver ned:
\[\begin(align)& ((\left(((x)^(2))-1 \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2))) \ høyre))^(\prime ))-(1)"=2x \\& ((\venstre(x+2 \right))^(\prime ))=(x)"+(2)"=1 \ \\end(align)\]
La oss omskrive uttrykket vårt:
\[\begin(align)& (f)"=\frac(2x\cdot \left(x+2 \right)-\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 1) (((\venstre(x+2 \høyre))^(2)))= \\& =\frac(2((x)^(2))+4x-((x)^(2))+ 1)(((\venstre(x+2 \høyre))^(2)))=\frac(((x)^(2))+4x+1)(((\venstre(x+2 \høyre) ))^(2))) \\\end(align)\]
Vi har funnet svaret. La oss gå videre til den andre funksjonen:
Å dømme etter det faktum at telleren ganske enkelt er én, vil beregningene her være litt enklere. Så la oss skrive:
\[(y)"=((\venstre(\frac(1)(((x)^(2))+4) \right))^(\prime ))=\frac((1)"\cdot \venstre(((x)^(2))+4 \høyre)-1\cdot ((\venstre(((x)^(2))+4 \høyre))^(\prime )))(( (\venstre(((x)^(2))+4 \høyre))^(2)))\]
La oss beregne hver del av eksemplet separat:
\[\begin(align)& (1)"=0 \\& ((\left(((x)^(2))+4 \right))^(\prime ))=((\left(( (x)^(2)) \right))^(\prime ))+(4)"=2x \\\end(align)\]
La oss omskrive uttrykket vårt:
\[(y)"=\frac(0\cdot \venstre(((x)^(2))+4 \høyre)-1\cdot 2x)(((\venstre(((x)^(2) )+4 \høyre))^(2)))=-\frac(2x)(((\venstre(((x)^(2))+4 \høyre))^(2)))\]
Vi har funnet svaret. Som forventet viste mengden av beregning seg å være betydelig mindre enn for den første funksjonen.
Hva er forskjellen mellom betegnelsene?
Oppmerksomme studenter har sannsynligvis allerede et spørsmål: hvorfor i noen tilfeller betegner vi funksjonen som $f\left(x \right)$, og i andre tilfeller skriver vi bare $y$? Faktisk, fra et matematisk synspunkt, er det absolutt ingen forskjell - du har rett til å bruke både den første betegnelsen og den andre, og det vil ikke være noen straff i eksamener eller prøver. For de som fortsatt er interessert, vil jeg forklare hvorfor forfatterne av lærebøker og problemer i noen tilfeller skriver $f\left(x \right)$, og i andre (mye hyppigere) - ganske enkelt $y$. Faktum er at ved å skrive en funksjon på formen \, hinter vi implisitt til de som leser våre beregninger at vi snakker spesifikt om den algebraiske tolkningen av funksjonell avhengighet. Det vil si at det er en viss variabel $x$, vi vurderer avhengigheten av denne variabelen og betegner den $f\left(x \right)$. Samtidig, etter å ha sett en slik betegnelse, vil den som leser beregningene dine, for eksempel inspektøren, ubevisst forvente at det i fremtiden bare venter på algebraiske transformasjoner - ingen grafer og ingen geometri.
På den annen side, ved å bruke notasjoner av formen \, dvs. betegner en variabel med en enkelt bokstav, gjør vi det umiddelbart klart at vi i fremtiden er interessert i den geometriske tolkningen av funksjonen, dvs. vi er interessert, først av alt i sin graf. Følgelig, når leseren står overfor en oversikt over skjemaet, har han rett til å forvente grafiske beregninger, dvs. grafer, konstruksjoner osv., men ikke i noe tilfelle analytiske transformasjoner.
Jeg vil også henlede oppmerksomheten på ett trekk ved utformingen av oppgavene som vi vurderer i dag. Mange elever mener at jeg gir for detaljerte beregninger, og mange av dem kan hoppes over eller rett og slett løses i hodet. Imidlertid er det nettopp en så detaljert oversikt som vil tillate deg å bli kvitt støtende feil og øke prosentandelen av riktig løste problemer betydelig, for eksempel i tilfelle selvforberedelse til tester eller eksamener. Derfor, hvis du fortsatt er usikker på dine evner, hvis du nettopp har begynt å studere dette emnet, ikke skynd deg - beskriv hvert trinn i detalj, skriv ned hver faktor, hvert slag, og veldig snart vil du lære å løse slike eksempler bedre enn mange skolelærere. Jeg håper dette er klart. La oss telle noen flere eksempler.
Flere interessante oppgaver
Denne gangen, som vi ser, er trigonometri tilstede i de deriverte som beregnes. La meg derfor minne deg om følgende:
\[\begin(align)& (sinx())"=\cos x \\& ((\left(\cos x \right))^(\prime))=-\sin x \\\end(align )\]
Selvfølgelig kan vi ikke klare oss uten den deriverte av kvotienten, nemlig:
\[((\venstre(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
La oss vurdere den første funksjonen:
\[\begin(align)& (f)"=((\venstre(\frac(\sin x)(x) \right))^(\prime))=\frac(((\venstre(\sin x) \right))^(\prime ))\cdot x-\sin x\cdot \left(((x)") \right))(((x)^(2)))= \\& =\frac (x\cdot \cos x-1\cdot \sin x)(((x)^(2)))=\frac(x\cos x-\sin x)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Så vi har funnet en løsning på dette uttrykket.
La oss gå videre til det andre eksemplet:
Det er klart at dens deriverte vil være mer kompleks, om ikke annet fordi trigonometri er til stede i både telleren og nevneren til denne funksjonen. Vi bestemmer:
\[(y)"=((\venstre(\frac(x\sin x)(\cos x) \right))^(\prime ))=\frac(((\venstre(x\sin x \right ))^(\prime ))\cdot \cos x-x\sin x\cdot ((\left(\cos x \right))^(\prime )))(((\left(\cos x \right)) ^(2)))\]
Merk at vi har et derivat av produktet. I dette tilfellet vil det være lik:
\[\begin(align)& ((\venstre(x\cdot \sin x \right))^(\prime ))=(x)"\cdot \sin x+x((\venstre(\sin x \ høyre))^(\prime ))= \\& =\sin x+x\cos x \\\end(align)\]
La oss gå tilbake til våre beregninger. Vi skriver ned:
\[\begin(align)& (y)"=\frac(\left(\sin x+x\cos x \right)\cos x-x\cdot \sin x\cdot \left(-\sin x \right) )(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x((\cos )^(2))x+x((\sin ) ^(2))x)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x\cdot \cos x+x\venstre(((\sin )^(2) )x+((\cos )^(2))x \right))(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos) )^(2))x) \\\end(align)\]
Det er alt! Vi gjorde regnestykket.
Hvordan redusere den deriverte av en kvotient til en enkel formel for den deriverte av et produkt?
Og her vil jeg komme med en veldig viktig bemerkning angående trigonometriske funksjoner. Faktum er at vår opprinnelige konstruksjon inneholder et uttrykk for formen $\frac(\sin x)(\cos x)$, som enkelt kan erstattes med $tgx$. Dermed reduserer vi den deriverte av en kvotient til en enklere formel for den deriverte av et produkt. La oss beregne dette eksemplet igjen og sammenligne resultatene.
Så nå må vi vurdere følgende:
\[\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]
La oss omskrive vår opprinnelige funksjon $y=\frac(x\sin x)(\cos x)$ tar dette i betraktning. Vi får:
La oss telle:
\[\begin(align)& (y)"=((\venstre(x\cdot tgx \right))^(\prime ))(x)"\cdot tgx+x((\left(tgx \right) )^(\prime ))=tgx+x\frac(1)(((\cos )^(2))x)= \\& =\frac(\sin x)(\cos x)+\frac( x)(((\cos )^(2))x)=\frac(\sin x\cdot \cos x+x)(((\cos )^(2))x) \\\end(align) \]
Nå, hvis vi sammenligner resultatet oppnådd med det vi fikk tidligere ved beregning på en annen måte, så vil vi være overbevist om at vi har fått det samme uttrykket. Dermed, uansett hvilken vei vi går når vi beregner den deriverte, hvis alt er beregnet riktig, vil svaret være det samme.
Viktige nyanser når du løser problemer
Avslutningsvis vil jeg fortelle deg enda en finesse knyttet til beregning av den deriverte av en kvotient. Det jeg skal fortelle deg nå var ikke i det originale manuset til videoleksjonen. Men et par timer før filmingen studerte jeg med en av studentene mine, og vi diskuterte nettopp temaet kvotientderivater. Og det viste seg at mange studenter ikke forstår dette poenget. Så la oss si at vi må beregne fjerningsslaget til følgende funksjon:
I prinsippet er det ved første øyekast ingenting overnaturlig ved det. Men i regneprosessen kan vi gjøre mange dumme og støtende feil, som jeg gjerne vil diskutere nå.
Så vi beregner denne deriverte. Først av alt merker vi at vi har begrepet $3((x)^(2))$, så det er hensiktsmessig å huske følgende formel:
\[((\venstre(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]
I tillegg har vi begrepet $\frac(48)(x)$ - vi vil håndtere det gjennom den deriverte av kvotienten, nemlig:
\[((\venstre(\frac(f)(g) \right))^(\prime ))=\frac((f)"\cdot g-f\cdot (g)")(((g)^( 2)))\]
Så la oss bestemme:
\[(y)"=((\venstre(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))+((\left(3((x)^(2)) \right)) ^(\prime ))+10(0)"\]
Det er ingen problemer med første termin, se:
\[((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))=3\cdot ((\left(((x)^(2)) \right))^ (\prime ))=3k.2x=6x\]
Men med det første leddet, $\frac(48)(x)$, må du jobbe separat. Faktum er at mange elever forvirrer situasjonen når de skal finne $((\left(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))$ og når de skal finne $((\left) (\frac (48)(x) \right))^(\prime ))$. Det vil si at de blir forvirret når konstanten er i nevneren og når konstanten er i telleren, henholdsvis når variabelen er i telleren eller i nevneren.
La oss starte med det første alternativet:
\[((\venstre(\frac(x)(48) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(48)\cdot x \right))^(\prime ))=\frac(1)(48)\cdot (x)"=\frac(1)(48)\cdot 1=\frac(1)(48)\]
På den annen side, hvis vi prøver å gjøre det samme med den andre brøken, får vi følgende:
\[\begin(align)& ((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))=((\left(48\cdot \frac(1)(x) \right ))^(\prime ))=48\cdot ((\venstre(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))= \\& =48\cdot \frac((1)" \cdot x-1\cdot (x)")(((x)^(2)))=48\cdot \frac(-1)(((x)^(2)))=-\frac(48) )(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Imidlertid kan det samme eksempelet beregnes annerledes: på det stadiet hvor vi gikk over til den deriverte av kvotienten, kan vi betrakte $\frac(1)(x)$ som en potens med negativ eksponent, dvs. vi får følgende :
\[\begin(align)& 48\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=48\cdot ((\left(((x)^(- 1)) \right))^(\prime ))=48\cdot \left(-1 \right)\cdot ((x)^(-2))= \\& =-48\cdot \frac(1) )(((x)^(2)))=-\frac(48)(((x)^(2))) \\\end(align)\]
Og så, og så fikk vi det samme svaret.
Dermed er vi nok en gang overbevist om to viktige fakta. For det første kan den samme deriverte beregnes på helt forskjellige måter. For eksempel kan $((\left(\frac(48)(x) \right))^(\prime ))$ betraktes både som den deriverte av en kvotient og som den deriverte av en potensfunksjon. Dessuten, hvis alle beregninger utføres riktig, vil svaret alltid være det samme. For det andre, når man beregner derivater som inneholder både en variabel og en konstant, er det grunnleggende viktig hvor variabelen befinner seg – i telleren eller i nevneren. I det første tilfellet, når variabelen er i telleren, får vi en enkel lineær funksjon som lett kan beregnes. Og hvis variabelen er i nevneren, får vi et mer komplekst uttrykk med de tilhørende beregningene gitt tidligere.
På dette tidspunktet kan leksjonen anses som komplett, så hvis du ikke forstår noe om derivatene til en kvotient eller et produkt, og generelt, hvis du har spørsmål om dette emnet, ikke nøl - gå til nettstedet mitt , skriv, ring, og jeg vil definitivt prøve kan jeg hjelpe deg.
Derivater i seg selv er ikke et komplekst tema, men de er svært omfattende, og det vi studerer nå vil bli brukt i fremtiden ved løsning av mer komplekse problemer. Derfor er det bedre å identifisere alle misforståelser knyttet til beregningen av derivater av en kvotient eller et produkt umiddelbart, akkurat nå. Ikke når de er en enorm snøball av misforståelser, men når de er en liten tennisball som er lett å ha med å gjøre.
Å løse fysiske problemer eller eksempler i matematikk er helt umulig uten kunnskap om den deriverte og metoder for å regne den ut. Den deriverte er et av de viktigste begrepene i matematisk analyse. Vi bestemte oss for å vie dagens artikkel til dette grunnleggende emnet. Hva er en derivert, hva er dens fysiske og geometriske betydning, hvordan beregner man den deriverte av en funksjon? Alle disse spørsmålene kan kombineres til ett: hvordan forstå den deriverte?
Geometrisk og fysisk betydning av derivat
La det være en funksjon f(x) , spesifisert i et visst intervall (a, b) . Punktene x og x0 tilhører dette intervallet. Når x endres, endres selve funksjonen. Endring av argumentet - forskjellen i verdiene x-x0 . Denne forskjellen er skrevet som delta x og kalles argumentøkning. En endring eller økning av en funksjon er forskjellen mellom verdiene til en funksjon ved to punkter. Definisjon av derivat:
Den deriverte av en funksjon i et punkt er grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen ved et gitt punkt og økningen av argumentet når sistnevnte har en tendens til null.
Ellers kan det skrives slik:
Hva er vitsen med å finne en slik grense? Og her er hva det er:
den deriverte av en funksjon i et punkt er lik tangenten til vinkelen mellom OX-aksen og tangenten til grafen til funksjonen i et gitt punkt.
Fysisk betydning av derivatet: den deriverte av banen med hensyn til tid er lik hastigheten på rettlinjet bevegelse.
Faktisk, siden skoledagene vet alle at hastighet er en spesiell vei x=f(t) og tid t . Gjennomsnittlig hastighet over en viss tidsperiode:
For å finne ut bevegelseshastigheten på et øyeblikk t0 du må beregne grensen:
Regel én: sett en konstant
Konstanten kan tas ut av det deriverte tegnet. Dessuten må dette gjøres. Når du løser eksempler i matematikk, ta det som en regel - Hvis du kan forenkle et uttrykk, sørg for å forenkle det .
Eksempel. La oss beregne den deriverte:
Regel to: derivert av summen av funksjoner
Den deriverte av summen av to funksjoner er lik summen av de deriverte av disse funksjonene. Det samme gjelder for den deriverte av funksjonsforskjellen.
Vi vil ikke gi et bevis på denne teoremet, men heller vurdere et praktisk eksempel.
Finn den deriverte av funksjonen:
Regel tre: derivert av produktet av funksjoner
Den deriverte av produktet av to differensierbare funksjoner beregnes med formelen:
Eksempel: finn den deriverte av en funksjon:
Løsning: 
Det er viktig å snakke om beregning av deriverte av komplekse funksjoner her. Den deriverte av en kompleks funksjon er lik produktet av den deriverte av denne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet og den deriverte av det mellomliggende argumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
I eksemplet ovenfor kommer vi over uttrykket:
I dette tilfellet er det mellomliggende argumentet 8x til femte potens. For å beregne den deriverte av et slikt uttrykk, beregner vi først den deriverte av den eksterne funksjonen med hensyn til det mellomliggende argumentet, og deretter multiplisere med den deriverte av selve mellomargumentet med hensyn til den uavhengige variabelen.
Regel fire: derivert av kvotienten til to funksjoner
Formel for å bestemme den deriverte av kvotienten til to funksjoner:
Vi prøvde å snakke om derivater for dummies fra bunnen av. Dette emnet er ikke så enkelt som det ser ut til, så vær advart: det er ofte fallgruver i eksemplene, så vær forsiktig når du beregner derivater.
Ved spørsmål om dette og andre temaer kan du kontakte studenttjenesten. I løpet av kort tid vil vi hjelpe deg med å løse den vanskeligste testen og forstå oppgavene, selv om du aldri har gjort derivatberegninger før.
Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.
Innsamling og bruk av personopplysninger
Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.
Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.
Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.
Hvilken personlig informasjon samler vi inn:
- Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.
Hvordan vi bruker dine personopplysninger:
- Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
- Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
- Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
- Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.
Utlevering av informasjon til tredjeparter
Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.
Unntak:
- Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
- I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.
Beskyttelse av personopplysninger
Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.
Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå
For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.
Operasjonen med å finne den deriverte kalles differensiering.
Som et resultat av å løse problemer med å finne deriverte av de enkleste (og ikke veldig enkle) funksjonene ved å definere den deriverte som grensen for forholdet mellom økningen og økningen av argumentet, dukket det opp en tabell med deriverte og nøyaktig definerte regler for differensiering . De første som arbeidet med å finne derivater var Isaac Newton (1643-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).
Derfor, i vår tid, for å finne den deriverte av en funksjon, trenger du ikke å beregne den ovennevnte grensen for forholdet mellom økningen av funksjonen og økningen av argumentet, men du trenger bare å bruke tabellen med derivater og differensieringsreglene. Følgende algoritme er egnet for å finne den deriverte.
For å finne den deriverte, trenger du et uttrykk under primtegnet bryte ned enkle funksjoner i komponenter og bestemme hvilke handlinger (produkt, sum, kvotient) disse funksjonene er relatert. Deretter finner vi derivatene av elementære funksjoner i tabellen over derivater, og formlene for derivatene til produktet, sum og kvotient - i differensieringsreglene. Den deriverte tabellen og differensieringsreglene er gitt etter de to første eksemplene.
Eksempel 1. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Fra differensieringsreglene finner vi ut at den deriverte av en sum av funksjoner er summen av deriverte av funksjoner, dvs.
Fra tabellen over deriverte finner vi ut at den deriverte av "x" er lik en, og den deriverte av sinus er lik cosinus. Vi erstatter disse verdiene i summen av deriverte og finner den deriverte som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi differensierer som en derivert av en sum der det andre leddet har en konstant faktor; det kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Hvis det likevel dukker opp spørsmål om hvor noe kommer fra, blir de vanligvis ryddet opp etter å ha satt seg inn i tabellen over derivater og de enkleste differensieringsreglene. Vi går videre til dem akkurat nå.
Tabell over deriverte av enkle funksjoner
| 1. Derivert av en konstant (tall). Et hvilket som helst tall (1, 2, 5, 200...) som er i funksjonsuttrykket. Alltid lik null. Dette er veldig viktig å huske, da det kreves veldig ofte | |
| 2. Derivert av den uavhengige variabelen. Oftest "X". Alltid lik en. Dette er også viktig å huske lenge | |
| 3. Avledet av grad. Når du løser problemer, må du konvertere ikke-kvadratrøtter til potenser. | |
| 4. Derivert av en variabel i potensen -1 | |
| 5. Avledet av kvadratrot | |
| 6. Derivert av sinus | |
| 7. Derivat av cosinus |  |
| 8. Derivert av tangent |  |
| 9. Derivat av cotangens |  |
| 10. Derivat av arcsine |  |
| 11. Derivat av arc cosinus |  |
| 12. Derivat av arctangens |  |
| 13. Derivat av lysbue cotangens |  |
| 14. Derivert av den naturlige logaritmen | |
| 15. Derivert av en logaritmisk funksjon |  |
| 16. Derivert av eksponenten | |
| 17. Derivert av en eksponentiell funksjon |
Regler for differensiering
| 1. Derivert av en sum eller differanse |  |
| 2. Derivat av produktet |  |
| 2a. Derivert av et uttrykk multiplisert med en konstant faktor | |
| 3. Derivat av kvotienten |  |
| 4. Derivat av en kompleks funksjon |  |
Regel 1.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er funksjonene differensierbare på samme punkt
og
de. den deriverte av en algebraisk sum av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene.
Konsekvens. Hvis to differensierbare funksjoner er forskjellige med et konstant ledd, er deres deriverte like, dvs.
Regel 2.Hvis funksjonene
er differensierbare på et tidspunkt, så er produktet deres differensierbart på samme punkt
og
de. Den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene og den deriverte av den andre.
Konsekvens 1. Konstantfaktoren kan tas ut av tegnet til den deriverte:
Konsekvens 2. Den deriverte av produktet av flere differensierbare funksjoner er lik summen av produktene av den deriverte av hver faktor og alle de andre.
For eksempel, for tre multiplikatorer:
Regel 3.Hvis funksjonene
differensierbar på et tidspunkt Og , så på dette punktet er kvotienten deres også differensierbaru/v , og
de. den deriverte av kvotienten av to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene av nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet av den tidligere telleren.
Hvor du kan se etter ting på andre sider
Når man finner derivatet til et produkt og en kvotient i reelle problemer, er det alltid nødvendig å bruke flere differensieringsregler samtidig, så det er flere eksempler på disse derivatene i artikkelen"Derivat av produktet og kvotient av funksjoner".
Kommentar. Du bør ikke forveksle en konstant (det vil si et tall) som et ledd i en sum og som en konstant faktor! Når det gjelder et ledd, er dets deriverte lik null, og når det gjelder en konstant faktor, er det tatt ut av tegnet til de deriverte. Dette er en typisk feil som oppstår i den innledende fasen av å studere derivater, men ettersom gjennomsnittsstudenten løser flere en- og todelte eksempler, gjør han ikke lenger denne feilen.
Og hvis du, når du differensierer et produkt eller kvotient, har et begrep u"v, hvori u- et tall, for eksempel 2 eller 5, det vil si en konstant, så vil den deriverte av dette tallet være lik null, og derfor vil hele leddet være lik null (dette tilfellet er diskutert i eksempel 10).
En annen vanlig feil er å mekanisk løse den deriverte av en kompleks funksjon som den deriverte av en enkel funksjon. Derfor avledet av en kompleks funksjon en egen artikkel er viet. Men først skal vi lære å finne deriverte av enkle funksjoner.
Underveis kan du ikke gjøre uten å transformere uttrykk. For å gjøre dette må du kanskje åpne manualen i nye vinduer. Handlinger med krefter og røtter Og Operasjoner med brøker .
Hvis du leter etter løsninger på deriverte av brøker med potenser og røtter, det vil si når funksjonen ser ut som 
, følg deretter leksjonen "Derivert av summer av brøker med potenser og røtter."
Hvis du har en oppgave som 
, så vil du ta leksjonen "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner".
Steg-for-trinn eksempler - hvordan finne den deriverte
Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi definerer delene av funksjonsuttrykket: hele uttrykket representerer et produkt, og dets faktorer er summer, i det andre inneholder ett av leddene en konstant faktor. Vi bruker produktdifferensieringsregelen: den deriverte av produktet av to funksjoner er lik summen av produktene til hver av disse funksjonene med den deriverte av den andre:
Deretter bruker vi regelen for differensiering av summen: den deriverte av den algebraiske summen av funksjoner er lik den algebraiske summen av de deriverte av disse funksjonene. I vårt tilfelle har det andre leddet et minustegn i hver sum. I hver sum ser vi både en uavhengig variabel, hvis deriverte er lik én, og en konstant (tall), hvis deriverte er lik null. Så, "X" blir til en, og minus 5 blir til null. I det andre uttrykket multipliseres "x" med 2, så vi multipliserer to med samme enhet som den deriverte av "x". Vi får følgende avledede verdier:
Vi erstatter de funnet deriverte i summen av produkter og får den deriverte av hele funksjonen som kreves av tilstanden til problemet:
Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. Vi er pålagt å finne den deriverte av kvotienten. Vi bruker formelen for å differensiere kvotienten: den deriverte av kvotienten til to funksjoner er lik en brøk, hvis teller er forskjellen mellom produktene til nevneren og den deriverte av telleren og telleren og den deriverte av nevneren, og nevneren er kvadratet til den tidligere telleren. Vi får:
Vi har allerede funnet den deriverte av faktorene i telleren i eksempel 2. La oss heller ikke glemme at produktet, som er den andre faktoren i telleren i gjeldende eksempel, er tatt med et minustegn:
Hvis du leter etter løsninger på problemer der du trenger å finne den deriverte av en funksjon, hvor det er en kontinuerlig haug med røtter og potenser, som f.eks. 
, så velkommen til timen "Derivat av summer av brøker med potenser og røtter" .
Hvis du trenger å lære mer om deriverte av sinus, cosinus, tangenter og andre trigonometriske funksjoner, det vil si når funksjonen ser ut som , så en leksjon for deg "Derivater av enkle trigonometriske funksjoner" .
Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi et produkt, hvor en av faktorene er kvadratroten av den uavhengige variabelen, den deriverte vi gjorde oss kjent med i tabellen over deriverte. Ved å bruke regelen for å skille produktet og tabellverdien til den deriverte av kvadratroten, får vi:
Eksempel 6. Finn den deriverte av en funksjon
Løsning. I denne funksjonen ser vi en kvotient hvis utbytte er kvadratroten av den uavhengige variabelen. Ved å bruke regelen for differensiering av kvotienter, som vi gjentok og brukte i eksempel 4, og den tabulerte verdien av den deriverte av kvadratroten, får vi:
For å bli kvitt en brøk i telleren, multipliser telleren og nevneren med .
Laster inn...