For å gjøre tallet delelig med 12. Start i naturfag. Utvalg av tall

For å forenkle delingen av naturlige tall ble reglene for å dele med tallene til de ti første og tallene 11, 25 utledet, som er kombinert til en seksjon tegn på delbarhet av naturlige tall. Nedenfor er reglene for at analysen av et tall uten å dele det med et annet naturlig tall vil svare på spørsmålet, er et naturlig tall et multiplum av tallene 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 25 og litt enhet?

Naturlige tall som har sifre (som slutter på) 2,4,6,8,0 i det første sifferet kalles partall.

Tegn på delbarhet av tall med 2

Alle naturlige partall er delbare med 2, for eksempel: 172, 94,67 838, 1670.

Tegn på delbarhet av tall med 3

Alle naturlige tall er delbare med 3, summen av sifrene er et multiplum av 3. For eksempel:
39 (3 + 9 = 12; 12: 3 = 4);

16 734 (1 + 6 + 7 + 3 + 4 = 21; 21:3 = 7).

Tegn på delbarhet av tall med 4

Alle naturlige tall er delbare med 4, hvor de to siste sifrene er null eller et multiplum av 4. For eksempel:
124 (24: 4 = 6);
103 456 (56: 4 = 14).

Tegn på delbarhet av tall med 5

Tegn på delbarhet av tall med 6

De naturlige tallene som er delbare med 2 og 3 samtidig, er delbare med 6 (alle partall som er delbare med 3). For eksempel: 126 (b - partall, 1 + 2 + 6 = 9, 9: 3 = 3).

Tegn på delbarhet av tall med 9

Disse naturlige tallene er delbare med 9, hvor summen av sifrene er et multiplum av 9. For eksempel:
1179 (1 + 1 + 7 + 9 = 18, 18: 9 = 2).

Tegn på delbarhet av tall med 10

Tegn på delbarhet av tall med 11

Bare de naturlige tallene er delbare med 11, der summen av sifrene som opptar partallsplasser er lik summen av sifrene som opptar oddeplasser, eller differansen mellom summen av sifrene av oddeplasser og summen av sifrene til partallsplasser er et multiplum av 11. For eksempel:
105787 (1 + 5 + 8 = 14 og 0 + 7 + 7 = 14);
9 163 627 (9 + 6 + b + 7 = 28 og 1 + 3 + 2 = 6);
28 — 6 = 22; 22: 11 = 2).

Tegn på delbarhet av tall med 25

Disse naturlige tallene er delbare med 25, hvor de to siste sifrene er null eller er et multiplum av 25. For eksempel:
2 300; 650 (50: 25 = 2);

1 475 (75: 25 = 3).

Tegn på delbarhet av tall med en bitenhet

Disse naturlige tallene er delt inn i en bitenhet, der antallet nuller er større enn eller lik antallet nuller i bitenheten. For eksempel: 12 000 er delelig med 10, 100 og 1000.

En serie artikler om tegn på delbarhet fortsetter tegn på delbarhet med 3. Denne artikkelen gir først formuleringen av kriteriet for delbarhet med 3, og gir eksempler på anvendelsen av dette kriteriet for å finne ut hvilke av de gitte heltallene som er delbare med 3 og hvilke som ikke er det. Videre gis beviset på delebarhetstesten med 3. Tilnærminger for å fastslå delebarheten med 3 av tall gitt som verdien av et uttrykk vurderes også.

Sidenavigering.

Tegn på delbarhet med 3, eksempler

La oss begynne med formuleringer av testen for delbarhet med 3: et heltall er delelig med 3 hvis summen av sifrene er delelig med 3, hvis summen av sifrene ikke er delelig med 3, så er tallet i seg selv ikke delelig med 3.

Fra formuleringen ovenfor er det klart at tegnet på delbarhet med 3 ikke kan brukes uten evnen til å utføre addisjon av naturlige tall. For en vellykket anvendelse av tegnet på delbarhet med 3, må du også vite at av alle ensifrede naturlige tall er tallene 3, 6 og 9 delbare med 3, og tallene 1, 2, 4, 5, 7 og 8 er ikke delbare med 3.

Nå kan vi vurdere det enkleste eksempler på bruk av testen for delbarhet med 3. La oss finne ut om tallet er delelig med 3? 42. For å gjøre dette, beregner vi summen av sifrene til tallet?42, det er lik 4+2=6. Siden 6 er delelig med 3, kan man i kraft av tegnet delelig med 3 argumentere for at tallet?42 også er delelig med 3. Men det positive heltall 71 er ikke delelig med 3, siden summen av sifrene er 7+1=8, og 8 er ikke delelig med 3.

Er 0 delelig med 3? For å svare på dette spørsmålet er testen for delbarhet med 3 ikke nødvendig, her må vi huske den tilsvarende egenskapen til delbarhet, som sier at null er delelig med et hvilket som helst heltall. Så 0 er delelig med 3.

I noen tilfeller, for å vise at et gitt tall har eller ikke har evnen til å være delelig med 3, må testen for delbarhet med 3 brukes flere ganger på rad. La oss ta et eksempel.

Vis at tallet 907444812 er delelig med 3.

Summen av sifrene til 907444812 er 9+0+7+4+4+4+8+1+2=39 . For å finne ut om 39 er delelig med 3, beregner vi summen av sifre: 3+9=12. Og for å finne ut om 12 er delelig med 3, finner vi summen av sifrene til tallet 12, vi har 1+2=3. Siden vi fikk tallet 3, som er delelig med 3, er tallet 12 delelig med 3, på grunn av tegnet på delbarhet med 3. Derfor er 39 delelig med 3, siden summen av sifrene er 12, og 12 er delelig med 3. Til slutt er 907333812 delelig med 3 fordi summen av sifrene er 39 og 39 er delelig med 3.

For å konsolidere materialet, vil vi analysere løsningen av et annet eksempel.

Er tallet delelig med 3? 543 205?

La oss beregne summen av sifre i dette tallet: 5+4+3+2+0+5=19 . På sin side er summen av sifrene til tallet 19 1+9=10, og summen av sifrene til tallet 10 er 1+0=1. Siden vi fikk tallet 1, som ikke er delelig med 3, følger det av delbarhetskriteriet med 3 at 10 ikke er delelig med 3. Derfor er 19 ikke delelig med 3, fordi summen av sifrene er 10, og 10 er ikke delelig med 3. Derfor er det opprinnelige tallet?543205 ikke delelig med 3, siden summen av dets sifre, lik 19, ikke er delelig med 3.

Det er verdt å merke seg at direkte deling av et gitt tall med 3 også lar oss konkludere om det gitte tallet er delelig med 3 eller ikke. Med dette vil vi si at deling ikke bør neglisjeres til fordel for tegnet delbarhet med 3. I det siste eksemplet, ved å dele 543 205 med 3 med en kolonne, vil vi sørge for at 543 205 ikke er delelig med 3, hvorfra vi kan si at? 543 205 er heller ikke delelig med 3.

Bevis på testen for delbarhet med 3

Følgende representasjon av tallet a vil hjelpe oss å bevise tegnet på delbarhet med 3. Vi kan dekomponere et hvilket som helst naturlig tall a til sifre, hvoretter regelen for multiplikasjon med 10, 100, 1000 og så videre lar oss få en representasjon av formen a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +...+ a 2 10 2 +a 1 ·10+a 0 , der a n , a n?1 , …, a 0 er sifre fra venstre til høyre i tallet a . For klarhetens skyld gir vi et eksempel på en slik representasjon: 528=500+20+8=5 100+2 10+8 .

La oss nå skrive en rekke ganske åpenbare likheter: 10=9+1=3 3+1 , 100=99+1=33 3+1 , 1 000=999+1=333 3+1 og så videre.

Substituere inn i ligningen a=a n 10 n +a n?1 10 n?1 +...+a 2 10 2 +a 1 10+a 0 i stedet for 10 , 100 , 1 000 og så videre uttrykk 3 3+1 , 33 3 +1 , 999+1=333 3+1 og så videre får vi
.

Egenskapene til addisjon av naturlige tall og egenskapene til multiplikasjon av naturlige tall gjør at den resulterende likheten kan skrives om som følger:

Uttrykk er summen av sifrene til a. La oss angi det for korthet og bekvemmelighet med bokstaven A, det vil si at vi godtar . Så får vi en representasjon av tallet a på formen, som vi skal bruke for å bevise testen for delbarhet med 3.

For å bevise testen for delbarhet med 3, trenger vi følgende egenskaper for delbarhet:

for at et heltall a skal være delelig med et heltall b, er det nødvendig og tilstrekkelig at modulen til a er delelig med modulen til b;
hvis i likheten a=s+t alle ledd, bortsett fra noen en, er delbare med et heltall b, så er dette ene leddet også delelig med b.

Nå er vi fullt forberedt og kan gjennomføre bevis på delbarhet med 3, for enkelhets skyld formulerer vi denne funksjonen som en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for delbarhet med 3 .

For at et heltall a skal være delelig med 3, er det nødvendig og tilstrekkelig at summen av sifrene er delelig med 3.

For a=0 er teoremet åpenbart.

Hvis a er forskjellig fra null, er modulen til a et naturlig tall, da er en representasjon mulig, hvor er summen av sifrene til a.

Siden summen og produktet av heltall er et heltall, så er et heltall, så er produktet delelig med 3 for enhver a 0 , a 1 , …, a n .

Hvis summen av sifrene til tallet a er delelig med 3, det vil si at A er delelig med 3, så er den delelig med 3 på grunn av delebarhetsegenskapen som er angitt før teoremet, og derfor er a delelig med 3. Dette beviser tilstrekkeligheten.

Hvis a er delelig med 3, så er den også delelig med 3, så på grunn av den samme delbarhetsegenskapen er tallet A delelig med 3, det vil si at summen av sifrene til tallet a er delelig med 3. Dette beviser nødvendigheten.

Andre tilfeller av delbarhet med 3

Noen ganger er heltall spesifisert ikke eksplisitt, men som verdien av et uttrykk med en variabel for en gitt verdi av variabelen. For eksempel er verdien av et uttrykk for en naturlig n et naturlig tall. Det er klart at med denne tildelingen av tall, vil ikke direkte divisjon med 3 bidra til å etablere deres delbarhet med 3, og tegnet på delbarhet med 3 vil ikke alltid kunne brukes. Nå vil vi vurdere flere tilnærminger for å løse slike problemer.

Essensen av disse tilnærmingene er å representere det opprinnelige uttrykket som et produkt av flere faktorer, og hvis minst en av faktorene er delelig med 3, vil det på grunn av den tilsvarende egenskapen til delbarhet være mulig å konkludere med at hele Produktet er delelig med 3.

Noen ganger kan denne tilnærmingen implementeres ved å bruke Newtons binomiale. La oss vurdere et eksempel på en løsning.

Er verdien av uttrykket delelig med 3 for en hvilken som helst naturlig n ?

Likheten er åpenbar. La oss bruke Newtons binomiale formel:

I det siste uttrykket kan vi ta 3 ut av parentes, og vi får. Det resulterende produktet er delelig med 3, siden det inneholder en faktor 3, og verdien av uttrykket i parentes for naturlig n er et naturlig tall. Derfor er delelig med 3 for enhver naturlig n.

I mange tilfeller kan delebarhet med 3 bevises ved metoden for matematisk induksjon. La oss analysere dens anvendelse for å løse et eksempel.

Bevis at for enhver naturlig n er verdien av uttrykket delelig med 3 .

For beviset bruker vi metoden for matematisk induksjon.

For n=1 er verdien av uttrykket , og 6 er delelig med 3 .

Anta at verdien av uttrykket er delelig med 3 når n=k , det vil si delelig med 3 .

Tar vi i betraktning at det er delelig med 3 , vil vi vise at verdien av uttrykket for n=k+1 er delelig med 3 , det vil si at vi vil vise at er delelig med 3.

La oss gjøre noen transformasjoner:

Uttrykket deles på 3 og uttrykket er delelig med 3, så summen deres er delelig med 3.

Så metoden for matematisk induksjon beviste delbarhet med 3 for enhver naturlig n.

La oss vise enda en tilnærming til beviset på delbarhet med 3. Hvis vi viser at for n=3 m , n=3 m+1 og n=3 m+2 , hvor m er et vilkårlig heltall, er verdien av et uttrykk (med variabel n) delelig med 3 , så vil dette vise seg delbarhet av uttrykket med 3 for et hvilket som helst heltall n . Vurder denne tilnærmingen når du løser det forrige eksemplet.

Vis hva som er delelig med 3 for en hvilken som helst naturlig n .

For n=3 m har vi. Det resulterende produktet er delelig med 3 fordi det inneholder en faktor 3 som er delelig med 3 .

Det resulterende produktet er også delelig med 3.

Og dette produktet er delelig med 3.

Derfor er delelig med 3 for enhver naturlig n.

Avslutningsvis presenterer vi løsningen på ett eksempel til.

Er verdien av uttrykket delelig med 3 for noen naturlig n .

For n=1 har vi. Summen av sifrene til det resulterende tallet er 3, så tegnet på delbarhet med 3 lar oss hevde at dette tallet er delelig med 3.

For n=2 har vi. Summen av sifrene og dette tallet er 3, så det er delelig med 3.

Det er klart at for enhver annen naturlig n vil vi ha tall hvis sum av sifre er 3, derfor er disse tallene delbare med 3.

På denne måten, for enhver naturlig n er delelig med 3.

www.cleverstudents.ru

Matematikk, klasse 6, lærebok for studenter ved utdanningsorganisasjoner, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014

Matematikk, klasse 6, lærebok for studenter ved utdanningsorganisasjoner, Zubareva I.I., Mordkovich A.G., 2014.

Det teoretiske stoffet i læreboken er presentert på en slik måte at læreren kan anvende en problembasert tilnærming til undervisningen. Ved hjelp av notasjonssystemet skilles øvelser med fire kompleksitetsnivåer ut. I hvert avsnitt er kontrolloppgaver formulert ut fra hva elevene trenger å vite og kunne oppnå for å nå nivået på standarden for matematisk opplæring. Det er hjemmeprøver og svar på slutten av læreboka. Fargeillustrasjoner (tegninger og diagrammer) gir et høyt nivå av klarhet i undervisningsmateriell.
Overholder kravene til GEF LLC.

Oppgaver.

4. Tegn en trekant ABC og merk et punkt O utenfor den (som i figur 11). Konstruer en figur symmetrisk til trekant ABC med hensyn til punkt O.

5. Tegn trekant KMN og konstruer en figur symmetrisk til denne trekanten med hensyn til:
a) dens toppunkter - punktene M;
b) punkter O - midtpunktene til siden MN.

6. Bygg en figur som er symmetrisk:
a) stråle OM i forhold til punkt O; skriv ned hvilket punkt som er symmetrisk til punkt O;
b) strålen OM med hensyn til et vilkårlig punkt A som ikke tilhører denne strålen;
c) rett linje AB med hensyn til punkt O, som ikke tilhører denne linjen;
d) linje AB med hensyn til punkt O som hører til denne linjen; skriv ned hvilket punkt som er symmetrisk med punkt O.
Beskriv i hvert tilfelle den relative plasseringen av de sentralt symmetriske figurene.

Innholdsfortegnelse
Kapittel I. Positive og negative tall. Koordinater
§ 1. Rotasjon og sentralsymmetri
§ 2. Positive og negative tall. Koordinatlinje
§ 3. Tallmodul. Motsatte tall
§ 4. Sammenligning av tall
§ 5. Parallellitet av linjer
§ 6. Talluttrykk som inneholder tegnene "+", "-"
§ 7. Algebraisk sum og dens egenskaper
§ 8. Regelen for beregning av verdien av den algebraiske summen av to tall
§ 9. Avstand mellom punkter på koordinatlinjen
§ 10. Aksial symmetri
§ 11. Tallhull
§ 12. Multiplikasjon og divisjon av positive og negative tall
§ 13. Koordinater
§ 14. Koordinatplan
§ 15. Multiplikasjon og deling av vanlige brøker
§ 16. Multiplikasjonsregel for kombinatoriske problemer
Kapittel II. Konvertering av bokstavelige uttrykk
§ 17. Brakettutvidelse
§ 18. Forenkling av uttrykk
§ 19. Løsning av ligninger
§ 20. Løsning av oppgaver ved sammenstilling av likninger
§ 21. To hovedoppgaver om brøker
§ 22. Krets. Omkrets
§ 23. Krets. Arealet av en sirkel
§ 24. Ball. Kule
Kapittel III. Delbarhet av naturlige tall
§ 25. Divisorer og multipler
§ 26. Delbarhet av et verk
§ 27. Delbarhet av sum og forskjell av tall
§ 28. Tegn på delbarhet med 2, 5, 10, 4 og 25
§ 29. Tegn på delbarhet med 3 og 9
§ 30. Primtall. Dekomponere et tall i primfaktorer
§ 31. Største felles deler
§ 32. Koprimtall. Et tegn på delbarhet med et produkt. Minste felles multiplum
Kapittel IV. Matematikk rundt oss
§ 33. Forholdet mellom to tall
§ 34. Diagrammer
§ 35. Mengdeforhold
§ 36. Løse problemer ved bruk av proporsjoner
§ 37. Diverse oppgaver
§ 38. Første bekjentskap med begrepet «sannsynlighet»
§ 39. Første gangs kjennskap til sannsynlighetsberegning
Hjemmetester
Temaer for prosjektaktiviteter
Svar

Last ned gratis e-bok i et praktisk format og les:

Matte

REFERANSEMATERIAL OM MATTE FOR 1.-6.

Kjære foreldre! Hvis du ser etter en matteveileder for barnet ditt, så er denne annonsen for deg. Jeg tilbyr Skype-veiledning: forberedelse til OGE, Unified State Examination, eliminering av kunnskapshull. Fordelene dine er klare:

1) Barnet ditt er hjemme, og du kan være rolig for ham;

2) Klassene holdes på et passende tidspunkt for barnet, og du kan til og med delta på disse timene. Jeg forklarer enkelt og tydelig på det vanlige skolestyret.

3) Du kan tenke på andre viktige fordeler med Skype-timer selv!

Skriv til meg på: eller legg meg til på Skype umiddelbart, så blir vi enige om alt. Prisene er rimelige.

P.S. Undervisningen er tilgjengelig i grupper på 2-4 elever.

Med vennlig hilsen Tatyana Yakovlevna Andryushchenko er forfatteren av dette nettstedet.

Kjære venner!

Jeg er glad for å kunne tilby deg å laste ned gratis matematikkreferansemateriale for 5. klasse. Last ned her!

Kjære venner!

Det er ingen hemmelighet at noen barn har problemer med multiplikasjon og langdeling. Oftest skyldes dette utilstrekkelig kunnskap om multiplikasjonstabellen. Jeg foreslår å lære multiplikasjonstabellen ved hjelp av loto. Se mer her. Last ned lotto her.

Kjære venner! Snart vil du møte (eller allerede har møtt) behovet for å bestemme deg interesseoppgaver. Slike problemer begynner å løses i 5. klasse og slutter. men de løser ikke problemer for prosenter! Disse oppgavene finnes både i kontrollen og i eksamenene: begge overførbare og OGE og Unified State Examination. Hva å gjøre? Vi må lære å løse disse problemene. Boken min Hvordan løse problemer med prosenter vil hjelpe deg med dette. Detaljer her!

Addisjon av tall.

a+b=c, hvor a og b er ledd, er c summen.
For å finne det ukjente leddet, trekk det kjente leddet fra summen.

Subtraksjon av tall.

a-b=c, hvor a er minuend, b er subtrahend, c er forskjellen.
For å finne den ukjente minuenden, må du legge til subtrahenden til forskjellen.
For å finne den ukjente subtrahenden, må du trekke forskjellen fra minuenden.

Multiplikasjon av tall.

a b=c, hvor a og b er faktorer, er c produktet.
For å finne den ukjente faktoren må du dele produktet på den kjente faktoren.

Inndeling av tall.

a:b=c, hvor a er utbyttet, b er divisor, c er kvotienten.
For å finne det ukjente utbyttet må du multiplisere divisoren med kvotienten.
For å finne en ukjent divisor, må du dele utbyttet på kvotienten.

Additionslovene.

a+b=b+a(forskyvning: summen endres ikke fra omorganiseringen av begrepene).
(a+b)+c=a+(b+c)(assosiativt: for å legge til et tredje tall til summen av to ledd, kan du legge til summen av det andre og tredje til det første tallet).

Tilleggstabell.

1+9=10; 2+8=10; 3+7=10; 4+6=10; 5+5=10; 6+4=10; 7+3=10; 8+2=10; 9+1=10.
1+19=20; 2+18=20; 3+17=20; 4+16=20; 5+15=20; 6+14=20; 7+13=20; 8+12=20; 9+11=20; 10+10=20; 11+9=20; 12+8=20; 13+7=20; 14+6=20; 15+5=20; 16+4=20; 17+3=20; 18+2=20; 19+1=20.

Lover for multiplikasjon.

a b=b a(forskyvning: permutasjon av faktorer endrer ikke produktet).
(a b) c=a (b c)(kombinativt: for å multiplisere produktet av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere det første tallet med produktet av det andre og tredje).
(a+b) c=a c+b c(Distributiv lov om multiplikasjon med hensyn til addisjon: for å multiplisere summen av to tall med et tredje tall, kan du multiplisere hvert ledd med dette tallet og legge til resultatene).
(a-b) c=a c-b c(Distributiv lov om multiplikasjon med hensyn til subtraksjon: for å multiplisere forskjellen mellom to tall med et tredje tall, kan du multiplisere med dette tallet redusert og subtrahert separat og subtrahere det andre fra det første resultatet).

Gangetabell.

21=2; 31=3; 41=4; 51=5; 61=6; 7 1=7; 8 1=8; 9 1=9.

22=4; 32=6; 42=8; 52=10; 62=12; 72=14; 82=16; 9 2=18.

23=6; 33=9; 43=12; 53=15; 63=18; 73=21; 83=24; 9 3=27.

24=8; 34=12; 44=16; 54=20; 64=24; 74=28; 84=32; 9 4=36.

25=10; 35=15; 45=20; 55=25; 65=30; 75=35; 85=40; 9 5=45.

26=12; 36=18; 46=24; 56=30; 66=36; 76=42; 86=48; 9 6=54.

27=14; 37=21; 47=28; 57=35; 67=42; 77=49; 87=56; 97=63.

28=16; 38=24; 48=32; 58=40; 68=48; 78=56; 88=64; 9 8=72.

29=18; 39=27; 49=36; 59=45; 69=54; 79=63; 89=72; 9 9=81.

210=20; 3 10 = 30; 4 10=40; 510=50; 6 10 = 60; 7 10=70; 8 10=80; 9 10=90.

Divisorer og multipler.

deler naturlig tall en navngi det naturlige tallet som en delt uten rest. (Tallene 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 er delere av tallet 24, siden 24 er delelig med hver av dem uten en rest) 1-deler av et hvilket som helst naturlig tall. Den største deleren av et tall er selve tallet.
Flere naturlig tall b er et naturlig tall som er delelig uten rest med b. (Tallene 24, 48, 72, ... er multipler av tallet 24, siden de er delbare med 24 uten en rest). Det minste multiplumet av et tall er selve tallet.

Tegn på delbarhet av naturlige tall.

Tallene som brukes ved telling av objekter (1, 2, 3, 4, ...) kalles naturlige tall. Settet med naturlige tall er angitt med bokstaven N.
Tall 0, 2, 4, 6, 8 kalt til og med tall. Tall som ender på partall kalles partall.
Tall 1, 3, 5, 7, 9 kalt merkelig tall. Tall som ender på oddetall kalles oddetall.
Tegn på delbarhet med nummer 2. Alle naturlige tall som ender på et partall er delbare med 2.
Tegn på delbarhet med tallet 5. Alle naturlige tall som slutter på 0 eller 5 er delbare med 5.
Tegn på delbarhet med tallet 10. Alle naturlige tall som ender på 0 er delbare med 10.
Tegn på delbarhet med nummer 3. Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 3, så er selve tallet delelig med 3.
Tegn på delbarhet med tallet 9. Hvis summen av sifrene i et tall er delelig med 9, så er selve tallet delelig med 9.
Tegn på delbarhet med nummer 4. Hvis tallet som består av de to siste sifrene i et gitt tall er delelig med 4, så er selve tallet delelig med 4.
Tegn på delbarhet med tallet 11. Hvis forskjellen mellom summen av sifrene på oddetall og summen av sifrene på partall er delelig med 11, så er selve tallet delelig med 11.

Et primtall er et tall som bare har to divisorer: en og selve tallet.
Et sammensatt tall er et tall som har mer enn to divisorer.
Tallet 1 er verken et primtall eller et sammensatt tall.
Å skrive et sammensatt tall som et produkt av bare primtall kalles å faktorisere et sammensatt tall til primtall. Ethvert sammensatt tall kan representeres unikt som et produkt av primfaktorer.

Den største felles deleren av gitte naturlige tall er det største naturlige tallet som hvert av disse tallene er delelig med.
Den største felles divisor av disse tallene er lik produktet av vanlige primfaktorer i utvidelsene av disse tallene. Eksempel. GCD(24, 42)=2 3=6, siden 24=2 2 2 3, 42=2 3 7, er deres vanlige primfaktorer 2 og 3.
Hvis naturlige tall bare har én felles divisor - én, kalles disse tallene coprime.

Det minste felles multiplum av gitte naturlige tall er det minste naturlige tall som er et multiplum av hvert av de gitte tallene. Eksempel. LCM(24; 42)=168. Dette er det minste tallet som er delelig med både 24 og 42.
For å finne LCM for flere gitte naturlige tall, er det nødvendig: 1) å dekomponere hvert av de gitte tallene til primfaktorer; 2) skriv ut utvidelsen av det største av tallene og gang den med de manglende faktorene fra utvidelsene til andre tall.
Det minste multiplumet av to coprimtall er lik produktet av disse tallene.

b- nevner av en brøk, viser hvor mange like deler som er delt;

en-telleren til brøken, viser hvor mange slike deler som ble tatt. Brøkstreken betyr divisjonstegnet.

Noen ganger, i stedet for en horisontal brøklinje, setter de en skråstrek, og en vanlig brøk skrives slik: a/b.

På riktig brøk telleren er mindre enn nevneren.
På uekte brøk telleren er større enn nevneren eller lik nevneren.

Hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres eller divideres med det samme naturlige tallet, vil en brøk som er lik det fås.

Å dele både telleren og nevneren for en brøk med deres felles divisor enn én kalles brøkreduksjon.

Et tall som består av en heltallsdel og en brøkdel kalles et blandet tall.
For å representere en uekte brøk som et blandet tall, er det nødvendig å dele telleren til brøken med nevneren, så vil den ufullstendige kvotienten være heltallsdelen av det blandede tallet, resten vil være telleren til brøkdelen , og nevneren forblir den samme.
For å representere et blandet tall som en uekte brøk, må du multiplisere heltallsdelen av det blandede tallet med nevneren, legge til telleren til brøkdelen til resultatet og skrive det i telleren til uekte brøken, og la nevneren stå. det samme.

Stråle Åh med opprinnelse på punktet O, hvorpå enkelt kutt til og retning, kalt koordinatstråle.
Tallet som tilsvarer punktet til koordinatstrålen kalles koordinere dette punktet. For eksempel , A(3). Les: punkt A med koordinat 3.

Den laveste fellesnevneren ( NOZ) av disse irreduserbare fraksjonene er det minste felles multiplum ( INGEN C) nevnere for disse brøkene.
For å bringe brøker til laveste fellesnevner, må du: 1) finne det minste felles multiplum av nevnerne til disse brøkene, det vil være den minste fellesnevneren. 2) finn en tilleggsfaktor for hver av brøkene, som vi deler den nye nevneren på med nevneren til hver brøk. 3) multipliser telleren og nevneren for hver brøk med tilleggsfaktoren.

Av to brøker med samme nevner, er den med den største telleren den største, og den med den minste telleren er den minste.
Av to brøker med samme teller, er den med den minste nevneren den største, og den med den største nevneren er den minste.
For å sammenligne brøker med forskjellige tellere og forskjellige nevnere, må du redusere brøkene til laveste fellesnevner, og deretter sammenligne brøkene med de samme nevnerne.

Operasjoner på vanlige brøker.

For å legge til brøker med de samme nevnerne, må du legge til deres tellere, og la nevneren være den samme.
Hvis du trenger å legge til brøker med ulike nevnere, reduserer du først brøkene til laveste fellesnevner, og legger deretter til brøkene med samme nevner.
For å trekke fra brøker med de samme nevnerne, trekkes telleren til den andre brøken fra telleren til den første brøken, og nevneren forblir den samme.
Hvis du trenger å trekke fra brøker med forskjellige nevnere, blir de først ført til en fellesnevner, og deretter trekkes brøker med samme nevner.
Når du utfører operasjoner for å addere eller subtrahere blandede tall, utføres disse operasjonene separat for heltallsdeler og for brøkdeler, og deretter skrives resultatet som et blandet tall.

Produktet av to vanlige brøker er lik en brøk hvis teller er lik produktet av tellerne, og nevneren er produktet av nevnerne til de gitte brøkene.
For å multiplisere en vanlig brøk med et naturlig tall, må du multiplisere telleren til brøken med dette tallet, og la nevneren være den samme.
To tall hvis produkt er lik én kalles gjensidige tall.
Når du multipliserer blandede tall, konverteres de først til uekte brøker.
For å finne en brøkdel av et tall, må du multiplisere tallet med den brøken.

For å dele en vanlig brøk med en vanlig brøk, må du multiplisere utbyttet med den gjensidige av divisoren.
Når du deler blandede tall, konverteres de først til uekte brøker.
For å dele en vanlig brøk med et naturlig tall, må du multiplisere nevneren til brøken med dette naturlige tallet, og la telleren være den samme. ((2/7):5=2/(75)=2/35).
For å finne et tall med brøken må du dele tallet som tilsvarer det på denne brøken.

En desimalbrøk er et tall skrevet i desimalsystemet og har siffer mindre enn ett. (3,25; 0,1457 osv.)
Desimalplassene etter desimaltegn kalles desimalplasser.
Desimalbrøken vil ikke endres hvis nuller legges til eller forkastes på slutten av desimalbrøken.

For å legge til desimalbrøker, må du: 1) utjevne antall desimaler i disse brøkene; 2) skriv dem ned under hverandre slik at kommaet skrives under kommaet; 3) utfør addisjonen, ignorer kommaet, og sett et komma under kommaene i de summerte brøkene i summen.

For å utføre subtraksjon av desimalbrøker, må du: 1) utjevne antall desimalplasser i minuend og subtrahend; 2) signer subtrahert under det reduserte slik at kommaet er under kommaet; 3) utfør subtraksjonen, ignorer kommaet, og i resultatet setter du kommaet under kommaene til minuenden og subtrahenden.

For å multiplisere en desimalbrøk med et naturlig tall, må du multiplisere den med dette tallet, ignorere kommaet, og i det resulterende produktet skille så mange sifre til høyre som det var etter desimaltegnet i den gitte brøken.
For å multiplisere en desimalbrøk med en annen, må du utføre multiplikasjonen, ignorere kommaene, og i det resulterende resultatet skille så mange sifre med komma til høyre som det var etter kommaene i begge faktorer sammen.
For å multiplisere en desimal med 10, 100, 1000 osv., må du flytte desimaltegnet til høyre med 1, 2, 3 osv. sifre.
Å multiplisere en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte kommaet til venstre med 1, 2, 3 osv. sifre.

For å dele en desimalbrøk med et naturlig tall, må du dele brøken på dette tallet, da naturlige tall deles og settes i et privat komma når delingen av hele delen er over.
For å dele en desimal med 10, 100, 1000 osv., må du flytte kommaet til venstre med 1, 2, 3 osv. sifre.

For å dele et tall med en desimal, må du flytte kommaene i dividenden og divisoren like mange sifre til høyre som de er etter desimaltegnet i divisoren, og deretter dele med et naturlig tall.
For å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv., må du flytte kommaet til høyre med 1, 2, 3 osv. sifre. (Å dele en desimal med 0,1; 0,01; 0,001 osv. er det samme som å multiplisere den desimalen med 10, 100, 1000 osv.)

For å avrunde et tall til et bestemt siffer, understreker vi sifferet til dette sifferet, og så erstatter vi alle sifrene bak det understrekede med nuller, og hvis de er etter desimaltegnet, forkaster vi. Hvis det første null-erstattede eller forkastede sifferet er 0, 1, 2, 3 eller 4, forblir det understrekede sifferet uendret. Hvis det første sifferet erstattet med null eller forkastet er 5, 6, 7, 8 eller 9, økes det understrekede sifferet med 1.

Aritmetisk gjennomsnitt av flere tall.

Det aritmetiske gjennomsnittet av flere tall er kvotienten for å dele summen av disse tallene med antall ledd.

Rekkevidden til en serie tall.

Forskjellen mellom de største og minste verdiene i dataserien kalles rekkevidden til tallserien.

Nummerseriemote.

Tallet som forekommer med størst frekvens blant de gitte tallene i serien kalles modusen for tallserien.

En hundredel kalles en prosentandel. Kjøp en bok som lærer "Hvordan løser du prosentproblemer."
For å uttrykke prosenter som en brøk eller et naturlig tall, må du dele prosenten på 100 %. (4 %=0,04; 32 %=0,32).
For å uttrykke et tall i prosent, må du gange det med 100 %. (0,65=0,65 100%=65%; 1,5=1,5 100%=150%).
For å finne en prosentandel av et tall, må du uttrykke prosentandelen som en ordinær eller desimalbrøk og multiplisere den resulterende brøken med det gitte tallet.
For å finne et tall med prosentandelen, må du uttrykke prosentandelen som en vanlig eller desimalbrøk og dele det gitte tallet med denne brøken.
For å finne prosentandelen av det første tallet fra det andre, må du dele det første tallet på det andre og multiplisere resultatet med 100 %.

Kvotienten av to tall kalles forholdet mellom disse tallene. a:b eller a/b er forholdet mellom tallene a og b, dessuten er a forrige ledd, b er neste ledd.
Hvis vilkårene for denne relasjonen omorganiseres, kalles den resulterende relasjonen den inverse av denne relasjonen. Relasjoner b/a og a/b er gjensidig omvendt.
Forholdet vil ikke endres hvis begge leddene i forholdet multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null.

Likheten mellom to forhold kalles proporsjon.
a:b=c:d. Dette er proporsjoner. Lese: en så gjelder b, hvordan c refererer til d. Tallene a og d kalles de ekstreme medlemmene av proporsjonen, og tallene b og c er de midterste delene av proporsjonen.

Produktet av de ekstreme leddene til en proporsjon er lik produktet av de midterste leddene. For proporsjoner a:b=c:d eller a/b=c/d hovedegenskapen er skrevet slik: a d=b c.
For å finne det ukjente ekstremleddet til andelen, må du dele produktet av gjennomsnittsleddet til andelen med det kjente ekstremleddet.
For å finne den ukjente mellomleddet av andelen, må du dele produktet av de ekstreme leddene til andelen med den kjente mellomleddet. Proporsjonsoppgaver.

La verdien y avhenger av størrelsen X. Hvis med en økning X flere ganger størrelsen påøker med samme faktor, deretter slike verdier X og på kalles direkte proporsjonale.

Hvis to mengder er direkte proporsjonale, er forholdet mellom to vilkårlige verdier av den første mengden lik forholdet mellom de to tilsvarende verdiene for den andre kvantiteten.

Forholdet mellom lengden på segmentet på kartet og lengden på den tilsvarende avstanden på bakken kalles målestokken til kartet.

La verdien på avhenger av størrelsen X. Hvis med en økning X flere ganger størrelsen på reduseres med samme faktor, deretter slike verdier X og på kalles omvendt proporsjonal.

Hvis to mengder er omvendt proporsjonale, er forholdet mellom to vilkårlig tatt verdier av en mengde lik det omvendte forholdet mellom de tilsvarende verdiene til den andre mengden.

Et sett er en samling av noen gjenstander eller tall satt sammen i henhold til noen generelle egenskaper eller lover (mange bokstaver på en side, mange vanlige brøker med nevneren 5, mange stjerner på himmelen osv.).
Sett er sammensatt av elementer og er enten endelige eller uendelige. Et sett som ikke inneholder noen elementer kalles det tomme settet og betegnes Åh
Masse av PÅ kalt en delmengde av settet MEN hvis alle elementene i settet PÅ er elementer i settet MEN.
Sett kryss MEN og PÅ er et sett hvis elementer tilhører settet MEN og mange PÅ.
Forening av sett MEN og PÅ er et sett hvis elementer tilhører minst ett av de gitte settene MEN og PÅ.

Sett med tall.

N– sett med naturlige tall: 1, 2, 3, 4,...
Z– sett med heltall: …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …
Q er settet med rasjonelle tall som kan representeres som en brøk m/n, hvor m- hel, n– naturlig (-2; 3/5; v9; v25, osv.)

En koordinatlinje er en rett linje der det er gitt en positiv retning, et referansepunkt (punkt O) og et enhetssegment.
Hvert punkt på koordinatlinjen tilsvarer et visst tall, som kalles koordinaten til dette punktet. For eksempel, A(5). Les: punkt A med koordinat fem. AT 3). Les: punkt B med koordinat minus tre.

Modulen til tallet a (skriv ned |a|) kalles avstanden fra origo til punktet som tilsvarer det gitte tallet en. Modulverdien til ethvert tall er ikke-negativ. |3|=3; |-3|=3, fordi avstanden fra origo til tallet -3 og til tallet 3 er lik tre enhetssegmenter. |0|=0 .
Ved definisjon av modulen til et tall: |a|=a, hvis a?0 og |a|=-a, hvis a b.
Hvis, når man sammenligner tallene a og b, forskjellen a-b er et negativt tall, da a , da kalles de strenge ulikheter.
Hvis ulikheter er skrevet med tegn? eller ?, så kalles de ikke-strenge ulikheter.

Egenskaper ved numeriske ulikheter.

G) En ulikhet på formen x?a. Svar:

De viktigste ideene og konseptene som er nødvendige for organisering av frivillige (frivillige) aktiviteter. 1. Generelle tilnærminger til organisering av frivillige (frivillige) aktiviteter. 1.1 Grunnleggende ideer og konsepter som er nødvendige for organisering av frivillige (frivillige) aktiviteter. 1.2. Lovverket for frivillige […]

Law of Muna The Laws of Manu er en gammel indisk samling av resepter for religiøs, moralsk og sosial plikt (dharma), også kalt "ariernes lov" eller "ariernes æreskodeks". Manavadharmashastra er en av de tjue dharmashastraene. Her er utvalgte fragmenter (oversatt av Georgy Fedorovich […]

"Ledelse og optimalisering av en produksjonsbedrift" ABSTRAKT De grunnleggende konseptene for forretningsetikett er gitt. Det er vist at for tiden, når innenlandske bedrifter og organisasjoner blir integrert i det økonomiske livet til forskjellige regioner på planeten, krever reglene for forretningskommunikasjon spesiell oppmerksomhet. Tester gis […]

m og n det er et heltall k og nk= m, deretter nummeret m delt på n

Bruken av delebarhetsferdigheter forenkler beregninger, og øker proporsjonalt hastigheten på utførelsen. La oss analysere i detalj hovedkarakteristikken delebarhetsfunksjoner.

Det mest enkle kriteriet for delbarhet for enheter: alle tall er delbare med én. Den er like elementær og med tegn på delbarhet ved to, fem, ti. Et partall kan deles på to, eller ett med et siste siffer på 0, med fem - et tall med et siste siffer på 5 eller 0. Bare de tallene med et siste siffer på 0 vil bli delt på ti, med 100 - bare de tallene hvis to siste sifre er nuller, på 1000 - bare de med tre siste nuller.

For eksempel:

Tallet 79516 kan deles på 2, siden det ender på 6, et partall; 9651 er ikke delelig med 2, siden 1 er et oddetall; 1790 er delelig med 2 fordi det siste sifferet er null. 3470 vil bli delt på 5 (det siste sifferet er 0); 1054 er ikke delelig med 5 (finale 4). 7800 vil bli delt på 10 og 100; 542000 er delelig med 10, 100, 1000.

Mindre kjent, men veldig enkel å bruke karakteristikk delebarhetsfunksjoner på 3 og 9 , 4 , 6 og 8, 25 . Det er også karakteristiske trekk ved delbarhet etter 7, 11, 13, 17, 19 og så videre, men de brukes mye sjeldnere i praksis.

Et karakteristisk trekk ved å dele på 3 og med 9.

På tre og/eller videre ni uten en rest vil disse tallene deles der resultatet av å legge til sifrene er et multiplum av tre og/eller ni.

For eksempel:

Tallet 156321, resultatet av addisjon 1 + 5 + 6 + 3 + 2 + 1 = 18 vil bli delt på henholdsvis 3 og delt på 9, selve tallet kan deles på 3 og 9. Tallet 79123 vil ikke være delt på enten 3 eller 9, slik at summen av sifrene (22) ikke er delelig med disse tallene.

Et karakteristisk trekk ved å dele på 4, 8, 16 og så videre.

Et tall kan deles uten rest med fire, hvis de to siste sifrene er nuller eller er et tall som kan deles på 4. I alle andre tilfeller er deling uten rest ikke mulig.

For eksempel:

Tallet 75300 er delelig med 4, siden de to siste sifrene er null; 48834 er ikke delelig med 4 fordi de to siste sifrene gir 34, som ikke er delelig med 4; 35908 er delelig med 4, siden de to siste sifrene i 08 gir tallet 8 som er delelig med 4.

Et lignende prinsipp gjelder for kriteriet delbarhet med åtte. Et tall er delelig med åtte hvis dets tre siste sifre er null eller danner et tall som er delelig med 8. Ellers vil ikke kvotienten som oppnås ved divisjon være et heltall.

Samme egenskaper for deling etter 16, 32, 64 osv., men de brukes ikke i daglige beregninger.

Et karakteristisk trekk ved delbarhet med 6.

Tallet er delelig med seks, hvis den er delelig med både to og tre, med alle andre alternativer, er deling uten en rest umulig.

For eksempel:

126 er delelig med 6, siden den er delelig med både 2 (det endelige partall er 6) og 3 (summen av sifrene 1 + 2 + 6 = 9 er delelig med tre)

Et karakteristisk trekk ved delbarhet med 7.

Tallet er delelig med syv hvis forskjellen mellom det doble siste tallet og "tallet som er igjen uten det siste sifferet" er delelig med syv, så er selve tallet delelig med syv.

For eksempel:

Tallet er 296492. La oss ta det siste sifferet "2", doble det, det kommer ut 4. Trekk fra 29649 - 4 = 29645. Det er problematisk å finne ut om det er delelig med 7, derfor analysert på nytt. Deretter dobler vi det siste sifferet "5", det kommer ut 10. Vi trekker fra 2964 - 10 = 2954. Resultatet er det samme, det er ikke klart om det er delelig med 7, derfor fortsetter vi analysen. Vi analyserer med siste siffer "4", dobbel, det kommer ut 8. Trekk fra 295 - 8 = 287. Vi sammenligner to hundre og åttisju - det er ikke delelig med 7, i forbindelse med dette fortsetter vi søket. I analogi kommer det siste sifferet "7", doblet, ut 14. Trekk fra 28 - 14 \u003d 14. Tallet 14 er delelig med 7, så det opprinnelige tallet er delelig med 7.

Et karakteristisk trekk ved delbarhet med 11.

På elleve bare de tallene er delbare der resultatet av å legge til sifrene plassert på oddetall enten er lik summen av sifrene plassert på partallsplasser, eller er forskjellig med et tall som er delelig med elleve.

For eksempel:

Tallet 103.785 er delelig med 11, siden summen av sifrene på oddeplasser, 1 + 3 + 8 = 12, er lik summen av sifrene på partall, 0 + 7 + 5 = 12. Tallet 9.163.627 er delelig med 11, siden summen av sifrene på oddetall er 9 + 6 + 6 + 7 = 28, og summen av sifrene på partall er 1 + 3 + 2 = 6; forskjellen mellom tallene 28 og 6 er 22, og dette tallet er delelig med 11. Tallet 461.025 er ikke delelig med 11, siden tallene 4 + 1 + 2 = 7 og 6 + 0 + 5 = 11 ikke er lik hverandre, og deres forskjell 11 - 7 = 4 er ikke delelig med 11.

Et karakteristisk trekk ved delbarhet med 25.

På tjuefem vil dele tall der de to siste sifrene er nuller eller utgjøre et tall som kan deles på tjuefem (det vil si tall som slutter på 00, 25, 50 eller 75). I andre tilfeller kan ikke tallet deles helt på 25.

For eksempel:

9450 er delelig med 25 (ender på 50); 5085 er ikke delelig med 25.

delbarhetstegn

Delbarhetstegn- en regel som lar deg relativt raskt fastslå om et tall er et multiplum av et forhåndsbestemt tall uten å måtte utføre selve divisjonen. Som regel er det basert på handlinger med en del av sifrene fra notasjonen av et tall i et posisjonelt tallsystem (vanligvis desimal).

Det er flere enkle regler som lar deg finne små divisorer av et tall i desimaltallsystemet:

Tegn på delbarhet med 2

Tegn på delbarhet med 3

Delbarhet med 4 tegn

Tegn på delbarhet med 5

Tegn på delbarhet med 6

Tegn på delbarhet med 7

Tegn på delbarhet med 8

Tegn på delbarhet med 9

Tegn på delbarhet med 10

Tegn på delbarhet med 11

Tegn på delbarhet med 12

Tegn på delbarhet med 13

Tegn på delbarhet med 14

Tegn på delbarhet med 15

Tegn på delbarhet med 17

Tegn på delbarhet med 19

Tegn på delbarhet med 23

Tegn på delbarhet med 25

Tegn på delbarhet med 99

Vi deler tallet inn i grupper med 2 sifre fra høyre til venstre (gruppen lengst til venstre kan ha ett siffer) og finner summen av disse gruppene, vurderer dem som tosifrede tall. Denne summen er delelig med 99 hvis og bare hvis selve tallet er delelig med 99.

Tegn på delbarhet med 101

Vi deler tallet inn i grupper med 2 sifre fra høyre til venstre (gruppen lengst til venstre kan ha ett siffer) og finner summen av disse gruppene med variable fortegn, og vurderer dem som tosifrede tall. Denne summen er delelig med 101 hvis og bare hvis selve tallet er delelig med 101. For eksempel er 590547 delelig med 101, siden 59-05+47=101 er delelig med 101).

Tegn på delbarhet med 2 n

Et tall er delelig med n-te potens av to hvis og bare hvis tallet som dannes av de siste n sifrene er delelig med samme potens.

Tegn på delbarhet med 5 n

Et tall er delelig med n-te potens av 5 hvis og bare hvis tallet som dannes av de siste n sifrene er delelig med samme potens.

Tegn på delbarhet med 10 n − 1

Vi deler tallet inn i grupper med n sifre fra høyre til venstre (gruppen lengst til venstre kan inneholde fra 1 til n sifre) og finner summen av disse gruppene, vurderer dem som n-sifrede tall. Dette beløpet er delelig med 10 n− 1 hvis og bare hvis selve tallet er delelig med 10 n − 1 .

Tegn på delbarhet med 10 n

Et tall er delelig med n-te potens av ti hvis og bare hvis de siste n sifrene er det