Kvadraten av summen av to uttrykk
Det er en rekke tilfeller der multiplikasjonen av et polynom med et polynom kan forenkles betydelig. Slik er det for eksempel (2 x+ 3y) 2 .
Uttrykk (2 x+ 3y) 2 er multiplikasjonen av to polynomer, som hver er lik (2 x+ 3y)
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y)
Vi fikk multiplikasjonen av et polynom med et polynom. La oss utføre det:
(2x+ 3y) 2 = (2x+ 3y)(2x+ 3y) = 4x 2 + 6xy + 6xy + 9y 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Det vil si uttrykket (2 x+ 3y) 2 er lik 4x 2 + 12xy + 9y 2
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
La oss løse et lignende eksempel, som er enklere:
(a+b) 2
Uttrykk ( a+b) 2 er multiplikasjonen av to polynomer, som hver er lik ( a+b)
(a+b) 2 = (a+b)(a+b)
La oss gjøre denne multiplikasjonen:
(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = en 2 + ab + ab + b 2 = en 2 + 2ab + b 2
Det er uttrykket (a+b) 2 er lik en 2 + 2ab + b 2
(a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2
Det viser seg at saken ( a+b) 2 kan forlenges for evt en og b. Det første eksemplet vi løste, nemlig (2 x+ 3y) 2 kan løses ved hjelp av identiteten (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 . For å gjøre dette, må du erstatte i stedet for variabler en og b tilsvarende termer fra uttrykk (2 x+ 3y) 2. I dette tilfellet er variabelen en match pikk 2 x, og variabelen b match pikk 3 y
en = 2x
b = 3y
Og så kan vi bruke identiteten (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 , men i stedet for variabler en og b du må erstatte uttrykk 2 x og 3 y henholdsvis:
(2x+ 3y) 2 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Som forrige gang fikk vi et polynom 4x 2 + 12xy+ 9y 2 . Løsningen er vanligvis skrevet kortere, og utfører alle elementære transformasjoner i sinnet:
(2x+ 3y) 2 = 4x 2 + 12xy+ 9y 2
Identitet (a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2 kalles formelen for kvadratet av summen av to uttrykk. Denne formelen kan leses slik:
Kvadraten av summen av to uttrykk er lik kvadratet til det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.
Tenk på uttrykket (2 + 3) 2 . Det kan beregnes på to måter: utfør addisjon i parentes og kvadrat resultatet, eller bruk formelen for kvadratet av summen av to uttrykk.
Første vei:
(2 + 3) 2 = 5 2 = 25
Andre vei:
(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25
Eksempel 2. Konverter uttrykk (5 en+ 3) 2 til et polynom.
La oss bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk:
(a+b) 2 = en 2 + 2ab + b 2
(5et + 3) 2 = (5en) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25en 2 + 30en + 9
Midler, (5et + 3) 2 = 25en 2 + 30en + 9.
La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke sumkvadratformelen. Vi bør få samme resultat:
(5et + 3) 2 = (5et + 3)(5et + 3) = 25en 2 + 15en + 15en + 9 = 25en 2 + 30en + 9
Formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har en geometrisk betydning. Vi husker at for å beregne arealet til et kvadrat, må du heve siden til andre potens.
For eksempel området til en firkant med en side en vil være lik en 2. Hvis du øker siden av firkanten med b, da vil arealet være lik ( a+b) 2
Tenk på følgende figur:
Tenk deg at siden av firkanten vist i denne figuren økes med b. Et kvadrat har alle sider like. Hvis siden økes med b, så vil de andre sidene også øke med b
Resultatet er en ny firkant, som er større enn den forrige. For å se det godt, la oss fullføre de manglende sidene:
For å beregne arealet til denne firkanten, kan du separat beregne kvadratene og rektanglene som er inkludert i den, og deretter legge til resultatene.
Først kan du beregne et kvadrat med en side en- området vil være lik en 2. Deretter kan du regne ut rektangler med sider en og b– de vil være like ab. Deretter kan du regne ut et kvadrat med en side b
Resultatet er følgende sum av områder:
en 2 + ab+ab + b 2
Summen av arealene til identiske rektangler kan erstattes ved å multiplisere 2 ab, som bokstavelig talt betyr "Gjenta to ganger arealet av rektangel ab" . Algebraisk oppnås dette ved å redusere like termer ab og ab. Resultatet er et uttrykk en 2 + 2ab+ b 2 , som er høyre side av formelen for kvadratet av summen av to uttrykk:
(a+b) 2 = en 2 + 2ab+ b 2
Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk
Formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk er som følger:
(a-b) 2 = en 2 − 2ab + b 2
Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er lik kvadratet til det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet til det andre uttrykket.
Formelen for kvadratet av differansen av to uttrykk er utledet på samme måte som formelen for kvadratet av summen av to uttrykk. Uttrykk ( a-b) 2 er produktet av to polynomer, som hver er lik ( a-b)
(a-b) 2 = (a-b)(a-b)
Hvis du utfører denne multiplikasjonen, får du et polynom en 2 − 2ab + b 2
(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = en 2 − ab− ab+ b 2 = en 2 − 2ab + b 2
Eksempel 1. Konverter uttrykk (7 x− 5) 2 til et polynom.
La oss bruke formelen til kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk:
(a-b) 2 = en 2 − 2ab + b 2
(7x− 5) 2 = (7x) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49x 2 − 70x + 25
Midler, (7x− 5) 2 = 49x 2 + 70x + 25.
La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke forskjellskvadratformelen. Vi bør få samme resultat:
(7x− 5) 2 = (7x− 5) (7x− 5) = 49x 2 − 35x − 35x + 25 = 49x 2 − 70x+ 25.
Formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk har også en geometrisk betydning. Hvis arealet av en firkant med en side en er lik en 2, deretter arealet av kvadratet hvis side er redusert med b, vil være lik ( a-b) 2
Tenk på følgende figur:
Tenk deg at siden av firkanten vist i denne figuren er redusert med b. Et kvadrat har alle sider like. Hvis den ene siden reduseres med b, da vil også de andre sidene avta med b
Resultatet er en ny firkant, som er mindre enn den forrige. Den er uthevet med gult på figuren. Dens side er en− b siden den gamle siden en redusert med b. For å beregne arealet til denne firkanten, kan du bruke det opprinnelige arealet av kvadratet en 2 trekk fra arealene til rektanglene som ble oppnådd i prosessen med å redusere sidene til den gamle firkanten. La oss vise disse rektanglene:
Da kan vi skrive følgende uttrykk: gammelt område en 2 minus areal ab minus område ( a-b)b
en 2 − ab − (a-b)b
Utvid parentesene i uttrykket ( a-b)b
en 2 − ab - ab + b 2
Her er lignende termer:
en 2 − 2ab + b 2
Resultatet er et uttrykk en 2 − 2ab + b 2 , som er høyre side av formelen for kvadratet av forskjellen mellom to uttrykk:
(a-b) 2 = en 2 − 2ab + b 2
Formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen kalles vanligvis forkortede multiplikasjonsformler. Disse formlene lar deg betydelig forenkle og fremskynde prosessen med å multiplisere polynomer.
Tidligere sa vi at hvis man vurderer et medlem av et polynom separat, må det vurderes sammen med tegnet som er plassert foran det.
Men når du bruker de forkortede multiplikasjonsformlene, bør tegnet til det opprinnelige polynomet ikke betraktes som tegnet på selve begrepet.
For eksempel gitt uttrykket (5 x − 2y) 2 , og vi ønsker å bruke formelen (a-b) 2 = en 2 − 2ab + b 2 , så i stedet for b må erstatte 2 y, ikke −2 y. Dette er en funksjon ved å jobbe med formler som ikke bør glemmes.
(5x − 2y) 2
en = 5x
b = 2y
(5x − 2y) 2 = (5x) 2 − 2 × 5 x×2 y + (2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Hvis vi erstatter −2 y, vil dette bety at forskjellen i parentesene til det opprinnelige uttrykket er erstattet med summen:
(5x − 2y) 2 = (5x + (−2y)) 2
og i dette tilfellet er det nødvendig å bruke ikke formelen til kvadratet av forskjellen, men formelen for kvadratet av summen:
(5x + (−2y) 2
en = 5x
b = −2y
(5x + (−2y)) 2 = (5x) 2 + 2 × 5 x× (−2 y) + (−2y) 2 = 25x 2 − 20xy + 4y 2
Et unntak kan være uttrykk for formen (x− (−y)) 2 . I dette tilfellet, bruk formelen (a-b) 2 = en 2 − 2ab + b 2 i stedet for b bør erstattes (- y)
(x− (−y)) 2 = x 2 − 2 × x× (− y) + (−y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Men kvadratiske uttrykk for formen x − (−y), vil det være mer praktisk å erstatte subtraksjon med addisjon x+y. Da vil det opprinnelige uttrykket ha formen ( x +y) 2 og det vil være mulig å bruke formelen til kvadratet av summen, og ikke differansen:
(x +y) 2 = x 2 + 2xy + y 2
Sum Cube og Difference Cube
Formlene for kuben av summen av to uttrykk og kuben av forskjellen av to uttrykk er som følger:
(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3
(a-b) 3 = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3
Formelen for kuben av summen av to uttrykk kan leses slik:
Terningen av summen av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss tre ganger kvadratet av det første uttrykket ganger det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket ganger kvadratet av det andre pluss terningen til det andre uttrykk.
Og formelen for kuben av forskjellen mellom to uttrykk kan leses som følger:
Terningen av forskjellen mellom to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus tre ganger produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben av det andre uttrykket.
Når du løser problemer, er det ønskelig å kunne disse formlene utenat. Hvis du ikke husker det, ikke bekymre deg! Du kan ta dem ut på egen hånd. Vi vet allerede hvordan.
La oss utlede sumkubeformelen på egen hånd:
(a+b) 3
Uttrykk ( a+b) 3 er et produkt av tre polynomer, som hver er lik ( en+ b)
(a+b) 3 = (en+ b)(en+ b)(en+ b)
Men uttrykket ( a+b) 3 kan også skrives som (en+ b)(en+ b) 2
(a+b) 3 = (en+ b)(en+ b) 2
I dette tilfellet er faktoren ( en+ b) 2 er kvadratet av summen av de to uttrykkene. Dette kvadratet av summen er lik uttrykket en 2 + 2ab + b 2 .
Deretter ( a+b) 3 kan skrives som (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2) .
(a+b) 3 = (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2)
Og dette er multiplikasjonen av et polynom med et polynom. La oss utføre det:
(a+b) 3 = (en+ b)(en 2 + 2ab + b 2) = en 3 + 2en 2 b + ab 2 + en 2 b + 2ab 2 + b 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3
På samme måte kan du utlede formelen for kuben av forskjellen mellom to uttrykk:
(a-b) 3 = (en- b)(en 2 − 2ab + b 2) = en 3 − 2en 2 b + ab 2 − en 2 b + 2ab 2 − b 3 = en 3 − 3en 2 b+ 3ab 2 − b 3
Eksempel 1. Konverter uttrykket ( x+ 1) 3 til et polynom.
(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3
(x+ 1) 3 = x 3+3× x 2×1 + 3× x× 1 2 + 1 3 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke kubeformelen for summen av to uttrykk
(x+ 1) 3 = (x+ 1)(x+ 1)(x+ 1) = (x+ 1)(x 2 + 2x + 1) = x 3 + 2x 2 + x + x 2 + 2x + 1 = x 3 + 3x 2 + 3x + 1
Eksempel 2. Konverter uttrykk (6en 2 + 3b 3) 3 inn i et polynom.
La oss bruke kubeformelen for summen av to uttrykk:
(en + b) 3 = en 3 + 3en 2 b + 3ab 2 + b 3
(6en 2 + 3b 3) 3 = (6en 2) 3 + 3 × (6 en 2) 2×3 b 3+3×6 en 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216en 6+3×36 en 4×3 b 3+3×6 en 2×9 b 6 + 27b 9
Eksempel 3. Konverter uttrykk ( n 2 − 3) 3 til et polynom.
(a-b) = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3
(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27
Eksempel 4. Konverter uttrykk (2x 2 − x 3) 3 inn i et polynom.
La oss bruke kubeformelen til forskjellen mellom to uttrykk:
(a-b) = en 3 − 3en 2 b + 3ab 2 − b 3
(2x 2 − x 3) 3 = (2x 2) 3 − 3 × (2 x 2) 2× x 3+3×2 x 2×( x 3) 2 − (x 3) 3 =
8x 6 − 3 × 4 x 4× x 3+3×2 x 2× x 6 − x 9 =
8x 6 − 12x 7 + 6x 8 − x 9
Multipliser forskjellen mellom to uttrykk med summen deres
Det er problemer der det kreves å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres. For eksempel:
(a-b)(a+b)
I dette uttrykket er forskjellen mellom to uttrykk en og b multiplisert med summen av de samme to uttrykkene. La oss gjøre denne multiplikasjonen:
(a-b)(a+b) = en 2 + ab − ab − b 2 = en 2 − b 2
Det er uttrykket (a-b)(a+b) er lik en 2 − b 2
(a-b)(a+b) = en 2 − b 2
Vi ser at når vi multipliserer forskjellen til to uttrykk med summen deres, får vi forskjellen på kvadratene til disse uttrykkene.
Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og summen deres er lik forskjellen mellom kvadratene til disse uttrykkene.
Skjer (a-b)(a+b) kan utvides til alle en og b. Enkelt sagt, hvis det når du løser et problem er nødvendig å multiplisere forskjellen til to uttrykk med summen deres, kan denne multiplikasjonen erstattes med forskjellen av kvadratene til disse uttrykkene.
Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x − 5)(2x + 5)
I dette eksemplet er uttrykksforskjellen 2 x og 5 multiplisert med summen av de samme uttrykkene. Deretter i henhold til formelen (a-b)(a+b) = en 2 − b 2 vi har:
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2
Vi beregner høyre side, vi får 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = (2x) 2 − 5 2 = 4x 2 − 25
La oss prøve å løse dette eksemplet uten å bruke formelen (a-b)(a+b) = en 2 − b 2 . Vi får samme resultat 4 x 2 − 25
(2x − 5)(2x + 5) = 4x 2 − 10x + 10x − 25 = 4x 2 − 25
Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (4x − 5y)(4x + 5y)
(a-b)(a+b) = en 2 − b 2
(4x − 5y)(4x + 5y) = (4x) 2 − (5y) 2 = 16x 2 − 25y 2
Eksempel 3. Utfør multiplikasjon (2en+ 3b)(2en− 3b)
La oss bruke formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres:
(a-b)(a+b) = en 2 − b 2
(2et + 3b)(2en- 3b) = (2en) 2 − (3b) 2 = 4en 2 − 9b 2
I dette eksemplet er summen av ledd 2 en og 3 b lokalisert tidligere enn forskjellen mellom disse begrepene. Og i formelen (a-b)(a+b) = en 2 − b 2 forskjellen er lokalisert tidligere.
Det spiller ingen rolle hvordan faktorene er ordnet ( a-b) i ( a+b) i formelen. De kan skrives som (a-b)(a+b) , og (a+b)(a-b) . Resultatet vil fortsatt være det en 2 − b 2, siden produktet ikke endres fra en permutasjon av faktorene.
Så i dette eksemplet er faktorene (2 et + 3b) og 2 en- 3b) kan skrives som (2et + 3b)(2en- 3b) , og (2en- 3b)(2et + 3b) . Resultatet vil fortsatt være 4. en 2 − 9b 2 .
Eksempel 3. Utfør multiplikasjon (7 + 3x)(3x − 7)
La oss bruke formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med summen deres:
(a-b)(a+b) = en 2 − b 2
(7 + 3x)(3x − 7) = (3x) 2 − 7 2 = 9x 2 − 49
Eksempel 4. Utfør multiplikasjon (x 2 − y 3)(x 2 + y 3)
(a-b)(a+b) = en 2 − b 2
(x 2 − y 3)(x 2 + y 3) = (x 2) 2 − (y 3) 2 = x 4 − y 6
Eksempel 5. Utfør multiplikasjon (−5x− 3y)(5x− 3y)
I uttrykket (−5 x− 3y) tar vi ut −1, så vil det opprinnelige uttrykket ha følgende form:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y)
Arbeid (5x + 3y)(5x − 3y) erstatte med forskjellen av kvadrater:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2)
Forskjellen på firkanter ble satt i parentes. Hvis dette ikke gjøres, vil det vise seg at −1 bare multipliseres med (5 x) 2. Og dette vil føre til en feil og endre verdien av det opprinnelige uttrykket.
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) = −1(25x 2 − 9x 2)
Multipliser nå −1 med uttrykket i parentes og få det endelige resultatet:
(−5x− 3y)(5x− 3y) = −1(5x + 3y)(5x − 3y) = −1((5x) 2 − (3y) 2) =
−1(25x 2 − 9y 2) = −25x 2 + 9y 2
Multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av summen deres
Det er problemer der det kreves å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av summen deres. Dette stykket ser slik ut:
(a-b)(en 2 + ab + b 2)
Første polynom ( a-b) er forskjellen mellom to uttrykk, og det andre polynomet (en 2 + ab + b 2) er det ufullstendige kvadratet av summen av disse to uttrykkene.
Det ufullstendige kvadratet av summen er et polynom av formen en 2 + ab + b 2 . Det ligner det vanlige kvadratet av summen en 2 + 2ab + b 2
For eksempel uttrykket 4x 2 + 6xy + 9y 2 er et ufullstendig kvadrat av summen av uttrykk 2 x og 3 y .
Faktisk den første termen i uttrykket 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nemlig 4 x 2 er kvadratet av uttrykk 2 x, siden (2 x) 2 = 4x 2. Det tredje leddet i uttrykket 4x 2 + 6xy + 9y 2 , nemlig 9 y 2 er kvadratet av 3 y, fordi (3 y) 2 = 9y 2. midt pikk 6 xy, er produktet av uttrykk 2 x og 3 y.
Så la oss multiplisere forskjellen ( a-b) med et ufullstendig kvadrat av summen en 2 + ab + b 2
(a-b)(en 2 + ab + b 2) = en(en 2 + ab + b 2) − b(en 2 + ab + b 2) =
en 3 + en 2 b + ab 2 − en 2 b − ab 2 − b 3 = en 3 − b 3
Det er uttrykket (a-b)(en 2 + ab + b 2) er lik en 3 − b 3
(a-b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3
Denne identiteten kalles formelen for å multiplisere forskjellen mellom to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av summen deres. Denne formelen kan leses slik:
Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og det ufullstendige kvadratet av summen deres er lik forskjellen mellom kubene til disse uttrykkene.
Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2)
Første polynom (2 x − 3y) er forskjellen mellom to uttrykk 2 x og 3 y. Andre polynom 4x 2 + 6xy + 9y 2 er det ufullstendige kvadratet av summen av to uttrykk 2 x og 3 y. Dette gjør at vi kan bruke formelen uten å gjøre lange beregninger (a-b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3 . I vårt tilfelle, multiplikasjonen (2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) kan erstattes av forskjellen på kuber 2 x og 3 y
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = (2x) 3 − (3y) 3 = 8x 3 − 27y 3
(a-b)(en 2 + ab+ b 2) = en 3 − b 3 . Vi får samme resultat, men løsningen blir lengre:
(2x − 3y)(4x 2 + 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 + 6xy + 9y 2) − 3y(4x 2 + 6xy + 9y 2) =
8x 3 + 12x 2 y + 18xy 2 − 12x 2 y − 18xy 2 − 27y 3 = 8x 3 − 27y 3
Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (3 − x)(9 + 3x + x 2)
Det første polynomet (3 − x) er forskjellen mellom de to uttrykkene, og det andre polynomet er det ufullstendige kvadratet av summen av disse to uttrykkene. Dette lar oss bruke formelen (a-b)(en 2 + ab + b 2) = en 3 − b 3
(3 − x)(9 + 3x + x 2) = 3 3 − x 3 = 27 − x 3
Multiplisere summen av to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen deres
Det er problemer der det kreves å multiplisere summen av to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen deres. Dette stykket ser slik ut:
(a+b)(en 2 − ab + b 2)
Første polynom ( a+b (en 2 − ab + b 2) er en ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom disse to uttrykkene.
Det ufullstendige kvadratet av forskjellen er et polynom av formen en 2 − ab + b 2 . Det ligner på den vanlige kvadratiske forskjellen en 2 − 2ab + b 2 bortsett fra at produktet av det første og andre uttrykket ikke dobles i den.
For eksempel uttrykket 4x 2 − 6xy + 9y 2 er et ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom uttrykk 2 x og 3 y .
(2x) 2 − 2x× 3 y + (3y) 2 = 4x 2 − 6xy + 9y 2
La oss gå tilbake til det opprinnelige eksemplet. La oss gange summen a+b ved det ufullstendige kvadratet av differansen en 2 − ab + b 2
(a+b)(en 2 − ab + b 2) = en(en 2 − ab + b 2) + b(en 2 − ab + b 2) =
en 3 − en 2 b + ab 2 + en 2 b − ab 2 + b 3 = en 3 + b 3
Det er uttrykket (a+b)(en 2 − ab + b 2) er lik en 3 + b 3
(a+b)(en 2 − ab + b 2) = en 3 + b 3
Denne identiteten kalles formelen for å multiplisere summen av to uttrykk med det ufullstendige kvadratet av forskjellen deres. Denne formelen kan leses slik:
Produktet av summen av to uttrykk og det ufullstendige kvadratet av deres forskjell er lik summen av kubene til disse uttrykkene.
Eksempel 1. Utfør multiplikasjon (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2)
Første polynom (2 x + 3y) er summen av to uttrykk 2 x og 3 y, og det andre polynomet 4x 2 − 6xy + 9y 2 er det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene. Dette gjør at vi kan bruke formelen uten å gjøre lange beregninger (a+b)(en 2 − ab + b 2) = en 3 + b 3 . I vårt tilfelle, multiplikasjonen (2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) kan erstattes av summen av terninger 2 x og 3 y
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = (2x) 3 + (3y) 3 = 8x 3 + 27y 3
La oss prøve å løse det samme eksemplet uten å bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3 . Vi får samme resultat, men løsningen blir lengre:
(2x + 3y)(4x 2 − 6xy + 9y 2) = 2x(4x 2 − 6xy + 9y 2) + 3y(4x 2 − 6xy + 9y 2) =
8x 3 − 12x 2 y + 18xy 2 + 12x 2 y − 18xy 2 + 27y 3 = 8x 3 + 27y 3
Eksempel 2. Utfør multiplikasjon (2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2)
Første polynom (2 x+ y) er summen av to uttrykk, og det andre polynomet (4x 2 − 2xy + y 2) er en ufullstendig kvadrat av forskjellen mellom disse uttrykkene. Dette lar oss bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = (2x) 3 + y 3 = 8x 3 + y 3
La oss prøve å løse det samme eksemplet uten å bruke formelen (a+b)(en 2 − ab+ b 2) = en 3 + b 3 . Vi får samme resultat, men løsningen blir lengre:
(2x+ y)(4x 2 − 2xy + y 2) = 2x(4x 2 − 2xy + y 2) + y(4x 2 − 2xy + y 2) =
8x 3 − 4x 2 y + 2xy 2 + 4x 2 y − 2xy 2 + y 3 = 8x 3 + y 3
Oppgaver for selvstendig løsning
Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner
I denne leksjonen skal vi bli kjent med formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen og utlede dem. La oss bevise formelen for kvadratet av summen geometrisk. I tillegg skal vi løse mange forskjellige eksempler ved hjelp av disse formlene.
Tenk på formelen for kvadratet av summen:
Så vi har utledet formelen for kvadratet av summen:
Verbalt uttrykkes denne formelen som følger: kvadratet av summen er lik kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av det første tallet med det andre pluss kvadratet av det andre tallet.
Denne formelen er lett å representere geometrisk.
Tenk på en firkant med side:
Firkantet område.
På den annen side kan samme firkant representeres annerledes ved å dele siden i a og b (fig. 1).
Ris. 1. Firkantet
Da kan arealet av kvadratet representeres som summen av arealene:
Siden rutene var like, er arealene like, noe som betyr:
Så vi har bevist geometrisk formelen for kvadratet av summen.
Tenk på eksempler:
Kommentar: eksemplet løses ved hjelp av sumkvadratformelen.
Vi utleder formelen for kvadratet av forskjellen:
Så vi har utledet formelen for kvadratet av forskjellen:
Verbalt uttrykkes denne formelen som følger: kvadratet av forskjellen er lik kvadratet av det første tallet minus to ganger produktet av det første tallet med det andre pluss kvadratet av det andre tallet.
Tenk på eksempler:
Formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen kan fungere både fra venstre til høyre og fra høyre til venstre. Ved bruk fra venstre til høyre vil disse være forkortede multiplikasjonsformler, de brukes ved beregning og transformering av eksempler. Og når den brukes fra høyre til venstre - faktoriseringsformler.
Tenk på eksempler der du må faktorisere et gitt polynom ved å bruke formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen. For å gjøre dette må du se veldig nøye på polynomet og bestemme nøyaktig hvordan du skal utvide det riktig.
Kommentar: for å faktorisere et polynom, må du bestemme hva som er representert i dette uttrykket. Så vi ser kvadratet og enhetens kvadrat. Nå må vi finne dobbeltproduktet - dette er . Så alle nødvendige elementer er der, du trenger bare å finne ut om dette er kvadratet av summen eller differansen. Før det doblede produktet er det et plusstegn, som betyr at vi har kvadratet av summen.
Forkortede multiplikasjonsformler.
Studerer formlene for forkortet multiplikasjon: kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk; forskjell på kvadrater av to uttrykk; kuben av summen og kuben av differansen av to uttrykk; summer og forskjeller av kuber av to uttrykk.
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.
For å forenkle uttrykk, faktorisere polynomer og redusere polynomer til en standardform, brukes forkortede multiplikasjonsformler. Forkortede multiplikasjonsformler du trenger å kunne utenat.
La a, b R. Så:
1. Kvadraten av summen av to uttrykk er kvadratet av det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Kvadraten av forskjellen mellom to uttrykk er kvadratet av det første uttrykket minus to ganger produktet av det første uttrykket og det andre pluss kvadratet av det andre uttrykket.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Forskjell på ruter to uttrykk er lik produktet av differansen mellom disse uttrykkene og summen deres.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. sum kube av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket pluss tre ganger kvadratet av det første uttrykket ganger det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket ganger kvadratet av det andre pluss kuben til det andre uttrykket.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. forskjellskube av to uttrykk er lik kuben til det første uttrykket minus tre ganger produktet av kvadratet til det første uttrykket og det andre pluss tre ganger produktet av det første uttrykket og kvadratet av det andre minus kuben til det andre uttrykket.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Summen av terninger to uttrykk er lik produktet av summen av det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av forskjellen mellom disse uttrykkene.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Forskjell på kuber av to uttrykk er lik produktet av forskjellen mellom det første og andre uttrykket med det ufullstendige kvadratet av summen av disse uttrykkene.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler ved løsning av eksempler.
Eksempel 1
Regne ut
a) Ved å bruke formelen for kvadratet av summen av to uttrykk har vi
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) Ved å bruke formelen for kvadratforskjellen til to uttrykk får vi
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 \u003d 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Eksempel 2
Regne ut
Ved å bruke formelen for forskjellen mellom kvadratene til to uttrykk, får vi
Eksempel 3
Forenkle uttrykk
(x - y) 2 + (x + y) 2
Vi bruker formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen av to uttrykk
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Forkortede multiplikasjonsformler i én tabell:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Det vil også være oppgaver for en selvstendig løsning, som du kan se svarene på.
Forkortede multiplikasjonsformler lar deg utføre identiske transformasjoner av uttrykk - polynomer. Med deres hjelp kan polynomer faktoriseres, og ved å bruke formlene i omvendt rekkefølge kan produktene av binomialer, kvadrater og terninger representeres som polynomer. La oss vurdere alle de generelt aksepterte formlene for forkortet multiplikasjon, deres avledning, vanlige oppgaver for identiske transformasjoner av uttrykk ved bruk av disse formlene, samt lekser (svarene på dem åpnes av lenker).
sum kvadrat
Formelen for kvadratet av summen er likheten
(kvadraten av summen av to tall er lik kvadratet av det første tallet pluss to ganger produktet av det første tallet og det andre pluss kvadratet av det andre tallet).
I stedet for en og b et hvilket som helst tall kan erstattes i denne formelen.
Sumkvadratformelen brukes ofte for å forenkle beregninger. For eksempel,
Ved å bruke sumkvadratformelen kan polynomet faktoriseres, nemlig representert som et produkt av to identiske faktorer.
Eksempel 1
.
Eksempel 2 Skriv som et polynomuttrykk
Løsning. Ved formelen til kvadratet av summen får vi
Firkanten av forskjellen
Formelen for kvadratet av forskjellen er likheten
(kvadraten av forskjellen mellom to tall er lik kvadratet av det første tallet minus to ganger produktet av det første tallet og det andre pluss kvadratet av det andre tallet).
Kvadratforskjellsformelen brukes ofte for å forenkle beregninger. For eksempel,
Ved å bruke differenskvadratformelen kan polynomet faktoriseres, nemlig representert som et produkt av to identiske faktorer.
Formelen følger av regelen for å multiplisere et polynom med et polynom:
Eksempel 5 Skriv som et polynomuttrykk
Løsning. Ved formelen til kvadratet av differansen får vi
.
Bruk den forkortede multiplikasjonsformelen selv, og se deretter løsningen
Fullt firkantet utvalg
Ofte inneholder et polynom av andre grad kvadratet av summen eller differansen, men er inneholdt i en skjult form. For å få hele kvadratet eksplisitt, må du transformere polynomet. For å gjøre dette er som regel en av leddene til polynomet representert som et dobbeltprodukt, og deretter legges det samme tallet til og trekkes fra polynomet.
Eksempel 7
Løsning. Dette polynomet kan transformeres som følger:
Her har vi presentert 5 x i form av et dobbelt produkt på 5/2 by x, lagt til polynomet og trukket fra det samme tallet, og deretter brukt sumkvadratformelen for binomet.
Så vi har bevist likheten
,
er lik et helt kvadrat pluss tallet .
Eksempel 8 Tenk på et andregrads polynom
Løsning. La oss gjøre følgende transformasjoner på den:
Her har vi presentert 8 x i form av et dobbeltprodukt x med 4, lagt til polynomet og trukket fra det samme tallet 4², brukt forskjellskvadratformelen for binomet x − 4 .
Så vi har bevist likheten
,
viser at et andregrads polynom
er lik et helt kvadrat pluss tallet −16.
Bruk den forkortede multiplikasjonsformelen selv, og se deretter løsningen
sum kube
Sumkubeformelen er likheten
(terningen av summen av to tall er lik kuben av det første tallet pluss tre ganger kvadratet av det første tallet ganger det andre, pluss tre ganger produktet av det første tallet ganger kvadratet av det andre, pluss kuben av det andre tallet).
Sumkubeformelen er utledet som følger:
Eksempel 10 Skriv som et polynomuttrykk
Løsning. I følge sumkubeformelen får vi
Bruk den forkortede multiplikasjonsformelen selv, og se deretter løsningen
forskjellskube
Forskjellenskubeformelen er likheten
(terningen av forskjellen av to tall er lik kuben av det første tallet minus tre ganger kvadratet av det første tallet og det andre, pluss tre ganger produktet av det første tallet og kvadratet av det andre minus kuben av det andre tallet).
Ved å bruke sumkubeformelen kan polynomet faktoriseres, nemlig representert som et produkt av tre identiske faktorer.
Forskjellenskubeformelen er utledet som følger:
Eksempel 12. Skriv som et polynomuttrykk
Løsning. Ved å bruke forskjellskubeformelen får vi
Bruk den forkortede multiplikasjonsformelen selv, og se deretter løsningen
Forskjell på ruter
Formelen for forskjellen av kvadrater er likheten
(forskjellen mellom kvadratene til to tall er lik produktet av summen av disse tallene og deres forskjell).
Ved å bruke sumkubeformelen kan et hvilket som helst polynom av formen faktoriseres.
Beviset for formelen ble oppnådd ved å bruke multiplikasjonsregelen for polynomer:
Eksempel 14 Skriv produktet som et polynom
.
Løsning. Ved forskjellen av kvadraters formel får vi
Eksempel 15 Faktoriser
Løsning. Dette uttrykket i en eksplisitt form passer ikke til noen identitet. Men tallet 16 kan representeres som en potens med grunntall 4: 16=4². Da vil det opprinnelige uttrykket ha en annen form:
,
og dette er formelen for forskjellen av kvadrater, og ved å bruke denne formelen får vi
Laster inn...