I en kubikkligning er den høyeste eksponenten 3, en slik likning har 3 røtter (løsninger) og den ser ut som . Noen kubikklikninger er ikke så enkle å løse, men hvis du bruker riktig metode (med god teoretisk forberedelse), kan du finne røttene til selv den mest komplekse kubikklikningen - for å gjøre dette, bruk formelen for å løse en kvadratisk likning, finn heltallsrøtter eller beregn diskriminanten.
Trinn
Hvordan løse en kubikkligning uten friledd
- I vårt eksempel erstatter du verdiene til koeffisientene a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) (3 (\displaystyle 3), − 2 (\displaystyle -2), 14 (\displaystyle 14)) inn i formelen: − b ± b 2 − 4 a c 2 a (\displaystyle (\frac (-b\pm (\sqrt (b^(2)-4ac)))(2a))) − (− 2) ± ((− 2) 2 − 4 (3) (14) 2 (3) (\displaystyle (\frac (-(-2)\pm (\sqrt (((-2))^(2) )-4(3)(14))))(2(3)))) 2 ± 4 − (12) (14) 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (4-(12)(14))))(6))) 2 ± (4 − 168 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt ((4-168))))(6))) 2 ± − 164 6 (\displaystyle (\frac (2\pm (\sqrt (-164)))(6)))
- Første rot: 2 + − 164 6 (\displaystyle (\frac (2+(\sqrt (-164)))(6))) 2 + 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2+12,8i)(6)))
- Andre rot: 2 − 12 , 8 i 6 (\displaystyle (\frac (2-12,8i)(6)))
-
Bruk null og røttene til andregradsligningen som løsninger til kubikkligningen. Kvadratiske ligninger har to røtter, mens kubiske ligninger har tre. Du har allerede funnet to løsninger - dette er røttene til kvadratisk ligning. Hvis du setter "x" ut av parentes, er den tredje løsningen .
Hvordan finne heltallsrøtter ved hjelp av multiplikatorer
-
Sørg for at kubikkligningen har et skjæringspunkt d (\displaystyle d) . Hvis i en ligning av formen a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0) ha et gratis medlem d (\displaystyle d)(som ikke er lik null), vil det ikke fungere å sette "x" ut av parentes. I dette tilfellet, bruk metoden beskrevet i denne delen.
Skriv ut koeffisientmultiplikatorer en (\displaystyle a) og gratis medlem d (\displaystyle d) . Det vil si å finne faktorene til tallet når x 3 (\displaystyle x^(3)) og tallene før likhetstegnet. Husk at faktorene til et tall er tallene som, når de multipliseres sammen, gir det tallet.
Del hver multiplikator en (\displaystyle a) for hver multiplikator d (\displaystyle d) . Resultatet blir mange brøker og flere heltall; røttene til en kubikkligning vil være ett av heltallene, eller den negative verdien til ett av heltallene.
- I vårt eksempel deler du faktorene a (\displaystyle a) (1 og 2 ) etter faktorer d (\displaystyle d) (1 , 2 , 3 og 6 ). Du vil få: 1 (\displaystyle 1), , , , 2 (\displaystyle 2) og . Legg nå de negative verdiene til de resulterende brøkene og tallene til denne listen: 1 (\displaystyle 1), − 1 (\displaystyle -1), 1 2 (\displaystyle (\frac (1)(2))), − 1 2 (\displaystyle -(\frac (1)(2))), 1 3 (\displaystyle (\frac (1)(3))), − 1 3 (\displaystyle -(\frac (1)(3))), 1 6 (\displaystyle (\frac (1)(6))), − 1 6 (\displaystyle -(\frac (1)(6))), 2 (\displaystyle 2), − 2 (\displaystyle -2), 2 3 (\displaystyle (\frac (2)(3))) og − 2 3 (\displaystyle -(\frac (2)(3))). Heltallsrøttene til den kubiske ligningen er noen tall fra denne listen.
-
Plugg inn heltallene i kubikkligningen. Hvis denne likheten observeres, er det substituerte tallet roten av ligningen. For eksempel, plugg inn i ligningen 1 (\displaystyle 1):
Bruk metoden for å dele polynomer med Horners opplegg for raskt å finne røttene til en ligning. Gjør dette hvis du ikke vil koble tall manuelt inn i ligningen. I Horners skjema deles heltall med verdiene til koeffisientene til ligningen a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) og d (\displaystyle d). Hvis tallene er jevnt delbare (det vil si at resten er ), er heltall roten av ligningen.
-
Finn ut om det er et skjæringspunkt i en kubikkligning d (\displaystyle d) . Den kubiske ligningen har formen a x 3 + b x 2 + c x + d = 0 (\displaystyle ax^(3)+bx^(2)+cx+d=0). For at en ligning skal anses som kubisk, er det tilstrekkelig at kun begrepet x 3 (\displaystyle x^(3))(det vil si at det ikke kan være andre medlemmer i det hele tatt).
Ta den ut av parentes x (\displaystyle x) . Siden det ikke er noe ledig ledd i ligningen, inkluderer hvert ledd i ligningen en variabel x (\displaystyle x). Dette betyr at en x (\displaystyle x) kan settes i parentes for å forenkle ligningen. Derfor vil ligningen skrives som følger: x (a x 2 + b x + c) (\displaystyle x(ax^(2)+bx+c)).
Faktoriser (med produktet av to binomialer) den andregradsligningen (hvis mulig). Mange andregradsligninger av formen a x 2 + b x + c = 0 (\displaystyle ax^(2)+bx+c=0) kan faktoriseres. En slik ligning vil bli oppnådd hvis x (\displaystyle x) for parentes. I vårt eksempel:
Løs en andregradsligning ved å bruke en spesiell formel. Gjør dette hvis den andregradsligningen ikke kan faktoriseres. For å finne to røtter av en ligning, verdiene til koeffisientene a (\displaystyle a), b (\displaystyle b), c (\displaystyle c) plugg inn i formelen.
Nummer e er en viktig matematisk konstant som er grunnlaget for den naturlige logaritmen. Nummer e omtrent lik 2,71828 med en grense (1 + 1/n)n på n tenderer mot det uendelige.
Skriv inn verdien av x for å finne verdien til eksponentialfunksjonen eks
For å beregne tall med en bokstav E bruk kalkulator for konvertering av eksponentiell til heltall
Rapporter en feil
'; setTimeout(function() ( $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').css(('display ':'inline-block')); $("#boxadno").remove(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit:first').click(); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first:submit: first').css(('display':'none')); $('form:first:button:first , #form_ca:first:button:first , form:first:submit:first , #form_ca:first: submit:first').parent().prepend("); ), 32000); ) Hjelpte denne kalkulatoren deg?
Del denne kalkulatoren med vennene dine på forumet eller online.
Derved Du hjelp Oss i å utvikle nye kalkulatorer og foredling av gamle.
Algebra Kalkulator Beregning
Tallet e er en viktig matematisk konstant som ligger til grunn for den naturlige logaritmen.
0,3 i potens x multiplisert med 3 med potens x er de samme
Tallet e er omtrent 2,71828 med en grense på (1 + 1/n)n for n går til uendelig.
Dette nummeret kalles også Euler-nummeret eller Napier-nummeret.
Eksponentiell - En eksponentiell funksjon f (x) = exp (x) = ex, hvor e er Euler-tallet.
Skriv inn verdien av x for å finne verdien av eksponentialfunksjonen eks
Beregning av verdien av eksponentialfunksjonen i nettverket.
Når Euler-tallet (e) går opp til null, er svaret 1.
Når du hever til et nivå større enn én, vil svaret være større enn originalen. Hvis hastigheten er større enn null, men mindre enn 1 (f.eks. 0,5), vil svaret være større enn 1, men mindre enn originalen (merke E). Når eksponenten øker til negativ potens, må 1 deles på tallet e for en gitt potens, men med plusstegn.
Definisjoner
utstiller Dette er en eksponentiell funksjon y (x) = e x, hvis deriverte er den samme som selve funksjonen.
Indikatoren er merket som, eller.
e nummer
Basen til eksponenten er e.
Dette er et irrasjonelt tall. Det er omtrent det samme
e ≈ 2,718281828459045 …
Tallet e er definert utenfor sekvensgrensen. Dette er den såkalte andre unntaksgrensen:
.
Tallet e kan også representeres som en serie:
.
Utstillerkart
Grafen viser graden e på scenen X.
y(x) = eks
Grafen viser at den monotont øker eksponentielt.
formel
Grunnformlene er de samme som for eksponentialfunksjonen med grunnnivået e.
Uttrykk av eksponentielle funksjoner med vilkårlig basis a i betydningen eksponenten:
.
også avsnittet "Eksponentiell funksjon" >>>
private verdier
La y (x) = e x.
5 i potens x og er lik 0
Eksponentielle egenskaper
Eksponenten har egenskapene til en eksponentiell funksjon med gradbasis e> først
Definisjonsfelt, sett med verdier
For x bestemmes indeksen y (x) = e x.
Dens volum:
— ∞ < x + ∞.
Dets mening:
0 < Y < + ∞.
Ekstremer, øke, minke
Eksponenten er en monotont økende funksjon, så den har ingen ytterpunkter.
Hovedegenskapene er vist i tabellen.
Invers funksjon
Det gjensidige er den naturlige logaritmen.
;
.
Derivater av indikatorer
derivat e på scenen X Dette er e på scenen X
:
.
Avledet N-orden:
.
Utførelse av formler > > >
integrert
også avsnittet "Tabell over ubestemte integraler" >>>
Komplekse rom
Operasjoner med komplekse tall utføres ved hjelp av Euler formel:
,
hvor er den imaginære enheten:
.
Uttrykk i form av hyperbolske funksjoner
Uttrykk i form av trigonometriske funksjoner
Power Series-utvidelse
Når er x lik null?
Vanlig eller online kalkulator
Vanlig kalkulator
Standardkalkulatoren gir deg enkle kalkulatoroperasjoner som addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon.
Du kan bruke en rask matematisk kalkulator
Scientific Calculator lar deg gjøre mer komplekse operasjoner og også kalkulator som sinus, cosinus, invers sinus, invers cosinus som berører, tangent, eksponent, eksponent, logaritme, renter samt virksomhet i webminnekalkulator.
Du kan gå inn direkte fra tastaturet, klikk først på området med kalkulatoren.
Den utfører enkle operasjoner på tall så vel som mer komplekse som f.eks
mattekalkulator på nett.
0 + 1 = 2.
Her er to kalkulatorer:
- Beregn først som vanlig
- En annen beregner det som ingeniørkunst
Reglene gjelder for kalkulatoren beregnet på serveren
Regler for inntasting av termer og funksjoner
Hvorfor trenger jeg denne nettbaserte kalkulatoren?
Online kalkulator – hvordan er den forskjellig fra en vanlig kalkulator?
For det første er standardkalkulatoren ikke egnet for transport, og for det andre, nå er Internett nesten overalt, dette betyr ikke at det er problemer, gå til nettstedet vårt og bruk nettkalkulatoren.
Online kalkulator - hvordan er den forskjellig fra java kalkulator og også fra andre kalkulatorer for operativsystemer?
Igjen, mobilitet. Hvis du er på en annen datamaskin, trenger du ikke å installere den på nytt
Så bruk denne siden!
Uttrykk kan bestå av funksjoner (skrevet i alfabetisk rekkefølge):
absolutt (x) Absolutt verdi X
(modul X eller | x |) arccos(x) Funksjon - Arcoxin fra Xarccosh(x) Arcosine er hyperbolsk Xarcsin(x) Separat sønn Xarcsinh(x) HyperX hyperbolsk Xarctg(x) Funksjonen er buetangensen til Xarctgh(x) Arctangent er hyperbolsk Xee tall - ca 2,7 exp(x) Funksjon - indikator X(som e^X) log(x) eller ln(x) naturlig logaritme X
(Ja log7(x), Må skrive log(x) / log(7) (eller f.eks. for log10(x)= log(x) / log(10)) pi Tallet "Pi" som er omtrent 3,14 synd(x) Funksjon - Sinus Xcos(x) Funksjon - Kjegle fra Xsinh(x) Funksjon - Sinus hyperbolsk Xkontanter (x) Funksjon - cosinus-hyperbolsk Xkvadrat(x) Funksjonen er kvadratroten av Xsqr(x) eller x^2 Funksjon - firkantet Xtg(x) Funksjon - Tangent fra Xtgh(x) Funksjonen er en hyperbolsk tangens av Xcbrt(x) Funksjonen er en terningrot Xjord (x) Avrundingsfunksjon X på undersiden (jordeksempel (4.5) == 4.0) symbol (x) Funksjon - symbol Xerf(x) Feilfunksjon (Laplace eller sannsynlighetsintegral)
Følgende operasjoner kan brukes i termer:
Reelle tall skriv inn i skjemaet 7,5 , ikke 7,5 2*x- multiplikasjon 3/x- separasjon x^3— eksponentiacija x + 7- Dessuten, x - 6- nedtelling
Last ned PDF
Eksponentialligninger er ligninger av formen
x - ukjent eksponent,
en og b- noen tall.
Eksempler på eksponentiell ligning:
Og ligningene:
vil ikke lenger være representativt.
Tenk på eksempler på å løse eksponentialligninger:
Eksempel 1
Finn roten til ligningen:
Vi reduserer gradene til samme base for å bruke egenskapen til graden med en reell eksponent
Da vil det være mulig å fjerne bunnen av graden og gå videre til likestilling av indikatorer.
La oss transformere venstre side av ligningen:
La oss transformere høyre side av ligningen:
Bruke gradsegenskapen
Svar: 4.5.
Eksempel 2
Løs ulikheten:
Del begge sider av ligningen med
Omvendt erstatning:
Svar: x=0.
Løs ligningen og finn røttene på det gitte intervallet:
Vi bringer alle begrepene til samme base:
Erstatning:
Vi ser etter røttene til ligningen ved å velge multipler av frileddet:
- egnet, fordi
likestilling holder.
- egnet, fordi
Hvordan bestemme? e^(x-3) = 0 e i potensen av x-3
likestilling holder.
- egnet, fordi likestilling holder.
- ikke egnet, fordi likestilling er ikke oppfylt.
Omvendt erstatning:
Et tall blir 1 hvis eksponenten er 0
Ikke egnet, pga
Høyre side er lik 1, fordi
Herfra:
Løs ligningen:
Utskifting: da
Omvendt erstatning:
1 ligning:
hvis basene til tallene er like, vil eksponentene deres være like, da
2 ligning:
Logaritme av begge deler til base 2:
Eksponenten kommer foran uttrykket, fordi
Venstre side er 2x pga
Herfra:
Løs ligningen:
La oss forvandle venstre side:
Vi multipliserer gradene i henhold til formelen:
La oss forenkle: i henhold til formelen:
La oss sette det i skjemaet:
Erstatning:
La oss konvertere brøken til en uekte:
a2 - ikke egnet, fordi
Omvendt erstatning:
La oss komme til bunnlinjen:
Hvis en
Svar: x=20.
Løs ligningen:
O.D.Z.
La oss transformere venstre side i henhold til formelen:
Erstatning:
Vi beregner roten til diskriminanten:
a2-passer ikke, fordi
tar ikke negative verdier
La oss komme til bunnlinjen:
Hvis en
La oss kvadrater begge sider:
Artikkelredaktører: Gavrilina Anna Viktorovna, Ageeva Lyubov Alexandrovna
Tilbake til emner
Oversettelse av den store artikkelen "An Intuitive Guide To Exponential Functions & e"
Tallet e har alltid begeistret meg – ikke som en bokstav, men som en matematisk konstant.
Hva betyr egentlig e?
Ulike matematiske bøker og til og med min elskede Wikipedia beskriver denne majestetiske konstanten i fullstendig dum vitenskapelig sjargong:
Den matematiske konstanten e er grunnlaget for den naturlige logaritmen.
Hvis du er interessert i hva en naturlig logaritme er, finner du følgende definisjon:
Den naturlige logaritmen, tidligere kjent som den hyperbolske logaritmen, er en logaritme med base e, hvor e er en irrasjonell konstant, omtrent lik 2,718281828459.
Definisjonene er selvsagt korrekte.
Men det er ekstremt vanskelig å forstå dem. Wikipedia har selvfølgelig ikke skylden for dette: vanligvis er matematiske forklaringer tørre og formelle, kompilert til vitenskapens fulle omfang. På grunn av dette er det vanskelig for nybegynnere å mestre faget (og en gang var alle nybegynnere).
Jeg er over det! I dag deler jeg mine svært intellektuelle tanker om hva er e-nummer og hvorfor er det så kult! Legg dine tykke, skremmende matematikkbøker til side!
Tallet e er ikke bare et tall
Å beskrive e som "en konstant tilnærmet lik 2,71828..." er som å kalle pi "et irrasjonelt tall tilnærmet lik 3,1415...".
Det er det ingen tvil om, men essensen unngår oss likevel.
Tallet pi er forholdet mellom omkretsen av en sirkel og diameteren, det samme for alle sirkler.. Dette er en grunnleggende andel felles for alle sirkler, og derfor er den involvert i å beregne omkrets, areal, volum og overflateareal for sirkler, kuler, sylindre, etc.
Pi viser at alle sirkler henger sammen, for ikke å nevne de trigonometriske funksjonene avledet fra sirkler (sinus, cosinus, tangens).
Tallet e er det grunnleggende vekstforholdet for alle kontinuerlig voksende prosesser. Tallet e lar deg ta en enkel vekstrate (hvor forskjellen bare er synlig på slutten av året) og beregne komponentene i denne indikatoren, normal vekst, der hvert nanosekund (eller enda raskere) vokser alt litt mer.
Tallet e er involvert i både eksponentielle og konstante vekstsystemer: befolkning, radioaktivt forfall, renteberegning og mange, mange andre.
Selv trinnvise systemer som ikke vokser jevnt, kan tilnærmes med tallet e.
Akkurat som et hvilket som helst tall kan betraktes som en "skalert" versjon av 1 (grunnenheten), kan enhver sirkel betraktes som en "skalert" versjon av enhetssirkelen (radius 1).
En ligning er gitt: e i potensen av x \u003d 0. Hva er x lik?
Og enhver vekstfaktor kan betraktes som en "skalert" versjon av e (en "enkel" vekstfaktor).
Så tallet e er ikke et tilfeldig tall tatt tilfeldig. Tallet e legemliggjør ideen om at alle kontinuerlig voksende systemer er skalerte versjoner av samme metrikk.
Konseptet med eksponentiell vekst
La oss starte med å se på et grunnleggende system som dobles over en gitt tidsperiode.
For eksempel:
- Bakterier deler seg og "dobler" i antall hver 24. time
- Vi får dobbelt så mange nudler hvis vi deler dem i to
- Pengene dine dobles hvert år hvis du får 100 % fortjeneste (heldig!)
Og det ser omtrent slik ut:
Å dele på to eller doble er en veldig enkel progresjon. Selvfølgelig kan vi tredoble eller firedoble, men dobling er mer praktisk for forklaring.
Matematisk, hvis vi har x-divisjoner, får vi 2^x ganger mer god enn vi hadde i begynnelsen.
Hvis det bare lages 1 partisjon, får vi 2^1 ganger mer. Hvis det er 4 partisjoner, får vi 2^4=16 deler. Den generelle formelen ser slik ut:
En dobling er med andre ord en 100 % økning.
Vi kan omskrive denne formelen slik:
vekst = (1+100%)x
Dette er den samme likheten, vi delte bare "2" inn i komponentene, som i hovedsak er dette tallet: startverdien (1) pluss 100%. Smart, ikke sant?
Selvfølgelig kan vi erstatte et hvilket som helst annet tall (50%, 25%, 200%) i stedet for 100% og få vekstformelen for dette nye forholdet.
Den generelle formelen for x perioder av tidsserien vil se slik ut:
vekst = (1+vekst)x
Dette betyr ganske enkelt at vi bruker avkastningen, (1 + vekst), "x" ganger på rad.
La oss ta en nærmere titt
Formelen vår antar at veksten skjer i diskrete trinn. Bakteriene våre venter og venter, og så bam!, og i siste liten dobles de i antall. Vår fortjeneste på renter fra innskuddet vises på magisk vis nøyaktig etter 1 år.
Basert på formelen skrevet ovenfor, vokser fortjenesten i trinn. Grønne prikker vises plutselig.
Men verden er ikke alltid slik.
Hvis vi zoomer inn, kan vi se at bakterievennene våre hele tiden deler seg:
Den grønne ungen kommer ikke ut av ingenting: den vokser sakte ut av den blå forelderen. Etter 1 periode (24 timer i vårt tilfelle) er den grønne vennen allerede helt moden. Etter å ha blitt modnet, blir han et fullverdig blått medlem av flokken og kan selv lage nye grønne celler.
Vil denne informasjonen på en eller annen måte endre ligningen vår?
Når det gjelder bakterier, kan de halvformede grønne cellene fortsatt ikke gjøre noe før de vokser opp og skiller seg helt fra sine blå foreldre. Så ligningen er riktig.
I den neste artikkelen skal vi se på et eksempel på den eksponentielle veksten av pengene dine.
Merk følgende!
Det er flere
materiale i spesialseksjon 555.
For de som sterkt "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Hva "kvadratulikhet"? Ikke et spørsmål!) Hvis du tar noen andregradsligning og endre fortegnet i den "=" (lik) med ethvert ulikhetsikon ( > ≥ < ≤ ≠ ), får vi en kvadratisk ulikhet. For eksempel:
1. x2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x2 ≤ 4
Vel, du skjønner...)
Jeg koblet bevisst sammen ligninger og ulikheter her. Faktum er at det første trinnet i å løse noen kvadratisk ulikhet - løse ligningen som denne ulikheten er laget av. Av denne grunn - manglende evne til å løse kvadratiske ligninger fører automatisk til en fullstendig svikt i ulikheter. Er hintet klart?) Hvis noe, se på hvordan du løser eventuelle andregradsligninger. Alt er detaljert der. Og i denne leksjonen skal vi ta for oss ulikheter.
Ulikheten klar for løsning har formen: venstre - kvadratisk trinomium øks 2 +bx+c, til høyre - null. Ulikhetstegnet kan være absolutt hva som helst. De to første eksemplene er her er klare for en avgjørelse. Det tredje eksemplet må fortsatt forberedes.
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante sider for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)
du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.
Laster inn...