Leksjonstype: lære nytt materiale.

Leksjonens mål:

utvidelse og utdypning av elevenes ideer om problemene løst ved hjelp av aritmetisk progresjon; organisering av elevenes søkeaktivitet når de får en formel for summen av de første n -medlemmene i en aritmetisk progresjon;
utvikling av ferdigheter for uavhengig å tilegne seg ny kunnskap, bruke allerede ervervet kunnskap for å oppnå den angitte oppgaven;
utviklingen av ønsket og behovet for å generalisere de oppnådde fakta, utviklingen av uavhengighet.

Oppgaver:

å generalisere og systematisere den eksisterende kunnskapen om emnet "Aritmetisk progresjon";
utlede formler for å beregne summen av de første n -termene i en aritmetisk progresjon;
å lære hvordan du bruker de oppnådde formlene for å løse forskjellige problemer;
å trekke studentenes oppmerksomhet til rekkefølgen av handlinger når de finner verdien av et numerisk uttrykk.

Utstyr:

kort med oppgaver for arbeid i grupper og par;
evalueringspapir;
presentasjon"Aritmetisk progresjon".

I. Oppdatere grunnleggende kunnskap.

1. Selvstendig arbeid i par.

Første alternativ:

Gi en definisjon av en aritmetisk progresjon. Skriv ned den gjentagende formelen som definerer den aritmetiske progresjonen. Hei eksempel på aritmetisk progresjon og angi forskjellen.

Andre alternativ:

Skriv ned formelen for det niende uttrykket i den aritmetiske progresjonen. Finn det 100. uttrykket i den aritmetiske progresjonen ( en n}: 2, 5, 8 …
På dette tidspunktet forbereder to studenter på baksiden av tavlen svar på de samme spørsmålene.
Studentene vurderer partnerens arbeid mot styret. (Arkene med svarene overleveres).

2. Spillemoment.

Oppgave 1.

Lærer. Jeg har tenkt litt på aritmetikk. Bare spør meg to spørsmål, slik at du etter svarene raskt kan nevne den 7. termen i denne progresjonen. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)

Elevspørsmål.

Hva er det sjette begrepet i progresjonen, og hva er forskjellen?
Hva er det åttende uttrykket i progresjonen, og hva er forskjellen?

Hvis det ikke er flere spørsmål, kan læreren stimulere dem - "forbud" på d (forskjell), det vil si at det ikke er lov å spørre hva forskjellen er. Du kan stille spørsmål: hva er den sjette termen i progresjonen og hva er den 8. termen i progresjonen?

Oppgave 2.

Det er 20 tall skrevet på tavlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Læreren står med ryggen til tavlen. Elevene ringer nummeret til nummeret, og læreren ringer umiddelbart til nummeret selv. Forklar hvordan jeg gjør det?

Læreren husker formelen for den niende termen a n = 3n - 2 og, ved å erstatte de gitte verdiene til n, finner de tilsvarende verdiene en n.

II. Erklæring om utdanningsproblemet.

Jeg foreslår å løse et gammelt problem som dateres tilbake til det andre årtusen f.Kr., funnet på egyptisk papyri.

Oppgave:"La det bli sagt til deg: del 10 mål bygg mellom 10 personer, forskjellen mellom hver person og naboen er lik 1/8 av målingen".

Hvordan er denne oppgaven knyttet til temaet aritmetisk progresjon? (Hver neste får 1/8 av et mål mer, noe som betyr forskjellen d = 1/8, 10 personer, som betyr n = 10.)
Hva tror du tallet 10 betyr? (Summen av alle medlemmer av progresjonen.)
Hva mer trenger du å vite for å gjøre det enkelt og enkelt å dele bygg etter tilstanden til oppgaven? (Den første termen i progresjonen.)

Leksjon mål- å få avhengigheten av summen av medlemmene i progresjonen av deres nummer, det første begrepet og differansen, og kontrollere om problemet var løst riktig i antikken.

Før vi trekker konklusjonen av formelen, la oss se hvordan de gamle egypterne løste problemet.

Og de løste det slik:

1) 10 mål: 10 = 1 mål - gjennomsnittlig andel;
2) 1 mål ∙ = 2 mål - doblet gjennomsnitt dele.
Doblet gjennomsnitt aksjen er summen av aksjene til 5. og 6. person.
3) 2 tiltak - 1/8 tiltak = 1 7/8 tiltak - dobbelt så stor andel som den femte personen.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - andelen av den femte; og så videre kan du finne andelen til hver tidligere og påfølgende person.

Vi får sekvensen:

III. Løsningen på problemet.

1. Arbeide i grupper

Gruppe I: Finn summen av 20 påfølgende naturlige tall: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.

Generelt

II gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 100 (The Legend of the Little Gauss).

S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050

Produksjon:

III gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 21.

Løsning: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...

Produksjon:

IV gruppe: Finn summen av naturlige tall fra 1 til 101.

Produksjon:

Denne metoden for å løse de vurderte problemene kalles "Gauss -metoden".

2. Hver gruppe presenterer en løsning på problemet på tavlen.

3. Generalisering av de foreslåtte løsningene for en vilkårlig aritmetisk progresjon:

a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

La oss finne denne summen ved å resonnere på en lignende måte:

4. Har vi løst oppgaven?(Ja.)

IV. Primær forståelse og anvendelse av de oppnådde formlene for å løse problemer.

1. Kontrollere løsningen på et gammelt problem ved å bruke formelen.

2. Anvendelse av formelen for å løse ulike problemer.

3. Øvelser for å danne muligheten til å anvende formelen når du løser problemer.

A) nr. 613

Gitt: ( a n) - aritmetisk progresjon;

(a n): 1, 2, 3, ..., 1500

Finne: S 1500

Løsning: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,

B) Gitt: ( a n) - aritmetisk progresjon;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Finne: n
Løsning:

V. Uavhengig arbeid med gjensidig verifisering.

Denis gikk på jobb som bud. I den første måneden var lønnen 200 rubler, i hver påfølgende måned økte den med 30 rubler. Hvor mye tjente han på et år?

Gitt: ( a n) - aritmetisk progresjon;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Finne: S 12
Løsning:

Svar: Denis mottok 4380 rubler på et år.

Vi. Lekseopplysning.

s. 4.3 - lær utledningen av formelen.
№№ 585, 623 .
Lag et problem som vil bli løst ved å bruke formelen for summen av de første n -termene i en aritmetisk progresjon.

Vii. Oppsummerer leksjonen.

1. Evalueringsark

2. Fortsett setninger

I dag i leksjonen jeg lærte ...
Lærte formler ...
Jeg tror …

3. Kan du finne summen av tall fra 1 til 500? Hvilken metode vil du bruke for å løse dette problemet?

Bibliografi.

1. Algebra, 9. klasse. Lærebok for utdanningsinstitusjoner. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: "Utdanning", 2009.

Hvis hvert naturlig tall n matche et reelt tall en n , så sier de at det er gitt numerisk rekkefølge :

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n , . . . .

Så en numerisk sekvens er en funksjon av et naturlig argument.

Nummer en 1 er kalt det første medlemmet i sekvensen , Nummer en 2 — andre termin , Nummer en 3 — tredje etc. Nummer en n er kalt den niende termen i sekvensen , og det naturlige tallet n — nummeret hans .

Av to nabomedlemmer en n og en n +1 sekvensmedlem en n +1 er kalt senere (mot en n ), a en n — tidligere (mot en n +1 ).

For å spesifisere en sekvens, må du spesifisere en metode som lar deg finne et medlem av sekvensen med et hvilket som helst nummer.

Ofte er sekvensen gitt med nth term formules , det vil si en formel som lar deg bestemme et medlem av en sekvens etter nummeret.

For eksempel,

en sekvens med positive oddetall kan spesifiseres med formelen

en n= 2n - 1,

og sekvensen for veksling 1 og -1 - etter formelen

b n = (-1)n +1 . ◄

Sekvensen kan bestemmes rekursiv formel, det vil si en formel som uttrykker ethvert medlem av sekvensen, som begynner med noen, gjennom de forrige (ett eller flere) medlemmene.

For eksempel,

hvis en 1 = 1 , a en n +1 = en n + 5

en 1 = 1,

en 2 = en 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

en 3 = en 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

en 4 = en 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

en 5 = en 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Hvis a 1= 1, a 2 = 1, en n +2 = en n + en n +1 , da er de syv første medlemmene i den numeriske sekvensen satt som følger:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

en 6 = en 4 + en 5 = 3 + 5 = 8,

en 7 = en 5 + en 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Sekvenser kan være endelig og endeløs .

Sekvensen kalles den ultimate hvis den har et begrenset antall medlemmer. Sekvensen kalles endeløs hvis den har uendelig mange medlemmer.

For eksempel,

sekvens av tosifrede naturlige tall:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

endelig.

En rekke primtall:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

endeløs. ◄

Sekvensen kalles økende hvis hvert medlem, fra det andre, er større enn det forrige.

Sekvensen kalles forsvinnende hvis hvert medlem, fra det andre, er mindre enn det forrige.

For eksempel,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - økende sekvens;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - en avtagende sekvens. ◄

En sekvens hvis elementer ikke reduseres med økende antall, eller omvendt ikke øker, kalles monoton sekvens .

Monotoniske sekvenser er spesielt stigende og synkende sekvenser.

Aritmetisk progresjon

Aritmetisk progresjon det kalles en sekvens, hvor hvert medlem, som starter med det andre, er lik den forrige, som det samme tallet legges til.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . , en n, . . .

er en aritmetisk progresjon hvis for et naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

en n +1 = en n + d,

hvor d - noe tall.

Dermed er forskjellen mellom de neste og de forrige medlemmene av en gitt aritmetisk progresjon alltid konstant:

a 2 - en 1 = a 3 - en 2 = . . . = en n +1 - en n = d.

Nummer d er kalt forskjell i aritmetisk progresjon.

For å sette en aritmetisk progresjon er det nok å angi det første uttrykket og forskjellen.

For eksempel,

hvis en 1 = 3, d = 4 , blir de fem første medlemmene i sekvensen funnet som følger:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

en 5 = en 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

For aritmetisk progresjon med den første termen en 1 og forskjellen d henne n

en n = a 1 + (n- 1)d.

For eksempel,

finne det trettende begrepet for den aritmetiske progresjonen

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

en 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

en n-1 = a 1 + (n- 2)d,

en n= a 1 + (n- 1)d,

en n +1 = en 1 + nd,

da åpenbart

en n=	a n-1 + a n + 1
	2

hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, som starter fra den andre, er lik det aritmetiske gjennomsnittet til de foregående og påfølgende elementene.

tallene a, b og c er påfølgende medlemmer av en viss aritmetisk progresjon hvis og bare hvis en av dem er lik det aritmetiske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

en n = 2n- 7 , er en aritmetisk progresjon.

La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

en n = 2n- 7,

en n-1 = 2(n - 1) - 7 = 2n- 9,

a n + 1 = 2(n + 1) - 7 = 2n- 5.

Derfor,

a n + 1 + a n-1	=	2n- 5 + 2n- 9	= 2n- 7 = en n,
2		2

◄

Noter det n -th term of the aritmetic progression can be found not only through en 1 , men også alle tidligere en k

en n = en k + (n- k)d.

For eksempel,

til en 5 kan skrives

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

en n = en n-k + kd,

en n = a n + k - kd,

da åpenbart

en n=	en n-k + a n + k
	2

ethvert medlem av en aritmetisk progresjon, som starter fra den andre, er lik halvsummen av medlemmene i denne aritmetiske progresjonen med samme avstand fra den.

I tillegg, for enhver aritmetisk progresjon, er likheten sann:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

For eksempel,

i aritmetisk progresjon

1) en 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (en 9 + en 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, fordi

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. ... ...+ en n,

den første n medlemmer av den aritmetiske progresjonen er lik produktet av halvsummen av ekstreme termer med antall termer:

Derfor følger det spesielt at hvis det er nødvendig å summere vilkårene

en k, en k +1 , . . . , en n,

da beholder den forrige formelen sin struktur:

For eksempel,

i aritmetisk progresjon 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Hvis en aritmetisk progresjon er gitt, så er verdiene en 1 , en n, d, n ogS n knyttet med to formler:

Derfor, hvis verdiene til tre av disse størrelsene er gitt, bestemmes de tilsvarende verdiene for de to andre størrelsene ut fra disse formlene, kombinert til et system med to ligninger med to ukjente.

En aritmetisk progresjon er en monoton sekvens. Der:

hvis d > 0 , da øker det;
hvis d < 0 , da avtar det;
hvis d = 0 , vil sekvensen være stasjonær.

Geometrisk progresjon

Geometrisk progresjon det kalles en sekvens, hvor hvert medlem, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

er en geometrisk progresjon hvis for et naturlig tall n betingelsen er oppfylt:

b n +1 = b n · q,

hvor q ≠ 0 - noe tall.

Dermed er forholdet mellom det neste medlemmet i en gitt geometrisk progresjon og det forrige et konstant tall:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nummer q er kalt nevner for geometrisk progresjon.

For å sette en geometrisk progresjon er det nok å angi det første uttrykket og nevneren.

For eksempel,

hvis b 1 = 1, q = -3 , blir de fem første medlemmene i sekvensen funnet som følger:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 og nevneren q henne n T -begrepet finner du med formelen:

b n = b 1 · q n -1 .

For eksempel,

finne det syvende uttrykket i den geometriske progresjonen 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · q n -2 ,

b n = b 1 · q n -1 ,

b n +1 = b 1 · q n,

da åpenbart

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

hvert medlem av en geometrisk progresjon, som starter fra den andre, er lik det geometriske gjennomsnittet (proporsjonalt) for de foregående og etterfølgende medlemmene.

Siden det motsatte utsagnet også er sant, gjelder følgende utsagn:

tall a, b og c er påfølgende medlemmer av en eller annen geometrisk progresjon hvis og bare hvis kvadratet til en av dem er lik produktet av de to andre, det vil si at ett av tallene er det geometriske gjennomsnittet av de to andre.

For eksempel,

la oss bevise at sekvensen gitt av formelen b n= -3 2 n , er en eksponentiell progresjon. La oss bruke utsagnet ovenfor. Vi har:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Derfor,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) (-3 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

som beviser den nødvendige uttalelsen. ◄

Noter det n -th term of the geometric progression can be found not only through b 1 men også et tidligere begrep b k , som det er nok å bruke formelen for

b n = b k · q n - k.

For eksempel,

til b 5 kan skrives

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · q n - k,

b n = b n - k · q k,

da åpenbart

b n 2 = b n - k· b n + k

kvadratet til ethvert medlem av en geometrisk progresjon, som starter fra den andre, er lik produktet av medlemmer av denne progresjonen som er like langt fra den.

I tillegg er likheten sant for enhver geometrisk progresjon:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

For eksempel,

eksponensielt

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , fordi

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

den første n medlemmer av en geometrisk progresjon med nevneren q ≠ 0 beregnet med formelen:

Og når q = 1 - i henhold til formelen

S n= nb 1

Vær oppmerksom på at hvis du trenger å oppsummere vilkårene

b k, b k +1 , . . . , b n,

så brukes formelen:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k ·	1 - q n - k +1	.
	1 - q

For eksempel,

eksponensielt 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Hvis en geometrisk progresjon er gitt, så er verdiene b 1 , b n, q, n og S n knyttet med to formler:

For en geometrisk progresjon med den første termen b 1 og nevneren q følgende monotoniske egenskaper :

progresjonen stiger hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 og q> 1;

b 1 < 0 og 0 < q< 1;

progresjonen avtar hvis en av følgende betingelser er oppfylt:

b 1 > 0 og 0 < q< 1;

b 1 < 0 og q> 1.

Hvis q< 0 , da er den geometriske progresjonen vekslende: dens oddetallsmedlemmer har samme tegn som det første uttrykket, og de partallede vilkårene har det motsatte tegnet. Det er klart at en vekslende geometrisk progresjon ikke er monoton.

Arbeidet med den første n medlemmer av en geometrisk progresjon kan beregnes med formelen:

P n= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

For eksempel,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Uendelig avtagende geometrisk progresjon

Uendelig avtagende geometrisk progresjon kalles en uendelig geometrisk progresjon, modulen til nevneren er mindre 1 , det er

|q| < 1 .

Vær oppmerksom på at en uendelig avtagende geometrisk progresjon kanskje ikke er en synkende sekvens. Dette passer til saken

1 < q< 0 .

Med en slik nevner veksler sekvensen. For eksempel,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Summen av en uendelig avtagende geometrisk progresjon er tallet som summen av den første n medlemmer av progresjonen med en ubegrenset økning i antallet n ... Dette tallet er alltid begrenset og uttrykkes med formelen

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . =	b 1	.
	1 - q

For eksempel,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Forholdet mellom aritmetiske og geometriske progresjoner

Aritmetiske og geometriske fremskritt er nært beslektet. La oss se på bare to eksempler.

en 1 , en 2 , en 3 , . . . d , deretter

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

For eksempel,

1, 3, 5, . . . - aritmetisk progresjon med forskjell 2 og

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - geometrisk progresjon med nevner 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - geometrisk progresjon med nevner q , deretter

logg a b 1, logg a b 2, logg a b 3, . . . - aritmetisk progresjon med forskjell logg aq .

For eksempel,

2, 12, 72, . . . - geometrisk progresjon med nevner 6 og

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - aritmetisk progresjon med forskjell lg 6 . ◄

Første nivå

Aritmetisk progresjon. Detaljert teori med eksempler (2019)

Nummerrekkefølge

Så la oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:
Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange du vil (i vårt tilfelle dem). Uansett hvor mange tall vi skriver, kan vi alltid si hvilket som er det første, hvilket er det andre, og så videre til det siste, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke:

Nummerrekkefølge
For eksempel for sekvensen vår:

Det tildelte nummeret er spesifikt for bare ett tall i sekvensen. Med andre ord er det ingen tre sekunders tall i sekvensen. Det andre tallet (som -th nummer) er alltid ett.
Tallet med tallet kalles det t -medlemmet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen noen bokstaver (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik dette medlemmets nummer :.

I vårt tilfelle:

La oss si at vi har en numerisk sekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.
For eksempel:

etc.
Denne tallsekvensen kalles en aritmetisk progresjon.
Begrepet "progresjon" ble introdusert av den romerske forfatteren Boethius på 600 -tallet og ble forstått i en bredere forstand som en endeløs tallrekke. Navnet "aritmetikk" ble overført fra teorien om kontinuerlige proporsjoner, som ble okkupert av de gamle grekerne.

Dette er en numerisk sekvens, hvor hvert medlem er lik den forrige, lagt til samme nummer. Dette tallet kalles differansen i den aritmetiske progresjonen og er betegnet med.

Prøv å finne ut hvilke tallsekvenser som er aritmetisk progresjon og som ikke er:

en)
b)
c)
d)

Forstått? La oss sammenligne svarene våre:
Er en aritmetisk progresjon - b, c.
Er ikke aritmetisk progresjon - a, d.

La oss gå tilbake til den gitte progresjonen () og prøve å finne verdien av det tredje medlemmet. Eksisterer to måten å finne den på.

1. Metode

Vi kan legge til den forrige verdien av progresjonsnummeret til vi kommer til den tredje termen av progresjonen. Det er bra at vi ikke har mye igjen å oppsummere - bare tre verdier:

Så det tredje elementet i den beskrevne aritmetiske progresjonen er lik.

2. Metode

Hva om vi trengte å finne verdien av det tredje uttrykket i progresjonen? Oppsummeringen vil ta oss mer enn en time, og det er ikke et faktum at vi ikke ville ta feil når vi legger til tall.
Matematikere har selvfølgelig funnet en måte du ikke trenger å legge forskjellen i den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien. Se nærmere på tegnet bilde ... Sikkert har du allerede lagt merke til et bestemt mønster, nemlig:

La oss for eksempel se hvordan verdien til det t medlem av denne aritmetiske progresjonen legges til:

Med andre ord:

Prøv på denne måten selv å finne verdien av et medlem av en gitt aritmetisk progresjon.

Regnet ut? Sammenlign notatene dine med svaret:

Vær oppmerksom på at du fikk nøyaktig samme tall som i den forrige metoden, da vi suksessivt la medlemmene av den aritmetiske progresjonen til den forrige verdien.
La oss prøve å "depersonalisere" denne formelen - vi tar den i generell form og får:

Aritmetisk progresjonsligning.

Aritmetiske progresjoner stiger og avtar noen ganger.

Stigende- progresjoner der hver påfølgende verdi av medlemmene er større enn den forrige.
For eksempel:

Minkende- progresjoner der hver påfølgende verdi av medlemmene er mindre enn den forrige.
For eksempel:

Den avledede formelen brukes til å beregne begrepene både i økende og synkende termer for en aritmetisk progresjon.
La oss sjekke det ut i praksis.
Vi får en aritmetisk progresjon bestående av følgende tall: La oss sjekke hva t -tallet til denne aritmetiske progresjonen vil vise seg hvis vi bruker formelen vår til å beregne den:

Siden da:

Dermed sørget vi for at formelen fungerer både i synkende og økende aritmetisk progresjon.
Prøv å finne t og th vilkårene for denne aritmetiske progresjonen på egen hånd.

La oss sammenligne resultatene som er oppnådd:

Aritmetisk progresjonsegenskap

La oss komplisere oppgaven - vi vil utlede egenskapen til den aritmetiske progresjonen.
La oss si at vi får følgende betingelse:
- aritmetisk progresjon, finn verdien.
Enkelt, sier du og begynner å telle etter formelen du allerede kjenner:

La, a, da:

Helt rett. Det viser seg at vi først finner, deretter legger vi det til det første tallet og får det vi leter etter. Hvis progresjonen er representert med små verdier, er det ikke noe komplisert med det, men hvis vi får tall i tilstanden? Innrøm det, det er en sjanse for å gjøre en feil i beregningene.
Tenk nå, er det mulig å løse dette problemet i en handling ved hjelp av en formel? Selvfølgelig, ja, og det er henne vi skal prøve å trekke oss nå.

La oss angi det nødvendige uttrykket for den aritmetiske progresjonen som, vi kjenner formelen for å finne den - dette er den samme formelen vi avledet i begynnelsen:
, deretter:

det forrige medlemmet av progresjonen er:
neste medlem av progresjonen er:

La oss oppsummere tidligere og påfølgende medlemmer av progresjonen:

Det viser seg at summen av de forrige og påfølgende medlemmene av progresjonen er den doble verdien av medlemmet av progresjonen som ligger mellom dem. Med andre ord, for å finne verdien av et medlem av progresjonen med kjente tidligere og påfølgende verdier, er det nødvendig å legge dem sammen og dele på.

Det er riktig, vi har samme nummer. La oss fikse materialet. Beregn verdien for progresjonen selv, for det er ikke vanskelig i det hele tatt.

Bra gjort! Du vet nesten alt om progresjon! Det er bare en formel igjen å lære, som ifølge legenden lett ble utledet for seg selv av en av de største matematikerne gjennom tidene, "matematikerens konge" - Karl Gauss ...

Da Karl Gauss var 9 år, spurte en lærer som undersøkte arbeidet til elever i andre klassetrinn følgende problem i leksjonen: "Beregn summen av alle naturlige tall fra opptil (i henhold til andre kilder opp til) inkluderende." Tenk deg lærerens overraskelse da en av elevene hans (det var Karl Gauss) ga riktig svar på problemet på et minutt, mens de fleste av våghalsens klassekamerater, etter lange beregninger, fikk feil resultat ...

Unge Karl Gauss la merke til et bestemt mønster som du lett kan legge merke til.
La oss si at vi har en aritmetisk progresjon bestående av -th medlemmer: Vi må finne summen av de gitte medlemmene av den aritmetiske progresjonen. Selvfølgelig kan vi manuelt summere alle verdiene, men hva om det i oppgaven er nødvendig å finne summen av medlemmene, slik Gauss lette etter?

La oss tegne en gitt progresjon. Se nøye på de uthevede tallene og prøv å utføre forskjellige matematiske operasjoner med dem.

Har du prøvd det? Hva har du lagt merke til? Ikke sant! Summen deres er like

Fortell meg nå, hvor mange slike par er det i den gitte progresjonen? Selvfølgelig, nøyaktig halvparten av alle tall, det vil si.
Basert på det faktum at summen av to medlemmer av en aritmetisk progresjon er lik og lignende like par, får vi at totalsummen er:
.
Dermed vil formelen for summen av de første begrepene for enhver aritmetisk progresjon være som følger:

I noen problemer kjenner vi ikke den tredje termen, men vi kjenner forskjellen i progresjonen. Prøv å erstatte summen, formelen for det tredje uttrykket i formelen.
Hva gjorde du?

Bra gjort! La oss nå gå tilbake til problemet som ble gitt til Karl Gauss: beregne deg selv hva som er summen av tallene som starter fra -th, og summen av tallene som starter fra -th.

Hvor mye fikk du?
Gauss fant ut at summen av medlemmene er lik, og summen av medlemmene. Var det slik du bestemte deg?

Faktisk ble formelen for summen av medlemmene av en aritmetisk progresjon bevist av den gamle greske forskeren Diophantus på 300 -tallet, og gjennom denne tiden brukte vittige mennesker egenskapene til en aritmetisk progresjon til det ytterste.
Tenk deg for eksempel det gamle Egypt og den mest ambisiøse byggeplassen på den tiden - byggingen av pyramiden ... Bildet viser den ene siden av den.

Hvor er progresjonen her, sier du? Se nøye og finn et mønster i antall sandblokker i hver rad i pyramideveggen.

Er det ikke en aritmetisk progresjon? Beregn hvor mange blokker som trengs for å bygge en vegg hvis blokkstein legges i basen. Jeg håper du ikke teller ved å kjøre fingeren over skjermen, husker du den siste formelen og alt vi sa om den aritmetiske progresjonen?

I dette tilfellet ser progresjonen slik ut :.
Forskjell i aritmetisk progresjon.
Antall medlemmer av den aritmetiske progresjonen.
La oss erstatte dataene våre i de siste formlene (vi teller antall blokker på 2 måter).

Metode 1.

Metode 2.

Og nå kan du beregne på skjermen: sammenligne de oppnådde verdiene med antall blokker som er i pyramiden vår. Kom det sammen? Godt gjort, du har mestret summen av begrepene i den aritmetiske progresjonen.
Selvfølgelig kan du ikke bygge en pyramide fra blokker ved basen, men fra? Prøv å beregne hvor mange sandstein som er nødvendig for å bygge en vegg med denne tilstanden.
Klarte du deg?
Det riktige svaret er blokker:

Trene

Oppgaver:

Masha kommer i form til sommeren. Hver dag øker hun antallet knebøy med. Hvor mange ganger vil Masha sitte på huk i uker, hvis hun på den første treningen gjorde knebøy.
Hva er summen av alle oddetallene i.
Ved lagring av tømmerstabler stabler tømmerhoggere dem på en slik måte at hvert topplag inneholder en tømmerstokk mindre enn det forrige. Hvor mange tømmerstokker er det i et murverk, hvis stokker tjener som grunnlag for murverket.

Svar:

La oss definere parametrene for den aritmetiske progresjonen. I dette tilfellet
(uker = dager).
Svar: Etter to uker skulle Masha sitte på huk en gang om dagen.
Første oddetall, siste nummer.
Forskjell i aritmetisk progresjon.
Antall oddetall i er halvparten, men vi vil sjekke dette faktum ved å bruke formelen for å finne det -terme av en aritmetisk progresjon:
Tallene inneholder riktignok oddetall.
Erstatt tilgjengelige data i formelen:
Svar: Summen av alle oddetall i er lik.
La oss huske pyramideproblemet. For vårt tilfelle, a, siden hvert topplag er redusert med en logg, da bare i en haug med lag, det vil si.
La oss erstatte dataene i formelen:
Svar: Det er tømmerstokker i murverket.

La oss oppsummere

- en numerisk sekvens der forskjellen mellom tallene ved siden av er den samme og lik. Det kan være stigende og synkende.
Finner formel-th medlem av den aritmetiske progresjonen er skrevet av formelen -, hvor er antallet tall i progresjonen.
Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon- - hvor er antallet tall i progresjonen.
Summen av medlemmene i en aritmetisk progresjon kan finnes på to måter:

, hvor er antall verdier.

ARITMETISK FREMGANG. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Nummerrekkefølge

La oss sette oss ned og begynne å skrive noen tall. For eksempel:

Du kan skrive alle tall, og det kan være så mange du vil. Men du kan alltid si hvilken som er den første, hvilken som er den andre, og så videre, det vil si at vi kan nummerere dem. Dette er et eksempel på en tallrekke.

Nummerrekkefølge er et sett med tall, som hver kan tildeles et unikt nummer.

Med andre ord kan hvert tall være knyttet til et bestemt naturlig tall, og det eneste. Og vi vil ikke tildele dette nummeret til noe annet nummer fra dette settet.

Tallet med tallet kalles det t -medlemmet i sekvensen.

Vi kaller vanligvis hele sekvensen noen bokstaver (for eksempel), og hvert medlem av denne sekvensen er den samme bokstaven med en indeks som er lik dette medlemmets nummer :.

Det er veldig praktisk hvis sekvensens t -term kan spesifiseres med en formel. For eksempel formelen

angir sekvensen:

Og formelen er følgende sekvens:

For eksempel er en aritmetisk progresjon en sekvens (det første uttrykket her er likt, og forskjellen). Eller (, forskjell).

Nde termformel

Vi kaller recurrent for en formel der du må vite det forrige eller flere tidligere:

For å finne for eksempel den tredje termen i progresjonen ved hjelp av en slik formel, må vi beregne de ni foregående. For eksempel, la. Deretter:

Hva er formelen nå?

I hver linje legger vi til, multiplisert med et tall. For hva? Veldig enkelt: dette er nummeret til det nåværende medlemmet minus:

Mye mer praktisk nå, ikke sant? Vi sjekker:

Bestem selv:

I en aritmetisk progresjon finner du formelen for det niende uttrykket og finner det hundrede ordet.

Løsning:

Det første uttrykket er likt. Hva er forskjellen? Og her er hva:

(det er fordi det kalles differansen, som er lik forskjellen mellom de påfølgende progresjonsmedlemmene).

Så formelen er:

Da er det hundrede termen:

Hva er summen av alle naturlige tall fra til?

Ifølge legenden beregnet den store matematikeren Karl Gauss, som en 9 år gammel gutt, dette beløpet på få minutter. Han la merke til at summen av det første og siste tallet er lik, summen av det andre og det siste, men ett er det samme, summen av det tredje og det tredje fra slutten er den samme, og så videre. Hvor mange slike par blir det? Det er riktig, nøyaktig halvparten av alle tall, det vil si. Så,

Den generelle formelen for summen av de første medlemmene i enhver aritmetisk progresjon vil være:

Eksempel:
Finn summen av alle tosifrede multipler.

Løsning:

Det første slikt tallet er. Hver neste oppnås ved å legge til det forrige nummeret. Således danner tallene vi er interessert i en aritmetisk progresjon med det første uttrykket og forskjellen.

Termen formel for denne progresjonen er:

Hvor mange medlemmer er i progresjonen hvis de alle må være tosifrede?

Meget lett: .

Den siste termen i progresjonen vil være lik. Så summen:

Svar: .

Bestem nå selv:

Hver dag løper utøveren mer m enn forrige dag. Hvor mange kilometer vil han løpe i uker hvis han løp km m den første dagen?
En syklist kjører flere kilometer hver dag enn den forrige. Den første dagen kjørte han km. Hvor mange dager trenger han å reise for å dekke km? Hvor mange kilometer vil han reise den siste reisedagen?
Prisen på kjøleskap i en butikk synker med samme beløp hvert år. Bestem hvor mye prisen på kjøleskapet falt hvert år, hvis det ble lagt ut for salg for rubler, seks år senere ble det solgt for rubler.

Svar:

Det viktigste her er å gjenkjenne den aritmetiske progresjonen og bestemme dens parametere. I dette tilfellet, (uker = dager). Du må bestemme summen av de første medlemmene av denne progresjonen:
.
Svar:
Det er gitt her :, det er nødvendig å finne.
Tydeligvis må du bruke den samme sumformelen som i det forrige problemet:
.
Erstatt verdiene:
Roten passer åpenbart ikke, så svaret er.
La oss beregne avstanden som ble reist for den siste dagen ved å bruke formelen for tredje term:
(km).
Svar:
Gitt :. Finn:.
Det kan ikke være enklere:
(gni).
Svar:

ARITMETISK FREMGANG. KORT OM HOVEDET

Dette er en numerisk sekvens der forskjellen mellom tilstøtende tall er den samme og lik.

Aritmetisk progresjon kan være stigende () og avtagende ().

For eksempel:

Formelen for å finne den n-th termen for en aritmetisk progresjon

skrevet av formelen, hvor er antallet tall i progresjonen.

Eiendom til medlemmer av en aritmetisk progresjon

Det lar deg enkelt finne et medlem av progresjonen hvis dets nabomedlemmer er kjent - hvor er antallet tall i progresjonen.

Summen av medlemmene i en aritmetisk progresjon

Det er to måter å finne beløpet på:

Hvor er antall verdier.

Bruksanvisning

En aritmetisk progresjon er en sekvens av formen a1, a1 + d, a1 + 2d ..., a1 + (n-1) d. D i trinn progresjon Det er åpenbart at summen av en vilkårlig n-th term av aritmetikken progresjon har formen: An = A1 + (n-1) d. Da kjenner jeg et av medlemmene progresjon, medlem progresjon og trinn progresjon, du kan, det vil si nummeret på medlemmet av fremdriften. Det vil åpenbart bli bestemt av formelen n = (An-A1 + d) / d.

La nå det andre ordet bli kjent progresjon og et annet medlem progresjon- n-th, men n, som i forrige tilfelle, men det er kjent at n og m ikke faller sammen. progresjon kan beregnes med formelen: d = (An-Am) / (n-m). Deretter n = (An-Am + md) / d.

Hvis summen av flere elementer i aritmetikken er kjent progresjon, så vel som det første og siste, så kan antallet av disse elementene også bestemmes. progresjon vil være lik: S = ((A1 + An) / 2) n. Deretter n = 2S / (A1 + An) - chdenov progresjon... Ved å bruke det faktum at An = A1 + (n-1) d, kan denne formelen skrives om til: n = 2S / (2A1 + (n-1) d). Fra dette kan man uttrykke n ved å løse en kvadratisk ligning.

En aritmetisk sekvens er et slikt ordnet sett med tall, hvor hvert medlem, bortsett fra det første, skiller seg fra det forrige med samme beløp. Denne konstante verdien kalles differansen i progresjonen eller dens trinn og kan beregnes ut fra de kjente medlemmene i den aritmetiske progresjonen.

Bruksanvisning

Hvis verdiene til det første og andre eller andre par nabobegrep er kjent fra problemets tilstander, for å beregne differansen (d), trekker du bare den forrige fra neste term. Den resulterende verdien kan være enten positiv eller negativ, avhengig av om progresjonen øker. I generell form, skriv ned løsningen for et vilkårlig par (aᵢ og aᵢ₊₁) av tilstøtende medlemmer av progresjonen som følger: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

For et par medlemmer av en slik progresjon, hvorav den ene er den første (a₁), og den andre er vilkårlig valgt, er det også mulig å lage en formel for å finne forskjellen (d). I dette tilfellet må imidlertid sekvensnummeret (i) til et vilkårlig valgt medlem av sekvensen være kjent. For å beregne forskjellen legger du til begge tallene og deler resultatet med ordinært nummer for et vilkårlig begrep, redusert med ett. Generelt skriver du denne formelen slik: d = (a₁ + aᵢ) / (i-1).

Hvis, i tillegg til et vilkårlig medlem av den aritmetiske progresjonen med ordinal i, er et annet medlem med ordinal u kjent, må du endre formelen fra forrige trinn tilsvarende. I dette tilfellet vil differansen (d) av progresjonen være summen av disse to begrepene dividert med forskjellen i deres ordinære tall: d = (aᵢ + aᵥ) / (i-v).

Formelen for å beregne differansen (d) vil bli noe mer komplisert hvis verdien av den første termen (a₁) og summen (Sᵢ) av et gitt tall (i) av de første medlemmene i den aritmetiske sekvensen er gitt i oppgaven betingelser. For å få ønsket verdi, dividerer du beløpet med antall medlemmer som utgjør det, trekker verdien av det første tallet i sekvensen og dobler resultatet. Del den resulterende verdien med antall medlemmer som utgjør summen, redusert med en. Generelt skriver du ned formelen for å beregne diskriminanten slik: d = 2 * (Sᵢ / i-a₁) / (i-1).

Når du studerer algebra på en generell utdanningsskole (klasse 9), er et av de viktige temaene studiet av numeriske sekvenser, som inkluderer progresjoner - geometriske og aritmetiske. I denne artikkelen vil vi vurdere den aritmetiske utviklingen og eksempler med løsninger.

Hva er en aritmetisk progresjon?

For å forstå dette er det nødvendig å gi en definisjon av den vurderte progresjonen, samt å gi de grunnleggende formlene som vil bli ytterligere brukt for å løse problemer.

Aritmetikk eller er et sett med ordnede rasjonelle tall, som hver term avviker fra den forrige med en konstant verdi. Denne verdien kalles differansen. Det vil si at du kan gjenkjenne hele den aritmetiske progresjonen når du kjenner et medlem av den bestilte tallserien og forskjellen.

La oss gi et eksempel. Følgende tallrekke vil være en aritmetisk progresjon: 4, 8, 12, 16, ..., siden forskjellen i dette tilfellet er 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Men settet med tall 3, 5, 8, 12, 17 kan ikke lenger tilskrives den vurderte typen progresjon, siden forskjellen for den ikke er en konstant verdi (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Viktige formler

La oss nå gi de grunnleggende formlene som vil være nødvendige for å løse problemer ved hjelp av en aritmetisk progresjon. La oss betegne med n det nende uttrykket i sekvensen, hvor n er et heltall. Forskjellen er angitt med den latinske bokstaven d. Da er følgende uttrykk gyldige:

For å bestemme verdien av det nende uttrykket, er formelen egnet: a n = (n-1) * d + a 1.
For å bestemme summen av de første n -begrepene: S n = (a n + a 1) * n / 2.

For å forstå noen eksempler på aritmetisk progresjon med en løsning i klasse 9, er det nok å huske disse to formlene, siden eventuelle problemer av den aktuelle typen er bygget på deres bruk. Du bør også huske at forskjellen i progresjon bestemmes av formelen: d = a n - a n -1.

Eksempel # 1: finne et ukjent medlem

La oss gi et enkelt eksempel på en aritmetisk progresjon og formler som må brukes for å løse.

La sekvensen 10, 8, 6, 4, ... gis, det er nødvendig å finne fem termer i den.

Det følger allerede av problemstillingen at de fire første begrepene er kjent. Den femte kan defineres på to måter:

La oss først beregne forskjellen. Vi har: d = 8 - 10 = -2. På samme måte kan man ta to andre medlemmer som står ved siden av hverandre. For eksempel, d = 4-6 = -2. Siden det er kjent at d = a n - a n -1, så d = a 5 - a 4, hvorfra vi får: a 5 = a 4 + d. Erstatt de kjente verdiene: a 5 = 4 + (-2) = 2.
Den andre metoden krever også å kjenne forskjellen på den vurderte progresjonen, så først må du bestemme den som vist ovenfor (d = -2). Når vi vet at det første uttrykket a 1 = 10, bruker vi formelen for n -tallet i sekvensen. Vi har: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Ved å erstatte n = 5 i det siste uttrykket, får vi: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Som du kan se, førte begge løsningsmetodene til det samme resultatet. Vær oppmerksom på at i dette eksemplet er differansen d av progresjonen negativ. Slike sekvenser kalles synkende, siden hvert neste led er mindre enn det forrige.

Eksempel 2: Progressjonsforskjell

La oss komplisere oppgaven litt, vi vil gi et eksempel på hvordan du finner forskjellen på en aritmetisk progresjon.

Det er kjent at i en eller annen algebraisk progresjon er den første termen lik 6, og den 7. termen er lik 18. Det er nødvendig å finne forskjellen og gjenopprette denne sekvensen til den 7. termen.

La oss bruke formelen for å bestemme det ukjente begrepet: a n = (n - 1) * d + a 1. Vi erstatter de kjente dataene fra tilstanden, det vil si tallene a 1 og 7, vi har: 18 = 6 + 6 * d. Fra dette uttrykket kan du enkelt beregne forskjellen: d = (18 - 6) / 6 = 2. Dermed har vi besvart den første delen av problemet.

For å gjenopprette en sekvens på opptil 7 termer, bør du bruke definisjonen av en algebraisk progresjon, det vil si a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, og så videre. Som et resultat gjenoppretter vi hele sekvensen: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2 = 8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Eksempel 3: Gjør en progresjon

La oss komplisere problemets tilstand enda mer. Nå er det nødvendig å svare på spørsmålet om hvordan du finner den aritmetiske progresjonen. Du kan gi følgende eksempel: gitt to tall, for eksempel - 4 og 5. Det er nødvendig å gjøre en algebraisk progresjon slik at ytterligere tre termer passer mellom disse.

Før du begynner å løse dette problemet, er det nødvendig å forstå hvilket sted de gitte tallene vil innta i fremtiden. Siden det vil være ytterligere tre termer mellom dem, så a 1 = -4 og 5 = 5. Etter å ha etablert dette, går vi videre til problemet, som ligner det forrige. Igjen, for det nende uttrykket, bruker vi formelen, får vi: a 5 = a 1 + 4 * d. Hvorfra: d = (a 5 - a 1) / 4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Her mottok vi ikke en heltalsverdi av differansen, men det er et rasjonelt tall, så formlene for den algebraiske progresjonen forblir de samme.

Legg nå den funnet differansen til en 1 og gjenopprett de manglende medlemmene av progresjonen. Vi får: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, som falt sammen med tilstanden til problemet.

Eksempel # 4: den første termen i progresjonen

La oss fortsette å gi eksempler på aritmetisk progresjon med en løsning. I alle de tidligere problemene var det første nummeret i den algebraiske progresjonen kjent. Vurder nå et problem av en annen type: la to tall gis, der a 15 = 50 og en 43 = 37. Det er nødvendig å finne tallet som denne sekvensen begynner fra.

Formlene som er brukt så langt forutsetter kunnskap om a 1 og d. Ingenting er kjent om disse tallene i problemstillingen. Likevel skriver vi ut uttrykk for hvert medlem som det er informasjon om: a 15 = a 1 + 14 * d og a 43 = a 1 + 42 * d. Mottok to ligninger, der 2 ukjente størrelser (a 1 og d). Dette betyr at problemet reduseres til å løse et system med lineære ligninger.

Den enkleste måten å løse dette systemet på er å uttrykke en 1 i hver ligning, og deretter sammenligne de resulterende uttrykkene. Den første ligningen: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; andre ligning: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Ved å sammenligne disse uttrykkene får vi: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, hvorfra forskjellen d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 (bare 3 desimaler er oppgitt).

Når du kjenner d, kan du bruke hvilken som helst av de to uttrykkene ovenfor for en 1. For eksempel den første: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * ( - 0.464) = 56.496.

Hvis du er i tvil om resultatet, kan du sjekke det, for eksempel bestemme 43 -termen for progresjonen, som er spesifisert i tilstanden. Vi får: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. En liten feil skyldes at beregningene brukte avrunding til tusendeler.

Eksempel # 5: beløp

La oss nå se på noen eksempler med løsninger for summen av en aritmetisk progresjon.

La en numerisk progresjon av følgende form gis: 1, 2, 3, 4, ...,. Hvordan beregner du summen av disse 100 tallene?

Takket være utviklingen av datateknologi er det mulig å løse dette problemet, det vil si å legge sammen alle tallene i rekkefølge, som datamaskinen vil gjøre så snart en person trykker på Enter -tasten. Imidlertid kan problemet løses i tankene, hvis vi legger merke til at den presenterte tallrekken er en algebraisk progresjon, og dens forskjell er 1. Ved å bruke formelen for summen får vi: S n = n * (a 1 + an) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Det er nysgjerrig å merke seg at dette problemet kalles "Gaussian", fordi på begynnelsen av 1700 -tallet var den berømte tyskeren, mens han bare var 10 år gammel, i stand til å løse det i hodet på få sekunder. Gutten kjente ikke formelen for summen av en algebraisk progresjon, men han la merke til at hvis du legger til tallene på kantene på sekvensen i par, får du alltid ett resultat, det vil si 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., og siden av disse beløpene vil være nøyaktig 50 (100/2), er det nok å multiplisere 50 med 101 for å få det riktige svaret.

Eksempel # 6: summen av medlemmer fra n til m

Et annet typisk eksempel på summen av en aritmetisk progresjon er følgende: gitt en rekke tall: 3, 7, 11, 15, ..., må du finne ut hva summen av medlemmene fra 8 til 14 vil være lik.

Problemet løses på to måter. Den første av dem innebærer å finne ukjente termer fra 8 til 14, og deretter deres sekvensielle summering. Siden det er få begreper, er denne metoden ikke arbeidskrevende nok. Likevel foreslås det å løse dette problemet med den andre metoden, som er mer universell.

Tanken er å få en formel for summen av den algebraiske progresjonen mellom begrepene m og n, der n> m er heltall. La oss skrive ut to uttrykk for summen for begge tilfeller:

S m = m * (a m + a 1) / 2.
S n = n * (a n + a 1) / 2.

Siden n> m er det åpenbart at 2 -summen inkluderer den første. Den siste konklusjonen betyr at hvis vi tar differansen mellom disse summene, og legger til begrepet a m (når vi tar differansen, blir den trukket fra summen S n), så får vi det nødvendige svaret på problemet. Vi har: S mn = S n - S m + am = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am = a 1 * (n - m) / 2 + an * n / 2 + am * (1- m / 2). I dette uttrykket er det nødvendig å erstatte formlene med a og m. Da får vi: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.

Den resulterende formelen er noe tungvint; Likevel avhenger summen av S mn bare av n, m, a 1 og d. I vårt tilfelle, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Erstatter vi disse tallene, får vi: S mn = 301.

Som det fremgår av løsningene som er gitt, er alle problemer basert på kunnskap om uttrykket for det niende uttrykket og formelen for summen av settet av de første begrepene. Før du fortsetter med løsningen av noen av disse problemene, anbefales det å lese tilstanden nøye, tydelig forstå hva som kreves for å bli funnet, og først deretter gå videre til løsningen.

Et annet tips er å strebe etter enkelhet, det vil si at hvis du kan svare på et spørsmål uten å bruke komplekse matematiske beregninger, må du gjøre nettopp det, siden sannsynligheten for å gjøre en feil i dette tilfellet er mindre. For eksempel, i eksemplet på en aritmetisk progresjon med løsning # 6, kan man stoppe ved formelen S mn = n * (a 1 + an) / 2 - m * (a 1 + am) / 2 + am, og bryte det generelle problemet i separate deloppgaver (i dette tilfellet må du først finne medlemmene en og am).

Hvis det er tvil om resultatet oppnådd, anbefales det å sjekke det, slik det ble gjort i noen av eksemplene som er gitt. Vi fant ut hvordan vi finner den aritmetiske progresjonen. Hvis du finner ut av det, er det ikke så vanskelig.