Vechii matematicieni știau deja despre un segment de unitate de lungime: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat sub forma unei fracții ireductibile, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Rezultă că chiar este par și . Să fie acolo unde este întregul. Apoi
Prin urmare, chiar înseamnă par și . Am constatat că și sunt pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost incorectă și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și pot fi alese să fie pozitive. Apoi
Dar par și ciudat. Primim o contradicție.
e
Poveste
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor pentagramei. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intra în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b ales ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- Deoarece A- chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- Deoarece A chiar, notăm A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b- chiar si atunci b chiar.
- S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Vezi si
Note
| Sisteme numerice | |
|---|---|
| Socoteală seturi |
numere întregi () |
numere întregi
Definiția numerelor naturale sunt numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra obiecte și în multe alte scopuri. Acestea sunt numerele:
Aceasta este o serie naturală de numere.
Este zero un număr natural? Nu, zero nu este un număr natural.
Câte numere naturale există? Există un număr infinit de numere naturale.
Care este cel mai mic număr natural? Unul este cel mai mic număr natural.
Care este cel mai mare număr natural? Este imposibil de precizat, deoarece există un număr infinit de numere naturale.
Suma numerelor naturale este un număr natural. Deci, adunând numerele naturale a și b:
Produsul numerelor naturale este un număr natural. Deci, produsul numerelor naturale a și b:
c este întotdeauna un număr natural.
Diferența numerelor naturale Nu există întotdeauna un număr natural. Dacă minuend este mai mare decât subtraend, atunci diferența numerelor naturale este un număr natural, altfel nu este.
Coeficientul numerelor naturale nu este întotdeauna un număr natural. Dacă pentru numerele naturale a și b
unde c este un număr natural, aceasta înseamnă că a este divizibil cu b. În acest exemplu, a este dividendul, b este divizorul, c este câtul.
Împărțitorul unui număr natural este un număr natural cu care primul număr este divizibil cu un întreg.
Fiecare număr natural este divizibil cu unul și cu el însuși.
Numerele naturale prime sunt divizibile numai cu unul și cu ele însele. Aici ne referim la împărțit în întregime. Exemplu, numerele 2; 3; 5; 7 este divizibil doar cu unul și cu el însuși. Acestea sunt numere naturale simple.
Unul nu este considerat număr prim.
Numerele care sunt mai mari decât unu și care nu sunt prime se numesc numere compuse. Exemple de numere compuse:
Unul nu este considerat un număr compus.
Mulțimea numerelor naturale este formată din unu, numere prime și numere compuse.
Mulțimea numerelor naturale este notă cu litera latină N.
Proprietăți de adunare și înmulțire a numerelor naturale:
proprietate comutativă a adunării
proprietate asociativă a adunării
(a + b) + c = a + (b + c);
proprietate comutativă a înmulțirii
proprietatea asociativă a înmulțirii
(ab) c = a (bc);
proprietatea distributivă a înmulțirii
A (b + c) = ab + ac;
Numere întregi
Numerele întregi sunt numerele naturale, zero și opusele numerelor naturale.
Opusul numerelor naturale sunt numerele întregi negative, de exemplu:
1; -2; -3; -4;...
Mulțimea numerelor întregi este notă cu litera latină Z.
Numere rationale
Numerele raționale sunt numere întregi și fracții.
Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție periodică. Exemple:
1,(0); 3,(6); 0,(0);...
Din exemple, este clar că orice număr întreg este o fracție periodică cu perioada zero.
Orice număr rațional poate fi reprezentat ca o fracție m/n, unde m este un număr întreg și n este un număr natural. Să ne imaginăm numărul 3,(6) din exemplul anterior ca o astfel de fracție.
Vechii matematicieni știau deja despre un segment de unitate de lungime: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat sub forma unei fracții ireductibile, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Rezultă că chiar este par și . Să fie acolo unde este întregul. Apoi
Prin urmare, chiar înseamnă par și . Am constatat că și sunt pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost incorectă și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și pot fi alese să fie pozitive. Apoi
Dar par și ciudat. Primim o contradicție.
e
Poveste
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor pentagramei. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intra în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b ales ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- Deoarece A- chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- Deoarece A chiar, notăm A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b- chiar si atunci b chiar.
- S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Vezi si
Note
| Sisteme numerice | |
|---|---|
| Socoteală seturi |
numere întregi () |
Înțelegerea numerelor, în special a numerelor naturale, este una dintre cele mai vechi „abilități” matematice. Multe civilizații, chiar și cele moderne, au atribuit numerelor anumite proprietăți mistice datorită importanței lor enorme în descrierea naturii. Deși știința și matematica modernă nu confirmă aceste proprietăți „magice”, importanța teoriei numerelor este incontestabilă.
Din punct de vedere istoric, au apărut mai întâi o varietate de numere naturale, apoi li s-au adăugat destul de repede fracții și numere iraționale pozitive. Numerele zero și negative au fost introduse după aceste submulțimi ale mulțimii numerelor reale. Ultimul set, mulțimea numerelor complexe, a apărut abia odată cu dezvoltarea științei moderne.
În matematica modernă, numerele nu sunt introduse în ordine istorică, deși destul de aproape de ea.
Numere naturale $\mathbb(N)$
Setul de numere naturale este adesea notat ca $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $ și este adesea completat cu zero pentru a denota $\mathbb(N)_0$.
$\mathbb(N)$ definește operațiile de adunare (+) și înmulțire ($\cdot$) cu următoarele proprietăți pentru orice $a,b,c\în \mathbb(N)$:
1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ multimea $\mathbb(N)$ este închisă sub operațiile de adunare și înmulțire
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ comutativitate
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ asociativitate
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitate
5. $a\cdot 1=a$ este un element neutru pentru înmulțire
Deoarece mulțimea $\mathbb(N)$ conține un element neutru pentru înmulțire, dar nu pentru adunare, adăugarea unui zero la această mulțime asigură că include un element neutru pentru adunare.
Pe lângă aceste două operații, relațiile „mai puțin decât” ($
1. $a b$ tricotomie
2. dacă $a\leq b$ și $b\leq a$, atunci $a=b$ antisimetrie
3. dacă $a\leq b$ și $b\leq c$, atunci $a\leq c$ este tranzitiv
4. dacă $a\leq b$ atunci $a+c\leq b+c$
5. dacă $a\leq b$ atunci $a\cdot c\leq b\cdot c$
Numerele întregi $\mathbb(Z)$
Exemple de numere întregi:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$
Rezolvarea ecuației $a+x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere naturale cunoscute, iar $x$ este un număr natural necunoscut, necesită introducerea unei noi operații - scăderea(-). Dacă există un număr natural $x$ care satisface această ecuație, atunci $x=b-a$. Cu toate acestea, această ecuație particulară nu are neapărat o soluție pentru mulțimea $\mathbb(N)$, așa că considerentele practice necesită extinderea setului de numere naturale pentru a include soluții la o astfel de ecuație. Aceasta duce la introducerea unui set de numere întregi: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.
Deoarece $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, este logic să presupunem că operațiile introduse anterior $+$ și $\cdot$ și relațiile $ 1. $0+a=a+0=a$ există un element neutru pentru adăugare
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ există un număr opus $-a$ pentru $a$
Proprietatea 5.:
5. dacă $0\leq a$ și $0\leq b$, atunci $0\leq a\cdot b$
Mulțimea $\mathbb(Z)$ este de asemenea închisă sub operația de scădere, adică $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.
Numere raționale $\mathbb(Q)$
Exemple de numere raționale:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$
Acum luați în considerare ecuații de forma $a\cdot x=b$, unde $a$ și $b$ sunt numere întregi cunoscute, iar $x$ este o necunoscută. Pentru ca soluția să fie posibilă, este necesar să se introducă operația de împărțire ($:$), iar soluția ia forma $x=b:a$, adică $x=\frac(b)(a)$ . Din nou apare problema că $x$ nu aparține întotdeauna lui $\mathbb(Z)$, așa că mulțimea numerelor întregi trebuie extinsă. Aceasta introduce mulțimea numerelor raționale $\mathbb(Q)$ cu elemente $\frac(p)(q)$, unde $p\in \mathbb(Z)$ și $q\in \mathbb(N)$. Mulțimea $\mathbb(Z)$ este o submulțime în care fiecare element $q=1$, deci $\mathbb(Z)\subset \mathbb(Q)$ și operațiile de adunare și înmulțire se extind la această mulțime conform următoarele reguli, care păstrează toate proprietățile de mai sus pe mulțimea $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$
Împărțirea se introduce după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$
Pe mulțimea $\mathbb(Q)$, ecuația $a\cdot x=b$ are o soluție unică pentru fiecare $a\neq 0$ (diviziunea la zero este nedefinită). Aceasta înseamnă că există un element invers $\frac(1)(a)$ sau $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\există \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$
Ordinea mulțimii $\mathbb(Q)$ poate fi extinsă după cum urmează:
$\frac(p_1)(q_1)
Mulțimea $\mathbb(Q)$ are o proprietate importantă: între oricare două numere raționale există infinite alte numere raționale, prin urmare, nu există două numere raționale adiacente, spre deosebire de mulțimile de numere naturale și întregi.
Numere iraționale $\mathbb(I)$
Exemple de numere iraționale:
$\sqrt(2) \aproximativ 1,41422135...$
$\pi\aproximativ 3,1415926535...$
Deoarece între oricare două numere raționale există infinit de alte numere raționale, este ușor să concluzionați în mod eronat că mulțimea numerelor raționale este atât de densă încât nu este nevoie să o extindeți mai mult. Până și Pitagora a făcut o asemenea greșeală la vremea lui. Cu toate acestea, contemporanii săi au infirmat deja această concluzie când au studiat soluțiile ecuației $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) pe mulțimea numerelor raționale. Pentru a rezolva o astfel de ecuație, este necesar să introduceți conceptul de rădăcină pătrată, iar apoi soluția acestei ecuații are forma $x=\sqrt(2)$. O ecuație precum $x^2=a$, unde $a$ este un număr rațional cunoscut și $x$ este unul necunoscut, nu are întotdeauna o soluție pentru mulțimea numerelor raționale și, din nou, apare necesitatea extinderii a stabilit. Apare un set de numere iraționale, iar numere precum $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... aparțin acestei mulțimi.
Numere reale $\mathbb(R)$
Unirea mulțimilor de numere raționale și iraționale este mulțimea numerelor reale. Deoarece $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, este din nou logic să presupunem că operațiile și relațiile aritmetice introduse își păstrează proprietățile pe noua mulțime. Dovada formală a acestui lucru este foarte dificilă, astfel încât proprietățile menționate mai sus ale operațiilor și relațiilor aritmetice pe mulțimea numerelor reale sunt introduse ca axiome. În algebră, un astfel de obiect se numește câmp, deci se spune că mulțimea numerelor reale este un câmp ordonat.
Pentru ca definiția mulțimii numerelor reale să fie completă, este necesar să se introducă o axiomă suplimentară care să distingă mulțimile $\mathbb(Q)$ și $\mathbb(R)$. Să presupunem că $S$ este o submulțime nevidă a mulțimii de numere reale. Un element $b\in \mathbb(R)$ se numește limita superioară a unei mulțimi $S$ dacă $\forall x\in S$ deține $x\leq b$. Apoi spunem că mulțimea $S$ este mărginită mai sus. Cea mai mică limită superioară a mulțimii $S$ se numește supremum și se notează $\sup S$. Conceptele de limită inferioară, set mărginit mai jos și infinit $\inf S$ sunt introduse în mod similar. Acum axioma lipsă este formulată după cum urmează:
Orice submulțime nevidă și mărginită superioară a mulțimii de numere reale are un supremum.
De asemenea, se poate dovedi că câmpul numerelor reale definite în modul de mai sus este unic.
Numere complexe$\mathbb(C)$
Exemple de numere complexe:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ unde $i = \sqrt(-1)$ sau $i^2 = -1$
Mulțimea numerelor complexe reprezintă toate perechile ordonate de numere reale, adică $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, pe care operațiile de adunarea și înmulțirea sunt definite după cum urmează:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$
Există mai multe forme de scriere a numerelor complexe, dintre care cea mai comună este $z=a+ib$, unde $(a,b)$ este o pereche de numere reale, iar numărul $i=(0,1)$ se numește unitatea imaginară.
Este ușor de arătat că $i^2=-1$. Extinderea multimii $\mathbb(R)$ la multimea $\mathbb(C)$ ne permite sa determinam radacina patrata a numerelor negative, care a fost motivul introducerii multimii numerelor complexe. De asemenea, este ușor să arătăm că o submulțime a mulțimii $\mathbb(C)$, dată de $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$, satisface toate axiomele pentru numerele reale, prin urmare $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, sau $R\subset\mathbb(C)$.
Structura algebrică a mulțimii $\mathbb(C)$ în raport cu operațiile de adunare și înmulțire are următoarele proprietăți:
1. comutativitatea adunării și înmulțirii
2. asociativitatea adunării și înmulțirii
3. $0+i0$ - element neutru pentru adunare
4. $1+i0$ - element neutru pentru înmulțire
5. Înmulțirea este distributivă în raport cu adunarea
6. Există un singur invers atât pentru adunare, cât și pentru înmulțire.
Număr irațional- Acest numar real, care nu este rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție, unde sunt numere întregi, . Un număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.
Setul de numere iraționale este de obicei notat cu o literă latină majusculă în stil aldine, fără umbrire. Astfel: , i.e. sunt multe numere iraționale diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.
Despre existența numerelor iraționale, mai exact segmentele incomensurabile cu un segment de lungime unitară erau deja cunoscute de matematicienii antici: ei cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce echivalează cu iraționalitatea numărului.
Proprietăți
- Orice număr real poate fi scris ca o fracție zecimală infinită, în timp ce numerele iraționale și numai ele sunt scrise ca fracții zecimale infinite neperiodice.
- Numerele iraționale definesc tăieri Dedekind în mulțimea numerelor raționale care nu au un număr mai mare în clasa inferioară și nu au un număr cel mai mic în clasa superioară.
- Fiecare număr transcendental real este irațional.
- Fiecare număr irațional este fie algebric, fie transcendental.
- Mulțimea numerelor iraționale este densă peste tot pe linia numerică: între oricare două numere există un număr irațional.
- Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
- Mulțimea numerelor iraționale este de nenumărat și este o mulțime de a doua categorie.
Exemple
| Numere irationale - ζ(3) - √2 - √3 - √5 - - - - - |
Iraționale sunt:
Exemple de dovezi de iraționalitate
Rădăcina lui 2
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat sub forma unei fracții ireductibile, unde este un număr întreg și este un număr natural. Să punem la pătrat presupusa egalitate:
.Rezultă că chiar este par și . Să fie acolo unde este întregul. Apoi
Prin urmare, chiar înseamnă par și . Am constatat că și sunt pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost incorectă și este un număr irațional.
Logaritmul binar al numărului 3
Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și pot fi alese să fie pozitive. Apoi
Dar par și ciudat. Primim o contradicție.
e
Poveste
Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. .
Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor pentagramei. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intra în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:
- Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b ales ca cel mai mic posibil.
- Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
- Deoarece A- chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
- Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
- Deoarece A chiar, notăm A = 2y.
- Apoi A² = 4 y² = 2 b².
- b² = 2 y², prin urmare b- chiar si atunci b chiar.
- S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.
Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.
Se încarcă...