Conceptul liniei mediane a trapezului
Pentru început, să ne amintim ce formă se numește trapez.
Definiția 1
Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.
În acest caz, laturile paralele se numesc bazele trapezului și nu paralele - laturile trapezului.
Definiția 2
Linia mediană a unui trapez este un segment de linie care leagă punctele medii ale laturilor trapezului.
Teorema liniei centrale pentru un trapez
Acum introducem teorema pe linia de mijloc a unui trapez și o demonstrăm prin metoda vectorială.
Teorema 1
Linia de mijloc a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătatea sumei acestora.
Dovada.
Să ni se dă un trapez $ ABCD $ cu baze $ AD \ și \ BC $. Și să fie $ MN $ linia de mijloc a acestui trapez (Fig. 1).
Figura 1. Linia de mijloc a trapezului
Să demonstrăm că $ MN || AD \ și \ MN = \ frac (AD + BC) (2) $.
Se consideră vectorul $ \ overrightarrow (MN) $. Apoi, folosim regula poligonului pentru a adăuga vectori. Pe de o parte, înțelegem asta
Pe cealaltă parte
Adunăm ultimele două egalități, obținem
Deoarece $ M $ și $ N $ sunt punctele medii ale laturilor laterale ale trapezului, vom avea
Primim:
Prin urmare
Din aceeași egalitate (deoarece $ \ overrightarrow (BC) $ și $ \ overrightarrow (AD) $ sunt codirecționale și, prin urmare, coliniare) obținem că $ MN || AD $.
Teorema este demonstrată.
Exemple de sarcini pe conceptul liniei de mijloc a unui trapez
Exemplul 1
Laturile trapezului sunt $ 15 \ cm $ și, respectiv, $ 17 \ cm $. Perimetrul trapezului este $ 52 \ cm $. Aflați lungimea liniei mediane a trapezului.
Soluţie.
Să notăm linia de mijloc a trapezului cu $ n $.
Suma laturilor este
Prin urmare, deoarece perimetrul este $ 52 \ cm $, suma bazelor este
Prin urmare, prin teorema 1, obținem
Răspuns: 10 $ \ cm $.
Exemplul 2
Capetele diametrului cercului sunt îndepărtate din tangenta acestuia cu $ 9 $ cm și, respectiv, $ 5 $ cm. Aflați diametrul acestui cerc.
Soluţie.
Să ni se dă un cerc cu centrul $ O $ și diametrul $ AB $. Se trasează linia tangentă $ l $ și se construiesc distanțele $ AD = 9 \ cm $ și $ BC = 5 \ cm $. Să desenăm raza $ OH $ (Fig. 2).
Figura 2.
Deoarece $ AD $ și $ BC $ sunt distanțele până la tangentă, atunci $ AD \ bot l $ și $ BC \ bot l $ și deoarece $ OH $ este raza, atunci $ OH \ bot l $, prin urmare, $ OH | \ stânga | AD \ dreapta || BC $. Din toate acestea rezultă că $ ABCD $ este un trapez, iar $ OH $ este linia lui de mijloc. Prin teorema 1, obținem
Se numește patrulater cu doar două laturi paralele trapez.
Laturile paralele ale trapezului se numesc temeiuri, iar acele laturi care nu sunt paralele se numesc laturile laterale... Dacă laturile sunt egale, atunci un astfel de trapez este isoscel. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.
Linia de mijloc a trapezului
Linia mediană este segmentul de linie care leagă punctele medii ale laturilor trapezului. Linia de mijloc a trapezului este paralelă cu bazele sale.
Teorema:
Dacă o linie dreaptă care traversează mijlocul unei laturi este paralelă cu bazele trapezului, atunci ea traversează a doua latură a trapezului.
Teorema:
Lungimea liniei mediane este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale
MN || AB || DCAM = MD; BN = NC
MN linie de mijloc, AB și CD - baze, AD și BC - laturi
MN = (AB + DC) / 2
Teorema:
Lungimea liniei mediane a trapezului este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale.
Sarcina principală: Demonstrați că linia de mijloc a unui trapez traversează un segment ale cărui capete se află în mijlocul bazei trapezului.
Linia centrală a triunghiului
Segmentul care leagă punctele medii ale celor două laturi ale triunghiului se numește linia mediană a triunghiului. Este paralel cu a treia latură și are jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.
Teorema: Dacă o dreaptă care intersectează mijlocul unei laturi a unui triunghi este paralelă cu cealaltă latură a acestui triunghi, atunci ea împarte a treia latură în jumătate.
AM = MC și BN = NC =>
Aplicarea proprietăților de linie mediană a triunghiului și a trapezului
Împărțirea unui segment într-un anumit număr de părți egale.
Sarcină: Împărțiți segmentul AB în 5 părți egale.
Soluţie:
Fie p o rază aleatoare cu originea în punctul A și care nu se află pe dreapta AB. Așezăm succesiv 5 segmente egale pe p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectăm A 5 la B și trasăm astfel de linii prin A 4, A 3, A 2 și A 1, care sunt paralele cu A 5 B. Ele intersectează AB, respectiv, în punctele B 4, B 3, B 2 și B 1 . Aceste puncte împart segmentul de dreaptă AB în 5 părți egale. Într-adevăr, din trapezul BB 3 A 3 A 5 vedem că BB 4 = B 4 B 3. În același mod, din trapezul B 4 B 2 A 2 A 4 obținem B 4 B 3 = B 3 B 2
În timp ce dintr-un trapez B 3 B 1 A 1 A 3, B 3 B 2 = B 2 B 1.
Apoi din B 2 AA 2 rezultă că B 2 B 1 = B 1 A. În concluzie, obținem:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Este clar că pentru a împărți segmentul AB într-un alt număr de părți egale, trebuie să proiectăm același număr de segmente egale pe raza p. Și apoi continuați în modul descris mai sus.
În acest articol, am făcut o altă selecție de probleme de trapez pentru tine. Condițiile sunt oarecum legate de linia sa de mijloc. Tipurile de sarcini sunt preluate din banca deschisă de sarcini tipice. Dacă doriți, vă puteți reîmprospăta cunoștințele teoretice. Blogul a acoperit deja sarcinile ale căror condiții sunt legate de asemenea. Pe scurt despre linia de mijloc:
Linia de mijloc a trapezului conectează punctele medii ale laturilor laterale. Este paralel cu bazele și egal cu jumătatea sumei lor.
Înainte de a rezolva problemele, să ne uităm la un exemplu teoretic.
Dat un trapez ABCD. Diagonala AC care se intersectează cu linia din mijloc formează un punct K, diagonala BD formează un punct L. Demonstrați că segmentul KL este egal cu jumătate din diferența dintre baze.
Să remarcăm mai întâi faptul că linia de mijloc a unui trapez bisectează orice segment ale cărui capete se află pe bazele sale. Această concluzie se sugerează de la sine. Imaginați-vă un segment care conectează două puncte de bază, acesta va împărți acest trapez în alte două. Se dovedește că un segment paralel cu bazele trapezului și care trece prin mijlocul laturii de cealaltă parte va trece prin mijlocul său.
De asemenea, se bazează pe teorema lui Thales:
Dacă pe una dintre cele două linii drepte punem deoparte câteva segmente egale succesive și prin capetele lor tragem linii drepte paralele care intersectează a doua linie dreaptă, atunci acestea vor tăia segmente egale de pe a doua linie dreaptă.
Adică, în acest caz, K este mijlocul AC și L este mijlocul BD. Prin urmare EK este linia mediană a triunghiului ABC, LF este linia mediană a triunghiului DCB. După proprietatea liniei de mijloc a triunghiului:
Acum putem exprima segmentul KL prin bazele:
Dovedit!
Acest exemplu este dat cu un motiv. În problemele de rezolvare independentă, există doar o astfel de problemă. Numai că nu spune că segmentul care leagă punctele medii ale diagonalelor se află pe linia mediană. Luați în considerare sarcinile:
27819. Aflați linia mediană a unui trapez dacă bazele lui sunt 30 și 16.
Calculăm după formula:
27820. Linia mediană a trapezului este 28, iar baza mai mică este 18. Aflați baza mai mare a trapezului.
Să exprimăm o bază mai mare:
Prin urmare:
27836. Perpendiculara, coborâtă de la vârful unghiului obtuz până la baza mai mare a trapezului isoscel, o împarte în părți cu lungimile 10 și 4. Aflați linia mediană a acestui trapez.
Pentru a găsi linia centrală, trebuie să cunoașteți baza. Baza AB este ușor de găsit: 10 + 4 = 14. Găsiți DC.
Să construim a doua perpendiculară DF:
AF, FE și EB vor fi 4, 6 și, respectiv, 4. De ce?
Într-un trapez isoscel, perpendicularele coborâte la baza mai mare îl împart în trei segmente. Două dintre ele, care sunt picioarele triunghiurilor dreptunghiulare tăiate, sunt egale între ele. Al treilea segment este egal cu baza mai mică, deoarece la construirea înălțimilor indicate, se formează un dreptunghi, iar în dreptunghi laturile opuse sunt egale. În această sarcină:
Astfel DC = 6. Calculam:
27839. Bazele trapezului sunt 2: 3, iar linia de mijloc este 5. Aflați baza mai mică.
Să introducem coeficientul de proporționalitate x. Atunci AB = 3x, DC = 2x. Putem scrie:
Prin urmare, baza mai mică este 2 ∙ 2 = 4.
27840. Perimetrul unui trapez isoscel este 80, linia mediană este egală cu latura laterală. Găsiți latura trapezului.
Pe baza condiției, putem scrie:
Dacă desemnați linia de mijloc prin valoarea lui x, obțineți:
A doua ecuație poate fi deja scrisă sub forma:
27841. Linia de mijloc a trapezului este 7, iar una dintre bazele sale este mai mare decât cealaltă cu 4. Aflați baza mai mare a trapezului.
Să notăm baza mai mică (DC) ca x, apoi cea mai mare (AB) va fi egală cu x + 4. Putem scrie
Am înțeles că baza inferioară este începutul cinci, deci cea mai mare este 9.
27842. Linia de mijloc a trapezului este 12. Una dintre diagonale îl împarte în două segmente, a căror diferență este 2. Aflați baza mai mare a trapezului.
Putem găsi cu ușurință baza mai mare a trapezului dacă calculăm segmentul EO. Este linia de mijloc în triunghiul ADB, iar AB = 2 ∙ EO.
Ce avem? Se spune că linia de mijloc este 12, iar diferența dintre segmentele EO și OF este 2. Putem scrie două ecuații și rezolva sistemul:
Este clar că în acest caz este posibil să ridicați o pereche de numere fără calcule, acestea sunt 5 și 7. Dar, cu toate acestea, vom rezolva sistemul:
Prin urmare, EO = 12–5 = 7. Astfel, baza mai mare este egală cu AB = 2 ∙ EO = 14.
27844. Într-un trapez isoscel, diagonalele sunt perpendiculare. Înălțimea trapezului este de 12. Găsiți linia mediană a acestuia.
Imediat, observăm că înălțimea trasată prin punctul de intersecție al diagonalelor într-un trapez isoscel se află pe axa de simetrie și împarte trapezul în două trapeze dreptunghiulare egale, adică bazele acestei înălțimi sunt împărțite la jumătate.
S-ar părea că pentru a calcula linia mediană trebuie să găsim bazele. Aici apare un mic impas... Cum, cunoscând înălțimea, în acest caz, să calculăm bazele? Și nu cum! Există multe astfel de trapeze cu o înălțime fixă și diagonale care se intersectează la un unghi de 90 de grade. Cum să fii?
Uită-te la formula pentru linia mediană a unui trapez. La urma urmei, nu este necesar ca noi să cunoaștem singuri temeiurile, este suficient să cunoaștem suma (sau jumătatea sumei). Noi putem sa facem asta.
Deoarece diagonalele se intersectează în unghi drept, se formează triunghiuri isoscele dreptunghiulare cu înălțimea EF:
Din cele de mai sus, rezultă că FO = DF = FC și OE = AE = EB. Acum să scriem care este înălțimea exprimată în termeni de segmente DF și AE:
Deci linia de mijloc este 12.
* În general, aceasta este o sarcină, după cum înțelegeți, pentru numărarea verbală. Dar sunt sigur că explicația detaliată oferită este necesară. Și așa... Dacă te uiți la figură (cu condiția ca unghiul dintre diagonale să fie respectat în timpul construcției), egalitatea FO = DF = FC și OE = AE = EB, îți atrage imediat atenția.
Ca parte a prototipurilor, există și tipuri de sarcini cu trapezi. Este construit pe o foaie într-o cușcă și trebuie să găsiți linia de mijloc, partea laterală a cuștii este de obicei 1, dar poate exista o valoare diferită.
27848. Aflați linia de mijloc a trapezului ABCD dacă laturile celulelor pătrate sunt 1.
Este simplu, calculăm bazele pe celule și folosim formula: (2 + 4) / 2 = 3
Dacă bazele sunt construite la un unghi față de grila celulei, atunci există două moduri. De exemplu!
Obiectivele lecției:
1) familiarizați elevii cu conceptul de linie de mijloc a unui trapez, luați în considerare proprietățile acestuia și demonstrați-le;
2) învață cum să construiești linia de mijloc a unui trapez;
3) dezvoltarea capacității elevilor de a utiliza definiția liniei mediane a trapezului și proprietățile liniei mediane a trapezului la rezolvarea problemelor;
4) formarea în continuare a capacității elevilor de a vorbi corect, folosind termenii matematici necesari; demonstrați-vă punctul de vedere;
5) dezvolta gândirea logică, memoria, atenția.
În timpul orelor
1. Verificarea temelor are loc în timpul lecției. Tema a fost orală, nu uitați:
a) definirea unui trapez; tipuri de trapeze;
b) determinarea liniei mediane a triunghiului;
c) proprietatea liniei mediane a triunghiului;
d) un semn al liniei de mijloc a unui triunghi.
2. Învățarea de noi materiale.
a) Trapezul ABCD este arătat pe tablă.
b) Profesorul sugerează să ne amintim definiția unui trapez. Fiecare bancă de școală are o diagramă indicii care vă ajută să vă amintiți conceptele de bază din subiectul „Trapez” (vezi Anexa 1). Anexa 1 este emisă pentru fiecare bancă de școală.
Elevii desenează trapez ABCD într-un caiet.
c) Profesorul sugerează să ne amintim în ce subiect a fost întâlnit conceptul de linie de mijloc („Linia de mijloc a unui triunghi”). Elevii își amintesc definiția liniei mediane a unui triunghi și proprietatea acestuia.
e) Notează definiția liniei mediane a trapezului, înfățișând-o într-un caiet.
Linia de mijloc un trapez se numește un segment care leagă punctele medii ale laturilor sale laterale.
Proprietatea liniei mediane a unui trapez în această etapă rămâne nedovedită, deci următoarea etapă a lecției implică lucrul la demonstrarea proprietății liniei mediane a unui trapez.
Teorema. Linia de mijloc a trapezului este paralelă cu bazele sale și este egală cu jumătatea sumei lor.
Dat: ABCD - trapez,
MN - linia de mijloc ABCD
Dovedi, ce:
1. î.Hr || MN || ANUNȚ.
2. MN = (AD + BC).
Putem scrie câteva dintre consecințele care decurg din condițiile teoremei:
AM = MB, CN = ND, BC || ANUNȚ.
Este imposibil să se dovedească ceea ce se cere doar pe baza proprietăților enumerate. Un sistem de întrebări și exerciții ar trebui să conducă elevii la dorința de a conecta linia mediană a unui trapez cu linia mediană a unui triunghi, ale căror proprietăți le cunosc deja. Dacă nu există sugestii, atunci puteți pune întrebarea: cum să construiți un triunghi pentru care segmentul MN ar fi linia de mijloc?
Să notăm o construcție suplimentară pentru unul dintre cazuri.
Desenați linia BN care intersectează prelungirea laturii AD în punctul K.
Apar elemente suplimentare - triunghiuri: ABD, BNM, DNK, BCN. Dacă demonstrăm că BN = NK, atunci aceasta va însemna că MN este linia mediană a ABD și atunci va fi posibil să folosim proprietatea liniei mediane a unui triunghi și să demonstrăm ceea ce este necesar.
Dovada:
1. Luați în considerare BNC și DNK, în ele:
a) CNB = DNK (proprietatea unghiului vertical);
b) BCN = NDK (proprietatea colțurilor încrucișate);
c) CN = ND (după corolarul condițiilor teoremei).
Prin urmare, BNC = DNK (de-a lungul lateralului și a două colțuri adiacente).
Q.E.D.
Dovada poate fi efectuată oral în lecție, iar acasă poate fi restaurată și notă într-un caiet (la latitudinea profesorului).
Este necesar să spunem despre alte modalități posibile de demonstrare a acestei teoreme:
1. Desenați una dintre diagonalele trapezului și folosiți semnul și proprietatea liniei de mijloc a triunghiului.
2. Efectuați CF || BA și luați în considerare paralelogramul ABCF și DCF.
3. Efectuați EF || BA și luați în considerare egalitatea dintre FND și ENC.
g) În această etapă se dau teme: p. 84, manual, ed. Atanasyan L.S. (dovada proprietății liniei mediane a unui trapez în mod vectorial), scrieți într-un caiet.
h) Rezolvăm problemele utilizării definiției și proprietăților liniei de mijloc a unui trapez conform desenelor finite (vezi Anexa 2). Fiecărui elev i se eliberează Anexa 2, iar pe aceeași fișă se întocmește rezolvarea problemelor într-o formă scurtă.
Zona trapezului. Salutari! În această postare, vom arunca o privire asupra formulei specificate. De ce este ea exact la fel și cum să o înțeleg. Dacă există înțelegere, atunci nu trebuie să o înveți. Dacă doriți doar să vedeți această formulă și ceea ce este urgent, atunci puteți derula imediat în jos pe pagină))
Acum în detaliu și în ordine.
Un trapez este un patrulater, două laturi ale acestui patrulater sunt paralele, celelalte două nu. Cele care nu sunt paralele sunt bazele trapezului. Celelalte două se numesc laturi.
Dacă laturile sunt egale, atunci trapezul se numește isoscel. Dacă una dintre laturile laterale este perpendiculară pe baze, atunci un astfel de trapez se numește dreptunghiular.
În forma clasică, trapezul este reprezentat după cum urmează - baza mai mare este în partea de jos, respectiv cea mai mică este în partea de sus. Dar nimeni nu interzice portretizarea ei și invers. Iată schițele:
Următorul concept important.
Linia mediană a trapezului este segmentul de linie care leagă punctele medii ale laturilor. Linia de mijloc este paralelă cu bazele trapezului și este egală cu jumătatea sumei acestora.
Acum să aprofundăm. De ce este așa?
Luați în considerare un trapez cu baze a și b iar cu linia de mijloc l, și vom realiza câteva construcții suplimentare: trageți linii drepte prin baze și perpendiculare prin capetele liniei mediane până se intersectează cu bazele:
* Desemnările cu litere ale vârfurilor și ale altor puncte nu sunt introduse în mod deliberat pentru a evita desemnările inutile.
Uite, triunghiurile 1 și 2 sunt egale în al doilea semn de egalitate al triunghiurilor, triunghiurile 3 și 4 sunt la fel. Egalitatea triunghiurilor presupune egalitatea elementelor, respectiv catetele (sunt indicate cu albastru, respectiv rosu).
Acum atentie! Dacă „decupăm” mental segmentul albastru și roșu de la baza inferioară, atunci vom avea un segment (aceasta este latura dreptunghiului) egal cu linia mediană. În plus, dacă „lipim” linia albastră și roșie tăiată de baza superioară a trapezului, atunci vom obține și un segment (aceasta este și latura dreptunghiului) egal cu linia de mijloc a trapezului.
Am înțeles? Se pare că suma bazelor va fi egală cu cele două linii de mijloc ale trapezului:
Vezi o altă explicație
Să facem următoarele - construiți o linie dreaptă care trece prin baza inferioară a trapezului și o linie dreaptă care va trece prin punctele A și B:
Obținem triunghiuri 1 și 2, ele sunt egale pe latura și unghiurile adiacente acesteia (al doilea semn de egalitate al triunghiurilor). Aceasta înseamnă că segmentul rezultat (în schiță este indicat cu albastru) este egal cu baza superioară a trapezului.
Acum luați în considerare triunghiul:
* Linia mediană a acestui trapez și linia mediană a triunghiului coincid.
Se știe că un triunghi este egal cu jumătate din baza lui paralelă, adică:
Bine, am rezolvat. Acum despre zona trapezului.
Formula ariei trapezului:
Ei spun: aria unui trapez este egală cu produsul dintre jumătatea sumei bazelor sale și înălțimea.
Adică, se dovedește că este egal cu produsul dintre linia mediană și înălțimea:
Probabil ați observat până acum că acest lucru este evident. Geometric, acest lucru poate fi exprimat astfel: dacă tăiem mental triunghiurile 2 și 4 din trapez și le punem, respectiv, pe triunghiurile 1 și 3:
Apoi obținem un dreptunghi în zonă egală cu aria trapezului nostru. Aria acestui dreptunghi va fi egală cu produsul dintre linia mediană și înălțimea, adică putem scrie:
Dar punctul aici nu este în înregistrare, desigur, ci în înțelegere.
Descărcați (vezi) materialul articolului în format * pdf
Asta e tot. Succes pentru tine!
Cu stimă, Alexandru.
Se încarcă ...