Doar nu într-un traducător online.
Poarta de Aur este un simbol al Kievului, unul dintre cele mai vechi exemple de arhitectură care a supraviețuit până în zilele noastre. Poarta de Aur a Kievului a fost construită sub renumitul prinț Kiev Iaroslav cel Înțelept în 1164. Inițial au fost numite de Sud și făceau parte din sistemul de fortificații defensive al orașului, practic cu nimic diferit de celelalte porți de gardă ale orașului. A fost Poarta de Sud pe care primul mitropolit rus Ilarion a numit-o „Mare” în „Predica sa despre lege și har”. După ce a fost construită maiestuoasa Biserică Hagia Sofia, Poarta „Marea” a devenit intrarea principală terestră în Kiev dinspre sud-vest. Dându-și seama de semnificația lor, Iaroslav cel Înțelept a ordonat construirea unei mici Biserici a Bunei Vestiri peste porți pentru a aduce un omagiu religiei creștine dominante în oraș și în Rus'. Din acel moment, toate sursele cronice rusești au început să numească Poarta de Sud a Kievului Poarta de Aur. Lățimea porții era de 7,5 m, înălțimea trecerii era de 12 m, iar lungimea de aproximativ 25 m.
le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps și aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Quand tu fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Quand tu te bats avec ton frere tu fais du sport. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.
Un eveniment este rezultatul unui test. Ce este un eveniment? O minge este luată la întâmplare din urnă. Recuperarea unei mingi dintr-o urnă este un test. Apariția unei mingi de o anumită culoare este un eveniment. În teoria probabilității, un eveniment este înțeles ca ceva despre care, după un anumit moment în timp, se poate spune unul și numai unul din două lucruri. Da, sa întâmplat. Nu, nu sa întâmplat. Un posibil rezultat al unui experiment se numește eveniment elementar, iar un set de astfel de rezultate se numește simplu eveniment.
Evenimentele imprevizibile se numesc aleatoare. Un eveniment se numește aleatoriu dacă, în aceleași condiții, poate să apară sau nu. Când aruncați zarurile, rezultatul va fi șase. Am un bilet de loterie. După ce sunt publicate rezultatele loteriei, evenimentul care mă interesează - câștigul a o mie de ruble - fie are loc, fie nu are loc. Exemplu.
Două evenimente care, în condiții date, pot avea loc simultan se numesc articulare, iar cele care nu pot avea loc simultan sunt numite incompatibile. Se aruncă o monedă. Aspectul „stemei” exclude aspectul inscripției. Evenimentele „a apărut o stemă” și „a apărut o inscripție” sunt incompatibile. Exemplu.
Un eveniment care are loc întotdeauna se numește de încredere. Un eveniment care nu se poate întâmpla se numește imposibil. De exemplu, să presupunem că o minge este extrasă dintr-o urnă care conține doar bile negre. Atunci apariția mingii negre este un eveniment de încredere; apariția unei mingi albe este un eveniment imposibil. Exemple. Nu va mai fi ninsoare anul viitor. Când aruncați zarurile, rezultatul va fi șapte. Acestea sunt evenimente imposibile. Va fi ninsoare anul viitor. Când aruncați zarurile, veți obține un număr mai mic de șapte. Răsărit zilnic. Acestea sunt evenimente de încredere.
Rezolvarea problemelor Pentru fiecare dintre evenimentele descrise, determinați ce este: imposibil, de încredere sau aleatoriu. 1. Din cei 25 de elevi din clasă, doi își serbează ziua de naștere la a) 30 ianuarie; b) 30 februarie. 2. Manualul de literatură se deschide aleatoriu și al doilea cuvânt se găsește pe pagina din stânga. Acest cuvânt începe: a) cu litera „K”; b) începând cu litera „Ъ”.
3. Astăzi în Soci barometrul arată presiunea atmosferică normală. În acest caz: a) apa din tigaie fiartă la temperatura de 80°C; b) când temperatura a scăzut la -5º C, apa din baltă a înghețat. 4. Se aruncă două zaruri: a) primul zar arată 3 puncte, iar al doilea - 5 puncte; b) suma punctelor aruncate pe cele două zaruri este 1; c) suma punctelor aruncate pe cele două zaruri este 13; d) ambele zaruri au primit 3 puncte; e) suma punctelor de pe două zaruri este mai mică de 15. Rezolvarea problemelor
5. Ai deschis cartea la orice pagină și ai citit primul substantiv pe care l-ai întâlnit. S-a dovedit că: a) ortografia cuvântului selectat conține o vocală; b) ortografia cuvântului selectat conține litera „O”; c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat; d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat. Rezolvarea problemelor
clasa a 5-a. Introducere în probabilitate (4 ore)
(dezvoltarea a 4 lecții pe această temă)
Obiectivele de învățare : - introduceți definiția unui eveniment aleatoriu, de încredere și imposibil;
Oferiți primele idei despre rezolvarea problemelor combinatorii: utilizarea unui arbore de opțiuni și utilizarea regulii înmulțirii.
Scop educativ: dezvoltarea viziunii despre lume a elevilor.
Scop de dezvoltare : dezvoltarea imaginației spațiale, îmbunătățirea abilității de a lucra cu o riglă.
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii (2 ore)
Probleme combinatorii (2 ore)
Evenimente de încredere, imposibile și aleatorii.
Prima lectie
Echipament pentru lecție: zaruri, monede, table.
Viața noastră constă în mare parte din accidente. Există o știință precum „Teoria probabilității”. Folosind limbajul său, puteți descrie multe fenomene și situații.
Chiar și liderul primitiv a înțeles că o duzină de vânători aveau o „probabilitate” mai mare de a lovi un zimbră cu o suliță decât unul. De aceea vânau colectiv atunci.
Comandanți antici precum Alexandru cel Mare sau Dmitri Donskoy, pregătindu-se pentru luptă, s-au bazat nu numai pe vitejia și arta războinicilor, ci și pe întâmplare.
Mulți oameni iubesc matematica pentru adevărurile eterne: de două ori doi este întotdeauna patru, suma numerelor pare este pară, aria unui dreptunghi este egală cu produsul laturilor sale adiacente etc. În orice problemă pe care o rezolvați, toată lumea primește același răspuns - trebuie doar să nu faci greșeli în decizie.
Viața reală nu este atât de simplă și directă. Rezultatul multor evenimente nu poate fi prezis din timp. Este imposibil, de exemplu, să spunem cu siguranță pe ce față va cădea o monedă aruncată în sus, când va cădea prima ninsoare anul viitor sau câți oameni din oraș vor dori să dea un telefon în următoarea oră. Se numesc astfel de evenimente imprevizibile Aleatoriu .
Totuși, întâmplarea are și propriile sale legi, care încep să se manifeste atunci când fenomenele întâmplătoare se repetă de multe ori. Dacă aruncați o monedă de 1000 de ori, aceasta va apărea capete aproximativ jumătate din timp, ceea ce nu este cazul cu două sau chiar zece aruncări. „Aproximativ” nu înseamnă jumătate. În general, acest lucru poate fi sau nu cazul. Legea nu prevede nimic sigur, dar oferă un anumit grad de încredere că un eveniment întâmplător va avea loc. Astfel de modele sunt studiate de o ramură specială a matematicii - Teoria probabilității . Cu ajutorul lui, poți prezice cu un grad mai mare de încredere (dar încă nu cu siguranță) atât data primei ninsori, cât și numărul de apeluri telefonice.
Teoria probabilității este indisolubil legată de viața noastră de zi cu zi. Acest lucru ne oferă o oportunitate minunată de a stabili multe legi probabilistice experimental, repetând experimente aleatorii de multe ori. Materialele pentru aceste experimente vor fi cel mai adesea o monedă obișnuită, un zar, un set de piese de domino, table, ruleta sau chiar un pachet de cărți. Fiecare dintre aceste elemente este legat de jocuri într-un fel sau altul. Cert este că cazul apare aici în forma sa cea mai frecventă. Iar primele sarcini probabilistice au fost legate de evaluarea șanselor de câștig ale jucătorilor.
Teoria modernă a probabilității s-a îndepărtat de jocurile de noroc, dar recuzita ei rămân încă cea mai simplă și de încredere sursă de șansă. După ce te-ai exersat cu o ruletă și un zar, vei învăța să calculezi probabilitatea unor evenimente aleatorii în situații din viața reală, ceea ce îți va permite să-ți evaluezi șansele de reușită, să testezi ipoteze și să iei decizii optime nu numai în jocuri și loterie.
Când rezolvați probleme probabilistice, fiți foarte atenți, încercați să justificați fiecare pas pe care îl faceți, pentru că nicio altă zonă a matematicii nu conține atât de multe paradoxuri. Ca și teoria probabilității. Și poate că principala explicație pentru aceasta este legătura sa cu lumea reală în care trăim.
Multe jocuri folosesc un zar cu un număr diferit de puncte marcate de la 1 la 6. Jucătorul aruncă zarul, se uită la câte puncte apar (pe partea care este situată deasupra) și face numărul corespunzător de mișcări. : 1,2,3 ,4,5, sau 6. Aruncarea unui zar poate fi considerată o experiență, un experiment, un test, iar rezultatul obținut poate fi considerat un eveniment. Oamenii sunt de obicei foarte interesați să ghicească apariția acestui sau aceluia eveniment și să prezică rezultatul acestuia. Ce predicții pot face atunci când aruncă zarurile? Prima previziune: va apărea unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6. Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu? Desigur, va veni cu siguranță. Se numește un eveniment care se va întâmpla cu siguranță într-o anumită experiență un eveniment de încredere.
A doua predicție : va apărea numărul 7. Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu? Bineînțeles că nu se va întâmpla, este pur și simplu imposibil. Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență eveniment imposibil.
A treia predicție : va apărea numărul 1. Crezi că evenimentul prezis s-a întâmplat sau nu? Nu putem răspunde la această întrebare cu deplină certitudine, deoarece evenimentul prezis poate să apară sau nu. Se numește un eveniment care poate sau nu să apară într-o anumită experiență un eveniment aleatoriu.
Exercițiu : Descrieți evenimentele discutate în sarcinile de mai jos. Ca sigur, imposibil sau întâmplător.
Să aruncăm o monedă. A apărut o stemă. (Aleatoriu)
Vânătorul a tras în lup și l-a lovit. (Aleatoriu)
Şcolarul iese la plimbare în fiecare seară. În timp ce mergea luni, s-a întâlnit cu trei cunoscuți. (Aleatoriu)
Să realizăm mental următorul experiment: întoarce un pahar cu apă cu susul în jos. Dacă acest experiment se desfășoară nu în spațiu, ci acasă sau într-o sală de clasă, atunci apa se va vărsa. (de încredere)
Trei focuri de foc au fost trase în țintă.” Au fost cinci lovituri" (imposibil)
Aruncă piatra în sus. Piatra rămâne atârnată în aer. (imposibil)
Rearanjam literele cuvântului „antagonism” la întâmplare. Rezultatul este cuvântul „anacroism”. (imposibil)
№959. Petya s-a gândit la un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) se intenționează un număr par; (aleatoriu) b) se intenționează un număr impar; (Aleatoriu)
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar; (imposibil)
d) este conceput un număr par sau impar. (de încredere)
№ 961. Petya și Tolya își compară zilele de naștere. Evenimentul este după cum urmează:
a) zilele lor de naștere nu coincid; (aleatorie) b) zilele lor de naștere sunt aceleași; (Aleatoriu)
d) ambele zile de naștere cad de sărbători - Anul Nou (1 ianuarie) și Ziua Independenței Ruse (12 iunie). (Aleatoriu)
№ 962. Când joci table, se folosesc două zaruri. Numărul de mișcări pe care le face un participant la joc este determinat prin adăugarea numerelor de pe cele două părți ale cubului care cad și dacă se aruncă un „dublu” (1 + 1,2 + 2,3 + 3,4 + 4,5 + 5,6 + 6) ), apoi numărul de mutări se dublează. Dai zarurile și îți dai seama câte mișcări trebuie să faci. Evenimentul este după cum urmează:
a) trebuie să faci o singură mișcare; b) trebuie sa faci 7 miscari;
c) trebuie sa faci 24 de miscari; d) trebuie sa faci 13 miscari.
a) – imposibil (se poate face 1 mutare dacă se aruncă combinația 1 + 0, dar nu există un număr 0 pe zar).
b) – aleatoriu (dacă se aruncă 1 + 6 sau 2 + 5).
c) – aleatoriu (dacă apare combinația 6 +6).
d) – imposibil (nu există combinații de numere de la 1 la 6, a căror sumă este 13; acest număr nu poate fi obținut nici măcar când se aruncă un „dublu”, deoarece este impar).
Verifică-te. (dictat matematic)
1) Indicați care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt de încredere, care sunt aleatorii:
Meciul de fotbal „Spartak” - „Dynamo” se va încheia la egalitate. (Aleatoriu)
Veți câștiga participând la o loterie câștig-câștig (de încredere)
Zăpada va cădea la miezul nopții și soarele va străluci 24 de ore mai târziu. (imposibil)
Mâine va fi un test de matematică. (Aleatoriu)
Veți fi ales președinte al Statelor Unite. (imposibil)
Veți fi ales președinte al Rusiei. (Aleatoriu)
2) Ați cumpărat un televizor dintr-un magazin, pentru care producătorul oferă o garanție de doi ani. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere:
Televizorul nu se va rupe timp de un an. (Aleatoriu)
Televizorul nu se va sparge timp de doi ani. (Aleatoriu)
Nu va trebui să plătiți pentru reparațiile televizorului timp de doi ani. (de încredere)
Televizorul se va sparge în al treilea an. (Aleatoriu)
3) Un autobuz care transportă 15 pasageri trebuie să facă 10 opriri. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt de încredere:
Toți pasagerii vor coborî din autobuz în diferite stații. (imposibil)
Toți pasagerii vor coborî la aceeași oprire. (Aleatoriu)
La fiecare oprire măcar cineva va coborî. (Aleatoriu)
Va fi o oprire unde nimeni nu coboară. (Aleatoriu)
Un număr par de pasageri va coborî la toate stațiile. (imposibil)
Un număr impar de pasageri va coborî la toate stațiile. (imposibil)
Teme pentru acasă : p. 53 Nr. 960, 963, 965 (veniți singur cu două evenimente de încredere, întâmplătoare și imposibile).
A doua lectie.
Verificarea temelor. (oral)
a) Explicați ce sunt evenimentele certe, aleatorii și imposibile.
b) Indicați care dintre următoarele evenimente este de încredere, care este imposibil, care este aleatoriu:
Nu vor fi vacanțe de vară. (imposibil)
Sandvișul va cădea cu untul în jos. (Aleatoriu)
Anul școlar se va încheia într-o zi. (de încredere)
Mă vor întreba mâine în clasă. (Aleatoriu)
Astăzi voi întâlni o pisică neagră. (Aleatoriu)
№ 960. Ai deschis acest manual pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului selectat. ((de încredere)
b) ortografia cuvântului ales conține litera „o”. (Aleatoriu)
c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat. (imposibil)
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat. (Aleatoriu)
№ 963. Jucați table din nou. Descrieți următorul eveniment:
a) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de două mișcări. (imposibil - cu o combinație a celor mai mici numere 1 + 1 jucătorul face 4 mutări; o combinație de 1 + 2 dă 3 mutări; toate celelalte combinații dau mai mult de 3 mutări)
b) jucătorul trebuie să facă mai mult de două mișcări. (de încredere - orice combinație dă 3 sau mai multe mișcări)
c) jucătorul nu trebuie să facă mai mult de 24 de mutări. (de încredere - combinația celor mai mari numere 6 + 6 dă 24 de mișcări, iar toate celelalte dau mai puțin de 24 de mișcări)
d) jucătorul trebuie să facă un număr de două cifre de mutări. (aleatoriu – de exemplu, combinația 2 + 3 oferă un număr de mișcări cu o singură cifră: 5, iar rostogolirea a două patru paturi dă un număr de două cifre de mișcări)
2. Rezolvarea problemelor.
№ 964. Într-o pungă sunt 10 bile: 3 albastre, 3 albe și 4 roșii. Descrieți următorul eveniment:
a) S-au scos 4 bile din pungă și toate sunt albastre; (imposibil)
b) s-au scos 4 bile din pungă și toate sunt roșii; (Aleatoriu)
c) s-au scos 4 bile din pungă și toate s-au dovedit a fi de culori diferite; (imposibil)
d) S-au scos 4 bile din pungă, iar printre ele nu era nicio bilă neagră. (de încredere)
Sarcina 1. Cutia conține 10 pixuri roșii, 1 verde și 2 albastre. Două obiecte sunt extrase la întâmplare din cutie. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile, care sunt aleatorii, care sunt sigure:
a) două pixuri roșii sunt scoase (aleatoriu)
b) se scot două mânere verzi; (imposibil)
c) se scot două pixuri albastre; (Aleatoriu)
d) se scot mânere de două culori diferite; (Aleatoriu)
e) se scot două mânere; (de încredere)
f) se scot două creioane. (imposibil)
Sarcina 2. Winnie the Pooh, Purcelul și toată lumea - toată lumea - toată lumea se așează la masa rotundă pentru a-și sărbători ziua de naștere. La ce număr dintre toate - toate - toate este de încredere evenimentul „Winnie the Pooh și Purcelul stând unul lângă celălalt” și la ce număr este aleatoriu?
(dacă există doar 1 dintre toate - toate - toate, atunci evenimentul este de încredere, dacă există mai mult de 1, atunci este aleatoriu).
Sarcina 3. Dintre 100 de bilete de loterie de caritate, 20 sunt câștigătoare. Câte bilete trebuie să cumpărați pentru a face imposibil evenimentul „nu veți câștiga nimic”?
Sarcina 4. În clasă sunt 10 băieți și 20 de fete. Care dintre următoarele evenimente sunt imposibile pentru această clasă, care sunt aleatorii, care sunt de încredere
Sunt doi oameni în clasă care s-au născut în luni diferite. (Aleatoriu)
Sunt doi oameni în clasă care s-au născut în aceeași lună. (de încredere)
În clasă sunt doi băieți care s-au născut în aceeași lună. (Aleatoriu)
În clasă sunt două fete care s-au născut în aceeași lună. (de încredere)
Toți băieții s-au născut în luni diferite. (de încredere)
Toate fetele s-au născut în luni diferite. (Aleatoriu)
Există un băiat și o fată născuți în aceeași lună. (Aleatoriu)
Există un băiat și o fată născuți în luni diferite. (Aleatoriu)
Sarcina 5. În cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Scoatem 4 bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „Printre bile extrase vor fi bile de exact M culori.” Pentru fiecare M de la 1 la 4, determinați ce fel de eveniment este - imposibil, de încredere sau aleatoriu și completați tabelul:
Muncă independentă.
euopțiune
a) numărul de naștere al prietenului tău este mai mic de 32;
c) mâine va avea loc o probă la matematică;
d) Anul viitor prima ninsoare la Moscova va cădea duminică.
Aruncarea unui zar. Descrie evenimentul:
a) cubul, căzut, va sta pe marginea lui;
b) va apărea unul dintre numere: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) va apărea numărul 6;
d) un număr care este multiplu de 7 va fi aruncat.
O cutie conține 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Descrie evenimentul:
a) toate bilele extrase sunt de aceeași culoare;
b) toate bilele extrase sunt de culori diferite;
c) printre bile extrase se află bile de diferite culori;
c) printre bilele extrase se află o minge roșie, galbenă și verde.
IIopțiune
Descrieți evenimentul în cauză ca fiind de încredere, imposibil sau accidental:
a) un sandviș care cade de pe masă va cădea cu fața în jos pe podea;
b) la Moscova va cădea zăpadă la miezul nopții, iar după 24 de ore va străluci soarele;
c) vei câștiga participând la o loterie câștig-câștig;
d) anul viitor în mai se va auzi primul tunet de primăvară.
Toate numerele din două cifre sunt scrise pe carduri. O carte este aleasă la întâmplare. Descrie evenimentul:
a) era un zero pe card;
b) pe card era un număr multiplu de 5;
c) pe card era un număr multiplu de 100;
d) pe card era un număr mai mare de 9 și mai mic de 100.
Cutia conține 10 pixuri roșii, 1 verde și 2 albastre. Două obiecte sunt extrase la întâmplare din cutie. Descrie evenimentul:
a) se scot două pixuri albastre;
b) se scot două pixuri roșii;
c) se scot două mânere verzi;
d) se scot mânerele verzi și negre.
Teme pentru acasă: 1). Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
2). Sarcină . În cutie sunt 3 bile roșii, 3 galbene și 3 verzi. Tragem N bile la întâmplare. Luați în considerare evenimentul „printre bile extrase vor fi bile de exact trei culori”. Pentru fiecare N de la 1 la 9, determinați ce fel de eveniment este - imposibil, de încredere sau aleatoriu și completați tabelul:
Probleme combinatorii.
Prima lectie
Verificarea temelor. (oral)
a) verificăm problemele cu care au venit elevii.
b) o sarcină suplimentară.
Citesc un fragment din cartea lui V. Levshin „Trei zile în Karlikania”.
„La început, pe sunetele unui vals lin, numerele formau un grup: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Apoi tinerii patinatori au început să-și schimbe locurile, formând tot mai multe grupuri noi: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10 etc.
Acest lucru a continuat până când patinatorii au revenit la poziția de start.”
De câte ori au schimbat locul?
Astăzi, la clasă, vom învăța cum să rezolvăm astfel de probleme. Sunt chemați combinatorie.
3. Studierea materialelor noi.
Sarcina 1. Câte numere din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 2, 3?
Soluţie: 11, 12, 13
31, 32, 33. 9 numere în total.
Când am rezolvat această problemă, am căutat prin toate opțiunile posibile sau, așa cum se spune de obicei în aceste cazuri. Toate combinațiile posibile. Prin urmare, astfel de probleme sunt numite combinatorie. Trebuie să calculați opțiunile posibile (sau imposibile) în viață destul de des, așa că este util să vă familiarizați cu problemele combinatorii.
№ 967. Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru drapelul lor național sub forma a trei dungi orizontale de aceeași lățime în culori diferite - alb, albastru, roșu. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?
Soluţie. Să presupunem că prima dungă este albă. Apoi, a doua dungă poate fi albastră sau roșie, iar a treia bandă, respectiv, roșie sau albastră. Avem două opțiuni: alb, albastru, roșu sau alb, roșu, albastru.
Lasă acum prima dungă să fie albastră, apoi din nou avem două opțiuni: alb, roșu, albastru sau albastru, roșu, alb.
Lasă prima dungă să fie roșie, apoi mai sunt două opțiuni: roșu, alb, albastru sau roșu, albastru, alb.
Au fost 6 opțiuni posibile în total. Acest steag poate fi folosit de 6 țări.
Deci, atunci când am rezolvat această problemă, am căutat o modalitate de a enumera opțiunile posibile. În multe cazuri, se dovedește a fi util să construiești o imagine - o diagramă a opțiunilor de enumerare. Acest lucru, în primul rând, este clar și, în al doilea rând, ne permite să luăm în considerare totul și să nu pierdem nimic.
Această diagramă este numită și arbore de opțiuni posibile.
Prima pagina
A doua dungă
A treia bandă
Combinația rezultată
№ 968. Câte numere din două cifre pot fi făcute din numerele 1, 2, 4, 6, 8?
Soluţie. Pentru numerele de două cifre care ne interesează, primul loc poate fi oricare dintre cifrele date, cu excepția 0. Dacă punem numărul 2 pe primul loc, atunci oricare dintre cifrele date poate fi pe locul doi. Veți obține cinci numere din două cifre: 2.,22, 24, 26, 28. De asemenea, vor fi cinci numere din două cifre cu prima cifră 4, cinci numere din două cifre cu prima cifră 6 și cinci numere cu două cifre. numere de cifre cu prima cifră 8.
Răspuns: Vor fi 20 de numere în total.
Să construim un arbore cu opțiuni posibile pentru a rezolva această problemă.
Cifre duble
Prima cifră
A doua cifră
Numerele primite
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Rezolvați următoarele probleme construind un arbore cu opțiuni posibile.
№ 971. Conducerea unei anumite țări a decis să-și facă steagul național să arate astfel: pe un fundal dreptunghiular cu o singură culoare, un cerc de altă culoare este plasat într-unul dintre colțuri. S-a decis alegerea culorilor dintre trei posibile: roșu, galben, verde. Câte variante ale acestui steag?
exista? Figura prezintă câteva dintre opțiunile posibile.
Răspuns: 24 de opțiuni.
№ 973. a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1,3, 5,? (27 de numere)
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 1,3, 5, cu condiția ca numerele să nu se repete? (6 numere)
№ 979. Pentatleții moderni participă la competiții în cinci sporturi pe parcursul a două zile: sărituri, scrimă, înot, tir și alergare.
a) Câte variante există pentru ordinea finalizării tipurilor de concurs? (120 de opțiuni)
b) Câte opțiuni există pentru ordinea evenimentelor din competiție, dacă se știe că ultimul eveniment ar trebui să se desfășoare? (24 opțiuni)
c) Câte opțiuni există pentru ordinea probelor de competiție dacă se știe că ultimul eveniment ar trebui să se desfășoare, iar primul să fie sărituri de obstacole? (6 opțiuni)
№ 981. Două urne conțin cinci bile fiecare în cinci culori diferite: alb, albastru, roșu, galben, verde. Din fiecare urnă se extrage câte o minge o dată.
a) câte combinații diferite de bile extrase există (combinațiile precum „alb - roșu” și „roșu - alb” sunt considerate la fel)?
(15 combinatii)
b) Câte combinații există în care bilele extrase sunt de aceeași culoare?
(5 combinatii)
c) câte combinații există în care bilele extrase sunt de culori diferite?
(15 – 5 = 10 combinații)
Teme pentru acasă: p. 54, nr. 969, 972, veniți singuri cu o problemă combinatorie.
№ 969. Mai multe țări au decis să folosească simboluri pentru drapelul lor național sub forma a trei dungi verticale de aceeași lățime în culori diferite: verde, negru, galben. Câte țări pot folosi astfel de simboluri, cu condiția ca fiecare țară să aibă propriul ei steag?
№ 972. a) Câte numere din două cifre se pot forma din numerele 1, 3, 5, 7, 9?
b) Câte numere din două cifre se pot face din numerele 1, 3, 5, 7, 9, cu condiția ca numerele să nu se repete?
A doua lectie
Verificarea temelor. a) Nr. 969 și Nr. 972a) și Nr. 972b) - construiți un arbore de opțiuni posibile pe tablă.
b) verificăm oral sarcinile îndeplinite.
Rezolvarea problemelor.
Deci, înainte de aceasta, am învățat cum să rezolvăm probleme combinatorii folosind un arbore de opțiuni. Este aceasta o modalitate bună? Probabil că da, dar foarte greoaie. Să încercăm să rezolvăm problema temelor nr. 972 altfel. Cine poate ghici cum se poate face asta?
Răspuns: Pentru fiecare dintre cele cinci culori de tricouri există 4 culori de chiloți. Total: 4 * 5 = 20 de opțiuni.
№ 980. Urnele conțin cinci bile fiecare în cinci culori diferite: alb, albastru, roșu, galben, verde. Din fiecare urnă se extrage câte o minge o dată. Descrieți următorul eveniment ca fiind sigur, aleatoriu sau imposibil:
a) scoase bile de diferite culori; (Aleatoriu)
b) bile scoase de aceeași culoare; (Aleatoriu)
c) se trag bile albe-negre; (imposibil)
d) se trag două bile, ambele colorate cu una din următoarele culori: alb, albastru, roșu, galben, verde. (de încredere)
№ 982. Un grup de turiști intenționează să facă drumeții pe traseul Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. De la Antonovo la Borisovo poți să faci pluta pe râu sau să te plimbi. De la Borisovo la Vlasovo puteți merge pe jos sau cu bicicleta. De la Vlasovo la Gribovo puteți înota de-a lungul râului, puteți merge cu bicicleta sau puteți merge pe jos. Din câte opțiuni de drumeție pot alege turiștii? Câte opțiuni de drumeții pot alege turiștii, cu condiția să folosească bicicletele pe cel puțin o parte a traseului?
(12 opțiuni de traseu, 8 dintre ele folosind biciclete)
Muncă independentă.
1 opțiune
a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din cifre: 0, 1, 3, 5, 7, cu condiția ca numerele să nu fie repetate?
Athos, Porthos și Aramis au doar o sabie, un pumnal și un pistol.
a) În câte moduri pot fi înarmați muschetarii?
b) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis trebuie să mânuiască o sabie?
c) Câte opțiuni de arme există dacă Aramis trebuie să mânuiască sabia și Porthos trebuie să mânuiască pistolul?
Undeva Dumnezeu i-a trimis lui Raven o bucată de brânză, precum și brânză feta, cârnați, pâine albă și neagră. Cocoțată pe un molid, cioara era aproape gata să ia micul dejun, dar a început să se gândească: în câte moduri pot fi făcute sandvișuri din aceste produse?
Opțiunea 2
a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din cifrele: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din cifre: 0, 2, 4, 6, 8, cu condiția ca cifrele să nu se repete?
Contele Monte Cristo a decis să-i dea prințesei Hayde cercei, un colier și o brățară. Fiecare bijuterie trebuie să conțină unul dintre următoarele tipuri de pietre prețioase: diamante, rubine sau granate.
a) Câte opțiuni există pentru combinarea bijuteriilor din pietre prețioase?
b) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii ar trebui să fie cu diamante?
c) Câte opțiuni de bijuterii există dacă cerceii ar trebui să fie cu diamante și brățara ar trebui să fie granat?
Pentru micul dejun puteți alege o chiflă, sandviș sau turtă dulce cu cafea sau chefir. Câte opțiuni de mic dejun poți crea?
Teme pentru acasă : Nr. 974, 975. (prin compilarea unui arbore de opțiuni și folosind regula înmulțirii)
№ 974 . a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 0, 2, 4?
b) Câte numere din trei cifre se pot face din numerele 0, 2, 4, cu condiția ca numerele să nu se repete?
№ 975 . a) Câte numere din trei cifre pot fi făcute din numerele 1,3, 5,7?
b) Câte numere de trei cifre se pot face din numerele 1,3, 5,7 cu condiția. Ce numere nu trebuie repetate?
Numerele problemei luate din manual
„Matematică-5”, I.I. Zubareva, A.G. Mordkovici, 2004.
Scopul lecției:
- Introduceți conceptul de evenimente fiabile, imposibile și aleatorii.
- Dezvoltați cunoștințele și abilitățile pentru a determina tipul de evenimente.
- Dezvoltați: abilități de calcul; Atenţie; capacitatea de a analiza, a raționa, a trage concluzii; abilități de lucru în grup.
În timpul orelor
1) Moment organizatoric.
Exercițiu interactiv: copiii trebuie să rezolve exemple și să descifreze cuvinte; pe baza rezultatelor, acestea sunt împărțite în grupuri (adevărate, imposibile și aleatoare) și determină tema lecției.
1 card.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 card
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 card
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Actualizarea cunoștințelor învățate.
Jocul „Clap”: număr par - clap, număr impar - ridicați-vă.
Sarcină: din seria dată de numere 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... determinați par și impar.
3) Studierea unui subiect nou.
Sunt cuburi pe mesele tale. Să le aruncăm o privire mai atentă. Ce vezi?
Unde se folosesc zarurile? Cum?
Lucrați în grupuri.
Efectuarea unui experiment.
Ce predicții poți face când arunci un zar?
Prima previziune: va apărea unul dintre numerele 1,2,3,4,5 sau 6.
Se numește un eveniment care se va întâmpla cu siguranță într-o anumită experiență de încredere.
A doua predicție: va apărea numărul 7.
Crezi că evenimentul prezis se va întâmpla sau nu?
Este imposibil!
Se numește un eveniment care nu poate avea loc într-o anumită experiență imposibil.
A treia predicție: va apărea numărul 1.
Se va întâmpla acest eveniment?
Se numește un eveniment care poate sau nu să apară într-o anumită experiență Aleatoriu.
4) Consolidarea materialului studiat.
I. Determinați tipul evenimentului
-Mâine va ninge roșu.
Mâine va ninge abundent.
Mâine, deși este iulie, va ninge.
Mâine, deși este iulie, nu va fi ninsoare.
Mâine va ninge și va fi viscol.
II. Adaugă un cuvânt la această propoziție în așa fel încât evenimentul să devină imposibil.
Kolya a primit A în istorie.
Sasha nu a finalizat nicio sarcină la test.
Oksana Mikhailovna (profesor de istorie) va explica un nou subiect.
III. Dați exemple de evenimente imposibile, aleatorii și de încredere.
IV. Lucrați din manual (în grupuri).
Descrieți evenimentele discutate în sarcinile de mai jos ca fiind de încredere, imposibile sau aleatorii.
Nr. 959. Petya a venit cu un număr natural. Evenimentul este după cum urmează:
a) se intenționează un număr par;
b) se intenționează un număr impar;
c) este conceput un număr care nu este nici par, nici impar;
d) este conceput un număr par sau impar.
Nr. 960. Ai deschis acest manual pe orice pagină și ai ales primul substantiv care a apărut. Evenimentul este după cum urmează:
a) există o vocală în ortografia cuvântului selectat;
b) ortografia cuvântului selectat conține litera „o”;
c) nu există vocale în ortografia cuvântului selectat;
d) există un semn moale în ortografia cuvântului selectat.
Rezolvați nr. 961, nr. 964.
Discuția sarcinilor rezolvate.
5) Reflecție.
1. Despre ce evenimente ai aflat în lecție?
2. Indicați care dintre următoarele evenimente este cert, care este imposibil și care este aleatoriu:
a) nu vor exista vacanțe de vară;
b) sandvișul va cădea cu untul în jos;
c) anul școlar se va încheia cândva.
6) Tema pentru acasă:
Vino cu două evenimente de încredere, aleatorii și imposibile.
Faceți un desen pentru unul dintre ei.
1.1. Câteva informații din combinatorică
1.1.1. Plasări
Să luăm în considerare cele mai simple concepte asociate cu selecția și aranjarea unui anumit set de obiecte.
Numărarea numărului de moduri în care aceste acțiuni pot fi efectuate se face adesea atunci când se rezolvă probleme probabilistice.
Definiție. Cazare de la n elemente prin k (k ≤n) este orice subset ordonat al k elemente ale unui set format din n diverse elemente.
Exemplu. Următoarele secvențe de numere sunt plasări a 2 elemente din 3 elemente ale mulțimii (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Rețineți că plasamentele diferă în ordinea elementelor incluse în ele și în compoziția lor. Locațiile 12 și 21 conțin aceleași numere, dar ordinea lor este diferită. Prin urmare, aceste plasări sunt considerate diferite.
Numărul de destinații de plasare diferite de la n elemente prin k este desemnată și calculată prin formula:
,
Unde n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n( citeste " n- factorial").
Numărul de numere din două cifre care se pot face din cifrele 1, 2, 3, cu condiția ca nicio cifră să nu se repete egală cu: .
1.1.2. Rearanjamente
Definiție. Permutări din n elementele se numesc astfel de plasări ale n elemente care diferă doar prin amplasarea elementelor.
Numărul de permutări de la n elemente P n calculat prin formula: P n=n!
Exemplu.În câte moduri se pot alinia 5 persoane? Numărul de moduri este egal cu numărul de permutări a 5 elemente, adică.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definiție. Dacă printre n elemente k identice, apoi rearanjarea acestora n elemente se numește permutare cu repetări.
Exemplu. Fie ca 2 din cele 6 carti sa fie identice. Orice aranjare a tuturor cărților pe un raft este o rearanjare cu repetare.
Numărul de permutări diferite cu repetări (de la n elemente, inclusiv k identic) se calculează cu formula: .
În exemplul nostru, numărul de moduri în care cărțile pot fi aranjate pe un raft este: .
1.1.3. Combinații
Definiție. Combinatii de n elemente prin k se numesc astfel de plasamente n elemente prin k, care diferă unul de altul în cel puțin un element.
Numărul de combinații diferite de n elemente prin k se desemnează şi se calculează prin formula: .
Prin definiție, 0!=1.
Următoarele proprietăți se aplică combinațiilor:
1.
2.
3.
4.
Exemplu. Sunt 5 flori de culori diferite. Pentru buchet sunt selectate 3 flori. Numărul de buchete diferite de 3 flori din 5 este egal cu: .
1.2. Evenimente aleatorii
1.2.1. Evenimente
Cunoașterea realității în științele naturii apare ca urmare a unor teste (experiment, observații, experiență).
Test
sau experiența este implementarea unui set specific de condiții care pot fi reproduse de un număr arbitrar de mare de ori.
Aleatoriu
este un eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unui test (experiență).
Astfel, evenimentul este considerat ca rezultat al testului.
Exemplu. Aruncarea unei monede este un test. Apariția unui vultur în timpul unei aruncări este un eveniment.
Evenimentele pe care le observăm diferă prin gradul de posibilitate a producerii lor și prin natura interrelației lor.
Evenimentul este numit de încredere
, dacă este sigur că va apărea în urma acestui test.
Exemplu. Un student care primește o notă pozitivă sau negativă la un examen este un eveniment de încredere dacă examenul se desfășoară conform regulilor obișnuite.
Evenimentul este numit imposibil
, dacă nu poate apărea în urma acestui test.
Exemplu. Scoaterea unei bile albe dintr-o urnă care conține doar bile colorate (nealbe) este un eveniment imposibil. Rețineți că în alte condiții experimentale nu este exclusă apariția unei mingi albe; astfel, acest eveniment este imposibil doar în condițiile experienței noastre.
În cele ce urmează, vom desemna evenimente aleatoare cu majuscule latine A, B, C... Vom desemna un eveniment de încredere cu litera Ω, iar un eveniment imposibil cu Ø.
Sunt numite două sau mai multe evenimente la fel de posibil
într-un test dat dacă există motive să credem că niciunul dintre aceste evenimente nu este mai mult sau mai puțin posibil decât celelalte.
Exemplu. Cu o singură aruncare de zar, apariția a 1, 2, 3, 4, 5 și 6 puncte sunt toate evenimente la fel de posibile. Se presupune, desigur, că zarurile sunt realizate dintr-un material omogen și au forma corectă.
Cele două evenimente sunt numite incompatibil
într-un test dat, dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția celuilalt și comun
in caz contrar.
Exemplu. Cutia conține piese standard și non-standard. Să luăm un detaliu pentru noroc. Aspectul unei piese standard elimină aspectul unei piese non-standard. Aceste evenimente sunt incompatibile.
Se formează mai multe evenimente grup complet de evenimente
într-un anumit test, dacă cel puțin unul dintre ele este sigur că va avea loc ca urmare a acestui test.
Exemplu. Evenimentele din exemplu formează un grup complet de evenimente la fel de posibile și incompatibile în perechi.
Sunt numite două evenimente incompatibile care formează un grup complet de evenimente într-un proces dat evenimente opuse.
Dacă unul dintre ei este desemnat de A, apoi celălalt este de obicei notat cu (a se citi „nu A»).
Exemplu. O lovitură și o ratare cu o lovitură la o țintă sunt evenimente opuse.
1.2.2. Definiția clasică a probabilității
Probabilitatea evenimentului
– o măsură numerică a posibilității de apariție a acesteia.
Eveniment A numit favorabil
eveniment ÎN dacă ori de câte ori are loc un eveniment A, evenimentul vine ÎN.
Evenimente A 1 , A 2 , ..., An formă diagrama de caz
, dacă ei:
1) la fel de posibil;
2) perechi incompatibil;
3) formați un grup complet.
În schema cazurilor (și numai în această schemă) are loc definiția clasică a probabilității P(A) evenimente A. Aici, un caz este fiecare dintre evenimentele aparținând unui grup complet selectat de evenimente la fel de posibile și incompatibile în perechi.
Dacă n este numărul tuturor cazurilor din schemă și m– numărul de cazuri favorabile evenimentului A, Acea probabilitatea unui eveniment
A este determinată de egalitatea:
Următoarele proprietăți rezultă din definiția probabilității:
1. Probabilitatea unui eveniment de încredere este egală cu unu.
Într-adevăr, dacă un eveniment este cert, atunci fiecare caz din schema cazurilor favorizează evenimentul. În acest caz m = n prin urmare 
2. Probabilitatea unui eveniment imposibil este zero.
Într-adevăr, dacă un eveniment este imposibil, atunci niciun caz din tiparul cazurilor nu favorizează evenimentul. De aceea m=0 și deci 
Probabilitatea unui eveniment aleatoriu este un număr pozitiv între zero și unu.
Într-adevăr, doar o fracțiune din numărul total de cazuri din tiparul de cazuri este favorizată de un eveniment aleatoriu. Prin urmare 0<m<n, ceea ce înseamnă 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Deci, probabilitatea oricărui eveniment satisface inegalitățile
0 ≤ P(A) ≤ 1.
În prezent, proprietățile probabilității sunt definite sub forma unor axiome formulate de A.N. Kolmogorov.
Unul dintre principalele avantaje ale definiției clasice a probabilității este capacitatea de a calcula probabilitatea unui eveniment direct, adică. fără a recurge la experimente, care sunt înlocuite de raționament logic.
Probleme de calcul direct al probabilităţilor
Problema 1.1. Care este probabilitatea unui număr par de puncte (evenimentul A) la aruncarea unui zar?
Soluţie. Luați în considerare evenimentele Ai- abandonat i ochelari, i= 1, 2, …,6. Este evident că aceste evenimente formează un tipar de cazuri. Apoi numărul tuturor cazurilor n= 6. Cazurile favorizează obținerea unui număr par de puncte A 2 , A 4 , A 6, adică m= 3. Apoi 
.
Problema 1.2. Într-o urnă sunt 5 bile albe și 10 negre. Bilele se amestecă bine și apoi se scoate 1 minge la întâmplare. Care este probabilitatea ca mingea extrasă să fie albă?
Soluţie. Există un total de 15 cazuri care formează un model de caz. Mai mult, evenimentul așteptat A– aspectul unei mingi albe este favorizat de 5 dintre ei, prin urmare 
.
Problema 1.3. Un copil se joacă cu șase litere ale alfabetului: A, A, E, K, R, T. Găsiți probabilitatea ca el să poată forma aleatoriu cuvântul CARUS (evenimentul A).
Soluţie. Soluția este complicată de faptul că printre litere există unele identice - două litere „A”. Prin urmare, numărul tuturor cazurilor posibile dintr-un test dat este egal cu numărul de permutări cu repetări de 6 litere:
.
Aceste cazuri sunt la fel de posibile, inconsecvente în perechi și formează un grup complet de evenimente, de ex. formați o diagramă de cazuri. O singură șansă favorizează evenimentul A. De aceea
.
Problema 1.4. Tanya și Vanya au convenit să sărbătorească Anul Nou într-o companie de 10 persoane. Amândoi își doreau foarte mult să stea unul lângă celălalt. Care este probabilitatea ca dorința lor să fie îndeplinită dacă se obișnuiește să se împartă locurile între prietenii lor prin tragere la sorți?
Soluţie. Să notăm prin A eveniment „împlinirea dorințelor Taniei și Vaniei”. 10 persoane pot sta la o masă de 10! căi diferite. Câte dintre acestea n= 10! modurile la fel de posibile sunt favorabile pentru Tanya și Vanya? Tanya și Vanya, stând una lângă alta, pot lua 20 de poziții diferite. În același timp, opt dintre prietenii lor pot sta la o masă de 8! în moduri diferite, deci m= 20∙8!. Prin urmare, 
.
Problema 1.5. Un grup de 5 femei și 20 de bărbați selectează trei delegați. Presupunând că fiecare persoană prezentă poate fi aleasă cu probabilitate egală, găsiți probabilitatea ca două femei și un bărbat să fie aleși.
Soluţie. Numărul total de rezultate la fel de posibile ale testului este egal cu numărul de moduri în care trei delegați pot fi selectați dintre 25 de persoane, de exemplu. . Să numărăm acum numărul de cazuri favorabile, i.e. numărul de cazuri în care apare evenimentul de interes. Un delegat de sex masculin poate fi selectat în douăzeci de moduri. În același timp, restul de două delegate trebuie să fie femei și puteți alege două femei din cinci. Prin urmare, . De aceea
.
Problema 1.6. Patru bile sunt împrăștiate aleatoriu pe patru găuri, fiecare bilă cade într-una sau alta gaură cu probabilitate egală și independent de celelalte (nu există obstacole pentru ca mai multe bile să cadă în aceeași gaură). Găsiți probabilitatea ca într-una dintre găuri să fie trei bile, una în cealaltă și nicio bile în celelalte două găuri.
Soluţie. Numărul total de cazuri n=4 4 . Numărul de moduri în care se poate alege o gaură în care vor fi trei bile, . Numărul de moduri în care puteți alege o gaură în care va fi o minge, . Numărul de moduri în care trei din cele patru bile pot fi selectate pentru a fi plasate în prima gaură este de . Numărul total de cazuri favorabile. Probabilitatea evenimentului: 
Problema 1.7.În cutie sunt 10 bile identice, marcate cu numerele 1, 2, ..., 10. Se extrag șase bile pentru noroc. Aflați probabilitatea ca printre bilele extrase să fie: a) bila nr.1; b) mingile nr. 1 și nr. 2.
Soluţie. a) Numărul total de rezultate elementare posibile ale testului este egal cu numărul de moduri în care șase bile pot fi extrase din zece, i.e.
Să aflăm numărul de rezultate care favorizează evenimentul care ne interesează: printre cele șase bile selectate se află bila nr. 1 și, prin urmare, celelalte cinci bile au numere diferite. Numărul de astfel de rezultate este în mod evident egal cu numărul de moduri în care cinci bile pot fi selectate dintre celelalte nouă, adică.
Probabilitatea necesară este egală cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile evenimentului în cauză și numărul total de rezultate elementare posibile:
b) Numărul de rezultate favorabile evenimentului care ne interesează (dintre bilele selectate există bilele nr. 1 și nr. 2, prin urmare, patru bile au numere diferite) este egal cu numărul de moduri în care patru bile pot fi extras din restul de opt, i.e. Probabilitate necesară 
1.2.3. Probabilitate statistică
Definiția statistică a probabilității este utilizată atunci când rezultatele unui experiment nu sunt la fel de posibile.
Frecvența relativă a evenimentelor
A este determinată de egalitatea:
,
Unde m– numărul de probe în care evenimentul A a sosit n– numărul total de teste efectuate.
J. Bernoulli a dovedit că, cu o creștere nelimitată a numărului de experimente, frecvența relativă a apariției unui eveniment va diferi aproape la fel de puțin pe cât se dorește de un număr constant. S-a dovedit că acest număr constant este probabilitatea producerii evenimentului. Prin urmare, este firesc să numim probabilitate statistică frecvența relativă a apariției unui eveniment cu un număr suficient de mare de încercări, spre deosebire de probabilitatea introdusă anterior.
Exemplul 1.8. Cum să determinați aproximativ numărul de pești din lac?
Lasă în lac X peşte Aruncăm o plasă și, să spunem, găsim în ea n peşte Le marchem pe fiecare și le eliberăm înapoi. Câteva zile mai târziu, pe aceeași vreme și în același loc, aruncăm aceeași plasă. Să presupunem că găsim în el m pești, printre care k etichetat. Lasă evenimentul A- „peștele prins este marcat.” Apoi, prin definiția frecvenței relative.
Dar dacă în lac X pește și l-am eliberat în el n etichetat, apoi .
Deoarece R * (A) » R(A), Acea .
1.2.4. Operațiuni pe evenimente. Teorema de adunare a probabilității
Cantitate, sau unirea mai multor evenimente, este un eveniment constând în producerea a cel puțin unuia dintre aceste evenimente (în același proces).
Sumă A 1 + A 2 + … + An notată după cum urmează: 
sau 
.
Exemplu. Se aruncă două zaruri. Lasă evenimentul A constă în aruncarea a 4 puncte pe 1 zar și evenimentul ÎN– când se aruncă 5 puncte pe alt zar. Evenimente AȘi ÎN comun. Prin urmare evenimentul A +ÎN constă în lansarea a 4 puncte pe primul zar, sau 5 puncte pe al doilea zar, sau 4 puncte pe primul zar și 5 puncte pe al doilea în același timp.
Exemplu. Eveniment A– câștiguri pentru 1 împrumut, eveniment ÎN– câștiguri la al 2-lea împrumut. Apoi evenimentul A+B– câștigarea a cel puțin un împrumut (eventual două deodată).
Munca sau intersecția mai multor evenimente este un eveniment constând în producerea în comun a tuturor acestor evenimente (în același proces).
Muncă ÎN evenimente A 1 , A 2 , …, An notată după cum urmează:
.
Exemplu. Evenimente AȘi ÎN constau în promovarea cu succes a primului, respectiv al doilea tur la admiterea în institut. Apoi evenimentul A×B constă în finalizarea cu succes a ambelor runde.
Conceptele de sumă și produs al evenimentelor au o interpretare geometrică clară. Lasă evenimentul A există un punct care intră în zonă A, și evenimentul ÎN– punct de intrare în zonă ÎN. Apoi evenimentul A+B există un punct care intră în unirea acestor zone (Fig. 2.1), și evenimentul AÎN există un punct care lovește intersecția acestor zone (Fig. 2.2).
Orez. 2.1 Fig. 2.2
Teorema. Dacă evenimentele A i(i = 1, 2, …, n) sunt inconsistente perechi, atunci probabilitatea sumei evenimentelor este egală cu suma probabilităților acestor evenimente: 
.
Lăsa AȘi Ā
– evenimente opuse, i.e. A + Â= Ω, unde Ω este un eveniment de încredere. Din teorema adunării rezultă că
Р(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, prin urmare
R(Ā
) = 1 – R(A).
Dacă evenimentele A 1 și A 2 sunt compatibile, atunci probabilitatea sumei a două evenimente simultane este egală cu:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) – P( A 1× A 2).
Teoremele de adunare a probabilității ne permit să trecem de la calcularea directă a probabilităților la determinarea probabilităților de apariție a evenimentelor complexe.
Problema 1.8. Trăgătorul trage o singură lovitură în țintă. Probabilitatea de a înscrie 10 puncte (eveniment A), 9 puncte (eveniment ÎN) și 8 puncte (eveniment CU) sunt egale cu 0,11, respectiv; 0,23; 0,17. Găsiți probabilitatea ca, cu o singură lovitură, trăgătorul să înscrie mai puțin de 8 puncte (eveniment D).
Soluţie. Să trecem la evenimentul opus - cu o singură lovitură trăgătorul va înscrie cel puțin 8 puncte. Un eveniment are loc dacă se întâmplă A sau ÎN, sau CU, adică . De la evenimente A, B, CU sunt inconsistente pe perechi, apoi, prin teorema de adunare,
, Unde .
Problema 1.9. Din echipa brigăzii, formată din 6 bărbați și 4 femei, pentru conferința sindicală sunt selectate două persoane. Care este probabilitatea ca dintre cei selectați cel puțin o femeie (eveniment A).
Soluţie. Dacă are loc un eveniment A, atunci unul dintre următoarele evenimente incompatibile va avea loc cu siguranță: ÎN– „un bărbat și o femeie sunt aleși”; CU- „Au fost alese două femei”. Prin urmare putem scrie: A=B+C. Să găsim probabilitatea evenimentelor ÎNȘi CU. Două din 10 persoane pot fi alese în moduri diferite. Două femei din 4 pot fi selectate în moduri diferite. Un bărbat și o femeie pot fi selectați în 6 × 4 moduri. Apoi . De la evenimente ÎNȘi CU sunt inconsistente, atunci, prin teorema adunării,
P(A) = P(B + C) = P(B) + P(C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Problema 1.10. Există 15 manuale aranjate aleatoriu pe un raft al bibliotecii, cinci dintre ele legate. Bibliotecarul ia la întâmplare trei manuale. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre manualele luate să fie legat (eveniment A).
Soluţie. Prima cale. Cerința - cel puțin unul dintre cele trei manuale legate luate - va fi îndeplinită dacă are loc oricare dintre următoarele trei evenimente incompatibile: ÎN– un manual legat, CU– două manuale legate, D– trei manuale legate.
Eveniment de interes pentru noi A poate fi reprezentat ca o sumă de evenimente: A=B+C+D. Conform teoremei de adunare,
P(A) = P(B) + P(C) + P(D). (2.1)
Să găsim probabilitatea evenimentelor B, CȘi D(vezi scheme combinatorii): 
Reprezentând aceste probabilități în egalitate (2.1), obținem în final
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
A doua cale. Eveniment A(cel puțin unul dintre cele trei manuale luate este legat) și Ā
(niciunul din manualele luate nu este legat) - invers, deci P(A) + P(Â) = 1 (suma probabilităților a două evenimente opuse este egală cu 1). De aici P(A) = 1 – P(Â). Probabilitatea producerii evenimentului Ā
(niciunul din manualele luate nu este legat)
Probabilitate necesară
P(A) = 1 – P(Â) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Probabilitate condițională. Teorema înmulțirii probabilităților
Probabilitate condițională P(B/A) este probabilitatea evenimentului B, calculată în ipoteza că evenimentul A a avut deja loc.
Teorema. Probabilitatea apariției comune a două evenimente este egală cu produsul dintre probabilitățile unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată în ipoteza că primul eveniment a avut deja loc:
P(A∙B) = P(A)∙P( ÎN/A). (2.2)
Două evenimente sunt numite independente dacă apariția unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariției celuilalt, adică.
P(A) = P(A/B) sau P(B) = P(B/A). (2.3)
Dacă evenimentele AȘi ÎN sunt independente, apoi din formulele (2.2) și (2.3) rezultă
P(A∙B) = P(A)∙P(B). (2.4)
Afirmația opusă este de asemenea adevărată, adică. dacă egalitatea (2.4) este valabilă pentru două evenimente, atunci aceste evenimente sunt independente. Într-adevăr, din formulele (2.4) și (2.2) rezultă
P(A∙B) = P(A)∙P(B) = P(A) × P(B/A), Unde P(A) = P(B/A).
Formula (2.2) poate fi generalizată la cazul unui număr finit de evenimente A 1 , A 2 ,…,A n:
P(A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P(A 1)∙P(A 2 /A 1)∙P(A 3 /A 1 A 2)∙…∙Tigaie/A 1 A 2 …A n -1).
Problema 1.11. Dintr-o urnă care conține 5 bile albe și 10 bile negre, se desenează două bile pe rând. Aflați probabilitatea ca ambele bile să fie albe (eveniment A).
Soluţie. Să luăm în considerare evenimentele: ÎN– prima bila extrasa este alba; CU– a doua bila extrasa este alba. Apoi A = BC.
Experimentul poate fi realizat în două moduri:
1) cu retur: bila scoasă, după fixarea culorii, este returnată în urnă. În acest caz evenimentele ÎNȘi CU independent:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) fără întoarcere: bila îndepărtată se pune deoparte. În acest caz evenimentele ÎNȘi CU dependent:
P(A) = P(B)∙R(S/ÎN).
Pentru un eveniment ÎN conditiile sunt aceleasi, iar pentru CU situatia s-a schimbat. S-a întâmplat ÎN, prin urmare au rămas 14 bile în urnă, inclusiv 4 albe.
Asa de, .
Problema 1.12. Dintre cele 50 de becuri, 3 sunt nestandard. Găsiți probabilitatea ca două becuri luate în același timp să nu fie standard.
Soluţie. Să luăm în considerare evenimentele: A– primul bec este nestandard, ÎN– al doilea bec este nestandard, CU– ambele becuri sunt nestandard. Este clar că C = A∙ÎN. Eveniment A 3 cazuri din 50 posibile sunt favorabile, i.e. P(A) = 3/50. Dacă evenimentul A a sosit deja, atunci evenimentul ÎN două cazuri din 49 posibile sunt favorabile, adică. P(B/A) = 2/49. Prin urmare,
.
Problema 1.13. Doi sportivi trag la aceeași țintă, independent unul de celălalt. Probabilitatea ca primul atlet să lovească ținta este de 0,7, iar al doilea este de 0,8. Care este probabilitatea ca ținta să fie lovită?
Soluţie. Ținta va fi lovită dacă fie primul trăgător, fie al doilea, sau ambele, o lovește, de exemplu. se va întâmpla un eveniment A+B, unde este evenimentul A constă în primul atlet care lovește ținta și evenimentul ÎN- al doilea. Apoi
P(A+ÎN)=P(A)+P(B)–P(A∙ÎN)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Problema 1.14. Sala de lectură are șase manuale de teoria probabilităților, dintre care trei sunt legate. Bibliotecarul a luat la întâmplare două manuale. Găsiți probabilitatea ca două manuale să fie legate.
Soluţie. Să introducem denumirile evenimentelor : A– primul manual luat este legat, ÎN– al doilea manual este legat. Probabilitatea ca primul manual să fie legat este
P(A) = 3/6 = 1/2.
Probabilitatea ca al doilea manual să fie legat, cu condiția ca primul manual luat să fie legat, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment ÎN, este cam asa: P(B/A) = 2/5.
Probabilitatea dorită ca ambele manuale să fie legate, conform teoremei înmulțirii probabilităților de evenimente, este egală cu
P(AB) = P(A) ∙ P(B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0,2.
Problema 1.15.În atelier lucrează 7 bărbați și 3 femei. Trei persoane au fost selectate la întâmplare folosind numerele lor de personal. Găsiți probabilitatea ca toate persoanele selectate să fie bărbați.
Soluţie. Să introducem denumiri de evenimente: A– bărbatul este ales primul, ÎN– al doilea ales este un bărbat, CU - Al treilea ales a fost un bărbat. Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat primul este P(A) = 7/10.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al doilea, cu condiția ca un bărbat să fi fost deja selectat primul, adică probabilitatea condiționată a unui eveniment ÎN Următorul : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Probabilitatea ca un bărbat să fie selectat al treilea, având în vedere că doi bărbați au fost deja selectați, i.e. probabilitatea condiționată a unui eveniment CU este aceasta: P(C/AB) = 5/8.
Probabilitatea dorită ca toate cele trei persoane selectate să fie bărbați este P(ABC) = P(A) P(B/A) P(C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Formula probabilității totale și Formula Bayes
Lăsa B 1 , B 2 ,…, Bn– evenimente incompatibile în perechi (ipoteze) și A– un eveniment care se poate întâmpla doar împreună cu unul dintre ei.
Anunță-ne și nouă P(B i) Și P(A/B i) (i = 1, 2, …, n).
În aceste condiții, formulele sunt valabile: 
(2.5)
(2.6)
Formula (2.5) se numește formula probabilității totale
. Acesta calculează probabilitatea unui eveniment A(probabilitate totală).
Formula (2.6) se numește Formula Bayes
. Vă permite să recalculați probabilitățile de ipoteze în cazul în care evenimentul A s-a întâmplat.
La compilarea exemplelor, este convenabil să presupunem că ipotezele formează un grup complet.
Problema 1.16. Coșul conține mere de la patru pomi din același soi. Din primul - 15% din toate merele, din al doilea - 35%, din al treilea - 20%, din al patrulea - 30%. Merele coapte sunt 99%, 97%, 98%, respectiv 95%.
a) Care este probabilitatea ca un măr luat la întâmplare să fie copt (eveniment A).
b) Având în vedere că un măr luat la întâmplare se dovedește a fi copt, calculați probabilitatea ca acesta să fie din primul copac.
Soluţie. a) Avem 4 ipoteze:
B 1 – se ia un măr luat la întâmplare din primul pom;
B 2 – un măr luat la întâmplare este luat din al 2-lea copac;
B 3 – un măr luat la întâmplare se ia din al 3-lea copac;
B 4 – un măr luat la întâmplare este luat din al 4-lea copac.
Probabilitățile lor în funcție de condiție: P(B 1) = 0,15; P(B 2) = 0,35; P(B 3) = 0,2; P(B 4) = 0,3.
Probabilități condiționate ale unui eveniment A:
P(A/B 1) = 0,99; P(A/B 2) = 0,97; P(A/B 3) = 0,98; P(A/B 4) = 0,95.
Probabilitatea ca un măr luat la întâmplare să fie copt se găsește folosind formula probabilității totale:
P(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)+P(B 4)∙P(A/B 4)=0,969.
b) Formula Bayes pentru cazul nostru arată astfel: 
.
Problema 1.17. O bilă albă este aruncată într-o urnă care conține două bile, după care o bilă este extrasă la întâmplare. Găsiți probabilitatea ca bila extrasă să fie albă dacă toate ipotezele posibile despre compoziția inițială a bilelor (pe baza culorii) sunt la fel de posibile.
Soluţie. Să notăm prin A eveniment – se extrage o minge albă. Sunt posibile următoarele ipoteze (ipoteze) despre compoziția inițială a bilelor: B 1– nu există bile albe, LA 2– o minge albă, LA 3- două bile albe.
Deoarece sunt trei ipoteze în total, iar suma probabilităților ipotezelor este 1 (deoarece formează un grup complet de evenimente), atunci probabilitatea fiecăreia dintre ipoteze este 1/3, adică.
P(B 1) = P(B 2)= P(B 3) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial nu au existat bile albe în urnă, P(A/B 1)=1/3. Probabilitatea condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial a existat o bilă albă în urnă, P(A/B 2)=2/3. Probabilitate condiționată ca o bilă albă să fie extrasă, având în vedere că inițial erau două bile albe în urnă P(A/B 3)=3/ 3=1.
Găsim probabilitatea necesară ca o bilă albă să fie extrasă folosind formula probabilității totale:
R(A)=P(B 1)∙P(A/B 1)+P(B 2)∙P(A/B 2)+P(B 3)∙P(A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Problema 1.18. Două mașini produc piese identice care merg pe un transportor comun. Productivitatea primei mașini este de două ori mai mare decât a celei de-a doua. Prima mașină produce în medie 60% din piese de calitate excelentă, iar a doua - 84%. Piesa luată la întâmplare de pe linia de asamblare s-a dovedit a fi de o calitate excelentă. Găsiți probabilitatea ca această piesă să fi fost produsă de prima mașină.
Soluţie. Să notăm prin A eveniment - un detaliu de o calitate excelentă. Se pot face două ipoteze: B 1– piesa a fost produsă de prima mașină și (deoarece prima mașină produce de două ori mai multe piese decât a doua) P(A/B 1) = 2/3; B 2 – piesa a fost produsă de a doua mașină și P(B 2) = 1/3.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de calitate excelentă dacă este produsă de prima mașină, P(A/B 1)=0,6.
Probabilitatea condiționată ca piesa să fie de o calitate excelentă dacă este produsă de a doua mașină este P(A/B 1)=0,84.
Probabilitatea ca o parte luată la întâmplare să fie de calitate excelentă, conform formulei probabilității totale, este egală cu
P(A)=P(B 1) ∙P(A/B 1)+P(B 2) ∙P(A/B 2)=2/3·0,6+1/3·0,84 = 0,68.
Probabilitatea necesară ca piesa excelentă selectată să fie produsă de prima mașină, conform formulei lui Bayes, este egală cu
Problema 1.19. Există trei loturi de piese, fiecare conținând 20 de părți. Numărul de piese standard din primul, al doilea și al treilea lot este, respectiv, 20, 15, 10. O parte care s-a dovedit a fi standard a fost eliminată aleatoriu din lotul selectat. Piesele sunt returnate în lot și o piesă este îndepărtată aleatoriu din același lot, care se dovedește, de asemenea, a fi standard. Găsiți probabilitatea ca piesele să fi fost îndepărtate din al treilea lot.
Soluţie. Să notăm prin A eveniment - în fiecare dintre cele două încercări (cu retur), a fost preluată o parte standard. Se pot face trei ipoteze (ipoteze): B 1 – piesele sunt îndepărtate din primul lot, ÎN 2
– piesele sunt îndepărtate din al doilea lot, ÎN 3 – părțile sunt îndepărtate din al treilea lot.
Părțile au fost extrase la întâmplare dintr-un lot dat, astfel încât probabilitățile ipotezelor sunt aceleași: P(B 1) = P(B 2) = P(B 3) = 1/3.
Să găsim probabilitatea condiționată P(A/B 1), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate secvenţial din primul lot. Acest eveniment este de încredere, deoarece în primul lot toate piesele sunt standard, deci P(A/B 1) = 1.
Să găsim probabilitatea condiționată P(A/B 2), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate secvenţial (și returnate) din al doilea lot: P(A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Să găsim probabilitatea condiționată P(A/B 3), adică probabilitatea ca două părți standard să fie eliminate secvențial (și returnate) din al treilea lot: P(A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Probabilitatea dorită ca ambele părți standard extrase să fie luate din al treilea lot, conform formulei lui Bayes, este egală cu 
1.2.7. Teste repetate
Dacă se efectuează mai multe teste, și probabilitatea evenimentului Aîn fiecare test nu depinde de rezultatele altor teste, atunci astfel de teste sunt numite independent față de evenimentul A.În diferite procese independente evenimentul A poate avea fie probabilități diferite, fie aceeași probabilitate. Vom lua în considerare în continuare doar astfel de teste independente în care evenimentul A are aceeași probabilitate.
Lasă-l să fie produs P procese independente, în fiecare dintre ele evenimentul A poate sau nu să apară. Să fim de acord să presupunem că probabilitatea unui eveniment Aîn fiecare proces este același, și anume egal R. Prin urmare, probabilitatea ca evenimentul să nu se producă Aîn fiecare încercare este, de asemenea, constantă și egală cu 1– R. Această schemă probabilistică se numește Schema Bernoulli. Să ne punem sarcina de a calcula probabilitatea ca atunci când P Evenimentul de testare Bernoulli A o sa se indeplineasca k o singura data ( k– numărul de reușite) și, prin urmare, nu se vor împlini P- o singura data. Este important de subliniat că nu este necesar ca evenimentul A repetat exact k ori într-o anumită succesiune. Notăm probabilitatea dorită R p (k).
De exemplu, simbolul R 5(3) înseamnă probabilitatea ca în cinci încercări evenimentul să apară exact de 3 ori și, prin urmare, să nu aibă loc de 2 ori.
Problema pusă poate fi rezolvată folosind așa-numitul formule Bernoulli, care arata ca: 
.
Problema 1.20. Probabilitatea ca consumul de energie electrică pe parcursul unei zile să nu depășească norma stabilită este egală cu R=0,75. Găsiți probabilitatea ca în următoarele 6 zile, consumul de energie electrică pentru 4 zile să nu depășească norma.
Soluţie. Probabilitatea consumului normal de energie în fiecare dintre cele 6 zile este constantă și egală cu R=0,75. În consecință, probabilitatea unui consum excesiv de energie în fiecare zi este, de asemenea, constantă și egală cu q= 1–R=1–0,75=0,25.
Probabilitatea necesară conform formulei Bernoulli este egală cu
.
Problema 1.21. Doi jucători egali de șah joacă șah. Ce este mai probabil: câștigarea a două jocuri din patru sau trei jocuri din șase (nu se iau în considerare remizele)?
Soluţie. Jucători egali de șah joacă, deci probabilitatea de a câștiga R= 1/2, deci, probabilitatea de a pierde q este de asemenea egal cu 1/2. Deoarece în toate jocurile probabilitatea de câștig este constantă și nu contează în ce secvență sunt câștigate jocurile, atunci formula lui Bernoulli este aplicabilă.
Să aflăm probabilitatea ca două jocuri din patru să fie câștigate:
Să aflăm probabilitatea ca trei jocuri din șase să fie câștigate:
Deoarece P 4 (2) > P 6 (3), atunci este mai probabil să câștigi două jocuri din patru decât trei din șase.
Cu toate acestea, se poate observa că folosind formula lui Bernoulli pentru valori mari n destul de dificil, deoarece formula necesită operații pe numere uriașe și, prin urmare, erorile se acumulează în timpul procesului de calcul; Ca urmare, rezultatul final poate diferi semnificativ de cel adevărat.
Pentru a rezolva această problemă, există mai multe teoreme limită care sunt utilizate pentru cazul unui număr mare de teste.
1. Teorema lui Poisson
Când se efectuează un număr mare de teste folosind schema Bernoulli (cu n=> ∞) și cu un număr mic de rezultate favorabile k(se presupune că probabilitatea de succes p mic), formula lui Bernoulli se apropie de formula lui Poisson 
.
Exemplul 1.22. Probabilitatea de defecte atunci când o întreprindere produce o unitate de produs este egală cu p=0,001. Care este probabilitatea ca la producerea a 5000 de unități de produs, mai puțin de 4 dintre ele să fie defecte (eveniment A Soluţie. Deoarece n este mare, folosim teorema locală a lui Laplace: 
Să calculăm X:
Funcţie 
– par, deci φ(–1,67) = φ(1,67).
Folosind tabelul din Anexa A.1, găsim φ(1,67) = 0,0989.
Probabilitate necesară P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Teorema integrală a lui Laplace
Dacă probabilitatea R producerea unui eveniment Aîn fiecare încercare conform schemei Bernoulli este constantă și diferită de zero și unu, apoi cu un număr mare de încercări n, probabilitate R p (k 1 , k 2) producerea evenimentului Aîn aceste teste din k 1 la k de 2 ori aproximativ egal
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ ( X"), Unde 
- Funcția Laplace,
Integrala definită în funcția Laplace nu poate fi calculată pe clasa funcțiilor analitice, așa că tabelul este folosit pentru a o calcula. Clauza 2, prezentată în anexă.
Exemplul 1.24. Probabilitatea ca un eveniment să se producă în fiecare dintre cele o sută de încercări independente este constantă și egală cu p= 0,8. Aflați probabilitatea ca evenimentul să apară: a) de cel puțin 75 de ori și de cel mult 90 de ori; b) de cel puțin 75 de ori; c) de cel mult 74 de ori.
Soluţie. Să folosim teorema integrală a lui Laplace:
R p(k 1 , k 2) = Φ ( X"") – Φ( X"), unde Ф( X) – funcția Laplace,
a) În funcție de condiție, n = 100, p = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Să calculăm X""Și X" :
Avand in vedere ca functia Laplace este impara, i.e. F(- X) = – Ф( X), primim
P 100 (75;90) = Ф (2,5) – Ф(–1,25) = Ф(2,5) + Ф(1,25).
Conform tabelului P.2. vom gasi aplicatii:
F(2,5) = 0,4938; F(1,25) = 0,3944.
Probabilitate necesară
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Cerința ca un eveniment să apară de cel puțin 75 de ori înseamnă că numărul de apariții ale evenimentului poate fi de 75, sau 76, ..., sau 100. Astfel, în cazul în cauză, trebuie acceptat. k 1 = 75, k 2 = 100. Atunci 
.
Conform tabelului P.2. aplicație găsim Ф(1,25) = 0,3944; Ф(5) = 0,5.
Probabilitate necesară
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Eveniment –” A a apărut de cel puțin 75 de ori" și " A a apărut de cel mult 74 de ori" sunt opuse, deci suma probabilităților acestor evenimente este egală cu 1. Prin urmare, probabilitatea dorită
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Se încarcă...