Toate formulele de pătrate și cuburi. Formule de înmulțire prescurtate. Înmulțirea unui polinom cu un polinom

Vor exista și sarcini pentru o soluție independentă, la care puteți vedea răspunsurile.

Formulele de înmulțire prescurtate vă permit să efectuați transformări identice ale expresiilor - polinoame. Cu ajutorul lor, polinoamele pot fi factorizate, iar folosind formulele în ordine inversă, produsele binoamelor, pătratelor și cuburilor pot fi reprezentate ca polinoame. Să luăm în considerare toate formulele general acceptate pentru înmulțirea prescurtată, derivarea lor, sarcinile comune pentru transformările identice ale expresiilor folosind aceste formule, precum și temele pentru acasă (răspunsurile la acestea sunt deschise prin link-uri).

suma pătratului

Formula pentru pătratul sumei este egalitatea

(pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr).

În loc de Ași b orice număr poate fi înlocuit în această formulă.

Formula sumei pătrate este adesea folosită pentru a simplifica calculele. De exemplu,

Folosind formula sumei pătrate, polinomul poate fi factorizat, și anume, reprezentat ca produs a doi factori identici.

Exemplul 1

Exemplul 2 Scrieți ca expresie polinomială

Decizie. Prin formula pătratului sumei, obținem

Pătratul diferenței

Formula pentru pătratul diferenței este egalitatea

(pătratul diferenței dintre două numere este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr).

Formula diferenței pătrate este adesea folosită pentru a simplifica calculele. De exemplu,

Folosind formula pătratului diferenței, polinomul poate fi factorizat, și anume, reprezentat ca produs a doi factori identici.

Formula decurge din regula pentru înmulțirea unui polinom cu un polinom:

Exemplul 5 Scrieți ca expresie polinomială

Decizie. Prin formula pătratului diferenței obținem

Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția

Selecție completă de pătrat

Adesea, un polinom de gradul doi conține pătratul sumei sau al diferenței, dar este conținut într-o formă ascunsă. Pentru a obține în mod explicit pătratul complet, trebuie să transformați polinomul. Pentru a face acest lucru, de regulă, unul dintre termenii polinomului este reprezentat ca un produs dublu, apoi același număr este adăugat și scăzut din polinom.

Exemplul 7

Decizie. Acest polinom poate fi transformat astfel:

Aici am prezentat 5 X sub forma unui produs dublu de 5/2 by X, adăugat la polinom și scăzut din acesta același număr, apoi a aplicat formula sumei pătrate pentru binom.

Deci am dovedit egalitatea

este egal cu un pătrat întreg plus numărul .

Exemplul 8 Luați în considerare un polinom de gradul doi

Decizie. Să facem următoarele transformări pe el:

Aici am prezentat 8 X sub forma unui produs dublu X cu 4, adăugat la polinom și scăzut din acesta același număr 4², a aplicat formula pătratului diferenței pentru binom X − 4 .

Deci am dovedit egalitatea

arătând că un polinom de gradul doi

este egal cu un pătrat întreg plus numărul −16.

Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția

cub suma

Formula cubului sumei este egalitatea

(cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr plus de trei ori pătratul primului număr cu al doilea, plus de trei ori produsul primului număr cu pătratul celui de-al doilea, plus cubul al doilea număr).

Formula cubului sumei este derivată după cum urmează:

Exemplul 10 Scrieți ca expresie polinomială

Decizie. Conform formulei cubului sumei, obținem

Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția

cub de diferență

Formula cubului de diferență este egalitatea

(cubul diferenței a două numere este egal cu cubul primului număr minus de trei ori pătratul primului număr și al doilea, plus de trei ori produsul primului număr și pătratul celui de-al doilea minus cubul de al doilea număr).

Cu ajutorul formulei cubului sumei, polinomul poate fi descompus în factori, și anume, poate fi reprezentat ca un produs a trei factori identici.

Formula cubului de diferență este derivată după cum urmează:

Exemplul 12. Scrieți ca expresie polinomială

Decizie. Folosind formula cubului de diferență, obținem

Aplicați singur formula de înmulțire prescurtată și apoi vedeți soluția

Diferența de pătrate

Formula pentru diferența de pătrate este egalitatea

(diferența pătratelor a două numere este egală cu produsul dintre suma acestor numere și diferența lor).

Folosind formula cubului sumei, orice polinom al formei poate fi factorizat.

Dovada formulei a fost obținută folosind regula înmulțirii pentru polinoame:

Exemplul 14 Scrieți produsul ca polinom

Decizie. Prin formula diferenței pătratelor, obținem

Exemplul 15 Factorizați

Decizie. Această expresie într-o formă explicită nu se potrivește cu nicio identitate. Dar numărul 16 poate fi reprezentat ca o putere cu baza 4: 16=4². Atunci expresia originală va lua o formă diferită:

și aceasta este formula pentru diferența de pătrate și, aplicând această formulă, obținem

Când calculăm polinoame algebrice, pentru a simplifica calculele, folosim formule de înmulțire prescurtate. Există șapte astfel de formule în total. Toate trebuie cunoscute pe de rost.

De asemenea, trebuie amintit că în loc de „a” și „b” în formule, pot exista atât numere, cât și orice alte polinoame algebrice.

Diferența de pătrate

Tine minte!

Diferența de pătrate două numere este egal cu produsul dintre diferența acestor numere și suma lor.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

15 2 − 2 2 = (15 − 2)(15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 − 4b 2 cu 2 = (3a − 2bc)(3a + 2bc)

suma pătratului

Tine minte!

Pătratul sumei a două numere este egal cu pătratul primului număr plus de două ori produsul primului număr și al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(A + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Rețineți că, cu această formulă de înmulțire redusă, este ușor găsiți pătratele numerelor mari fără a folosi un calculator sau o înmulțire lungă. Să explicăm cu un exemplu:

Aflați 112 2 .

Să descompunăm 112 în suma numerelor ale căror pătrate le amintim bine.
112 = 100 + 1
Scriem suma numerelor între paranteze și punem un pătrat peste paranteze.
112 2 = (100 + 12) 2
Să folosim formula sumei pătrate:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10.000 + 2.400 + 144 = 12.544

Rețineți că formula sumei pătrate este valabilă și pentru orice polinoame algebrice.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Avertizare!

(a + b) 2 nu este egal cu (a 2 + b 2)

Pătratul diferenței

Tine minte!

Pătratul diferenței dintre două numere este egal cu pătratul primului număr minus de două ori produsul primului și celui de-al doilea plus pătratul celui de-al doilea număr.

(A − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2

De asemenea, merită să ne amintim o transformare foarte utilă:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Formula de mai sus este dovedită prin simpla extindere a parantezelor:

(a − b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 − 2ab + a 2 = (b − a) 2

cub suma

Tine minte!

Cubul sumei a două numere este egal cu cubul primului număr plus de trei ori pătratul primului număr ori al doilea plus de trei ori produsul primelor ori pătratul celui de-al doilea plus cubul celui de-al doilea.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Cum să vă amintiți cubul sumei

A-ți aminti această formulă cu aspect „teribil” este destul de simplu.

Aflați că „a 3” vine la început.
Cele două polinoame din mijloc au coeficienți de 3.
Amintiți-vă că orice număr până la puterea zero este 1. (a 0 = 1, b 0 = 1) . Este ușor de observat că în formulă există o scădere a gradului „a” și o creștere a gradului „b”. Puteți verifica acest lucru:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Avertizare!

(a + b) 3 nu este egal cu a 3 + b 3

cub de diferență

Tine minte!

cub de diferență două numere este egal cu cubul primului număr minus de trei ori pătratul primului număr ori al doilea plus de trei ori produsul primului număr cu pătratul celui de-al doilea minus cubul celui de-al doilea.

(a − b) 3 = a 3 − 3a 2 b + 3ab 2 − b 3

Această formulă este reținută ca și cea anterioară, dar ținând cont doar de alternanța semnelor „+” și „-”. Există un „+” înaintea primului membru „a 3” (conform regulilor matematicii, nu îl scriem). Aceasta înseamnă că următorul membru va fi precedat de „-”, apoi din nou „+”, etc.

(a − b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Suma de cuburi

A nu se confunda cu cubul sumă!

Tine minte!

Suma de cuburi este egal cu produsul sumei a două numere cu pătratul incomplet al diferenței.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2)

Suma cuburilor este produsul dintre două paranteze.

Prima paranteză este suma a două numere.
A doua paranteză este pătratul incomplet al diferenței de numere. Pătratul incomplet al diferenței se numește expresie:
(a 2 − ab + b 2)
Acest pătrat este incomplet, deoarece în mijloc, în loc de un produs dublu, există un produs obișnuit al numerelor.

Diferența de cuburi

A nu se confunda cu cubul de diferență!

Tine minte!

Diferența de cuburi este egal cu produsul diferenței a două numere cu pătratul incomplet al sumei.

a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2)

Aveți grijă când scrieți caractere.

Aplicarea formulelor de înmulțire abreviate

Trebuie amintit că toate formulele de mai sus sunt folosite și de la dreapta la stânga.

Multe exemple din manuale sunt concepute pentru ca tu să folosești formule pentru a asambla polinomul înapoi.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac − 4b)(ac + 4b) = a 2 c 2 − 16b 2

Puteți descărca un tabel cu toate formulele de înmulțire prescurtată din secțiunea "

Unul dintre primele subiecte studiate într-un curs de algebră sunt formulele de înmulțire prescurtată. În clasa a 7-a, ele sunt folosite în cele mai simple situații în care se cere recunoașterea uneia dintre formulele din expresie și factorizarea polinomului sau, dimpotrivă, pătratul sau cubul rapid al sumei sau diferenței. În viitor, FSU este folosit pentru a rezolva rapid inegalitățile și ecuațiile și chiar pentru a calcula unele expresii numerice fără un calculator.

Cum arată lista de formule?

Există 7 formule de bază care vă permit să înmulțiți rapid polinoamele între paranteze.

Uneori, această listă include și o extindere de gradul patru, care decurge din identitățile prezentate și are forma:

a⁴ - b⁴ = (a - b)(a + b)(a² + b²).

Toate egalitățile au o pereche (sumă - diferență), cu excepția diferenței de pătrate. Nu există o formulă pentru suma pătratelor.

Restul egalităților sunt ușor de reținut.:

Trebuie amintit că FSO-urile funcționează în orice caz și pentru orice valoare. Ași b: poate fi atât numere arbitrare, cât și expresii întregi.

Într-o situație în care brusc nu vă puteți aminti ce semn se află în formulă în fața unuia sau altuia termen, puteți deschide parantezele și obțineți același rezultat ca după folosirea formulei. De exemplu, dacă a apărut o problemă la aplicarea FSU al cubului de diferență, trebuie să scrieți expresia originală și faceți înmulțirea unul câte unul:

(a - b)³ = (a - b)(a - b)(a - b) = (a² - ab - ab + b²)(a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Ca urmare, după reducerea tuturor acestor termeni, s-a obținut același polinom ca în tabel. Aceleași manipulări pot fi efectuate cu toate celelalte FSO.

Aplicarea FSO pentru rezolvarea ecuațiilor

De exemplu, trebuie să rezolvați o ecuație care conține polinom de gradul 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Programa școlară nu ia în considerare tehnici universale de rezolvare a ecuațiilor cubice, iar astfel de sarcini sunt cel mai adesea rezolvate prin metode mai simple (de exemplu, factorizarea). Dacă observați că partea stângă a identității seamănă cu cubul sumei, atunci ecuația poate fi scrisă într-o formă mai simplă:

(x + 1)³ = 0.

Rădăcina unei astfel de ecuații se calculează oral: x=-1.

Inegalitățile sunt rezolvate în mod similar. De exemplu, putem rezolva inegalitatea x³ - 6x² + 9x > 0.

În primul rând, este necesar să descompunem expresia în factori. Mai întâi trebuie să scoateți parantezele X. După aceea, ar trebui să acordați atenție faptului că expresia dintre paranteze poate fi convertită în pătratul diferenței.

Apoi trebuie să găsiți punctele în care expresia ia valori zero și să le marcați pe linia numerică. Într-un caz particular, acestea vor fi 0 și 3. Apoi, folosind metoda intervalului, determinați în ce intervale x va îndeplini condiția de inegalitate.

OSF pot fi de ajutor în realizarea unele calcule fără ajutorul unui calculator:

703² - 203² = (703 + 203)(703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

În plus, prin factorizarea expresiilor, puteți reduce cu ușurință fracțiile și simplifica diferite expresii algebrice.

Exemple de sarcini pentru clasele 7-8

În concluzie, vom analiza și rezolva două sarcini pentru aplicarea formulelor de înmulțire abreviate în algebră.

Sarcina 1. Simplificați expresia:

(m + 3)² + (3m + 1)(3m - 1) - 2m (5m + 3).

Decizie. În condiția sarcinii, este necesară simplificarea expresiei, adică deschiderea parantezelor, efectuarea operațiilor de înmulțire și exponențiere și, de asemenea, aducerea tuturor acestor termeni. Împărțim condiționat expresia în trei părți (în funcție de numărul de termeni) și deschidem parantezele unul câte unul, folosind FSU acolo unde este posibil.

(m + 3)² = m² + 6m + 9(suma pătrată);
(3m + 1)(3m - 1) = 9m² - 1(diferența de pătrate);
În ultimul termen, trebuie să efectuați înmulțirea: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Înlocuiți rezultatele în expresia originală:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Ținând cont de semne, deschidem parantezele și dăm termeni similari:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Sarcina 2. Rezolvați ecuația care conține necunoscuta k la puterea lui 5:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Decizie. În acest caz, este necesar să se utilizeze FSO și metoda de grupare. Trebuie să transferăm ultimul și penultimul termen în partea dreaptă a identității.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Multiplicatorul comun este luat din părțile din dreapta și din stânga (k² + 4k +4):

k³(k² + 4k + 4) = k(k² + 4k + 4).

Totul este transferat în partea stângă a ecuației, astfel încât 0 rămâne în partea dreaptă:

k³(k² + 4k + 4) - k(k² + 4k + 4) = 0.

Din nou, trebuie să eliminați factorul comun:

(k³ - k)(k² + 4k + 4) = 0.

Din primul factor obținut putem deduce k. Conform formulei scurte de multiplicare, al doilea factor va fi identic egal cu (k + 2)²:

k (k² - 1)(k + 2)² = 0.

Folosind formula diferenței pătratelor:

k (k - 1)(k + 1)(k + 2)² = 0.

Deoarece produsul este 0 dacă cel puțin unul dintre factorii săi este zero, nu va fi dificil să găsiți toate rădăcinile ecuației:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k + 1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Pe baza exemplelor ilustrative, puteți înțelege cum să vă amintiți formulele, diferențele lor și, de asemenea, să rezolvați mai multe probleme practice folosind FSU. Sarcinile sunt simple și nu ar trebui să fie dificil de realizat.

Conținutul lecției

Pătratul sumei a două expresii

Există o serie de cazuri în care înmulțirea unui polinom cu un polinom poate fi foarte simplificată. Așa este, de exemplu, cazul (2 X+ 3y) 2 .

Expresia (2 X+ 3y) 2 este înmulțirea a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu (2 X+ 3y)

(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y)

Am obținut înmulțirea unui polinom cu un polinom. Hai să-l executăm:

(2X+ 3y) 2 = (2X+ 3y)(2X+ 3y) = 4X 2 + 6X y + 6X y + 9y 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2

Adică expresia (2 X+ 3y) 2 este egal cu 4X 2 + 12X y + 9y 2

(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2

Să rezolvăm un exemplu similar, care este mai simplu:

(a+b) 2

expresie ( a+b) 2 este înmulțirea a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( a+b)

(a+b) 2 = (a+b)(a+b)

Să facem această înmulțire:

(a+b) 2 = (a+b)(a+b) = A 2 + ab + ab + b 2 = A 2 + 2ab + b 2

Aceasta este expresia (a+b) 2 este egal cu A 2 + 2ab + b 2

(a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2

Se pare că cazul ( a+b) 2 poate fi extins pentru orice Ași b. Primul exemplu pe care l-am rezolvat, și anume (2 X+ 3y) 2 poate fi rezolvat folosind identitatea (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 . Pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți variabilele Ași b termenii corespunzători din expresia (2 X+ 3y) 2 . În acest caz, variabila A meci cu pula 2 X, și variabila b potrivește pula 3 y

A = 2X

b = 3y

Și apoi putem folosi identitatea (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 , dar în loc de variabile Ași b trebuie să înlocuiți expresiile 2 Xși 3 y respectiv:

(2X+ 3y) 2 = (2X) 2 + 2 × 2 X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2

Ca și data trecută, am primit un polinom 4X 2 + 12X y+ 9y 2 . Soluția este de obicei scrisă mai scurt, efectuând toate transformările elementare în minte:

(2X+ 3y) 2 = 4X 2 + 12X y+ 9y 2

Identitate (a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2 se numește formula pentru pătratul sumei a două expresii. Această formulă poate fi citită astfel:

Pătratul sumei a două expresii este egal cu pătratul primei expresii plus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

Se consideră expresia (2 + 3) 2 . Acesta poate fi calculat în două moduri: efectuați adunarea între paranteze și pătrați rezultatul sau utilizați formula pentru pătratul sumei a două expresii.

Prima cale:

(2 + 3) 2 = 5 2 = 25

A doua cale:

(2 + 3) 2 = 2 2 + 2 × 2 × 3 + 3 2 = 4 + 12 + 9 = 25

Exemplul 2. Conversia expresiei (5 A+ 3) 2 într-un polinom.

Să folosim formula pentru pătratul sumei a două expresii:

(a+b) 2 = A 2 + 2ab + b 2

(5un + 3) 2 = (5A) 2 + 2 × 5 a × 3 + 3 2 = 25A 2 + 30A + 9

Mijloace, (5un + 3) 2 = 25A 2 + 30A + 9.

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula sumei pătrate. Ar trebui să obținem același rezultat:

(5un + 3) 2 = (5un + 3)(5un + 3) = 25A 2 + 15A + 15A + 9 = 25A 2 + 30A + 9

Formula pentru pătratul sumei a două expresii are o semnificație geometrică. Ne amintim că pentru a calcula aria unui pătrat, trebuie să ridicați latura acestuia la a doua putere.

De exemplu, aria unui pătrat cu o latură A va fi egal cu A 2. Dacă măriți latura pătratului cu b, atunci aria va fi egală cu ( a+b) 2

Luați în considerare următoarea figură:

Imaginați-vă că latura pătratului prezentat în această figură este mărită cu b. Un pătrat are toate laturile egale. Dacă latura sa este mărită cu b, atunci și celelalte părți vor crește cu b

Rezultatul este un pătrat nou, care este mai mare decât cel anterior. Pentru a vedea bine, să completăm părțile lipsă:

Pentru a calcula aria acestui pătrat, puteți calcula separat pătratele și dreptunghiurile incluse în acesta, apoi adăugați rezultatele.

În primul rând, puteți calcula un pătrat cu o latură A- aria sa va fi egală cu A 2. Apoi puteți calcula dreptunghiuri cu laturi Ași b- vor fi egali ab. Apoi puteți calcula un pătrat cu o latură b

Rezultatul este următoarea sumă de zone:

A 2 + ab+ab + b 2

Suma ariilor dreptunghiurilor identice poate fi înlocuită prin înmulțirea cu 2 ab, ceea ce înseamnă literal "repetă de două ori aria dreptunghiului ab" . Din punct de vedere algebric, aceasta se obține prin reducerea termenilor similari abși ab. Rezultatul este o expresie A 2 + 2ab+ b 2 , care este partea dreaptă a formulei pentru pătratul sumei a două expresii:

(a+b) 2 = A 2 + 2ab+ b 2

Pătratul diferenței a două expresii

Formula pentru pătratul diferenței a două expresii este următoarea:

(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2

Pătratul diferenței a două expresii este egal cu pătratul primei expresii minus de două ori produsul primei expresii și al doilea plus pătratul celei de-a doua expresii.

Formula pentru pătratul diferenței a două expresii este derivată în același mod ca și formula pentru pătratul sumei a două expresii. expresie ( a-b) 2 este produsul a două polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( a-b)

(a-b) 2 = (a-b)(a-b)

Dacă efectuați această înmulțire, obțineți un polinom A 2 − 2ab + b 2

(a-b) 2 = (a-b)(a-b) = A 2 − ab− ab+ b 2 = A 2 − 2ab + b 2

Exemplul 1. Conversia expresiei (7 X− 5) 2 într-un polinom.

Să folosim formula pătratului diferenței a două expresii:

(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2

(7X− 5) 2 = (7X) 2 − 2 × 7 x × 5 + 5 2 = 49X 2 − 70X + 25

Mijloace, (7X− 5) 2 = 49X 2 + 70X + 25.

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula diferențelor pătrate. Ar trebui să obținem același rezultat:

(7X− 5) 2 = (7X− 5) (7X− 5) = 49X 2 − 35X − 35X + 25 = 49X 2 − 70X+ 25.

Formula pentru pătratul diferenței a două expresii are și o semnificație geometrică. Dacă aria unui pătrat cu o latură A este egal cu A 2, apoi aria pătratului a cărui latură este redusă cu b, va fi egal cu ( a-b) 2

Luați în considerare următoarea figură:

Imaginați-vă că latura pătratului prezentat în această figură este redusă cu b. Un pătrat are toate laturile egale. Dacă o parte este redusă cu b, atunci și celelalte părți vor scădea cu b

Rezultatul este un pătrat nou, care este mai mic decât cel anterior. Este evidențiată cu galben în figură. Partea sa este A− b din partea veche A a scăzut cu b. Pentru a calcula aria acestui pătrat, puteți utiliza aria inițială a pătratului A 2 scădeți ariile dreptunghiurilor care au fost obținute în procesul de reducere a laturilor pătratului vechi. Să arătăm aceste dreptunghiuri:

Apoi putem scrie următoarea expresie: zonă veche A 2 minus zona ab zona minus ( a-b)b

A 2 − ab − (a-b)b

Extindeți parantezele din expresia ( a-b)b

A 2 − ab - ab + b 2

Iată termeni similari:

A 2 − 2ab + b 2

Rezultatul este o expresie A 2 − 2ab + b 2 , care este partea dreaptă a formulei pentru pătratul diferenței a două expresii:

(a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2

Formulele pentru pătratul sumei și pătratul diferenței sunt denumite în general formule de înmulțire prescurtate. Aceste formule vă permit să simplificați și să accelerați semnificativ procesul de înmulțire a polinoamelor.

Mai devreme spuneam că considerând un membru al unui polinom separat, acesta trebuie considerat împreună cu semnul care se află în fața acestuia.

Dar atunci când se aplică formulele de înmulțire prescurtate, semnul polinomului original nu trebuie considerat ca semn al acestui termen în sine.

De exemplu, având în vedere expresia (5 X − 2y) 2 și dorim să folosim formula (a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2 , apoi în loc de b trebuie înlocuit 2 y, nu −2 y. Aceasta este o caracteristică a lucrului cu formule care nu trebuie uitate.

(5X − 2y) 2
A = 5X
b = 2y
(5X − 2y) 2 = (5X) 2 − 2 × 5 X×2 y + (2y) 2 = 25X 2 − 20X y + 4y 2

Dacă înlocuim −2 y, atunci aceasta va însemna că diferența dintre parantezele expresiei originale a fost înlocuită cu suma:

(5X − 2y) 2 = (5X + (−2y)) 2

și în acest caz este necesar să se aplice nu formula pătratului diferenței, ci formula pătratului sumei:

(5X + (−2y) 2
A = 5X
b = −2y
(5X + (−2y)) 2 = (5X) 2 + 2 × 5 X× (−2 y) + (−2y) 2 = 25X 2 − 20X y + 4y 2

O excepție pot fi expresiile formei (X− (−y)) 2 . În acest caz, folosind formula (a-b) 2 = A 2 − 2ab + b 2 în loc de b ar trebui înlocuit (− y)

(X− (−y)) 2 = X 2 − 2 × X× (− y) + (−y) 2 = X 2 + 2X y + y 2

Dar cuadratura expresii ale formei X − (−y) , va fi mai convenabil să înlocuiți scăderea cu adunarea x+y. Atunci expresia originală va lua forma ( x +y) 2 și se va putea folosi formula pătratului sumei, și nu diferența:

(x +y) 2 = X 2 + 2X y + y 2

Cubul Sum și Cubul Diferență

Formulele pentru cubul sumei a două expresii și cubul diferenței a două expresii sunt următoarele:

(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3

(a-b) 3 = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3

Formula pentru cubul sumei a două expresii poate fi citită astfel:

Cubul sumei a două expresii este egal cu cubul primei expresii plus de trei ori pătratul primei expresii ori a doua plus de trei ori produsul primei expresii ori pătratul celei de-a doua plus cubul celei de-a doua expresie.

Și formula pentru cubul diferenței a două expresii poate fi citită după cum urmează:

Cubul diferenței a două expresii este egal cu cubul primei expresii minus de trei ori produsul pătratului primei expresii și al doilea plus de trei ori produsul primei expresii și pătratul celei de-a doua minus cubul a celei de-a doua expresii.

Când rezolvați probleme, este de dorit să cunoașteți aceste formule pe de rost. Dacă nu vă amintiți, nu vă faceți griji! Le poți scoate singur. Știm deja cum.

Să derivăm singuri formula cubului sumei:

(a+b) 3

expresie ( a+b) 3 este un produs a trei polinoame, fiecare dintre ele egal cu ( A+ b)

(a+b) 3 = (A+ b)(A+ b)(A+ b)

Dar expresia ( a+b) 3 poate fi scris și ca (A+ b)(A+ b) 2

(a+b) 3 = (A+ b)(A+ b) 2

În acest caz, factorul ( A+ b) 2 este pătratul sumei celor două expresii. Acest pătrat al sumei este egal cu expresia A 2 + 2ab + b 2 .

Apoi ( a+b) 3 poate fi scris ca (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2) .

(a+b) 3 = (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2)

Și aceasta este înmulțirea unui polinom cu un polinom. Hai să-l executăm:

(a+b) 3 = (A+ b)(A 2 + 2ab + b 2) = A 3 + 2A 2 b + ab 2 + A 2 b + 2ab 2 + b 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3

În mod similar, puteți obține formula pentru cubul diferenței a două expresii:

(a-b) 3 = (A- b)(A 2 − 2ab + b 2) = A 3 − 2A 2 b + ab 2 − A 2 b + 2ab 2 − b 3 = A 3 − 3A 2 b+ 3ab 2 − b 3

Exemplul 1. Convertiți expresia ( X+ 1) 3 într-un polinom.

(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3

(X+ 1) 3 = X 3+3× X 2×1 + 3× X× 1 2 + 1 3 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula cubului sumei a două expresii

(X+ 1) 3 = (X+ 1)(X+ 1)(X+ 1) = (X+ 1)(X 2 + 2X + 1) = X 3 + 2X 2 + X + X 2 + 2X + 1 = X 3 + 3X 2 + 3X + 1

Exemplul 2. Convertiți expresia (6A 2 + 3b 3) 3 într-un polinom.

Să folosim formula cubului pentru suma a două expresii:

(A + b) 3 = A 3 + 3A 2 b + 3ab 2 + b 3

(6A 2 + 3b 3) 3 = (6A 2) 3 + 3 × (6 A 2) 2×3 b 3+3×6 A 2 × (3b 3) 2 + (3b 3) 3 = 216A 6+3×36 A 4×3 b 3+3×6 A 2×9 b 6 + 27b 9

Exemplul 3. Convertiți expresia ( n 2 − 3) 3 într-un polinom.

(a-b) = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3

(n 2 − 3) 3 = (n 2) 3 − 3 × ( n 2) 2×3 + 3× n 2 × 3 2 − 3 3 = n 6 − 9n 4 + 27n 2 − 27

Exemplul 4. Convertiți expresia (2X 2 − X 3) 3 într-un polinom.

Să folosim formula cubului a diferenței a două expresii:

(a-b) = A 3 − 3A 2 b + 3ab 2 − b 3

(2X 2 − X 3) 3 = (2X 2) 3 − 3 × (2 X 2) 2× X 3+3×2 X 2×( X 3) 2 − (X 3) 3 =
8X 6 − 3 × 4 X 4× X 3+3×2 X 2× X 6 − X 9 =
8X 6 − 12X 7 + 6X 8 − X 9

Înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor

Există probleme în care se cere să se înmulțească diferența a două expresii cu suma lor. De exemplu:

(a-b)(a+b)

În această expresie, diferența dintre două expresii Ași bînmulțit cu suma acelorași două expresii. Să facem această înmulțire:

(a-b)(a+b) = A 2 + ab − ab − b 2 = A 2 − b 2

Aceasta este expresia (a-b)(a+b) egală A 2 − b 2

(a-b)(a+b) = A 2 − b 2

Vedem că atunci când înmulțim diferența a două expresii cu suma lor, obținem diferența pătratelor acestor expresii.

Produsul dintre diferența a două expresii și suma lor este egal cu diferența pătratelor acestor expresii.

Se întâmplă (a-b)(a+b) poate fi extins la oricare Ași b. Mai simplu spus, dacă la rezolvarea unei probleme este necesară înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor, atunci această înmulțire poate fi înlocuită cu diferența pătratelor acestor expresii.

Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X − 5)(2X + 5)

În acest exemplu, diferența de expresie este 2 Xși 5 înmulțit cu suma acestor expresii. Apoi conform formulei (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 noi avem:

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2

Calculăm partea dreaptă, obținem 4 X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = (2X) 2 − 5 2 = 4X 2 − 25

Să încercăm să rezolvăm acest exemplu fără a folosi formula (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 . Vom obține același rezultat 4 X 2 − 25

(2X − 5)(2X + 5) = 4X 2 − 10X + 10X − 25 = 4X 2 − 25

Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (4X − 5y)(4X + 5y)

(a-b)(a+b) = A 2 − b 2

(4X − 5y)(4X + 5y) = (4X) 2 − (5y) 2 = 16X 2 − 25y 2

Exemplul 3. Efectuați înmulțirea (2A+ 3b)(2A− 3b)

Să folosim formula pentru înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor:

(a-b)(a+b) = A 2 − b 2

(2un + 3b)(2A- 3b) = (2A) 2 − (3b) 2 = 4A 2 − 9b 2

În acest exemplu, suma termenilor este 2 Ași 3 b situate mai devreme decât diferența acestor termeni. Și în formulă (a-b)(a+b) = A 2 − b 2 diferența este localizată mai devreme.

Nu contează modul în care sunt aranjați factorii ( a-b) în ( a+b) în formulă. Ele pot fi scrise ca (a-b)(a+b) , și (a+b)(a-b) . Rezultatul va fi tot A 2 − b 2, deoarece produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.

Deci, în acest exemplu, factorii (2 un + 3b) și 2 A- 3b) poate fi scris ca (2un + 3b)(2A- 3b) , și (2A- 3b)(2un + 3b) . Rezultatul va fi tot 4. A 2 − 9b 2 .

Exemplul 3. Efectuați înmulțirea (7 + 3X)(3X − 7)

Să folosim formula pentru înmulțirea diferenței a două expresii cu suma lor:

(a-b)(a+b) = A 2 − b 2

(7 + 3X)(3X − 7) = (3X) 2 − 7 2 = 9X 2 − 49

Exemplul 4. Efectuați înmulțirea (X 2 − y 3)(X 2 + y 3)

(a-b)(a+b) = A 2 − b 2

(X 2 − y 3)(X 2 + y 3) = (X 2) 2 − (y 3) 2 = X 4 − y 6

Exemplul 5. Efectuați înmulțirea (−5X− 3y)(5X− 3y)

În expresia (−5 X− 3y) scoatem −1, atunci expresia originală va lua următoarea formă:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y)

Muncă (5X + 3y)(5X − 3y) înlocuiți cu diferența de pătrate:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2)

Diferența de pătrate a fost inclusă între paranteze. Dacă acest lucru nu se face, atunci se va dovedi că −1 este înmulțit doar cu (5 X) 2 . Și acest lucru va duce la o eroare și va schimba valoarea expresiei originale.

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) = −1(25X 2 − 9X 2)

Acum înmulțiți −1 cu expresia între paranteze și obțineți rezultatul final:

(−5X− 3y)(5X− 3y) = −1(5X + 3y)(5X − 3y) = −1((5X) 2 − (3y) 2) =
−1(25X 2 − 9y 2) = −25X 2 + 9y 2

Înmulțirea diferenței a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor

Există probleme în care se cere să se înmulțească diferența a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor. Piesa asta arata asa:

(a-b)(A 2 + ab + b 2)

Primul polinom ( a-b) este diferența dintre două expresii și al doilea polinom (A 2 + ab + b 2) este pătratul incomplet al sumei acestor două expresii.

Pătratul incomplet al sumei este un polinom de formă A 2 + ab + b 2 . Este similar cu pătratul obișnuit al sumei A 2 + 2ab + b 2

De exemplu, expresia 4X 2 + 6X y + 9y 2 este un pătrat incomplet al sumei expresiilor 2 Xși 3 y .

Într-adevăr, primul termen al expresiei 4X 2 + 6X y + 9y 2 , și anume 4 X 2 este pătratul expresiei 2 X, deoarece (2 X) 2 = 4X 2. Al treilea termen al expresiei 4X 2 + 6X y + 9y 2 , și anume 9 y 2 este pătratul lui 3 y, deoarece (3 y) 2 = 9y 2. pula de mijloc 6 X y, este produsul expresiilor 2 Xși 3 y.

Deci, să înmulțim diferența ( a-b) printr-un pătrat incomplet al sumei A 2 + ab + b 2

(a-b)(A 2 + ab + b 2) = A(A 2 + ab + b 2) − b(A 2 + ab + b 2) =
A 3 + A 2 b + ab 2 − A 2 b − ab 2 − b 3 = A 3 − b 3

Aceasta este expresia (a-b)(A 2 + ab + b 2) egală A 3 − b 3

(a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3

Această identitate se numește formula de înmulțire a diferenței a două expresii cu pătratul incomplet al sumei lor. Această formulă poate fi citită astfel:

Produsul dintre diferența a două expresii și pătratul incomplet al sumei lor este egal cu diferența cuburilor acestor expresii.

Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2)

Primul polinom (2 X − 3y) este diferența dintre două expresii 2 Xși 3 y. Al doilea polinom 4X 2 + 6X y + 9y 2 este pătratul incomplet al sumei a două expresii 2 Xși 3 y. Acest lucru ne permite să folosim formula fără a face calcule lungi (a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3 . În cazul nostru, înmulțirea (2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) poate fi înlocuit cu diferența de cuburi 2 Xși 3 y

(2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) = (2X) 3 − (3y) 3 = 8X 3 − 27y 3

(a-b)(A 2 + ab+ b 2) = A 3 − b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:

(2X − 3y)(4X 2 + 6X y + 9y 2) = 2X(4X 2 + 6X y + 9y 2) − 3y(4X 2 + 6X y + 9y 2) =
8x 3 + 12X 2 y + 18X y 2 − 12X 2 y − 18X y 2 − 27y 3 = 8X 3 − 27y 3

Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (3 − X)(9 + 3X + X 2)

Primul polinom (3 − X) este diferența dintre cele două expresii, iar al doilea polinom este pătratul incomplet al sumei acestor două expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula (a-b)(A 2 + ab + b 2) = A 3 − b 3

(3 − X)(9 + 3X + X 2) = 3 3 − X 3 = 27 − X 3

Înmulțirea sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor

Există probleme în care se cere înmulțirea sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor. Piesa asta arata asa:

(a+b)(A 2 − ab + b 2)

Primul polinom ( a+b (A 2 − ab + b 2) este un pătrat incomplet al diferenței acestor două expresii.

Pătratul incomplet al diferenței este un polinom de formă A 2 − ab + b 2 . Este similar cu diferența obișnuită la pătrat A 2 − 2ab + b 2 cu excepția faptului că în ea produsul primei și celei de-a doua expresii nu este dublat.

De exemplu, expresia 4X 2 − 6X y + 9y 2 este un pătrat incomplet al diferenței expresiilor 2 Xși 3 y .

(2X) 2 − 2X× 3 y + (3y) 2 = 4X 2 − 6X y + 9y 2

Să revenim la exemplul inițial. Să înmulțim suma a+b prin pătratul incomplet al diferenței A 2 − ab + b 2

(a+b)(A 2 − ab + b 2) = A(A 2 − ab + b 2) + b(A 2 − ab + b 2) =
A 3 − A 2 b + ab 2 + A 2 b − ab 2 + b 3 = A 3 + b 3

Aceasta este expresia (a+b)(A 2 − ab + b 2) egală A 3 + b 3

(a+b)(A 2 − ab + b 2) = A 3 + b 3

Această identitate se numește formula de înmulțire a sumei a două expresii cu pătratul incomplet al diferenței lor. Această formulă poate fi citită astfel:

Produsul sumei a două expresii și pătratul incomplet al diferenței lor este egal cu suma cuburilor acestor expresii.

Exemplul 1. Efectuați înmulțirea (2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2)

Primul polinom (2 X + 3y) este suma a două expresii 2 Xși 3 y, și al doilea polinom 4X 2 − 6X y + 9y 2 este pătratul incomplet al diferenței acestor expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula fără a face calcule lungi (a+b)(A 2 − ab + b 2) = A 3 + b 3 . În cazul nostru, înmulțirea (2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) poate fi înlocuit cu suma cuburilor 2 Xși 3 y

(2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) = (2X) 3 + (3y) 3 = 8X 3 + 27y 3

Să încercăm să rezolvăm același exemplu fără a folosi formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:

(2X + 3y)(4X 2 − 6X y + 9y 2) = 2X(4X 2 − 6X y + 9y 2) + 3y(4X 2 − 6X y + 9y 2) =
8X 3 − 12X 2 y + 18X y 2 + 12X 2 y − 18X y 2 + 27y 3 = 8X 3 + 27y 3

Exemplul 2. Efectuați înmulțirea (2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2)

Primul polinom (2 X+ y) este suma a două expresii, iar al doilea polinom (4X 2 − 2X y + y 2) este un pătrat incomplet al diferenței acestor expresii. Acest lucru ne permite să folosim formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3

(2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2) = (2X) 3 + y 3 = 8X 3 + y 3

Să încercăm să rezolvăm același exemplu fără a folosi formula (a+b)(A 2 − ab+ b 2) = A 3 + b 3 . Obținem același rezultat, dar soluția devine mai lungă:

(2X+ y)(4X 2 − 2X y + y 2) = 2X(4X 2 − 2X y + y 2) + y(4X 2 − 2X y + y 2) =
8X 3 − 4X 2 y + 2X y 2 + 4X 2 y − 2X y 2 + y 3 = 8X 3 + y 3

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Pentru a simplifica polinoamele algebrice, există formule de înmulțire prescurtate. Nu sunt atât de multe și sunt ușor de reținut, dar trebuie să le amintiți. Notația folosită în formule poate lua orice formă (număr sau polinom).

Prima formulă de înmulțire prescurtată se numește diferența de pătrate. Constă în faptul că din pătratul unui număr se scade pătratul celui de-al doilea număr egal cu diferența dintre aceste numere, precum și produsul lor.

a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)

Să analizăm pentru claritate:

22 2 - 4 2 = (22-4)(22+4)=18 * 26 = 468
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc)(3a + 2bc)

A doua formulă despre suma patratelor. Se pare că suma a două valori pătrate este egală cu pătratul primei valori, i se adaugă produsul dublu al primei valori înmulțit cu a doua, pătratul celei de-a doua valori li se adaugă.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Datorită acestei formule, devine mult mai ușor să calculați pătratul unui număr mare, fără utilizarea tehnologiei computerizate.

Deci de exemplu: pătratul lui 112 va fi
1) La început, vom analiza 112 în numere ale căror pătrate ne sunt familiare
112 = 100 + 12
2) Introducem primitul intre paranteze la patrat
112 2 = (100+12) 2
3) Aplicând formula, obținem:
112 2 = (100+12) 2 = 100 2 + 2 * 100 * 12 + 122 = 10000 + 2400+ 144 = 12544

A treia formulă este diferența la pătrat. Ceea ce spune că două valori scăzute una de alta la pătrat sunt egale cu faptul că, din prima valoare la pătrat, scade produsul dublu al primei valori înmulțit cu a doua, adăugându-le pătratul celei de-a doua valori. .

(a + b) 2 \u003d a 2 - 2ab + b 2

unde (a - b) 2 este egal cu (b - a) 2 . Pentru a demonstra acest lucru, (a-b) 2 = a 2 -2ab + b 2 = b 2 -2ab + a 2 = (b-a) 2

A patra formulă de înmulțire prescurtată se numește cub suma. Ceea ce sună așa: doi termeni ai valorii din cub sunt egali cu cubul de 1 valoare, se adaugă produsul triplu de 1 valoare la pătrat înmulțit cu a 2-a valoare, la ei se adaugă produsul triplu de 1 valoare înmulțit cu pătratul de 2 valoare, plus a doua valoare cub.

(a + b) 3 \u003d a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

A cincea, așa cum ați înțeles deja, se numește cub de diferență. Care găsește diferențele dintre valori, deoarece din prima denumire din cub scădem produsul triplu al primei denumiri la pătrat înmulțit cu a doua, li se adaugă produsul triplu al primei denumiri înmulțit cu pătratul celei de-a doua denumiri. , minus a doua denumire din cub.

(a-b) 3 \u003d a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Al șaselea se numește suma de cuburi. Suma cuburilor este egală cu produsul a doi termeni înmulțit cu pătratul incomplet al diferenței, deoarece nu există o valoare dublată în mijloc.

a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 -ab + b 2)

Într-un alt mod, puteți spune că suma cuburilor poate fi numită produsul din două paranteze.

Al șaptelea și ultimul este numit diferenta de cuburi(este ușor să-l confundați cu formula cubului diferențelor, dar acestea sunt lucruri diferite). Diferența de cuburi este egală cu produsul diferenței a două valori înmulțit cu pătratul incomplet al sumei, deoarece nu există o valoare dublată în mijloc.

a 3 - b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)

Și deci există doar 7 formule de înmulțire prescurtată, sunt asemănătoare între ele și sunt ușor de reținut, singurul lucru este să nu te încurci în semne. De asemenea, sunt concepute pentru a fi utilizate în ordine inversă și există destul de multe astfel de sarcini colectate în manuale. Fii atent și vei reuși.

Dacă aveți întrebări despre formule, asigurați-vă că le scrieți în comentarii. Vom fi bucuroși să vă răspundem!

Dacă ești în concediu de maternitate, dar vrei să câștigi bani. Doar urmați linkul Afaceri pe Internet cu Oriflame. Totul este scris și prezentat în detaliu. Va fi interesant!