Un triunghi este o figură geometrică care constă din trei linii drepte care se conectează în puncte care nu se află pe o singură linie dreaptă. Punctele de legătură ale liniilor sunt vârfurile triunghiului, care sunt notate cu litere latine (de exemplu, A, B, C). Triunghiurile drepte de legătură se numesc segmente de linie, care sunt, de asemenea, de obicei notate cu litere latine. Se disting următoarele tipuri de triunghiuri:

Dreptunghiular.
Obtuz.
Unghi acut.
Versatil.
Echilateral.
Isoscel.

Formule generale pentru calcularea ariei unui triunghi

Formula pentru aria unui triunghi după lungime și înălțime

S = a * h / 2,
unde a este lungimea laturii triunghiului, a cărui zonă se găsește, h este lungimea înălțimii trase la bază.

Formula Heron

S = √p * (p-a) * (p-b) * (p-c),
unde √ este rădăcina pătrată, p este jumătatea perimetrului triunghiului, a, b, c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului. Demi-perimetrul unui triunghi poate fi calculat folosind formula p = (a + b + c) / 2.

Formula pentru aria unui triunghi după unghiul și lungimea segmentului

S = (a * b * sin (α)) / 2,
unde b, c este lungimea laturilor triunghiului, sin (α) este sinusul unghiului dintre cele două laturi.

Formula pentru aria unui triunghi de-a lungul razei cercului inscripționat și a celor trei laturi

S = p * r,
unde p este semiperimetrul triunghiului a cărui zonă doriți să o găsiți, r este raza cercului înscris în acest triunghi.

Formula pentru aria unui triunghi pe trei laturi și raza unui cerc circumscris în jurul său

S = (a * b * c) / 4 * R,
unde a, b, c este lungimea fiecărei laturi a triunghiului, R este raza unui cerc circumscris în jurul triunghiului.

Formula pentru aria unui triunghi după coordonatele carteziene ale punctelor

Coordonatele carteziene ale punctelor sunt coordonate în sistemul xOy, unde x este o abscisă, y este o ordonată. Sistemul de coordonate cartezian xOy pe un plan se numește axe numerice perpendiculare Oх și Oy cu origine comună în punctul O. Dacă coordonatele punctelor de pe acest plan sunt date în forma A (x1, y1), B (x2, y2 ) și C (x3, y3), atunci puteți calcula aria unui triunghi folosind următoarea formulă, care se obține din produsul încrucișat al doi vectori.
S = | (x1 - x3) (y2 - y3) - (x2 - x3) (y1 - y3) | / 2,
unde || denotă un modul.

Cum se găsește aria unui triunghi dreptunghiular

Un triunghi unghiular este un triunghi care are un unghi de 90 de grade. Un triunghi poate avea doar un astfel de unghi.

Formula pentru aria unui triunghi unghiular în două picioare

S = a * b / 2,
unde a, b este lungimea picioarelor. Laturile sunt numite laturi adiacente unui unghi drept.

Formula pentru aria unui triunghi unghiular după hipotenuză și unghi acut

S = a * b * sin (α) / 2,
unde a, b sunt picioarele triunghiului, iar sin (α) este sinusul unghiului la care se intersectează liniile a, b.

Formula pentru aria unui triunghi unghiular după picior și unghiul opus

S = a * b / 2 * tan (β),
unde a, b sunt picioarele triunghiului, tg (β) este tangenta unghiului la care sunt conectate picioarele a, b.

Cum se calculează aria unui triunghi isoscel

Un triunghi isoscel este un triunghi care are două laturi egale. Aceste laturi se numesc laturi, iar cealaltă parte este baza. Puteți utiliza una dintre următoarele formule pentru a calcula aria unui triunghi isoscel.

Formula de bază pentru calcularea ariei unui triunghi isoscel

S = h * c / 2,
unde c este baza triunghiului, h este înălțimea triunghiului căzut la bază.

Formula unui triunghi isoscel pe lateral și bază

S = (c / 2) * √ (a * a - c * c / 4),
unde c este baza triunghiului, a este mărimea uneia dintre laturile laterale ale unui triunghi isoscel.

Cum se găsește aria unui triunghi echilateral

Un triunghi echilateral este un triunghi în care toate laturile sunt egale. Pentru a calcula aria unui triunghi echilateral, puteți utiliza următoarea formulă:
S = (√3 * a * a) / 4,
unde a este lungimea laterală a unui triunghi echilateral.

Formulele de mai sus vă vor permite să calculați aria dorită a triunghiului. Este important să ne amintim că pentru a calcula aria triunghiurilor, trebuie să luați în considerare tipul de triunghi și datele disponibile care pot fi utilizate pentru calcul.

Instrucțiuni

Petreceri iar colțurile sunt considerate elemente de bază A... Un triunghi este complet definit de oricare dintre următoarele elemente de bază: fie de trei laturi, fie de o parte și două colțuri, fie de două laturi și un unghi între ele. Pentru existență triunghi definit de trei laturi a, b, c, este necesar și suficient pentru a satisface inegalitățile, numite inegalități triunghi:
a + b> c,
a + c> b,
b + c> a.

Pentru construire triunghi pe trei laturi a, b, c, este necesar din punctul C al segmentului CB = a cum se trasează un cerc de rază b cu o busolă. Apoi, în același mod, desenați un cerc din punctul B cu o rază egală cu latura c. Punctul lor de intersecție A este al treilea vârf al doritului triunghi ABC, unde AB = c, CB = a, CA = b - laturi triunghi... Problema are, dacă laturile a, b, c, satisfac inegalitățile triunghi specificate în pasul 1.

Zona S construită în acest fel triunghi ABC cu laturile cunoscute a, b, c, se calculează după formula lui Heron:
S = v (p (p-a) (p-b) (p-c)),
unde a, b, c - laturile triunghi, p este un semiperimetru.
p = (a + b + c) / 2

Dacă un triunghi este echilateral, adică toate laturile sale sunt egale (a = b = c). triunghi calculat după formula:
S = (a ^ 2 v3) / 4

Dacă triunghiul este dreptunghiular, adică unul dintre colțurile sale este de 90 °, iar laturile care îl formează sunt picioare, a treia parte este hipotenuză. În acest caz pătrat este egal cu produsul picioarelor împărțit la două.
S = ab / 2

A găsi pătrat triunghi, puteți utiliza una dintre numeroasele formule. Alegeți formula în funcție de ce date sunt deja cunoscute.

Vei avea nevoie

cunoașterea formulelor pentru găsirea ariei unui triunghi

Instrucțiuni

Dacă cunoașteți magnitudinea uneia dintre laturi și magnitudinea înălțimii coborâte în această parte din colțul opus, atunci puteți găsi aria prin următoarele: S = a * h / 2, unde S este aria Triunghiul, a este una dintre laturile triunghiului, și h - înălțimea, pe partea a.

Există o modalitate cunoscută de a determina aria unui triunghi dacă sunt cunoscute cele trei laturi ale acestuia. Este formula lui Heron. Pentru a simplifica înregistrarea sa, se introduce o valoare intermediară - un semi-perimetru: p = (a + b + c) / 2, unde a, b, c -. Atunci formula lui Heron este următoarea: S = (p (p-a) (p-b) (p-c)) ^ ½, ^ exponențiere.

Să presupunem că cunoașteți una dintre laturile unui triunghi și trei unghiuri. Atunci este ușor să găsești aria triunghiului: S = a²sinα sinγ / (2sinβ), unde β este unghiul opus laturii a, iar α și γ sunt unghiurile adiacente laterale.

Videoclipuri similare

Notă

Cea mai generală formulă potrivită pentru toate cazurile este formula Heron.

Surse:

Sfat 3: Cum să găsiți aria unui triunghi pe trei laturi

Găsirea ariei unui triunghi este una dintre cele mai frecvente sarcini în planimetria școlară. Cunoașterea celor trei laturi ale unui triunghi este suficientă pentru a determina aria oricărui triunghi. În cazuri speciale și triunghiuri echilaterale, este suficient să cunoaștem lungimile a două și respectiv a unei laturi.

Vei avea nevoie

lungimile laturilor triunghiurilor, formula lui Heron, teorema cosinusului

Instrucțiuni

Formula Heron pentru aria unui triunghi este următoarea: S = sqrt (p (p-a) (p-b) (p-c)). Dacă pictăm semiperimetrul p, obținem: S = sqrt (((a + b + c) / 2) ((b + ca) / 2) ((a + cb) / 2) ((a + bc) / 2)) = (sqrt ((a + b + c) (a + bc) (a + cb) (b + ca))) / 4.

De asemenea, puteți obține o formulă pentru aria unui triunghi din considerații, de exemplu, aplicând teorema cosinusului.

Prin teorema cosinusului, AC ^ 2 = (AB ^ 2) + (BC ^ 2) -2 * AB * BC * cos (ABC). Folosind denumirile introduse, acestea pot fi, de asemenea, sub forma: b ^ 2 = (a ^ 2) + (c ^ 2) -2a * c * cos (ABC). Prin urmare, cos (ABC) = ((a ^ 2) + (c ^ 2) - (b ^ 2)) / (2 * a * c)

Aria unui triunghi se găsește și prin formula S = a * c * sin (ABC) / 2 prin două laturi și unghiul dintre ele. Sinusul unghiului ABC poate fi exprimat în termeni ai acestuia utilizând identitatea trigonometrică de bază: sin (ABC) = sqrt (1 - ((cos (ABC)) ^ 2). Înlocuind sinusul în formula zonei și scriindu-l în jos, puteți veni cu formula pentru aria unui triunghi ABC.

Videoclipuri similare

Pentru lucrări de reparații, poate fi necesară măsurarea pătrat ziduri. Acest lucru face mai ușoară calcularea cantității necesare de vopsea sau tapet. Pentru măsurători, cel mai bine este să folosiți o bandă de măsurare sau o bandă de centimetru. Măsurătorile trebuie efectuate după ziduri au fost aliniate.

Vei avea nevoie

-ruletă;
-scară.

Instrucțiuni

A număra pătrat pereți, trebuie să cunoașteți înălțimea exactă a tavanelor, precum și să măsurați lungimea de-a lungul podelei. Acest lucru se face după cum urmează: luați un centimetru, așezați-l deasupra plintei. De obicei, un centimetru nu este suficient pentru întreaga lungime, așa că fixați-l în colț, apoi relaxați-vă la lungimea maximă. În acest moment, marcați cu un creion, notați rezultatul obținut și efectuați măsurarea ulterioară în același mod, începând de la ultimul punct de măsurare.

Plafoane standard în tipic - 2 metri 80 centimetri, 3 metri și 3 metri 20 centimetri, în funcție de casă. Dacă casa a fost construită înainte de anii 50, atunci, cel mai probabil, înălțimea reală este puțin mai mică decât cea indicată. Dacă calculezi pătrat pentru lucrări de reparații, atunci un stoc mic nu va afecta - luați în considerare pe baza standardului. Dacă tot trebuie să cunoașteți înălțimea reală - luați măsurători. Principiul este similar cu măsurarea lungimii, dar este necesară o scară.

Înmulțiți indicatorii obținuți - acesta este pătrat ta ziduri... Adevărat, atunci când pictați sau pentru aceasta este necesar să deduceți pătrat deschiderile ușilor și ferestrelor. Pentru a face acest lucru, așezați un centimetru de-a lungul deschiderii. Dacă vorbim despre o ușă pe care urmează să o schimbați ulterior, atunci cheltuiți cu cadrul ușii îndepărtat, luând în considerare numai pătrat direct deschiderea în sine. Aria ferestrei este calculată de-a lungul perimetrului cadrului său. După pătrat fereastra și ușa sunt calculate, scădeți rezultatul din suprafața totală a camerei obținute.

Vă rugăm să rețineți că măsurătorile de lungime și lățime ale camerei se efectuează împreună, astfel încât este mai ușor să fixați un centimetru sau o bandă măsurătoare și, în consecință, să obțineți un rezultat mai precis. Efectuați aceeași măsurare de mai multe ori pentru a vă asigura că cifrele obținute sunt exacte.

Videoclipuri similare

Găsirea volumului unui triunghi este într-adevăr o sarcină non-banală. Ideea este că un triunghi este o figură bidimensională, adică se află în întregime într-un singur plan, ceea ce înseamnă că pur și simplu nu are volum. Desigur, nu puteți găsi ceva care nu există. Dar să nu renunțăm! Se poate face următoarea presupunere - volumul unei figuri bidimensionale este aria sa. Vom căuta aria triunghiului.

Vei avea nevoie

foaie de hârtie, creion, riglă, calculator

Instrucțiuni

Desenați pe o bucată de hârtie folosind o riglă și un creion. Examinând cu atenție triunghiul, vă puteți asigura că într-adevăr nu, deoarece este desenat pe un plan. Etichetați laturile triunghiului: lăsați o parte să fie o latură, cealaltă parte b și a treia parte c. Etichetați vârfurile triunghiului cu A, B și C.

Măsurați fiecare parte a triunghiului cu o riglă și notați rezultatul. După aceea, restabiliți perpendiculara pe partea măsurată din vârful opus, o astfel de perpendiculară va fi înălțimea triunghiului. În cazul prezentat în figură, "h" perpendicular este restabilit pe partea "c" din vârful "A". Măsurați înălțimea rezultată cu o riglă și înregistrați măsurarea.

Se poate întâmpla să vă fie greu să reconstruiți perpendicularul exact. În acest caz, ar trebui să utilizați o formulă diferită. Măsurați toate laturile triunghiului cu o riglă. Apoi calculați jumătatea perimetrului triunghiului „p” adăugând lungimile rezultate ale laturilor și împărțind suma lor în jumătate. Având la dispoziție valoarea unui jumătate de perimetru, puteți folosi formula Heron. Pentru a face acest lucru, trebuie să extrageți rădăcina pătrată a următoarelor: p (p-a) (p-b) (p-c).

Ați obținut aria necesară a triunghiului. Problema găsirii volumului unui triunghi nu a fost rezolvată, dar așa cum am menționat mai sus, volumul nu este. Puteți găsi volumul, care este în esență un triunghi într-o lume tridimensională. Dacă ne imaginăm că triunghiul nostru original a devenit o piramidă tridimensională, atunci volumul unei astfel de piramide va fi produsul lungimii bazei sale de aria triunghiului pe care l-am obținut.

Notă

Calculele vor fi cu atât mai exacte, cu cât faceți mai atent măsurătorile.

Surse:

Calculator All to All - Portal de valori de referință
volumul triunghiului în 2019

Trei puncte care definesc în mod unic un triunghi în sistemul de coordonate carteziene sunt vârfurile sale. Cunoscând poziția lor față de fiecare dintre axele de coordonate, puteți calcula orice parametri ai acestei cifre plate, inclusiv cel limitat de perimetrul acesteia. pătrat... Acest lucru se poate face în mai multe moduri.

Instrucțiuni

Folosiți formula lui Heron pentru a calcula suprafața triunghi... Folosește dimensiunile celor trei laturi ale formei, așa că începeți calculul cu. Lungimea fiecărei părți trebuie să fie egală cu rădăcina sumei pătratelor lungimilor proiecțiilor sale pe axele de coordonate. Dacă notăm coordonatele A (X₁, Y₁, Z₁), B (X₂, Y₂, Z₂) și C (X₃, Y₃, Z₃), lungimile laturilor lor pot fi exprimate ca: AB = √ ((X₁-X₂ ) ² + (Y₁ -Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ²), BC = √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²), AC = √ ((X₁ -X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Pentru a simplifica calculele, introduceți o variabilă auxiliară - semi-perimetru (P). Deoarece aceasta este jumătate din suma lungimilor tuturor laturilor: P = ½ * (AB + BC + AC) = ½ * (√ ((X₁-X₂) ² + (Y₁-Y₂) ² + (Z₁-Z₂) ² ) + √ ((X₂-X₃) ² + (Y₂-Y₃) ² + (Z₂-Z₃) ²) + √ ((X₁-X₃) ² + (Y₁-Y₃) ² + (Z₁-Z₃) ²).

Triunghiul este o figură bine cunoscută pentru toată lumea. Și asta, în ciuda varietății bogate a formelor sale. Rectangular, echilateral, acut unghiular, isoscel, obtuz unghiular. Fiecare dintre ele este diferit într-un fel. Dar pentru oricine, trebuie să cunoașteți aria unui triunghi.

Formule comune tuturor triunghiurilor care folosesc lungimi sau înălțimi laterale

Denumiri adoptate în acestea: laturi - a, b, c; înălțimi pe laturile corespunzătoare n a, n v, n s.

1. Aria unui triunghi este calculată ca produsul ½, latura și înălțimea căzute pe el. S = ½ * a * n a. În mod similar, ar trebui să scrieți formulele pentru celelalte două părți.

2. Formula Heron, în care apare semi-perimetrul (se obișnuiește să o denotăm cu o literă mică p, spre deosebire de perimetrul complet). Semiperimetrul trebuie calculat după cum urmează: adăugați toate laturile și împărțiți-le la 2. Formula semiperimetrului: p = (a + b + c) / 2. Apoi egalitatea pentru aria figura arată astfel: S = √ (p * (p - a) * (p - c) * (p - c)).

3. Dacă nu doriți să utilizați un semi-perimetru, atunci o astfel de formulă va fi utilă, în care sunt prezente doar lungimile laturilor: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a) * (a + c - b) * (a + b - c)). Este ceva mai lung decât precedentul, dar vă va ajuta dacă ați uitat cum să găsiți un semi-perimetru.

Formule generale în care apar unghiurile unui triunghi

Denumiri care sunt necesare pentru a citi formulele: α, β, γ - unghiuri. Se află laturile opuse a, b, c, respectiv.

1. Conform acestuia, jumătate din produsul celor două laturi și sinusul unghiului dintre ele este egal cu aria triunghiului. Adică: S = ½ a * b * sin γ. În mod similar, ar trebui să scrieți formulele pentru celelalte două cazuri.

2. Aria unui triunghi poate fi calculată dintr-o parte și din trei unghiuri cunoscute. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Există, de asemenea, o formulă cu o latură cunoscută și două colțuri adiacente. Arată astfel: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

Ultimele două formule nu sunt cele mai ușoare. Este destul de dificil să le amintim.

Formule generale pentru o situație în care sunt cunoscute razele cercurilor înscrise sau circumscrise

Denumiri suplimentare: r, R - raze. Primul este folosit pentru raza cercului înscris. Al doilea este pentru cel descris.

1. Prima formulă utilizată pentru a calcula aria unui triunghi este asociată cu un semiperimetru. S = p * r. Într-un alt mod, poate fi scris astfel: S = ½ r * (a + b + c).

2. În al doilea caz, va trebui să înmulțiți toate laturile triunghiului și să le împărțiți pe raza cvadruplă a cercului circumscris. În termeni literali, arată astfel: S = (a * b * c) / (4R).

3. A treia situație face posibil să se facă fără a cunoaște laturile, dar sunt necesare valorile celor trei unghiuri. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Caz special: triunghi dreptunghiular

Aceasta este cea mai simplă situație, deoarece este necesară doar lungimea ambelor picioare. Acestea sunt desemnate prin literele latine a și b. Aria unui triunghi unghiular este egală cu jumătate din aria dreptunghiului completat cu acesta.

Matematic, arată astfel: S = ½ a * b. Este cea mai ușor de reținut. Deoarece arată ca formula pentru aria unui dreptunghi, doar că există încă o fracție care denotă jumătate.

Caz special: triunghi isoscel

Deoarece cele două părți ale sale sunt egale, unele formule pentru aria sa par oarecum simplificate. De exemplu, formula lui Heron, care este utilizată pentru a calcula aria unui triunghi isoscel, ia următoarea formă:

S = ½ в √ ((a + ½ в) * (a - ½ в)).

Dacă îl transformați, atunci va deveni mai scurt. În acest caz, formula lui Heron pentru un triunghi isoscel este scrisă după cum urmează:

S = ¼ în √ (4 * a 2 - b 2).

Formula ariei pare oarecum mai simplă decât pentru un triunghi arbitrar dacă laturile și unghiul dintre ele sunt cunoscute. S = ½ a 2 * sin β.

Caz special: triunghi echilateral

De obicei, se cunoaște o problemă despre el sau se poate afla cumva despre asta. Atunci formula prin care se găsește aria unui astfel de triunghi este următoarea:

S = (a 2 √3) / 4.

Probleme pentru găsirea zonei, dacă triunghiul este reprezentat pe hârtie în carouri

Cea mai simplă situație este atunci când un triunghi unghiular este desenat astfel încât picioarele sale să coincidă cu liniile hârtiei. Apoi, trebuie doar să numărați numărul de celule care se încadrează în picioare. Apoi înmulțiți-le și împărțiți-le la două.

Când triunghiul este unghi acut sau unghi obtuz, trebuie trasat într-un dreptunghi. Apoi figura rezultată va avea 3 triunghiuri. Unul este cel dat în sarcină. Iar celelalte două sunt auxiliare și dreptunghiulare. Determinați suprafețele celor două din urmă prin metoda descrisă mai sus. Apoi calculați aria dreptunghiului și scădeți din acesta cele calculate pentru cele auxiliare. A fost determinată aria triunghiului.

Mult mai complicată este situația în care niciuna dintre laturile triunghiului nu coincide cu liniile hârtiei. Apoi, trebuie să fie înscris în dreptunghi, astfel încât vârfurile formei originale să se afle pe laturile sale. În acest caz, vor exista trei triunghiuri auxiliare dreptunghiulare.

Un exemplu de problemă pentru formula lui Heron

Condiție. Un triunghi are laturi cunoscute. Acestea sunt egale cu 3, 5 și 6 cm. Este necesar să se afle aria acestuia.

Acum puteți calcula aria unui triunghi folosind formula de mai sus. Sub rădăcina pătrată este produsul a patru numere: 7, 4, 2 și 1. Adică aria este √ (4 * 14) = 2 √ (14).

Dacă nu este necesară mai multă precizie, atunci rădăcina pătrată de 14. Este egală cu 3,74. Atunci aria va fi egală cu 7,48.

Răspuns. S = 2 √14 cm 2 sau 7,48 cm 2.

Exemplu de problemă cu un triunghi unghiular

Condiție. Un picior al unui triunghi unghiular este cu 31 cm mai mare decât al doilea. Este necesar să se cunoască lungimile lor dacă aria triunghiului este de 180 cm 2.
Soluţie. Va trebui să rezolvăm un sistem de două ecuații. Primul este legat de zonă. Al doilea - cu raportul picioarelor, care este dat în problemă.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
În primul rând, valoarea „a” trebuie înlocuită în prima ecuație. Se pare: 180 = ½ (în + 31) * în. Are o singură cantitate necunoscută, deci este ușor de rezolvat. După extinderea parantezelor, se obține o ecuație pătratică: la 2 + 31 la - 360 = 0. Oferă două valori pentru "la": 9 și - 40. Al doilea număr nu este potrivit ca răspuns, deoarece lungimea a laturii unui triunghi nu poate fi negativă.

Rămâne să calculați a doua etapă: adăugați 31 la numărul rezultat. Se dovedește 40. Acestea sunt valorile necesare în problemă.

Răspuns. Picioarele triunghiului sunt de 9 și 40 cm.

Problema găsirii unei laturi prin zona, latura și unghiul unui triunghi

Condiție. Aria unui triunghi este de 60 cm 2. Este necesar să se calculeze una dintre laturile sale dacă a doua latură are 15 cm și unghiul dintre ele este de 30 °.

Soluţie. Pe baza desemnărilor acceptate, partea dorită „a”, cunoscută „b”, unghiul dat „γ”. Apoi, formula zonei poate fi rescrisă după cum urmează:

60 = ½ a * 15 * sin 30º. Aici sinusul de 30 de grade este 0,5.

După transformări, „a” se dovedește a fi egal cu 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Adică 16.

Răspuns. Latura dorită este de 16 cm.

Problema unui pătrat înscris într-un triunghi dreptunghiular

Condiție. Partea superioară a unui pătrat cu latura de 24 cm coincide cu unghiul drept al triunghiului. Celelalte două se întind pe picioare. Al treilea aparține ipotenuzei. Lungimea unuia dintre picioare este de 42 cm. Care este aria unui triunghi unghiular?

Soluţie. Luați în considerare două triunghiuri dreptunghiulare. Primul este specificat în sarcină. Al doilea se bazează pe binecunoscutul picior al triunghiului original. Sunt similare, deoarece au un unghi comun și sunt formate din linii drepte paralele.

Atunci relația picioarelor lor este egală. Picioarele triunghiului mai mic sunt de 24 cm (latura pătratului) și 18 cm (piciorul dat este de 42 cm, scade latura pătratului de 24 cm). Picioarele corespunzătoare ale triunghiului mare sunt 42 cm și x cm. Acest "x" este necesar pentru a calcula aria triunghiului.

18/42 = 24 / x, adică x = 24 * 42/18 = 56 (cm).

Atunci aria este egală cu produsul de 56 și 42 împărțit la două, adică 1176 cm 2.

Răspuns. Suprafața necesară este de 1176 cm 2.

Aria unui triunghi - formule și exemple de rezolvare a problemelor

Mai jos sunt formule pentru găsirea ariei unui triunghi arbitrar care sunt potrivite pentru găsirea ariei oricărui triunghi, indiferent de proprietățile, unghiurile sau dimensiunile acestuia. Formulele sunt prezentate sub forma unei imagini, aici sunt explicații privind utilizarea sau justificarea corectitudinii lor. De asemenea, o figură separată arată corespondența desemnărilor literelor în formule și a desemnărilor grafice din desen.

Notă ... Dacă triunghiul are proprietăți speciale (isoscel, dreptunghiular, echilateral), puteți utiliza formulele de mai jos, precum și formule speciale suplimentare care sunt valabile numai pentru triunghiurile cu aceste proprietăți:

"Formule pentru aria unui triunghi echilateral"

Formule de zonă pentru un triunghi

Explicații ale formulelor:
a, b, c- lungimile laturilor triunghiului, a cărui zonă dorim să o găsim
r- raza unui cerc înscris într-un triunghi
R- raza unui cerc circumscris în jurul unui triunghi
h- înălțimea triunghiului coborât în lateral
p- semi-perimetrul unui triunghi, 1/2 suma laturilor sale (perimetru)
α - unghiul opus laturii a a triunghiului
β - unghiul opus laturii b a triunghiului
γ - unghiul opus laturii c a triunghiului
h A, h b , h c- înălțimea triunghiului, coborât în partea a, b, c

Vă rugăm să rețineți că denumirile de mai sus corespund cu figura de mai sus, astfel încât atunci când rezolvați o problemă reală în geometrie, vă va fi mai ușor vizual să înlocuiți valorile corecte în locurile potrivite din formulă.

Aria triunghiului este jumătate din produsul înălțimii triunghiului după lungimea laturii pe care este coborâtă această înălțime(Formula 1). Corectitudinea acestei formule poate fi înțeleasă logic. Înălțimea scăzută la bază va împărți un triunghi arbitrar în două dreptunghiulare. Dacă completăm fiecare dintre ele într-un dreptunghi cu dimensiunile b și h, atunci, evident, aria acestor triunghiuri va fi exact jumătate din aria dreptunghiului (Sпр = bh)
Aria triunghiului este jumătate din produsul celor două laturi ale acestuia prin sinusul unghiului dintre ele(Formula 2) (a se vedea mai jos un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind această formulă). În ciuda faptului că pare diferit de cel anterior, poate fi ușor transformat în el. Dacă coborâm înălțimea de la unghiul B la latura b, se dovedește că produsul laturii a prin sinusul unghiului γ în funcție de proprietățile sinusului într-un triunghi dreptunghi este egal cu înălțimea triunghiului pe care l-am desenat, care ne va da formula anterioară
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită peste muncă jumătate din raza cercului înscris cu suma lungimilor tuturor laturilor sale(Formula 3), cu alte cuvinte, trebuie să înmulțiți semiperimetrul triunghiului cu raza cercului înscris (acest lucru este mai ușor de reținut)
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită împărțind produsul tuturor laturilor sale la 4 raze ale cercului circumscris în jurul său (Formula 4)
Formula 5 reprezintă găsirea ariei unui triunghi prin lungimile laturilor sale și semiperimetrul său (jumătate din suma tuturor laturilor sale)
Formula Heron(6) este o reprezentare a aceleiași formule fără a utiliza conceptul de semiperimetru, numai prin lungimile laturilor
Aria unui triunghi arbitrar este egală cu produsul pătratului laturii triunghiului de sinele unghiurilor adiacente acestei laturi împărțite la sinusul dublu al unghiului opus acestei laturi (Formula 7)
Aria unui triunghi arbitrar poate fi găsită ca produsul a două pătrate ale unui cerc circumscris în jurul său de sinele fiecărui colț. (Formula 8)
Dacă lungimea unei laturi și magnitudinea celor două unghiuri adiacente sunt cunoscute, atunci aria unui triunghi poate fi găsită ca pătratul acestei laturi, împărțit la suma dublă a cotangențelor acestor unghiuri (Formula 9)
Dacă se cunoaște doar lungimea fiecărei înălțimi a triunghiului (Formula 10), atunci aria unui astfel de triunghi este invers proporțională cu lungimile acestor înălțimi, așa cum se arată în formula lui Heron
Formula 11 vă permite să calculați aria unui triunghi de coordonatele vârfurilor sale, care sunt date ca valori (x; y) pentru fiecare vârf. Vă rugăm să rețineți că valoarea rezultată trebuie luată modul, deoarece coordonatele vârfurilor individuale (sau chiar ale tuturor) pot fi în intervalul valorilor negative

Notă... Următoarele sunt exemple de rezolvare a problemelor de geometrie pentru a găsi aria unui triunghi. Dacă trebuie să rezolvați o problemă în geometrie, care nu este similară cu cea care nu este aici, scrieți despre aceasta în forum. În soluții, în locul simbolului „rădăcină pătrată”, se poate utiliza funcția sqrt (), în care sqrt este simbolul rădăcinii pătrate, iar expresia radicală este indicată între paranteze.Uneori pentru expresii radicale simple simbolul √

Sarcină. Găsiți zona de-a lungul celor două laturi și unghiul dintre ele

Laturile triunghiului sunt de 5 și 6 cm. Unghiul dintre ele este de 60 de grade. Găsiți aria unui triunghi.

Soluţie.

Pentru a rezolva această problemă, vom folosi formula numărul doi din partea teoretică a lecției.
Aria unui triunghi poate fi găsită prin lungimile a două laturi și sinusul unghiului dintre ele și va fi egală cu
S = 1/2 ab sin γ

Deoarece avem toate datele necesare pentru soluție (conform formulei), trebuie doar să substituim valorile din starea problemei în formula:
S = 1/2 * 5 * 6 * sin 60

În tabelul valorilor funcțiilor trigonometrice, găsim și substituim valoarea sinusului de 60 de grade în expresie. Va fi egal cu rădăcina de trei la doi.
S = 15 √3 / 2

Răspuns: 7,5 √3 (în funcție de cerințele profesorului, probabil că puteți părăsi 15 √3 / 2)

Sarcină. Găsiți aria unui triunghi echilateral

Găsiți aria unui triunghi echilateral cu latura de 3 cm.

Soluție.

Aria unui triunghi poate fi găsită folosind formula lui Heron:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))

Deoarece a = b = c formula pentru aria unui triunghi echilateral va lua forma:

S = √3 / 4 * a 2

S = √3 / 4 * 3 2

Răspuns: 9 √3 / 4.

Sarcină. Schimbarea zonei la schimbarea lungimii laturilor

De câte ori va crește aria triunghiului dacă laturile sunt mărite de 4 ori?

Soluţie.

Deoarece dimensiunile laturilor triunghiului ne sunt necunoscute, atunci pentru a rezolva problema vom presupune că lungimile laturilor sunt, respectiv, egale cu numerele arbitrare a, b, c. Apoi, pentru a răspunde la întrebarea problemei, vom găsi aria acestui triunghi, iar apoi vom găsi aria unui triunghi ale cărui laturi sunt de patru ori mai mari. Raportul suprafețelor acestor triunghiuri ne va oferi răspunsul la problemă.

Mai jos este o explicație textuală a soluției problemei în pași. Cu toate acestea, la final, aceeași soluție este prezentată într-o formă grafică mai ușor de citit. Cei interesați pot renunța imediat la soluție.

Pentru soluție, folosim formula lui Heron (a se vedea mai sus în partea teoretică a lecției). Arată așa:

S = 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(vezi prima linie a figurii de mai jos)

Lungimile laturilor unui triunghi arbitrar sunt date de variabilele a, b, c.
Dacă laturile sunt mărite de 4 ori, atunci aria noului triunghi c va fi:

S 2 = 1/4 sqrt ((4a + 4b + 4c) (4b + 4c - 4a) (4a + 4c - 4b) (4a + 4b -4c))
(vezi a doua linie din imaginea de mai jos)

După cum puteți vedea, 4 este un factor comun care poate fi scos din paranteze din toate cele patru expresii conform regulilor generale ale matematicii.
Atunci

S 2 = 1/4 sqrt (4 * 4 * 4 * 4 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - pe a treia linie a figurii
S 2 = 1/4 sqrt (256 (a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c)) - a patra linie

Rădăcina pătrată este perfect extrasă din numărul 256, așa că o scoatem de sub rădăcină
S 2 = 16 * 1/4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
S 2 = 4 sqrt ((a + b + c) (b + c - a) (a + c - b) (a + b -c))
(vezi a cincea linie din figura de mai jos)

Pentru a răspunde la întrebarea pusă în problemă, trebuie doar să împărțim aria triunghiului rezultat la aria celui original.
Determinați rapoartele ariei împărțind expresiile între ele și reducând fracția rezultată.

Triunghiul este una dintre cele mai comune forme geometrice pe care le cunoaștem deja în școala elementară. Fiecare elev se confruntă cu întrebarea cum să găsească aria unui triunghi în lecțiile de geometrie. Deci, ce trăsături ale găsirii ariei unei figuri date se pot distinge? În acest articol, vom analiza formulele de bază necesare pentru a finaliza o astfel de sarcină și, de asemenea, vom analiza tipurile de triunghiuri.

Tipuri de triunghiuri

Puteți găsi aria unui triunghi în moduri complet diferite, deoarece în geometrie se disting mai multe tipuri de forme, care conțin trei colțuri. Aceste tipuri includ:

Obtuz.
Echilaterală (corectă).
Triunghi dreptunghic.
Isoscel.

Să aruncăm o privire mai atentă la fiecare dintre tipurile existente de triunghiuri.

Această formă geometrică este considerată cea mai comună în rezolvarea problemelor geometrice. Când devine necesar să trasezi un triunghi arbitrar, această opțiune vine în ajutor.

Într-un triunghi unghiular acut, după cum sugerează și numele, toate unghiurile sunt acute și se ridică la 180 °.

Un astfel de triunghi este, de asemenea, foarte comun, dar se găsește oarecum mai rar decât unul cu unghi acut. De exemplu, atunci când rezolvați triunghiuri (adică știți mai multe dintre laturile și unghiurile sale și trebuie să găsiți elementele rămase), uneori trebuie să determinați dacă unghiul este obtuz sau nu. Cosinusul este un număr negativ.

Valoarea unuia dintre unghiuri depășește 90 °, astfel încât celelalte două unghiuri pot lua valori mici (de exemplu, 15 ° sau chiar 3 °).

Pentru a găsi aria unui triunghi de acest tip, trebuie să cunoașteți unele dintre nuanțe, despre care vom vorbi mai departe.

Triunghiuri regulate și isoscele

Un poligon regulat este o figură care include n colțuri, în care toate laturile și unghiurile sunt egale. Acesta este un triunghi regulat. Deoarece suma tuturor unghiurilor triunghiului este de 180 °, fiecare dintre cele trei unghiuri este de 60 °.

Un triunghi regulat, datorită proprietății sale, este numit și o figură echilaterală.

De asemenea, este demn de remarcat faptul că un singur cerc poate fi înscris într-un triunghi regulat și un singur cerc poate fi descris în jurul său, iar centrele lor sunt situate la un punct.

Pe lângă tipul echilateral, se poate distinge și un triunghi isoscel, ușor diferit de acesta. Într-un astfel de triunghi, două laturi și două unghiuri sunt egale între ele, iar a treia parte (la care unghiuri egale sunt adiacente) este baza.

Figura arată un triunghi isoscel DEF, ale cărui unghiuri D și F sunt egale, iar DF este baza.

Triunghi dreptunghic

Triunghiul unghiular se numește astfel deoarece unul dintre colțurile sale este drept, adică este egal cu 90 °. Celelalte două unghiuri se ridică la 90 °.

Cea mai mare parte a unui astfel de triunghi, situată opus unui unghi de 90 °, este hipotenuza, în timp ce celelalte două laturi ale acesteia sunt picioare. Pentru acest tip de triunghiuri se aplică teorema lui Pitagora:

Suma pătratelor lungimilor picioarelor este egală cu pătratul lungimii hipotenuzei.

Figura arată un triunghi unghiular BAC cu hipotenuză AC și picioarele AB și BC.

Pentru a găsi aria unui triunghi cu unghi drept, trebuie să cunoașteți valorile numerice ale picioarelor sale.

Să trecem la formulele pentru găsirea ariei acestei figuri.

Formule de bază pentru găsirea zonei

În geometrie, se pot distinge două formule care sunt potrivite pentru găsirea ariei celor mai multe tipuri de triunghiuri, și anume pentru triunghiurile unghi acut, obtuz, regulat și isoscel. Să analizăm fiecare dintre ele.

Lângă și înălțime

Această formulă este universală pentru a găsi aria figurii pe care o luăm în considerare. Pentru a face acest lucru, este suficient să cunoașteți lungimea laturii și lungimea înălțimii trase de ea. Formula în sine (jumătate din produsul bazei și înălțimea) este următoarea:

unde A este latura acestui triunghi și H este înălțimea triunghiului.

De exemplu, pentru a găsi aria unui triunghi ACB unghiular, înmulțiți latura AB cu înălțimea CD și împărțiți valoarea rezultată la două.

Cu toate acestea, nu este întotdeauna ușor să găsești aria unui triunghi în acest fel. De exemplu, pentru a utiliza această formulă pentru un triunghi obtuz, este necesar să continuați una dintre laturile sale și abia apoi să trageți înălțimea spre el.

În practică, această formulă este utilizată mai des decât altele.

Pe două laturi și un colț

Această formulă, ca și cea precedentă, este potrivită pentru majoritatea triunghiurilor și, în sensul său, este o consecință a formulei pentru găsirea zonei de partea și înălțimea triunghiului. Adică, formula luată în considerare poate fi derivată cu ușurință din cea anterioară. Formularea sa arată astfel:

S = ½ * sinO * A * B,

unde A și B sunt laturile triunghiului și O este unghiul dintre laturile A și B.

Amintiți-vă că sinusul unui unghi poate fi vizualizat într-un tabel special numit după remarcabilul matematician sovietic V.M. Bradis.

Acum să trecem la alte formule care sunt potrivite numai pentru tipuri excepționale de triunghiuri.

Aria unui triunghi dreptunghiular

În plus față de formula universală, care include necesitatea de a desena înălțimea într-un triunghi, aria unui triunghi care conține un unghi drept poate fi găsită de picioarele sale.

Deci, aria unui triunghi care conține un unghi drept este jumătate din produsul picioarelor sale sau:

unde a și b sunt picioarele unui triunghi unghiular.

Triunghi regulat

Acest tip de figuri geometrice diferă prin faptul că aria sa poate fi găsită la valoarea indicată doar a uneia dintre laturile sale (deoarece toate laturile unui triunghi regulat sunt egale). Deci, confruntat cu problema „găsiți aria unui triunghi atunci când laturile sunt egale”, trebuie să utilizați următoarea formulă:

S = A 2 * √3 / 4,

unde A este latura unui triunghi echilateral.

Formula Heron

Ultima opțiune pentru găsirea ariei unui triunghi este formula lui Heron. Pentru a-l utiliza, trebuie să cunoașteți lungimile celor trei laturi ale figurii. Formula Heron arată astfel:

S = √p (p - a) (p - b) (p - c),

unde a, b și c sunt laturile acestui triunghi.

Uneori problema este dată: „aria unui triunghi regulat - găsiți lungimea laturii sale”. În acest caz, trebuie să utilizați formula deja cunoscută de noi pentru a găsi aria unui triunghi regulat și să obțineți din acesta valoarea laturii (sau a pătratului său):

A 2 = 4S / √3.

Sarcini de examen

În problemele GIA în matematică, există multe formule. În plus, este adesea necesar să se găsească aria unui triunghi pe hârtie în carouri.

În acest caz, este cel mai convenabil să desenați înălțimea pe una dintre laturile figurii, să determinați lungimea acesteia cu celulele și să utilizați formula universală pentru a găsi aria:

Deci, după ce ați studiat formulele prezentate în articol, nu veți avea probleme în găsirea ariei unui triunghi de orice fel.