În acest articol vă vom arăta cum definiții ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului și numărului în trigonometrie... Aici vom vorbi despre desemnări, vom da exemple de intrări și vom oferi ilustrații grafice. În concluzie, să facem o paralelă între definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei în trigonometrie și geometrie.
Navigare în pagină.
Definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei
Să urmărim cum se formează conceptul de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă în cursul de matematică școlară. În lecțiile de geometrie, este dată definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi acut într-un triunghi unghiular. Și mai târziu este studiată trigonometria, care vorbește despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație și număr. Vom da toate aceste definiții, vom da exemple și vom face comentariile necesare.
Unghiul acut într-un triunghi dreptunghiular
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi acut într-un triunghi unghiular sunt cunoscute din cursul geometriei. Acestea sunt date ca raportul laturilor unui triunghi unghiular. Să le oferim formulările.
Definiție.
Sinusul unui unghi acut într-un triunghi dreptunghiular Este raportul dintre piciorul opus și hipotenuză.
Definiție.
Cosinusul unui unghi acut într-un triunghi dreptunghiular Este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză.
Definiție.
Tangenta acută într-un triunghi dreptunghiular Este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent.
Definiție.
Cotangenta acută într-un triunghi dreptunghiular Este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus.
Denumirile pentru sinus, cosinus, tangentă și cotangentă sunt de asemenea introduse acolo - sin, cos, tg și respectiv ctg.
De exemplu, dacă ABC este un triunghi unghiular cu unghi drept C, atunci sinusul unui unghi acut A este egal cu raportul dintre piciorul opus BC și hipotenuza AB, adică sin∠A = BC / AB .
Aceste definiții vă permit să calculați valorile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi acut din lungimile cunoscute ale laturilor unui triunghi unghiular, precum și din valorile cunoscute ale sinusului, cosinus, tangent, cotangent și lungimea uneia dintre laturi pentru a găsi lungimile celorlalte laturi. De exemplu, dacă am ști că într-un triunghi unghiular piciorul AC este 3, iar hipotenuza AB este 7, atunci am putea calcula valoarea cosinusului unui unghi acut A prin definiție: cos∠A = AC / AB = 3/7.
Unghiul de cotitură
În trigonometrie, ei încep să privească unghiul mai larg - introduc conceptul de unghi de rotație. Valoarea unghiului de rotație, spre deosebire de unghiul acut, nu este limitată de cadrele de la 0 la 90 de grade, unghiul de rotație în grade (și în radiani) poate fi exprimat prin orice număr real de la −∞ la + ∞.
În această lumină, definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei nu mai sunt un unghi acut, ci un unghi de magnitudine arbitrară - unghiul de rotație. Acestea sunt date prin coordonatele x și y ale punctului A 1, în care așa-numitul punct de pornire A (1, 0) merge după ce este rotit cu un unghi α în jurul punctului O - originea coordonatei carteziene dreptunghiulare sistemul și centrul cercului unitar.
Definiție.
Sinusul unghiului de rotațieα este ordonata punctului A 1, adică sinα = y.
Definiție.
Cosinusul unghiului de rotațieα se numește abscisa punctului A 1, adică cos α = x.
Definiție.
Tangenta de rotatieα este raportul dintre ordonata punctului A 1 și abscisa sa, adică tgα = y / x.
Definiție.
Unghiul de rotație cotangentα este raportul dintre abscisa punctului A 1 și ordonata sa, adică ctgα = x / y.
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α, deoarece putem determina întotdeauna abscisa și ordonata unui punct, care se obține prin rotirea punctului de pornire cu un unghi α. Și tangenta și cotangenta nu sunt definite pentru fiecare unghi. Tangenta nu este definită pentru astfel de unghiuri α, în care punctul de plecare merge la un punct cu abscisă zero (0, 1) sau (0, −1), iar acest lucru are loc la unghiuri 90 ° + 180 ° k, k∈ Z (π / 2 + π k rad). Într-adevăr, la astfel de unghiuri de rotație, expresia tanα = y / x nu are sens, deoarece conține împărțirea cu zero. În ceea ce privește cotangenta, aceasta nu este definită pentru astfel de unghiuri α, în care punctul de plecare merge la un punct cu o ordonată zero (1, 0) sau (−1, 0) și acesta este cazul unghiurilor de 180 ° k , k ∈Z (π k este rad).
Deci, sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație, tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π k rad), iar cotangenta este pentru toate unghiurile, cu excepția 180 ° K, k∈Z (π k rad).
Notațiile sin, cos, tg și ctg deja cunoscute de noi apar în definiții, ele sunt, de asemenea, utilizate pentru a indica sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului de rotație (uneori puteți găsi denumirile tan și cot corespunzătoare tangentă și cotangentă). Deci sinusul unghiului de rotație de 30 de grade poate fi scris ca sin30 °, intrările tg (−24 ° 17 ′) și ctgα corespund tangentei unghiului de rotație −24 grade 17 minute și cotangentei unghiului de rotație α . Amintiți-vă că atunci când înregistrați măsurarea radiană a unui unghi, denumirea „rad” este adesea omisă. De exemplu, cosinusul unui unghi de rotație de trei pi rad este de obicei notat cos3 · π.
În concluzia acestui punct, este demn de remarcat faptul că într-o conversație despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unghiului de rotație, sintagma „unghi de rotație” sau cuvântul „rotație” este adesea omisă. Adică, în loc de sintagma „sinusul unghiului de rotație alfa”, se folosește de obicei sintagma „sinusul unghiului de alfa” sau, chiar mai scurt, „sinusul de alfa”. Același lucru se aplică cosinusului, tangentei și cotangentei.
De asemenea, să spunem că definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi acut într-un triunghi dreptunghi sunt în concordanță cu definițiile date doar de sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ale unghiului de rotație între 0 și 90 de grade. Vom justifica acest lucru.
Numerele
Definiție.
Sinus, cosinus, tangent și cotangent al unui număr t este un număr egal cu sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unghiului de rotație în t radiani, respectiv.
De exemplu, cosinusul lui 8 · π este, prin definiție, un număr egal cu cosinusul unui unghi de 8 · π rad. Și cosinusul unghiului din 8 π este rad este egal cu unu, prin urmare, cosinusul numărului 8 π este 1.
Există o altă abordare a determinării sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Constă în faptul că fiecare număr real t este asociat cu un punct al cercului unitar centrat la originea unui sistem de coordonate dreptunghiulare, iar sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt determinate prin coordonatele acestui punct. Să ne oprim asupra acestui lucru mai detaliat.
Să arătăm cum se stabilește corespondența între numerele reale și punctele unui cerc:
- numărul 0 este asociat cu punctul de plecare A (1, 0);
- un număr pozitiv t este asociat cu punctul cercului unitar, în care vom ajunge, dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de pornire în sens invers acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime t;
- un număr negativ t este asociat cu punctul cercului unitar, în care vom ajunge, dacă ne deplasăm de-a lungul cercului de la punctul de pornire în sensul acelor de ceasornic și parcurgem o cale de lungime | t | ...
Acum ne întoarcem la definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei numărului t. Să presupunem că numărul t corespunde punctului cercului A 1 (x, y) (de exemplu, numărul π / 2; corespunde punctului A 1 (0, 1)).
Definiție.
Sinusul unui număr t se numește ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică sint = y.
Definiție.
Numărul cosinusului t se numește abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică cost = x.
Definiție.
Tangenta numărului t este raportul dintre ordonată și abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică tgt = y / x. Într-o altă formulare echivalentă, tangenta numărului t este raportul dintre sinusul acestui număr și cosinus, adică tgt = sint / cost.
Definiție.
Numărul cotangent t este raportul dintre abscisă și ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t, adică ctgt = x / y. O altă formulare este următoarea: tangenta numărului t este raportul dintre cosinusul numărului t și sinusul numărului t: ctgt = cost / sint.
Rețineți aici că definițiile furnizate tocmai sunt în concordanță cu definiția dată la începutul acestui paragraf. Într-adevăr, punctul cercului unitar corespunzător numărului t coincide cu punctul obținut prin rotirea punctului de plecare cu un unghi de t radiani.
De asemenea, merită clarificat acest punct. Să spunem că avem păcat3. Cum să înțelegem dacă vorbim despre sinusul numărului 3 sau sinusul unghiului de rotație a 3 radiani? Acest lucru este de obicei clar din context, altfel este cel mai probabil irelevant.
Funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Conform definițiilor date în paragraful anterior, fiecare unghi de rotație α corespunde unei valori bine definite a sinα, precum și valorii cosα. În plus, toate unghiurile de rotație, altele decât 90 ° + 180 ° k, k∈Z (π / 2 + π) sunt valorile lui ctgα. Prin urmare, sinα, cosα, tgα și ctgα sunt funcții ale unghiului α. Cu alte cuvinte, acestea sunt funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, putem vorbi despre funcțiile sinus, cosinus, tangente și cotangente ale unui argument numeric. Într-adevăr, fiecare număr real t are o valoare bine definită sint, cum ar fi costul. În plus, valorile tgt corespund tuturor numerelor, altele decât π / 2 + π k, k∈Z, iar valorile ctgt corespund numerelor π k, k∈Z.
Se numesc funcțiile sinus, cosinus, tangent și cotangent funcții trigonometrice de bază.
De obicei, este clar din context dacă avem de-a face cu funcții trigonometrice ale unui argument unghiular sau al unui argument numeric. În caz contrar, putem considera variabila independentă atât ca măsură a unui unghi (argument unghiular), cât și ca argument numeric.
Cu toate acestea, școala studiază în principal funcțiile numerice, adică funcțiile ale căror argumente, precum valorile funcției corespunzătoare, sunt numere. Prin urmare, dacă vorbim în mod specific despre funcții, atunci este recomandabil să luăm în considerare funcțiile trigonometrice ca funcții ale argumentelor numerice.
Legarea definițiilor de la geometrie și trigonometrie
Dacă luăm în considerare unghiul de rotație α în intervalul de la 0 la 90 de grade, atunci datele din contextul trigonometriei pentru determinarea sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație sunt pe deplin de acord cu definițiile sinusului, cosinusului, tangentă și cotangentă a unui unghi acut într-un triunghi dreptunghiular, care sunt date în cursul de geometrie. Să justificăm acest lucru.
Să reprezentăm cercul unității în sistemul de coordonate carteziene dreptunghiulare Oxy. Să marcăm punctul de plecare A (1, 0). Să o rotim printr-un unghi α cuprins între 0 și 90 de grade, obținem punctul A 1 (x, y). Să aruncăm perpendicularul A 1 H din punctul A 1 pe axa Ox.
Este ușor de văzut că într-un triunghi unghiular unghiul A 1 OH este egal cu unghiul de rotație α, lungimea piciorului OH adiacent acestui unghi este egală cu abscisa punctului A 1, adică | OH | = x, lungimea piciorului opus unghiului piciorului A 1 H este egală cu ordonata punctului A 1, adică | A 1 H | = y, iar lungimea hipotenuzei OA 1 este egal cu unul, deoarece este raza cercului unitar. Apoi, prin definiție din geometrie, sinusul unui unghi acut α într-un triunghi unghiular A 1 OH este egal cu raportul piciorului opus față de hipotenuză, adică sinα = | A 1 H | / | OA 1 | = y / 1 = y. Și prin definiție din trigonometrie, sinusul unghiului de rotație α este egal cu ordonata punctului A 1, adică sin α = y. Din aceasta se poate observa că determinarea sinusului unui unghi acut într-un triunghi unghiular echivalează cu determinarea sinusului unghiului de rotație α la α de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, se poate arăta că definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului ac α sunt de acord cu definițiile cosinusului, tangentei și cotangentei unghiului de rotație α.
Bibliografie.
- Geometrie. 7-9 clase: manual. pentru învățământul general. instituții / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev și alții]. - a 20-a ed. M.: Educație, 2010. - 384 p.: Bolnav. - ISBN 978-5-09-023915-8.
- A. V. Pogorelov Geometrie: manual. pentru 7-9 cl. educatie generala. instituții / A. V. Pogorelov. - Ediția a II-a - M.: Educație, 2001 .-- 224 p.: Bolnav. - ISBN 5-09-010803-X.
- Algebră și funcții elementare: Manual pentru elevii clasei a IX-a a școlii gimnaziale / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Editat de doctor în științe fizice și matematice ON Golovin - ed. A IV-a. Moscova: Educație, 1969.
- Algebră: Manual. pentru 9 cl. miercuri școală / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Educație, 1990.- 272 p.: Bolnav.- ISBN 5-09-002727-7
- Algebrăși începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. educatie generala. instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov. - Ediția a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p.: Bolnav. - ISBN 5-09-013651-3.
- A. G. Mordkovich Algebra și începutul analizei. Gradul 10. La ora 14:00 Partea 1: manual pentru instituțiile de învățământ (nivel profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - ediția a IV-a, Adăugare. - M.: Mnemosina, 2007 .-- 424 p .: Ill. ISBN 978-5-346-00792-0.
- Algebrăși începutul analizei matematice. Nota 10: manual. pentru învățământul general. instituții: de bază și profil. nivele / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - ed. A 3-a. - I.: Educație, 2010.- 368 p.: Bolnav - ISBN 978-5-09-022771-1.
- Bashmakov M.I. Algebra și începutul analizei: Manual. pentru 10-11 cl. miercuri shk. - ed. A 3-a. - M.: Educație, 1993. - 351 p.: Bolnav. - ISBN 5-09-004617-4.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (manual pentru solicitanții școlilor tehnice): manual. manual. - M.; Superior. shk., 1984.-351 p., bolnav.
În acest articol, vom analiza în detaliu. Identitățile trigonometrice de bază sunt egalități care stabilesc relația dintre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi și vă permit să găsiți oricare dintre aceste funcții trigonometrice prin celălalt cunoscut.
Să enumerăm imediat principalele identități trigonometrice, pe care le vom analiza în acest articol. Să le notăm în tabel, iar mai jos oferim derivarea acestor formule și oferim explicațiile necesare.
Navigare în pagină.
Relația dintre sinus și cosinusul unui unghi
Uneori vorbesc nu despre identitățile trigonometrice de bază enumerate în tabelul de mai sus, ci despre un singur identitate trigonometrică de bază drăguț 
... Explicația acestui fapt este destul de simplă: egalitățile sunt obținute din identitatea trigonometrică principală după împărțirea ambelor părți ale acestuia și, respectiv, și egalități 
și 
urmează din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Vom vorbi mai multe despre acest lucru în următoarele paragrafe.
Adică, egalitatea, căreia i s-a dat numele identității trigonometrice de bază, prezintă un interes deosebit.
Înainte de a demonstra identitatea trigonometrică de bază, să oferim formularea sa: suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi este identică egală cu unul. Acum să dovedim.
Identitatea trigonometrică de bază este foarte des utilizată atunci când convertirea expresiilor trigonometrice... Permite ca suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi să fie înlocuită cu una. Nu mai rar, identitatea trigonometrică de bază este utilizată în ordine inversă: unitatea este înlocuită cu suma pătratelor sinusului și cosinusului unui unghi.
Tangent și cotangent în termeni de sinus și cosinus
Identități care leagă tangenta și cotangenta cu sinusul și cosinusul unui unghi al formei și 
urmează imediat din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. Într-adevăr, prin definiție, sinusul este ordonata y, cosinusul este abscisa lui x, tangenta este raportul dintre ordonată și abscisă, adică 
, iar cotangenta este raportul dintre abscisă și ordonată, adică 
.
Datorită acestei evidențe a identităților și adesea definițiile tangentei și cotangentei sunt date nu prin raportul dintre abscisă și ordonată, ci prin raportul dintre sinus și cosinus. Deci, tangenta unui unghi este raportul dintre sinus și cosinusul acestui unghi, iar cotangenta este raportul dintre cosinus și sinus.
În concluzia acestui paragraf, trebuie remarcat faptul că identitățile și mențineți toate unghiurile pentru care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens. Deci formula este valabilă pentru oricare altul decât (altfel va fi zero în numitor și nu am definit împărțirea cu zero), iar formula - pentru toate altele decât, unde z este oricare.
Relația dintre tangentă și cotangentă
O identitate trigonometrică și mai evidentă decât cele două precedente este identitatea care leagă tangenta și cotangenta unui unghi al formei ... Este clar că are loc pentru orice alt unghi decât, altfel tangenta sau cotangenta nu sunt definite.
Dovada formulei foarte simplu. Prin definiție și, de unde 
... Dovada ar fi putut fi realizată puțin diferit. De când și , atunci 
.
Deci, tangenta și cotangenta aceluiași unghi în care au sens sunt.
Inițial, sinusul și cosinusul au apărut din necesitatea de a calcula cantități în triunghiuri unghiular. S-a observat că, dacă valoarea măsurării gradului unghiurilor dintr-un triunghi unghiular nu se modifică, atunci raportul de aspect, indiferent cât de mult se modifică aceste laturi în lungime, rămâne întotdeauna același.
Așa au fost introduse conceptele de sinus și cosinus. Sinusul unui unghi acut într-un triunghi dreptunghi este raportul piciorului opus față de hipotenuză, iar cosinusul este cel adiacent hipotenuzei.
Teoremele cosinusului și sinusului
Dar cosinusurile și sinusurile pot fi aplicate nu numai în triunghiuri unghiulare. Pentru a găsi valoarea unui unghi obtuz sau acut, latura oricărui triunghi, este suficient să se aplice teorema cosinusurilor și sinusurilor.
Teorema cosinusului este destul de simplă: „Pătratul laturii unui triunghi este egal cu suma pătratelor celorlalte două laturi, minus produsul dublu al acestor laturi de cosinusul unghiului dintre ele”.
Există două interpretări ale teoremei sinusului: mică și extinsă. Conform celor mici: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse”. Această teoremă este adesea extinsă datorită proprietății unui cerc circumscris în jurul unui triunghi: „Într-un triunghi, unghiurile sunt proporționale cu laturile opuse, iar raportul lor este egal cu diametrul cercului circumscris”.
Derivate
O derivată este un instrument matematic care arată cât de repede se schimbă o funcție față de o modificare a argumentului său. Derivatele sunt utilizate în geometrie și în mai multe discipline tehnice.
Când rezolvați probleme, trebuie să cunoașteți valorile tabulare ale derivatelor funcțiilor trigonometrice: sinus și cosinus. Derivata sinusului este cosinusul, iar cosinusul este sinusul, dar cu semn minus.
Aplicarea în matematică
În special, sinusurile și cosinusurile sunt utilizate atunci când se rezolvă triunghiuri unghiulare și problemele asociate acestora.
Confortul sinusurilor și cosinusului se reflectă în tehnologie. Unghiurile și laturile au fost ușor de evaluat folosind teoremele cosinusului și sinusului, rupând forme și obiecte complexe în triunghiuri „simple”. Inginerii, care se ocupă adesea de calculele raportului de aspect și măsurile de grad, au petrecut mult timp și eforturi pentru a calcula cosinusurile și sinusurile unghiurilor non-tabulare.
Apoi, tabelele Bradis au venit în salvare, conținând mii de valori de sinusuri, cosinus, tangente și cotangențe de unghiuri diferite. În vremurile sovietice, unii profesori își făceau pe de rost paginile meselor Bradis.
Radian - valoarea unghiulară a arcului, de-a lungul lungimii egale cu raza sau 57.295779513 ° grade.
Grad (în geometrie) - 1/360 dintr-un cerc sau 1/90 din unghi drept.
π = 3,141592653589793238462 ... (valoarea aproximativă a lui pi).
Masa cosinus pentru unghiuri: 0 °, 30 °, 45 °, 60 °, 90 °, 120 °, 135 °, 150 °, 180 °, 210 °, 225 °, 240 °, 270 °, 300 °, 315 °, 330 °, 360 °.
| Unghiul x (în grade) | 0° | 30 ° | 45 ° | 60 ° | 90 ° | 120 ° | 135 ° | 150 ° | 180 ° | 210 ° | 225 ° | 240 ° | 270 ° | 300 ° | 315 ° | 330 ° | 360 ° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Unghiul x (în radiani) | 0 | π / 6 | π / 4 | π / 3 | π / 2 | 2 x π / 3 | 3 x π / 4 | 5 x π / 6 | π | 7 x π / 6 | 5 x π / 4 | 4 x π / 3 | 3 x π / 2 | 5 x π / 3 | 7 x π / 4 | 11 x π / 6 | 2 x π |
| cos x | 1 | √3/2 (0,8660) | √2/2 (0,7071) | 1/2 (0,5) | 0 | -1/2 (-0,5) | -√2/2 (-0,7071) | -√3/2 (-0,8660) | -1 | -√3/2 (-0,8660) | -√2/2 (-0,7071) | -1/2 (-0,5) | 0 | 1/2 (0,5) | √2/2 (0,7071) | √3/2 (0,8660) | 1 |
În primul rând, considerați un cerc cu raza 1 și centrul la (0; 0). Pentru orice αЄR, raza 0A poate fi trasată astfel încât măsura radiană a unghiului dintre 0A și axa 0x să fie egală cu α. Direcția în sens invers acelor de ceasornic este considerată pozitivă. Fie ca sfârșitul razei A să aibă coordonate (a, b).
Definiția sine
Definiție: Numărul b, egal cu ordonata razei unității, construit în modul descris, este notat sinα și se numește sinusul unghiului α.
Exemplu: sin 3π cos3π / 2 = 0 0 = 0
Determinarea cosinusului
Definiție: Numărul a, egal cu abscisa capătului razei unității, construit în modul descris, este notat cosα și se numește cosinusul unghiului α.
Exemplu: cos0 cos3π + cos3.5π = 1 (-1) + 0 = 2
Aceste exemple utilizează definiția sinusului și cosinusului unui unghi în termeni de coordonate ale capătului razei unității și ale cercului unității. Pentru o reprezentare mai vizuală, este necesar să trasați un cerc de unitate și să amânați punctele corespunzătoare pe acesta, apoi să calculați abscisele lor pentru a calcula cosinusul și ordonați pentru a calcula sinusul.
Definiția tangent
Definiție: Funcția tgx = sinx / cosx pentru x ≠ π / 2 + πk, kЄZ, se numește cotangentă a unghiului x. Domeniul funcției tgx este toate numerele reale, cu excepția x = π / 2 + πn, nЄZ.
Exemplu: tg0 tgπ = 0 0 = 0
Acest exemplu este similar cu cel precedent. Pentru a calcula tangenta unui unghi, împărțiți ordonata unui punct la abscisa sa.
Definiția cotangent
Definiție: Funcția ctgx = cosx / sinx pentru x ≠ πk, kЄZ se numește cotangentă a unghiului x. Domeniul funcției ctgx = este toate numerele reale, cu excepția punctelor x = πk, kЄZ.
Luați în considerare un exemplu pe un triunghi obișnuit unghiular
Pentru a clarifica ce sunt cosinusul, sinusul, tangenta și cotangenta. Luați în considerare un exemplu pe un triunghi unghiular dreptunghiular cu unghiul y și laturile a, b, c. Hipotenuza c, respectiv picioarele a și b. Unghiul dintre hipotenuza c și piciorul b y.
Definiție: Sinusul unghiului y este raportul dintre piciorul opus și hipotenuză: siny = a / c
Definiție: Cosinusul unghiului y este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză: confortabil = v / s
Definiție: Tangenta unghiului y este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent: tgy = a / b
Definiție: Cotangenta unghiului y este raportul dintre piciorul adiacent și cel opus: ctgy = w / a
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt numite și funcții trigonometrice. Fiecare unghi are propriul său sinus și cosinus. Și aproape toată lumea are propria tangentă și cotangentă.
Se crede că dacă ni se dă un unghi, atunci îi cunoaștem sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta! Si invers. Având în vedere un sinus, sau orice altă funcție trigonometrică, respectiv, cunoaștem unghiul. Au fost create chiar și tabele speciale, unde sunt descrise funcțiile trigonometrice pentru fiecare unghi.
Trigonometria este o ramură a matematicii care studiază funcțiile trigonometrice și utilizarea lor în geometrie. Dezvoltarea trigonometriei a început în zilele Greciei antice. În timpul Evului Mediu, oamenii de știință din Orientul Mijlociu și India au adus o contribuție importantă la dezvoltarea acestei științe.
Acest articol este dedicat conceptelor și definițiilor de bază ale trigonometriei. Se discută definițiile principalelor funcții trigonometrice: sinus, cosinus, tangent și cotangent. Sensul lor este explicat și ilustrat în contextul geometriei.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Inițial, definițiile funcțiilor trigonometrice, al căror argument este un unghi, au fost exprimate în raportul laturilor unui triunghi unghiular.
Definiții ale funcțiilor trigonometrice
Sinusul unghiului (sin α) este raportul piciorului opus acestui unghi față de hipotenuză.
Cosinusul unghiului (cos α) este raportul dintre piciorul adiacent și hipotenuză.
Tangenta unghiului (t g α) este raportul dintre piciorul opus și cel adiacent.
Cotangent unghiular (c t g α) - raportul piciorului adiacent cu cel opus.
Aceste definiții sunt date pentru un unghi acut al unui triunghi unghiular!
Iată o ilustrare.
Într-un triunghi ABC cu unghi drept C, sinusul unghiului A este egal cu raportul dintre piciorul BC și hipotenuza AB.
Definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei vă permit să calculați valorile acestor funcții din lungimile cunoscute ale laturilor triunghiului.
Important de reținut!
Gama valorilor sinusului și cosinusului: de la -1 la 1. Cu alte cuvinte, sinusul și cosinusul iau valori de la -1 la 1. Gama valorilor tangentei și cotangentei este numărul întreg linia, adică aceste funcții pot lua orice valori.
Definițiile date mai sus sunt pentru colțurile ascuțite. În trigonometrie, se introduce conceptul de unghi de rotație, a cărui valoare, spre deosebire de un unghi acut, nu este limitată la un cadru de la 0 la 90 de grade. Unghiul de rotație în grade sau radiani este exprimat prin orice număr real de la - ∞ la + ∞.
În acest context, este posibil să se dea o definiție a sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui unghi de magnitudine arbitrară. Imaginați-vă cercul unitar centrat la originea sistemului de coordonate carteziene.
Punctul de plecare A cu coordonatele (1, 0) se rotește în jurul centrului cercului unitar cu un unghi α și merge la punctul A 1. Definiția este dată prin coordonatele punctului A 1 (x, y).
Sinusul (păcatul) unghiului de rotație
Sinusul unghiului de rotație α este ordonata punctului A 1 (x, y). sin α = y
Cosinusul (cos) al unghiului de rotație
Cosinusul unghiului de rotație α este abscisa punctului A 1 (x, y). cos α = x
Tangentă (tg) a unghiului de rotație
Tangenta unghiului de rotație α este raportul dintre ordonata punctului A 1 (x, y) și abscisa sa. t g α = y x
Cotangent (ctg) al unghiului de rotație
Cotangenta unghiului de rotație α este raportul dintre abscisa punctului A 1 (x, y) și ordonata sa. c t g α = x y
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi de rotație. Acest lucru este logic, deoarece abscisa și ordonata unui punct după rotire pot fi determinate la orice unghi. Situația este diferită cu tangenta și cotangenta. Tangenta nu este definită atunci când punctul după rotire merge la punctul cu abscisă zero (0, 1) și (0, - 1). În astfel de cazuri, expresia tangentei t g α = y x pur și simplu nu are sens, deoarece conține împărțirea cu zero. Situația este similară cu cotangenta. Diferența este că cotangenta nu este definită atunci când ordonata unui punct dispare.
Important de reținut!
Sinusul și cosinusul sunt definite pentru orice unghi α.
Tangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)
Cotangenta este definită pentru toate unghiurile, cu excepția α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)
Când rezolvați exemple practice, nu spuneți „sinusul unghiului de rotație α”. Cuvintele „unghi de rotație” sunt pur și simplu omise, ceea ce înseamnă că este clar din context despre ce este vorba.
Numerele
Dar definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr, și nu unghiul de rotație?
Sinus, cosinus, tangent, cotangent al unui număr
Sinus, cosinus, tangent și cotangent al unui număr t se numește un număr care este, respectiv, egal cu sinus, cosinus, tangent și cotangent în t radian.
De exemplu, sinusul de 10 π este egal cu sinusul unghiului de rotație de 10 π rad.
Există o altă abordare a determinării sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei unui număr. Să o luăm în considerare mai detaliat.
Orice număr real t se atribuie un punct de pe cercul unitar cu un centru la originea unui sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt definite prin coordonatele acestui punct.
Punctul de pornire al cercului este punctul A cu coordonatele (1, 0).
Număr pozitiv t
Număr negativ t corespunde punctului la care va merge punctul de plecare dacă se deplasează în sens invers acelor de ceasornic de-a lungul cercului și parcurge calea t.
Acum că conexiunea dintre număr și punctul de pe cerc este stabilită, trecem la definiția sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei.
Sinusul (păcatul) lui t
Sine de număr t este ordonata punctului cercului unitar corespunzător numărului t. sin t = y
Cosinusul (cos) al numărului t
Numărul cosinusului t este abscisa punctului cercului unitar corespunzător numărului t. cos t = x
Tangenta (tg) a numărului t
Tangenta numărului t- raportul dintre ordonată și abscisă a punctului cercului unitar corespunzător numărului t. t g t = y x = sin t cos t
Ultimele definiții sunt în concordanță și nu contrazic definiția dată la începutul acestei clauze. Punctul de pe cerc care corespunde numărului t, coincide cu punctul în care punctul de plecare merge după rotație cu un unghi t radian.
Funcțiile trigonometrice ale argumentului unghiular și numeric
Fiecare valoare a unghiului α corespunde unei anumite valori a sinusului și cosinusului acestui unghi. La fel ca toate unghiurile α, altele decât α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) corespunde o anumită valoare a tangentei. Cotangenta, așa cum s-a menționat mai sus, este definită pentru toate α, cu excepția α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).
Putem spune că sin α, cos α, t g α, c t g α sunt funcții ale unghiului alfa sau funcții ale argumentului unghiular.
În mod similar, puteți vorbi despre sinus, cosinus, tangentă și cotangentă ca funcții ale unui argument numeric. Pentru fiecare număr real t corespunde unei valori specifice a sinusului sau cosinusului unui număr t... Toate numerele, altele decât π 2 + π · k, k ∈ Z, corespund cu valoarea tangentei. Cotangenta este definită în mod similar pentru toate numerele, cu excepția π k, k ∈ Z.
Funcțiile de bază ale trigonometriei
Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt funcții trigonometrice de bază.
De obicei, este clar din context cu ce argument al funcției trigonometrice (argument unghiular sau argument numeric) avem de-a face.
Să ne întoarcem la datele de la începutul definițiilor și unghiul alfa, situate în intervalul 0 - 90 de grade. Definițiile trigonometrice ale sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei sunt pe deplin în concordanță cu definițiile geometrice date folosind raporturile de aspect ale unui triunghi unghiular. Să arătăm.
Luați cercul unității centrat într-un sistem de coordonate cartezian dreptunghiular. Să rotim punctul de plecare A (1, 0) cu un unghi de până la 90 de grade și să trasăm o perpendiculară pe axa abscisei din punctul rezultat A 1 (x, y). În triunghiul dreptunghiular rezultat, unghiul A 1 O H este egal cu unghiul de rotație α, lungimea piciorului O H este egală cu abscisa punctului A 1 (x, y). Lungimea piciorului opus colțului este egală cu ordonata punctului A 1 (x, y), iar lungimea hipotenuzei este egală cu una, deoarece este raza cercului unitar.
Conform definiției din geometrie, sinusul unghiului α este egal cu raportul dintre piciorul opus și ipotenuză.
sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y
Aceasta înseamnă că determinarea sinusului unui unghi acut într-un triunghi unghiular prin raportul de aspect este echivalentă cu determinarea sinusului unghiului de rotație α, cu alfa situată în intervalul de la 0 la 90 de grade.
În mod similar, corespondența definițiilor poate fi prezentată pentru cosinus, tangentă și cotangentă.
Dacă observați o eroare în text, selectați-l și apăsați Ctrl + Enter
Se încarcă ...