Inegalități exponențiale și metode de rezolvare a acestora. Inegalități exponențiale

Luați în considerare un exemplu: rezolvați inegalitatea (0,5) (7 - 3*x)< 4.

Rețineți că 4 = (0,5) 2 . Atunci inegalitatea va lua forma (0,5)(7 - 3*x)< (0.5) (-2) . Основание показательной функции 0.5 меньше единицы, следовательно, она убывает. В этом случае надо поменять знак неравенства и не записывать только показатели.

Se obține: 7 - 3*x>-2.

Prin urmare: x<3.

Raspuns: x<3.

Dacă baza inegalității a fost mai mare decât unu, atunci când scăpați de bază, nu ar fi nevoie să schimbați semnul inegalității.

În această lecție ne vom uita la diverse inegalități exponențiale și vom învăța cum să le rezolvăm, pe baza tehnicii de rezolvare a celor mai simple inegalități exponențiale

1. Definiția și proprietățile unei funcții exponențiale

Să ne amintim definiția și proprietățile de bază ale funcției exponențiale. Rezolvarea tuturor ecuațiilor și inegalităților exponențiale se bazează pe aceste proprietăți.

Functie exponentiala este o funcție de forma , unde baza este gradul și Aici x este variabila independentă, argument; y este variabila dependentă, funcție.

Orez. 1. Graficul funcției exponențiale

Graficul prezintă exponenți crescători și descrescători, ilustrând funcția exponențială cu o bază mai mare de unu și mai mică de unu, dar mai mare de zero, respectiv.

Ambele curbe trec prin punctul (0;1)

Proprietățile funcției exponențiale:

Domeniu: ;

Interval de valori: ;

Funcția este monotonă, crește cu, scade cu.

O funcție monotonă ia fiecare dintre valorile sale având în vedere o singură valoare a argumentului.

Când , când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția crește de la zero inclusiv la plus infinit, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție crescătoare monotonă (). Dimpotrivă, atunci când argumentul crește de la minus la plus infinit, funcția scade de la infinit la zero inclusiv, adică pentru valori date ale argumentului avem o funcție monotonă descrescătoare ().

2. Cele mai simple inegalități exponențiale, metoda soluției, exemplu

Pe baza celor de mai sus, prezentăm o metodă de rezolvare a inegalităților exponențiale simple:

Tehnica de rezolvare a inegalităților:

Echivalează bazele gradelor;

Comparați indicatorii menținând sau schimbând semnul inegalității cu cel opus.

Soluția la inegalitățile exponențiale complexe constă de obicei în reducerea lor la cele mai simple inegalități exponențiale.

Baza gradului este mai mare decât unu, ceea ce înseamnă că semnul inegalității este păstrat:

Să transformăm partea dreaptă în funcție de proprietățile gradului:

Baza gradului este mai mică de unu, semnul inegalității trebuie inversat:

Pentru a rezolva inegalitatea pătratică, rezolvăm ecuația pătratică corespunzătoare:

Folosind teorema lui Vieta găsim rădăcinile:

Ramurile parabolei sunt îndreptate în sus.

Astfel, avem o soluție la inegalitate:

Este ușor de ghicit că partea dreaptă poate fi reprezentată ca o putere cu un exponent de zero:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității nu se schimbă, obținem:

Să ne amintim tehnica de rezolvare a unor astfel de inegalități.

Luați în considerare funcția fracționară-rațională:

Găsim domeniul de definiție:

Găsirea rădăcinilor funcției:

Funcția are o singură rădăcină,

Selectăm intervale de semn constant și determinăm semnele funcției pe fiecare interval:

Orez. 2. Intervale de constanță a semnului

Astfel, am primit răspunsul.

Răspuns:

3. Rezolvarea inegalităților exponențiale standard

Să luăm în considerare inegalitățile cu aceiași indicatori, dar baze diferite.

Una dintre proprietățile funcției exponențiale este că pentru orice valoare a argumentului ia valori strict pozitive, ceea ce înseamnă că poate fi împărțită într-o funcție exponențială. Să împărțim inegalitatea dată la partea sa dreaptă:

Baza gradului este mai mare decât unu, se păstrează semnul inegalității.

Să ilustrăm soluția:

Figura 6.3 prezintă grafice ale funcţiilor şi . Evident, când argumentul este mai mare decât zero, graficul funcției este mai mare, această funcție este mai mare. Când valorile argumentului sunt negative, funcția scade, este mai mică. Dacă argumentul este egal, funcțiile sunt egale, ceea ce înseamnă că acest punct este și o soluție a inegalității date.

Orez. 3. Ilustrație de exemplu 4

Să transformăm inegalitatea dată în funcție de proprietățile gradului:

Iată câțiva termeni similari:

Să împărțim ambele părți în:

Acum vom continua să rezolvăm în mod similar cu exemplul 4, împărțim ambele părți la:

Baza gradului este mai mare decât unu, semnul inegalității rămâne:

4. Rezolvarea grafică a inegalităților exponențiale

Exemplul 6 - Rezolvați grafic inegalitatea:

Să ne uităm la funcțiile din stânga și din dreapta și să construim un grafic pentru fiecare dintre ele.

Funcția este exponențială și crește pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Funcția este liniară și scade pe întregul său domeniu de definiție, adică pentru toate valorile reale ale argumentului.

Dacă aceste funcții se intersectează, adică sistemul are o soluție, atunci o astfel de soluție este unică și poate fi ușor de ghicit. Pentru a face acest lucru, iterăm peste numere întregi ()

Este ușor de observat că rădăcina acestui sistem este:

Astfel, graficele funcțiilor se intersectează într-un punct cu un argument egal cu unu.

Acum trebuie să obținem un răspuns. Semnificația inegalității date este că exponentul trebuie să fie mai mare sau egal cu funcția liniară, adică să fie mai mare sau să coincidă cu aceasta. Răspunsul este evident: (Figura 6.4)

Orez. 4. Ilustrație de exemplu 6

Deci, ne-am uitat la rezolvarea diferitelor inegalități exponențiale standard. În continuare trecem la considerarea inegalităților exponențiale mai complexe.

Bibliografie

Mordkovich A. G. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Gutarda. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. și colab. Algebra și începuturile analizei matematice. - M.: Iluminismul.

Matematică. md. Matematică-repetiție. com. Diffur. kemsu. ru.

Teme pentru acasă

1. Algebra și începuturile analizei, clasele 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, nr. 472, 473;

2. Rezolvați inegalitatea:

3. Rezolvați inegalitatea.

Ecuațiile exponențiale și inegalitățile sunt cele în care necunoscutul este conținut în exponent.

Rezolvarea ecuațiilor exponențiale se reduce adesea la rezolvarea ecuației a x = a b, unde a > 0, a ≠ 1, x este o necunoscută. Această ecuație are o singură rădăcină x = b, deoarece următoarea teoremă este adevărată:

Teorema. Dacă a > 0, a ≠ 1 și a x 1 = a x 2, atunci x 1 = x 2.

Să argumentăm afirmația luată în considerare.

Să presupunem că egalitatea x 1 = x 2 nu este valabilă, adică. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, atunci funcția exponențială y = a x crește și, prin urmare, inegalitatea a x 1 trebuie satisfăcută< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. În ambele cazuri am primit o contradicție cu condiția a x 1 = a x 2.

Să luăm în considerare mai multe probleme.

Rezolvați ecuația 4 ∙ 2 x = 1.

Soluţie.

Să scriem ecuația sub forma 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, din care obținem x + 2 = 0, adică. x = -2.

Răspuns. x = -2.

Rezolvați ecuația 2 3x ∙ 3 x = 576.

Soluţie.

Deoarece 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ecuația poate fi scrisă ca 8 x ∙ 3 x = 24 2 sau ca 24 x = 24 2.

De aici obținem x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Soluţie.

Luând factorul comun 3 x - 2 din paranteze din partea stângă, obținem 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

de unde 3 x - 2 = 1, adică. x – 2 = 0, x = 2.

Răspuns. x = 2.

Rezolvați ecuația 3 x = 7 x.

Soluţie.

Deoarece 7 x ≠ 0, ecuația poate fi scrisă ca 3 x /7 x = 1, de unde (3/7) x = 1, x = 0.

Răspuns. x = 0.

Rezolvați ecuația 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Soluţie.

Prin înlocuirea 3 x = a această ecuație se reduce la ecuație pătratică a 2 – 4a – 45 = 0.

Rezolvând această ecuație, găsim rădăcinile ei: a 1 = 9 și 2 = -5, de unde 3 x = 9, 3 x = -5.

Ecuația 3 x = 9 are rădăcina 2, iar ecuația 3 x = -5 nu are rădăcini, deoarece funcția exponențială nu poate lua valori negative.

Răspuns. x = 2.

Rezolvarea inegalităților exponențiale se reduce adesea la rezolvarea inegalităților a x > a b sau a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Să ne uităm la câteva probleme.

Rezolvați inegalitatea 3 x< 81.

Soluţie.

Să scriem inegalitatea sub forma 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, atunci funcția y = 3 x este în creștere.

Prin urmare, pentru x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Astfel, la x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Răspuns. X< 4.

Rezolvați inegalitatea 16 x +4 x – 2 > 0.

Soluţie.

Să notăm 4 x = t, apoi obținem inegalitatea pătratică t2 + t – 2 > 0.

Această inegalitate este valabilă pentru t< -2 и при t > 1.

Deoarece t = 4 x, obținem două inegalități 4 x< -2, 4 х > 1.

Prima inegalitate nu are soluții, deoarece 4 x > 0 pentru toate x € R.

Scriem a doua inegalitate sub forma 4 x > 4 0, de unde x > 0.

Răspuns. x > 0.

Rezolvați grafic ecuația (1/3) x = x – 2/3.

Soluţie.

1) Să construim grafice ale funcțiilor y = (1/3) x și y = x – 2/3.

2) Pe baza figurii noastre, putem concluziona că graficele funcțiilor considerate se intersectează în punctul cu abscisa x ≈ 1. Verificarea demonstrează că

x = 1 este rădăcina acestei ecuații:

(1/3) 1 = 1/3 și 1 – 2/3 = 1/3.

Cu alte cuvinte, am găsit una dintre rădăcinile ecuației.

3) Să găsim alte rădăcini sau să dovedim că nu există. Funcția (1/3) x este în scădere, iar funcția y = x – 2/3 este în creștere. Prin urmare, pentru x > 1, valorile primei funcție sunt mai mici de 1/3, iar a doua - mai mult de 1/3; la x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 și x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Răspuns. x = 1.

Rețineți că din rezolvarea acestei probleme, în special, rezultă că inegalitatea (1/3) x > x – 2/3 este satisfăcută pentru x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.