Exemple de diferențe de rădăcini pătrate. Regula pentru adăugarea rădăcinilor pătrate

Subiect despre rădăcini pătrate este obligatoriu în curiculumul scolar curs de matematică. Nu puteți face fără ele când rezolvați ecuații patratice. Și mai târziu devine necesar nu numai să extrageți rădăcinile, ci și să efectuați alte acțiuni cu ele. Printre acestea sunt destul de complexe: exponentiația, înmulțirea și împărțirea. Dar există și unele destul de simple: scăderea și adunarea rădăcinilor. Apropo, așa par doar la prima vedere. Efectuarea lor fără erori nu este întotdeauna ușor pentru cineva care abia începe să se familiarizeze cu ele.

Ce este o rădăcină matematică?

Această acțiune a apărut în opoziție cu exponențiarea. Matematica sugerează două operații opuse. Există scădere pentru adunare. Înmulțirea se opune împărțirii. Acțiunea inversă a unui grad este extragerea rădăcinii corespunzătoare.

Dacă gradul este doi, atunci rădăcina va fi pătrată. Este cea mai comună în matematica scolara. Nici măcar nu are un indiciu că este pătrat, adică lângă el nu este atribuit numărul 2. Notația matematică a acestui operator (radical) este prezentată în figură.

Definiția sa decurge fără probleme din acțiunea descrisă. Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr, trebuie să aflați ce va da expresia radicală atunci când este înmulțită cu ea însăși. Acest număr va fi rădăcina pătrată. Dacă scriem asta matematic, obținem următoarele: x*x=x 2 =y, ceea ce înseamnă √y=x.

Ce acțiuni poți face cu ei?

În esență, o rădăcină este o putere fracțională cu unu la numărător. Iar numitorul poate fi orice. De exemplu, rădăcina pătrată are două. Prin urmare, toate acțiunile care pot fi efectuate cu puteri vor fi valabile și pentru rădăcini.

Și cerințele pentru aceste acțiuni sunt aceleași. Dacă înmulțirea, împărțirea și exponentiația nu întâmpină dificultăți pentru elevi, atunci adăugarea rădăcinilor, precum scăderea lor, duce uneori la confuzie. Și totul pentru că vreau să fac aceste operații fără a ține cont de semnul rădăcinii. Și de aici încep greșelile.

Care sunt regulile de adunare și scădere?

În primul rând, trebuie să vă amintiți două „nu” categorice:

• este imposibil să efectuați adunarea și scăderea rădăcinilor, ca în cazul numerelor prime, adică este imposibil să scrieți expresii radicale ale sumei sub un singur semn și să efectuați operații matematice cu acestea;
• Nu puteți adăuga și scădea rădăcini cu exponenți diferiți, de exemplu pătrat și cubic.

Un exemplu clar al primei interdicții: √6 + √10 ≠ √16, dar √(6 + 10) = √16.

În al doilea caz, este mai bine să ne limităm la simplificarea rădăcinilor în sine. Și lăsați suma lor în răspuns.

Acum la reguli

1. Găsiți și grupați rădăcini similare. Adică cei care nu numai că au aceleași numere sub radical, dar ei înșiși au același indicator.
2. Efectuați adăugarea rădăcinilor combinate într-un singur grup în prima acțiune. Este ușor de implementat pentru că trebuie doar să adaugi valorile care apar în fața radicalilor.
3. Extrageți rădăcinile acelor termeni în care expresia radicală formează un întreg pătrat. Cu alte cuvinte, nu lăsa nimic sub semnul unui radical.
4. Simplificați expresiile radicale. Pentru a face acest lucru, trebuie să le factorizați în factori primi și să vedeți dacă dau pătratul unui număr. Este clar că acest lucru este adevărat atunci când vorbim despre rădăcina pătrată. Când exponentul este trei sau patru, atunci factorii primi trebuie să dea cubul sau puterea a patra a numărului.
5. Scoateți de sub semnul radicalului factorul care dă întreaga putere.
6. Vedeți dacă termeni similari apar din nou. Dacă da, atunci efectuați din nou al doilea pas.

Într-o situație în care sarcina nu necesită valoare exacta root, poate fi calculat pe un calculator. Fără sfârşit zecimal, care va apărea în fereastra sa, rotunjiți în sus. Cel mai adesea acest lucru se face până la sutimi. Și apoi efectuați toate operațiile pentru fracțiile zecimale.

Acestea sunt toate informațiile despre cum să adăugați rădăcini. Exemplele de mai jos vor ilustra cele de mai sus.

Prima sarcină

Calculați valoarea expresiilor:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Dacă urmați algoritmul de mai sus, puteți vedea că nu există nimic pentru primele două acțiuni din acest exemplu. Dar puteți simplifica unele expresii radicale.

De exemplu, descompuneți 32 în doi factori 2 și 16; 18 va fi egal cu produsul dintre 9 și 2; 128 este 2 peste 64. Având în vedere acest lucru, expresia se va scrie astfel:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Acum trebuie să eliminați de sub semnul radical acei factori care dau pătratul numărului. Acesta este 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Expresia va lua forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Trebuie să simplificăm puțin înregistrarea. Pentru a face acest lucru, înmulțiți coeficienții înainte de semnele rădăcinii:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

În această expresie, toți termenii s-au dovedit a fi similari. Prin urmare, trebuie doar să le pliați. Răspunsul va fi: 5√2.

b) Similar cu exemplul anterior, adăugarea rădăcinilor începe cu simplificarea lor. Expresiile radicale 75, 147, 48 și 300 vor fi reprezentate în următoarele perechi: 5 și 25, 3 și 49, 3 și 16, 3 și 100. Fiecare dintre ele conține un număr care poate fi scos de sub semnul rădăcinii. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

După simplificare, răspunsul este: 5√5 - 5√3. Poate fi lăsat în această formă, dar este mai bine să scoateți din paranteze factorul comun 5: 5 (√5 - √3).

c) Și din nou factorizarea: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. După eliminarea factorilor de sub semnul rădăcinii, avem:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. După ce aducem termeni similari obținem rezultatul: 7√11.

Exemplu cu expresii fracționale

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Va trebui să factorizați următoarele numere: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Similar celor discutate deja, trebuie să eliminați factorii de sub semnul rădăcinii. și simplificați expresia:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Această expresie necesită a scăpa de iraționalitatea din numitor. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți al doilea termen cu √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Pentru a finaliza acțiunile, trebuie să selectați întreaga parte a factorilor din fața rădăcinilor. Pentru primul este 1, pentru al doilea este 2.

Formule de rădăcină. Proprietățile rădăcinilor pătrate.

Atenţie!
Există suplimentare
materiale din secțiunea specială 555.
Pentru cei care sunt foarte „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

În lecția anterioară ne-am dat seama ce este o rădăcină pătrată. Este timpul să ne dăm seama care dintre ele există formule pentru rădăcini ce sunt proprietățile rădăcinilor, și ce se poate face cu toate acestea.

Formulele rădăcinilor, proprietățile rădăcinilor și regulile de lucru cu rădăcinile- acesta este în esență același lucru. Există surprinzător de puține formule pentru rădăcini pătrate. Ceea ce cu siguranță mă face fericit! Sau, mai degrabă, puteți scrie o mulțime de formule diferite, dar pentru o muncă practică și sigură cu rădăcini, doar trei sunt suficiente. Orice altceva decurge din acești trei. Deși mulți oameni se încurcă în cele trei formule de rădăcină, da...

Să începem cu cel mai simplu. Iat-o:

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Să învățăm - cu interes!)

Vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Ca și în cazul oricărui număr, puteți efectua operații aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate.

Instrucțiuni

1. În primul rând, atunci când adăugați rădăcini pătrate, încercați să extrageți acele rădăcini. Acest lucru va fi acceptabil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. Să presupunem că expresia dată este ?4 + ?9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Astfel, rezultă că: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Dacă nu există pătrate complete sub semnul rădăcinii, atunci încercați să mutați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. Să spunem, să presupunem că este dată expresia?24 +?54. Factorizați numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Numărul 24 are un factor de 4, cel care poate fi transferat de sub semnul rădăcinii pătrate. Numărul 54 are un factor de 9. Astfel, rezultă că: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . În acest exemplu, ca urmare a eliminării multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, a fost posibilă simplificarea expresiei date.

3. Fie suma a 2 rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, să spunem A / (?a + ?b). Și lasă ca sarcina ta să fie „să scapi de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia ?a - ?b. Astfel, numitorul va conține formula de înmulțire prescurtată: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Prin analogie, dacă numitorul conține diferența dintre rădăcini: ?a - ?b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia ?a + ?b. De exemplu, fie fracția 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ? ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Luați în considerare un exemplu mai complex de a scăpa de iraționalitate în numitor. Să fie dată fracția 12 / (?2 + ?3 + ?5). Trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Și, în sfârșit, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, puteți calcula rădăcinile pătrate folosind un calculator. Calculați separat valorile pentru întregul număr și scrieți-l cu precizia necesară (să zicem, două zecimale). Și după aceea, efectuați operațiile aritmetice necesare, ca în cazul numerelor obișnuite. Să presupunem, să presupunem că trebuie să aflați valoarea aproximativă a expresiei ?7 + ?5 ? 2,65 + 2,24 = 4,89.

Video pe tema

Notă!
În niciun caz nu pot fi adăugate rădăcini pătrate ca numere primitive, adică. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Sfaturi utile
Dacă factorizați un număr pentru a muta pătratul de sub semnul rădăcinii, atunci efectuați verificarea inversă - înmulțiți toți factorii rezultați și obțineți numărul inițial.

Conţinut:

În matematică, rădăcinile pot fi pătrate, cubice sau pot avea orice alt exponent (putere), care este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. O expresie sub semnul rădăcinii se numește expresie radicală. Adăugarea rădăcinilor este similară cu adăugarea termenilor unei expresii algebrice, adică necesită determinarea rădăcinilor similare.

Pași

Partea 1 Determinarea rădăcinilor

1. 1 Denumirea rădăcinilor. O expresie sub semnul rădăcinii (√) înseamnă că este necesar să se extragă rădăcina de un anumit grad din această expresie.
   • Rădăcina se notează cu semnul √.
   • Exponentul (gradul) rădăcinii este scris în stânga deasupra semnului rădăcinii. De exemplu, rădăcina cubă a lui 27 se scrie ca: 3 √(27)
   • Dacă indicele (gradul) rădăcinii lipsește, atunci exponentul este considerat egal cu 2, adică este o rădăcină pătrată (sau rădăcină de gradul doi).
   • Numărul scris înainte de semnul rădăcinii se numește multiplicator (adică acest număr este înmulțit cu rădăcina), de exemplu 5√(2)
   • Dacă nu există niciun factor în fața rădăcinii, atunci acesta este egal cu 1 (rețineți că orice număr înmulțit cu 1 este egal cu el însuși).
   • Dacă este prima dată când lucrați cu rădăcini, faceți notele adecvate despre multiplicator și exponent rădăcină pentru a evita confuzia și pentru a înțelege mai bine scopul acestora.
2. 2 Amintiți-vă ce rădăcini pot fi pliate și care nu. Așa cum nu puteți adăuga termeni diferiți ai unei expresii, de exemplu, 2a + 2b ≠ 4ab, nu puteți adăuga rădăcini diferite.
   • Nu puteți adăuga rădăcini cu expresii radicale diferite, de exemplu, √(2) + √(3) ≠ √(5). Dar puteți adăuga numerele sub aceeași rădăcină, de exemplu, √(2 + 3) = √(5) (rădăcina pătrată a lui 2 este aproximativ 1,414, rădăcina pătrată a lui 3 este aproximativ 1,732 și rădăcina pătrată a lui 5 este de aproximativ 2,236) .
   • Nu puteți adăuga rădăcini cu aceleași expresii radicale, ci exponenți diferiți, de exemplu, √(64) + 3 √(64) (această sumă nu este egală cu 5 √(64), deoarece rădăcina pătrată a lui 64 este 8, rădăcina cubă a lui 64 este 4 , 8 + 4 = 12, care este mult mai mare decât a cincea rădăcină a lui 64, care este aproximativ 2,297).

Partea 2 Simplificarea și adăugarea rădăcinilor

1. 1 Identificați și grupați rădăcini similare. Rădăcinile similare sunt rădăcini care au aceiași indicatori și aceleași expresii radicale. De exemplu, luați în considerare expresia:
   2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
   • Mai întâi, rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același indice să fie localizate secvenţial.
     2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Apoi rescrieți expresia astfel încât rădăcinile cu același exponent și cu aceeași expresie radicală să fie localizate secvenţial.
     2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
2. 2 Simplificați rădăcinile. Pentru a face acest lucru, descompuneți (acolo unde este posibil) expresiile radicale în doi factori, dintre care unul este scos de sub rădăcină. În acest caz, numărul eliminat și factorul rădăcină sunt înmulțite.
   • În exemplul de mai sus, factorizează numărul 50 în 2*25, iar numărul 32 în 2*16. Din 25 și 16 puteți lua rădăcinile pătrate (5 și respectiv 4) și puteți elimina 5 și 4 de sub rădăcină, înmulțindu-le cu factorii 2 și respectiv 1. Astfel, obțineți o expresie simplificată: 10√(2 ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
   • Numărul 81 poate fi factorizat 3*27, iar din numărul 27 poți lua rădăcina cubă a lui 3. Acest număr 3 poate fi scos de sub rădăcină. Astfel, obțineți o expresie și mai simplificată: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
3. 3 Adăugați factorii rădăcinilor similare.În exemplul nostru, există rădăcini pătrate similare de 2 (pot fi adăugate) și rădăcini pătrate similare de 3 (pot fi, de asemenea, adăugate). Rădăcina cubă a lui 3 nu are astfel de rădăcini.
   • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
   • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
   • Expresie simplificată finală: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)

• Nu există reguli general acceptate pentru ordinea în care rădăcinile sunt scrise într-o expresie. Prin urmare, puteți scrie rădăcinile în ordinea crescătoare a indicatorilor lor și în ordinea crescătoare a expresiilor radicale.

Rădăcina pătrată a unui număr x este un număr a, care, înmulțit cu el însuși, dă numărul x: a * a = a^2 = x, √x = a. Ca și în cazul oricăror numere, puteți efectua operațiile aritmetice de adunare și scădere cu rădăcini pătrate.

Instrucțiuni

• În primul rând, atunci când adăugați rădăcini pătrate, încercați să extrageți acele rădăcini. Acest lucru va fi posibil dacă numerele de sub semnul rădăcinii sunt pătrate perfecte. De exemplu, să fie dată expresia √4 + √9. Primul număr 4 este pătratul numărului 2. Al doilea număr 9 este pătratul numărului 3. Astfel, rezultă că: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
• Dacă nu există pătrate complete sub semnul rădăcinii, atunci încercați să eliminați multiplicatorul numărului de sub semnul rădăcinii. De exemplu, să fie dată expresia √24 + √54. Factorizați numerele: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Numărul 24 are un factor de 4, care poate fi scos sub semnul rădăcinii pătrate. Numărul 54 are un factor de 9. Astfel, rezultă că: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . În acest exemplu, ca urmare a eliminării multiplicatorului de sub semnul rădăcinii, a fost posibilă simplificarea expresiei date.
• Fie suma a două rădăcini pătrate să fie numitorul unei fracții, de exemplu, A / (√a + √b). Și lasă ca sarcina ta să fie „să scapi de iraționalitatea din numitor”. Apoi puteți utiliza următoarea metodă. Înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √a - √b. Astfel, la numitor obținem formula de înmulțire prescurtată: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Prin analogie, dacă numitorul conține diferența dintre rădăcini: √a - √b, atunci numărătorul și numitorul fracției trebuie înmulțite cu expresia √a + √b. De exemplu, fie fracția 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
• Luați în considerare mai mult exemplu complex scăpând de iraționalitatea în numitor. Să fie dată fracția 12 / (√2 + √3 + √5). Este necesar să înmulțiți numărătorul și numitorul fracției cu expresia √2 + √3 - √5:
  12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
• În cele din urmă, dacă aveți nevoie doar de o valoare aproximativă, puteți utiliza un calculator pentru a calcula rădăcinile pătrate. Calculați separat valorile pentru fiecare număr și scrieți-le cu precizia necesară (de exemplu, două zecimale). Și apoi efectuați operațiile aritmetice necesare, ca în cazul numerelor obișnuite. De exemplu, să presupunem că trebuie să cunoașteți valoarea aproximativă a expresiei √7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89.