Piramidi sahihi ya mali na nukuu. Takwimu za kijiometri. Piramidi

apothem- urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida, ambayo hutolewa kutoka kwa vertex yake (kwa kuongeza, apothem ni urefu wa perpendicular, ambayo hupunguzwa kutoka katikati ya poligoni ya kawaida hadi moja ya pande zake);
nyuso za upande (ASB, BSC, CSD, DSA) - pembetatu zinazokutana kwenye vertex;
mbavu za pembeni ( AS , B.S. , C.S. , D.S. ) — vipengele vya kawaida pembe za upande;
juu ya piramidi (t. S) - hatua inayounganisha mbavu za upande na ambayo haipo katika ndege ya msingi;
urefu ( HIVYO ) - sehemu ya perpendicular inayotolewa kwa njia ya juu ya piramidi kwa ndege ya msingi wake (mwisho wa sehemu hiyo itakuwa juu ya piramidi na msingi wa perpendicular);
sehemu ya diagonal ya piramidi- sehemu ya piramidi inayopita juu na diagonal ya msingi;
msingi (ABCD) - poligoni ambayo si ya vertex ya piramidi.

Tabia za piramidi.

1. Wakati kingo zote za upande zina ukubwa sawa, basi:

ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
mbavu za upande huunda pembe sawa na ndege ya msingi;
Aidha, kinyume chake pia ni kweli, i.e. wakati mbavu za upande huunda na ndege ya msingi pembe sawa, au wakati mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mduara huu, ambayo ina maana kwamba kando zote za upande wa piramidi zina ukubwa sawa.

2. Wakati nyuso za upande zina pembe ya mwelekeo kwa ndege ya msingi wa thamani sawa, basi:

ni rahisi kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, na juu ya piramidi itaonyeshwa katikati ya mzunguko huu;
urefu wa nyuso za upande ni za urefu sawa;
eneo la uso wa upande ni sawa na ½ bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa uso wa upande.

3. Tufe inaweza kuelezewa karibu na piramidi ikiwa chini ya piramidi kuna poligoni ambayo mduara unaweza kuelezewa (hali ya lazima na ya kutosha). Katikati ya nyanja itakuwa mahali pa makutano ya ndege zinazopita katikati ya kingo za piramidi inayowazunguka. Kutoka kwa nadharia hii tunahitimisha kuwa karibu na pembetatu yoyote na karibu na yoyote piramidi ya kawaida inaweza kuelezea nyanja.

4. Tufe inaweza kuandikwa kwenye piramidi ikiwa ndege za bisector za pembe za ndani za dihedral za piramidi zinaingiliana kwenye hatua ya 1 (hali ya lazima na ya kutosha). Hatua hii itakuwa katikati ya nyanja.

Piramidi rahisi zaidi.

Kulingana na idadi ya pembe, msingi wa piramidi umegawanywa katika triangular, quadrangular, na kadhalika.

Kutakuwa na piramidi pembetatu, ya pembe nne, na kadhalika, wakati msingi wa piramidi ni pembetatu, quadrangle, na kadhalika. Piramidi ya pembetatu ni tetrahedron - tetrahedron. Quadrangular - pentagonal na kadhalika.

Piramidi ya pembetatu ni piramidi ambayo ina pembetatu kwenye msingi wake. Urefu wa piramidi hii ni perpendicular ambayo hupunguzwa kutoka juu ya piramidi hadi msingi wake.

Kutafuta urefu wa piramidi

Jinsi ya kupata urefu wa piramidi? Rahisi sana! Ili kupata urefu wa yoyote piramidi ya pembetatu unaweza kutumia formula ya kiasi: V = (1/3)Sh, ambapo S ni eneo la msingi, V ni kiasi cha piramidi, h ni urefu wake. Kutoka kwa formula hii, pata fomula ya urefu: kupata urefu wa piramidi ya pembetatu, unahitaji kuzidisha kiasi cha piramidi na 3, na kisha ugawanye thamani inayosababishwa na eneo la msingi, itakuwa: h. = (3V)/S. Kwa kuwa msingi wa piramidi ya pembetatu ni pembetatu, unaweza kutumia formula kuhesabu eneo la pembetatu. Ikiwa tunajua: eneo la pembetatu S na upande wake z, basi kulingana na formula ya eneo S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, ambapo h ni urefu wa piramidi, γ ni makali ya pembetatu; pembe kati ya pande za pembetatu na pande mbili zenyewe, kisha kwa kutumia formula ifuatayo: S = (1/2) γφsinQ, ambapo γ, φ ni pande za pembetatu, tunapata eneo la pembetatu. Thamani ya sine ya pembe Q inahitaji kuangaliwa katika jedwali la sines, ambalo linapatikana kwenye mtandao. Ifuatayo, tunabadilisha thamani ya eneo kwenye fomula ya urefu: h = (2S)/γ. Ikiwa kazi inahitaji kuhesabu urefu wa piramidi ya triangular, basi kiasi cha piramidi tayari kinajulikana.

Piramidi ya kawaida ya pembetatu

Pata urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular, yaani, piramidi ambayo nyuso zote ni pembetatu za usawa, kujua ukubwa wa makali γ. Katika kesi hii, kingo za piramidi ni pande za pembetatu za usawa. Urefu wa piramidi ya kawaida ya pembetatu itakuwa: h = γ√(2/3), ambapo γ ni makali. pembetatu ya usawa, h ni urefu wa piramidi. Ikiwa eneo la msingi (S) haijulikani, na tu urefu wa makali (γ) na kiasi (V) cha polyhedron hupewa, basi kutofautisha muhimu katika formula kutoka kwa hatua ya awali lazima kubadilishwa. kwa usawa wake, ambayo inaonyeshwa kwa suala la urefu wa makali. Eneo la pembetatu (kawaida) ni sawa na 1/4 ya bidhaa ya urefu wa upande wa pembetatu hii iliyo na mzizi wa mraba wa 3. Tunabadilisha fomula hii badala ya eneo la msingi katika uliopita. formula, na tunapata formula ifuatayo: h = 3V4/(γ 2 √3) = 12V/(γ 2 √3). Kiasi cha tetrahedron kinaweza kuonyeshwa kwa urefu wa makali yake, kisha kutoka kwa formula ya kuhesabu urefu wa takwimu, unaweza kuondoa vigezo vyote na kuacha tu upande wa uso wa triangular wa takwimu. Kiasi cha piramidi kama hiyo kinaweza kuhesabiwa kwa kugawanya na 12 kutoka kwa bidhaa urefu wa mchemraba wa uso wake na mzizi wa mraba wa 2.

Tukibadilisha usemi huu katika fomula iliyotangulia, tunapata fomula ifuatayo ya kukokotoa: h = 12(γ 3 √2/12)/(γ 2 √3) = (γ 3 √2)/(γ 2 √3) = γ √(2 /3) = (1/3)γ√6. Pia sahihi prism ya pembe tatu inaweza kuandikwa katika nyanja, na kujua tu radius ya nyanja (R) mtu anaweza kupata urefu wa tetrahedron yenyewe. Urefu wa makali ya tetrahedron ni: γ = 4R/√6. Tunabadilisha kutofautiana γ na usemi huu katika fomula iliyopita na kupata fomula: h = (1/3)√6(4R)/√6 = (4R)/3. Njia sawa inaweza kupatikana kwa kujua radius (R) ya duara iliyoandikwa katika tetrahedron. Katika kesi hii, urefu wa makali ya pembetatu itakuwa sawa na uwiano 12 kati kipeo ya 6 na radius. Tunabadilisha usemi huu katika fomula iliyopita na tunayo: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.

Jinsi ya kupata urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Ili kujibu swali la jinsi ya kupata urefu wa urefu wa piramidi, unahitaji kujua nini piramidi ya kawaida ni. Piramidi ya quadrangular ni piramidi ambayo ina quadrangle kwenye msingi wake. Ikiwa katika hali ya shida tunayo: kiasi (V) na eneo la msingi (S) wa piramidi, basi formula ya kuhesabu urefu wa polyhedron (h) itakuwa kama ifuatavyo - kugawanya kiasi kilichozidishwa. kwa 3 kwa eneo S: h = (3V)/S. Kutokana na msingi wa mraba wa piramidi yenye kiasi kilichopewa (V) na urefu wa upande γ, badala ya eneo (S) katika formula ya awali na mraba wa urefu wa upande: S = γ 2; H = 3V/γ 2 . Urefu wa piramidi ya kawaida h = SO hupita hasa katikati ya mduara ambao umezungukwa karibu na msingi. Kwa kuwa msingi wa piramidi hii ni mraba, hatua O ni hatua ya makutano ya diagonals AD na BC. Tuna: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Ifuatayo, tuko ndani pembetatu ya kulia Tunapata SOC (kwa kutumia nadharia ya Pythagorean): SO = √(SC 2 -OC 2). Sasa unajua jinsi ya kupata urefu wa piramidi ya kawaida.

Wanafunzi hukutana na dhana ya piramidi muda mrefu kabla ya kusoma jiometri. Kosa liko kwa maajabu maarufu ya Misri ya ulimwengu. Kwa hivyo, wakati wa kuanza kusoma polihedron hii ya ajabu, wanafunzi wengi tayari wanafikiria wazi. Vivutio vyote vilivyotajwa hapo juu vina sura sahihi. Nini kilitokea piramidi ya kawaida, na ina mali gani itajadiliwa zaidi.

Katika kuwasiliana na

Ufafanuzi

Kuna ufafanuzi mwingi wa piramidi. Tangu nyakati za zamani, imekuwa maarufu sana.

Kwa mfano, Euclid aliifafanua kuwa sura ya mwili inayojumuisha ndege ambazo, kuanzia moja, huungana katika hatua fulani.

Nguruwe alitoa uundaji sahihi zaidi. Alisisitiza kuwa hii ndiyo takwimu hiyo ina msingi na ndege katika mfumo wa pembetatu, kuungana kwa wakati mmoja.

Kutegemea tafsiri ya kisasa, piramidi inawakilishwa kama polihedroni ya anga inayojumuisha k-gon fulani na takwimu za k bapa. sura ya pembetatu, kuwa na jambo moja la kawaida.

Hebu tuangalie kwa undani zaidi, inajumuisha vipengele gani:

K-gon inachukuliwa kuwa msingi wa takwimu;
Maumbo ya pembe 3 yanajitokeza kama kingo za sehemu ya upande;
sehemu ya juu ambayo vipengele vya upande vinatoka inaitwa kilele;
sehemu zote zinazounganisha vertex huitwa kingo;
ikiwa mstari wa moja kwa moja umepungua kutoka kwenye vertex hadi ndege ya takwimu kwa pembe ya digrii 90, basi sehemu yake iliyo katika nafasi ya ndani ni urefu wa piramidi;
katika kipengele chochote cha upande, perpendicular, inayoitwa apothem, inaweza kuvutwa kwa upande wa polihedron yetu.

Idadi ya kingo huhesabiwa kwa kutumia formula 2*k, ambapo k ni idadi ya pande za k-gon. Ni nyuso ngapi za polihedroni kama vile piramidi zinaweza kubainishwa kwa kutumia usemi k+1.

Muhimu! Piramidi ya sura ya kawaida ni takwimu ya sterometri ambayo ndege ya msingi ni k-gon yenye pande sawa.

Mali ya msingi

Piramidi sahihi ina mali nyingi, ambazo ni za kipekee kwake. Hebu tuorodheshe:

Msingi ni takwimu ya sura sahihi.
Kingo za piramidi zinazopunguza vipengele vya upande zina maadili sawa ya nambari.
Vipengele vya upande ni pembetatu za isosceles.
Msingi wa urefu wa takwimu huanguka katikati ya poligoni, wakati huo huo ni sehemu ya kati ya iliyoandikwa na iliyopigwa.
Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.
Nyuso zote za upande zina pembe sawa ya mwelekeo kuhusiana na msingi.

Shukrani kwa mali zote zilizoorodheshwa, kufanya mahesabu ya vipengele ni rahisi zaidi. Kulingana na mali hapo juu, tunazingatia ishara mbili:

Katika kesi wakati poligoni inafaa kwenye mduara, nyuso za upande zitakuwa na pembe sawa na msingi.
Wakati wa kuelezea mduara kuzunguka poligoni, kingo zote za piramidi inayotoka kwenye vertex zitakuwa na urefu sawa na pembe sawa na msingi.

Msingi ni mraba

Piramidi ya kawaida ya quadrangular - polyhedron ambayo msingi wake ni mraba.

Ina nyuso nne za upande, ambazo ni isosceles kwa kuonekana.

Mraba inaonyeshwa kwenye ndege, lakini inategemea mali yote ya pembe nne ya kawaida.

Kwa mfano, ikiwa ni muhimu kuhusisha upande wa mraba na diagonal yake, kisha tumia formula ifuatayo: diagonal ni sawa na bidhaa ya upande wa mraba na mizizi ya mraba ya mbili.

Inategemea pembetatu ya kawaida

Piramidi ya kawaida ya triangular ni polihedron ambayo msingi wake ni 3-gon ya kawaida.

Ikiwa msingi ni pembetatu ya kawaida na kingo za upande ni sawa na kingo za msingi, basi takwimu kama hiyo. inayoitwa tetrahedron.

Nyuso zote za tetrahedron ni goni-3 za usawa. KATIKA kwa kesi hii Unahitaji kujua vidokezo kadhaa na usipoteze wakati juu yao wakati wa kuhesabu:

pembe ya mwelekeo wa mbavu kwa msingi wowote ni digrii 60;
ukubwa wa nyuso zote za ndani pia ni digrii 60;
uso wowote unaweza kufanya kama msingi;
, inayotolewa ndani ya takwimu, haya ni vipengele sawa.

Sehemu za polyhedron

Katika polyhedron yoyote kuna aina kadhaa za sehemu gorofa. Mara nyingi katika kozi ya jiometri ya shule hufanya kazi na mbili:

axial;
sambamba na msingi.

Sehemu ya axial hupatikana kwa kuingiliana na polyhedron na ndege ambayo inapita kupitia vertex, kando ya kando na mhimili. Katika kesi hii, mhimili ni urefu unaotolewa kutoka kwa vertex. Ndege ya kukata ni mdogo na mistari ya makutano na nyuso zote, na kusababisha pembetatu.

Makini! Katika piramidi ya kawaida, sehemu ya axial ni pembetatu ya isosceles.

Ikiwa ndege ya kukata inaendesha sambamba na msingi, basi matokeo ni chaguo la pili. Katika kesi hii, tuna takwimu ya msalaba sawa na msingi.

Kwa mfano, ikiwa kuna mraba kwenye msingi, basi sehemu inayofanana na msingi pia itakuwa mraba, tu ya vipimo vidogo.

Wakati wa kutatua shida chini ya hali hii, hutumia ishara na mali ya kufanana kwa takwimu, kulingana na nadharia ya Thales. Kwanza kabisa, ni muhimu kuamua mgawo wa kufanana.

Ikiwa ndege inatolewa sambamba na msingi na inakata sehemu ya juu polyhedron, basi piramidi ya kawaida ya truncated inapatikana katika sehemu ya chini. Kisha misingi ya polihedron iliyopunguzwa inasemekana kuwa poligoni sawa. Katika kesi hii, nyuso za upande ni isosceles trapezoids. Sehemu ya axial pia ni isosceles.

Ili kuamua urefu wa polyhedron iliyopunguzwa, ni muhimu kuteka urefu katika sehemu ya axial, yaani, katika trapezoid.

Maeneo ya uso

Shida kuu za kijiometri ambazo zinapaswa kutatuliwa katika kozi ya jiometri ya shule ni kutafuta eneo la uso na kiasi cha piramidi.

Kuna aina mbili za maadili ya eneo la uso:

eneo la vipengele vya upande;
eneo la uso mzima.

Kutoka kwa jina lenyewe ni wazi kile tunachozungumza. Uso wa upande unajumuisha vipengele vya upande tu. Inafuata kutoka kwa hili kwamba ili kuipata, unahitaji tu kuongeza maeneo ya ndege za baadaye, yaani, maeneo ya isosceles 3-gons. Wacha tujaribu kupata formula ya eneo la vitu vya upande:

Eneo la isosceles 3-gon ni Str=1/2(aL), ambapo a ni upande wa msingi, L ni apothem.
Idadi ya ndege za upande hutegemea aina ya k-gon kwenye msingi. Kwa mfano, piramidi ya kawaida ya quadrangular ina ndege nne za upande. Kwa hiyo, ni muhimu kuongeza maeneo ya takwimu nne Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Usemi huo umerahisishwa kwa njia hii kwa sababu thamani ni 4a = Rosn, ambapo Rosn ni mzunguko wa msingi. Na usemi 1/2*Rosn ni nusu-mzunguko wake.
Kwa hivyo, tunahitimisha kuwa eneo la vitu vya nyuma vya piramidi ya kawaida ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa nusu ya msingi na apothem: Sside = Rosn * L.

Eneo la jumla la uso wa piramidi lina jumla ya maeneo ya ndege za upande na msingi: Sp.p = Sside + Sbas.

Kama eneo la msingi, hapa formula hutumiwa kulingana na aina ya poligoni.

Kiasi cha piramidi ya kawaida sawa na bidhaa ya eneo la ndege ya msingi na urefu uliogawanywa na tatu: V=1/3*Sbas*H, ambapo H ni urefu wa polihedron.

Je, ni piramidi ya kawaida katika jiometri

Mali ya piramidi ya kawaida ya quadrangular

Ufafanuzi

Piramidi ni polihedroni inayoundwa na poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(n\) pembetatu yenye kipeo cha kawaida \(P\) (isiyolala kwenye ndege ya poligoni) na pande zinazoelekeana nayo. pande za poligoni.
Wajibu: \(PA_1A_2...A_n\) .
Mfano: piramidi ya pentagonal \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Pembetatu \(PA_1A_2, \PA_2A_3\), nk. zinaitwa nyuso za upande piramidi, sehemu \(PA_1, PA_2\), n.k. - mbavu za pembeni, poligoni \(A_1A_2A_3A_4A_5\) - msingi, uhakika \(P\) - juu.

Urefu piramidi ni perpendicular iliyoshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.

Piramidi yenye pembetatu kwenye msingi wake inaitwa tetrahedron.

Piramidi inaitwa sahihi, ikiwa msingi wake ni poligoni ya kawaida na moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:

\(a)\) kingo za kando za piramidi ni sawa;

\((b)\) urefu wa piramidi hupitia katikati ya duara iliyozungushwa karibu na msingi;

\((c)\) mbavu za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.

\((d)\) nyuso za upande zimeelekezwa kwa ndege ya msingi kwa pembe sawa.

Tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya pembetatu, ambayo nyuso zake zote ni pembetatu sawa.

Nadharia

Masharti \((a), (b), (c), (d)\) ni sawa.

Ushahidi

Wacha tupate urefu wa piramidi \(PH\) . Hebu \(\alpha\) iwe ndege ya msingi wa piramidi.

1) Hebu tuthibitishe kwamba kutoka \((a)\) inafuata \((b)\) . Hebu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Kwa sababu \(PH\perp \alpha\), kisha \(PH\) ni sawa na mstari wowote ulio kwenye ndege hii, ambayo inamaanisha kuwa pembetatu zina pembe ya kulia. Hii inamaanisha kuwa pembetatu hizi ni sawa kwa mguu wa kawaida \(PH\) na hypotenuse \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Hii ina maana \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Hii ina maana kwamba pointi \(A_1, A_2, ..., A_n\) ziko katika umbali sawa kutoka kwa uhakika \(H\), kwa hivyo, ziko kwenye mduara sawa na radius \(A_1H\) . Mduara huu, kwa ufafanuzi, umezungushwa kuhusu poligoni \(A_1A_2...A_n\) .

2) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili na sawa kwa miguu miwili. Hii ina maana kwamba pembe zao pia ni sawa, kwa hiyo, \(\pembe PA_1H=\pembe PA_2H=...=\pembe PA_nH\).

3) Hebu tuthibitishe kwamba \((c)\) inamaanisha \((a)\) .

Sawa na hatua ya kwanza, pembetatu \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) mstatili wote kando ya mguu na pembe ya papo hapo. Hii ina maana kwamba hypotenuses zao pia ni sawa, yaani, \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Hebu tuthibitishe kwamba \((b)\) inamaanisha \((d)\) .

Kwa sababu katika poligoni ya kawaida vituo vya miduara iliyozungushwa na iliyoandikwa hupatana (kwa ujumla, hatua hii inaitwa kitovu cha poligoni ya kawaida), kisha \(H\) ni kitovu cha duara iliyoandikwa. Wacha tuchore perpendiculars kutoka kwa uhakika \(H\) hadi kando ya msingi: \(HK_1, HK_2\), nk. Hizi ni radii za mduara ulioandikwa (kwa ufafanuzi). Kisha, kulingana na TTP (\(PH\) ni perpendicular kwa ndege, \(HK_1, HK_2\), nk. ni makadirio perpendicular kwa pande) kutega \(PK_1, PK_2\), nk. perpendicular kwa pande \(A_1A_2, A_2A_3\), nk. kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, kwa ufafanuzi \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H\) sawa na pembe kati ya nyuso za upande na msingi. Kwa sababu pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kwenye pande mbili), kisha pembe \(\pembe PK_1H, \pembe PK_2H, ...\) ni sawa.

5) Hebu tuthibitishe kwamba \((d)\) inamaanisha \((b)\) .

Sawa na nukta ya nne, pembetatu \(PK_1H, PK_2H, ...\) ni sawa (kama mstatili kando ya mguu na pembe ya papo hapo), ambayo inamaanisha kuwa sehemu \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) ni sawa. Hii inamaanisha, kwa ufafanuzi, \(H\) ni kitovu cha duara kilichoandikwa kwenye msingi. Lakini kwa sababu Kwa poligoni za kawaida, vituo vya miduara iliyoandikwa na iliyozungushwa sanjari, basi \(H\) ni kitovu cha duara iliyozungushwa. Chtd.

Matokeo

Nyuso za upande wa piramidi ya kawaida ni pembetatu sawa za isosceles.

Ufafanuzi

Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem.
Maneno ya nyuso zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa kwa kila mmoja na pia ni wapatanishi na wagawanyaji.

Vidokezo Muhimu

1. Urefu wa piramidi ya kawaida ya triangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya urefu (au bisectors, au medians) ya msingi (msingi ni pembetatu ya kawaida).

2. Urefu wa piramidi ya kawaida ya quadrangular huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni mraba).

3. Urefu wa piramidi ya kawaida ya hexagonal huanguka kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (msingi ni hexagon ya kawaida).

4. Urefu wa piramidi ni perpendicular kwa mstari wowote wa moja kwa moja ulio chini.

Ufafanuzi

Piramidi inaitwa mstatili, ikiwa moja ya kingo zake za upande ni perpendicular kwa ndege ya msingi.

Vidokezo Muhimu

1. Katika piramidi ya mstatili, makali ya perpendicular kwa msingi ni urefu wa piramidi. Hiyo ni, \(SR\) ni urefu.

2. Kwa sababu \(SR\) ni perpendicular kwa mstari wowote kutoka msingi, basi \(\pembetatu SRM, \pembetatu SRP\)- pembetatu za kulia.

3. Pembetatu \(\pembetatu SRN, \pembetatu SRK\)- pia mstatili.
Hiyo ni, pembetatu yoyote inayoundwa na makali haya na diagonal inayojitokeza kutoka kwenye vertex ya makali haya yaliyo kwenye msingi itakuwa mstatili.

\[(\Kubwa(\maandishi(Kiasi na eneo la uso wa piramidi)))\]

Nadharia

Kiasi cha piramidi ni sawa na theluthi moja ya bidhaa ya eneo la msingi na urefu wa piramidi: \

Matokeo

Acha \(a\) iwe upande wa msingi, \(h\) iwe urefu wa piramidi.

1. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya triangular ni \(V_(\text(pembetatu ya kulia.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya quadrangular ni \(V_(\text(right.four.pir.))=\dfrac13a^2h\).

3. Kiasi cha piramidi ya kawaida ya hexagonal ni \(V_(\text(right.six.pir.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Kiasi cha tetrahedron ya kawaida ni \(V_(\text(tetr kulia))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Nadharia

Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem.

\[(\Kubwa(\text(Frustum)))\]

Ufafanuzi

Fikiria piramidi ya kiholela \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Hebu tuchore ndege sambamba na msingi wa piramidi kupitia hatua fulani iliyolala kwenye makali ya upande wa piramidi. Ndege hii itagawanya piramidi katika polihedra mbili, moja ambayo ni piramidi (\(PB_1B_2...B_n\)), na nyingine inaitwa. piramidi iliyopunguzwa(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramidi iliyokatwa ina besi mbili - poligoni \(A_1A_2...A_n\) na \(B_1B_2...B_n\) ambazo zinafanana.

Urefu wa piramidi iliyopunguzwa ni perpendicular inayotolewa kutoka kwa hatua fulani ya msingi wa juu hadi ndege ya msingi wa chini.

Vidokezo Muhimu

1. Nyuso zote za upande wa piramidi iliyopunguzwa ni trapezoids.

2. Sehemu inayounganisha vituo vya besi za piramidi ya kawaida iliyopunguzwa (yaani, piramidi iliyopatikana kwa sehemu ya msalaba wa piramidi ya kawaida) ni urefu.

Hapa unaweza kupata taarifa za msingi kuhusu piramidi na kanuni na dhana zinazohusiana. Wote husomwa na mkufunzi wa hisabati katika maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja.

Fikiria ndege, poligoni , amelala ndani yake na uhakika S, sio uongo ndani yake. Wacha tuunganishe S kwa wima zote za poligoni. Polyhedron inayotokana inaitwa piramidi. Sehemu hizo huitwa mbavu za upande. Poligoni inaitwa msingi, na uhakika S ni sehemu ya juu ya piramidi. Kulingana na nambari n, piramidi inaitwa triangular (n = 3), quadrangular (n = 4), pentagonal (n = 5) na kadhalika. Jina mbadala la piramidi ya pembetatu ni tetrahedron. Urefu wa piramidi ni perpendicular inayoshuka kutoka juu hadi ndege ya msingi.

Piramidi inaitwa kawaida ikiwa poligoni ya kawaida, na msingi wa urefu wa piramidi (msingi wa perpendicular) ni katikati yake.

Maoni ya mwalimu:
Usichanganye dhana za "piramidi ya kawaida" na "tetrahedron ya kawaida". Katika piramidi ya kawaida, kingo za upande sio lazima sawa na kingo za msingi, lakini katika tetrahedron ya kawaida, kingo zote 6 ni sawa. Huu ndio ufafanuzi wake. Ni rahisi kudhibitisha kuwa usawa unamaanisha kuwa kituo cha P cha poligoni kinapatana na urefu wa msingi, hivyo tetrahedron ya kawaida ni piramidi ya kawaida.

apothem ni nini?
Maneno ya piramidi ni urefu wa uso wake wa upande. Ikiwa piramidi ni ya kawaida, basi apothems zake zote ni sawa. Kinyume chake si kweli.

Mkufunzi wa hisabati kuhusu istilahi yake: 80% ya kazi na piramidi hujengwa kupitia aina mbili za pembetatu:
1) Yenye apothem SK na urefu SP
2) Yenye lateral edge SA na makadirio yake PA

Ili kurahisisha marejeleo ya pembetatu hizi, ni rahisi zaidi kwa mwalimu wa hesabu kumwita wa kwanza wao apothemal, na pili gharama kubwa. Kwa bahati mbaya, hautapata istilahi hii katika kitabu chochote cha kiada, na mwalimu anapaswa kuitambulisha kwa upande mmoja.

Mfumo wa kiasi cha piramidi:
1) , ni wapi eneo la msingi wa piramidi, na ni urefu wa piramidi
2) , ambapo ni radius ya nyanja iliyoandikwa, na ni eneo la jumla ya uso wa piramidi.
3) , ambapo MN ni umbali kati ya kingo zozote mbili zinazovuka, na ni eneo la msambamba linaloundwa na ncha za kati za kingo nne zilizosalia.

Mali ya msingi wa urefu wa piramidi:

Pointi P (tazama takwimu) inaambatana na katikati ya duara iliyoandikwa kwenye msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:
1) Apothems zote ni sawa
2) Nyuso zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Apothems zote zimeelekezwa kwa urefu wa piramidi
4) Urefu wa piramidi umeelekezwa sawa kwa nyuso zote za upande

Maoni ya mwalimu wa hisabati: Tafadhali kumbuka kuwa pointi zote zina kitu kimoja sawa mali ya jumla: njia moja au nyingine, nyuso za upande zinahusika kila mahali (apothems ni mambo yao). Kwa hivyo, mkufunzi anaweza kutoa uundaji usio sahihi zaidi, lakini unaofaa zaidi kwa kujifunza: hatua P inalingana na katikati ya duara iliyoandikwa, msingi wa piramidi, ikiwa kuna habari sawa juu ya nyuso zake za nyuma. Ili kuthibitisha hilo, inatosha kuonyesha kwamba pembetatu zote za apothem ni sawa.

Pointi P inalingana na katikati ya duara iliyozungukwa karibu na msingi wa piramidi ikiwa moja ya masharti matatu ni kweli:
1) Kingo zote za upande ni sawa
2) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa msingi sawa
3) Mbavu zote za upande zimeelekezwa kwa urefu sawa