Nini mzizi wa equation ya quadratic? Kutatua equations za quadratic, formula ya mizizi, mifano

Baadhi ya matatizo katika hisabati yanahitaji uwezo wa kuhesabu thamani ya mzizi wa mraba. Shida kama hizo ni pamoja na kutatua milinganyo ya mpangilio wa pili. Katika makala hii tutawasilisha njia ya ufanisi mahesabu mizizi ya mraba na uitumie wakati wa kufanya kazi na fomula za mizizi ya equation ya quadratic.

Mzizi wa mraba ni nini?

Katika hisabati, dhana hii inalingana na ishara √. Data ya kihistoria inasema kwamba ilitumika kwa mara ya kwanza karibu nusu ya kwanza ya karne ya 16 huko Ujerumani (kazi ya kwanza ya Kijerumani kuhusu algebra na Christoph Rudolf). Wanasayansi wanaamini kuwa ishara maalum imebadilishwa Barua ya Kilatini r (radix ina maana "mzizi" katika Kilatini).

Mzizi wa nambari yoyote ni sawa na thamani ambayo mraba wake unalingana na usemi mkali. Katika lugha ya hisabati, ufafanuzi huu utaonekana kama hii: √x = y, ikiwa y 2 = x.

Mzizi wa nambari chanya (x > 0) pia ni nambari chanya (y > 0), lakini ukichukua mzizi wa nambari hasi (x< 0), то его результатом уже будет комплексное число, включающее мнимую единицу i.

Hapa kuna mifano miwili rahisi:

√9 = 3, tangu 3 2 = 9; √(-9) = 3i, kwani i 2 = -1.

Njia ya kurudia ya Heron ya kupata maadili ya mizizi ya mraba

Mifano hapo juu ni rahisi sana, na kuhesabu mizizi ndani yao si vigumu. Ugumu huanza kuonekana wakati wa kutafuta maadili ya mizizi kwa thamani yoyote ambayo haiwezi kuwakilishwa kama mraba nambari ya asili, kwa mfano √10, √11, √12, √13, bila kutaja ukweli kwamba katika mazoezi ni muhimu kupata mizizi kwa nambari zisizo kamili: kwa mfano √(12,15), √(8,5) Nakadhalika.

Katika matukio yote hapo juu, njia maalum ya kuhesabu mizizi ya mraba inapaswa kutumika. Hivi sasa, njia kadhaa kama hizo zinajulikana: kwa mfano, upanuzi wa safu ya Taylor, mgawanyiko wa safu na wengine wengine. Ya yote mbinu zinazojulikana Labda rahisi zaidi na yenye ufanisi zaidi ni kutumia fomula ya kurudia ya Heron, ambayo pia inajulikana kama mbinu ya Kibabeli ya kuamua mizizi ya mraba (kuna ushahidi kwamba Wababeli wa kale waliitumia katika hesabu zao za vitendo).

Hebu iwe muhimu kuamua thamani ya √x. Njia ya kupata mzizi wa mraba ni mtazamo unaofuata:

a n+1 = 1/2(a n +x/a n), ambapo lim n->∞ (a n) => x.

Hebu tufafanue nukuu hii ya hisabati. Ili kuhesabu √x, unapaswa kuchukua nambari fulani 0 (inaweza kuwa ya kiholela, lakini ili kupata matokeo haraka, unapaswa kuichagua ili (a 0) 2 iwe karibu iwezekanavyo na x. Kisha uibadilishe kwenye fomula iliyoonyeshwa ya kuhesabu mzizi wa mraba na kupata nambari mpya 1, ambayo tayari itakuwa karibu na thamani inayotakiwa. Baada ya hayo, unahitaji kubadilisha 1 kwenye usemi na kupata 2. Utaratibu huu unapaswa kurudiwa hadi inahitajika. usahihi unapatikana.

Mfano wa kutumia fomula ya kurudia ya Heron

Algorithm iliyoelezewa hapo juu ya kupata mzizi wa mraba wa nambari fulani inaweza kuonekana kuwa ngumu na ya kutatanisha kwa wengi, lakini kwa kweli kila kitu kinageuka kuwa rahisi zaidi, kwani fomula hii inabadilika haraka sana (haswa ikiwa nambari iliyofanikiwa 0 imechaguliwa) .

Hebu tutoe mfano rahisi: unahitaji kuhesabu √11. Wacha tuchague 0 = 3, kwani 3 2 = 9, ambayo ni karibu na 11 kuliko 4 2 = 16. Kubadilisha fomula, tunapata:

a 1 = 1/2 (3 + 11/3) = 3.333333;

a 2 = 1/2 (3.33333 + 11/3.33333) = 3.316668;

a 3 = 1/2 (3.316668 + 11/3.316668) = 3.31662.

Hakuna maana ya kuendelea na mahesabu, kwani tuligundua kuwa 2 na 3 huanza kutofautiana tu katika nafasi ya 5 ya decimal. Kwa hivyo, ilitosha kutumia fomula mara 2 tu kuhesabu √11 kwa usahihi wa 0.0001.

Siku hizi, vikokotoo na kompyuta vinatumika sana kukokotoa mizizi, hata hivyo, ni muhimu kukumbuka fomula iliyowekwa alama ili kuweza kuhesabu thamani yao halisi.

Milinganyo ya mpangilio wa pili

Kuelewa mizizi ya mraba ni nini na uwezo wa kuihesabu hutumiwa katika kutatua milinganyo ya quadratic. Equations hizi huitwa usawa na moja haijulikani, fomu ya jumla ambayo imeonyeshwa kwenye takwimu hapa chini.

Hapa c, b na a huwakilisha nambari fulani, na lazima isiwe sawa na sifuri, na maadili ya c na b yanaweza kuwa ya kiholela kabisa, pamoja na sawa na sifuri.

Thamani zozote za x zinazokidhi usawa ulioonyeshwa kwenye takwimu huitwa mizizi yake (wazo hili halipaswi kuchanganyikiwa na mzizi wa mraba √). Kwa kuwa equation inayozingatiwa ni ya mpangilio wa 2 (x 2), basi haiwezi kuwa na mizizi zaidi ya mbili kwa hiyo. Hebu tuangalie zaidi katika makala jinsi ya kupata mizizi hii.

Kupata mizizi ya equation ya quadratic (formula)

Njia hii ya kutatua aina ya usawa unaozingatiwa pia inaitwa njia ya ulimwengu wote, au njia ya kibaguzi. Inaweza kutumika kwa milinganyo yoyote ya quadratic. Fomula ya kibaguzi na mizizi ya equation ya quadratic ni kama ifuatavyo.

Inaonyesha kwamba mizizi inategemea thamani ya kila coefficients tatu za equation. Zaidi ya hayo, hesabu ya x 1 inatofautiana na hesabu ya x 2 tu kwa ishara mbele ya mizizi ya mraba. Usemi mkali, ambao ni sawa na b 2 - 4ac, sio chochote zaidi ya ubaguzi wa usawa unaohusika. Kibaguzi katika fomula ya mizizi ya equation ya quadratic ina jukumu muhimu kwa sababu huamua idadi na aina ya suluhu. Kwa hivyo, ikiwa ni sawa na sifuri, basi kutakuwa na suluhisho moja tu, ikiwa ni chanya, basi equation ina mizizi miwili halisi, na hatimaye, ubaguzi mbaya husababisha mizizi miwili ngumu x 1 na x 2.

Nadharia ya Vieta au sifa fulani za mizizi ya milinganyo ya mpangilio wa pili

Mwishoni mwa karne ya 16, mmoja wa waanzilishi wa algebra ya kisasa, Mfaransa, akisoma hesabu za mpangilio wa pili, aliweza kupata mali ya mizizi yake. Kihesabu zinaweza kuandikwa kama hii:

x 1 + x 2 = -b / a na x 1 * x 2 = c / a.

Usawa wote wawili unaweza kupatikana kwa urahisi na mtu yeyote; ili kufanya hivyo, unahitaji tu kufanya shughuli zinazofaa za hisabati na mizizi iliyopatikana kupitia fomula na kibaguzi.

Mchanganyiko wa maneno haya mawili yanaweza kuitwa kwa usahihi fomula ya pili ya mizizi ya equation ya quadratic, ambayo inafanya uwezekano wa nadhani ufumbuzi wake bila kutumia kibaguzi. Hapa inapaswa kuzingatiwa kuwa ingawa misemo yote miwili ni halali kila wakati, ni rahisi kuzitumia kutatua equation ikiwa tu inaweza kuzingatiwa.

Jukumu la kuunganisha maarifa yaliyopatikana

Wacha tutatue shida ya kihesabu ambayo tutaonyesha mbinu zote zilizojadiliwa katika kifungu hicho. Masharti ya shida ni kama ifuatavyo: unahitaji kupata nambari mbili ambazo bidhaa ni -13 na jumla ni 4.

Hali hii inatukumbusha mara moja nadharia ya Vieta; kwa kutumia fomula za jumla ya mizizi ya mraba na bidhaa zao, tunaandika:

x 1 + x 2 = -b / a = 4;

x 1 * x 2 = c / a = -13.

Ikiwa tunadhani kuwa a = 1, basi b = -4 na c = -13. Coefficients hizi huturuhusu kuunda mlingano wa mpangilio wa pili:

x 2 - 4x - 13 = 0.

Wacha tutumie fomula na kibaguzi na tupate mizizi ifuatayo:

x 1.2 = (4 ± √D)/2, D = 16 - 4 * 1 * (-13) = 68.

Hiyo ni, shida ilipunguzwa hadi kupata nambari √68. Kumbuka kwamba 68 = 4 * 17, basi, kwa kutumia mali ya mizizi ya mraba, tunapata: √68 = 2√17.

Sasa hebu tutumie fomula inayozingatiwa ya mizizi ya mraba: a 0 = 4, kisha:

a 1 = 1/2 (4 + 17/4) = 4.125;

a 2 = 1/2 (4.125 + 17/4.125) = 4.1231.

Hakuna haja ya kuhesabu 3 kwani maadili yanayopatikana yanatofautiana na 0.02 tu. Hivyo, √68 = 8.246. Kuibadilisha katika fomula ya x 1,2, tunapata:

x 1 = (4 + 8.246)/2 = 6.123 na x 2 = (4 - 8.246)/2 = -2.123.

Kama tunaweza kuona, jumla ya nambari zilizopatikana ni sawa na 4, lakini ikiwa tutapata bidhaa zao, basi itakuwa sawa na -12.999, ambayo inakidhi masharti ya shida kwa usahihi wa 0.001.

Tunaendelea kusoma mada " kutatua milinganyo" Tayari tumefahamu milinganyo ya mstari na tunaendelea kuzoeana milinganyo ya quadratic.

Kwanza, tutaangalia equation ya quadratic ni nini, jinsi imeandikwa kwa fomu ya jumla, na kutoa ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, tutatumia mifano kuchunguza kwa undani jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa. Ifuatayo, tutaendelea kusuluhisha milinganyo kamili, kupata fomula ya mizizi, kufahamiana na kibaguzi cha mlinganyo wa quadratic, na kuzingatia masuluhisho kwa mifano ya kawaida. Hatimaye, hebu tufuate miunganisho kati ya mizizi na coefficients.

Urambazaji wa ukurasa.

Mlinganyo wa quadratic ni nini? Aina zao

Kwanza unahitaji kuelewa wazi equation ya quadratic ni nini. Kwa hiyo, ni jambo la busara kuanza mazungumzo kuhusu equations za quadratic na ufafanuzi wa equation ya quadratic, pamoja na ufafanuzi unaohusiana. Baada ya hayo, unaweza kuzingatia aina kuu za equations za quadratic: kupunguzwa na kupunguzwa, pamoja na usawa kamili na usio kamili.

Ufafanuzi na mifano ya milinganyo ya quadratic

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa Quadratic ni mlinganyo wa fomu a x 2 +b x+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni baadhi ya nambari, na a si sifuri.

Wacha tuseme mara moja kwamba equations za quadratic mara nyingi huitwa equations ya shahada ya pili. Hii ni kutokana na ukweli kwamba equation ya quadratic ni mlinganyo wa algebra shahada ya pili.

Ufafanuzi uliotajwa unaturuhusu kutoa mifano ya milinganyo ya quadratic. Kwa hivyo 2 x 2 +6 x+1=0, 0.2 x 2 +2.5 x+0.03=0, nk. Hizi ni milinganyo ya quadratic.

Ufafanuzi.

Nambari a, b na c huitwa mgawo wa mlinganyo wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0, na mgawo a unaitwa wa kwanza, au wa juu zaidi, au mgawo wa x 2, b ni mgawo wa pili, au mgawo wa x, na c ni neno huria. .

Kwa mfano, hebu tuchukue equation ya quadratic ya fomu 5 x 2 -2 x -3=0, hapa mgawo unaoongoza ni 5, mgawo wa pili ni sawa na -2, na neno la bure ni sawa na -3. Tafadhali kumbuka kuwa wakati viambatanisho b na/au c ni hasi, kama ilivyo katika mfano uliotolewa hivi karibuni, aina fupi ya mlinganyo wa quadratic ni 5 x 2 -2 x−3=0 , badala ya 5 x 2 +(−2 ) ·x+(−3)=0 .

Inafaa kumbuka kuwa wakati viambatanisho a na/au b ni sawa na 1 au −1, kwa kawaida hazipo wazi katika mlinganyo wa quadratic, ambayo inatokana na sifa za kipekee za kuandika vile . Kwa mfano, katika mlinganyo wa quadratic y 2 -y+3=0 mgawo unaoongoza ni mmoja, na mgawo wa y ni sawa na -1.

Milinganyo ya quadratic iliyopunguzwa na isiyopunguzwa

Kulingana na thamani ya mgawo wa kuongoza, equations za quadratic zilizopunguzwa na zisizopunguzwa zinajulikana. Wacha tutoe ufafanuzi unaolingana.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic ambao mgawo unaoongoza ni 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Vinginevyo equation ya quadratic ni haijaguswa.

Kulingana na ufafanuzi huu, milinganyo ya quadratic x 2 −3·x+1=0, x 2 −x-2/3=0, nk. - ikipewa, katika kila mmoja wao mgawo wa kwanza ni sawa na moja. A 5 x 2 −x−1=0, nk. - milinganyo ya quadratic ambayo haijapunguzwa, coefficients yao inayoongoza ni tofauti na 1.

Kutoka kwa usawa wowote wa quadratic ambao haujapunguzwa, kwa kugawanya pande zote mbili kwa mgawo wa kuongoza, unaweza kwenda kwa moja iliyopunguzwa. Kitendo hiki ni mageuzi sawa, yaani, equation iliyopunguzwa ya quadratic iliyopatikana kwa njia hii ina mizizi sawa na equation ya awali ya quadratic isiyopunguzwa, au, kama hiyo, haina mizizi.

Hebu tuangalie mfano wa jinsi mpito kutoka kwa equation ya quadratic isiyopunguzwa hadi iliyopunguzwa inafanywa.

Mfano.

Kutoka kwa mlingano wa 3 x 2 +12 x−7=0, nenda kwa mlingano wa quadratic uliopunguzwa.

Suluhisho.

Tunahitaji tu kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa asili kwa mgawo wa 3 unaoongoza, sio sifuri, ili tuweze kutekeleza kitendo hiki. Tuna (3 x 2 +12 x−7):3=0:3, ambayo ni sawa, (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0, na kisha (3: 3) x 2 +(12:3) x−7:3=0, kutoka wapi. Hivi ndivyo tulivyopata equation ya quadratic iliyopunguzwa, ambayo ni sawa na ile ya awali.

Jibu:

Milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic

Ufafanuzi wa mlingano wa quadratic una hali a≠0. Hali hii ni muhimu ili equation a x 2 + b x + c = 0 ni quadratic, tangu wakati = 0 inakuwa kweli equation linear ya fomu b x + c = 0.

Kama kwa coefficients b na c, wanaweza kuwa sawa na sifuri, mmoja mmoja na kwa pamoja. Katika kesi hizi, equation ya quadratic inaitwa haijakamilika.

Ufafanuzi.

Mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0 unaitwa haijakamilika, ikiwa angalau moja ya mgawo b, c ni sawa na sifuri.

Kwa upande wake

Ufafanuzi.

Mlinganyo kamili wa quadratic ni mlinganyo ambapo coefficients zote ni tofauti na sufuri.

Majina kama haya hayakutolewa kwa bahati. Hili litakuwa wazi kutokana na mijadala ifuatayo.

Ikiwa mgawo b ni sifuri, basi mlinganyo wa quadratic huchukua fomu a·x 2 +0·x+c=0, na ni sawa na mlinganyo a·x 2 +c=0. Ikiwa c=0, yaani, mlinganyo wa quadratic una umbo a·x 2 +b·x+0=0, basi unaweza kuandikwa upya kama a·x 2 +b·x=0. Na kwa b=0 na c=0 tunapata equation ya quadratic a·x 2 =0. Milinganyo inayotokana inatofautiana na mlinganyo kamili wa quadratic kwa kuwa pande zao za mkono wa kushoto hazina neno lenye mabadiliko ya x, au neno lisilolipishwa, au zote mbili. Kwa hivyo jina lao - milinganyo ya quadratic isiyo kamili.

Kwa hivyo milinganyo x 2 +x+1=0 na -2 x 2 -5 x+0.2=0 ni mifano ya milinganyo kamili ya quadratic, na x 2 =0, -2 x 2 =0, 5 x 2 +3=0 , −x 2 −5 x=0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika.

Kutatua milinganyo ya quadratic isiyokamilika

Kutoka kwa habari katika aya iliyotangulia inafuata kuwa kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:

a·x 2 =0, viambajengo b=0 na c=0 vinalingana nayo;
a x 2 +c=0 wakati b=0 ;
na a·x 2 +b·x=0 wakati c=0.

Wacha tuchunguze ili jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya kila aina hizi hutatuliwa.

a x 2 =0

Wacha tuanze na kusuluhisha milinganyo ya quadratic isiyokamilika ambayo coefficients b na c ni sawa na sifuri, ambayo ni, na milinganyo ya fomu x 2 =0. Mlinganyo a·x 2 =0 ni sawa na mlinganyo x 2 =0, ambao hupatikana kutoka kwa asili kwa kugawanya sehemu zote mbili na nambari isiyo ya sifuri a. Kwa wazi, mzizi wa equation x 2 =0 ni sifuri, tangu 0 2 =0. Mlinganyo huu hauna mizizi mingine, ambayo inaelezewa na ukweli kwamba kwa nambari yoyote isiyo ya sifuri p usawa p 2 >0 inashikilia, ambayo ina maana kwamba kwa p≠0 usawa p 2 =0 haipatikani kamwe.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 =0 ina mzizi mmoja x=0.

Kama mfano, tunatoa suluhu kwa mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika -4 x 2 =0. Ni sawa na equation x 2 =0, mzizi wake pekee ni x = 0, kwa hiyo, equation ya awali ina mizizi sifuri moja.

Suluhisho fupi katika kesi hii linaweza kuandikwa kama ifuatavyo.
−4 x 2 =0 ,
x 2 =0,
x=0 .

a x 2 +c=0

Sasa hebu tuangalie jinsi milinganyo ya quadratic isiyokamilika inatatuliwa ambapo mgawo b ni sifuri na c≠0, yaani, milinganyo ya fomu a x 2 +c=0. Tunajua kwamba kuhamisha neno kutoka upande mmoja wa equation hadi mwingine na ishara kinyume, pamoja na kugawanya pande zote mbili za mlinganyo kwa nambari isiyo ya kawaida hutoa mlinganyo sawa. Kwa hivyo, tunaweza kutekeleza mabadiliko sawa yafuatayo ya equation ya quadratic isiyokamilika x 2 +c=0:

hoja c kwa upande wa kulia, ambayo inatoa equation a x 2 =-c,
na kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata .

Equation inayotokana inatuwezesha kupata hitimisho kuhusu mizizi yake. Kulingana na maadili ya a na c, thamani ya usemi inaweza kuwa hasi (kwa mfano, ikiwa a=1 na c=2, basi ) au chanya (kwa mfano, ikiwa a=−2 na c=6, basi ), sio sifuri , kwani kwa hali c≠0. Wacha tuangalie kesi tofauti.

Ikiwa , basi equation haina mizizi. Taarifa hii inafuatia ukweli kwamba mraba wa nambari yoyote ni nambari isiyo hasi. Inafuata kutoka kwa hili kwamba when , basi kwa nambari yoyote p usawa hauwezi kuwa kweli.

Ikiwa , basi hali na mizizi ya equation ni tofauti. Katika kesi hii, ikiwa tunakumbuka kuhusu , basi mzizi wa equation huwa wazi mara moja; ni nambari, kwani . Ni rahisi kukisia kuwa nambari pia ndio mzizi wa equation, kwa kweli,. Equation hii haina mizizi mingine, ambayo inaweza kuonyeshwa, kwa mfano, kwa kupingana. Hebu tufanye.

Wacha tuonyeshe mizizi ya mlinganyo uliotangazwa hivi punde kama x 1 na −x 1 . Tuseme kwamba equation ina mzizi mmoja zaidi x 2, tofauti na mizizi iliyoonyeshwa x 1 na -x 1. Inajulikana kuwa kubadilisha mizizi yake katika mlinganyo badala ya x hugeuza mlinganyo kuwa usawa sahihi wa nambari. Kwa x 1 na −x 1 tuna , na kwa x 2 tuna . Sifa za usawa wa nambari huturuhusu kufanya uondoaji wa muda kwa muda wa usawa sahihi wa nambari, kwa hivyo kuondoa sehemu zinazolingana za usawa hutoa x 1 2 -x 2 2 =0. Sifa za utendakazi zilizo na nambari huturuhusu kuandika upya usawa unaotokana kama (x 1 −x 2)·(x 1 +x 2)=0. Tunajua kuwa bidhaa ya nambari mbili ni sawa na sifuri ikiwa na tu ikiwa angalau moja yao ni sawa na sifuri. Kwa hivyo, kutokana na usawa unaotokana inafuata kwamba x 1 -x 2 =0 na/au x 1 +x 2 =0, ambayo ni sawa, x 2 =x 1 na/au x 2 =−x 1. Kwa hivyo tulikuja kwa mkanganyiko, kwani mwanzoni tulisema kwamba mzizi wa equation x 2 ni tofauti na x 1 na -x 1. Hii inathibitisha kwamba equation haina mizizi zaidi na .

Wacha tufanye muhtasari wa habari katika aya hii. Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika a x 2 +c=0 ni sawa na mlinganyo ambao

haina mizizi ikiwa,
ina mizizi miwili na, ikiwa.

Hebu tuzingatie mifano ya kusuluhisha milinganyo ya robota isiyokamilika ya fomu a·x 2 +c=0.

Hebu tuanze na mlingano wa roboduara 9 x 2 +7=0. Baada ya kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation, itachukua fomu 9 x 2 = -7. Kugawanya pande zote mbili za equation inayosababishwa na 9, tunafika kwenye . Kwa kuwa upande wa kulia uligeuka nambari hasi, basi equation hii haina mizizi, kwa hiyo, equation ya awali ya quadratic isiyo kamili 9 x 2 +7=0 haina mizizi.

Wacha tusuluhishe mlinganyo mwingine wa kiduara usiokamilika −x 2 +9=0. Tunasonga tisa kwa upande wa kulia: −x 2 =-9. Sasa tunagawanya pande zote mbili kwa -1, tunapata x 2 =9. Kwa upande wa kulia kuna nambari nzuri, ambayo tunahitimisha kuwa au. Kisha tunaandika jibu la mwisho: equation ya quadratic isiyo kamili -x 2 +9=0 ina mizizi miwili x=3 au x=-3.

a x 2 +b x=0

Inabakia kushughulikia suluhisho la aina ya mwisho ya milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa c=0. Milinganyo ya quadratic isiyokamilika ya fomu a x 2 + b x = 0 hukuruhusu kutatua njia ya factorization. Kwa wazi, tunaweza, iko upande wa kushoto wa equation, ambayo inatosha kuchukua sababu ya kawaida x nje ya mabano. Hili huturuhusu kuhama kutoka kwa mlinganyo wa awali wa quadratic usio kamili hadi mlinganyo sawa wa fomu x·(a·x+b)=0. Na mlinganyo huu ni sawa na seti ya milinganyo miwili x=0 na a·x+b=0, ambayo ya mwisho ni ya mstari na ina mzizi x=-b/a.

Kwa hivyo, equation ya quadratic isiyokamilika a·x 2 +b·x=0 ina mizizi miwili x=0 na x=−b/a.

Ili kuunganisha nyenzo, tutachambua suluhisho kwa mfano maalum.

Mfano.

Tatua mlinganyo.

Suluhisho.

Kuchukua x kutoka kwa mabano kunatoa mlingano . Ni sawa na milinganyo miwili x=0 na . Tunatatua usawa wa mstari unaosababishwa: , na ugawanye nambari iliyochanganywa na sehemu ya kawaida, tunapata. Kwa hivyo, mizizi ya equation ya asili ni x=0 na .

Baada ya kupata mazoezi muhimu, suluhisho za hesabu kama hizo zinaweza kuandikwa kwa ufupi:

Jibu:

x=0 , .

Ubaguzi, fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Ili kutatua equations za quadratic, kuna formula ya mizizi. Hebu tuandike formula kwa mizizi ya equation ya quadratic:, wapi D=b 2 −4 a c- kinachojulikana kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic. Kuingia kimsingi kunamaanisha kuwa.

Ni muhimu kujua jinsi fomula ya mizizi ilitolewa na jinsi inavyotumiwa katika kutafuta mizizi ya milinganyo ya quadratic. Hebu tufikirie hili.

Utoaji wa fomula ya mizizi ya equation ya quadratic

Hebu tuhitaji kutatua mlingano wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0. Wacha tufanye mabadiliko sawa:

Tunaweza kugawanya pande zote mbili za mlingano huu kwa nambari isiyo ya sifuri a, na hivyo kusababisha mlingano wa quadratic ufuatao.
Sasa chagua mraba kamili upande wake wa kushoto:. Baada ya hayo, equation itachukua fomu.
Katika hatua hii, inawezekana kuhamisha maneno mawili ya mwisho kwa upande wa kulia na ishara kinyume, tuna .
Na hebu pia tubadilishe usemi ulio upande wa kulia:.

Kwa hivyo, tunafika kwenye mlinganyo ambao ni sawa na mlinganyo wa awali wa quadratic a·x 2 +b·x+c=0.

Tayari tumetatua hesabu zinazofanana katika fomu katika aya zilizopita, tulipochunguza. Hii inakuwezesha kufanya hitimisho zifuatazo kuhusu mizizi ya equation:

ikiwa , basi equation haina ufumbuzi halisi;
ikiwa, basi equation ina fomu, kwa hiyo,, ambayo mizizi yake pekee inaonekana;
ikiwa , basi au , ambayo ni sawa na au, yaani, equation ina mizizi miwili.

Kwa hivyo, uwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation, na kwa hiyo equation ya awali ya quadratic, inategemea ishara ya kujieleza upande wa kulia. Kwa upande wake, ishara ya usemi huu imedhamiriwa na ishara ya nambari, kwa kuwa denominator 4 · a 2 daima ni chanya, yaani, kwa ishara ya kujieleza b 2 -4 · a · c. Usemi huu b 2 −4 a c uliitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic na kuteuliwa na barua D. Kuanzia hapa kiini cha ubaguzi ni wazi - kulingana na thamani yake na ishara, wanahitimisha ikiwa equation ya quadratic ina mizizi halisi, na ikiwa ni hivyo, ni nini idadi yao - moja au mbili.

Wacha turudi kwenye mlinganyo na tuiandike upya kwa kutumia nukuu ya kibaguzi: . Na tunatoa hitimisho:

ikiwa D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
ikiwa D=0, basi equation hii ina mzizi mmoja;
hatimaye, ikiwa D>0, basi equation ina mizizi miwili au, ambayo inaweza kuandikwa tena kwa fomu au, na baada ya kupanua na kuleta sehemu kwa denominator ya kawaida tunayopata.

Kwa hivyo tulipata fomula za mizizi ya equation ya quadratic, zinaonekana kama , ambapo kibaguzi D huhesabiwa kwa fomula D=b 2 -4·a·c.

Kwa msaada wao, kwa ubaguzi mzuri, unaweza kuhesabu mizizi halisi ya equation ya quadratic. Wakati kibaguzi ni sawa na sifuri, fomula zote mbili hutoa thamani sawa ya mzizi, inayolingana na suluhisho la kipekee kwa mlingano wa quadratic. Na kwa ubaguzi mbaya, tunapojaribu kutumia fomula ya mizizi ya equation ya quadratic, tunakabiliwa na kuchimba mzizi wa mraba wa nambari hasi, ambayo hutupeleka zaidi ya wigo na. mtaala wa shule. Kwa ubaguzi mbaya, usawa wa quadratic hauna mizizi halisi, lakini ina jozi mchanganyiko tata mizizi, ambayo inaweza kupatikana kwa kutumia kanuni sawa za mizizi tuliyopata.

Algorithm ya kutatua milinganyo ya quadratic kwa kutumia kanuni za mizizi

Katika mazoezi, wakati wa kutatua equations za quadratic, unaweza kutumia mara moja formula ya mizizi ili kuhesabu maadili yao. Lakini hii inahusiana zaidi na kutafuta mizizi ngumu.

Walakini, katika kozi ya algebra ya shule kawaida hatuzungumzii juu ya ngumu, lakini juu ya mizizi halisi ya equation ya quadratic. Katika kesi hii, inashauriwa, kabla ya kutumia kanuni za mizizi ya equation ya quadratic, kwanza kupata kibaguzi, hakikisha kuwa sio hasi (vinginevyo, tunaweza kuhitimisha kuwa equation haina mizizi halisi). na kisha tu kuhesabu maadili ya mizizi.

Hoja iliyo hapo juu inaruhusu sisi kuandika algorithm ya kutatua equation ya quadratic. Ili kutatua mlinganyo wa quadratic a x 2 +b x+c=0, unahitaji:

kwa kutumia fomula ya kibaguzi D=b 2 −4·a·c, hesabu thamani yake;
hitimisha kwamba mlinganyo wa quadratic hauna mizizi halisi ikiwa kibaguzi ni hasi;
hesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia fomula ikiwa D=0;
tafuta mizizi miwili halisi ya mlinganyo wa quadratic ukitumia fomula ya mzizi ikiwa kibaguzi ni chanya.

Hapa tunaona tu kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, unaweza pia kutumia fomula; itatoa thamani sawa na .

Unaweza kuendelea na mifano ya kutumia algoriti kusuluhisha milinganyo ya quadratic.

Mifano ya kutatua milinganyo ya quadratic

Hebu tuzingatie suluhu za milinganyo mitatu ya quadratic yenye kibaguzi chanya, hasi na sufuri. Baada ya kushughulikiwa na suluhisho lao, kwa mlinganisho itawezekana kutatua equation nyingine yoyote ya quadratic. Hebu tuanze.

Mfano.

Tafuta mizizi ya equation x 2 +2·x−6=0.

Suluhisho.

Katika kesi hii, tuna coefficients zifuatazo za equation ya quadratic: a=1, b=2 na c=-6. Kulingana na algoriti, kwanza unahitaji kukokotoa kibaguzi; ili kufanya hivyo, tunabadilisha a, b na c iliyoonyeshwa kwenye fomula ya kibaguzi. D=b 2 −4·a·c=2 2 −4·1·(−6)=4+24=28. Tangu 28>0, yaani, ubaguzi ni mkubwa kuliko sifuri, equation ya quadratic ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia fomula ya mizizi, tunapata, hapa unaweza kurahisisha misemo inayosababishwa kwa kufanya kusonga kizidisha zaidi ya ishara ya mizizi ikifuatiwa na kupunguzwa kwa sehemu:

Jibu:

Wacha tuendelee kwenye mfano unaofuata wa kawaida.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic −4 x 2 +28 x−49=0 .

Suluhisho.

Tunaanza kwa kutafuta ubaguzi: D=28 2 −4·(−4)·(−49)=784−784=0. Kwa hivyo, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja, ambao tunapata kama, ambayo ni,

Jibu:

x=3.5.

Inabakia kuzingatia kusuluhisha milinganyo ya quadratic na kibaguzi hasi.

Mfano.

Tatua mlingano 5·y 2 +6·y+2=0.

Suluhisho.

Hapa kuna viambajengo vya mlinganyo wa quadratic: a=5, b=6 na c=2. Tunabadilisha maadili haya kwa fomula ya kibaguzi, tunayo D=b 2 −4·a·c=6 2 −4·5·2=36−40=−4. Ubaguzi ni hasi, kwa hivyo, usawa huu wa quadratic hauna mizizi halisi.

Ikiwa unahitaji kutaja mizizi ngumu, kisha utumie formula inayojulikana mizizi ya equation ya quadratic, na fanya shughuli na nambari changamano:

Jibu:

hakuna mizizi halisi, mizizi tata ni:.

Hebu tuangalie tena kwamba ikiwa ubaguzi wa equation ya quadratic ni mbaya, basi shuleni mara moja huandika jibu ambalo linaonyesha kuwa hakuna mizizi halisi, na mizizi tata haipatikani.

Fomula ya mizizi kwa mgawo wa pili

Fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic, ambapo D=b 2 −4·a·c hukuruhusu kupata fomula ya fomu iliyoshikana zaidi, hukuruhusu kusuluhisha milinganyo ya quadratic na mgawo hata wa x (au kwa urahisi mgawo kuwa na fomu 2·n, kwa mfano, au 14· ln5=2·7·ln5 ). Tumtoe nje.

Wacha tuseme tunahitaji kutatua mlinganyo wa quadratic wa fomu x 2 +2 n x+c=0. Wacha tupate mizizi yake kwa kutumia fomula tunayoijua. Ili kufanya hivyo, tunahesabu kibaguzi D=(2 n) 2 −4 a c=4 n 2 −4 a c=4 (n 2 −a c), na kisha tunatumia formula ya mizizi:

Wacha tuonyeshe usemi n 2 −a c kama D 1 (wakati mwingine huashiria D "). Kisha fomula ya mizizi ya mlinganyo wa quadratic inayozingatiwa na mgawo wa pili 2 n itachukua fomu. , ambapo D 1 =n 2 −a·c.

Ni rahisi kuona kwamba D=4·D 1, au D 1 =D/4. Kwa maneno mengine, D 1 ni sehemu ya nne ya kibaguzi. Ni wazi kwamba ishara ya D 1 ni sawa na ishara ya D. Hiyo ni, ishara D 1 pia ni kiashiria cha kuwepo au kutokuwepo kwa mizizi ya equation ya quadratic.

Kwa hivyo, ili kutatua equation ya quadratic na mgawo wa pili 2 · n, unahitaji

Kokotoa D 1 =n 2 −a·c ;
Ikiwa D 1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
Ikiwa D 1 =0, basi uhesabu mzizi pekee wa equation kwa kutumia formula;
Ikiwa D 1 >0, basi pata mizizi miwili halisi kwa kutumia fomula.

Wacha tufikirie kusuluhisha mfano kwa kutumia fomula ya mizizi iliyopatikana katika aya hii.

Mfano.

Tatua mlingano wa quadratic 5 x 2 −6 x -32=0 .

Suluhisho.

Mgawo wa pili wa mlinganyo huu unaweza kuwakilishwa kama 2·(-3) . Hiyo ni, unaweza kuandika upya mlinganyo wa awali wa quadratic katika fomu 5 x 2 +2 (-3) x-32=0, hapa a=5, n=−3 na c=−32, na kukokotoa sehemu ya nne ya kibaguzi: D 1 =n 2 −a·c=(−3) 2 −5·(−32)=9+160=169. Kwa kuwa thamani yake ni chanya, equation ina mizizi miwili halisi. Wacha tuwapate kwa kutumia formula inayofaa ya mizizi:

Kumbuka kwamba iliwezekana kutumia fomula ya kawaida kwa mizizi ya equation ya quadratic, lakini katika kesi hii kazi zaidi ya computational ingepaswa kufanywa.

Jibu:

Kurahisisha namna ya milinganyo ya quadratic

Wakati mwingine, kabla ya kuanza kuhesabu mizizi ya equation ya quadratic kwa kutumia formula, hainaumiza kuuliza swali: "Inawezekana kurahisisha fomu ya equation hii?" Kubali kwamba kwa upande wa hesabu itakuwa rahisi kutatua mlingano wa quadratic 11 x 2 -4 x-6=0 kuliko 1100 x 2 -400 x-600=0.

Kwa kawaida, kurahisisha umbo la mlinganyo wa quadratic hupatikana kwa kuzidisha au kugawanya pande zote mbili kwa nambari fulani. Kwa mfano, katika aya iliyotangulia iliwezekana kurahisisha mlingano 1100 x 2 −400 x -600=0 kwa kugawanya pande zote mbili na 100.

Mabadiliko sawa yanafanywa na equations za quadratic, coefficients ambayo sio . Katika kesi hii, pande zote mbili za equation kawaida hugawanywa na maadili kamili ya coefficients yake. Kwa mfano, hebu tuchukue mlingano wa quadratic 12 x 2 -42 x+48=0. maadili kamili ya coefficients yake: GCD(12, 42, 48)= GCD(GCD(12, 42), 48)= GCD(6, 48)=6. Kugawanya pande zote mbili za mlinganyo wa awali wa quadratic na 6, tunafika kwenye mlingano wa quadratic sawa 2 x 2 -7 x+8=0.

Na kuzidisha pande zote mbili za equation ya quadratic kawaida hufanywa ili kuondoa mgawo wa sehemu. Katika kesi hii, kuzidisha kunafanywa na denominators ya coefficients yake. Kwa mfano, ikiwa pande zote mbili za mlinganyo wa quadratic zimezidishwa na LCM(6, 3, 1)=6, basi itachukua fomu rahisi zaidi x 2 +4·x−18=0.

Kwa kumalizia hatua hii, tunaona kuwa karibu kila wakati huondoa minus kwenye mgawo wa juu zaidi wa equation ya quadratic kwa kubadilisha ishara za maneno yote, ambayo yanalingana na kuzidisha (au kugawa) pande zote mbili kwa -1. Kwa mfano, kwa kawaida mtu husogea kutoka kwa mlinganyo wa quadratic -2 x 2 -3 x+7=0 hadi suluhisho 2 x 2 +3 x-7=0 .

Uhusiano kati ya mizizi na coefficients ya equation ya quadratic

Fomula ya mizizi ya equation ya quadratic inaelezea mizizi ya equation kupitia coefficients yake. Kulingana na fomula ya mizizi, unaweza kupata uhusiano mwingine kati ya mizizi na coefficients.

Fomula zinazojulikana zaidi na zinazotumika kutoka kwa nadharia ya Vieta ni za fomu na . Hasa, kwa usawa uliopewa wa quadratic, jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Kwa mfano, kwa kuangalia fomu ya equation ya quadratic 3 x 2 -7 x + 22 = 0, tunaweza kusema mara moja kwamba jumla ya mizizi yake ni sawa na 7/3, na bidhaa ya mizizi ni sawa na 22. /3.

Kwa kutumia fomula zilizoandikwa tayari, unaweza kupata idadi ya miunganisho mingine kati ya mizizi na mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, unaweza kueleza jumla ya miraba ya mizizi ya equation ya quadratic kupitia coefficients yake:.

Bibliografia.

Aljebra: kitabu cha kiada kwa daraja la 8. elimu ya jumla taasisi / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; imehaririwa na S. A. Telyakovsky. - Toleo la 16. - M.: Elimu, 2008. - 271 p. : mgonjwa. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Aljebra. darasa la 8. Saa 2 usiku Sehemu ya 1. Kitabu cha kiada kwa wanafunzi taasisi za elimu/ A. G. Mordkovich. Toleo la 11, limefutwa. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: mgonjwa. ISBN 978-5-346-01155-2.

", yaani, milinganyo ya shahada ya kwanza. Katika somo hili tutaangalia kile kinachoitwa mlinganyo wa quadratic na jinsi ya kulitatua.

Mlinganyo wa quadratic ni nini?

Muhimu!

Kiwango cha mlinganyo huamuliwa na kiwango cha juu zaidi ambacho kisichojulikana kinasimama.

Ikiwa nguvu ya juu ambayo haijulikani ni "2", basi una equation ya quadratic.

Mifano ya milinganyo ya quadratic

5x 2 - 14x + 17 = 0
−x 2 + x +
1
3
= 0
x 2 + 0.25x = 0
x 2 − 8 = 0

Muhimu! Fomu ya jumla ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:

A x 2 + b x + c = 0

"a", "b" na "c" hupewa nambari.

"a" ni mgawo wa kwanza au wa juu zaidi;
"b" ni mgawo wa pili;
"c" ni mwanachama huru.

Ili kupata "a", "b" na "c" unahitaji kulinganisha equation yako na fomu ya jumla ya equation ya quadratic "shoka 2 + bx + c = 0".

Hebu tufanye mazoezi ya kuamua coefficients "a", "b" na "c" katika milinganyo ya quadratic.

5x 2 - 14x + 17 = 0 −7x 2 − 13x + 8 = 0 −x 2 + x +

Mlinganyo	Odd
a = 5 b = -14 c = 17
a = -7 b = -13 c = 8

= 0

a = -1
b = 1
c =
1
3

x 2 + 0.25x = 0

a = 1
b = 0.25
c = 0

x 2 − 8 = 0

a = 1
b = 0
c = -8

Jinsi ya Kutatua Milinganyo ya Quadratic

Tofauti na milinganyo ya mstari, njia maalum hutumiwa kutatua milinganyo ya quadratic. formula ya kutafuta mizizi.

Kumbuka!

Ili kutatua equation ya quadratic unahitaji:

punguza mlinganyo wa quadratic kwa muonekano wa jumla"shoka 2 + bx + c = 0". Hiyo ni, "0" tu inapaswa kubaki upande wa kulia;
tumia formula kwa mizizi:

Wacha tuangalie mfano wa jinsi ya kutumia fomula kupata mizizi ya equation ya quadratic. Wacha tusuluhishe equation ya quadratic.

X 2 − 3x − 4 = 0

Equation "x 2 - 3x - 4 = 0" tayari imepunguzwa kwa fomu ya jumla "ax 2 + bx + c = 0" na hauhitaji kurahisisha zaidi. Ili kutatua, tunahitaji tu kuomba fomula ya kutafuta mizizi ya mlinganyo wa quadratic.

Wacha tujue coefficients "a", "b" na "c" kwa mlinganyo huu.

x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =

Inaweza kutumika kutatua equation yoyote ya quadratic.

Katika fomula "x 1;2 =" usemi mkali mara nyingi hubadilishwa
“b 2 − 4ac” kwa herufi “D” na inaitwa kibaguzi. Dhana ya kibaguzi imejadiliwa kwa undani zaidi katika somo la "Mbaguzi ni nini".

Wacha tuangalie mfano mwingine wa equation ya quadratic.

x 2 + 9 + x = 7x

Katika fomu hii, ni ngumu sana kuamua coefficients "a", "b" na "c". Wacha kwanza tupunguze equation kwa fomu ya jumla "shoka 2 + bx + c = 0".

X 2 + 9 + x = 7x
x 2 + 9 + x − 7x = 0
x 2 + 9 − 6x = 0
x 2 − 6x + 9 = 0

Sasa unaweza kutumia formula kwa mizizi.

X 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x 1;2 =
x =

x = 3
Jibu: x = 3

Kuna nyakati ambapo milinganyo ya quadratic haina mizizi. Hali hii hutokea wakati fomula ina nambari hasi chini ya mzizi.

Natumaini kwamba baada ya kujifunza makala hii utajifunza jinsi ya kupata mizizi ya equation kamili ya quadratic.

Kwa kutumia kibaguzi, milinganyo kamili ya quadratic pekee ndiyo hutatuliwa; ili kutatua hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika, njia zingine hutumiwa, ambazo utapata katika kifungu "Kusuluhisha hesabu za quadratic ambazo hazijakamilika."

Ni milinganyo gani ya quadratic inayoitwa kamili? Hii milinganyo ya fomu shoka 2 + b x + c = 0, ambapo migawo a, b na c si sawa na sifuri. Kwa hivyo, ili kutatua mlingano kamili wa quadratic, tunahitaji kukokotoa kibaguzi D.

D = b 2 - 4ac.

Kulingana na thamani ya kibaguzi, tutaandika jibu.

Ikiwa kibaguzi ni nambari hasi (D< 0),то корней нет.

Ikiwa kibaguzi ni sifuri, basi x = (-b)/2a. Wakati kibaguzi ni nambari chanya (D > 0),

kisha x 1 = (-b - √D)/2a, na x 2 = (-b + √D)/2a.

Kwa mfano. Tatua mlinganyo x 2- 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 = 0

x = (- (-4))/2 = 2

Jibu: 2.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 – 4 2 3 = – 23

Jibu: hakuna mizizi.

Tatua Mlingano wa 2 x 2 + 5x – 7 = 0.

D = 5 2 – 4 2 (–7) = 81

x 1 = (-5 - √81)/(2 2)= (-5 - 9)/4= – 3.5

x 2 = (-5 + √81)/(2 2) = (-5 + 9)/4=1

Jibu: - 3.5; 1.

Kwa hivyo, hebu tufikirie suluhisho la milinganyo kamili ya quadratic kwa kutumia mchoro kwenye Mchoro 1.

Kwa kutumia fomula hizi unaweza kutatua mlinganyo wowote kamili wa quadratic. Unahitaji tu kuwa makini equation iliandikwa kama polynomial ya fomu ya kawaida

A x 2 + bx + c, vinginevyo unaweza kufanya makosa. Kwa mfano, kwa kuandika equation x + 3 + 2x 2 = 0, unaweza kuamua kimakosa kwamba

a = 1, b = 3 na c = 2. Kisha

D = 3 2 - 4 1 2 = 1 na kisha equation ina mizizi miwili. Na hii si kweli. (Angalia suluhisho la mfano 2 hapo juu).

Kwa hivyo, ikiwa equation haijaandikwa kama polynomia ya fomu ya kawaida, kwanza equation kamili ya quadratic lazima iandikwe kama polynomia ya fomu ya kawaida (monomia yenye kipeo kikubwa zaidi inapaswa kuja kwanza, yaani. A x 2 , kisha na kidogo – bx na kisha mwanachama huru Na.

Wakati wa kutatua equation iliyopunguzwa ya quadratic na equation ya quadratic na mgawo hata katika muhula wa pili, unaweza kutumia fomula zingine. Hebu tufahamiane na fomula hizi. Ikiwa katika equation kamili ya quadratic muhula wa pili una mgawo sawa (b = 2k), basi unaweza kutatua equation kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 2.

Mlinganyo kamili wa quadratic unaitwa kupunguzwa ikiwa mgawo uko x 2 ni sawa na moja na mlinganyo huchukua fomu x 2 + px + q = 0. Equation kama hiyo inaweza kutolewa kwa suluhisho, au inaweza kupatikana kwa kugawa mgawo wote wa equation na mgawo. A, amesimama x 2 .

Mchoro wa 3 unaonyesha mchoro wa kutatua mraba uliopunguzwa
milinganyo. Wacha tuangalie mfano wa matumizi ya fomula zilizojadiliwa katika nakala hii.

Mfano. Tatua mlinganyo

3x 2 + 6x – 6 = 0.

Wacha tusuluhishe mlingano huu kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 1.

D = 6 2 - 4 3 (– 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 = (-6 - 6√3)/(2 3) = (6 (-1- √(3)))/6 = –1 – √3

x 2 = (-6 + 6√3)/(2 3) = (6 (-1+ √(3)))/6 = –1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3

Unaweza kugundua kwamba mgawo wa x katika mlinganyo huu ni nambari sawa, ambayo ni, b = 6 au b = 2k, kutoka wapi k = 3. Kisha hebu tujaribu kutatua equation kwa kutumia fomula zilizoonyeshwa kwenye mchoro wa takwimu D. 1 = 3 2 – 3 · (– 6) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3)/3 = (3 (-1 - √(3)))/3 = – 1 – √3

x 2 = (-3 + 3√3)/3 = (3 (-1 + √(3)))/3 = – 1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3. Tukigundua kuwa viambajengo vyote katika mlingano huu wa quadratic vinaweza kugawanywa na 3 na kutekeleza mgawanyiko, tunapata equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 + 2x - 2 = 0 Tatua mlingano huu kwa kutumia fomula za quadratic iliyopunguzwa.
equations takwimu 3.

D 2 = 2 2 - 4 (– 2) = 4 + 8 = 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3)/2 = (2 (-1 - √(3)))/2 = – 1 – √3

x 2 = (-2 + 2√3)/2 = (2 (-1+ √(3)))/2 = – 1 + √3

Jibu: –1 – √3; –1 + √3.

Kama tunavyoona, wakati wa kutatua equation hii kwa fomula mbalimbali tulipata jibu sawa. Kwa hivyo, baada ya kufahamu kikamilifu kanuni zilizoonyeshwa kwenye mchoro kwenye Mchoro 1, utaweza kutatua mlinganyo wowote kamili wa quadratic.

blog.site, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo asili kinahitajika.

Acha mlinganyo wa quadratic ax 2 + bx + c = 0 itolewe.
Hebu tutumie shoka la quadratic trinomial 2 + bx + c mabadiliko yale yale tuliyofanya katika § 13, tulipothibitisha nadharia kwamba grafu ya kazi y = shoka 2 + bx + c ni parabola.
Tuna

Kwa kawaida usemi b 2 - 4ac huonyeshwa kwa herufi D na huitwa kibaguzi wa shoka ya quadratic equation 2 + bx + c = 0 (au kibaguzi wa shoka ya quadratic trinomial + bx + c).

Hivyo

Hii inamaanisha kuwa shoka ya quadratic equation 2 + them + c = O inaweza kuandikwa upya katika fomu.

Equation yoyote ya quadratic inaweza kubadilishwa kuwa fomu (1), ambayo ni rahisi, kama tutakavyoona sasa, ili kuamua idadi ya mizizi ya equation ya quadratic na kupata mizizi hii.

Ushahidi. Ikiwa D< 0, то правая часть уравнения (1) — отрицательное число; в то же время upande wa kushoto equation (1) huchukua thamani zisizo hasi kwa thamani zozote za x. Hii ina maana kwamba hakuna thamani moja ya x ambayo inaweza kutosheleza mlinganyo (1), na kwa hivyo mlinganyo (1) hauna mizizi.

Mfano 1. Tatua mlingano 2x 2 + 4x + 7 = 0.
Suluhisho. Hapa a = 2, b = 4, c = 7,
D = b 2 -4ac = 4 2 . 4. 2. 7 = 16-56 = -40.
Tangu D< 0, то по теореме 1 данное квадратное уравнение не имеет корней.

Ushahidi. Ikiwa D = 0, basi equation (1) inachukua fomu

ndio mzizi pekee wa equation.

Kumbuka 1. Unakumbuka kwamba x = - ni abscissa ya vertex ya parabola, ambayo hutumika kama grafu ya kazi y = ax 2 + yao + c? Kwa nini hii
thamani iligeuka kuwa mzizi pekee wa shoka ya quadratic equation 2 + yao + c - 0? "Jeneza" linafungua kwa urahisi: ikiwa D ni 0, basi, kama tulivyoanzisha hapo awali,

Grafu ya kazi sawa ni parabola yenye vertex kwa uhakika (tazama, kwa mfano, Mchoro 98). Hii ina maana kwamba abscissa ya vertex ya parabola na mzizi pekee wa equation ya quadratic kwa D = 0 ni idadi sawa.

Mfano 2. Tatua mlingano 4x 2 - 20x + 25 = 0.
Suluhisho. Hapa a = 4, b = -20, c = 25, D = b 2 - 4ac = (-20) 2 - 4. 4 . 25 = 400 - 400 = 0.

Tangu D = 0, basi kwa Theorem 2 equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja. Mzizi huu unapatikana kwa formula

Jibu: 2.5.

Kumbuka 2. Kumbuka kuwa 4x 2 - 20x +25 ni mraba kamili: 4x 2 - 20x + 25 = (2x - 5) 2.
Ikiwa tungegundua hii mara moja, tungetatua equation kama hii: (2x - 5) 2 = 0, ambayo inamaanisha 2x - 5 = 0, ambayo tunapata x = 2.5. Kwa ujumla, ikiwa D = 0, basi

ax 2 + bx + c = - tulibaini hii mapema katika Remark 1.
Ikiwa D> 0, basi shoka ya quadratic equation 2 + bx + c = 0 ina mizizi miwili, ambayo hupatikana na fomula.

Ushahidi. Wacha tuandike tena shoka la quadratic equation 2 + b x + c = 0 katika fomu (1)

Hebu tuweke
Kwa hali, D > 0, ambayo inamaanisha upande wa kulia wa mlinganyo ni nambari chanya. Kisha kutoka kwa equation (2) tunapata hiyo

Kwa hivyo, equation ya quadratic iliyopewa ina mizizi miwili:

Kumbuka 3. Katika hisabati, mara chache hutokea kwamba neno lililoanzishwa halina, kwa kusema kwa mfano, asili ya kila siku. Hebu tuchukue kitu kipya
dhana - kibaguzi. Kumbuka neno "ubaguzi". Ina maana gani? Ina maana ya unyonge wa baadhi na mwinuko wa wengine, i.e. mtazamo tofauti
kwa watu mbalimbali. Maneno yote mawili (ubaguzi na ubaguzi) yanatoka kwa ubaguzi wa Kilatini - "ubaguzi". Kibaguzi hutofautisha milinganyo ya quadratic kwa idadi ya mizizi.

Mfano 3. Tatua mlingano 3x 2 + 8x - 11 = 0.
Suluhisho. Hapa a = 3, b = 8, c = - 11,
D = b 2 - 4ac = 8 2 - 4. 3. (-11) = 64 + 132 = 196.
Tangu D > 0, basi kwa Theorem 3 equation hii ya quadratic ina mizizi miwili. Mizizi hii hupatikana kulingana na fomula (3)

Kwa kweli, tumeunda kanuni ifuatayo:

Kanuni ya kutatua equation
shoka 2 + bx + c = 0

Sheria hii ni ya ulimwengu wote; inatumika kwa milinganyo kamili na isiyo kamili ya quadratic. Walakini, milinganyo ya quadratic isiyokamilika kwa kawaida haisuluhishi kwa kutumia sheria hii; ni rahisi zaidi kuzitatua kama tulivyofanya katika aya iliyotangulia.

Mfano 4. Tatua milinganyo:

a) x 2 + 3x - 5 = 0; b) - 9x 2 + 6x - 1 = 0; c) 2x 2 -x + 3.5 = 0.

Suluhisho. a) Hapa a = 1, b = 3, c = - 5,
D = b 2 - 4ac = Z 2 - 4. 1 . (- 5) = 9 + 20 = 29.

Tangu D > 0, mlinganyo huu wa quadratic una mizizi miwili. Tunapata mizizi hii kwa kutumia fomula (3)

B) Kama uzoefu unavyoonyesha, ni rahisi zaidi kushughulika na milinganyo ya quadratic ambayo mgawo unaoongoza ni chanya. Kwa hivyo, kwanza tunazidisha pande zote mbili za equation na -1, tunapata

9x 2 - 6x + 1 = 0.
Hapa a = 9, b = -6, c = 1, D = b 2 - 4ac = 36 - 36 = 0.
Tangu D = 0, equation hii ya quadratic ina mzizi mmoja. Mzizi huu unapatikana kwa formula x = -. Ina maana,

Equation hii inaweza kutatuliwa tofauti: tangu
9x 2 - 6x + 1 = (Зх - IJ, basi tunapata equation (Зх - I) 2 = 0, kutoka ambapo tunapata Зх - 1 = 0, yaani x = .

c) Hapa a = 2, b = - 1, c = 3.5, D = b 2 - 4ac = 1 - 4. 2. 3.5= 1 - 28 = - 27. Tangu D< 0, то данное квадратное уравнение не имеет корней.

Wanahisabati ni watu wa vitendo, kiuchumi. Kwa nini, wanasema, tumia sheria ndefu kama hiyo ya kutatua equation ya quadratic, ni bora kuandika formula ya jumla mara moja:

Ikiwa inageuka kuwa kibaguzi D = b 2 - 4ac ni nambari hasi, basi fomula iliyoandikwa haina maana (kuna nambari hasi chini ya ishara ya mizizi ya mraba), ambayo inamaanisha kuwa hakuna mizizi. Ikiwa inageuka kuwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi tunapata

Hiyo ni, mzizi mmoja (pia wanasema kwamba equation ya quadratic katika kesi hii ina mizizi miwili inayofanana:

Hatimaye, ikiwa inageuka kuwa b 2 - 4ac > 0, basi tunapata mizizi miwili x 1 na x 2, ambayo huhesabiwa kwa kutumia fomula sawa (3) kama ilivyoonyeshwa hapo juu.

Nambari yenyewe katika kesi hii ni chanya (kama yoyote Kipeo kutoka kwa nambari chanya), na ishara mbili mbele yake inamaanisha kuwa katika kesi moja (wakati wa kupata x 1) nambari hii chanya imeongezwa kwa nambari - b, na katika kesi nyingine (wakati wa kupata x 2) nambari hii chanya ni. kuondolewa
soma kutoka kwa nambari - b.

Una uhuru wa kuchagua. Je! unataka kutatua equation ya quadratic kwa undani kwa kutumia sheria iliyoundwa hapo juu; Ikiwa unataka, andika fomula (4) mara moja na uitumie kupata hitimisho muhimu.

Mfano 5. Tatua milinganyo:

Suluhisho, a) Kwa kweli, unaweza kutumia fomula (4) au (3), ukizingatia kwamba katika kwa kesi hii Lakini kwa nini vitu na sehemu wakati ni rahisi na, muhimu zaidi, kufurahisha zaidi kushughulika na nambari nzima? Tuachane na madhehebu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha pande zote mbili za equation na 12, ambayo ni, kwa dhehebu la chini kabisa la sehemu ambazo hutumika kama coefficients ya equation. Tunapata

wapi 8x 2 + 10x - 7 = 0.

Sasa hebu tutumie fomula (4)

B) Tuna tena equation na coefficients ya sehemu: a = 3, b = - 0.2, c = 2.77. Wacha tuzidishe pande zote mbili za equation kwa 100, kisha tupate mlinganyo na coefficients kamili:
300x 2 - 20x + 277 = 0.
Ifuatayo, tunatumia fomula (4):

Hesabu rahisi inaonyesha kwamba kibaguzi (radical expression) ni nambari hasi. Hii ina maana kwamba equation haina mizizi.

Mfano 6. Tatua mlinganyo
Suluhisho. Hapa, tofauti na mfano uliopita, ni vyema kutenda kulingana na sheria badala ya kufuata fomula iliyofupishwa (4).

Tunayo = 5, b = -, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-) 2 - 4. 5 . 1 = 60 - 20 = 40. Tangu D > 0, equation ya quadratic ina mizizi miwili, ambayo tutatafuta kwa kutumia fomula (3)

Mfano 7. Tatua mlinganyo
x 2 - (2p + 1)x + (p 2 +p-2) = 0

Suluhisho. Mlinganyo huu wa quadratic hutofautiana na milinganyo yote ya quadratic inayozingatiwa hadi sasa kwa kuwa coefficients si nambari maalum, lakini usemi wa herufi. Milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo yenye mgawo wa herufi au milinganyo yenye vigezo. Katika kesi hii, parameter (barua) p imejumuishwa katika mgawo wa pili na muda wa bure wa equation.
Wacha tupate ubaguzi:

Mfano 8. Tatua mlinganyo px 2 + (1 - p) x - 1 = 0.
Suluhisho. Hii pia ni equation na parameta p, lakini, tofauti na mfano uliopita, haiwezi kutatuliwa mara moja kwa kutumia fomula (4) au (3). Ukweli ni kwamba fomula zilizoonyeshwa zinatumika kwa milinganyo ya quadratic, lakini bado hatuwezi kusema hivi kuhusu equation fulani. Kweli, ikiwa p = 0? Kisha
equation itachukua fomu 0. x 2 + (1-0) x- 1 = 0, i.e. x - 1 = 0, ambayo tunapata x = 1. Sasa, ikiwa unajua kwa hakika, basi unaweza kutumia kanuni za mizizi ya quadratic. mlingano: