Hebu tufanye kazi na milinganyo ya quadratic. Hizi ni equations maarufu sana! Katika hali yake ya jumla, equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Kwa mfano:
Hapa A =1; b = 3; c = -4
Hapa A =2; b = -0,5; c = 2,2
Hapa A =-3; b = 6; c = -18
Kweli, unaelewa ...
Jinsi ya kutatua equations za quadratic? Ikiwa una equation ya quadratic mbele yako katika fomu hii, basi kila kitu ni rahisi. Kumbuka neno la uchawi kibaguzi . Ni mara chache mwanafunzi wa shule ya upili hajasikia neno hili! Maneno "tunasuluhisha kupitia ubaguzi" yanatia moyo kujiamini na uhakikisho. Kwa sababu hakuna haja ya kutarajia ujanja kutoka kwa mbaguzi! Ni rahisi na haina shida kutumia. Kwa hivyo, formula ya kupata mizizi ya equation ya quadratic inaonekana kama hii:
Usemi chini ya ishara ya mzizi ni moja kibaguzi. Kama unaweza kuona, kupata X, tunatumia tu a, b na c. Wale. mgawo kutoka kwa mlinganyo wa quadratic. Badilisha tu maadili kwa uangalifu a, b na c Hii ndio formula tunayohesabu. Hebu tubadilishe kwa ishara zako mwenyewe! Kwa mfano, kwa equation ya kwanza A =1; b = 3; c= -4. Hapa tunaandika:
Mfano unakaribia kutatuliwa:
Ni hayo tu.
Ni kesi gani zinazowezekana wakati wa kutumia formula hii? Kuna kesi tatu tu.
1. Mbaguzi ni chanya. Hii inamaanisha kuwa mzizi unaweza kutolewa kutoka kwake. Ikiwa mzizi umetolewa vizuri au vibaya ni swali lingine. Kilicho muhimu ni kile kinachotolewa kwa kanuni. Kisha equation yako ya quadratic ina mizizi miwili. Mbili ufumbuzi mbalimbali.
2. Mbaguzi ni sifuri. Kisha una suluhisho moja. Kwa kweli, hii sio mzizi mmoja, lakini mbili zinazofanana. Lakini hii ina jukumu katika usawa, ambapo tutajifunza suala hilo kwa undani zaidi.
3. Mbaguzi ni hasi. Kutoka kwa nambari hasi Kipeo haijatolewa. Naam, sawa. Hii inamaanisha kuwa hakuna suluhisho.
Kila kitu ni rahisi sana. Na nini, unafikiri kuwa haiwezekani kufanya makosa? Kweli, ndio, jinsi ...
Makosa ya kawaida ni kuchanganyikiwa na maadili ya ishara a, b na c. Au tuseme, sio kwa ishara zao (wapi kuchanganyikiwa?), lakini kwa uingizwaji wa maadili hasi katika fomula ya kuhesabu mizizi. Kinachosaidia hapa ni rekodi ya kina ya fomula na nambari maalum. Ikiwa kuna shida na mahesabu, fanya hivyo!
Tuseme tunahitaji kutatua mfano ufuatao:
Hapa a = -6; b = -5; c = -1
Hebu tuseme unajua kwamba ni nadra kupata majibu mara ya kwanza.
Naam, usiwe wavivu. Itachukua kama sekunde 30 kuandika mstari wa ziada. Na idadi ya makosa itapungua kwa kasi. Kwa hivyo tunaandika kwa undani, na mabano na ishara zote:
Inaonekana ni ngumu sana kuandika kwa uangalifu sana. Lakini inaonekana hivyo tu. Jaribu. Naam, au chagua. Nini bora, haraka au sawa? Zaidi ya hayo, nitakufanya uwe na furaha. Baada ya muda, hakutakuwa na haja ya kuandika kila kitu kwa uangalifu sana. Itafanya kazi peke yake. Hasa ikiwa unatumia mbinu za vitendo ambazo zimeelezwa hapa chini. Mfano huu mbaya na rundo la minuses inaweza kutatuliwa kwa urahisi na bila makosa!
Kwa hiyo, jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic kupitia kwa kibaguzi tuliyemkumbuka. Au walijifunza, ambayo pia ni nzuri. Unajua jinsi ya kuamua kwa usahihi a, b na c. Je, unajua jinsi gani? kwa makini kuzibadilisha katika fomula ya mizizi na kwa makini hesabu matokeo. Je, ulielewa hilo neno kuu Hapa - kwa makini?
Walakini, equations za quadratic mara nyingi huonekana tofauti kidogo. Kwa mfano, kama hii:
Hii milinganyo ya quadratic isiyokamilika . Wanaweza pia kutatuliwa kwa njia ya kibaguzi. Unahitaji tu kuelewa kwa usahihi ni nini wao ni sawa na hapa. a, b na c.
Je, umeifahamu? Katika mfano wa kwanza a = 1; b = -4; A c? Haipo kabisa! Naam ndiyo, hiyo ni sawa. Katika hisabati hii ina maana kwamba c = 0 ! Ni hayo tu. Badala yake, badilisha sifuri kwenye fomula c, na tutafanikiwa. Sawa na mfano wa pili. Ni sisi tu hatuna sifuri hapa Na, A b !
Lakini milinganyo ya quadratic isiyokamilika inaweza kutatuliwa kwa urahisi zaidi. Bila ubaguzi wowote. Wacha tuzingatie mlinganyo wa kwanza ambao haujakamilika. Unaweza kufanya nini kwa upande wa kushoto? Unaweza kuchukua X kutoka kwa mabano! Hebu tutoe nje.
Na nini kutoka kwa hii? Na ukweli kwamba bidhaa ni sawa na sifuri ikiwa tu ikiwa sababu yoyote ni sawa na sifuri! Usiniamini? Sawa, basi njoo na nambari mbili zisizo za sifuri ambazo, zikizidishwa, zitatoa sifuri!
Haifanyi kazi? Ni hayo tu...
Kwa hivyo, tunaweza kuandika kwa ujasiri: x = 0, au x = 4
Wote. Hizi zitakuwa mizizi ya equation yetu. Zote mbili zinafaa. Wakati wa kubadilisha yoyote yao kwenye equation ya asili, tunapata utambulisho sahihi 0 = 0. Kama unaweza kuona, suluhisho ni rahisi zaidi kuliko kutumia kibaguzi.
Equation ya pili pia inaweza kutatuliwa kwa urahisi. Hoja 9 kwa upande wa kulia. Tunapata:
Yote iliyobaki ni kutoa mzizi kutoka 9, na ndivyo hivyo. Itageuka:
Pia mizizi miwili . x = +3 na x = -3.
Hivi ndivyo milinganyo yote ya quadratic ambayo haijakamilika hutatuliwa. Ama kwa kuweka X nje ya mabano, au kwa kusogeza nambari kulia na kisha kutoa mzizi.
Ni ngumu sana kuchanganya mbinu hizi. Kwa sababu tu katika kesi ya kwanza italazimika kutoa mzizi wa X, ambao haueleweki kwa njia fulani, na katika kesi ya pili hakuna kitu cha kuchukua kutoka kwa mabano ...
Sasa angalia mbinu za vitendo ambazo hupunguza kwa kiasi kikubwa idadi ya makosa. Yale yale yanayotokana na kutokujali... Ambayo baadae inakuwa chungu na kuudhi...
Uteuzi wa kwanza. Usiwe wavivu kabla ya kutatua equation ya quadratic na uilete kwa fomu ya kawaida. Hii ina maana gani?
Wacha tuseme kwamba baada ya mabadiliko yote unapata equation ifuatayo:
Usikimbilie kuandika formula ya mizizi! Kwa hakika utapata odds zilizochanganyika a, b na c. Tengeneza mfano kwa usahihi. Kwanza, X mraba, kisha bila mraba, kisha neno bure. Kama hii:
Na tena, usikimbilie! Minus mbele ya X yenye mraba inaweza kukukasirisha sana. Ni rahisi kusahau... Ondoa minus. Vipi? Ndio, kama ilivyofundishwa katika mada iliyotangulia! Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa -1. Tunapata:
Lakini sasa unaweza kuandika kwa usalama formula ya mizizi, kuhesabu kibaguzi na kumaliza kutatua mfano. Amua mwenyewe. Unapaswa sasa kuwa na mizizi 2 na -1.
Mapokezi ya pili. Angalia mizizi! Kulingana na nadharia ya Vieta. Usiogope, nitaelezea kila kitu! Kuangalia jambo la mwisho mlinganyo. Wale. ile tuliyotumia kuandika kanuni ya mizizi. Ikiwa (kama katika mfano huu) mgawo a = 1, kuangalia mizizi ni rahisi. Inatosha kuwazidisha. Matokeo yanapaswa kuwa mwanachama huru, i.e. kwa upande wetu -2. Tafadhali kumbuka, sio 2, lakini -2! Mwanachama wa bure na ishara yako
. Ikiwa haifanyi kazi, inamaanisha kuwa tayari wamejipanga mahali fulani. Tafuta hitilafu. Ikiwa inafanya kazi, unahitaji kuongeza mizizi. Cheki ya mwisho na ya mwisho. Mgawo unapaswa kuwa b Na kinyume
inayojulikana. Kwa upande wetu -1+2 = +1. Mgawo b, ambayo ni kabla ya X, ni sawa na -1. Kwa hivyo, kila kitu ni sawa!
Inasikitisha kwamba hii ni rahisi sana kwa mifano tu ambapo x squared ni safi, na mgawo a = 1. Lakini angalau angalia hesabu kama hizo! Kutakuwa na makosa machache na machache.
Mapokezi ya tatu. Ikiwa equation yako ina mgawo wa sehemu, ondoa sehemu! Zidisha mlingano kwa kiashiria cha kawaida kama ilivyoelezwa katika sehemu iliyotangulia. Wakati wa kufanya kazi na sehemu, makosa yanaendelea kuingia kwa sababu fulani ...
Kwa njia, niliahidi kurahisisha mfano mbaya na rundo la minuses. Tafadhali! Huyu hapa.
Ili sio kuchanganyikiwa na minuses, tunazidisha equation kwa -1. Tunapata:
Ni hayo tu! Kutatua ni furaha!
Kwa hiyo, hebu tufanye muhtasari wa mada.
1. Kabla ya kutatua, tunaleta equation ya quadratic kwa fomu ya kawaida na kuijenga Haki.
2. Ikiwa kuna mgawo hasi mbele ya X ya mraba, tunaiondoa kwa kuzidisha equation nzima kwa -1.
3. Ikiwa mgawo ni wa sehemu, tunaondoa sehemu kwa kuzidisha equation nzima kwa sababu inayolingana.
4. Ikiwa x mraba ni safi, mgawo wake ni sawa na moja, suluhisho linaweza kuthibitishwa kwa urahisi kwa kutumia nadharia ya Vieta. Fanya!
Milinganyo ya sehemu. ODZ.
Tunaendelea kusimamia milinganyo. Tayari tunajua jinsi ya kufanya kazi na milinganyo ya mstari na quadratic. Mtazamo wa mwisho kushoto - milinganyo ya sehemu. Au pia huitwa kwa heshima zaidi - milinganyo ya kimantiki ya sehemu. Ni sawa.
Milinganyo ya sehemu.
Kama jina linamaanisha, milinganyo hii lazima iwe na sehemu. Lakini sio tu sehemu, lakini sehemu ambazo zina haijulikani katika dhehebu. Angalau katika moja. Kwa mfano:
Acha nikukumbushe kwamba ikiwa madhehebu ni tu nambari, hizi ni milinganyo ya mstari.
Jinsi ya kuamua milinganyo ya sehemu? Kwanza kabisa, ondoa sehemu! Baada ya hayo, equation mara nyingi hubadilika kuwa mstari au quadratic. Na kisha tunajua la kufanya... Katika hali nyingine inaweza kugeuka kuwa kitambulisho, kama vile 5=5 au usemi usio sahihi, kama vile 7=2. Lakini hii hutokea mara chache. Nitataja hii hapa chini.
Lakini jinsi ya kujiondoa sehemu!? Rahisi sana. Kutumia mabadiliko yanayofanana.
Tunahitaji kuzidisha mlinganyo mzima kwa usemi sawa. Ili madhehebu yote yapunguzwe! Kila kitu kitakuwa rahisi mara moja. Acha nieleze kwa mfano. Wacha tujaribu kutatua equation:
Ulifundishwa vipi katika shule ya msingi? Tunasonga kila kitu kwa upande mmoja, kuleta kwa dhehebu la kawaida, nk. Kusahau jinsi ndoto ya kutisha! Hivi ndivyo unahitaji kufanya unapoongeza au kupunguza sehemu. Au unafanya kazi bila usawa. Na katika equations, mara moja tunazidisha pande zote mbili kwa kujieleza ambayo itatupa fursa ya kupunguza madhehebu yote (yaani, kwa asili, kwa kawaida). Na usemi huu ni nini?
Kwa upande wa kushoto, kupunguza denominator inahitaji kuzidisha kwa x+2. Na upande wa kulia, kuzidisha kwa 2 inahitajika. Hii ina maana kwamba equation lazima iongezwe na 2(x+2). Zidisha:
Huu ni mzidisho wa kawaida wa sehemu, lakini nitaelezea kwa undani:
Tafadhali kumbuka kuwa sifungui mabano bado (x + 2)! Kwa hivyo, kwa ujumla, ninaandika:
Upande wa kushoto ni mikataba kabisa (x+2), na upande wa kulia 2. Ambayo ndiyo ilitakiwa! Baada ya kupunguzwa tunapata mstari mlinganyo:
Na kila mtu anaweza kutatua equation hii! x = 2.
Wacha tusuluhishe mfano mwingine, ngumu zaidi:
Ikiwa tunakumbuka kwamba 3 = 3/1, na 2x = 2x/ 1, tunaweza kuandika:
Na tena tunaondoa kile ambacho hatupendi kabisa - sehemu.
Tunaona kwamba ili kupunguza dhehebu na X, tunahitaji kuzidisha sehemu kwa (x - 2). Na wachache sio kikwazo kwetu. Naam, hebu tuzidishe. Wote upande wa kushoto Na zote upande wa kulia:
Mabano tena (x - 2) Mimi si kufichua. Ninafanya kazi na mabano kwa ujumla kana kwamba ni nambari moja! Hii lazima ifanyike kila wakati, vinginevyo hakuna kitakachopunguzwa.
Kwa hisia ya kuridhika kwa kina tunapunguza (x - 2) na tunapata equation bila sehemu yoyote, na mtawala!
Sasa hebu tufungue mabano:
Tunaleta zinazofanana, songa kila kitu kwa upande wa kushoto na upate:
Mlinganyo wa kawaida wa quadratic. Lakini minus iliyo mbele sio nzuri. Unaweza kuiondoa kila wakati kwa kuzidisha au kugawanya kwa -1. Lakini ukiangalia kwa karibu mfano huo, utaona kwamba ni bora kugawanya equation hii kwa -2! Katika swoop moja iliyoanguka, minus itatoweka, na tabia mbaya itakuwa ya kuvutia zaidi! Gawanya kwa -2. Upande wa kushoto - muhula kwa muda, na kulia - gawanya sifuri na -2, sifuri na tunapata:
Tunasuluhisha kupitia kibaguzi na kuangalia kwa kutumia nadharia ya Vieta. Tunapata x = 1 na x = 3. Mizizi miwili.
Kama unaweza kuona, katika kesi ya kwanza equation baada ya mabadiliko ikawa ya mstari, lakini hapa inakuwa quadratic. Inatokea kwamba baada ya kuondoa sehemu, X zote hupunguzwa. Kitu kinasalia, kama 5=5. Ina maana kwamba x inaweza kuwa chochote. Chochote ni, bado itapunguzwa. Na ikawa ukweli mtupu, 5=5. Lakini, baada ya kuondoa sehemu, inaweza kugeuka kuwa sio kweli kabisa, kama 2=7. Na hii ina maana kwamba hakuna masuluhisho! X yoyote inageuka kuwa sio kweli.
Gundua njia kuu ufumbuzi milinganyo ya sehemu? Ni rahisi na yenye mantiki. Tunabadilisha usemi wa asili ili kila kitu ambacho hatupendi kipotee. Au inaingilia kati. KATIKA kwa kesi hii hizi ni sehemu. Tutafanya vivyo hivyo na kila aina ya mifano tata na logarithms, sines na vitisho vingine. Sisi Kila mara Tuachane na haya yote.
Walakini, tunahitaji kubadilisha usemi wa asili katika mwelekeo tunaohitaji kwa mujibu wa kanuni, ndio... Ustadi ambao ni maandalizi ya Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati. Hivyo sisi ni mastering yake.
Sasa tutajifunza jinsi ya kukwepa moja ya shambulio kuu kwenye Mtihani wa Jimbo la Umoja! Lakini kwanza, hebu tuone ikiwa unaanguka ndani yake au la?
Hebu tuangalie mfano rahisi:
Jambo hilo tayari linajulikana, tunazidisha pande zote mbili (x - 2), tunapata:
Nakukumbusha, na mabano (x - 2) Tunafanya kazi kana kwamba kwa usemi mmoja, muhimu!
Hapa sikuandika tena moja katika madhehebu, haina heshima ... Na sikuchora mabano katika madhehebu, isipokuwa kwa x-2 hakuna kitu, sio lazima kuchora. Hebu tufupishe:
Fungua mabano, songa kila kitu kushoto, na upe sawa:
Tunatatua, angalia, tunapata mizizi miwili. x = 2 Na x = 3. Kubwa.
Tuseme mgawo unasema kuandika mzizi, au jumla yao ikiwa kuna mizizi zaidi ya moja. Tutaandika nini?
Ukiamua jibu ni 5, wewe waliviziwa. Na kazi haitahesabiwa kwako. Walifanya kazi bure... Jibu sahihi ni 3.
Kuna nini?! Na unajaribu kufanya ukaguzi. Badilisha maadili ya wasiojulikana ndani asili mfano. Na ikiwa ni x = 3 kila kitu kitakua pamoja kwa kushangaza, tunapata 9 = 9, basi lini x = 2 Itakuwa mgawanyiko kwa sifuri! Kile ambacho huwezi kabisa kufanya. Maana x = 2 sio suluhisho, na haijazingatiwa katika jibu. Huu ndio unaoitwa mzizi wa ziada au wa ziada. Tunaitupa tu. Mzizi wa mwisho ni mmoja. x = 3.
Jinsi gani?! - Nasikia kelele za hasira. Tulifundishwa kuwa mlinganyo unaweza kuzidishwa kwa usemi! Haya ni mabadiliko yanayofanana!
Ndio, sawa. Katika hali ndogo- usemi ambao tunazidisha (kugawa) - tofauti na sifuri. A x-2 katika x = 2 sawa na sifuri! Kwa hivyo kila kitu ni sawa.
Na sasa ninaweza kufanya nini?! Je, usizidishe kwa kujieleza? Je, niangalie kila wakati? Tena haijulikani!
Kwa utulivu! Usiwe na wasiwasi!
Katika hali hii ngumu, barua tatu za uchawi zitatuokoa. Najua unachofikiria. Haki! Hii ODZ . Eneo la Maadili Yanayokubalika.
Kwa programu hii ya hesabu unaweza kutatua equation ya quadratic.
Programu haitoi tu jibu la shida, lakini pia inaonyesha mchakato wa suluhisho kwa njia mbili:
- kutumia kibaguzi
- kwa kutumia nadharia ya Vieta (ikiwezekana).
Kwa kuongezea, jibu linaonyeshwa kama halisi, sio makadirio.
Kwa mfano, kwa equation \(81x^2-16x-1=0\) jibu linaonyeshwa katika fomu ifuatayo:
Programu hii inaweza kuwa muhimu kwa wanafunzi wa shule ya upili shule za sekondari katika maandalizi ya vipimo na mitihani, wakati wa kupima ujuzi kabla ya Mtihani wa Jimbo la Umoja, kwa wazazi kudhibiti ufumbuzi wa matatizo mengi katika hisabati na algebra. Au labda ni ghali sana kwako kuajiri mwalimu au kununua vitabu vipya vya kiada? Au unataka tu kuifanya haraka iwezekanavyo? kazi ya nyumbani katika hisabati au algebra? Katika kesi hii, unaweza pia kutumia programu zetu na ufumbuzi wa kina.
Kwa njia hii unaweza kutumia yako mafunzo mwenyewe na/au kuwafunza kaka au dada zao wadogo, huku kiwango cha elimu katika eneo la matatizo yanayotatuliwa kinaongezeka.
Ikiwa hujui sheria za kuingia polynomial ya quadratic, tunapendekeza ujitambulishe nao.
Sheria za kuingia polynomial ya quadratic
Herufi yoyote ya Kilatini inaweza kutenda kama kigezo.
Kwa mfano: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), nk.
Nambari zinaweza kuingizwa kama nambari kamili au sehemu.
Kwa kuongezea, nambari za sehemu zinaweza kuingizwa sio tu kwa njia ya decimal, lakini pia katika mfumo wa sehemu ya kawaida.
Sheria za kuingiza sehemu za desimali.
Katika sehemu za desimali, sehemu ya sehemu inaweza kutengwa kutoka kwa sehemu nzima kwa kipindi au koma.
Kwa mfano, unaweza kuingia desimali kama hii: 2.5x - 3.5x^2
Sheria za kuingiza sehemu za kawaida.
Nambari nzima pekee ndiyo inayoweza kutenda kama sehemu ya nambari, denomineta na kamili ya sehemu.
Denominator haiwezi kuwa hasi.
Wakati wa kuingiza sehemu ya nambari, nambari hutenganishwa na dhehebu na ishara ya mgawanyiko: /
Sehemu nzima kutengwa na sehemu na ampersand: &
Ingizo: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Matokeo: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2\)
Wakati wa kuingiza usemi unaweza kutumia mabano. Katika kesi hii, wakati wa kutatua equation ya quadratic, usemi ulioanzishwa hurahisishwa kwanza.
Kwa mfano: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)
Amua
Iligunduliwa kwamba baadhi ya maandiko muhimu ya kutatua tatizo hili hayakupakiwa, na programu inaweza kufanya kazi.
Huenda umewasha AdBlock.
Katika kesi hii, izima na uonyeshe upya ukurasa.
Ili suluhisho lionekane, unahitaji kuwezesha JavaScript.
Haya hapa ni maagizo ya jinsi ya kuwezesha JavaScript kwenye kivinjari chako.
Kwa sababu Kuna watu wengi wako tayari kutatua tatizo, ombi lako limewekwa kwenye foleni.
Katika sekunde chache suluhisho litaonekana hapa chini.
Tafadhali subiri sekunde...
Kama wewe niligundua kosa katika suluhisho, basi unaweza kuandika kuhusu hili katika Fomu ya Maoni.
Usisahau onyesha ni kazi gani unaamua nini ingia mashambani.
Michezo yetu, puzzles, emulators:
Nadharia kidogo.
Quadratic equation na mizizi yake. Milinganyo ya quadratic isiyo kamili
Kila moja ya milinganyo
\(-x^2+6x+1.4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
inaonekana kama
\(shoka^2+bx+c=0, \)
ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari.
Katika equation ya kwanza a = -1, b = 6 na c = 1.4, kwa pili a = 8, b = -7 na c = 0, katika tatu a = 1, b = 0 na c = 4/9. Milinganyo kama hiyo inaitwa milinganyo ya quadratic.
Ufafanuzi.
Mlinganyo wa Quadratic inaitwa mlinganyo wa fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo x ni kigezo, a, b na c ni nambari fulani, na \(a \neq 0 \).
Nambari a, b na c ni mgawo wa mlinganyo wa quadratic. Nambari a inaitwa mgawo wa kwanza, nambari b ni mgawo wa pili, na nambari c ni neno la bure.
Katika kila milinganyo ya fomu ax 2 +bx+c=0, ambapo \(a\neq 0\), nguvu kubwa zaidi ya kigezo x ni mraba. Kwa hivyo jina: quadratic equation.
Kumbuka kwamba equation ya quadratic pia inaitwa equation ya shahada ya pili, kwani upande wake wa kushoto ni polynomial ya shahada ya pili.
Mlinganyo wa quadratic ambapo mgawo wa x 2 ni sawa na 1 unaitwa kutokana na mlinganyo wa quadratic. Kwa mfano, milinganyo ya quadratic iliyotolewa ni milinganyo
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)
Ikiwa katika equation ya quadratic ax 2 +bx+c=0 angalau moja ya coefficients b au c ni sawa na sifuri, basi equation kama hiyo inaitwa. equation ya quadratic isiyo kamili. Kwa hivyo, milinganyo -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 ni milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Katika ya kwanza yao b=0, ya pili c=0, ya tatu b=0 na c=0.
Kuna aina tatu za milinganyo ya quadratic isiyokamilika:
1) shoka 2 +c=0, ambapo \(c \neq 0 \);
2) shoka 2 +bx=0, ambapo \(b \neq 0 \);
3) shoka 2 =0.
Wacha tufikirie kusuluhisha milinganyo ya kila moja ya aina hizi.
Ili kusuluhisha mlingano wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 +c=0 kwa \(c \neq 0 \), sogeza neno lake lisilolipishwa hadi upande wa kulia na ugawanye pande zote mbili za mlinganyo kwa:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Mshale wa kulia x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)
Tangu \(c \neq 0 \), basi \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)
Ikiwa \(-\frac(c)(a)>0\), basi equation ina mizizi miwili.
Iwapo \(-\frac(c)(a) Ili kutatua mlinganyo wa kiduara usio kamili wa fomu shoka 2 +bx=0 na \(b \neq 0 \) kuashiria upande wake wa kushoto na kupata mlinganyo huo.
\(x(shoka+b)=0 \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza(safu)(l) x=0 \\ shoka+b=0 \mwisho(safu) \kulia. \Mshale wa kulia \kushoto\( \anza (safu)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \mwisho(safu) \kulia. \)
Hii ina maana kwamba mlinganyo wa robo nne usio kamili wa fomu ax 2 +bx=0 kwa \(b \neq 0 \) huwa na mizizi miwili kila wakati.
Mlinganyo wa quadratic ambao haujakamilika wa fomu ax 2 =0 ni sawa na equation x 2 =0 na kwa hivyo ina mzizi mmoja 0.
Mfumo wa mizizi ya equation ya quadratic
Hebu sasa tuchunguze jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic ambayo coefficients ya zisizojulikana na neno bure ni nonzero.
Hebu tutatue equation ya quadratic kwa fomu ya jumla na matokeo yake tunapata formula ya mizizi. Kisha fomula hii inaweza kutumika kutatua mlingano wowote wa quadratic.
Tatua shoka la quadratic equation 2 +bx+c=0
Kugawanya pande zote mbili kwa a, tunapata mlingano wa quadratic uliopunguzwa sawa
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)
Wacha tubadilishe equation hii kwa kuchagua mraba wa binomial:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^2- \kushoto(\frac(b)(2a)\kulia)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Mshale wa Kulia \)
Usemi mkali unaitwa kibaguzi wa mlinganyo wa quadratic shoka 2 +bx+c=0 (“kibaguzi” kwa Kilatini - kibaguzi). Inateuliwa na barua D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)
Sasa, kwa kutumia nukuu ya kibaguzi, tunaandika upya fomula ya mizizi ya equation ya quadratic:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), ambapo \(D= b^2-4ac \)
Ni dhahiri kwamba:
1) Ikiwa D>0, basi equation ya quadratic ina mizizi miwili.
2) Ikiwa D=0, basi equation ya quadratic ina mzizi mmoja \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Ikiwa D Hivyo, kulingana na thamani ya kibaguzi, equation ya quadratic inaweza kuwa na mizizi miwili (kwa D > 0), mzizi mmoja (kwa D = 0) au haina mizizi (kwa D Wakati wa kutatua equation ya quadratic kwa kutumia hii. formula, inashauriwa kufanya yafuatayo:
1) kuhesabu kibaguzi na kulinganisha na sifuri;
2) ikiwa kibaguzi ni chanya au sawa na sifuri, basi tumia fomula ya mizizi; ikiwa kibaguzi ni hasi, basi andika kwamba hakuna mizizi.
Nadharia ya Vieta
Shoka la quadratic equation 2 -7x+10=0 lina mizizi 2 na 5. Jumla ya mizizi ni 7, na bidhaa ni 10. Tunaona kwamba jumla ya mizizi ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa kutoka. ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure. Equation yoyote iliyopunguzwa ya quadratic ambayo ina mizizi ina mali hii.
Jumla ya mizizi ya equation ya juu ya quadratic ni sawa na mgawo wa pili uliochukuliwa na ishara kinyume, na bidhaa ya mizizi ni sawa na neno la bure.
Wale. Nadharia ya Vieta inasema kwamba mizizi x 1 na x 2 ya equation ya quadratic iliyopunguzwa x 2 +px+q=0 ina mali:
\(\kushoto\( \anza(safu)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \mwisho(safu) \kulia. \)
Equations za quadratic mara nyingi huonekana wakati wa kutatua matatizo mbalimbali katika fizikia na hisabati. Katika makala hii tutaangalia jinsi ya kutatua usawa huu kwa njia ya ulimwengu "kwa njia ya kibaguzi". Mifano ya kutumia ujuzi uliopatikana pia hutolewa katika makala.
Tutazungumza juu ya equations gani?
Kielelezo kilicho hapa chini kinaonyesha fomula ambayo x ni kigezo kisichojulikana na alama za Kilatini a, b, c zinawakilisha nambari fulani zinazojulikana.
Kila moja ya alama hizi inaitwa mgawo. Kama unavyoona, nambari "a" inaonekana kabla ya mabadiliko ya x mraba. Hii ndiyo nguvu ya juu zaidi ya usemi unaowakilishwa, ndiyo maana inaitwa mlinganyo wa quadratic. Jina lake lingine hutumiwa mara nyingi: equation ya mpangilio wa pili. Thamani a yenyewe ni mgawo wa mraba (imesimama na mraba wa kutofautiana), b ni mgawo wa mstari (iko karibu na variable iliyoinuliwa kwa nguvu ya kwanza), na hatimaye, nambari c ni neno la bure.
Kumbuka kuwa aina ya mlinganyo ulioonyeshwa kwenye mchoro hapo juu ni usemi wa kawaida wa quadratic. Kwa kuongezea, kuna milinganyo mingine ya mpangilio wa pili ambayo mgawo b na c inaweza kuwa sifuri.
Wakati kazi imewekwa kusuluhisha usawa unaohusika, hii inamaanisha kuwa maadili kama haya ya mabadiliko x yanahitaji kupatikana ambayo yangekidhi. Jambo la kwanza unahitaji kukumbuka hapa ni jambo linalofuata: kwa kuwa nguvu ya juu ya X ni 2, basi aina hii misemo haiwezi kuwa na suluhu zaidi ya 2. Hii inamaanisha kwamba ikiwa, wakati wa kusuluhisha equation, maadili 2 ya x yalipatikana ambayo yanakidhi, basi unaweza kuwa na uhakika kuwa hakuna nambari ya 3, ukiibadilisha kwa x, usawa pia utakuwa wa kweli. Suluhisho la equation katika hisabati huitwa mizizi yake.
Njia za kutatua milinganyo ya mpangilio wa pili
Kutatua milinganyo ya aina hii inahitaji ujuzi wa nadharia fulani juu yao. Katika kozi ya aljebra ya shule wanazingatia 4 mbinu mbalimbali ufumbuzi. Hebu tuorodheshe:
- kutumia factorization;
- kutumia formula kwa mraba kamili;
- kwa kutumia grafu ya kazi inayolingana ya quadratic;
- kwa kutumia mlinganyo wa kibaguzi.
Faida ya njia ya kwanza ni unyenyekevu wake, hata hivyo, haiwezi kutumika kwa milinganyo yote. Njia ya pili ni ya ulimwengu wote, lakini ni ngumu sana. Njia ya tatu inatofautishwa na uwazi wake, lakini sio rahisi kila wakati na inatumika. Na mwishowe, kutumia mlinganyo wa kibaguzi ni njia ya ulimwengu wote na rahisi kupata mizizi ya mlingano wowote wa mpangilio wa pili. Kwa hiyo, katika makala hii tutazingatia tu.
Mfumo wa kupata mizizi ya equation
Hebu tugeukie muonekano wa jumla mlinganyo wa quadratic. Hebu tuandike: a*x²+ b*x + c =0. Kabla ya kutumia njia ya kutatua "kwa njia ya kibaguzi," unapaswa daima kuleta usawa kwa fomu yake ya maandishi. Hiyo ni, lazima iwe na maneno matatu (au chini ikiwa b au c ni 0).
Kwa mfano, ikiwa kuna usemi: x²-9*x+8 = -5*x+7*x², basi unapaswa kwanza kuhamisha masharti yake yote kwa upande mmoja wa usawa na kuongeza masharti yaliyo na kutofautisha x katika nguvu sawa.
Katika kesi hii, operesheni hii itasababisha usemi ufuatao: -6*x²-4*x+8=0, ambayo ni sawa na equation 6*x²+4*x-8=0 (hapa tulizidisha kushoto na pande za kulia za usawa kwa -1) .
Katika mfano hapo juu, a = 6, b=4, c=-8. Kumbuka kuwa masharti yote ya usawa yanayozingatiwa yanafupishwa kila wakati, kwa hivyo ikiwa ishara "-" inaonekana, hii inamaanisha kuwa mgawo unaolingana ni hasi, kama nambari c katika kesi hii.
Baada ya kuchunguza jambo hili, hebu sasa tuendelee kwenye formula yenyewe, ambayo inafanya uwezekano wa kupata mizizi ya equation ya quadratic. Inaonekana kama ile iliyoonyeshwa kwenye picha hapa chini.
Kama inavyoonekana kutoka kwa usemi huu, hukuruhusu kupata mizizi miwili (makini na ishara "±"). Ili kufanya hivyo, inatosha kuchukua nafasi ya coefficients b, c, na a ndani yake.
Dhana ya ubaguzi
Katika aya iliyotangulia, fomula ilitolewa ambayo hukuruhusu kutatua haraka usawa wowote wa mpangilio wa pili. Ndani yake, usemi mkali unaitwa ubaguzi, yaani, D = b²-4*a*c.
Kwa nini sehemu hii ya fomula imeangaziwa, na kwa nini ina jina lake yenyewe? Ukweli ni kwamba kibaguzi huunganisha coefficients zote tatu za equation katika usemi mmoja. Ukweli wa mwisho inamaanisha kuwa hubeba habari kamili juu ya mizizi, ambayo inaweza kuonyeshwa kwenye orodha ifuatayo:
- D>0: Usawa una masuluhisho 2 tofauti, yote mawili ni nambari halisi.
- D=0: Mlinganyo una mzizi mmoja tu, na ni nambari halisi.
Kazi ya uamuzi wa kibaguzi
Hebu tutoe mfano rahisi wa jinsi ya kupata mbaguzi. Acha usawa ufuatao utolewe: 2*x² - 4+5*x-9*x² = 3*x-5*x²+7.
Wacha tuilete kwa fomu ya kawaida, tunapata: (2*x²-9*x²+5*x²) + (5*x-3*x) + (- 4-7) = 0, ambayo tunatoka kwa usawa. : -2*x² +2*x-11 = 0. Hapa a=-2, b=2, c=-11.
Sasa unaweza kutumia fomula iliyo hapo juu kwa kibaguzi: D = 2² - 4*(-2)*(-11) = -84. Nambari inayotokana ni jibu la kazi. Kwa kuwa katika mfano wa kibaguzi chini ya sifuri, basi tunaweza kusema kwamba equation hii ya quadratic haina mizizi halisi. Suluhisho lake litakuwa nambari tu za aina ngumu.
Mfano wa kukosekana kwa usawa kupitia kwa mbaguzi
Hebu tutatue matatizo ya aina tofauti kidogo: kutokana na usawa -3*x²-6*x+c = 0. Ni muhimu kupata maadili ya c ambayo D>0.
Katika kesi hii, coefficients 2 tu kati ya 3 hujulikana, hivyo haiwezekani kuhesabu thamani halisi ya kibaguzi, lakini inajulikana kuwa ni chanya. Tunatumia ukweli wa mwisho tunapotunga ukosefu wa usawa: D= (-6)²-4*(-3)*c>0 => 36+12*c>0. Kutatua usawa unaosababishwa husababisha matokeo: c> -3.
Wacha tuangalie nambari inayosababisha. Ili kufanya hivyo, tunahesabu D kwa kesi 2: c=-2 na c=-4. Nambari -2 inakidhi matokeo yaliyopatikana (-2> -3), kibaguzi kinacholingana kitakuwa na thamani: D = 12>0. Kwa upande mwingine, nambari -4 haikidhi usawa (-4. Kwa hivyo, nambari yoyote c ambayo ni kubwa kuliko -3 itakidhi hali hiyo.
Mfano wa kutatua equation
Hebu tuwasilishe tatizo ambalo linahusisha sio tu kupata kibaguzi, lakini pia kutatua equation. Inahitajika kupata mizizi ya usawa -2*x²+7-9*x = 0.
Katika mfano huu, kibaguzi ni sawa na thamani ifuatayo: D = 81-4*(-2)*7= 137. Kisha mizizi ya equation imedhamiriwa kama ifuatavyo: x = (9±√137)/(- 4). Hii maadili halisi mizizi, ukihesabu mzizi takriban, basi unapata nambari: x = -5.176 na x = 0.676.
Tatizo la kijiometri
Hebu tutatue tatizo ambalo litahitaji si tu uwezo wa kuhesabu kibaguzi, lakini pia matumizi ya ujuzi wa kufikiri wa kufikirika na ujuzi wa jinsi ya kuandika equations za quadratic.
Bob alikuwa na duvet ya mita 5 x 4. Mvulana alitaka kushona kitambaa cha kitambaa kizuri karibu na mzunguko mzima. Ukanda huu utakuwa nene kiasi gani ikiwa tunajua kwamba Bob ana mita 10 ya kitambaa.
Acha kamba iwe na unene wa x m, basi eneo la kitambaa kando ya blanketi litakuwa (5+2*x)*x, na kwa kuwa kuna pande 2 ndefu, tunayo: 2*x. *(5+2*x). Kwa upande mfupi, eneo la kitambaa kilichoshonwa kitakuwa 4 * x, kwa kuwa kuna 2 ya pande hizi, tunapata thamani 8 * x. Kumbuka kuwa thamani 2*x iliongezwa kwa upande mrefu kwa sababu urefu wa blanketi uliongezeka kwa nambari hiyo. Jumla ya eneo la kitambaa kilichoshonwa kwenye blanketi ni 10 m². Kwa hiyo, tunapata usawa: 2*x*(5+2*x) + 8*x = 10 => 4*x²+18*x-10 = 0.
Kwa mfano huu, kibaguzi ni sawa na: D = 18²-4*4*(-10) = 484. Mzizi wake ni 22. Kwa kutumia formula, tunapata mizizi inayohitajika: x = (-18±22)/( 2*4) = (- 5; 0.5). Kwa wazi, kati ya mizizi miwili, nambari 0.5 tu inafaa kulingana na hali ya shida.
Kwa hivyo, kipande cha kitambaa ambacho Bob hushona kwenye blanketi yake kitakuwa na upana wa 50 cm.
Zaidi kwa njia rahisi. Ili kufanya hivyo, weka z nje ya mabano. Utapata: z(аz + b) = 0. Sababu zinaweza kuandikwa: z=0 na аz + b = 0, kwani zote mbili zinaweza kusababisha sifuri. Katika nukuu az + b = 0, tunasonga ya pili kwenda kulia na ishara tofauti. Kutoka hapa tunapata z1 = 0 na z2 = -b/a. Hizi ni mizizi ya asili.
Ikiwa kuna equation isiyo kamili ya fomu az² + c = 0, katika kesi hii hupatikana kwa kuhamisha neno la bure kwa upande wa kulia wa equation. Pia ubadilishe ishara yake. Matokeo yake yatakuwa az² = -с. Express z² = -c/a. Kuchukua mizizi na kuandika ufumbuzi mbili - chanya na hasi mraba mizizi.
Kumbuka
Ikiwa kuna mgawo wa sehemu katika mlinganyo, zidisha mlinganyo mzima kwa kipengele kinachofaa ili kuondoa sehemu.
Ujuzi wa jinsi ya kutatua milinganyo ya quadratic ni muhimu kwa watoto wa shule na wanafunzi; wakati mwingine hii inaweza pia kusaidia mtu mzima katika maisha ya kila siku. Kuna njia kadhaa maalum za suluhisho.
Kutatua Milinganyo ya Quadratic
Mlinganyo wa quadratic wa fomu a*x^2+b*x+c=0. Mgawo x ni kigezo kinachohitajika, a, b, c ni vigawo vya nambari. Kumbuka kwamba ishara "+" inaweza kubadilika kuwa ishara "-".Ili kutatua mlingano huu, ni muhimu kutumia nadharia ya Vieta au kupata kibaguzi. Njia ya kawaida ni kupata kibaguzi, kwani kwa maadili fulani ya a, b, c haiwezekani kutumia nadharia ya Vieta.
Ili kupata kibaguzi (D), unahitaji kuandika fomula D=b^2 - 4*a*c. Thamani ya D inaweza kuwa kubwa kuliko, chini ya, au sawa na sifuri. Ikiwa D ni kubwa au chini ya sifuri, basi kutakuwa na mizizi miwili; ikiwa D = 0, basi mzizi mmoja tu unabaki; kwa usahihi, tunaweza kusema kwamba D katika kesi hii ina mizizi miwili sawa. Badilisha viambajengo vinavyojulikana a, b, c kwenye fomula na ukokote thamani.
Baada ya kupata kibaguzi, tumia fomula kupata x: x(1) = (- b+sqrt(D))/2*a; x(2) = (- b-sqrt(D))/2*a, ambapo sqrt ni chaguo la kukokotoa ambalo linamaanisha kuchukua mzizi wa mraba wa nambari iliyopewa. Baada ya kuhesabu maneno haya, utapata mizizi miwili ya equation yako, baada ya hapo equation inachukuliwa kutatuliwa.
Ikiwa D ni chini ya sifuri, basi bado ina mizizi. Shuleni sehemu hii kiutendaji haijasomwa. Wanafunzi wa chuo kikuu wanapaswa kufahamu kwamba nambari hasi inaonekana chini ya mzizi. Wanaiondoa kwa kuangazia sehemu ya kufikiria, ambayo ni -1 chini ya mzizi daima ni sawa na kitu cha kufikiria "i", ambacho kinazidishwa na mzizi na nambari sawa chanya. Kwa mfano, ikiwa D=sqrt(-20), baada ya mabadiliko tunapata D=sqrt(20)*i. Baada ya mabadiliko haya, utatuzi wa equation hupunguzwa hadi kupatikana kwa mizizi kama ilivyoelezwa hapo juu.
Nadharia ya Vieta inajumuisha kuchagua maadili ya x(1) na x(2). Milinganyo miwili inayofanana inatumika: x(1) + x(2)= -b; x(1)*x(2)=с. Na sana hatua muhimu ni ishara mbele ya mgawo b, kumbuka kwamba ishara hii ni kinyume na moja katika equation. Kwa mtazamo wa kwanza, inaonekana kwamba kuhesabu x (1) na x (2) ni rahisi sana, lakini wakati wa kutatua, utakabiliwa na ukweli kwamba utakuwa na kuchagua namba.
Vipengele vya kutatua milinganyo ya quadratic
Kulingana na sheria za hisabati, zingine zinaweza kuainishwa: (a+x(1))*(b-x(2))=0, ikiwa umeweza kubadilisha kwa kutumia kanuni za hisabati. Kwa njia sawa ukipewa mlinganyo wa quadratic, basi jisikie huru kuandika jibu. x(1) na x(2) zitakuwa sawa na coefficients karibu katika mabano, lakini kwa ishara kinyume.Pia, usisahau kuhusu equations za quadratic ambazo hazijakamilika. Huenda unakosa baadhi ya masharti; ikiwa ni hivyo, basi migawo yake yote ni sawa na sifuri. Iwapo hakuna kitu mbele ya x^2 au x, basi viambajengo a na b ni sawa na 1.
Mada hii inaweza kuonekana kuwa ngumu mwanzoni kwa sababu ya fomula nyingi ambazo sio rahisi sana. Sio tu kwamba equations za quadratic zenyewe zina maelezo marefu, lakini mizizi pia hupatikana kwa njia ya kibaguzi. Kwa jumla, fomula tatu mpya zinapatikana. Si rahisi sana kukumbuka. Hii inawezekana tu baada ya kutatua equations mara kwa mara. Kisha fomula zote zitakumbukwa na wao wenyewe.
Mtazamo wa jumla wa equation ya quadratic
Hapa tunapendekeza kurekodi kwao wazi, wakati shahada kubwa imeandikwa kwanza, na kisha kwa utaratibu wa kushuka. Mara nyingi kuna hali wakati masharti hayafanani. Kisha ni bora kuandika tena equation katika utaratibu wa kushuka wa kiwango cha kutofautiana.
Hebu tuanzishe nukuu fulani. Zinawasilishwa kwenye jedwali hapa chini.
Ikiwa tutakubali nukuu hizi, milinganyo yote ya quadratic itapunguzwa hadi nukuu ifuatayo.
Zaidi ya hayo, mgawo ni ≠ 0. Acha fomula hii iteuliwe nambari moja.
Wakati equation inatolewa, haijulikani wazi ni mizizi ngapi kutakuwa na jibu. Kwa sababu moja ya chaguzi tatu inawezekana kila wakati:
- suluhisho litakuwa na mizizi miwili;
- jibu litakuwa namba moja;
- mlinganyo hautakuwa na mizizi hata kidogo.
Na mpaka uamuzi ukamilika, ni vigumu kuelewa ni chaguo gani kitatokea katika kesi fulani.
Aina za rekodi za milinganyo ya quadratic
Kunaweza kuwa na maingizo tofauti katika kazi. Hawataonekana kama kila wakati formula ya jumla mlinganyo wa quadratic. Wakati mwingine itakuwa inakosa masharti fulani. Kilichoandikwa hapo juu ni mlingano kamili. Ukiondoa muda wa pili au wa tatu ndani yake, unapata kitu kingine. Rekodi hizi pia huitwa milinganyo ya quadratic, haijakamilika tu.
Zaidi ya hayo, maneno tu na coefficients "b" na "c" yanaweza kutoweka. Nambari "a" haiwezi kuwa sawa na sifuri kwa hali yoyote. Kwa sababu katika kesi hii formula inageuka kuwa equation ya mstari. Fomula za fomu isiyokamilika ya milinganyo itakuwa kama ifuatavyo:
Kwa hivyo, kuna aina mbili tu; pamoja na kamili, pia kuna milinganyo ya quadratic isiyokamilika. Hebu formula ya kwanza iwe namba mbili, na ya pili - tatu.
Ubaguzi na utegemezi wa idadi ya mizizi kwenye thamani yake
Unahitaji kujua nambari hii ili kuhesabu mizizi ya equation. Inaweza kuhesabiwa kila wakati, bila kujali fomula ya equation ya quadratic ni nini. Ili kuhesabu kibaguzi, unahitaji kutumia usawa ulioandikwa hapa chini, ambao utakuwa na namba nne.
Baada ya kubadilisha maadili ya mgawo kwenye fomula hii, unaweza kupata nambari na ishara tofauti. Ikiwa jibu ni ndiyo, basi jibu la equation litakuwa mizizi miwili tofauti. Katika nambari hasi mizizi ya equation ya quadratic itakosekana. Ikiwa ni sawa na sifuri, kutakuwa na jibu moja tu.
Jinsi ya kutatua equation kamili ya quadratic?
Kwa kweli, kuzingatia suala hili tayari imeanza. Kwa sababu kwanza unahitaji kupata kibaguzi. Baada ya kuamua kuwa kuna mizizi ya equation ya quadratic, na idadi yao inajulikana, unahitaji kutumia formula kwa vigezo. Ikiwa kuna mizizi miwili, basi unahitaji kutumia formula ifuatayo.
Kwa kuwa ina ishara "±", kutakuwa na maadili mawili. Usemi ulio chini ya ishara ya mzizi wa mraba ndio kibaguzi. Kwa hiyo, formula inaweza kuandikwa tena tofauti.
Mfumo namba tano. Kutoka kwa rekodi sawa ni wazi kwamba ikiwa kibaguzi ni sawa na sifuri, basi mizizi yote itachukua maadili sawa.
Ikiwa suluhisho milinganyo ya quadratic bado haijafanyiwa kazi, ni bora kuandika maadili ya coefficients zote kabla ya kutumia fomula za kibaguzi na tofauti. Baadaye wakati huu hautasababisha shida. Lakini mwanzoni kabisa kuna mkanganyiko.
Jinsi ya kutatua equation ya quadratic isiyo kamili?
Kila kitu ni rahisi zaidi hapa. Hakuna hata haja ya fomula za ziada. Na wale ambao tayari wameandikwa kwa ajili ya ubaguzi na wasiojulikana hawatahitajika.
Kwanza, hebu tuangalie equation namba mbili isiyokamilika. Katika usawa huu, inahitajika kuchukua idadi isiyojulikana kutoka kwa mabano na kutatua equation ya mstari, ambayo itabaki kwenye mabano. Jibu litakuwa na mizizi miwili. Ya kwanza ni lazima sawa na sifuri, kwa sababu kuna multiplier inayojumuisha kutofautiana yenyewe. Ya pili itapatikana kwa kutatua equation ya mstari.
Nambari ya tatu ya equation isiyokamilika inatatuliwa kwa kuhamisha nambari kutoka upande wa kushoto wa usawa hadi kulia. Kisha unahitaji kugawanya kwa mgawo unaoelekea haijulikani. Kilichobaki ni kutoa mzizi wa mraba na ukumbuke kuuandika mara mbili kwa ishara tofauti.
Zifuatazo ni baadhi ya hatua ambazo zitakusaidia kujifunza jinsi ya kutatua aina zote za usawa ambazo hubadilika kuwa milinganyo ya quadratic. Watamsaidia mwanafunzi kuepuka makosa kutokana na kutokuwa makini. Mapungufu haya yanaweza kusababisha alama duni wakati wa kusoma mada ya kina "Quadratic Equations (Daraja la 8)." Baadaye, vitendo hivi havitahitaji kufanywa kila wakati. Kwa sababu ujuzi thabiti utaonekana.
- Kwanza unahitaji kuandika equation katika fomu ya kawaida. Hiyo ni, kwanza neno na shahada kubwa zaidi ya kutofautiana, na kisha - bila shahada, na mwisho - nambari tu.
- Ikiwa minus itaonekana kabla ya mgawo "a", inaweza kutatiza kazi kwa anayeanza kusoma milinganyo ya quadratic. Ni bora kuiondoa. Kwa kusudi hili, usawa wote lazima uzidishwe na "-1". Hii ina maana kwamba masharti yote yatabadilisha ishara kuwa kinyume.
- Inashauriwa kuondoa sehemu kwa njia ile ile. Zidisha equation kwa kipengele kinachofaa ili madhehebu yaghairi.
Mifano
Inahitajika kutatua milinganyo ifuatayo ya quadratic:
x 2 - 7x = 0;
15 - 2x - x 2 = 0;
x 2 + 8 + 3x = 0;
12x + x 2 + 36 = 0;
(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2).
Mlinganyo wa kwanza: x 2 − 7x = 0. Haijakamilika, kwa hivyo inatatuliwa jinsi ilivyofafanuliwa kwa fomula namba mbili.
Baada ya kuiondoa kwenye mabano, inageuka: x (x - 7) = 0.
Mzizi wa kwanza unachukua thamani: x 1 = 0. Ya pili itapatikana kutoka kwa usawa wa mstari: x - 7 = 0. Ni rahisi kuona kwamba x 2 = 7.
Mlinganyo wa pili: 5x 2 + 30 = 0. Tena haijakamilika. Ni pekee inayotatuliwa kama ilivyoelezwa kwa fomula ya tatu.
Baada ya kusonga 30 kwa upande wa kulia wa equation: 5x 2 = 30. Sasa unahitaji kugawanya na 5. Inageuka: x 2 = 6. Majibu yatakuwa namba: x 1 = √6, x 2 = - √6.
Mlinganyo wa tatu: 15 − 2x - x 2 = 0. Hapa na zaidi, kutatua milinganyo ya quadratic itaanza kwa kuandika upya katika fomu ya kawaida: - x 2 - 2x + 15 = 0. Sasa ni wakati wa kutumia ya pili. ushauri muhimu na zidisha kila kitu kwa minus moja. Inageuka x 2 + 2x - 15 = 0. Kutumia formula ya nne, unahitaji kuhesabu kibaguzi: D = 2 2 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Ni namba nzuri. Kutoka kwa kile kilichosemwa hapo juu, zinageuka kuwa equation ina mizizi miwili. Wanahitaji kuhesabiwa kwa kutumia fomula ya tano. Inatokea kwamba x = (-2 ± √64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Kisha x 1 = 3, x 2 = - 5.
Equation ya nne x 2 + 8 + 3x = 0 inabadilishwa kuwa hii: x 2 + 3x + 8 = 0. Ubaguzi wake ni sawa na thamani hii: -23. Kwa kuwa nambari hii ni hasi, jibu la kazi hii litakuwa ingizo lifuatalo: "Hakuna mizizi."
Equation ya tano 12x + x 2 + 36 = 0 inapaswa kuandikwa upya kama ifuatavyo: x 2 + 12x + 36 = 0. Baada ya kutumia formula kwa kibaguzi, nambari ya sifuri inapatikana. Hii ina maana kwamba itakuwa na mzizi mmoja, yaani: x = -12/ (2 * 1) = -6.
Equation ya sita (x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2) inahitaji mabadiliko, ambayo yanajumuisha ukweli kwamba unahitaji kuleta maneno sawa, kwanza kufungua mabano. Katika nafasi ya kwanza kutakuwa na maneno yafuatayo: x 2 + 2x + 1. Baada ya usawa, kuingia hii itaonekana: x 2 + 3x + 2. Baada ya maneno sawa kuhesabiwa, equation itachukua fomu: x 2 - x = 0. Imekuwa haijakamilika . Kitu sawa na hiki tayari kimejadiliwa juu kidogo. Mizizi ya hii itakuwa nambari 0 na 1.
Inapakia...