Wakati mwingine katika maisha kuna hali wakati unapaswa kuingia kwenye kumbukumbu yako katika kutafuta ujuzi wa shule uliosahau kwa muda mrefu. Kwa mfano, unahitaji kuamua eneo la shamba lenye umbo la pembetatu, au wakati umefika wa ukarabati mwingine katika ghorofa au nyumba ya kibinafsi, na unahitaji kuhesabu ni nyenzo ngapi itahitajika kwa uso na. umbo la pembetatu. Kulikuwa na wakati ambapo unaweza kutatua shida kama hiyo kwa dakika chache, lakini sasa unajaribu sana kukumbuka jinsi ya kuamua eneo la pembetatu?
Usijali kuhusu hilo! Baada ya yote, ni kawaida kabisa wakati ubongo wa mtu unaamua kuhamisha ujuzi usiotumiwa kwa muda mrefu mahali fulani kwenye kona ya mbali, ambayo wakati mwingine si rahisi kuiondoa. Ili usilazimike kutafuta maarifa ya shule iliyosahaulika kutatua shida kama hiyo, nakala hii ina njia mbali mbali ambazo hufanya iwe rahisi kupata eneo linalohitajika la pembetatu.
Inajulikana kuwa pembetatu ni aina ya poligoni ambayo ni mdogo kwa idadi ya chini iwezekanavyo ya pande. Kimsingi, poligoni yoyote inaweza kugawanywa katika pembetatu kadhaa kwa kuunganisha wima zake na sehemu ambazo haziingiliani pande zake. Kwa hivyo, ukijua pembetatu, unaweza kuhesabu eneo la karibu takwimu yoyote.
Miongoni mwa pembetatu zote zinazowezekana zinazotokea katika maisha, aina zifuatazo zinaweza kutofautishwa: na mstatili.
Njia rahisi zaidi ya kuhesabu eneo la pembetatu ni wakati moja ya pembe zake ni sawa, yaani, katika kesi ya pembetatu ya kulia. Ni rahisi kuona kuwa ni nusu ya mstatili. Kwa hiyo, eneo lake ni sawa na nusu ya bidhaa za pande zinazounda pembe ya kulia kwa kila mmoja.
Ikiwa tunajua urefu wa pembetatu, iliyopunguzwa kutoka kwa moja ya wima hadi upande mwingine, na urefu wa upande huu, unaoitwa msingi, basi eneo hilo linahesabiwa kuwa nusu ya bidhaa ya urefu na msingi. Hii imeandikwa kwa kutumia formula ifuatayo:
S = 1/2*b*h, ambayo
S - eneo linalohitajika la pembetatu;
b, h - kwa mtiririko huo, urefu na msingi wa pembetatu.
Ni rahisi sana kuhesabu eneo la pembetatu ya isosceles kwa sababu urefu utagawanyika upande wa pili na unaweza kupimwa kwa urahisi. Ikiwa eneo limedhamiriwa, basi ni rahisi kuchukua urefu wa moja ya pande zinazounda pembe ya kulia kama urefu.
Yote hii bila shaka ni nzuri, lakini jinsi ya kuamua ikiwa moja ya pembe za pembetatu ni sawa au la? Ikiwa ukubwa wa takwimu yetu ni ndogo, basi tunaweza kutumia angle ya ujenzi, pembetatu ya kuchora, kadi ya posta au kitu kingine kilicho na sura ya mstatili.
Lakini vipi ikiwa tuna shamba la pembe tatu? Katika kesi hii, endelea kama ifuatavyo: hesabu kutoka juu ya pembe inayofaa kwa upande mmoja umbali wa 3 (cm 30, 90 cm, 3 m), na kwa upande mwingine pima umbali wa 4 kwa sawa. uwiano (40 cm, 160 cm, 4 m). Sasa unahitaji kupima umbali kati ya pointi za mwisho za sehemu hizi mbili. Ikiwa matokeo ni nyingi ya 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), basi tunaweza kusema kwamba angle ni sahihi.
Ikiwa urefu wa kila pande tatu za takwimu yetu inajulikana, basi eneo la pembetatu linaweza kuamua kwa kutumia formula ya Heron. Ili iwe na fomu rahisi, thamani mpya hutumiwa, ambayo inaitwa nusu ya mzunguko. Hii ni jumla ya pande zote za pembetatu yetu, imegawanywa katika nusu. Baada ya mzunguko wa nusu kuhesabiwa, unaweza kuanza kuamua eneo kwa kutumia formula:
S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), wapi
sqrt - mizizi ya mraba;
p - thamani ya nusu ya mzunguko (p = (a+b+c)/2);
a, b, c - kingo (pande) za pembetatu.
Lakini vipi ikiwa pembetatu ina sura isiyo ya kawaida? Kuna njia mbili zinazowezekana hapa. Wa kwanza wao ni kujaribu kugawanya takwimu hiyo katika pembetatu mbili za kulia, jumla ya maeneo ambayo huhesabiwa tofauti, na kisha kuongezwa. Au, ikiwa pembe kati ya pande mbili na saizi ya pande hizi inajulikana, basi tumia formula:
S = 0.5 * ab * sinC, wapi
a,b - pande za pembetatu;
c ni ukubwa wa pembe kati ya pande hizi.
Kesi ya mwisho ni nadra katika mazoezi, lakini hata hivyo, kila kitu kinawezekana katika maisha, hivyo formula hapo juu haitakuwa superfluous. Bahati nzuri na mahesabu yako!
Pembetatu ni takwimu inayojulikana kwa kila mtu. Na hii licha ya aina nyingi za aina zake. Mstatili, equilateral, papo hapo, isosceles, butu. Kila mmoja wao ni tofauti kwa namna fulani. Lakini kwa mtu yeyote unahitaji kujua eneo la pembetatu.
Miundo ya kawaida kwa pembetatu zote zinazotumia urefu wa pande au urefu
Majina yaliyopitishwa ndani yao: pande - a, b, c; urefu kwenye pande zinazolingana kwenye a, n ndani, n na.
1. Eneo la pembetatu linahesabiwa kama bidhaa ya ½, upande na urefu uliotolewa kutoka humo. S = ½ * a * n a. Fomula za pande zingine mbili zinapaswa kuandikwa sawa.
2. Fomu ya Heron, ambayo mzunguko wa nusu inaonekana (kawaida inaonyeshwa na barua ndogo p, tofauti na mzunguko kamili). Mzunguko wa nusu lazima uhesabiwe kama ifuatavyo: ongeza pande zote na uzigawanye kwa 2. Fomula ya nusu ya mzunguko ni: p = (a+b+c) / 2. Kisha usawa wa eneo la takwimu inaonekana kama hii: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).
3. Ikiwa hutaki kutumia mzunguko wa nusu, basi formula ambayo ina urefu wa pande tu itakuwa muhimu: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Ni ndefu kidogo kuliko ile iliyopita, lakini itasaidia ikiwa umesahau jinsi ya kupata eneo la nusu.
Fomula za jumla zinazohusisha pembe za pembetatu
Vidokezo vinavyohitajika ili kusoma fomula: α, β, γ - pembe. Wanalala pande tofauti a, b, c, kwa mtiririko huo.
1. Kulingana na hilo, nusu ya bidhaa ya pande mbili na sine ya pembe kati yao ni sawa na eneo la pembetatu. Hiyo ni: S = ½ a * b * dhambi γ. Fomula za kesi zingine mbili zinapaswa kuandikwa kwa njia sawa.
2. Eneo la pembetatu linaweza kuhesabiwa kutoka upande mmoja na pembe tatu zinazojulikana. S = (a 2 * dhambi β * dhambi γ) / (2 dhambi α).
3. Pia kuna formula yenye upande mmoja unaojulikana na pembe mbili za karibu. Inaonekana kama hii: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).
Fomula mbili za mwisho sio rahisi zaidi. Ni ngumu sana kuwakumbuka.
Fomula za jumla za hali wakati radii ya miduara iliyoandikwa au iliyozunguka inajulikana
Majina ya ziada: r, R - radii. Ya kwanza hutumiwa kwa radius ya mduara ulioandikwa. Ya pili ni kwa ile iliyoelezwa.
1. Fomula ya kwanza ambayo eneo la pembetatu huhesabiwa inahusiana na nusu ya mzunguko. S = r * r. Njia nyingine ya kuiandika ni: S = ½ r * (a + b + c).
2. Katika kesi ya pili, utahitaji kuzidisha pande zote za pembetatu na kugawanya kwa mara nne ya radius ya mduara unaozunguka. Katika usemi halisi inaonekana kama hii: S = (a * b * c) / (4R).
3. Hali ya tatu hukuruhusu kufanya bila kujua pande, lakini utahitaji maadili ya pembe zote tatu. S = 2 R 2 * dhambi α * dhambi β * dhambi γ.
Kesi maalum: pembetatu ya kulia
Hii ndiyo hali rahisi zaidi, kwa kuwa tu urefu wa miguu yote inahitajika. Wameteuliwa na herufi za Kilatini a na b. Eneo la pembetatu ya kulia ni sawa na nusu ya eneo la mstatili ulioongezwa kwake.
Kihisabati inaonekana kama hii: S = ½ a * b. Ni rahisi kukumbuka. Kwa sababu inaonekana kama fomula ya eneo la mstatili, ni sehemu tu inayoonekana, inayoonyesha nusu.
Kesi maalum: pembetatu ya isosceles
Kwa kuwa ina pande mbili sawa, fomula zingine za eneo lake zinaonekana kuwa rahisi. Kwa mfano, formula ya Heron, ambayo huhesabu eneo la pembetatu ya isosceles, inachukua fomu ifuatayo:
S = ½ katika √((a + ½ in)*(a - ½ in)).
Ukiibadilisha, itakuwa fupi. Katika kesi hii, formula ya Heron ya pembetatu ya isosceles imeandikwa kama ifuatavyo:
S = ¼ katika √(4 * a 2 - b 2).
Fomula ya eneo inaonekana rahisi zaidi kuliko pembetatu ya kiholela ikiwa pande na pembe kati yao zinajulikana. S = ½ a 2 * dhambi β.
Kesi maalum: pembetatu ya usawa
Kawaida katika matatizo upande kuhusu hilo hujulikana au inaweza kupatikana kwa namna fulani. Kisha formula ya kupata eneo la pembetatu kama hii ni kama ifuatavyo.
S = (a 2 √3) / 4.
Matatizo ya kupata eneo ikiwa pembetatu imeonyeshwa kwenye karatasi ya checkered
Hali rahisi ni wakati pembetatu ya kulia inatolewa ili miguu yake ifanane na mistari ya karatasi. Kisha unahitaji tu kuhesabu idadi ya seli zinazoingia kwenye miguu. Kisha zizidishe na ugawanye kwa mbili.
Wakati pembetatu ni ya papo hapo au butu, inahitaji kuvutwa kwa mstatili. Kisha takwimu inayotokana itakuwa na pembetatu 3. Moja ni ile iliyotolewa katika tatizo. Na nyingine mbili ni msaidizi na mstatili. Maeneo ya mbili za mwisho yanahitajika kuamua kwa kutumia njia iliyoelezwa hapo juu. Kisha uhesabu eneo la mstatili na uondoe kutoka kwake zile zilizohesabiwa kwa zile za msaidizi. Eneo la pembetatu imedhamiriwa.
Hali ambayo hakuna pande zote za pembetatu inayofanana na mistari ya karatasi inageuka kuwa ngumu zaidi. Kisha inahitaji kuandikwa kwenye mstatili ili wima ya takwimu ya awali iko kwenye pande zake. Katika kesi hii, kutakuwa na pembetatu tatu za msaidizi wa kulia.
Mfano wa tatizo la kutumia fomula ya Heron
Hali. Pembetatu fulani ina pande zinazojulikana. Wao ni sawa na 3, 5 na 6 cm Unahitaji kujua eneo lake.
Sasa unaweza kuhesabu eneo la pembetatu kwa kutumia fomula hapo juu. Chini ya mizizi ya mraba ni bidhaa ya namba nne: 7, 4, 2 na 1. Hiyo ni, eneo ni √(4 * 14) = 2 √(14).
Ikiwa usahihi zaidi hauhitajiki, basi unaweza kuchukua mizizi ya mraba 14. Ni sawa na 3.74. Kisha eneo litakuwa 7.48.
Jibu. S = 2 √14 cm 2 au 7.48 cm 2.
Mfano wa shida na pembetatu ya kulia
Hali. Mguu mmoja wa pembetatu ya kulia ni 31 cm kubwa kuliko ya pili, unahitaji kujua urefu wao ikiwa eneo la pembetatu ni 180 cm 2.
Suluhisho. Tutalazimika kutatua mfumo wa milinganyo miwili. Ya kwanza inahusiana na eneo. Ya pili ni kwa uwiano wa miguu, ambayo hutolewa katika tatizo.
180 = ½ a * b;
a = b + 31.
Kwanza, thamani ya “a” lazima ibadilishwe na kuwa mlingano wa kwanza. Inageuka: 180 = ½ (katika + 31) * ndani. Ina idadi moja tu isiyojulikana, hivyo ni rahisi kutatua. Baada ya kufungua mabano, equation ya quadratic inapatikana: 2 + 31 360 = 0. Hii inatoa maadili mawili kwa "katika": 9 na - 40. Nambari ya pili haifai kama jibu, kwa kuwa urefu wa upande. ya pembetatu haiwezi kuwa thamani hasi.
Inabakia kuhesabu mguu wa pili: ongeza 31 kwa nambari inayosababisha Inageuka 40. Hizi ni kiasi kinachotafutwa katika tatizo.
Jibu. Miguu ya pembetatu ni 9 na 40 cm.
Tatizo la kupata upande kupitia eneo, upande na pembe ya pembetatu
Hali. Eneo la pembetatu fulani ni 60 cm 2. Inahitajika kuhesabu moja ya pande zake ikiwa upande wa pili ni cm 15 na pembe kati yao ni 30º.
Suluhisho. Kulingana na nukuu iliyokubaliwa, upande unaotakiwa ni "a", upande unaojulikana ni "b", pembe iliyotolewa ni "γ". Kisha fomula ya eneo inaweza kuandikwa tena kama ifuatavyo:
60 = ½ a * 15 * dhambi 30º. Hapa sine ya digrii 30 ni 0.5.
Baada ya mabadiliko, "a" inageuka kuwa sawa na 60 / (0.5 * 0.5 * 15). Hiyo ni 16.
Jibu. Upande unaohitajika ni 16 cm.
Tatizo kuhusu mraba ulioandikwa katika pembetatu ya kulia
Hali. Kipeo cha mraba na upande wa cm 24 sanjari na pembe ya kulia ya pembetatu. Wengine wawili wamelala kando. Ya tatu ni ya hypotenuse. Urefu wa moja ya miguu ni 42 cm ni eneo gani la pembetatu ya kulia?
Suluhisho. Fikiria pembetatu mbili za kulia. Ya kwanza ni ile iliyoainishwa katika kazi. Ya pili inategemea mguu unaojulikana wa pembetatu ya awali. Zinafanana kwa sababu zina pembe ya kawaida na zinaundwa na mistari inayofanana.
Kisha uwiano wa miguu yao ni sawa. Miguu ya pembetatu ndogo ni sawa na 24 cm (upande wa mraba) na 18 cm (iliyopewa mguu 42 cm toa upande wa mraba 24 cm). Miguu inayolingana ya pembetatu kubwa ni 42 cm na x cm ni "x" hii ambayo inahitajika ili kuhesabu eneo la pembetatu.
18/42 = 24/x, yaani, x = 24 * 42/18 = 56 (cm).
Kisha eneo hilo ni sawa na bidhaa ya 56 na 42 iliyogawanywa na mbili, yaani, 1176 cm 2.
Jibu. Eneo linalohitajika ni 1176 cm 2.
Dhana ya eneo
Wazo la eneo la takwimu yoyote ya kijiometri, haswa pembetatu, itahusishwa na takwimu kama vile mraba. Kwa eneo la kitengo cha takwimu yoyote ya kijiometri tutachukua eneo la mraba ambalo upande wake ni sawa na moja. Kwa ukamilifu, hebu tukumbuke mali mbili za msingi kwa dhana ya maeneo ya takwimu za kijiometri.
Mali 1: Ikiwa takwimu za kijiometri ni sawa, basi maeneo yao pia ni sawa.
Mali 2: Takwimu yoyote inaweza kugawanywa katika takwimu kadhaa. Kwa kuongezea, eneo la takwimu ya asili ni sawa na jumla ya maeneo ya takwimu zake zote.
Hebu tuangalie mfano.
Mfano 1
Kwa wazi, moja ya pande za pembetatu ni diagonal ya mstatili, upande mmoja ambao una urefu wa $ 5 $ (kwa kuwa kuna seli $ 5 $), na nyingine ni $ 6 $ (kwa kuwa kuna seli $ 6 $). Kwa hivyo, eneo la pembetatu hii litakuwa sawa na nusu ya mstatili kama huo. Eneo la mstatili ni
Kisha eneo la pembetatu ni sawa na
Jibu: $15$.
Ifuatayo, tutazingatia njia kadhaa za kupata maeneo ya pembetatu, ambayo ni kutumia urefu na msingi, kwa kutumia formula ya Heron na eneo la pembetatu ya usawa.
Jinsi ya kupata eneo la pembetatu kwa kutumia urefu na msingi wake
Nadharia 1
Eneo la pembetatu linaweza kupatikana kama nusu ya bidhaa ya urefu wa upande na urefu kwa upande huo.
Kihesabu inaonekana kama hii
$S=\frac(1)(2)αh$
ambapo $a$ ni urefu wa upande, $h$ ni urefu unaotolewa kwake.
Ushahidi.
Fikiria pembetatu $ABC$ ambayo $AC=α$. Urefu $BH$ umechorwa upande huu, ambao ni sawa na $h$. Wacha tuijenge hadi $AXYC$ ya mraba kama ilivyo kwenye Mchoro 2.
Eneo la mstatili $AXBH$ ni $h\cdot AH$, na eneo la mstatili $HBYC$ ni $h\cdot HC$. Kisha
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Kwa hivyo, eneo linalohitajika la pembetatu, kwa mali 2, ni sawa na
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Nadharia imethibitishwa.
Mfano 2
Pata eneo la pembetatu kwenye takwimu hapa chini ikiwa seli ina eneo sawa na moja
Msingi wa pembetatu hii ni sawa na $9$ (kwa kuwa $9$ ni $9$ mraba). Urefu pia ni $9$. Kisha, kwa Theorem 1, tunapata
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Jibu: $40.5$.
Fomula ya Heron
Nadharia 2
Ikiwa tutapewa pande tatu za pembetatu $α$, $β$ na $γ$, basi eneo lake linaweza kupatikana kama ifuatavyo.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
hapa $ρ$ ina maana nusu ya mzunguko wa pembetatu hii.
Ushahidi.
Fikiria takwimu ifuatayo:
Kwa nadharia ya Pythagorean, kutoka kwa pembetatu $ABH$ tunapata
Kutoka kwa pembetatu $CBH$, kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunayo
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Kutoka kwa mahusiano haya mawili tunapata usawa
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kwa kuwa $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, basi $α+β+γ=2ρ$, ambayo ina maana
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Kwa Theorem 1, tunapata
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Dhana ya eneo
Wazo la eneo la takwimu yoyote ya kijiometri, haswa pembetatu, itahusishwa na takwimu kama vile mraba. Kwa eneo la kitengo cha takwimu yoyote ya kijiometri tutachukua eneo la mraba ambalo upande wake ni sawa na moja. Kwa ukamilifu, hebu tukumbuke mali mbili za msingi kwa dhana ya maeneo ya takwimu za kijiometri.
Mali 1: Ikiwa takwimu za kijiometri ni sawa, basi maeneo yao pia ni sawa.
Mali 2: Takwimu yoyote inaweza kugawanywa katika takwimu kadhaa. Kwa kuongezea, eneo la takwimu ya asili ni sawa na jumla ya maeneo ya takwimu zake zote.
Hebu tuangalie mfano.
Mfano 1
Kwa wazi, moja ya pande za pembetatu ni diagonal ya mstatili, upande mmoja ambao una urefu wa $ 5 $ (kwa kuwa kuna seli $ 5 $), na nyingine ni $ 6 $ (kwa kuwa kuna seli $ 6 $). Kwa hivyo, eneo la pembetatu hii litakuwa sawa na nusu ya mstatili kama huo. Eneo la mstatili ni
Kisha eneo la pembetatu ni sawa na
Jibu: $15$.
Ifuatayo, tutazingatia njia kadhaa za kupata maeneo ya pembetatu, ambayo ni kutumia urefu na msingi, kwa kutumia formula ya Heron na eneo la pembetatu ya usawa.
Jinsi ya kupata eneo la pembetatu kwa kutumia urefu na msingi wake
Nadharia 1
Eneo la pembetatu linaweza kupatikana kama nusu ya bidhaa ya urefu wa upande na urefu kwa upande huo.
Kihesabu inaonekana kama hii
$S=\frac(1)(2)αh$
ambapo $a$ ni urefu wa upande, $h$ ni urefu unaotolewa kwake.
Ushahidi.
Fikiria pembetatu $ABC$ ambayo $AC=α$. Urefu $BH$ umechorwa upande huu, ambao ni sawa na $h$. Wacha tuijenge hadi $AXYC$ ya mraba kama ilivyo kwenye Mchoro 2.
Eneo la mstatili $AXBH$ ni $h\cdot AH$, na eneo la mstatili $HBYC$ ni $h\cdot HC$. Kisha
$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$
Kwa hivyo, eneo linalohitajika la pembetatu, kwa mali 2, ni sawa na
$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$
Nadharia imethibitishwa.
Mfano 2
Pata eneo la pembetatu kwenye takwimu hapa chini ikiwa seli ina eneo sawa na moja
Msingi wa pembetatu hii ni sawa na $9$ (kwa kuwa $9$ ni $9$ mraba). Urefu pia ni $9$. Kisha, kwa Theorem 1, tunapata
$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$
Jibu: $40.5$.
Fomula ya Heron
Nadharia 2
Ikiwa tutapewa pande tatu za pembetatu $α$, $β$ na $γ$, basi eneo lake linaweza kupatikana kama ifuatavyo.
$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
hapa $ρ$ ina maana nusu ya mzunguko wa pembetatu hii.
Ushahidi.
Fikiria takwimu ifuatayo:
Kwa nadharia ya Pythagorean, kutoka kwa pembetatu $ABH$ tunapata
Kutoka kwa pembetatu $CBH$, kulingana na nadharia ya Pythagorean, tunayo
$h^2=α^2-(β-x)^2$
$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
Kutoka kwa mahusiano haya mawili tunapata usawa
$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$
$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$
$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$
$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$
$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$
Kwa kuwa $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, basi $α+β+γ=2ρ$, ambayo ina maana
$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$
$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$
$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$
$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Kwa Theorem 1, tunapata
$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$
Formula ya eneo inahitajika kuamua eneo la takwimu, ambayo ni kazi ya thamani halisi iliyofafanuliwa kwenye darasa fulani la takwimu za ndege ya Euclidean na kukidhi masharti 4:
- Chanya - Eneo haliwezi kuwa chini ya sifuri;
- Normalization - mraba na kitengo cha upande ina eneo 1;
- Ulinganifu - takwimu zinazofanana zina eneo sawa;
- Kuongeza - eneo la umoja wa takwimu 2 bila alama za kawaida za ndani ni sawa na jumla ya maeneo ya takwimu hizi.
| Kielelezo cha kijiometri | Mfumo | Kuchora |
|---|---|---|
|
Matokeo ya kuongeza umbali kati ya pointi za kati za pande tofauti za quadrilateral ya convex itakuwa sawa na nusu ya mzunguko wake. |
||
|
Sekta ya mduara. Eneo la sekta ya mduara ni sawa na bidhaa ya arc yake na nusu ya radius yake. |
|
|
|
Sehemu ya mduara. Ili kupata eneo la sehemu ya ASB, inatosha kuondoa eneo la pembetatu AOB kutoka eneo la sekta ya AOB. |
S = 1 / 2 R(s - AC) |
|
|
Eneo la duaradufu ni sawa na bidhaa ya urefu wa shoka kuu na ndogo za nusu duaradufu na nambari pi. |
|
|
|
Ellipse. Chaguo jingine la kuhesabu eneo la duaradufu ni kupitia radii zake mbili. |
|
|
|
Pembetatu. Kupitia msingi na urefu. Mfumo wa eneo la duara kwa kutumia radius na kipenyo chake. |
||
|
Mraba . Kupitia upande wake. Eneo la mraba ni sawa na mraba wa urefu wa upande wake. |
|
|
|
Mraba. Kupitia diagonal zake. Eneo la mraba ni sawa na nusu ya mraba ya urefu wa diagonal yake. |
||
|
Polygon ya kawaida. Kuamua eneo la poligoni ya kawaida, ni muhimu kuigawanya katika pembetatu sawa ambayo itakuwa na vertex ya kawaida katikati ya mduara ulioandikwa. |
S= r p = 1/2 r n a |
Inapakia...