Mafunzo ya video 2: Tatizo la piramidi. Kiasi cha piramidi

Mafunzo ya video 3: Tatizo la piramidi. Piramidi sahihi

Mhadhara: Piramidi, msingi wake, mbavu za nyuma, urefu, uso wa upande; piramidi ya pembetatu; piramidi ya kawaida

Piramidi, mali yake

Piramidi ni mwili wenye sura tatu ambao una poligoni kwenye msingi wake, na nyuso zake zote zina pembetatu.

Kesi maalum ya piramidi ni koni iliyo na duara kwenye msingi wake.

Wacha tuangalie vitu kuu vya piramidi:

Apothem- hii ni sehemu inayounganisha juu ya piramidi na katikati ya makali ya chini ya uso wa upande. Kwa maneno mengine, hii ni urefu wa makali ya piramidi.

Katika takwimu unaweza kuona pembetatu ADS, ABS, BCS, CDS. Ikiwa unatazama kwa makini majina, unaweza kuona kwamba kila pembetatu ina barua moja ya kawaida kwa jina lake - S. Hiyo ni, hii ina maana kwamba nyuso zote za upande (pembetatu) hukutana kwa hatua moja, ambayo inaitwa juu ya piramidi. .

Sehemu ya OS inayounganisha vertex na hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (katika kesi ya pembetatu - katika hatua ya makutano ya urefu) inaitwa. urefu wa piramidi.

Sehemu ya diagonal ni ndege ambayo inapita juu ya piramidi, pamoja na moja ya diagonals ya msingi.

Kwa kuwa uso wa upande wa piramidi una pembetatu, basi kupata jumla ya eneo uso wa upande, unahitaji kupata eneo la kila uso na uwaongeze. Idadi na umbo la nyuso hutegemea umbo na saizi ya pande za poligoni ambayo iko chini.

Ndege pekee katika piramidi ambayo sio ya vertex yake inaitwa msingi piramidi.

Katika takwimu tunaona kwamba msingi ni parallelogram, hata hivyo, inaweza kuwa poligoni yoyote ya kiholela.

Sifa:

Fikiria kesi ya kwanza ya piramidi, ambayo ina kingo za urefu sawa:

• Mduara unaweza kuzunguka msingi wa piramidi kama hiyo. Ikiwa unapanga juu ya piramidi kama hiyo, basi makadirio yake yatakuwa katikati ya duara.
• Pembe kwenye msingi wa piramidi ni sawa kwa kila uso.
• Katika kesi hiyo, hali ya kutosha kwa ukweli kwamba mduara unaweza kuelezewa karibu na msingi wa piramidi, na pia kwamba kando zote ni za urefu tofauti, zinaweza kuchukuliwa kuwa pembe sawa kati ya msingi na kila makali ya nyuso.

Ikiwa utapata piramidi ambayo pembe kati ya nyuso za upande na msingi ni sawa, basi mali zifuatazo ni kweli:

• Utakuwa na uwezo wa kuelezea mduara karibu na msingi wa piramidi, kilele ambacho kinapangwa hasa katikati.
• Ikiwa unachora kila makali ya upande wa urefu hadi msingi, basi watakuwa na urefu sawa.
• Ili kupata eneo la uso wa piramidi kama hiyo, inatosha kupata eneo la msingi na kuzidisha kwa nusu ya urefu wa urefu.
• S bp = 0.5P oc H.
• Aina za piramidi.
• Kulingana na poligoni ipi iko kwenye msingi wa piramidi, inaweza kuwa ya pembetatu, pembe nne, nk. Ikiwa chini ya piramidi kuna poligoni ya kawaida (yenye pande sawa), basi piramidi hiyo itaitwa mara kwa mara.

Piramidi ya kawaida ya pembetatu

Mafunzo haya ya video yatasaidia watumiaji kupata wazo la mandhari ya Piramidi. Piramidi sahihi. Katika somo hili tutafahamiana na dhana ya piramidi na kuipa ufafanuzi. Hebu fikiria piramidi ya kawaida ni nini na ina mali gani. Kisha tunathibitisha nadharia juu ya uso wa upande wa piramidi ya kawaida.

Katika somo hili tutafahamiana na dhana ya piramidi na kuipa ufafanuzi.

Fikiria poligoni A1 A2...A n, ambayo iko katika ndege ya α, na uhakika P, ambayo haina uongo katika ndege ya α (Mchoro 1). Hebu tuunganishe pointi P na vilele A 1, A 2, A 3, … A n. Tunapata n pembetatu: A 1 A 2 R, A2 A3 R Nakadhalika.

Ufafanuzi. Polyhedron RA 1 A 2 ...A n, imeundwa na n-mraba A1 A2...A n Na n pembetatu RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 inaitwa n-piramidi ya makaa ya mawe. Mchele. 1.

Mchele. 1

Fikiria piramidi ya quadrangular PABCD(Mchoro 2).

R- juu ya piramidi.

ABCD- msingi wa piramidi.

RA- ubavu wa upande.

AB- ubavu wa msingi.

Kutoka kwa uhakika R hebu tuache perpendicular RN kwa ndege ya msingi ABCD. Perpendicular inayotolewa ni urefu wa piramidi.

Mchele. 2

Uso kamili wa piramidi una uso wa nyuma, ambayo ni, eneo la nyuso zote za nyuma, na eneo la msingi:

S kamili = S upande + S kuu

Piramidi inaitwa sahihi ikiwa:

• msingi wake ni poligoni ya kawaida;
• sehemu inayounganisha juu ya piramidi katikati ya msingi ni urefu wake.

Maelezo kwa kutumia mfano wa piramidi ya kawaida ya quadrangular

Fikiria piramidi ya kawaida ya quadrangular PABCD(Mchoro 3).

R- juu ya piramidi. Msingi wa piramidi ABCD- quadrilateral ya kawaida, yaani, mraba. Nukta KUHUSU, hatua ya makutano ya diagonals, ni katikati ya mraba. Ina maana, RO ni urefu wa piramidi.

Mchele. 3

Maelezo: katika sahihi n Katika pembetatu, katikati ya mduara ulioandikwa na katikati ya mduara sanjari. Kituo hiki kinaitwa kitovu cha poligoni. Wakati mwingine wanasema kwamba vertex inakadiriwa katikati.

Urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwenye vertex yake inaitwa apothem na imeteuliwa h a.

1. kingo zote za upande wa piramidi ya kawaida ni sawa;

2. Nyuso za upande ni pembetatu za isosceles sawa.

Tutatoa uthibitisho wa mali hizi kwa kutumia mfano wa piramidi ya kawaida ya quadrangular.

Imetolewa: PABCD- piramidi ya kawaida ya quadrangular,

ABCD- mraba,

RO- urefu wa piramidi.

Thibitisha:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Tazama Mtini. 4.

Mchele. 4

Ushahidi.

RO- urefu wa piramidi. Hiyo ni, moja kwa moja RO perpendicular kwa ndege ABC, na kwa hiyo moja kwa moja JSC, VO, SO Na FANYA amelala ndani yake. Kwa hivyo pembetatu ROA, ROV, ROS, ROD- mstatili.

Fikiria mraba ABCD. Kutoka kwa mali ya mraba inafuata hiyo AO = VO = CO = FANYA.

Kisha pembetatu sahihi ROA, ROV, ROS, ROD mguu RO- jumla na miguu JSC, VO, SO Na FANYA ni sawa, ambayo ina maana kwamba pembetatu hizi ni sawa kwa pande mbili. Kutoka kwa usawa wa pembetatu hufuata usawa wa sehemu, RA = PB = RS = PD. Pointi 1 imethibitishwa.

Sehemu AB Na Jua ni sawa kwa sababu ni pande za mraba sawa, RA = PB = RS. Kwa hivyo pembetatu AVR Na VSR - isosceles na sawa kwa pande tatu.

Vivyo hivyo tunapata pembetatu ABP, VCP, CDP, DAP ni isosceles na sawa, kama inavyotakiwa kuthibitishwa katika aya ya 2.

Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem:

Ili kuthibitisha hili, hebu tuchague piramidi ya kawaida ya triangular.

Imetolewa: RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular.

AB = BC = AC.

RO- urefu.

Thibitisha: . Tazama Mtini. 5.

Mchele. 5

Ushahidi.

RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular. Hiyo ni AB= AC = KK. Hebu KUHUSU- katikati ya pembetatu ABC, Kisha RO ni urefu wa piramidi. Chini ya piramidi iko pembetatu ya usawa ABC. taarifa, hiyo .

Pembetatu RAV, RVS, RSA-sawa pembetatu za isosceles(kwa mali). U piramidi ya pembetatu nyuso tatu za upande: RAV, RVS, RSA. Hii inamaanisha kuwa eneo la uso wa nyuma wa piramidi ni:

S upande = 3S MBICHI

Nadharia imethibitishwa.

Radi ya duara iliyoandikwa chini ya piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 3 m, urefu wa piramidi ni m 4. Pata eneo la uso wa piramidi.

Imetolewa: piramidi ya kawaida ya quadrangular ABCD,

ABCD- mraba,

r= m 3,

RO- urefu wa piramidi;

RO= 4 m.

Tafuta: S upande. Tazama Mtini. 6.

Mchele. 6

Suluhisho.

Kulingana na nadharia iliyothibitishwa,.

Hebu kwanza tupate upande wa msingi AB. Tunajua kwamba radius ya duara iliyoandikwa chini ya piramidi ya kawaida ya quadrangular ni 3 m.

Kisha, m.

Tafuta eneo la mraba ABCD na upande wa 6 m:

Fikiria pembetatu BCD. Hebu M- katikati ya upande DC. Kwa sababu KUHUSU- katikati BD, Hiyo (m).

Pembetatu DPC- isosceles. M- katikati DC. Hiyo ni, RM- wastani, na kwa hiyo urefu katika pembetatu DPC. Kisha RM- apothem ya piramidi.

RO- urefu wa piramidi. Kisha, moja kwa moja RO perpendicular kwa ndege ABC, na kwa hiyo moja kwa moja OM, amelala ndani yake. Hebu tutafute apothem RM kutoka pembetatu ya kulia ROM.

Sasa tunaweza kupata uso wa nyuma wa piramidi:

Jibu: 60 m2.

Radi ya duara iliyozungukwa kuzunguka msingi wa piramidi ya kawaida ya pembetatu ni sawa na m. Sehemu ya uso wa upande ni 18 m 2. Tafuta urefu wa apothem.

Imetolewa: ABCP- piramidi ya kawaida ya pembetatu,

AB = BC = SA,

R= m,

S upande = 18 m2.

Tafuta:. Tazama Mtini. 7.

Mchele. 7

Suluhisho.

Katika pembetatu ya kulia ABC Radi ya duara iliyozungushwa imetolewa. Tutafute upande AB pembetatu hii kwa kutumia sheria ya sines.

Kujua upande pembetatu ya kawaida(m), wacha tupate eneo lake.

Kwa nadharia juu ya eneo la uso wa piramidi ya kawaida, wapi h a- apothem ya piramidi. Kisha:

Jibu: 4 m.

Kwa hivyo, tuliangalia piramidi ni nini, piramidi ya kawaida ni nini, na tukathibitisha nadharia juu ya uso wa upande wa piramidi ya kawaida. Katika somo linalofuata tutafahamiana na piramidi iliyopunguzwa.

Bibliografia

1. Jiometri. Madarasa ya 10-11: kitabu cha maandishi kwa wanafunzi taasisi za elimu(viwango vya msingi na wasifu) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Toleo la 5., Mch. na ziada - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: mgonjwa.
2. Jiometri. Daraja la 10-11: Kitabu cha maandishi kwa elimu ya jumla taasisi za elimu/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: mgonjwa.
3. Jiometri. Daraja la 10: Kitabu cha kiada kwa taasisi za elimu ya jumla na masomo ya kina na maalum ya hisabati /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Toleo la 6., aina potofu. - M.: Bustard, 008. - 233 p.: mgonjwa.

1. Lango la mtandao "Yaklass" ()
2. Mtandao portal "Tamasha mawazo ya ufundishaji"Kwanza Septemba" ()
3. Lango la mtandao "Slideshare.net" ()

Kazi ya nyumbani

1. Je! poligoni ya kawaida inaweza kuwa msingi wa piramidi isiyo ya kawaida?
2. Thibitisha kuwa kingo zisizounganishwa za piramidi ya kawaida ni za kawaida.
3. Pata thamani ya pembe ya dihedral kwenye upande wa msingi wa piramidi ya kawaida ya quadrangular ikiwa apothem ya piramidi ni sawa na upande wa msingi wake.
4. RAVS- piramidi ya kawaida ya triangular. Tengeneza pembe ya mstari wa pembe ya dihedral kwenye msingi wa piramidi.

Tunaendelea kuzingatia kazi zilizojumuishwa katika Mtihani wa Jimbo Pamoja katika hisabati. Tayari tumejifunza matatizo ambapo hali hiyo inatolewa na inahitajika kupata umbali kati ya pointi mbili zilizotolewa au angle.

Piramidi ni polyhedron, ambayo msingi wake ni poligoni, nyuso zilizobaki ni pembetatu, na zina vertex ya kawaida.

Piramidi ya kawaida ni piramidi ambayo chini yake iko poligoni ya kawaida, na vertex yake inakadiriwa katikati ya msingi.

Piramidi ya kawaida ya quadrangular - msingi ni mraba Juu ya piramidi inakadiriwa kwenye hatua ya makutano ya diagonals ya msingi (mraba).

ML - apothem
∠MLO - pembe ya dihedral kwenye msingi wa piramidi
∠MCO - pembe kati ya makali ya upande na ndege ya msingi wa piramidi

Katika makala hii tutaangalia matatizo ya kutatua piramidi ya kawaida. Unahitaji kupata kipengele fulani, eneo la uso wa upande, kiasi, urefu. Kwa kweli, unahitaji kujua nadharia ya Pythagorean, fomula ya eneo la uso wa piramidi, na formula ya kupata kiasi cha piramidi.

Katika makala "" inatoa fomula ambazo ni muhimu kutatua shida katika sterometri. Kwa hivyo, majukumu:

SABCD nukta O- katikati ya msingi,S kipeo, HIVYO = 51, A.C.= 136. Pata makali ya upandeS.C..

KATIKA kwa kesi hii msingi ni mraba. Hii ina maana kwamba diagonal AC na BD ni sawa, zinaingiliana na zimegawanywa kwa hatua ya makutano. Kumbuka kuwa katika piramidi ya kawaida urefu ulioshuka kutoka juu hupita katikati ya msingi wa piramidi. Kwa hivyo SO ni urefu na pembetatuSOCmstatili. Kisha kulingana na nadharia ya Pythagorean:

Jinsi ya kutoa mizizi kutoka idadi kubwa.

Jibu: 85

Amua mwenyewe:

Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD nukta O- katikati ya msingi, S kipeo, HIVYO = 4, A.C.= 6. Pata makali ya upande S.C..

Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD nukta O- katikati ya msingi, S kipeo, S.C. = 5, A.C.= 6. Tafuta urefu wa sehemu HIVYO.

Katika piramidi ya kawaida ya quadrangular SABCD nukta O- katikati ya msingi, S kipeo, HIVYO = 4, S.C.= 5. Pata urefu wa sehemu A.C..

SABC R- katikati ya mbavu B.C., S- juu. Inajulikana kuwa AB= 7, a S.R.= 16. Pata eneo la uso wa upande.

Eneo la uso wa upande wa piramidi ya kawaida ya pembetatu ni sawa na nusu ya bidhaa ya mzunguko wa msingi na apothem (apothem ni urefu wa uso wa upande wa piramidi ya kawaida inayotolewa kutoka kwa vertex yake):

Au tunaweza kusema hivi: eneo la uso wa nyuma wa piramidi ni sawa na jumla viwanja vitatu kingo za upande. Nyuso za upande katika piramidi ya kawaida ya pembetatu ni pembetatu za eneo sawa. Kwa kesi hii:

Jibu: 168

Amua mwenyewe:

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC R- katikati ya mbavu B.C., S- juu. Inajulikana kuwa AB= 1, a S.R.= 2. Pata eneo la uso wa upande.

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC R- katikati ya mbavu B.C., S- juu. Inajulikana kuwa AB= 1, na eneo la uso wa upande ni 3. Pata urefu wa sehemu S.R..

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC L- katikati ya mbavu B.C., S- juu. Inajulikana kuwa SL= 2, na eneo la uso wa upande ni 3. Pata urefu wa sehemu AB.

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC M. Eneo la pembetatu ABC ni 25, kiasi cha piramidi ni 100. Pata urefu wa sehemu MS.

Msingi wa piramidi ni pembetatu ya usawa. Ndiyo maana Mni katikati ya msingi, naMS- urefu wa piramidi ya kawaidaSABC. Kiasi cha piramidi SABC sawa: angalia suluhisho

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC wapatanishi wa msingi hupishana kwa uhakika M. Eneo la pembetatu ABC sawa na 3, MS= 1. Tafuta kiasi cha piramidi.

Katika piramidi ya kawaida ya triangular SABC wapatanishi wa msingi hupishana kwa uhakika M. Kiasi cha piramidi ni 1, MS= 1. Tafuta eneo la pembetatu ABC.

Tumalizie hapa. Kama unaweza kuona, shida zinatatuliwa kwa hatua moja au mbili. Katika siku zijazo, tutazingatia matatizo mengine kutoka kwa sehemu hii, ambapo miili ya mapinduzi hutolewa, usikose!

Nakutakia mafanikio!

Kwa dhati, Alexander Krutitskikh.

P.S: Ningeshukuru ukiniambia kuhusu tovuti kwenye mitandao ya kijamii.

Kiwango cha kwanza

Piramidi. Mwongozo wa Visual (2019)

Piramidi ni nini?

Je, anaonekanaje?

Unaona: chini ya piramidi (wanasema " kwenye msingi") poligoni fulani, na wima zote za poligoni hii zimeunganishwa kwa sehemu fulani kwenye nafasi (hatua hii inaitwa " kipeo»).

Muundo huu wote bado una nyuso za upande, mbavu za upande Na mbavu za msingi. Kwa mara nyingine tena, wacha tuchore piramidi pamoja na majina haya yote:

Baadhi ya piramidi zinaweza kuonekana za ajabu sana, lakini bado ni piramidi.

Hapa, kwa mfano, ni "oblique" kabisa. piramidi.

Na zaidi kidogo juu ya majina: ikiwa kuna pembetatu chini ya piramidi, basi piramidi inaitwa triangular, ikiwa ni quadrangle, basi quadrangular, na ikiwa ni centagon, basi ... fikiria mwenyewe. .

Wakati huo huo, mahali ambapo ilianguka urefu, kuitwa msingi wa urefu. Tafadhali kumbuka kuwa katika piramidi "zilizopotoka". urefu inaweza hata kuishia nje ya piramidi. Kama hii:

Na hakuna kitu kibaya na hilo. Inaonekana kama pembetatu ya butu.

Piramidi sahihi.

Mengi ya maneno magumu? Wacha tuamue: "Katika msingi - sahihi" - hii inaeleweka. Sasa tukumbuke kwamba poligoni ya kawaida ina kituo - sehemu ambayo ni kitovu cha na , na .

Kweli, maneno "juu inakadiriwa katikati ya msingi" inamaanisha kuwa msingi wa urefu huanguka katikati ya msingi. Angalia jinsi inavyoonekana laini na ya kupendeza piramidi ya kawaida.

Hexagonal: kwa msingi kuna hexagon ya kawaida, vertex inakadiriwa katikati ya msingi.

Umbo la pembe nne: msingi ni mraba, juu inakadiriwa kwa hatua ya makutano ya diagonals ya mraba huu.

Pembetatu: kwa msingi kuna pembetatu ya kawaida, vertex inakadiriwa kwa hatua ya makutano ya urefu (wao pia ni wapatanishi na bisectors) ya pembetatu hii.

Sana Mali muhimu ya piramidi ya kawaida:

Katika piramidi sahihi

• kingo zote za upande ni sawa.
• nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles na pembetatu hizi zote ni sawa.

Kiasi cha piramidi

Njia kuu ya kiasi cha piramidi:

Imetoka wapi hasa? Hii sio rahisi sana, na mwanzoni unahitaji tu kukumbuka kuwa piramidi na koni zina kiasi katika formula, lakini silinda haina.

Sasa hebu tuhesabu kiasi cha piramidi maarufu zaidi.

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa. Tunahitaji kupata na.

Hii ni eneo la pembetatu ya kawaida.

Hebu tukumbuke jinsi ya kutafuta eneo hili. Tunatumia formula ya eneo:

Kwa sisi, "" ni hii, na "" pia ni hii, eh.

Sasa tuipate.

Kulingana na nadharia ya Pythagorean

Tofauti ni ipi? Hii ni circumradius katika kwa sababu piramidisahihi na, kwa hiyo, kituo hicho.

Tangu - hatua ya makutano ya wapatanishi pia.

(Nadharia ya Pythagorean kwa)

Wacha tuibadilishe katika fomula ya.

Na wacha tubadilishe kila kitu kwa fomula ya kiasi:

Tahadhari: ikiwa una tetrahedron ya kawaida (yaani), basi formula inageuka kama hii:

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande sawa.

Hakuna haja ya kuangalia hapa; Baada ya yote, msingi ni mraba, na kwa hiyo.

Tutapata. Kulingana na nadharia ya Pythagorean

Je, tunajua? Karibu. Angalia:

(tumeliona hili kwa kulitazama).

Badilisha katika fomula ya:

Na sasa tunabadilisha na katika fomula ya kiasi.

Hebu upande wa msingi uwe sawa na makali ya upande.

Jinsi ya kupata? Angalia, hexagon ina pembetatu sita zinazofanana za kawaida. Tayari tumetafuta eneo la pembetatu ya kawaida wakati wa kuhesabu kiasi cha piramidi ya kawaida ya pembetatu; hapa tunatumia fomula tuliyopata.

Sasa hebu tupate (hiyo).

Kulingana na nadharia ya Pythagorean

Lakini inajalisha nini? Ni rahisi kwa sababu (na kila mtu mwingine pia) ni sahihi.

Hebu tubadilishe:

\mtindo wa maonyesho V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PYRAMID. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Piramidi ni polihedron ambayo ina poligoni yoyote ya gorofa (), hatua isiyolala kwenye ndege ya msingi (juu ya piramidi) na sehemu zote zinazounganisha juu ya piramidi na pointi za msingi (kingo za upande).

Perpendicular imeshuka kutoka juu ya piramidi hadi ndege ya msingi.

Piramidi sahihi- piramidi ambayo poligoni ya kawaida iko kwenye msingi, na juu ya piramidi inakadiriwa katikati ya msingi.

Mali ya piramidi ya kawaida:

• Katika piramidi ya kawaida, kingo zote za upande ni sawa.
• Nyuso zote za upande ni pembetatu za isosceles na pembetatu hizi zote ni sawa.