Jinsi ya kupata LCM (angalau nyingi nyingi). Jinsi ya kupata idadi ndogo ya kawaida ya nambari mbili


Nyenzo iliyowasilishwa hapa chini ni mwendelezo wa kimantiki wa nadharia kutoka kwa kifungu kinachoitwa LCM - anuwai ya kawaida, ufafanuzi, mifano, uhusiano kati ya LCM na GCD. Hapa tutazungumzia kupata nyingi zaidi ya kawaida (LCM), Na Tahadhari maalum Hebu tuzingatie kutatua mifano. Kwanza, tutaonyesha jinsi LCM ya nambari mbili inavyohesabiwa kwa kutumia GCD ya nambari hizi. Ifuatayo, tutaangalia kupata kizidishio kisicho cha kawaida zaidi kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu. Baada ya hayo, tutazingatia kutafuta LCM ya namba tatu au zaidi, na pia makini na kuhesabu LCM ya namba hasi.

Urambazaji wa ukurasa.

Kukokotoa Angalau Nyingi Za Kawaida (LCM) kupitia GCD

Njia moja ya kupata kizidishio kisicho kawaida ni msingi wa uhusiano kati ya LCM na GCD. Muunganisho uliopo kati ya LCM na GCD huturuhusu kukokotoa kizidishio kisicho cha kawaida kati ya nambari mbili chanya kupitia kubwa zaidi inayojulikana mgawanyiko wa kawaida. Fomula inayolingana ni LCM(a, b)=a b:GCD(a, b) . Wacha tuangalie mifano ya kupata LCM kwa kutumia fomula uliyopewa.

Mfano.

Pata kizidishio cha kawaida zaidi kati ya nambari mbili 126 na 70.

Suluhisho.

Katika mfano huu a=126 , b=70 . Wacha tutumie unganisho kati ya LCM na GCD, iliyoonyeshwa na fomula LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Hiyo ni, kwanza tunapaswa kupata mgawanyiko mkubwa zaidi wa nambari 70 na 126, baada ya hapo tunaweza kuhesabu LCM ya nambari hizi kwa kutumia fomula iliyoandikwa.

Wacha tupate GCD(126, 70) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 126=70·1+56, 70=56·1+14, 56=14·4, kwa hivyo, GCD(126, 70)=14.

Sasa tunapata nyingi zinazohitajika angalau za kawaida: GCD(126, 70)=126·70:GCD(126, 70)= 126·70:14=630.

Jibu:

LCM(126, 70)=630 .

Mfano.

LCM(68, 34) ni sawa na nini?

Suluhisho.

Kwa sababu 68 inaweza kugawanywa na 34, kisha GCD(68, 34)=34. Sasa tunahesabu idadi ndogo ya kawaida: GCD(68, 34)=68·34:GCD(68, 34)= 68·34:34=68.

Jibu:

LCM(68, 34)=68 .

Kumbuka kuwa mfano uliopita unalingana na kanuni ifuatayo ya kutafuta LCM kwa nambari kamili a na b: ikiwa nambari a inaweza kugawanywa kwa b, basi kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi ni a.

Kupata LCM kwa kuweka nambari kuwa sababu kuu

Njia nyingine ya kupata nyingi zaidi ya kawaida ni kwa msingi wa nambari za uainishaji kuwa sababu kuu. Ikiwa utatunga bidhaa kutoka kwa vipengele vyote kuu vya nambari zilizopewa, na kisha uondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote kuu ya kawaida yaliyopo katika mtengano wa nambari zilizotolewa, basi bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari zilizotolewa. .

Sheria iliyotajwa ya kutafuta LCM inafuata kutoka kwa usawa LCM(a, b)=a b:GCD(a, b). Hakika, bidhaa ya nambari a na b ni sawa na bidhaa ya mambo yote yanayohusika katika upanuzi wa nambari a na b. Kwa upande wake, GCD(a, b) ni sawa na bidhaa ya mambo yote kuu yaliyopo wakati huo huo katika upanuzi wa nambari a na b (kama ilivyoelezewa katika sehemu ya kutafuta GCD kwa kutumia upanuzi wa nambari kuwa sababu kuu).

Hebu tutoe mfano. Tujue kuwa 75=3 · 5 · 5 na 210=2 · 3 · 5 · 7. Hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa mambo yote ya upanuzi huu: 2·3·3·5·5·5·7 . Sasa kutoka kwa bidhaa hii tunaondoa mambo yote yaliyopo katika upanuzi wa nambari 75 na upanuzi wa namba 210 (mambo haya ni 3 na 5), ​​basi bidhaa itachukua fomu 2 · 3 · 5 · 5 · 7. . Thamani ya bidhaa hii ni sawa na kizidishio kidogo cha kawaida cha 75 na 210, yaani, NOC(75, 210)= 2·3·5·5·7=1,050.

Mfano.

Weka nambari 441 na 700 kuwa sababu kuu na upate kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari hizi.

Suluhisho.

Wacha tuzingatie nambari 441 na 700 kwa sababu kuu:

Tunapata 441=3 · 3 · 7 · 7 na 700=2 · 2 · 5 · 5 · 7.

Sasa hebu tutengeneze bidhaa kutoka kwa vipengele vyote vinavyohusika katika upanuzi wa nambari hizi: 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7 · 7. Hebu tuondoe kutoka kwa bidhaa hii mambo yote ambayo yanapo wakati huo huo katika upanuzi wote (kuna sababu moja tu - hii ni nambari 7): 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7 · 7. Hivyo, LCM(441, 700)=2·2·3·3·5·5·7·7=44 100.

Jibu:

NOC(441, 700)= 44 100 .

Sheria ya kupata LCM kwa kutumia uainishaji wa nambari kuwa sababu kuu inaweza kutengenezwa kwa njia tofauti kidogo. Ikiwa sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari b zinaongezwa kwa sababu kutoka kwa upanuzi wa nambari a, basi thamani ya bidhaa inayotokana itakuwa sawa na idadi ndogo ya kawaida ya nambari a na b..

Kwa mfano, hebu tuchukue nambari sawa 75 na 210, mtengano wao kuwa sababu kuu ni kama ifuatavyo: 75 = 3 · 5 · 5 na 210 = 2 · 3 · 5 · 7. Kwa sababu 3, 5 na 5 kutoka kwa upanuzi wa nambari 75 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 210, tunapata bidhaa 2 · 3 · 5 · 5 · 7, thamani yake ni. sawa na LCM(75, 210).

Mfano.

Pata kizidishio kidogo cha kawaida cha 84 na 648.

Suluhisho.

Kwanza tunapata mtengano wa nambari 84 na 648 kuwa sababu kuu. Wanafanana na 84=2·2·3·7 na 648=2·2·2·3·3·3·3. Kwa sababu 2, 2, 3 na 7 kutoka kwa upanuzi wa nambari 84 tunaongeza sababu zinazokosekana 2, 3, 3 na 3 kutoka kwa upanuzi wa nambari 648, tunapata bidhaa 2 2 2 3 3 3 3 7, ambayo ni sawa na 4 536 . Kwa hivyo, kizidishio cha kawaida kinachotakikana cha 84 na 648 ni 4,536.

Jibu:

LCM(84, 648)=4,536 .

Kupata LCM ya nambari tatu au zaidi

Kizidishio cha chini kabisa cha nambari tatu au zaidi kinaweza kupatikana kwa kutafuta LCM ya nambari mbili kwa mpangilio. Wacha tukumbuke nadharia inayolingana, ambayo inatoa njia ya kupata LCM ya nambari tatu au zaidi.

Nadharia.

Acha nambari kamili chanya a 1 , a 2 , ..., a k itolewe, m k nyingi ya kawaida kati ya nambari hizi hupatikana kwa kukokotoa kwa mpangilio m 2 = LCM(a 1 , a 2) , m 3 = LCM(m 2 , a 3) , ... , m k = LCM(m k−1 , a k) .

Wacha tuzingatie utumiaji wa nadharia hii kwa kutumia mfano wa kupata nambari ya kawaida zaidi ya nambari nne.

Mfano.

Pata LCM ya nambari nne 140, 9, 54 na 250.

Suluhisho.

Katika mfano huu, 1 =140, a 2 =9, a 3 =54, a 4 =250.

Kwanza tunapata m 2 = LOC(a 1 , a 2) = LOC(140, 9). Ili kufanya hivyo, kwa kutumia algoriti ya Euclidean, tunaamua GCD(140, 9), tuna 140=9·15+5, 9=5·1+4, 5=4·1+1, 4=1·4, kwa hivyo, GCD(140, 9)=1 , kutoka wapi GCD(140, 9)=140 9:GCD(140, 9)= 140·9:1=1,260. Hiyo ni, m 2 =1 260.

Sasa tunapata m 3 = LOC (m 2, a 3) = LOC (1 260, 54). Wacha tuihesabu kupitia GCD(1 260, 54), ambayo pia tunaamua kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 1 260=54·23+18, 54=18·3. Kisha gcd(1,260, 54)=18, ambayo gcd(1,260, 54)= 1,260·54:gcd(1,260, 54)= 1,260·54:18=3,780. Hiyo ni, m 3 =3 780.

Kilichobaki ni kupata m 4 = LOC(m 3, a 4) = LOC(3 780, 250). Ili kufanya hivyo, tunapata GCD(3,780, 250) kwa kutumia algoriti ya Euclidean: 3,780=250·15+30, 250=30·8+10, 30=10·3. Kwa hivyo, GCM(3,780, 250)=10, inatoka wapi GCM(3,780, 250)= 3 780 250: GCD(3 780, 250)= 3,780·250:10=94,500. Hiyo ni, m 4 = 94,500.

Kwa hivyo idadi ndogo zaidi ya nambari nne asili ni 94,500.

Jibu:

LCM(140, 9, 54, 250)=94,500.

Katika hali nyingi, ni rahisi kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari tatu au zaidi kwa kutumia sababu kuu za nambari ulizopewa. Katika kesi hii, unapaswa kufuata sheria zifuatazo. Idadi ndogo ya kawaida ya nambari kadhaa ni sawa na bidhaa, ambayo imeundwa kama ifuatavyo: sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili huongezwa kwa mambo yote kutoka kwa upanuzi wa nambari ya kwanza, sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili. nambari ya tatu huongezwa kwa sababu zinazosababisha, na kadhalika.

Wacha tuangalie mfano wa kupata nyingi zaidi ya kawaida kwa kutumia factorization kuu.

Mfano.

Tafuta idadi ndogo zaidi ya nambari tano 84, 6, 48, 7, 143.

Suluhisho.

Kwanza, tunapata mtengano wa nambari hizi kuwa sababu kuu: 84=2·2·3·7, 6=2·3, 48=2·2·2·2·3, 7 (7 ni nambari kuu, inalingana. na mtengano wake katika mambo makuu) na 143=11 · 13.

Ili kupata LCM ya nambari hizi, kwa sababu za nambari ya kwanza 84 (ni 2, 2, 3 na 7), unahitaji kuongeza sababu zinazokosekana kutoka kwa upanuzi wa nambari ya pili 6. Mtengano wa nambari 6 hauna sababu zinazokosekana, kwani 2 na 3 tayari zipo katika mtengano wa nambari ya kwanza 84. Ifuatayo, kwa sababu 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 2 na 2 kutoka kwa upanuzi wa nambari ya tatu 48, tunapata seti ya mambo 2, 2, 2, 2, 3 na 7. Hakutakuwa na haja ya kuongeza vizidishi kwenye seti hii katika hatua inayofuata, kwani 7 tayari iko ndani yake. Mwishowe, kwa sababu 2, 2, 2, 2, 3 na 7 tunaongeza sababu zinazokosekana 11 na 13 kutoka kwa upanuzi wa nambari 143. Tunapata bidhaa 2 · 2 · 2 · 3 · 7 · 11 · 13, ambayo ni sawa na 48,048.

Jinsi ya kupata nyingi zaidi ya kawaida?

    Tunahitaji kupata kila kipengele cha kila moja ya nambari mbili ambazo tunapata idadi isiyo ya kawaida zaidi, na kisha kuzidisha kwa kila mmoja mambo ambayo yanafanana katika nambari ya kwanza na ya pili. Matokeo ya bidhaa itakuwa nyingi zinazohitajika.

    Kwa mfano, tuna nambari 3 na 5 na tunahitaji kupata LCM (angalau nyingi za kawaida). Sisi haja ya kuzidisha na tatu na tano kwa nambari zote kuanzia 1 2 3 ... na kadhalika hadi tuone nambari sawa katika sehemu zote mbili.

    Zidisha tatu na upate: 3, 6, 9, 12, 15

    Zidisha kwa tano na upate: 5, 10, 15

    Njia kuu ya uainishaji ndio njia bora zaidi ya kupata nambari nyingi za kawaida (LCM) za nambari kadhaa. Njia hii inaonyeshwa wazi na kwa urahisi katika video ifuatayo:

    Kuongeza, kuzidisha, kugawanya, kupunguza kwa denominator ya kawaida na shughuli zingine za hesabu ni shughuli ya kusisimua sana; mifano ambayo inachukua karatasi nzima inavutia sana.

    Kwa hivyo pata nambari ya kawaida ya nambari mbili, ambayo itakuwa nambari ndogo zaidi ambayo nambari mbili zimegawanywa. Ningependa kutambua kuwa sio lazima kugeukia formula katika siku zijazo kupata kile unachotafuta, ikiwa unaweza kuhesabu kichwani mwako (na hii inaweza kufunzwa), basi nambari zenyewe hujitokeza kichwani mwako na. kisha sehemu hupasuka kama karanga.

    Kuanza, hebu tujifunze kwamba unaweza kuzidisha nambari mbili kwa kila mmoja, na kisha kupunguza takwimu hii na kugawanya kwa njia mbadala kwa nambari hizi mbili, kwa hivyo tutapata nyingi ndogo zaidi.

    Kwa mfano, nambari mbili 15 na 6. Zidisha na upate 90. Hii ni nambari kubwa zaidi. Zaidi ya hayo, 15 inaweza kugawanywa na 3 na 6 inaweza kugawanywa na 3, ambayo ina maana sisi pia tunagawanya 90 kwa 3. Tunapata 30. Tunajaribu 30 kugawanya 15 sawa na 2. Na 30 kugawanya 6 sawa na 5. Kwa kuwa 2 ni kikomo, inageuka. kumbuka kuwa idadi ndogo zaidi ya nambari ni 15 na 6 itakuwa 30.

    Kwa idadi kubwa itakuwa ngumu zaidi. lakini ikiwa unajua ni nambari gani zinazotoa salio ya sifuri wakati wa kugawa au kuzidisha, basi, kwa kanuni, hakuna shida kubwa.

  • Jinsi ya kupata NOC

    Hapa kuna video ambayo itakupa njia mbili za kupata nyingi za kawaida (LCM). Baada ya kufanya mazoezi ya kutumia ya kwanza kati ya njia zilizopendekezwa, unaweza kuelewa vyema zaidi ni nini kizidishio cha kawaida zaidi.

    • Ninawasilisha njia nyingine ya kupata nyingi zaidi ya kawaida. Hebu tuangalie kwa mfano wazi.

    Unahitaji kupata LCM ya nambari tatu mara moja: 16, 20 na 28.

    • Tunawakilisha kila nambari kama bidhaa ya sababu zake kuu:
    • Tunaandika nguvu za mambo yote kuu:

    16 = 224 = 2^24^1

    20 = 225 = 2^25^1

    28 = 227 = 2^27^1

    • Tunachagua vigawanyiko vyote vikuu (vizidishi) vilivyo na nguvu kubwa zaidi, kuzizidisha na kupata LCM:

    LCM = 2^24^15^17^1 = 4457 = 560.

    LCM(16, 20, 28) = 560.

    Kwa hiyo, matokeo ya hesabu yalikuwa namba 560. Ni nyingi ya kawaida zaidi, yaani, inaweza kugawanywa kwa kila namba tatu bila salio.

    Nambari isiyo ya kawaida zaidi ni nambari ambayo inaweza kugawanywa katika nambari kadhaa bila kuacha salio. Ili kuhesabu takwimu kama hiyo, unahitaji kuchukua kila nambari na kuitenganisha kwa sababu rahisi. Nambari zinazolingana huondolewa. Huacha kila mtu kwa wakati mmoja, zizidishe kati yao kwa zamu na upate inayotaka - nyingi isiyo ya kawaida.

    NOC, au angalau nyingi za kawaida, ni nambari asilia ndogo kabisa ya nambari mbili au zaidi ambayo inaweza kugawanywa kwa kila nambari zilizotolewa bila salio.

    Hapa kuna mfano wa jinsi ya kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha 30 na 42.

    • Hatua ya kwanza ni kuainisha nambari hizi kuwa sababu kuu.

    Kwa 30 ni 2 x 3 x 5.

    Kwa 42, hii ni 2 x 3 x 7. Kwa kuwa 2 na 3 ni katika upanuzi wa namba 30, tunawavuka.

    • Tunaandika mambo ambayo yanajumuishwa katika upanuzi wa nambari 30. Hii ni 2 x 3 x 5.
    • Sasa tunahitaji kuzizidisha kwa sababu inayokosekana, ambayo tunayo wakati wa kupanua 42, ambayo ni 7. Tunapata 2 x 3 x 5 x 7.
    • Tunapata kile 2 x 3 x 5 x 7 ni sawa na kupata 210.

    Kama matokeo, tunapata kuwa LCM ya nambari 30 na 42 ni 210.

    Ili kupata nyingi zaidi ya kawaida, unahitaji kufanya hatua kadhaa rahisi kwa mlolongo. Wacha tuangalie hii kwa kutumia nambari mbili kama mfano: 8 na 12

    1. Tunaweka nambari zote mbili kuwa sababu kuu: 8=2*2*2 na 12=3*2*2
    2. Tunapunguza mambo sawa ya moja ya nambari. Kwa upande wetu, 2 * 2 sanjari, wacha tuwapunguze kwa nambari 12, basi 12 itakuwa na sababu moja iliyobaki: 3.
    3. Pata bidhaa ya mambo yote iliyobaki: 2*2*2*3=24

    Kuangalia, tunahakikisha kuwa 24 inaweza kugawanywa na 8 na 12, na hii ndiyo nambari asilia ndogo kabisa ambayo inaweza kugawanywa kwa kila moja ya nambari hizi. Tuko hapa imepata nyingi zaidi ya kawaida.

    Nitajaribu kueleza kwa kutumia nambari 6 na 8 kama mfano. Nambari isiyo ya kawaida zaidi ni nambari ambayo inaweza kugawanywa na nambari hizi (kwa upande wetu, 6 na 8) na hakutakuwa na salio.

    Kwa hiyo, kwanza tunaanza kuzidisha 6 kwa 1, 2, 3, nk na 8 kwa 1, 2, 3, nk.

Kigawanyiko kikubwa zaidi cha kawaida

Ufafanuzi 2

Ikiwa nambari asilia a inaweza kugawanywa kwa nambari asilia $b$, basi $b$ inaitwa kigawanyo cha $a$, na $a$ inaitwa kizidishio cha $b$.

Acha $a$ na $b$ ziwe nambari asili. Nambari $c$ inaitwa kigawanyo cha kawaida cha $a$ na $b$.

Seti ya vigawanyo vya kawaida vya nambari $a$ na $b$ ina kikomo, kwa kuwa hakuna kati ya vigawanyiko hivi inayoweza kuwa kubwa kuliko $a$. Hii ina maana kwamba kati ya vigawanyiko hivi kuna kubwa zaidi, ambayo inaitwa kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari $a$ na $b$ na inaonyeshwa na nukuu ifuatayo:

$GCD\(a;b)\ au \D\(a;b)$

Ili kupata kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari mbili unahitaji:

  1. Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.

Mfano 1

Pata gcd ya nambari $121$ na $132.$

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Chagua nambari ambazo zimejumuishwa katika upanuzi wa nambari hizi

    $242=2\cdot 11\cdot 11$

    $132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$

    Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.

    $GCD=2\cdot 11=22$

Mfano 2

Pata gcd ya monomials $63$ na $81$.

Tutapata kulingana na algorithm iliyowasilishwa. Kwa hii; kwa hili:

    Wacha tuzingatie nambari kuwa sababu kuu

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Tunachagua nambari ambazo zimejumuishwa katika upanuzi wa nambari hizi

    $63=3\cdot 3\cdot 7$

    $81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$

    Hebu tupate bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa mgawanyiko wa kawaida unaohitajika.

    $GCD=3\cdot 3=9$

Unaweza kupata gcd ya nambari mbili kwa njia nyingine, kwa kutumia seti ya vigawanyiko vya nambari.

Mfano 3

Pata gcd ya nambari $48$ na $60$.

Suluhisho:

Wacha tupate seti ya vigawanyiko vya nambari $48$: $\left\((\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48)\right\)$

Sasa hebu tutafute seti ya vigawanyiko vya nambari $60$:$\ \left\((\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60)\kulia\) $

Wacha tupate makutano ya seti hizi: $\left\((\rm 1,2,3,4,6,12)\right\)$ - seti hii itaamua seti ya mgawanyiko wa kawaida wa nambari $48$ na $60 $. Kipengele kikubwa zaidi katika seti hii kitakuwa nambari $12$. Hii ina maana kwamba kigawanyo kikuu cha kawaida cha nambari $48$ na $60$ ni $12$.

Ufafanuzi wa NPL

Ufafanuzi 3

Vizidishi vya kawaida nambari za asili $a$ na $b$ ni nambari asilia ambayo ni kizidishio cha $a$ na $b$.

Vizidishio vya kawaida vya nambari ni nambari ambazo zinaweza kugawanywa kwa nambari asili bila salio. Kwa mfano, kwa nambari $25$ na $50$, vizidishio vya kawaida vitakuwa nambari $50,100,150,200$, n.k.

Kizidishio kidogo zaidi cha kawaida kitaitwa kizidishio kisicho cha kawaida na kitaashiria LCM$(a;b)$ au K$(a;b).$

Ili kupata LCM ya nambari mbili, unahitaji:

  1. Fanya nambari kuwa sababu kuu
  2. Andika mambo ambayo ni sehemu ya nambari ya kwanza na ongeza mambo ambayo ni sehemu ya ya pili na sio sehemu ya kwanza.

Mfano 4

Pata LCM ya nambari $99$ na $77$.

Tutapata kulingana na algorithm iliyowasilishwa. Kwa hii; kwa hili

    Fanya nambari kuwa sababu kuu

    $99=3\cdot 3\cdot 11$

    Andika mambo yaliyojumuishwa katika ya kwanza

    ongeza kwao vizidishi ambavyo ni sehemu ya pili na sio sehemu ya kwanza

    Pata bidhaa ya nambari zilizopatikana katika hatua ya 2. Nambari inayotokana itakuwa nyingi inayohitajika angalau ya kawaida

    $NOK=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$

    Kukusanya orodha za vigawanyiko vya nambari mara nyingi ni kazi kubwa sana. Kuna njia ya kupata GCD inayoitwa algorithm ya Euclidean.

    Taarifa ambazo algorithm ya Euclidean inategemea:

    Ikiwa $a$ na $b$ ni nambari asilia, na $a\vdots b$, basi $D(a;b)=b$

    Ikiwa $a$ na $b$ ni nambari za asili kama $b

Kwa kutumia $D(a;b)= D(a-b;b)$, tunaweza kupunguza nambari zinazozingatiwa mfululizo hadi tufikie jozi ya nambari hivi kwamba moja yao inaweza kugawanywa na nyingine. Kisha ndogo zaidi ya nambari hizi itakuwa kigawanyaji kinachohitajika zaidi cha nambari $a$ na $b$.

Sifa za GCD na LCM

  1. Kizidishio chochote cha kawaida cha $a$ na $b$ kinaweza kugawanywa na K$(a;b)$
  2. Ikiwa $a\vdots b$ , basi К$(a;b)=a$

    3. Ikiwa K$(a;b)=k$ na $m$ ni nambari asilia, basi K$(am;bm)=km$

    Ikiwa $d$ ni kigawanyo cha kawaida cha $a$ na $b$, basi K($\frac(a)(d);\frac(b)(d)$)=$\ \frac(k)(d) $

    Ikiwa $a\vdots c$ na $b\vdots c$ , basi $\frac(ab)(c)$ ndio kizidishio cha kawaida cha $a$ na $b$

    Kwa nambari zozote asili $a$ na $b$ usawa unashikilia

    $D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$

    Kigawanyo chochote cha kawaida cha nambari $a$ na $b$ ni kigawanyo cha nambari $D(a;b)$

Lakini nambari nyingi za asili pia zinagawanywa na nambari zingine za asili.

Kwa mfano:

Nambari 12 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12;

Nambari 36 inaweza kugawanywa na 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36.

Nambari ambazo nambari inaweza kugawanywa kwa jumla (kwa 12 hizi ni 1, 2, 3, 4, 6 na 12) zinaitwa. vigawanyiko vya nambari. Kigawanyiko cha nambari ya asili a- ni nambari ya asili inayogawanyika nambari iliyopewa a bila kuwaeleza. Nambari ya asili ambayo ina zaidi ya vigawanyiko viwili inaitwa mchanganyiko .

Tafadhali kumbuka kuwa nambari 12 na 36 zina mambo ya kawaida. Nambari hizi ni: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Kigawanyiko kikubwa zaidi cha nambari hizi ni 12. Kigawanyiko cha kawaida cha nambari hizi mbili. a Na b- hii ndio nambari ambayo nambari zote mbili zimegawanywa bila salio a Na b.

Vizidishi vya kawaida nambari kadhaa ni nambari ambayo inaweza kugawanywa kwa kila moja ya nambari hizi. Kwa mfano, nambari 9, 18 na 45 zina kizidishio cha kawaida cha 180. Lakini 90 na 360 pia ni vizidishio vyao vya kawaida. Miongoni mwa mafungu yote ya kawaida daima kuna ndogo zaidi, in kwa kesi hii hii ni 90. Nambari hii inaitwa mdogo zaidikawaida nyingi (CMM).

LCM kila wakati ni nambari asilia ambayo lazima iwe kubwa kuliko nambari kubwa zaidi ambayo imefafanuliwa.

Angalau nyingi za kawaida (LCM). Mali.

Mawasiliano:

Ushirika:

Hasa, ikiwa na ni nambari za coprime, basi:

Nambari isiyo ya kawaida zaidi ya nambari mbili kamili m Na n ni kigawanyo cha vizidishi vingine vyote vya kawaida m Na n. Aidha, seti ya mafungu ya kawaida m, n sanjari na seti ya mafungu ya LCM( m, n).

Asymptotics ya inaweza kuonyeshwa kulingana na baadhi ya kazi za nadharia ya nambari.

Kwa hiyo, Kazi ya Chebyshev. Na:

Hii inafuatia kutokana na ufafanuzi na sifa za kazi ya Landau g(n).

Ni nini kinachofuata kutoka kwa sheria ya usambazaji wa nambari kuu.

Kupata nyingi za kawaida zaidi (LCM).

NOC( a, b) inaweza kuhesabiwa kwa njia kadhaa:

1. Ikiwa kigawanyo kikuu cha kawaida kinajulikana, unaweza kutumia muunganisho wake na LCM:

2. Acha mtengano wa kisheria wa nambari zote mbili kuwa sababu kuu ujulikane:

Wapi uk 1,..., uk- nambari kuu kadhaa, na d 1,...,d k Na e 1,..., e k— nambari kamili zisizo hasi (zinaweza kuwa sufuri ikiwa msingi unaolingana hauko kwenye upanuzi).

Kisha NOC ( a,b) imehesabiwa na formula:

Kwa maneno mengine, mtengano wa LCM una mambo yote makuu yaliyojumuishwa katika angalau moja ya mtengano wa nambari a, b, na kubwa zaidi kati ya vielelezo viwili vya kizidishi hiki kinachukuliwa.

Mfano:

Kuhesabu idadi ndogo zaidi ya nambari kadhaa kunaweza kupunguzwa hadi hesabu kadhaa za mfululizo za LCM za nambari mbili:

Kanuni. Ili kupata LCM ya safu ya nambari, unahitaji:

- kutengana kwa nambari kuwa sababu kuu;

- kuhamisha upanuzi mkubwa zaidi (bidhaa ya mambo ya bidhaa inayotaka) katika mambo ya bidhaa inayotaka idadi kubwa kutoka kwa wale waliopewa), na kisha kuongeza sababu kutoka kwa upanuzi wa nambari zingine ambazo hazionekani katika nambari ya kwanza au kuonekana ndani yake mara chache;

- bidhaa inayotokana na sababu kuu itakuwa LCM ya nambari zilizopewa.

Nambari zozote mbili au zaidi za asili zina LCM yao wenyewe. Ikiwa nambari sio nyingi za kila mmoja au hazina sababu sawa katika upanuzi, basi LCM yao ni sawa na bidhaa ya nambari hizi.

Sababu kuu za nambari 28 (2, 2, 7) zinaongezewa na sababu ya 3 (nambari 21), bidhaa inayotokana (84) itakuwa. idadi ndogo zaidi, ambayo inaweza kugawanywa na 21 na 28.

Sababu kuu zaidi 30 iliongezewa na kipengele cha 5 cha nambari 25, bidhaa inayotokana na 150 ni kubwa kuliko nambari kubwa zaidi ya 30 na inaweza kugawanywa na nambari zote zilizotolewa bila salio. Hii bidhaa angalau ya iwezekanavyo (150, 250, 300...), ambayo nambari zote zilizopewa ni zidishi.

Nambari 2,3,11,37 ni nambari kuu, kwa hivyo LCM yao ni sawa na bidhaa ya nambari zilizopewa.

Kanuni. Ili kuhesabu LCM ya nambari kuu, unahitaji kuzidisha nambari hizi zote pamoja.

Chaguo jingine:

Ili kupata idadi ndogo ya kawaida (LCM) ya nambari kadhaa unahitaji:

1) kuwakilisha kila nambari kama bidhaa ya mambo yake kuu, kwa mfano:

504 = 2 2 2 3 3 7,

2) andika nguvu za mambo yote kuu:

504 = 2 2 2 3 3 7 = 2 3 3 2 7 1,

3) andika vigawanyiko vyote vikuu (vizidishi) vya kila nambari hizi;

4) chagua kiwango kikubwa zaidi cha kila mmoja wao, kinachopatikana katika upanuzi wote wa nambari hizi;

5) kuzidisha nguvu hizi.

Mfano. Pata LCM ya nambari: 168, 180 na 3024.

Suluhisho. 168 = 2 2 2 3 7 = 2 3 3 1 7 1,

180 = 2 2 3 3 5 = 2 2 3 2 5 1,

3024 = 2 2 2 2 3 3 3 7 = 2 4 3 3 7 1.

Tunaandika nguvu kuu za wagawanyaji wakuu na kuzizidisha:

NOC = 2 4 3 3 5 1 7 1 = 15120.

Ili kuelewa jinsi ya kuhesabu LCM, lazima kwanza uamua maana ya neno "nyingi".


Kizidishio cha A ni nambari asilia ambayo inaweza kugawanywa na A bila salio. Kwa hivyo, nambari ambazo ni zidishi za 5 zinaweza kuzingatiwa 15, 20, 25, na kadhalika.


Kunaweza kuwa na vigawanyiko vya nambari maalum kiasi kidogo, lakini kuna idadi isiyo na kikomo ya vizidishio.


Nambari ya kawaida ya nambari asilia ni nambari ambayo inaweza kugawanywa nao bila kuacha salio.

Jinsi ya kupata idadi isiyo ya kawaida ya nambari

Nambari isiyo ya kawaida (LCM) ya nambari (mbili, tatu au zaidi) ni nambari asilia ndogo ambayo inaweza kugawanywa kwa nambari hizi zote.


Ili kupata LOC, unaweza kutumia njia kadhaa.


Kwa nambari ndogo, ni rahisi kuandika safu zote za nambari hizi kwenye mstari hadi utapata kitu cha kawaida kati yao. Nyingi zimeonyeshwa kwenye nukuu herufi kubwa KWA.


Kwa mfano, mafungu ya 4 yanaweza kuandikwa kama hii:


K (4) = (8,12, 16, 20, 24, ...)


K (6) = (12, 18, 24, ...)


Kwa hivyo, unaweza kuona kwamba kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 4 na 6 ni nambari 24. Nukuu hii inafanywa kama ifuatavyo:


LCM(4, 6) = 24


Ikiwa nambari ni kubwa, pata nambari ya kawaida ya nambari tatu au zaidi, basi ni bora kutumia njia nyingine ya kuhesabu LCM.


Ili kukamilisha kazi, unahitaji kujumuisha nambari ulizopewa kuwa sababu kuu.


Kwanza unahitaji kuandika mtengano wa nambari kubwa kwenye mstari, na chini yake - iliyobaki.


Mtengano wa kila nambari unaweza kuwa na idadi tofauti ya sababu.


Kwa mfano, hebu tuzingatie nambari 50 na 20 kwa sababu kuu.




Katika upanuzi wa nambari ndogo, unapaswa kuonyesha sababu ambazo hazipo katika upanuzi wa nambari kubwa ya kwanza, na kisha uwaongeze. Katika mfano uliowasilishwa, mbili hazipo.


Sasa unaweza kukokotoa kizidishio kidogo cha kawaida cha 20 na 50.


LCM(20, 50) = 2 * 5 * 5 * 2 = 100


Kwa hivyo, bidhaa za sababu kuu za nambari kubwa na sababu za nambari ya pili ambazo hazikujumuishwa katika upanuzi wa nambari kubwa zitakuwa nyingi za kawaida zaidi.


Ili kupata LCM ya nambari tatu au zaidi, unapaswa kuziweka zote katika sababu kuu, kama katika kesi iliyopita.


Kwa mfano, unaweza kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari 16, 24, 36.


36 = 2 * 2 * 3 * 3


24 = 2 * 2 * 2 * 3


16 = 2 * 2 * 2 * 2


Kwa hivyo, mbili tu kutoka kwa upanuzi wa kumi na sita hazijumuishwa katika factorization ya idadi kubwa (moja ni katika upanuzi wa ishirini na nne).


Kwa hivyo, wanahitaji kuongezwa kwa upanuzi wa idadi kubwa zaidi.


LCM(12, 16, 36) = 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 2 = 9


Kuna matukio maalum ya kuamua nyingi za kawaida zaidi. Kwa hivyo, ikiwa moja ya nambari inaweza kugawanywa bila salio na nyingine, basi kubwa zaidi ya nambari hizi itakuwa nyingi zaidi ya kawaida.


Kwa mfano, LCM ya kumi na mbili na ishirini na nne ni ishirini na nne.


Iwapo ni muhimu kupata kizidishio cha kawaida zaidi cha nambari za coprime ambazo hazina vigawanyiko vinavyofanana, basi LCM yao itakuwa sawa na bidhaa zao.


Kwa mfano, LCM (10, 11) = 110.

Inapakia...Inapakia...