Sio tu katika mtafsiri wa mtandaoni.
Lango la Dhahabu ni ishara ya Kyiv, moja ya mifano ya zamani zaidi ya usanifu ambayo imesalia hadi leo. Lango la Dhahabu la Kyiv lilijengwa chini ya mkuu maarufu wa Kiev Yaroslav the Wise mnamo 1164. Hapo awali ziliitwa Kusini na zilikuwa sehemu ya mfumo wa ngome za kujihami za jiji, kwa kweli hazina tofauti na milango mingine ya walinzi ya jiji. Lilikuwa Lango la Kusini ambalo Metropolitan wa kwanza wa Urusi Hilarion aliliita “Kubwa” katika “Mahubiri ya Sheria na Neema” yake. Baada ya Kanisa kuu la Hagia Sophia kujengwa, Lango "Kubwa" likawa lango kuu la ardhi la Kyiv kutoka upande wa kusini-magharibi. Akitambua umaana wao, Yaroslav the Hekima aliamuru kujengwa kwa Kanisa dogo la Matamshi juu ya malango ili kulipa ushuru kwa dini kuu ya Kikristo katika jiji hilo na huko Rus. Kuanzia wakati huo na kuendelea, vyanzo vyote vya historia ya Urusi vilianza kuita Lango la Kusini la Kyiv Lango la Dhahabu. Upana wa lango ulikuwa mita 7.5, urefu wa njia ulikuwa meta 12, na urefu ulikuwa karibu mita 25.
le sport ce n"est pas seulement des cours de gym. C"est aussi sauter toujours plus haut nager jouer au ballon danser. le sport développé ton corps et aussi ton cerveau. Quand tu prends l"escalier et non pas l"ascenseur tu fais du sport. Wewe pia ni fais une cabane dans un arbre tu fais du sport. Unaweza pia kuwa na popo kwa ajili ya mchezo. Quand tu cours, parce que tu es en retard a l"ecole, tu fais du sport.
Tukio ni matokeo ya mtihani. Tukio ni nini? Mpira mmoja unachukuliwa bila mpangilio kutoka kwa urn. Kurejesha mpira kutoka kwa urn ni mtihani. Kuonekana kwa mpira wa rangi fulani ni tukio. Katika nadharia ya uwezekano, tukio linaeleweka kama jambo ambalo, baada ya wakati fulani, moja tu ya mambo mawili yanaweza kusemwa. Ndiyo, ilitokea. Hapana, haikutokea. Matokeo yanayowezekana ya jaribio huitwa tukio la msingi, na seti ya matokeo kama haya inaitwa tu tukio.
Matukio yasiyotabirika huitwa nasibu. Tukio linaitwa nasibu ikiwa, chini ya hali sawa, linaweza kutokea au haliwezi kutokea. Wakati wa kusonga kete, matokeo yatakuwa sita. Nina tikiti ya bahati nasibu. Baada ya matokeo ya bahati nasibu kuchapishwa, tukio ambalo linanivutia - kushinda rubles elfu - ama hutokea au haifanyiki. Mfano.
Matukio mawili ambayo, chini ya hali fulani, yanaweza kutokea wakati huo huo yanaitwa pamoja, na yale ambayo hayawezi kutokea wakati huo huo yanaitwa yasiokubaliana. Sarafu inatupwa. Kuonekana kwa "kanzu ya silaha" haijumuishi kuonekana kwa uandishi. Matukio "kanzu ya mikono ilionekana" na "maandishi yalionekana" hayaendani. Mfano.
Tukio ambalo hutokea daima linaitwa kuaminika. Tukio ambalo haliwezi kutokea linaitwa haliwezekani. Kwa mfano, tuseme mpira umechorwa kutoka kwenye mkojo ulio na mipira nyeusi pekee. Kisha kuonekana kwa mpira mweusi ni tukio la kuaminika; kuonekana kwa mpira mweupe ni tukio lisilowezekana. Mifano. Hakutakuwa na theluji mwaka ujao. Wakati wa kupiga kete, matokeo yatakuwa saba. Haya ni matukio yasiyowezekana. Kutakuwa na theluji mwaka ujao. Unaposonga kete, utapata nambari chini ya saba. Kuchomoza kwa jua kila siku. Haya ni matukio ya kuaminika.
Kutatua matatizo Kwa kila moja ya matukio yaliyoelezwa, tambua ni nini: haiwezekani, kuaminika au random. 1. Kati ya wanafunzi 25 darasani, wawili husherehekea siku yao ya kuzaliwa a) Januari 30; b) Februari 30. 2. Kitabu cha kiada cha fasihi kinafungua kwa nasibu na neno la pili linapatikana kwenye ukurasa wa kushoto. Neno hili linaanza: a) na herufi "K"; b) kuanzia na herufi "Ъ".
3. Leo katika Sochi barometer inaonyesha shinikizo la kawaida la anga. Katika kesi hii: a) maji kwenye sufuria huchemshwa kwa joto la 80º C; b) halijoto iliposhuka hadi -5º C, maji kwenye dimbwi yaliganda. 4. Kete mbili hutupwa: a) kete ya kwanza inaonyesha pointi 3, na ya pili - pointi 5; b) jumla ya pointi zilizovingirwa kwenye kete mbili ni 1; c) jumla ya pointi zilizovingirwa kwenye kete mbili ni 13; d) kete zote mbili zilipata pointi 3; e) jumla ya pointi kwenye kete mbili ni chini ya 15. Utatuzi wa matatizo
5. Ulifungua kitabu kwenye ukurasa wowote na kusoma nomino ya kwanza uliyokutana nayo. Ilibadilika kuwa: a) tahajia ya neno lililochaguliwa ina vokali; b) tahajia ya neno lililochaguliwa ina herufi "O"; c) hakuna vokali katika tahajia ya neno lililochaguliwa; d) kuna ishara laini katika tahajia ya neno lililochaguliwa. Kutatua tatizo
darasa la 5. Utangulizi wa Uwezekano (saa 4)
(maendeleo ya masomo 4 juu ya mada hii)
Malengo ya kujifunza : - kuanzisha ufafanuzi wa tukio la random, la kuaminika na lisilowezekana;
Toa maoni ya kwanza juu ya kutatua shida za ujumuishaji: kutumia mti wa chaguzi na sheria ya kuzidisha.
Lengo la elimu: maendeleo ya mtazamo wa ulimwengu wa wanafunzi.
Lengo la maendeleo : maendeleo ya mawazo ya anga, uboreshaji wa ujuzi wa kufanya kazi na mtawala.
Matukio ya kuaminika, yasiyowezekana na ya nasibu (masaa 2)
Shida za Mchanganyiko (saa 2)
Matukio ya kuaminika, yasiyowezekana na ya nasibu.
Somo la kwanza
Vifaa vya somo: kete, sarafu, backgammon.
Maisha yetu kwa kiasi kikubwa yana ajali. Kuna sayansi kama "Nadharia ya Uwezekano". Kwa kutumia lugha yake, unaweza kuelezea matukio na hali nyingi.
Hata kiongozi wa zamani alielewa kuwa wawindaji kadhaa walikuwa na "uwezekano" mkubwa wa kumpiga bison na mkuki kuliko mmoja. Ndiyo maana waliwinda kwa pamoja wakati ule.
Makamanda wa zamani kama vile Alexander the Great au Dmitry Donskoy, wakijiandaa kwa vita, hawakutegemea tu shujaa na sanaa ya wapiganaji, bali pia kwa bahati.
Watu wengi wanapenda hesabu kwa ukweli wa milele: mara mbili mbili ni nne kila wakati, jumla ya nambari hata ni sawa, eneo la mstatili ni sawa na bidhaa ya pande zake za karibu, nk. Katika shida yoyote unayosuluhisha, kila mtu. hupata jibu sawa - unahitaji tu kutofanya makosa katika uamuzi.
Maisha ya kweli sio rahisi na ya moja kwa moja. Matokeo ya matukio mengi hayawezi kutabiriwa mapema. Haiwezekani, kwa mfano, kusema kwa uhakika ni upande gani sarafu iliyotupwa itaanguka, wakati theluji ya kwanza itaanguka mwaka ujao, au ni watu wangapi katika jiji watataka kupiga simu ndani ya saa inayofuata. Matukio kama haya yasiyotabirika yanaitwa nasibu .
Walakini, bahati pia ina sheria zake, ambazo huanza kujidhihirisha wakati matukio ya nasibu yanarudiwa mara nyingi. Ikiwa unatupa sarafu mara 1000, itakuja vichwa takriban nusu ya wakati, ambayo sivyo kwa tosses mbili au hata kumi. "Takriban" haimaanishi nusu. Hii kwa ujumla inaweza kuwa hivyo au isiwe hivyo. Sheria haisemi chochote kwa hakika, lakini inatoa kiwango fulani cha imani kwamba tukio fulani la nasibu litatokea. Mifumo kama hii inasomwa na tawi maalum la hisabati - Nadharia ya uwezekano . Kwa msaada wake, unaweza kutabiri kwa kiwango kikubwa cha kujiamini (lakini bado si kwa uhakika) tarehe ya theluji ya kwanza na idadi ya simu.
Nadharia ya uwezekano ina uhusiano usioweza kutenganishwa na maisha yetu ya kila siku. Hii inatupa fursa nzuri ya kuanzisha sheria nyingi za uwezekano kwa majaribio, kurudia majaribio ya nasibu mara nyingi. Nyenzo za majaribio haya mara nyingi zitakuwa sarafu ya kawaida, kete, seti ya domino, backgammon, roulette, au hata staha ya kadi. Kila moja ya vitu hivi inahusiana na michezo kwa njia moja au nyingine. Ukweli ni kwamba kesi inaonekana hapa kwa fomu yake ya mara kwa mara. Na kazi za kwanza za uwezekano zilihusiana na kutathmini nafasi za wachezaji kushinda.
Nadharia ya kisasa ya uwezekano imeachana na kamari, lakini vifaa vyake bado vinasalia kuwa chanzo rahisi na cha kuaminika zaidi cha bahati nasibu. Baada ya kufanya mazoezi na roulette na kete, utajifunza kuhesabu uwezekano wa matukio ya bahati nasibu katika hali halisi ya maisha, ambayo itakuruhusu kutathmini nafasi zako za kufaulu, kujaribu nadharia, na kufanya maamuzi bora sio tu katika michezo na bahati nasibu.
Wakati wa kutatua shida za uwezekano, kuwa mwangalifu sana, jaribu kuhalalisha kila hatua unayochukua, kwa sababu hakuna eneo lingine la hisabati ambalo lina vitendawili vingi. Kama nadharia ya uwezekano. Na labda maelezo kuu ya hii ni uhusiano wake na ulimwengu wa kweli tunamoishi.
Michezo mingi hutumia kidirisha chenye idadi tofauti ya vitone vilivyowekwa alama kila upande kuanzia 1 hadi 6. Mchezaji hutupa kete, huangalia ni nukta ngapi zinaonekana (upande ulio juu), na hufanya idadi inayolingana ya miondoko. : 1,2,3 ,4,5, au 6. Kutupa kifo kunaweza kuchukuliwa kuwa uzoefu, jaribio, mtihani, na matokeo yaliyopatikana yanaweza kuchukuliwa kuwa tukio. Kwa kawaida watu wanapendezwa sana na nadhani tukio la hili au tukio hilo na kutabiri matokeo yake. Je, ni ubashiri gani wanaweza kufanya wanapokunja kete? Utabiri wa kwanza: moja ya nambari 1,2,3,4,5, au 6 itatokea.Je, unafikiri tukio lililotabiriwa litatokea au la? Bila shaka, hakika itakuja. Tukio ambalo hakika litatokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la kuaminika.
Utabiri wa pili : namba 7 itatokea.Unadhani tukio lililotabiriwa litatokea au la? Kwa kweli, haitatokea, haiwezekani. Tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio lisilowezekana.
Utabiri wa tatu : nambari 1 itaonekana. Je, unafikiri tukio lililotabiriwa lilitokea au la? Hatuwezi kujibu swali hili kwa uhakika kamili, kwani tukio lililotabiriwa linaweza kutokea au lisitokee. Tukio ambalo linaweza kutokea au haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa tukio la nasibu.
Zoezi : Eleza matukio yaliyojadiliwa katika kazi zilizo hapa chini. Kama fulani, haiwezekani au nasibu.
Wacha tupige sarafu. Kanzu ya mikono ilionekana. (nasibu)
Mwindaji alimpiga risasi mbwa mwitu na kumpiga. (nasibu)
Mtoto wa shule huenda kwa matembezi kila jioni. Akiwa anatembea siku ya Jumatatu, alikutana na marafiki watatu. (nasibu)
Wacha tufanye kiakili jaribio lifuatalo: pindua glasi ya maji chini. Ikiwa jaribio hili halifanyiki angani, lakini nyumbani au darasani, basi maji yatamwagika. (ya kuaminika)
Risasi tatu zilifyatuliwa kulengwa." Kulikuwa na hits tano" (haiwezekani)
Tupa jiwe juu. Jiwe linabaki kuning'inia angani. (haiwezekani)
Tunapanga upya herufi za neno "antagonism" bila mpangilio. Matokeo yake ni neno "anachroism." (haiwezekani)
№959. Petya alifikiria nambari ya asili. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) nambari iliyo sawa imekusudiwa; (nasibu) b) nambari isiyo ya kawaida inakusudiwa; (nasibu)
c) nambari inatungwa ambayo sio sawa au isiyo ya kawaida; (haiwezekani)
d) nambari inatungwa ambayo ni sawa au isiyo ya kawaida. (ya kuaminika)
№ 961. Petya na Tolya kulinganisha siku zao za kuzaliwa. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) siku zao za kuzaliwa hazilingani; (nasibu) b) siku zao za kuzaliwa ni sawa; (nasibu)
d) siku zao zote za kuzaliwa huanguka likizo - Mwaka Mpya (Januari 1) na Siku ya Uhuru wa Kirusi (Juni 12). (nasibu)
№ 962. Wakati wa kucheza backgammon, kete mbili hutumiwa. Idadi ya hatua ambazo mshiriki katika mchezo hufanya imedhamiriwa kwa kuongeza nambari kwenye pande mbili za mchemraba unaoanguka, na ikiwa "mara mbili" imevingirishwa (1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + 5.6 + 6) ), basi idadi ya hatua huongezeka maradufu. Unasonga kete na ujue ni hatua ngapi unapaswa kufanya. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) lazima ufanye hatua moja; b) lazima ufanye hatua 7;
c) lazima ufanye hatua 24; d) lazima ufanye hatua 13.
a) - haiwezekani (hoja 1 inaweza kufanywa ikiwa mchanganyiko 1 + 0 umevingirwa, lakini hakuna nambari 0 kwenye kete).
b) - nasibu (ikiwa 1 + 6 au 2 + 5 imevingirwa).
c) - random (ikiwa mchanganyiko 6 +6 inaonekana).
d) - haiwezekani (hakuna mchanganyiko wa nambari kutoka 1 hadi 6, jumla ambayo ni 13; nambari hii haiwezi kupatikana hata wakati "mara mbili" imevingirwa, kwa kuwa ni isiyo ya kawaida).
Jiangalie. (amri ya hisabati)
1) Onyesha ni matukio gani kati ya yafuatayo hayawezekani, ambayo ni ya kuaminika, ambayo ni ya nasibu:
Mechi ya mpira wa miguu "Spartak" - "Dynamo" itaisha kwa sare. (nasibu)
Utashinda kwa kushiriki katika bahati nasibu ya kushinda-kushinda (inayoaminika)
Theluji itaanguka usiku wa manane na jua litaangaza masaa 24 baadaye. (haiwezekani)
Kesho kutakuwa na mtihani wa hesabu. (nasibu)
Utachaguliwa kuwa Rais wa Marekani. (haiwezekani)
Utachaguliwa kuwa rais wa Urusi. (nasibu)
2) Ulinunua TV kwenye duka, ambayo mtengenezaji hutoa dhamana ya miaka miwili. Ni yapi kati ya matukio yafuatayo hayawezekani, ambayo ni ya nasibu, ambayo yanaaminika:
TV haitavunjika kwa mwaka. (nasibu)
TV haitavunjika kwa miaka miwili. (nasibu)
Hutalazimika kulipia matengenezo ya TV kwa miaka miwili. (ya kuaminika)
TV itavunjika katika mwaka wa tatu. (nasibu)
3) Basi linalobeba abiria 15 linapaswa kusimama mara 10. Ni yapi kati ya matukio yafuatayo hayawezekani, ambayo ni ya nasibu, ambayo yanaaminika:
Abiria wote watashuka kwenye basi katika vituo tofauti. (haiwezekani)
Abiria wote watashuka kwenye kituo kimoja. (nasibu)
Katika kila kituo angalau mtu atashuka. (nasibu)
Kutakuwa na kituo ambapo hakuna mtu anayeshuka. (nasibu)
Idadi iliyo sawa ya abiria itashuka katika vituo vyote. (haiwezekani)
Idadi isiyo ya kawaida ya abiria itashuka katika vituo vyote. (haiwezekani)
Kazi ya nyumbani : p. 53 No. 960, 963, 965 (kuja na matukio mawili ya kuaminika, ya random na haiwezekani mwenyewe).
Somo la pili.
Kuangalia kazi ya nyumbani. (kwa mdomo)
a) Eleza matukio fulani, nasibu na yasiyowezekana ni yapi.
b) Onyesha ni tukio gani kati ya yafuatayo linalotegemewa, ambalo haliwezekani, ambalo ni la nasibu:
Hakutakuwa na likizo ya majira ya joto. (haiwezekani)
Sandwich itaanguka upande wa siagi chini. (nasibu)
Mwaka wa shule utaisha siku moja. (ya kuaminika)
Wataniuliza darasani kesho. (nasibu)
Leo nitakutana na paka mweusi. (nasibu)
№ 960. Ulifungua kitabu hiki kwa ukurasa wowote na ukachagua nomino ya kwanza iliyojitokeza. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) kuna vokali katika tahajia ya neno lililoteuliwa. ((ya kuaminika)
b) tahajia ya neno lililochaguliwa ina herufi "o". (nasibu)
c) hakuna vokali katika tahajia ya neno lililochaguliwa. (haiwezekani)
d) kuna ishara laini katika tahajia ya neno lililochaguliwa. (nasibu)
№ 963. Unacheza backgammon tena. Eleza tukio lifuatalo:
a) mchezaji lazima afanye si zaidi ya hatua mbili. (haiwezekani - na mchanganyiko wa nambari ndogo zaidi 1 + 1 mchezaji hufanya hatua 4; mchanganyiko wa 1 + 2 hutoa hatua 3; michanganyiko mingine yote hutoa zaidi ya hatua 3)
b) mchezaji lazima afanye zaidi ya hatua mbili. (inayoaminika - mchanganyiko wowote hutoa hatua 3 au zaidi)
c) mchezaji lazima afanye si zaidi ya 24 hatua. (inayoaminika - mchanganyiko wa nambari kubwa zaidi 6 + 6 inatoa hatua 24, na zingine zote hutoa chini ya hatua 24)
d) mchezaji lazima atengeneze nambari ya tarakimu mbili ya hatua. (nasibu - kwa mfano, mchanganyiko 2 + 3 hutoa nambari ya tarakimu moja ya hatua: 5, na kukunja nne nne kunatoa nambari ya tarakimu mbili ya hatua)
2. Utatuzi wa matatizo.
№ 964. Kuna mipira 10 kwenye begi: 3 bluu, 3 nyeupe na 4 nyekundu. Eleza tukio lifuatalo:
a) Mipira 4 ilichukuliwa kutoka kwenye mfuko, na wote ni bluu; (haiwezekani)
b) Mipira 4 ilichukuliwa kutoka kwenye mfuko, na wote ni nyekundu; (nasibu)
c) Mipira 4 ilitolewa nje ya mfuko, na wote waligeuka kuwa rangi tofauti; (haiwezekani)
d) Mipira 4 ilitolewa kwenye begi, na kati yao hakukuwa na mpira mweusi. (inayotegemewa)
Jukumu la 1. Sanduku lina kalamu 10 nyekundu, 1 kijani na 2 za bluu. Vitu viwili vinachorwa bila mpangilio kutoka kwa kisanduku. Ni yapi kati ya matukio yafuatayo hayawezekani, ambayo ni ya nasibu, ambayo ni hakika:
a) kalamu mbili nyekundu hutolewa nje (nasibu)
b) vipini viwili vya kijani vinachukuliwa nje; (haiwezekani)
c) kalamu mbili za bluu hutolewa nje; (nasibu)
d) Hushughulikia ya rangi mbili tofauti hutolewa nje; (nasibu)
e) vipini viwili vinaondolewa; (inayotegemewa)
f) penseli mbili hutolewa nje. (haiwezekani)
Jukumu la 2. Winnie the Pooh, Piglet na kila mtu - kila mtu - kila mtu anaketi kwenye meza ya pande zote kusherehekea siku yake ya kuzaliwa. Ni kwa idadi gani ya yote - yote - yote ni tukio la "Winnie the Pooh na Piglet ameketi karibu na kila mmoja" linaaminika, na ni kwa nambari gani?
(ikiwa kuna 1 tu ya yote - yote - yote, basi tukio hilo ni la kuaminika, ikiwa kuna zaidi ya 1, basi ni random).
Jukumu la 3. Kati ya tikiti 100 za bahati nasibu ya hisani, 20 ndizo zilizoshinda. Je, unahitaji kununua tikiti ngapi ili kufanya tukio la "hutashinda chochote" lisiwezekane?
Jukumu la 4. Kuna wavulana 10 na wasichana 20 darasani. Ni ipi kati ya matukio yafuatayo ambayo hayawezekani kwa darasa hili, ambayo ni ya nasibu, ambayo ni ya kuaminika
Kuna watu wawili darasani ambao walizaliwa katika miezi tofauti. (nasibu)
Kuna watu wawili darasani ambao walizaliwa mwezi mmoja. (ya kuaminika)
Kuna wavulana wawili darasani ambao walizaliwa mwezi mmoja. (nasibu)
Kuna wasichana wawili darasani ambao walizaliwa mwezi mmoja. (ya kuaminika)
Wavulana wote walizaliwa katika miezi tofauti. (ya kuaminika)
Wasichana wote walizaliwa katika miezi tofauti. (nasibu)
Kuna mvulana na msichana waliozaliwa mwezi mmoja. (nasibu)
Kuna mvulana na msichana waliozaliwa katika miezi tofauti. (nasibu)
Jukumu la 5. Kuna mipira 3 nyekundu, 3 ya njano, 3 ya kijani kwenye sanduku. Tunatoa mipira 4 kwa nasibu. Fikiria tukio "Kati ya mipira iliyochorwa kutakuwa na mipira ya rangi M." Kwa kila M kutoka 1 hadi 4, tambua ni aina gani ya tukio - haiwezekani, ya kuaminika au ya nasibu, na ujaze jedwali:
Kazi ya kujitegemea.
Ichaguo
a) nambari ya siku ya kuzaliwa ya rafiki yako ni chini ya 32;
c) kesho kutakuwa na mtihani katika hisabati;
d) Mwaka ujao theluji ya kwanza huko Moscow itaanguka Jumapili.
Kurusha kete. Eleza tukio:
a) mchemraba, umeanguka, utasimama kwenye makali yake;
b) moja ya nambari itaonekana: 1, 2, 3, 4, 5, 6;
c) nambari ya 6 itaonekana;
d) nambari ambayo ni nyingi ya 7 itaviringishwa.
Sanduku lina mipira 3 nyekundu, 3 ya manjano na 3 ya kijani kibichi. Eleza tukio:
a) mipira yote inayotolewa ni ya rangi sawa;
b) mipira yote inayotolewa ni ya rangi tofauti;
c) kati ya mipira inayotolewa kuna mipira ya rangi tofauti;
c) kati ya mipira inayotolewa kuna mpira nyekundu, njano na kijani.
IIchaguo
Eleza tukio husika kama la kuaminika, lisilowezekana au la bahati mbaya:
a) sandwich inayoanguka kwenye meza itaanguka kifudifudi kwenye sakafu;
b) theluji itaanguka huko Moscow usiku wa manane, na baada ya masaa 24 jua litawaka;
c) utashinda kwa kushiriki katika bahati nasibu ya kushinda-kushinda;
d) mwaka ujao mnamo Mei radi ya kwanza ya chemchemi itasikika.
Nambari zote za tarakimu mbili zimeandikwa kwenye kadi. Kadi moja huchaguliwa bila mpangilio. Eleza tukio:
a) kulikuwa na sifuri kwenye kadi;
b) kulikuwa na nambari kwenye kadi ambayo ilikuwa nyingi ya 5;
c) kulikuwa na nambari kwenye kadi ambayo ilikuwa nyingi ya 100;
d) kulikuwa na nambari kwenye kadi kubwa kuliko 9 na chini ya 100.
Sanduku lina kalamu 10 nyekundu, 1 kijani na 2 za bluu. Vitu viwili vinachorwa bila mpangilio kutoka kwa kisanduku. Eleza tukio:
a) kalamu mbili za bluu hutolewa nje;
b) kalamu mbili nyekundu hutolewa nje;
c) vipini viwili vya kijani vinachukuliwa nje;
d) vipini vya kijani na nyeusi vinatolewa.
Kazi ya nyumbani: 1). Njoo na matukio mawili ya kuaminika, ya nasibu na yasiyowezekana.
2). Kazi . Kuna mipira 3 nyekundu, 3 ya njano, 3 ya kijani kwenye sanduku. Tunachora mipira N bila mpangilio. Fikiria tukio "kati ya mipira iliyochorwa kutakuwa na mipira ya rangi tatu haswa." Kwa kila N kutoka 1 hadi 9, tambua ni aina gani ya tukio - haiwezekani, kuaminika au nasibu, na ujaze jedwali:
Matatizo ya kuchanganya.
Somo la kwanza
Kuangalia kazi ya nyumbani. (kwa mdomo)
a) tunachunguza matatizo ambayo wanafunzi walikuja nayo.
b) kazi ya ziada.
Ninasoma sehemu ya kitabu cha V. Levshin “Three Days in Karlikania.”
"Mwanzoni, kwa sauti za waltz laini, nambari ziliunda kikundi: 1 + 3 + 4 + 2 = 10. Kisha vijana wa skaters walianza kubadilisha maeneo, na kuunda vikundi vipya zaidi na zaidi: 2 + 3 + 4 + 1 = 10
3 + 1 + 2 + 4 = 10
4 + 1 + 3 + 2 = 10
1 + 4 + 2 + 3 = 10, nk.
Hii iliendelea hadi wachezaji wa kuteleza waliporudi kwenye nafasi yao ya kuanzia.
Walibadilisha maeneo mara ngapi?
Leo darasani tutajifunza jinsi ya kutatua shida kama hizo. Wanaitwa mchanganyiko.
3. Kusoma nyenzo mpya.
Jukumu la 1. Ni nambari ngapi za nambari mbili zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1, 2, 3?
Suluhisho: 11, 12, 13
31, 32, 33. Nambari 9 kwa jumla.
Wakati wa kutatua tatizo hili, tulitafuta njia zote zinazowezekana, au, kama kawaida wanasema katika kesi hizi. Mchanganyiko wote unaowezekana. Kwa hiyo, matatizo hayo yanaitwa mchanganyiko. Lazima uhesabu chaguzi zinazowezekana (au zisizowezekana) maishani mara nyingi, kwa hivyo ni muhimu kufahamiana na shida za pamoja.
№ 967. Nchi kadhaa zimeamua kutumia alama kwa bendera yao ya kitaifa kwa namna ya mistari mitatu ya usawa ya upana sawa katika rangi tofauti - nyeupe, bluu, nyekundu. Ni nchi ngapi zinaweza kutumia alama kama hizo, mradi kila nchi ina bendera yake?
Suluhisho. Wacha tufikirie kuwa mstari wa kwanza ni nyeupe. Kisha mstari wa pili unaweza kuwa bluu au nyekundu, na mstari wa tatu, kwa mtiririko huo, nyekundu au bluu. Tuna chaguzi mbili: nyeupe, bluu, nyekundu au nyeupe, nyekundu, bluu.
Hebu sasa mstari wa kwanza uwe bluu, kisha tena tunapata chaguzi mbili: nyeupe, nyekundu, bluu au bluu, nyekundu, nyeupe.
Hebu mstari wa kwanza uwe nyekundu, basi kuna chaguzi mbili zaidi: nyekundu, nyeupe, bluu au nyekundu, bluu, nyeupe.
Kulikuwa na chaguzi 6 zinazowezekana kwa jumla. Bendera hii inaweza kutumika na nchi 6.
Kwa hiyo, wakati wa kutatua tatizo hili, tulikuwa tunatafuta njia ya kuhesabu chaguzi zinazowezekana. Katika hali nyingi, inageuka kuwa muhimu kuunda picha - mchoro wa chaguzi za kuhesabu. Hii, kwanza, ni wazi, na pili, inaruhusu sisi kuzingatia kila kitu na si miss kitu chochote.
Mchoro huu pia huitwa mti wa chaguo iwezekanavyo.
Ukurasa wa mbele
Mstari wa pili
Njia ya tatu
Mchanganyiko unaosababishwa
№ 968. Ni nambari ngapi za nambari mbili zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1, 2, 4, 6, 8?
Suluhisho. Kwa nambari za tarakimu mbili tunazopendezwa nazo, nafasi ya kwanza inaweza kuwa yoyote ya tarakimu zilizopewa, isipokuwa 0. Ikiwa tunaweka namba 2 mahali pa kwanza, basi yoyote ya tarakimu iliyotolewa inaweza kuwa katika nafasi ya pili. Utapata nambari tano za tarakimu mbili: 2.,22, 24, 26, 28. Vilevile, kutakuwa na nambari tano zenye tarakimu mbili zenye tarakimu ya kwanza 4, tano za tarakimu mbili zenye tarakimu ya kwanza 6 na tano mbili- nambari za tarakimu zilizo na tarakimu ya kwanza 8.
Jibu: Kutakuwa na nambari 20 kwa jumla.
Hebu tujenge mti wa chaguo iwezekanavyo ili kutatua tatizo hili.
Takwimu mbili
Nambari ya kwanza
Nambari ya pili
Nambari zilizopokelewa
20, 22, 24, 26, 28, 60, 62, 64, 66, 68,
40, 42, 44, 46, 48, 80, 82, 84, 86, 88.
Tatua matatizo yafuatayo kwa kujenga mti wa chaguzi zinazowezekana.
№ 971. Uongozi wa nchi fulani uliamua kufanya bendera yake ya kitaifa ionekane kama hii: kwenye msingi wa rangi moja ya mstatili, mduara wa rangi tofauti umewekwa kwenye moja ya pembe. Iliamuliwa kuchagua rangi kutoka kwa tatu zinazowezekana: nyekundu, njano, kijani. Je, aina ngapi za bendera hii?
ipo? Takwimu inaonyesha baadhi ya chaguzi zinazowezekana.
Jibu: chaguzi 24.
№ 973. a) Ni nambari ngapi za tarakimu tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1,3, 5,? (Nambari 27)
b) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1, 3, 5, mradi nambari zisirudiwe? (Nambari 6)
№ 979. Wanariadha wa kisasa hushiriki katika mashindano katika michezo mitano kwa siku mbili: kuonyesha kuruka, uzio, kuogelea, risasi, na kukimbia.
a) Je, kuna chaguzi ngapi kwa utaratibu wa kukamilisha aina za mashindano? (Chaguo 120)
b) Kuna chaguzi ngapi kwa mpangilio wa hafla za shindano, ikiwa inajulikana kuwa tukio la mwisho linapaswa kukimbia? (Chaguo 24)
c) Kuna chaguzi ngapi kwa mpangilio wa hafla za shindano ikiwa inajulikana kuwa hafla ya mwisho inapaswa kuendeshwa, na ya kwanza inapaswa kuwa ya kuruka onyesho? (Chaguo 6)
№ 981. Urn mbili zina mipira mitano kila moja katika rangi tano tofauti: nyeupe, bluu, nyekundu, njano, kijani. Mpira mmoja hutolewa kutoka kwa kila kinyesi kwa wakati mmoja.
a) kuna mchanganyiko ngapi tofauti wa mipira iliyochorwa (michanganyiko kama "nyeupe - nyekundu" na "nyekundu - nyeupe" inachukuliwa kuwa sawa)?
(15 mchanganyiko)
b) Kuna michanganyiko ngapi ambayo mipira iliyochorwa ni ya rangi sawa?
(mchanganyiko 5)
c) kuna mchanganyiko ngapi ambao mipira inayotolewa ni ya rangi tofauti?
(15 - 5 = mchanganyiko 10)
Kazi ya nyumbani: ukurasa wa 54, Nambari 969, 972, njoo na shida ya ujumuishaji mwenyewe.
№ 969. Nchi kadhaa zimeamua kutumia alama kwa bendera yao ya kitaifa kwa namna ya mistari mitatu ya wima ya upana sawa katika rangi tofauti: kijani, nyeusi, njano. Ni nchi ngapi zinaweza kutumia alama kama hizo, mradi kila nchi ina bendera yake?
№ 972. a) Ni nambari ngapi za tarakimu mbili zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1, 3, 5, 7, 9?
b) Ni nambari ngapi za tarakimu mbili zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1, 3, 5, 7, 9, mradi nambari zisirudiwe?
Somo la pili
Kuangalia kazi ya nyumbani. a) Nambari 969 na Nambari 972a) na Nambari 972b) - jenga mti wa chaguo iwezekanavyo kwenye ubao.
b) tunaangalia kazi zilizokamilishwa kwa mdomo.
Kutatua tatizo.
Kwa hiyo, kabla ya hili, tulijifunza jinsi ya kutatua matatizo ya kuchanganya kwa kutumia mti wa chaguzi. Je, hii ni njia nzuri? Labda ndio, lakini ni ngumu sana. Hebu jaribu kutatua tatizo la kazi ya nyumbani No. 972 tofauti. Nani anaweza kukisia jinsi hii inaweza kufanywa?
Jibu: Kwa kila rangi tano za T-shirt kuna rangi 4 za panties. Jumla: 4 * 5 = 20 chaguzi.
№ 980. Urns zina mipira mitano kila moja katika rangi tano tofauti: nyeupe, bluu, nyekundu, njano, kijani. Mpira mmoja hutolewa kutoka kwa kila kinyesi kwa wakati mmoja. Eleza tukio lifuatalo kama hakika, nasibu, au haliwezekani:
a) kutolewa kwa mipira ya rangi tofauti; (nasibu)
b) kuchukuliwa nje mipira ya rangi sawa; (nasibu)
c) mipira nyeusi na nyeupe hutolewa; (haiwezekani)
d) mipira miwili hutolewa, zote mbili ni rangi moja ya rangi zifuatazo: nyeupe, bluu, nyekundu, njano, kijani. (ya kuaminika)
№ 982. Kundi la watalii linapanga kuongezeka kwa njia ya Antonovo - Borisovo - Vlasovo - Gribovo. Kutoka Antonovo hadi Borisovo unaweza raft juu ya mto au kutembea. Kutoka Borisovo hadi Vlasovo unaweza kutembea au kupanda baiskeli. Kutoka Vlasovo hadi Gribovo unaweza kuogelea kando ya mto, kupanda baiskeli au kutembea. Watalii wanaweza kuchagua chaguzi ngapi za safari? Watalii wanaweza kuchagua chaguzi ngapi za kupanda mlima, mradi lazima watumie baiskeli angalau sehemu moja ya njia?
(Chaguo 12 za njia, 8 kati yao kwa kutumia baiskeli)
Kazi ya kujitegemea.
Chaguo 1
a) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari: 0, 1, 3, 5, 7?
b) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari: 0, 1, 3, 5, 7, mradi nambari zisirudiwe?
Athos, Porthos na Aramis wana upanga tu, dagger na bastola.
a) Ni kwa njia ngapi wapiganaji wanaweza kumiliki silaha?
b) Je, kuna chaguzi ngapi za silaha ikiwa Aramis lazima achukue upanga?
c) Je, kuna chaguzi ngapi za silaha ikiwa Aramis lazima achukue upanga na Porthos lazima achukue bastola?
Mahali fulani Mungu alimtuma Raven kipande cha jibini, pamoja na feta cheese, soseji, mkate mweupe na mweusi. Baada ya kukaa kwenye mti wa spruce, kunguru alikuwa tayari kula kiamsha kinywa, lakini alianza kufikiria: ni kwa njia ngapi sandwichi zinaweza kufanywa kutoka kwa bidhaa hizi?
Chaguo la 2
a) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari: 0, 2, 4, 6, 8?
b) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari: 0, 2, 4, 6, 8, isipokuwa kwamba nambari hazipaswi kurudiwa?
Hesabu Monte Cristo aliamua kumpa Princess Hayde pete, mkufu na bangili. Kila kipande cha kujitia lazima iwe na moja ya aina zifuatazo za vito: almasi, rubi au garnet.
a) Je, kuna chaguzi ngapi za kuchanganya vito vya mawe ya thamani?
b) Je, kuna chaguzi ngapi za kujitia ikiwa pete zinapaswa kuwa almasi?
c) Je, kuna chaguzi ngapi za kujitia ikiwa pete zinapaswa kuwa almasi na bangili inapaswa kuwa garnet?
Kwa kifungua kinywa unaweza kuchagua bun, sandwich au gingerbread na kahawa au kefir. Unaweza kuunda chaguzi ngapi za kifungua kinywa?
Kazi ya nyumbani : Nambari 974, 975. (kwa kuandaa mti wa chaguzi na kutumia kanuni ya kuzidisha)
№ 974 . a) Ni nambari ngapi za tarakimu tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 0, 2, 4?
b) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 0, 2, 4, mradi nambari zisirudiwe?
№ 975 . a) Ni nambari ngapi za tarakimu tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1,3, 5,7?
b) Ni nambari ngapi za nambari tatu zinaweza kufanywa kutoka kwa nambari 1,3, 5,7 chini ya hali hiyo. Nambari gani hazipaswi kurudiwa?
Nambari za shida zilizochukuliwa kutoka kwa kitabu cha maandishi
"Hisabati-5", I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich, 2004.
Kusudi la somo:
- Tambulisha dhana ya matukio ya kuaminika, yasiyowezekana na ya nasibu.
- Kuendeleza ujuzi na ujuzi wa kuamua aina ya matukio.
- Kuendeleza: ujuzi wa kompyuta; tahadhari; uwezo wa kuchambua, kufikiria, kupata hitimisho; ujuzi wa kazi ya kikundi.
Wakati wa madarasa
1) Wakati wa shirika.
Zoezi la maingiliano: watoto lazima watatue mifano na maneno ya kufafanua; kulingana na matokeo, wamegawanywa katika vikundi (kuaminika, haiwezekani na nasibu) na kuamua mada ya somo.
1 kadi.
| 0,5 | 1,6 | 12,6 | 5,2 | 7,5 | 8 | 5,2 | 2,08 | 0,5 | 9,54 | 1,6 |
2 kadi
| 0,5 | 2,1 | 14,5 | 1,9 | 2,1 | 20,4 | 14 | 1,6 | 5,08 | 8,94 | 14 |
3 kadi
| 5 | 2,4 | 6,7 | 4,7 | 8,1 | 18 | 40 | 9,54 | 0,78 |
2) Kusasisha maarifa uliyojifunza.
Mchezo "Kupiga makofi": hata nambari - piga makofi, nambari isiyo ya kawaida - simama.
Kazi: kutoka kwa mfululizo uliopewa wa nambari 42, 35, 8, 9, 7, 10, 543, 88, 56, 13, 31, 77, ... kuamua hata na isiyo ya kawaida.
3) Kusoma mada mpya.
Kuna cubes kwenye meza zako. Hebu tuangalie kwa karibu zaidi. Unaona nini?
Kete zinatumika wapi? Vipi?
Fanya kazi kwa vikundi.
Kufanya majaribio.
Ni utabiri gani unaweza kufanya wakati wa kutupa kufa?
Utabiri wa kwanza: moja ya nambari 1,2,3,4,5 au 6 itaonekana.
Tukio ambalo hakika litatokea katika uzoefu fulani linaitwa kuaminika.
Utabiri wa pili: nambari 7 itaonekana.
Je, unadhani tukio lililotabiriwa litatokea au la?
Hili haliwezekani!
Tukio ambalo haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa haiwezekani.
Utabiri wa tatu: nambari 1 itaonekana.
Je, tukio hili litatokea?
Tukio ambalo linaweza kutokea au haliwezi kutokea katika uzoefu fulani linaitwa nasibu.
4) Kuunganishwa kwa nyenzo zilizojifunza.
I. Bainisha aina ya tukio
-Kesho kutakuwa na theluji nyekundu.
Kutakuwa na theluji nyingi kesho.
Kesho, ingawa ni Julai, itakuwa theluji.
Kesho, ingawa ni Julai, hakutakuwa na theluji.
Kesho kutakuwa na theluji na kutakuwa na dhoruba ya theluji.
II. Ongeza neno kwa sentensi hii kwa namna ambayo tukio hilo haliwezekani.
Kolya alipokea A katika historia.
Sasha hakumaliza kazi hata moja kwenye mtihani.
Oksana Mikhailovna (mwalimu wa historia) ataelezea mada mpya.
III. Toa mifano ya matukio yasiyowezekana, ya nasibu na ya kuaminika.
IV. Fanya kazi kutoka kwa kitabu (katika vikundi).
Eleza matukio yaliyojadiliwa katika kazi hapa chini kuwa ya kuaminika, isiyowezekana au ya nasibu.
Nambari 959. Petya alikuja na nambari ya asili. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) nambari iliyo sawa imekusudiwa;
b) nambari isiyo ya kawaida imekusudiwa;
c) nambari inatungwa ambayo sio sawa au isiyo ya kawaida;
d) nambari inatungwa ambayo ni sawa au isiyo ya kawaida.
Nambari 960. Ulifungua kitabu hiki kwa ukurasa wowote na ukachagua nomino ya kwanza iliyojitokeza. Tukio hilo ni kama ifuatavyo:
a) kuna vokali katika tahajia ya neno lililochaguliwa;
b) tahajia ya neno lililochaguliwa ina herufi "o";
c) hakuna vokali katika tahajia ya neno lililochaguliwa;
d) kuna ishara laini katika tahajia ya neno lililochaguliwa.
Suluhisha nambari 961, Nambari 964.
Majadiliano ya kazi zilizotatuliwa.
5) Tafakari.
1. Ni matukio gani uliyojifunza katika somo?
2. Onyesha ni lipi kati ya matukio yafuatayo lililo hakika, lipi haliwezekani na lipi ni la kubahatisha:
a) hakutakuwa na likizo ya majira ya joto;
b) sandwich itaanguka upande wa siagi chini;
c) mwaka wa shule utaisha siku moja.
6) Kazi ya nyumbani:
Njoo na matukio mawili ya kuaminika, ya nasibu na yasiyowezekana.
Fanya mchoro kwa mmoja wao.
1.1. Baadhi ya habari kutoka kwa combinatorics
1.1.1. Nafasi
Hebu fikiria dhana rahisi zaidi zinazohusiana na uteuzi na mpangilio wa seti fulani ya vitu.
Kuhesabu idadi ya njia ambazo vitendo hivi vinaweza kufanywa mara nyingi hufanyika wakati wa kutatua matatizo ya uwezekano.
Ufafanuzi. Malazi kutoka n vipengele kwa k (k ≤n) ni sehemu ndogo yoyote iliyoagizwa ya k vipengele vya seti inayojumuisha n vipengele mbalimbali.
Mfano. Mlolongo wafuatayo wa nambari ni uwekaji wa vipengele 2 kutoka kwa vipengele 3 vya seti (1;2;3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Kumbuka kuwa uwekaji hutofautiana kwa mpangilio wa vitu vilivyojumuishwa ndani yao na muundo wao. Uwekaji 12 na 21 una nambari sawa, lakini mpangilio wao ni tofauti. Kwa hiyo, uwekaji huu unachukuliwa kuwa tofauti.
Idadi ya uwekaji tofauti kutoka n vipengele kwa k imeteuliwa na kuhesabiwa na formula:
,
Wapi n! = 1∙2∙...∙(n - 1)∙n( inasoma " n- factorial").
Idadi ya nambari za tarakimu mbili zinazoweza kufanywa kutoka kwa tarakimu 1, 2, 3, mradi hakuna tarakimu inayorudiwa sawa na: .
1.1.2. Mipangilio upya
Ufafanuzi. Ruhusa kutoka n vipengele huitwa uwekaji vile wa n vipengele ambavyo hutofautiana tu katika eneo la vipengele.
Idadi ya vibali kutoka n vipengele P n imehesabiwa kwa formula: P n=n!
Mfano. Je, watu 5 wanaweza kupanga foleni kwa njia ngapi? Idadi ya njia ni sawa na idadi ya vibali vya vipengele 5, i.e.
P 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Ufafanuzi. Ikiwa kati ya n vipengele k kufanana, kisha upangaji upya wa haya n vipengele inaitwa permutation na marudio.
Mfano. Acha vitabu 2 kati ya 6 vifanane. Mpangilio wowote wa vitabu vyote kwenye rafu ni upangaji upya na marudio.
Idadi ya vibali tofauti vilivyo na marudio (kutoka n vipengele, ikiwa ni pamoja na k kufanana) huhesabiwa kwa kutumia fomula: .
Katika mfano wetu, idadi ya njia ambazo vitabu vinaweza kupangwa kwenye rafu ni:.
1.1.3. Mchanganyiko
Ufafanuzi. Mchanganyiko wa n vipengele kwa k uwekaji vile huitwa n vipengele kwa k, ambazo hutofautiana katika angalau kipengele kimoja.
Idadi ya mchanganyiko tofauti wa n vipengele kwa k huteuliwa na kukokotolewa kwa fomula:.
Kwa ufafanuzi, 0!=1.
Vipengele vifuatavyo vinatumika kwa mchanganyiko:
1.
2.
3.
4.
Mfano. Kuna maua 5 ya rangi tofauti. Maua 3 huchaguliwa kwa bouquet. Idadi ya bouquets tofauti ya maua 3 kati ya 5 ni sawa na:.
1.2. Matukio Nasibu
1.2.1. Matukio
Ujuzi wa ukweli katika sayansi ya asili hutokea kama matokeo ya vipimo (majaribio, uchunguzi, uzoefu).
Mtihani
au uzoefu ni utekelezaji wa seti maalum ya masharti ambayo yanaweza kutolewa tena kwa idadi kubwa ya nyakati.
Nasibu
ni tukio ambalo linaweza kutokea au lisitokee kutokana na mtihani fulani (uzoefu).
Kwa hivyo, tukio hilo linazingatiwa kama matokeo ya mtihani.
Mfano. Kutupa sarafu ni changamoto. Kuonekana kwa tai wakati wa kutupwa ni tukio.
Matukio tunayoona yanatofautiana katika kiwango cha uwezekano wa kutokea kwao na kwa asili ya uhusiano wao.
Tukio hilo linaitwa kuaminika
, ikiwa ni hakika kutokea kama matokeo ya mtihani huu.
Mfano. Mwanafunzi anayepokea alama chanya au hasi kwenye mtihani ni tukio la kuaminika ikiwa mtihani unaendelea kulingana na sheria za kawaida.
Tukio hilo linaitwa haiwezekani
, ikiwa haiwezi kutokea kutokana na mtihani huu.
Mfano. Kuondoa mpira mweupe kutoka kwa urn ambayo ina mipira ya rangi tu (isiyo nyeupe) ni tukio lisilowezekana. Kumbuka kuwa chini ya hali nyingine za majaribio kuonekana kwa mpira mweupe haujatengwa; kwa hivyo, tukio hili haliwezekani tu chini ya hali ya uzoefu wetu.
Katika kile kinachofuata, tutaashiria matukio ya nasibu kwa herufi kubwa Kilatini A, B, C... Tutaashiria tukio la kutegemewa kwa herufi Ω, na tukio lisilowezekana kwa Ø.
Matukio mawili au zaidi yanaitwa kwa usawa iwezekanavyo
katika mtihani fulani ikiwa kuna sababu ya kuamini kwamba hakuna matukio haya ni zaidi au chini ya iwezekanavyo kuliko wengine.
Mfano. Kwa kutupa moja ya kufa, kuonekana kwa 1, 2, 3, 4, 5 na 6 pointi zote ni matukio yanayowezekana kwa usawa. Inachukuliwa, bila shaka, kwamba kete zinafanywa kwa nyenzo zenye homogeneous na zina sura sahihi.
Matukio hayo mawili yanaitwa zisizopatana
katika mtihani uliopewa, ikiwa tukio la mmoja wao halijumuishi tukio la mwingine, na pamoja
vinginevyo.
Mfano. Sanduku lina sehemu za kawaida na zisizo za kawaida. Wacha tuchukue maelezo moja kwa bahati nzuri. Kuonekana kwa sehemu ya kawaida huondoa kuonekana kwa sehemu isiyo ya kawaida. Matukio haya hayaoani.
Fomu za matukio kadhaa kundi kamili la matukio
katika mtihani fulani, ikiwa angalau mmoja wao ana uhakika wa kutokea kutokana na mtihani huu.
Mfano. Matukio kutoka kwa mfano huunda kundi kamili la matukio yanayowezekana kwa usawa na kwa jozi zisizolingana.
Matukio mawili yasiyolingana ambayo huunda kundi kamili la matukio katika jaribio fulani huitwa matukio kinyume.
Ikiwa mmoja wao ameteuliwa na A, kisha nyingine kawaida huonyeshwa na (soma "sio A»).
Mfano. Kupiga na kukosa kwa risasi moja kwa lengo ni matukio kinyume.
1.2.2. Ufafanuzi wa kawaida wa uwezekano
Uwezekano wa tukio
- kipimo cha nambari cha uwezekano wa kutokea kwake.
Tukio A kuitwa nzuri
tukio KATIKA ikiwa wakati wowote tukio linatokea A, tukio linakuja KATIKA.
Matukio A 1 , A 2 , ..., An fomu mchoro wa kesi
, ikiwa wao:
1) kwa usawa iwezekanavyo;
2) jozi haziendani;
3) kuunda kikundi kamili.
Katika mpango wa kesi (na tu katika mpango huu) ufafanuzi wa classical wa uwezekano unafanyika P(A) matukio A. Hapa, kisa ni kila moja ya matukio yanayomilikiwa na kundi kamili lililochaguliwa la matukio yanayoweza kwa usawa na yasioani kwa jozi.
Kama n ni idadi ya kesi zote katika mpango, na m- idadi ya kesi zinazofaa kwa tukio hilo A, Hiyo uwezekano wa tukio
A imedhamiriwa na usawa:
Vipengele vifuatavyo vinafuata kutoka kwa ufafanuzi wa uwezekano:
1. Uwezekano wa tukio la kuaminika ni sawa na moja.
Hakika, ikiwa tukio ni hakika, basi kila kesi katika mpango wa kesi inapendelea tukio hilo. Kwa kesi hii m = n na kwa hiyo 
2. Uwezekano wa tukio lisilowezekana ni sifuri.
Hakika, ikiwa tukio haliwezekani, basi hakuna kesi katika muundo wa kesi inayopendelea tukio hilo. Ndiyo maana m=0 na kwa hivyo 
Uwezekano wa tukio nasibu ni nambari chanya kati ya sifuri na moja.
Hakika, ni sehemu tu ya jumla ya idadi ya kesi katika muundo wa kesi inapendelewa na tukio la nasibu. Kwa hivyo 0<m<n, ambayo ina maana 0<m/n<1 и, следовательно, 0 < P(A) < 1.
Kwa hivyo, uwezekano wa tukio lolote hutosheleza kutokuwepo kwa usawa
0 ≤ P(A) ≤ 1.
Hivi sasa, mali ya uwezekano hufafanuliwa kwa namna ya axioms iliyoundwa na A.N. Kolmogorov.
Moja ya faida kuu za ufafanuzi wa classical wa uwezekano ni uwezo wa kuhesabu uwezekano wa tukio moja kwa moja, i.e. bila kutumia majaribio, ambayo hubadilishwa na hoja zenye mantiki.
Matatizo ya hesabu ya moja kwa moja ya uwezekano
Tatizo 1.1. Kuna uwezekano gani wa idadi sawa ya alama (tukio A) wakati wa kutupa kifo?
Suluhisho. Fikiria matukio Ai- imeshuka i miwani, i= 1, 2, ...,6. Ni dhahiri kwamba matukio haya huunda muundo wa kesi. Kisha idadi ya kesi zote n= 6. Kesi neema rolling idadi hata ya pointi A 2 , A 4 , A 6, yaani. m= 3. Kisha 
.
Tatizo 1.2. Kuna mipira 5 nyeupe na 10 nyeusi kwenye mkojo. Mipira imechanganywa kabisa na kisha mpira 1 hutolewa nje bila mpangilio. Je, kuna uwezekano gani kwamba mpira uliotolewa utakuwa mweupe?
Suluhisho. Kuna jumla ya kesi 15 zinazounda muundo wa kesi. Aidha, tukio linalotarajiwa A- kuonekana kwa mpira mweupe kunapendekezwa na 5 kati yao, kwa hiyo 
.
Tatizo 1.3. Mtoto anacheza na herufi sita za alfabeti: A, A, E, K, R, T. Tafuta uwezekano kwamba ataweza kuunda neno CARRIAGE (tukio A) kwa nasibu.
Suluhisho. Suluhisho ni ngumu na ukweli kwamba kati ya herufi kuna zile zinazofanana - herufi mbili "A". Kwa hivyo, idadi ya kesi zote zinazowezekana katika jaribio fulani ni sawa na idadi ya vibali na marudio ya herufi 6:
.
Matukio haya yanawezekana kwa usawa, kwa jozi kutofautiana na kuunda kundi kamili la matukio, i.e. kuunda mchoro wa kesi. Nafasi moja tu inapendelea tukio A. Ndiyo maana
.
Tatizo 1.4. Tanya na Vanya walikubali kusherehekea Mwaka Mpya katika kampuni ya watu 10. Wote wawili walitaka sana kukaa karibu na kila mmoja. Kuna uwezekano gani wa matakwa yao kutimizwa ikiwa ni desturi ya kugawanya maeneo kati ya marafiki zao kwa kura?
Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio "kutimizwa kwa matakwa ya Tanya na Vanya." Watu 10 wanaweza kuketi kwenye meza ya watu 10! njia tofauti. Wangapi kati ya hawa n= 10! njia zinazowezekana ni nzuri kwa Tanya na Vanya? Tanya na Vanya, wameketi karibu na kila mmoja, wanaweza kuchukua nafasi 20 tofauti. Wakati huo huo, marafiki zao wanane wanaweza kukaa kwenye meza ya watu 8! kwa njia tofauti, hivyo m= 20∙8!. Kwa hivyo, 
.
Tatizo 1.5. Kundi la wanawake 5 na wanaume 20 huchagua wajumbe watatu. Kwa kuchukulia kwamba kila mtu aliyepo anaweza kuchaguliwa kwa uwezekano sawa, pata uwezekano kwamba wanawake wawili na mwanamume mmoja watachaguliwa.
Suluhisho. Idadi ya jumla ya matokeo ya mtihani iwezekanavyo ni sawa na idadi ya njia ambazo wajumbe watatu wanaweza kuchaguliwa kutoka kwa watu 25, i.e. . Hebu sasa tuhesabu idadi ya kesi nzuri, i.e. idadi ya matukio ambayo tukio la riba hutokea. Mjumbe wa kiume anaweza kuchaguliwa kwa njia ishirini. Wakati huo huo, wajumbe wawili waliobaki lazima wawe wanawake, na unaweza kuchagua wanawake wawili kati ya watano. Kwa hivyo,. Ndiyo maana
.
Tatizo 1.6. Mipira minne hutawanywa kwa nasibu juu ya mashimo manne, kila mpira huanguka kwenye shimo moja au nyingine kwa uwezekano sawa na kwa kujitegemea wengine (hakuna vikwazo kwa mipira kadhaa kuanguka kwenye shimo moja). Tafuta uwezekano kwamba kutakuwa na mipira mitatu katika moja ya mashimo, moja kwa nyingine, na hakuna mipira katika mashimo mengine mawili.
Suluhisho. Jumla ya idadi ya kesi n=4 4 . Idadi ya njia ambazo mtu anaweza kuchagua shimo moja ambapo kutakuwa na mipira mitatu,. Idadi ya njia ambazo unaweza kuchagua shimo ambapo kutakuwa na mpira mmoja,. Idadi ya njia ambazo mipira mitatu kati ya minne inaweza kuchaguliwa kuwekwa kwenye shimo la kwanza ni. Jumla ya idadi ya kesi zinazofaa. Uwezekano wa tukio: 
Tatizo 1.7. Kuna mipira 10 inayofanana kwenye sanduku, iliyowekwa na nambari 1, 2, ..., 10. Mipira sita hutolewa kwa bahati. Pata uwezekano kwamba kati ya mipira iliyotolewa kutakuwa na: a) mpira Nambari 1; b) mipira nambari 1 na nambari 2.
Suluhisho. a) Idadi ya jumla ya matokeo ya msingi ya mtihani ni sawa na idadi ya njia ambazo mipira sita inaweza kutolewa kutoka kumi, i.e.
Wacha tupate idadi ya matokeo ambayo yanapendelea tukio ambalo tunapendezwa nalo: kati ya mipira sita iliyochaguliwa kuna mpira nambari 1 na, kwa hivyo, mipira mitano iliyobaki ina nambari tofauti. Idadi ya matokeo hayo ni dhahiri sawa na idadi ya njia ambazo mipira mitano inaweza kuchaguliwa kutoka kwa tisa iliyobaki, i.e.
Uwezekano unaohitajika ni sawa na uwiano wa idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio linalohusika na jumla ya idadi ya matokeo ya msingi yanayowezekana:
b) Idadi ya matokeo yanayofaa kwa tukio tunalopenda (kati ya mipira iliyochaguliwa kuna mipira Na. 1 na No. 2, kwa hiyo, mipira minne ina namba tofauti) ni sawa na idadi ya njia ambazo mipira minne inaweza. kutolewa kutoka kwa nane iliyobaki, i.e. Uwezekano unaohitajika 
1.2.3. Uwezekano wa takwimu
Ufafanuzi wa takwimu wa uwezekano hutumika wakati matokeo ya jaribio hayawezekani kwa usawa.
Masafa ya matukio yanayohusiana
A imedhamiriwa na usawa:
,
Wapi m- idadi ya majaribio ambayo tukio A imefika n- jumla ya idadi ya majaribio yaliyofanywa.
J. Bernoulli alithibitisha kwamba kwa ongezeko lisilo na kikomo la idadi ya majaribio, marudio ya jamaa ya tukio la tukio yatatofautiana karibu kidogo kiholela kutoka kwa idadi fulani ya mara kwa mara. Ilibadilika kuwa nambari hii ya mara kwa mara ni uwezekano wa tukio kutokea. Kwa hivyo, ni kawaida kuita mzunguko wa jamaa wa kutokea kwa tukio na idadi kubwa ya kutosha ya majaribio uwezekano wa takwimu, tofauti na uwezekano ulioletwa hapo awali.
Mfano 1.8. Jinsi ya kuamua takriban idadi ya samaki katika ziwa?
Hebu katika ziwa X samaki Tunatupa wavu na, hebu sema, tupate ndani yake n samaki Tunaweka alama kwa kila mmoja wao na kuwaachilia tena. Siku chache baadaye, katika hali ya hewa sawa na mahali pale pale, tunatupa wavu sawa. Hebu tuchukue kwamba tunapata m samaki ndani yake, kati ya ambayo k imetambulishwa. Acha tukio A- "samaki waliovuliwa wametiwa alama." Kisha kwa ufafanuzi wa frequency jamaa .
Lakini ikiwa katika ziwa X samaki na tukaifungua ndani yake n imeandikwa, basi.
Kwa sababu R * (A) » R(A), hiyo.
1.2.4. Operesheni kwenye matukio. Nadharia ya kuongeza uwezekano
Kiasi, au muungano wa matukio kadhaa, ni tukio linalojumuisha kutokea kwa angalau moja ya matukio haya (katika jaribio moja).
Jumla A 1 + A 2 + … + An imeonyeshwa kama ifuatavyo: 
au 
.
Mfano. Kete mbili zinatupwa. Acha tukio A inajumuisha kukunja pointi 4 kwenye kete 1, na tukio KATIKA- wakati alama 5 zimefungwa kwenye kete nyingine. Matukio A Na KATIKA pamoja. Kwa hiyo tukio A +KATIKA Inajumuisha kutoa alama 4 kwenye kufa kwa kwanza, au alama 5 kwenye kufa kwa pili, au alama 4 kwenye kufa kwa kwanza na alama 5 kwa pili kwa wakati mmoja.
Mfano. Tukio A- ushindi kwa mkopo 1, tukio KATIKA- ushindi kwa mkopo wa 2. Kisha tukio A+B- kushinda angalau mkopo mmoja (labda mbili kwa wakati mmoja).
Kazi au makutano ya matukio kadhaa ni tukio linalojumuisha tukio la pamoja la matukio haya yote (katika jaribio moja).
Kazi KATIKA matukio A 1 , A 2 , …, An imeonyeshwa kama ifuatavyo:
.
Mfano. Matukio A Na KATIKA inajumuisha kupita kwa mafanikio raundi ya kwanza na ya pili, mtawaliwa, baada ya kuandikishwa kwenye taasisi. Kisha tukio A×B inajumuisha kukamilisha raundi zote mbili kwa mafanikio.
Dhana za jumla na bidhaa za matukio zina tafsiri wazi ya kijiometri. Acha tukio A kuna hatua inaingia eneo hilo A, na tukio KATIKA- hatua ya kuingia katika eneo hilo KATIKA. Kisha tukio A+B kuna hatua inayoingia kwenye umoja wa maeneo haya (Mchoro 2.1), na tukio hilo AKATIKA kuna hatua ambayo hupiga makutano ya maeneo haya (Mchoro 2.2).
Mchele. 2.1 Mtini. 2.2
Nadharia. Ikiwa matukio A i(i = 1, 2, …, n) haziendani kwa njia ya jozi, basi uwezekano wa jumla wa matukio ni sawa na jumla ya uwezekano wa matukio haya: 
.
Hebu A Na Ā
- matukio kinyume, i.e. A + Ā= Ω, ambapo Ω ni tukio la kuaminika. Kutoka kwa nadharia ya nyongeza inafuata hiyo
Р(Ω) = R(A) + R(Ā
) = 1, kwa hiyo
R(Ā
) = 1 – R(A).
Ikiwa matukio A 1 na A 2 zinaendana, basi uwezekano wa jumla ya matukio mawili ya wakati mmoja ni sawa na:
R(A 1 + A 2) = R(A 1) + R(A 2) - P ( A 1× A 2).
Nadharia za kuongeza uwezekano huturuhusu kuhama kutoka kwa uwezekano wa kukokotoa moja kwa moja hadi kubainisha uwezekano wa kutokea kwa matukio changamano.
Tatizo 1.8. Mshambuliaji anafyatua risasi moja kwenye shabaha. Uwezekano wa kupata pointi 10 (tukio A), pointi 9 (tukio KATIKA) na pointi 8 (tukio NA) ni sawa na 0.11, kwa mtiririko huo; 0.23; 0.17. Tafuta uwezekano kwamba kwa risasi moja mpiga risasi atapata chini ya alama 8 (tukio D).
Suluhisho. Wacha tuendelee kwenye tukio lingine - kwa risasi moja mpiga risasi atapata angalau alama 8. Tukio hutokea ikiwa hutokea A au KATIKA, au NA, i.e. . Tangu matukio A, B, NA mbili haziendani, basi, kwa nadharia ya nyongeza,
, wapi.
Tatizo 1.9. Kutoka kwa timu ya brigade, ambayo ina wanaume 6 na wanawake 4, watu wawili wanachaguliwa kwa mkutano wa vyama vya wafanyakazi. Kuna uwezekano gani kwamba kati ya wale waliochaguliwa angalau mwanamke mmoja (tukio A).
Suluhisho. Ikiwa tukio litatokea A, basi moja ya matukio yafuatayo yasiyolingana yatatokea: KATIKA- "mwanamume na mwanamke wamechaguliwa"; NA- "wanawake wawili walichaguliwa." Kwa hivyo tunaweza kuandika: A=B+C. Wacha tupate uwezekano wa matukio KATIKA Na NA. Watu wawili kati ya 10 wanaweza kuchaguliwa kwa njia tofauti. Wanawake wawili kati ya 4 wanaweza kuchaguliwa kwa njia tofauti. Mwanamume na mwanamke wanaweza kuchaguliwa kwa njia 6 × 4. Kisha. Tangu matukio KATIKA Na NA haziendani, basi, na nadharia ya nyongeza,
P (A) = P (B + C) = P (B) + P (C) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Tatizo 1.10. Kuna vitabu 15 vya kiada vilivyopangwa kwa nasibu kwenye rafu ya maktaba, vitano kati yao vimefungwa. Msimamizi wa maktaba huchukua vitabu vitatu bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba angalau moja ya vitabu vya kiada vilivyochukuliwa vitafungwa (tukio A).
Suluhisho. Njia ya kwanza. Sharti - angalau moja ya vitabu vitatu vya kiada vilivyochukuliwa - litatimizwa ikiwa mojawapo ya matukio matatu yafuatayo yasiyolingana yatatokea: KATIKA- kitabu kimoja cha maandishi, NA- vitabu viwili vya kiada, D- vitabu vitatu vya kiada.
Tukio la kupendeza kwetu A inaweza kuwakilishwa kama jumla ya matukio: A=B+C+D. Kulingana na nadharia ya nyongeza,
P (A) = P (B) + P (C) + P (D). (2.1)
Wacha tupate uwezekano wa matukio B, C Na D(angalia miradi ya pamoja): 
Kuwakilisha uwezekano huu katika usawa (2.1), hatimaye tunapata
P(A)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Njia ya pili. Tukio A(angalau moja ya vitabu vitatu vilivyochukuliwa vimefungwa) na Ā
(hakuna kitabu chochote kilichochukuliwa kimefungwa) - kinyume, kwa hiyo P(A) + P(Ā) = 1 (jumla ya uwezekano wa matukio mawili kinyume ni sawa na 1). Kutoka hapa P (A) = 1 – P (Ā). Uwezekano wa kutokea kwa tukio Ā
(hakuna kitabu chochote cha kiada kilichochukuliwa kimefungwa)
Uwezekano unaohitajika
P (A) = 1 -P(Ā) = 1 – 24/91 = 67/91.
1.2.5. Uwezekano wa masharti. Nadharia ya uwezekano wa kuzidisha
Uwezekano wa masharti P (B/A) ni uwezekano wa tukio B, linalokokotolewa kwa kudhaniwa kuwa tukio A tayari limetokea.
Nadharia. Uwezekano wa tukio la pamoja la matukio mawili ni sawa na bidhaa ya uwezekano wa mmoja wao na uwezekano wa masharti wa nyingine, iliyohesabiwa chini ya dhana kwamba tukio la kwanza tayari limetokea:
P (A∙B) = P (A)∙P( KATIKA/A). (2.2)
Matukio mawili yanaitwa kujitegemea ikiwa tukio la yeyote kati yao halibadili uwezekano wa tukio la mwingine, i.e.
P(A) = P(A/B) au P (B) = P (B/A). (2.3)
Ikiwa matukio A Na KATIKA ni huru, kisha kutoka kwa fomula (2.2) na (2.3) inafuata
P (A∙B) = P (A)∙P (B). (2.4)
Taarifa kinyume pia ni kweli, i.e. ikiwa usawa (2.4) unashikilia kwa matukio mawili, basi matukio haya ni huru. Hakika, kutoka kwa fomula (2.4) na (2.2) inafuata
P (A∙B) = P (A)∙P (B) = P (A) × P (B/A), wapi P (A) = P (B/A).
Fomula (2.2) inaweza kujumlishwa kwa kisa cha idadi maalum ya matukio A 1 , A 2 ,…,A n:
P (A 1 ∙A 2 ∙…∙A n)=P (A 1)∙P (A 2 /A 1)∙P (A 3 /A 1 A 2)∙…∙P (A n/A 1 A 2 …A n -1).
Tatizo 1.11. Kutoka kwa urn iliyo na mipira 5 nyeupe na 10 nyeusi, mipira miwili huchorwa kwa safu. Tafuta uwezekano kwamba mipira yote miwili ni nyeupe (tukio A).
Suluhisho. Wacha tuzingatie matukio: KATIKA- mpira wa kwanza unaotolewa ni nyeupe; NA- mpira wa pili unaotolewa ni mweupe. Kisha A = KK.
Jaribio linaweza kufanywa kwa njia mbili:
1) na kurudi: mpira ulioondolewa, baada ya kurekebisha rangi, unarudi kwenye urn. Katika kesi hii, matukio KATIKA Na NA kujitegemea:
P(A) = P(B)∙R(S) = 5/15 ×5/15 = 1/9;
2) bila kurudi: mpira ulioondolewa umewekwa kando. Katika kesi hii, matukio KATIKA Na NA tegemezi:
P(A) = P(B)∙R(S/KATIKA).
Kwa tukio KATIKA masharti ni sawa, na kwa NA hali imebadilika. Imetokea KATIKA, kwa hivyo kuna mipira 14 iliyobaki kwenye urn, pamoja na 4 nyeupe.
Kwa hiyo,.
Tatizo 1.12. Kati ya balbu 50 za taa, 3 sio za kawaida. Pata uwezekano kwamba balbu mbili za mwanga zilizochukuliwa kwa wakati mmoja sio za kawaida.
Suluhisho. Wacha tuzingatie matukio: A- balbu ya kwanza sio ya kawaida; KATIKA- balbu ya pili sio ya kawaida; NA- balbu zote mbili sio za kawaida. Ni wazi kwamba C = A∙KATIKA. Tukio A Kesi 3 kati ya 50 zinazowezekana ni nzuri, i.e. P (A) = 3/50. Ikiwa tukio A tayari imefika, basi tukio KATIKA kesi mbili kati ya 49 zinazowezekana ni nzuri, i.e. P (B/A) = 2/49. Kwa hivyo,
.
Tatizo 1.13. Wanariadha wawili hupiga shabaha moja kwa kujitegemea. Uwezekano wa mwanariadha wa kwanza kupiga lengo ni 0.7, na pili ni 0.8. Kuna uwezekano gani kwamba lengo litapigwa?
Suluhisho. Lengo litapigwa ikiwa ama mpiga risasi wa kwanza, au wa pili, au wote wawili, atapiga, i.e. tukio litatokea A+B, tukio liko wapi A lina mwanariadha wa kwanza kupiga lengo, na tukio KATIKA- pili. Kisha
P (A+KATIKA)=P (A)+P (B)–P (A∙KATIKA)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Tatizo 1.14. Chumba cha kusoma kina vitabu sita vya nadharia ya uwezekano, vitatu kati yao vimefungwa. Msimamizi wa maktaba alichukua vitabu viwili vya kiada bila mpangilio. Tafuta uwezekano kwamba vitabu viwili vya kiada vitafungwa.
Suluhisho. Wacha tujulishe majina ya matukio : A- kitabu cha kwanza kilichochukuliwa kimefungwa, KATIKA- kitabu cha pili kimefungwa. Uwezekano kwamba kitabu cha kwanza kimefungwa ni
P (A) = 3/6 = 1/2.
Uwezekano kwamba kitabu cha pili kimefungwa, isipokuwa kwamba kitabu cha kwanza kilichochukuliwa kilikuwa kimefungwa, i.e. uwezekano wa masharti wa tukio KATIKA, ni kama hii: P (B/A) = 2/5.
Uwezekano unaohitajika kwamba vitabu vyote viwili vya kiada vimefungwa, kulingana na nadharia ya kuzidisha uwezekano wa tukio, ni sawa na
P (AB) = P (A) ∙ P (B/A)= 1/2 · ∙ 2/5 = 0.2.
Tatizo 1.15. Kuna wanaume 7 na wanawake 3 wanaofanya kazi katika warsha. Watu watatu walichaguliwa bila mpangilio kwa kutumia nambari zao za wafanyikazi. Tafuta uwezekano kwamba watu wote waliochaguliwa watakuwa wanaume.
Suluhisho. Wacha tujulishe majina ya hafla: A Mwanaume huchaguliwa kwanza, KATIKA wa pili aliyechaguliwa ni mwanamume, NA - Wa tatu aliyechaguliwa alikuwa mwanamume. Uwezekano kwamba mwanamume atachaguliwa kwanza ni P (A) = 7/10.
Uwezekano kwamba mwanamume anachaguliwa pili, isipokuwa kwamba mtu tayari amechaguliwa kwanza, i.e. uwezekano wa masharti wa tukio KATIKA ijayo : P(B/A) = 6/9 = 2/3.
Uwezekano kwamba mtu atachaguliwa wa tatu, kutokana na kwamba wanaume wawili tayari wamechaguliwa, i.e. uwezekano wa masharti wa tukio NA Ni hii: P (C/AB) = 5/8.
Uwezekano unaohitajika kuwa watu wote watatu waliochaguliwa watakuwa wanaume ni P(ABC) = P(A) P (B/A) P (C/AB) = 7/10 · 2/3 · 5/8 = 7/24.
1.2.6. Jumla ya Uwezekano Formula na Bayes Formula
Hebu B 1 , B 2 ,…, Bn- matukio yasiokubaliana kwa jozi (dhahania) na A- tukio ambalo linaweza tu kutokea pamoja na mmoja wao.
Tujulishe pia P (B i) Na P (A/B i) (i = 1, 2, …, n).
Chini ya hali hizi, fomula ni halali: 
(2.5)
(2.6)
Mfumo (2.5) unaitwa jumla ya formula ya uwezekano
. Hukokotoa uwezekano wa tukio A(jumla ya uwezekano).
Mfumo (2.6) unaitwa Fomula ya Bayes
. Inakuruhusu kuhesabu upya uwezekano wa dhahania ikiwa tukio A kilichotokea.
Wakati wa kuandaa mifano, ni rahisi kudhani kuwa nadharia zinaunda kikundi kamili.
Tatizo 1.16. Kikapu kina maapulo kutoka kwa miti minne ya aina moja. Kutoka kwa kwanza - 15% ya maapulo yote, kutoka kwa pili - 35%, kutoka kwa tatu - 20%, kutoka kwa nne - 30%. Maapulo yaliyoiva ni 99%, 97%, 98%, 95%, kwa mtiririko huo.
a) Kuna uwezekano gani kwamba tufaha lililochukuliwa bila mpangilio litakuwa limeiva (tukio A).
b) Kwa kuzingatia kwamba tufaha lililochukuliwa bila mpangilio linageuka kuwa limeiva, hesabu uwezekano kwamba ni kutoka kwa mti wa kwanza.
Suluhisho. a) Tuna nadharia 4:
B 1 - apple iliyochukuliwa kwa nasibu inachukuliwa kutoka kwa mti wa 1;
B 2 - apple iliyochukuliwa kwa nasibu inachukuliwa kutoka kwa mti wa 2;
B 3 - apple iliyochukuliwa kwa nasibu inachukuliwa kutoka kwa mti wa 3;
B 4 - apple iliyochukuliwa kwa nasibu inachukuliwa kutoka kwa mti wa 4.
Uwezekano wao kulingana na hali: P (B 1) = 0,15; P (B 2) = 0,35; P (B 3) = 0,2; P (B 4) = 0,3.
Uwezekano wa masharti wa tukio A:
P (A/B 1) = 0,99; P (A/B 2) = 0,97; P (A/B 3) = 0,98; P (A/B 4) = 0,95.
Uwezekano kwamba tufaha lililochukuliwa bila mpangilio litakuwa limeiva hupatikana kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano:
P (A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3)+P (B 4)∙P (A/B 4)=0,969.
b) Fomula ya Bayes kwa kesi yetu inaonekana kama: 
.
Tatizo 1.17. Mpira mweupe hutupwa kwenye urn iliyo na mipira miwili, baada ya hapo mpira mmoja hutolewa bila mpangilio. Pata uwezekano kwamba mpira uliotolewa utakuwa nyeupe ikiwa mawazo yote yanayowezekana kuhusu utungaji wa awali wa mipira (kulingana na rangi) yanawezekana kwa usawa.
Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio - mpira mweupe hutolewa. Mawazo yafuatayo (hypotheses) juu ya muundo wa awali wa mipira yanawezekana: B 1- hakuna mipira nyeupe; SAA 2- mpira mmoja mweupe, SAA 3- mipira miwili nyeupe.
Kwa kuwa kuna dhana tatu kwa jumla, na jumla ya uwezekano wa hypotheses ni 1 (kwa kuwa huunda kundi kamili la matukio), basi uwezekano wa kila moja ya dhana ni 1/3, i.e.
P (B 1) = P (B 2)= P (B 3) = 1/3.
Uwezekano wa masharti kwamba mpira mweupe utachorwa, ikizingatiwa kwamba hakukuwa na mipira nyeupe kwenye urn hapo awali, P (A/B 1)=1/3. Uwezekano wa masharti kwamba mpira mweupe utachorwa, ikizingatiwa kwamba hapo awali kulikuwa na mpira mmoja mweupe kwenye urn, P (A/B 2)=2/3. Uwezekano wa masharti kwamba mpira mweupe utachorwa ikizingatiwa kuwa hapo awali kulikuwa na mipira miwili nyeupe kwenye uni. P (A/B 3)=3/ 3=1.
Tunapata uwezekano unaohitajika kuwa mpira mweupe utachorwa kwa kutumia fomula ya jumla ya uwezekano:
R(A)=P (B 1)∙P (A/B 1)+P (B 2)∙P (A/B 2)+P (B 3)∙P (A/B 3)=1/3 1/3+1/3 2/3+1/3 1=2/3 .
Tatizo 1.18. Mashine mbili hutoa sehemu zinazofanana ambazo huenda kwenye conveyor ya kawaida. Uzalishaji wa mashine ya kwanza ni mara mbili ya ya pili. Mashine ya kwanza inazalisha kwa wastani 60% ya sehemu za ubora bora, na pili - 84%. Sehemu iliyochukuliwa bila mpangilio kutoka kwa mstari wa kusanyiko iligeuka kuwa ya ubora bora. Pata uwezekano kwamba sehemu hii ilitolewa na mashine ya kwanza.
Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio - maelezo ya ubora bora. Mawazo mawili yanaweza kufanywa: B 1- sehemu ilitolewa na mashine ya kwanza, na (kwa kuwa mashine ya kwanza inazalisha sehemu mara mbili kuliko ya pili) P (A/B 1) = 2/3; B 2 - sehemu hiyo ilitolewa na mashine ya pili, na P (B 2) = 1/3.
Uwezekano wa masharti kwamba sehemu hiyo itakuwa ya ubora bora ikiwa itatolewa na mashine ya kwanza, P (A/B 1)=0,6.
Uwezekano wa masharti kwamba sehemu hiyo itakuwa ya ubora bora ikiwa inatolewa na mashine ya pili ni P (A/B 1)=0,84.
Uwezekano kwamba sehemu iliyochukuliwa bila mpangilio itakuwa ya ubora bora, kulingana na fomula jumla ya uwezekano, ni sawa na
P (A)=P (B 1) ∙P (A/B 1)+P (B 2) ∙P (A/B 2)=2/3·0.6+1/3·0.84 = 0.68.
Uwezekano unaohitajika kwamba sehemu bora iliyochaguliwa ilitolewa na mashine ya kwanza, kulingana na formula ya Bayes, ni sawa na
Tatizo 1.19. Kuna sehemu tatu za sehemu, kila moja ina sehemu 20. Idadi ya sehemu za kawaida katika kundi la kwanza, la pili na la tatu kwa mtiririko huo ni 20, 15, 10. Sehemu ambayo iligeuka kuwa ya kawaida iliondolewa kwa nasibu kutoka kwa kundi lililochaguliwa. Sehemu zinarejeshwa kwenye kundi na sehemu hutolewa kwa nasibu kutoka kwa kundi moja, ambayo pia inageuka kuwa ya kawaida. Pata uwezekano kwamba sehemu ziliondolewa kwenye kundi la tatu.
Suluhisho. Wacha tuonyeshe kwa A tukio - katika kila moja ya majaribio mawili (pamoja na kurudi), sehemu ya kawaida ilipatikana. Mawazo matatu (hypotheses) yanaweza kufanywa: B 1 - sehemu huondolewa kutoka kwa kundi la kwanza; KATIKA 2
- sehemu huondolewa kutoka kwa kundi la pili; KATIKA 3 - sehemu zinaondolewa kwenye kundi la tatu.
Sehemu zilitolewa bila mpangilio kutoka kwa kundi fulani, kwa hivyo uwezekano wa nadharia ni sawa: P (B 1) = P (B 2) = P (B 3) = 1/3.
Wacha tupate uwezekano wa masharti P (A/B 1), i.e. uwezekano kwamba sehemu mbili za kawaida zitaondolewa kwa mpangilio kutoka kwa kundi la kwanza. Tukio hili ni la kuaminika, kwa sababu katika kundi la kwanza sehemu zote ni za kawaida, hivyo P (A/B 1) = 1.
Wacha tupate uwezekano wa masharti P (A/B 2), yaani. uwezekano kwamba sehemu mbili za kawaida zitaondolewa kwa mpangilio (na kurudishwa) kutoka kwa kundi la pili: P (A/B 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Wacha tupate uwezekano wa masharti P (A/B 3), i.e. uwezekano kwamba sehemu mbili za kawaida zitaondolewa kwa mpangilio (na kurejeshwa) kutoka kwa kundi la tatu: P (A/B 3) = 10/20 · 10/20 = 1/4.
Uwezekano unaohitajika kwamba sehemu zote za kawaida zilizotolewa zinachukuliwa kutoka kwa kundi la tatu, kulingana na fomula ya Bayes, ni sawa na 
1.2.7. Vipimo vinavyorudiwa
Ikiwa vipimo kadhaa vinafanywa, na uwezekano wa tukio hilo A katika kila mtihani hautegemei matokeo ya vipimo vingine, basi vipimo hivyo huitwa huru kuhusiana na tukio A. Katika majaribio tofauti huru tukio hilo A inaweza kuwa na uwezekano tofauti au uwezekano sawa. Tutazingatia zaidi majaribio kama hayo ya kujitegemea ambayo tukio hilo A ina uwezekano sawa.
Wacha izalishwe P majaribio ya kujitegemea, katika kila moja ambayo tukio hilo A inaweza kuonekana au isionekane. Hebu tukubaliane kudhani kwamba uwezekano wa tukio A katika kila jaribio ni sawa, yaani sawa R. Kwa hiyo, uwezekano wa tukio hilo kutotokea A katika kila jaribio pia ni thabiti na ni sawa na 1- R. Mpango huu wa uwezekano unaitwa Mpango wa Bernoulli. Hebu tujiwekee kazi ya kukokotoa uwezekano kwamba ni lini P Tukio la mtihani wa Bernoulli A itatimia k mara moja ( k- idadi ya mafanikio) na, kwa hivyo, haitatimia P- mara moja. Ni muhimu kusisitiza kwamba haihitajiki tukio hilo A kurudiwa haswa k nyakati katika mlolongo fulani. Tunaashiria uwezekano unaotaka R p (k).
Kwa mfano, ishara R 5(3) inamaanisha uwezekano kwamba katika majaribio matano tukio litatokea mara 3 haswa na kwa hivyo halitokei mara 2.
Tatizo lililojitokeza linaweza kutatuliwa kwa kutumia kinachojulikana Fomula za Bernoulli, ambayo inaonekana kama: 
.
Tatizo 1.20. Uwezekano kwamba matumizi ya umeme wakati wa siku moja hayatazidi kawaida iliyowekwa ni sawa R=0.75. Pata uwezekano kwamba katika siku 6 zijazo, matumizi ya umeme kwa siku 4 hayatazidi kawaida.
Suluhisho. Uwezekano wa matumizi ya kawaida ya nishati wakati wa kila siku 6 ni mara kwa mara na sawa na R=0.75. Kwa hiyo, uwezekano wa matumizi ya nishati kupita kiasi kila siku pia ni mara kwa mara na sawa na q= 1–R=1–0,75=0,25.
Uwezekano unaohitajika kulingana na fomula ya Bernoulli ni sawa na
.
Tatizo 1.21. Wachezaji wawili sawa wa chess wanacheza chess. Kuna uwezekano gani zaidi: kushinda michezo miwili kati ya michezo minne au mitatu kati ya sita (droo hazizingatiwi)?
Suluhisho. Wachezaji sawa wa chess wanacheza, hivyo uwezekano wa kushinda R= 1/2, kwa hiyo, uwezekano wa kupoteza q pia ni sawa na 1/2. Kwa sababu katika michezo yote uwezekano wa kushinda ni wa mara kwa mara na haijalishi ni mlolongo gani michezo inashinda, basi fomula ya Bernoulli inatumika.
Wacha tupate uwezekano kwamba michezo miwili kati ya minne itashinda:
Wacha tupate uwezekano kwamba michezo mitatu kati ya sita itashinda:
Kwa sababu P 4 (2) > P 6 (3), basi kuna uwezekano mkubwa wa kushinda michezo miwili kati ya minne kuliko mitatu kati ya sita.
Walakini, inaweza kuonekana kuwa kwa kutumia formula ya Bernoulli kwa maadili makubwa n ngumu sana, kwani formula inahitaji shughuli kwa idadi kubwa na kwa hivyo makosa hujilimbikiza wakati wa mchakato wa hesabu; Kama matokeo, matokeo ya mwisho yanaweza kutofautiana sana na yale ya kweli.
Ili kutatua tatizo hili, kuna nadharia kadhaa za kikomo ambazo hutumiwa kwa kesi ya idadi kubwa ya vipimo.
1. Nadharia ya Poisson
Wakati wa kufanya idadi kubwa ya majaribio kwa kutumia mpango wa Bernoulli (na n=> ∞) na kwa idadi ndogo ya matokeo mazuri k(inadhaniwa kuwa uwezekano wa mafanikio uk ndogo), formula ya Bernoulli inakaribia fomula ya Poisson 
.
Mfano 1.22. Uwezekano wa kasoro wakati biashara inazalisha kitengo cha bidhaa ni sawa na uk=0.001. Kuna uwezekano gani kwamba wakati wa kutengeneza vitengo 5000 vya bidhaa, chini ya 4 kati yao itakuwa na kasoro (tukio A Suluhisho. Kwa sababu n ni kubwa, tunatumia nadharia ya ndani ya Laplace: 
Hebu tuhesabu x:
Kazi 
- hata, hivyo φ(-1.67) = φ(1.67).
Kutumia jedwali katika Kiambatisho A.1, tunapata φ(1.67) = 0.0989.
Uwezekano unaohitajika P 2400 (1400) = 0,0989.
3. Nadharia muhimu ya Laplace
Ikiwa uwezekano R kutokea kwa tukio A katika kila jaribio kulingana na mpango wa Bernoulli ni mara kwa mara na tofauti na sifuri na moja, basi kwa idadi kubwa ya majaribio. n, uwezekano R p (k 1 , k 2) tukio la tukio A katika majaribio haya kutoka k 1 kwa k Mara 2 takriban sawa
R uk(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ ( x"), wapi 
- kazi ya laplace,
Kiunganishi cha uhakika katika chaguo za kukokotoa cha Laplace hakiwezi kuhesabiwa kwenye darasa la kazi za uchanganuzi, kwa hivyo jedwali linatumiwa kuihesabu. Kifungu cha 2, kilichotolewa katika kiambatisho.
Mfano 1.24. Uwezekano wa tukio kutokea katika kila moja ya majaribio mia moja huru ni thabiti na ni sawa na uk= 0.8. Pata uwezekano kwamba tukio litaonekana: a) angalau mara 75 na si zaidi ya mara 90; b) angalau mara 75; c) si zaidi ya mara 74.
Suluhisho. Wacha tutumie nadharia muhimu ya Laplace:
R uk(k 1 , k 2) = Φ ( x"") – Φ( x"), wapi Ф( x) - kazi ya laplace,
a) Kulingana na masharti, n = 100, uk = 0,8, q = 0,2, k 1 = 75, k 2 = 90. Hebu tuhesabu x"" Na x" :
Kwa kuzingatia kwamba kazi ya Laplace ni isiyo ya kawaida, i.e. F(- x) = - Ф( x), tunapata
P 100 (75;90) = Ф (2.5) - Ф (–1.25) = Ф (2.5) + Ф (1.25).
Kulingana na jedwali Uk.2. tutapata maombi:
F(2,5) = 0.4938; F(1.25) = 0.3944.
Uwezekano unaohitajika
P 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Mahitaji ya kutokea kwa tukio angalau mara 75 inamaanisha kwamba idadi ya matukio ya tukio inaweza kuwa 75, au 76, ..., au 100. Hivyo, katika kesi inayozingatiwa, inapaswa kukubaliwa. k 1 = 75, k 2 = 100. Kisha 
.
Kulingana na jedwali Uk.2. maombi tunayopata Ф(1.25) = 0.3944; Ф(5) = 0.5.
Uwezekano unaohitajika
P 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Tukio" A ilionekana angalau mara 75" na " A ilionekana si zaidi ya mara 74" ni kinyume, hivyo jumla ya uwezekano wa matukio haya ni sawa na 1. Kwa hiyo, uwezekano unaohitajika.
P 100 (0;74) = 1 – P 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.
Inapakia...