Wanafunzi huuliza kila mara: “Kwa nini siwezi kutumia kikokotoo katika mtihani wa hesabu? Jinsi ya kutoa mzizi wa mraba wa nambari bila calculator? Hebu jaribu kujibu swali hili.
Jinsi ya kutoa mzizi wa mraba wa nambari bila msaada wa calculator?
Kitendo mizizi ya mraba kinyume na hatua ya squaring.
√81= 9 9 2 =81
Ukichukua mzizi wa mraba wa nambari chanya na mraba wa matokeo, utapata nambari sawa.
Kutoka kwa nambari ndogo ambazo ni mraba halisi wa nambari za asili, kwa mfano 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100, mizizi ya mraba inaweza kutolewa kwa mdomo. Kawaida shuleni hufundisha meza ya mraba ya nambari za asili hadi ishirini. Kujua jedwali hili, ni rahisi kutoa mizizi ya mraba kutoka kwa nambari 121,144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Kutoka kwa nambari kubwa zaidi ya 400 unaweza kuzitoa kwa kutumia njia ya uteuzi kwa kutumia vidokezo vingine. Hebu jaribu kuangalia njia hii kwa mfano.
Mfano: Chambua mzizi wa nambari 676.
Tunaona kwamba 20 2 = 400, na 30 2 = 900, ambayo ina maana 20.< √676 < 900.
Mraba kamili wa nambari za asili huisha kwa 0; 1; 4; 5; 6; 9.
Nambari 6 inatolewa na 4 2 na 6 2.
Hii inamaanisha kuwa ikiwa mzizi umechukuliwa kutoka 676, basi ni 24 au 26.
Inabakia kuangalia: 24 2 = 576, 26 2 = 676.
Jibu: √676 = 26 .
Zaidi mfano: √6889 .
Tangu 80 2 = 6400, na 90 2 = 8100, kisha 80< √6889 < 90.
Nambari 9 inatolewa na 3 2 na 7 2, kisha √6889 ni sawa na 83 au 87.
Wacha tuangalie: 83 2 = 6889.
Jibu: √6889 = 83 .
Ikiwa unaona ni vigumu kutatua kwa kutumia mbinu ya uteuzi, unaweza kuangazia usemi mkali.
Kwa mfano, pata √893025.
Wacha tuhesabu nambari 893025, kumbuka, ulifanya hivi katika darasa la sita.
Tunapata: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.
Zaidi mfano: √20736. Wacha tuhesabu nambari 20736:
Tunapata √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.
Kwa kweli, uainishaji unahitaji maarifa ya ishara za mgawanyiko na ustadi wa uainishaji.
Na hatimaye, kuna sheria ya kuchimba mizizi ya mraba. Wacha tufahamiane na sheria hii kwa mifano.
Piga hesabu √279841.
Ili kutoa mzizi wa nambari kamili ya tarakimu nyingi, tunaigawanya kutoka kulia kwenda kushoto katika nyuso zilizo na tarakimu 2 (makali ya kushoto kabisa yanaweza kuwa na tarakimu moja). Tunaandika hivi: 27'98'41
Ili kupata tarakimu ya kwanza ya mzizi (5), tunachukua mzizi wa mraba wa mraba mkubwa kabisa ulio kwenye uso wa kwanza upande wa kushoto (27).
Kisha mraba wa tarakimu ya kwanza ya mzizi (25) hutolewa kutoka kwa uso wa kwanza na uso unaofuata (98) huongezwa kwa tofauti (iliyotolewa).
Kwa upande wa kushoto wa nambari inayosababisha 298, andika nambari mbili ya mzizi (10), ugawanye nayo nambari ya makumi yote ya nambari iliyopatikana hapo awali (29/2 ≈ 2), jaribu mgawo (102 ∙2 = 204). haipaswi kuwa zaidi ya 298) na uandike (2) baada ya tarakimu ya kwanza ya mzizi.
Kisha quotient 204 inayotokana imetolewa kutoka 298 na makali inayofuata (41) huongezwa kwa tofauti (94).
Kwa upande wa kushoto wa nambari inayotokana 9441, andika bidhaa mbili za nambari za mzizi (52 ∙2 = 104), gawanya nambari ya makumi yote ya nambari 9441 (944/104 ≈ 9) na bidhaa hii, jaribu quotient (1049 ∙9 = 9441) inapaswa kuwa 9441 na iandike (9) baada ya tarakimu ya pili ya mzizi.
Tumepokea jibu √279841 = 529.
Dondoo vile vile mizizi ya sehemu za desimali. Nambari kali pekee inapaswa kugawanywa katika nyuso ili koma iwe kati ya nyuso.
Mfano. Pata thamani √0.00956484.
Kumbuka tu kwamba ikiwa sehemu ya desimali ina idadi isiyo ya kawaida ya maeneo ya desimali, mzizi wa mraba hauwezi kuchukuliwa kutoka humo.
Kwa hivyo sasa umeona njia tatu za kuchimba mzizi. Chagua ile inayokufaa zaidi na ufanye mazoezi. Ili kujifunza kutatua matatizo, unahitaji kuyatatua. Na ikiwa una maswali yoyote, jiandikishe kwa masomo yangu.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.
Katika makala hii tutaanzisha dhana ya mzizi wa nambari. Tutaendelea kwa sequentially: tutaanza na mizizi ya mraba, kutoka hapo tutaendelea kwenye maelezo ya mizizi ya ujazo, baada ya hapo tutajumlisha dhana ya mizizi kwa kufafanua mzizi wa nth. Wakati huo huo, tutaanzisha ufafanuzi, nukuu, kutoa mifano ya mizizi na kutoa maelezo na maoni muhimu.
Mzizi wa mraba, mzizi wa mraba wa hesabu
Ili kuelewa ufafanuzi wa mzizi wa nambari, na mzizi wa mraba haswa, unahitaji kuwa na . Katika hatua hii mara nyingi tutakutana na nguvu ya pili ya nambari - mraba wa nambari.
Hebu tuanze na ufafanuzi wa mizizi ya mraba.
Ufafanuzi
Mzizi wa mraba wa a ni nambari ambayo mraba wake ni sawa na a.
Kuongoza mifano ya mizizi ya mraba, chukua nambari kadhaa, kwa mfano, 5, -0.3, 0.3, 0, na mraba, tunapata nambari 25, 0.09, 0.09 na 0, mtawaliwa (5 2 =5 · 5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 na 0 2 =0·0=0 ). Kisha, kwa ufafanuzi uliotolewa hapo juu, nambari 5 ni mzizi wa mraba wa nambari 25, nambari -0.3 na 0.3 ni mizizi ya mraba ya 0.09, na 0 ni mzizi wa mraba wa sifuri.
Ikumbukwe kwamba sio kwa nambari yoyote kuna a ambayo mraba wake ni sawa na a. Yaani, kwa nambari yoyote hasi a hakuna nambari halisi b ambayo mraba wake ni sawa na a. Kwa kweli, usawa a=b 2 hauwezekani kwa hasi yoyote a, kwani b 2 ni nambari isiyo hasi kwa b yoyote. Hivyo, hakuna mzizi wa mraba wa nambari hasi kwenye seti ya nambari halisi. Kwa maneno mengine, kwenye seti ya nambari halisi, mizizi ya mraba ya nambari hasi haijafafanuliwa na haina maana.
Hii inasababisha swali la kimantiki: "Je, kuna mzizi wa mraba wa a kwa yoyote isiyo hasi a"? Jibu ni ndiyo. Ukweli huu unaweza kuthibitishwa na njia ya kujenga inayotumiwa kupata thamani ya mzizi wa mraba.
Kisha swali linalofuata la kimantiki linatokea: "Ni nambari gani ya mizizi yote ya mraba ya nambari isiyo ya hasi - moja, mbili, tatu, au hata zaidi"? Hapa kuna jibu: ikiwa a ni sifuri, basi mzizi pekee wa mraba wa sifuri ni sifuri; ikiwa a ni nambari chanya, basi idadi ya mizizi ya mraba ya nambari a ni mbili, na mizizi ni . Hebu kuhalalisha hili.
Wacha tuanze na kesi a=0 . Kwanza, hebu tuonyeshe kwamba sifuri ni mzizi wa mraba wa sifuri. Hii inafuatia kutoka kwa usawa dhahiri 0 2 =0·0=0 na ufafanuzi wa mzizi wa mraba.
Sasa hebu tuthibitishe kuwa 0 ndio mzizi wa mraba wa sifuri. Wacha tutumie njia iliyo kinyume. Tuseme kuna nambari ya nonzero b ambayo ni mzizi wa mraba wa sifuri. Kisha hali b 2 = 0 lazima itimizwe, ambayo haiwezekani, kwa kuwa kwa yoyote isiyo ya sifuri b thamani ya kujieleza b 2 ni chanya. Tumefika kwenye utata. Hii inathibitisha kuwa 0 ndio mzizi wa mraba wa sifuri.
Wacha tuendelee kwenye hali ambapo a ni nambari chanya. Tulisema hapo juu kuwa kila mara kuna mzizi wa mraba wa nambari yoyote isiyo hasi, acha mzizi wa mraba wa a uwe nambari b. Wacha tuseme kwamba kuna nambari c, ambayo pia ni mzizi wa mraba wa a. Halafu, kwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba, usawa b 2 =a na c 2 =a ni kweli, ambayo inafuata kwamba b 2 -c 2 =a-a=0, lakini kwa kuwa b 2 -c 2 =( b−c)·( b+c) , kisha (b−c)·(b+c)=0 . Usawa unaotokana ni halali mali ya shughuli na nambari halisi inawezekana tu wakati b−c=0 au b+c=0 . Kwa hivyo, nambari b na c ni sawa au kinyume.
Ikiwa tunachukulia kuwa kuna nambari d, ambayo ni mzizi mwingine wa mraba wa nambari a, basi kwa hoja sawa na zile zilizotolewa tayari, inathibitishwa kuwa d ni sawa na nambari b au nambari c. Kwa hivyo, idadi ya mizizi ya mraba ya nambari chanya ni mbili, na mizizi ya mraba ni nambari tofauti.
Kwa urahisi wa kufanya kazi na mizizi ya mraba, mizizi hasi "imetengwa" kutoka kwa chanya. Kwa kusudi hili, huletwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba wa hesabu.
Ufafanuzi
Mzizi wa mraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo mraba wake ni sawa na a.
Nukuu ya mzizi wa mraba wa hesabu wa a ni . Ishara inaitwa ishara ya mizizi ya mraba ya hesabu. Pia inaitwa ishara kali. Kwa hiyo, wakati mwingine unaweza kusikia "mizizi" na "radical", ambayo ina maana ya kitu kimoja.
Nambari iliyo chini ya ishara ya mzizi wa mraba wa hesabu inaitwa nambari kali, na usemi chini ya ishara ya mizizi ni usemi mkali, ilhali neno "idadi kali" mara nyingi hubadilishwa na "usemi mkali". Kwa mfano, katika nukuu nambari 151 ni nambari kali, na katika nukuu usemi a ni usemi mkali.
Wakati wa kusoma, neno "hesabu" mara nyingi huachwa, kwa mfano, ingizo linasomwa kama "mzizi wa mraba wa alama saba ishirini na tisa." Neno "hesabu" hutumiwa tu wakati wanataka kusisitiza kwamba tunazungumza haswa juu ya mzizi chanya wa nambari.
Kwa kuzingatia nukuu iliyoletwa, inafuata kutoka kwa ufafanuzi wa mzizi wa mraba wa hesabu kwamba kwa nambari yoyote isiyo hasi a .
Mizizi ya mraba ya nambari chanya a imeandikwa kwa kutumia alama ya mzizi wa hesabu kama na . Kwa mfano, mizizi ya mraba ya 13 ni na. Mzizi wa mraba wa hesabu wa sifuri ni sifuri, yaani,. Kwa nambari hasi a, hatutaambatisha maana kwenye nukuu hadi tujifunze nambari ngumu. Kwa mfano, maneno na hayana maana.
Kulingana na ufafanuzi wa mizizi ya mraba, mali ya mizizi ya mraba imethibitishwa, ambayo hutumiwa mara nyingi katika mazoezi.
Kwa kumalizia aya hii, tunaona kwamba mizizi ya mraba ya nambari a ni masuluhisho ya fomu x 2 =a kuhusiana na mabadiliko ya x.
Mzizi wa mchemraba wa nambari
Ufafanuzi wa mizizi ya mchemraba ya nambari a imetolewa sawa na ufafanuzi wa mzizi wa mraba. Inategemea tu dhana ya mchemraba wa nambari, sio mraba.
Ufafanuzi
Mzizi wa mchemraba wa a ni nambari ambayo mchemraba wake ni sawa na a.
Hebu tupe mifano ya mizizi ya mchemraba. Ili kufanya hivyo, chukua nambari kadhaa, kwa mfano, 7, 0, -2/3, na uziweke mchemraba: 7 3 = 7 · 7 · 7 = 343, 0 3 = 0 · 0 · 0 = 0. 
. Kisha, kwa kuzingatia ufafanuzi wa mizizi ya mchemraba, tunaweza kusema kwamba nambari 7 ni mzizi wa mchemraba wa 343, 0 ni mzizi wa mchemraba wa sifuri, na -2/3 ni mzizi wa mchemraba wa -8/27.
Inaweza kuonyeshwa kuwa mzizi wa mchemraba wa nambari, tofauti na mzizi wa mraba, daima upo, sio tu kwa zisizo hasi a, lakini pia kwa nambari yoyote halisi a. Ili kufanya hivyo, unaweza kutumia njia ile ile tuliyotaja wakati wa kusoma mizizi ya mraba.
Kwa kuongezea, kuna mzizi mmoja tu wa mchemraba wa nambari fulani a. Hebu tuthibitishe kauli ya mwisho. Ili kufanya hivyo, zingatia visa vitatu tofauti: a ni nambari chanya, a=0 na a ni nambari hasi.
Ni rahisi kuonyesha kwamba ikiwa a ni chanya, mzizi wa mchemraba wa a hauwezi kuwa nambari hasi au sifuri. Hakika, basi b iwe mzizi wa mchemraba wa a, basi kwa ufafanuzi tunaweza kuandika usawa b 3 =a. Ni wazi kwamba usawa huu hauwezi kuwa kweli kwa b hasi na kwa b=0, kwani katika hali hizi b 3 = b·b·b itakuwa nambari hasi au sifuri, mtawalia. Kwa hivyo mzizi wa mchemraba wa nambari chanya a ni nambari chanya.
Sasa tuseme kwamba pamoja na nambari b kuna mzizi mwingine wa mchemraba wa nambari a, wacha tuonyeshe c. Kisha c 3 =a. Kwa hiyo, b 3 -c 3 =a−a=0, lakini b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(hii ndio fomula iliyofupishwa ya kuzidisha tofauti ya cubes), imetoka wapi (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Usawa unaotokana unawezekana tu wakati b−c=0 au b 2 +b·c+c 2 =0. Kutoka usawa wa kwanza tuna b=c, na usawa wa pili hauna suluhu, kwani upande wake wa kushoto ni nambari chanya kwa nambari zozote chanya b na c kama jumla ya maneno matatu chanya b 2, b·c na c 2. Hii inathibitisha upekee wa mzizi wa mchemraba wa nambari chanya a.
Wakati a=0, mzizi wa mchemraba wa nambari a ni nambari sifuri tu. Hakika, ikiwa tunadhania kuwa kuna namba b, ambayo ni mzizi wa mchemraba usio na sifuri wa sifuri, basi usawa b 3 =0 lazima ushikilie, ambayo inawezekana tu wakati b = 0.
Kwa hasi a, hoja zinazofanana na kesi ya chanya a zinaweza kutolewa. Kwanza, tunaonyesha kwamba mzizi wa mchemraba wa nambari hasi hauwezi kuwa sawa na nambari chanya au sifuri. Pili, tunadhania kuwa kuna mzizi wa pili wa mchemraba wa nambari hasi na tunaonyesha kuwa itaendana na ya kwanza.
Kwa hivyo, daima kuna mzizi wa mchemraba wa nambari yoyote halisi a, na ya kipekee.
Hebu tupe ufafanuzi wa mzizi wa mchemraba wa hesabu.
Ufafanuzi
Mzizi wa mchemraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo mchemraba wake ni sawa na a.
Mzizi wa mchemraba wa hesabu wa nambari isiyo hasi a huonyeshwa kama , ishara inaitwa ishara ya mzizi wa mchemraba wa hesabu, nambari 3 katika nukuu hii inaitwa. index ya mizizi. Nambari iliyo chini ya ishara ya mizizi ni nambari kali, usemi chini ya ishara ya mizizi ni usemi mkali.
Ingawa mzizi wa mchemraba wa hesabu hufafanuliwa kwa nambari zisizo hasi a, pia ni rahisi kutumia nukuu ambamo nambari hasi hupatikana chini ya ishara ya mchemraba wa hesabu. Tutazielewa kama ifuatavyo: , ambapo a ni nambari chanya. Kwa mfano, 
.
Tutazungumzia kuhusu mali ya mizizi ya mchemraba katika makala ya jumla ya mali ya mizizi.
Kuhesabu thamani ya mzizi wa mchemraba inaitwa kuchimba mzizi wa mchemraba hatua hii inajadiliwa katika nakala ya kuchimba mizizi: njia, mifano, suluhisho.
Kuhitimisha hatua hii, hebu tuseme kwamba mzizi wa mchemraba wa nambari a ni suluhisho la fomu x 3 =a.
mzizi wa nth, mzizi wa hesabu wa shahada n
Wacha tufanye jumla ya dhana ya mzizi wa nambari - tunaanzisha ufafanuzi wa mzizi wa nth kwa n.
Ufafanuzi
mzizi wa a ni nambari ambayo nguvu ya nth ni sawa na a.
Kutokana na ufafanuzi huu ni wazi kwamba mzizi wa shahada ya kwanza wa nambari a ni nambari a yenyewe, kwani wakati wa kusoma shahada na kielelezo asilia tulichukua 1 =a.
Hapo juu tuliangalia kesi maalum za mzizi wa nth kwa n = 2 na n = 3 - mizizi ya mraba na mizizi ya mchemraba. Hiyo ni, mzizi wa mraba ni mzizi wa shahada ya pili, na mzizi wa mchemraba ni mzizi wa shahada ya tatu. Kusoma mizizi ya digrii ya nth kwa n = 4, 5, 6, ..., ni rahisi kugawanya katika vikundi viwili: kikundi cha kwanza - mizizi ya digrii hata (ambayo ni, kwa n = 4, 6, 8 , ...), kundi la pili - mizizi digrii isiyo ya kawaida (yaani, na n = 5, 7, 9, ...). Hii ni kutokana na ukweli kwamba mizizi ya nguvu hata ni sawa na mizizi ya mraba, na mizizi ya nguvu isiyo ya kawaida ni sawa na mizizi ya ujazo. Hebu tushughulike nao mmoja baada ya mwingine.
Wacha tuanze na mizizi ambayo nguvu zake ni nambari 4, 6, 8, ... Kama tulivyokwisha sema, zinafanana na mzizi wa mraba wa nambari a. Hiyo ni, mzizi wa digrii yoyote sawa ya nambari a ipo tu kwa isiyo hasi a. Zaidi ya hayo, ikiwa a=0, basi mzizi wa a ni wa kipekee na ni sawa na sifuri, na ikiwa a>0, basi kuna mizizi miwili ya kiwango sawa cha nambari a, na ni nambari zinazopingana.
Hebu tuthibitishe kauli ya mwisho. Acha b iwe mzizi sawa (tunaashiria kama 2 · m, ambapo m ni nambari ya asili) ya nambari a. Tuseme kuwa kuna nambari c - mzizi mwingine wa digrii 2 · m kutoka nambari a. Kisha b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Lakini tunajua umbo b 2 m −c 2 m = (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), kisha (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Kutoka kwa usawa huu inafuata kwamba b-c=0, au b+c=0, au b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Sawa mbili za kwanza zinamaanisha kuwa nambari b na c ni sawa au b na c ni kinyume. Na usawa wa mwisho ni halali kwa b=c=0 pekee, kwani upande wake wa kushoto kuna usemi ambao sio hasi kwa b na c yoyote kama jumla ya nambari zisizo hasi.
Kuhusu mizizi ya shahada ya nth kwa n isiyo ya kawaida, ni sawa na mzizi wa ujazo. Hiyo ni, mzizi wa digrii yoyote isiyo ya kawaida ya nambari a ipo kwa nambari yoyote halisi a, na kwa nambari fulani ni ya kipekee.
Upekee wa mzizi wa shahada isiyo ya kawaida 2 m+1 ya nambari a unathibitishwa na mlinganisho na uthibitisho wa upekee wa mzizi wa mchemraba wa a. Hapa tu badala ya usawa a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) usawa wa fomu b 2 m+1 -c 2 m+1 = hutumiwa (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Usemi katika mabano ya mwisho unaweza kuandikwa upya kama b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Kwa mfano, na m=2 tunayo b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). A na b zikiwa chanya au zote mbili hasi, bidhaa yake ni nambari chanya, kisha usemi b 2 +c 2 +b·c katika mabano ya juu kabisa yaliyowekwa ni chanya kama jumla ya nambari chanya. Sasa, tukisogea kwa mfuatano kwa misemo katika mabano ya digrii za awali za nesting, tunasadikishwa kuwa pia ni chanya kama jumla ya nambari chanya. Matokeo yake, tunapata kwamba usawa b 2 m+1 -c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 inawezekana tu wakati b−c=0, yaani, wakati nambari b ni sawa na nambari c.
Ni wakati wa kuelewa nukuu ya mizizi ya nth. Kwa kusudi hili hutolewa ufafanuzi wa mzizi wa hesabu wa shahada ya nth.
Ufafanuzi
Mzizi wa hesabu wa shahada ya nth ya nambari isiyo hasi a ni nambari isiyo hasi ambayo nguvu yake ya nth ni sawa na a.
Mara nyingi, wakati wa kutatua shida, tunakabiliwa na idadi kubwa ambayo tunahitaji kutoa mizizi ya mraba. Wanafunzi wengi huamua kuwa hili ni kosa na kuanza kusuluhisha tena mfano mzima. Kwa hali yoyote usifanye hivi! Kuna sababu mbili za hii:
- Mizizi ya idadi kubwa huonekana katika matatizo. Hasa katika maandishi;
- Kuna algorithm ambayo mizizi hii huhesabiwa karibu kwa mdomo.
Tutazingatia algorithm hii leo. Labda baadhi ya mambo yataonekana kutoeleweka kwako. Lakini ukizingatia somo hili, utapokea silaha yenye nguvu dhidi ya mizizi ya mraba.
Kwa hivyo, algorithm:
- Punguza mzizi unaohitajika juu na chini kwa nambari ambazo ni zidishi za 10. Kwa hivyo, tutapunguza safu ya utafutaji hadi nambari 10;
- Kutoka kwa nambari hizi 10, ondoa zile ambazo hakika haziwezi kuwa mizizi. Matokeo yake, nambari 1-2 zitabaki;
- Mraba nambari hizi 1-2. Yule ambaye mraba wake ni sawa na nambari ya asili itakuwa mzizi.
Kabla ya kuweka algorithm hii katika vitendo, hebu tuangalie kila hatua ya mtu binafsi.
Kizuizi cha mizizi
Kwanza kabisa, tunahitaji kujua kati ya nambari gani mizizi yetu iko. Inastahili sana kwamba nambari ziwe nyingi za kumi:
10 2 = 100;
20 2 = 400;
30 2 = 900;
40 2 = 1600;
...
90 2 = 8100;
100 2 = 10 000.
Tunapata mfululizo wa nambari:
100; 400; 900; 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100; 10 000.
Nambari hizi zinatuambia nini? Ni rahisi: tunapata mipaka. Chukua, kwa mfano, nambari 1296. Iko kati ya 900 na 1600. Kwa hiyo, mizizi yake haiwezi kuwa chini ya 30 na zaidi ya 40:
[Maelezo ya picha]
Jambo hilo hilo linatumika kwa nambari nyingine yoyote ambayo unaweza kupata mzizi wa mraba. Kwa mfano, 3364:
[Maelezo ya picha]Kwa hivyo, badala ya nambari isiyoeleweka, tunapata safu maalum ambayo mzizi wa asili uko. Ili kupunguza zaidi eneo la utafutaji, nenda kwenye hatua ya pili.
Kuondoa idadi dhahiri isiyo ya lazima
Kwa hivyo, tuna nambari 10 - wagombea wa mzizi. Tulizipata kwa haraka sana, bila kufikiri na kuzidisha changamano katika safu. Ni wakati wa kuendelea.
Amini usiamini, sasa tutapunguza idadi ya watahiniwa hadi wawili - tena bila hesabu ngumu! Inatosha kujua sheria maalum. Hii hapa:
Nambari ya mwisho ya mraba inategemea tu nambari ya mwisho nambari ya asili.
Kwa maneno mengine, angalia tu tarakimu ya mwisho ya mraba na tutaelewa mara moja ambapo nambari ya awali inaisha.
Kuna tarakimu 10 pekee zinazoweza kufika mahali pa mwisho. Wacha tujaribu kujua zinageuka kuwa wakati wa mraba. Angalia meza:
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 |
| 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 |
Jedwali hili ni hatua nyingine kuelekea kuhesabu mzizi. Kama unavyoona, nambari kwenye safu ya pili ziligeuka kuwa za ulinganifu kwa zile tano. Kwa mfano:
2 2 = 4;
8 2 = 64 → 4.
Kama unaweza kuona, nambari ya mwisho ni sawa katika visa vyote viwili. Hii ina maana kwamba, kwa mfano, mzizi wa 3364 lazima uishie kwa 2 au 8. Kwa upande mwingine, tunakumbuka kizuizi kutoka kwa aya iliyotangulia. Tunapata:
[Maelezo ya picha] Mraba nyekundu zinaonyesha kuwa bado hatujui takwimu hii. Lakini mzizi uko katika safu kutoka 50 hadi 60, ambayo kuna nambari mbili tu zinazoisha kwa 2 na 8:
[Maelezo ya picha]Ni hayo tu! Kati ya mizizi yote inayowezekana, tuliacha chaguzi mbili tu! Na hii ni katika kesi ngumu zaidi, kwa sababu tarakimu ya mwisho inaweza kuwa 5 au 0. Na kisha kutakuwa na mgombea mmoja tu wa mizizi!
Mahesabu ya mwisho
Kwa hivyo, tumebakiza nambari 2 za wagombea. Unajuaje mizizi ni ipi? Jibu ni dhahiri: mraba nambari zote mbili. Ile yenye mraba inatoa nambari asilia itakuwa mzizi.
Kwa mfano, kwa nambari 3364 tulipata nambari mbili za watahiniwa: 52 na 58. Wacha tuziweke mraba:
52 2 = (50 +2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
58 2 = (60 - 2) 2 = 3600 - 2 60 2 + 4 = 3364.
Ni hayo tu! Ilibadilika kuwa mzizi ni 58! Wakati huo huo, ili kurahisisha mahesabu, nilitumia fomula ya mraba wa jumla na tofauti. Shukrani kwa hili, sikuhitaji hata kuzidisha nambari kwenye safu! Hii ni kiwango kingine cha uboreshaji wa mahesabu, lakini, kwa kweli, ni hiari kabisa :)
Mifano ya kuhesabu mizizi
Nadharia ni, bila shaka, nzuri. Lakini hebu tuangalie kwa vitendo.
[Maelezo ya picha]
Kwanza, hebu tujue kati ya nambari gani nambari 576 iko:
400 < 576 < 900
20 2 < 576 < 30 2
Sasa hebu tuangalie nambari ya mwisho. Ni sawa na 6. Hii inatokea lini? Ikiwa tu mzizi unaisha kwa 4 au 6. Tunapata nambari mbili:
Kilichobaki ni kuweka mraba kila nambari na kuilinganisha na asili:
24 2 = (20 + 4) 2 = 576
Kubwa! Mraba wa kwanza uligeuka kuwa sawa na nambari asili. Kwa hivyo hii ndio mzizi.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
900 < 1369 < 1600;
30 2 < 1369 < 40 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
1369 → 9;
33; 37.
Mraba:
33 2 = (30 + 3) 2 = 900 + 2 30 3 + 9 = 1089 ≠ 1369;
37 2 = (40 - 3) 2 = 1600 - 2 40 3 + 9 = 1369.
Jibu ni hili: 37.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
2500 < 2704 < 3600;
50 2 < 2704 < 60 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
2704 → 4;
52; 58.
Mraba:
52 2 = (50 + 2) 2 = 2500 + 2 50 2 + 4 = 2704;
Tulipokea jibu: 52. Nambari ya pili haitahitaji tena kuwa mraba.
Kazi. Kuhesabu mzizi wa mraba:
[Maelezo ya picha]
Tunapunguza idadi:
3600 < 4225 < 4900;
60 2 < 4225 < 70 2;
Wacha tuangalie nambari ya mwisho:
4225 → 5;
65.
Kama unaweza kuona, baada ya hatua ya pili kuna chaguo moja tu iliyobaki: 65. Huu ndio mzizi unaotaka. Lakini wacha tuifanye mraba na tuangalie:
65 2 = (60 + 5) 2 = 3600 + 2 60 5 + 25 = 4225;
Kila kitu ni sahihi. Tunaandika jibu.
Hitimisho
Ole, hakuna bora. Hebu tuangalie sababu. Kuna mawili kati yao:
- Katika mtihani wowote wa kawaida wa hisabati, uwe Mtihani wa Jimbo au Mtihani wa Jimbo la Umoja, matumizi ya vikokotoo ni marufuku. Na ukileta kikokotoo darasani, unaweza kufukuzwa kwa urahisi nje ya mtihani.
- Usiwe kama Wamarekani wajinga. Ambayo sio kama mizizi - haiwezi kuongeza nambari mbili kuu. Na wanapoona sehemu, kwa ujumla huwa na wasiwasi.
Mzizi wa mraba ni nini?
Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")
Dhana hii ni rahisi sana. Asili, ningesema. Wanahisabati hujaribu kutafuta majibu kwa kila kitendo. Kuna kuongeza - pia kuna kutoa. Kuna kuzidisha - pia kuna mgawanyiko. Kuna squaring ... Hivyo kuna pia kuchukua mizizi ya mraba! Ni hayo tu. Kitendo hiki ( mizizi ya mraba) katika hisabati inaonyeshwa na ikoni hii:
Ikoni yenyewe inaitwa neno zuri " mkali".
Jinsi ya kuchimba mizizi? Ni bora kuangalia mifano.
Mzizi wa mraba wa 9 ni nini? Ni nambari gani ya mraba itatupa 9? 3 mraba inatupa 9! Wale:
Lakini mzizi wa mraba wa sifuri ni nini? Hakuna swali! Je, sifuri hufanya nambari gani ya mraba? Ndio, inatoa sifuri! Maana:
Nimeelewa, mzizi wa mraba ni nini? Kisha tunazingatia mifano:
Majibu (katika mkanganyiko): 6; 1; 4; 9; 5.
Aliamua? Kweli, ni rahisi kiasi gani hiyo?!
Lakini ... Mtu hufanya nini anapoona kazi fulani yenye mizizi?
Mtu huanza kujisikia huzuni ... Haamini katika unyenyekevu na wepesi wa mizizi yake. Ingawa anaonekana kujua mzizi wa mraba ni nini...
Hii ni kwa sababu mtu alipuuza mambo kadhaa muhimu wakati wa kusoma mizizi. Halafu mitindo hii inalipiza kisasi kikatili kwenye mitihani na mitihani ...
Point moja. Unahitaji kutambua mizizi kwa kuona!
Mzizi wa mraba wa 49 ni nini? Saba? Sawa! Ulijuaje kuwa ilikuwa saba? Umeweka mraba saba na kupata 49? Sawa! Tafadhali kumbuka kuwa ondoa mzizi kati ya 49 tulilazimika kufanya operesheni ya kurudi nyuma - mraba 7! Na hakikisha hatukose. Au wangeweza kukosa...
Huu ndio ugumu uchimbaji wa mizizi. Mraba Unaweza kutumia nambari yoyote bila shida yoyote. Zidisha nambari peke yake kwa safu - ni hayo tu. Lakini kwa uchimbaji wa mizizi Hakuna teknolojia rahisi kama hiyo na isiyo salama. Inatubidi chukua jibu na uangalie ikiwa ni sahihi kwa kuibandika.
Mchakato huu mgumu wa ubunifu - kuchagua jibu - umerahisishwa sana ikiwa wewe kumbuka mraba wa nambari maarufu. Kama meza ya kuzidisha. Ikiwa, sema, unahitaji kuzidisha 4 kwa 6, usiongeze mara nne 6, sivyo? Jibu 24 linakuja mara moja Ingawa, sio kila mtu anapata, ndio ...
Kufanya kazi kwa uhuru na kwa mafanikio na mizizi, inatosha kujua mraba wa nambari kutoka 1 hadi 20. Zaidi ya hayo. hapo Na nyuma. Wale. unapaswa kuwa na uwezo wa kukariri zote mbili kwa urahisi, sema, 11 mraba na mzizi wa mraba wa 121. Ili kufikia kukariri huku, kuna njia mbili. Ya kwanza ni kujifunza meza ya mraba. Hii itakuwa msaada mkubwa katika kutatua mifano. Ya pili ni kutatua mifano zaidi. Hii itakusaidia sana kukumbuka meza ya mraba.
Na hakuna mahesabu! Kwa madhumuni ya majaribio tu. Vinginevyo, utapunguza kasi bila huruma wakati wa mtihani ...
Kwa hiyo, mzizi wa mraba ni nini na jinsi gani dondoo mizizi- Nadhani ni wazi. Sasa hebu tujue ni NINI tunaweza kuzitoa.
Point mbili. Mizizi, sikujui!
Unaweza kuchukua mizizi ya mraba kutoka nambari gani? Ndiyo, karibu yeyote kati yao. Ni rahisi kuelewa inatoka wapi ni haramu kuzitoa.
Wacha tujaribu kuhesabu mzizi huu:
Ili kufanya hivyo, tunahitaji kuchagua nambari ambayo mraba itatupa -4. Tunachagua.
Nini, haifai? 2 2 inatoa +4. (-2) 2 anatoa tena +4! Hiyo ndiyo ... Hakuna nambari ambazo, wakati wa mraba, zitatupa nambari hasi! Ingawa najua nambari hizi. Lakini sitakuambia). Nenda chuo utajitafutia mwenyewe.
Hadithi sawa itatokea kwa nambari yoyote hasi. Kwa hivyo hitimisho:
Usemi ambao kuna nambari hasi chini ya ishara ya mizizi ya mraba - haina maana! Hii ni operesheni iliyokatazwa. Ni marufuku kama kugawanya kwa sifuri. Kumbuka ukweli huu kwa dhati! Au kwa maneno mengine:
Huwezi kutoa mizizi ya mraba kutoka kwa nambari hasi!
Lakini kati ya wengine wote, inawezekana. Kwa mfano, inawezekana kabisa kuhesabu
Kwa mtazamo wa kwanza, hii ni ngumu sana. Kuchagua sehemu na kuzigawanya... Usijali. Tunapoelewa mali ya mizizi, mifano hiyo itapunguzwa kwenye meza sawa ya mraba. Maisha yatakuwa rahisi!
Sawa, sehemu. Lakini bado tunakutana na maneno kama:
Ni sawa. Kila kitu ni sawa. Mzizi wa mraba wa mbili ni nambari ambayo, ikiwa mraba, hutupatia mbili. Nambari hii pekee ndiyo isiyo sawa kabisa... Hii hapa:
Kinachovutia ni kwamba sehemu hii haina mwisho ... Nambari hizo huitwa zisizo na maana. Katika mizizi ya mraba hii ndiyo jambo la kawaida zaidi. Kwa njia, hii ndiyo sababu maneno yenye mizizi huitwa isiyo na mantiki. Ni wazi kwamba kuandika sehemu hiyo isiyo na mwisho wakati wote sio rahisi. Kwa hivyo, badala ya sehemu isiyo na kipimo, wanaiacha kama hii:
Ikiwa, wakati wa kutatua mfano, unaishia na kitu ambacho hakiwezi kutolewa, kama:
basi tunaiacha hivyohivyo. Hili litakuwa jibu.
Unahitaji kuelewa wazi maana ya icons
Bila shaka, ikiwa mzizi wa nambari unachukuliwa laini, lazima ufanye hivi. Jibu la kazi ni katika fomu, kwa mfano
Jibu kamili kabisa.
Na, kwa kweli, unahitaji kujua maadili takriban kutoka kwa kumbukumbu:
Ujuzi huu husaidia sana kutathmini hali katika kazi ngumu.
Pointi tatu. Mjanja zaidi.
Kuchanganyikiwa kuu katika kufanya kazi na mizizi husababishwa na hatua hii. Ni yeye ambaye anatoa ujasiri katika uwezo wake mwenyewe ... Hebu tushughulike na hatua hii vizuri!
Kwanza, hebu tuchukue mzizi wa mraba wa nne kati yao tena. Je! tayari nimekusumbua na mzizi huu?) Usijali, sasa itakuwa ya kuvutia!
Je, 4 mraba hufanya nambari gani? Kweli, mbili, mbili - nasikia majibu ambayo hayajaridhika ...
Sawa. Mbili. Lakini pia ondoa mbili itatoa 4 mraba ... Wakati huo huo, jibu
sahihi na jibu
kosa kubwa. Kama hii.
Kwa hivyo kuna nini?
Hakika, (-2) 2 = 4. Na chini ya ufafanuzi wa mizizi ya mraba ya nne ondoa mbili inafaa kabisa... Huu pia ni mzizi wa mraba wa nne.
Lakini! Katika kozi ya hisabati ya shule, ni desturi kuzingatia mizizi ya mraba nambari zisizo hasi tu! Hiyo ni, sifuri na zote ni chanya. Hata neno maalum liligunduliwa: kutoka miongoni mwa A-Hii isiyo hasi nambari ambayo mraba wake ni A. Matokeo hasi wakati wa kuchimba mzizi wa mraba wa hesabu hutupwa tu. Shuleni, kila kitu ni mizizi ya mraba - hesabu. Ingawa hii haijatajwa haswa.
Sawa, hiyo inaeleweka. Ni bora zaidi kutojisumbua na matokeo mabaya ... Hii bado sio machafuko.
Kuchanganyikiwa huanza wakati wa kusuluhisha milinganyo ya quadratic. Kwa mfano, unahitaji kutatua equation ifuatayo.
Equation ni rahisi, tunaandika jibu (kama inavyofundishwa):
Jibu hili (sahihi kabisa, kwa njia) ni toleo la kifupi tu mbili majibu:
Acha, acha! Hapo juu niliandika kwamba mzizi wa mraba ni nambari Daima zisizo hasi! Na hapa kuna moja ya majibu - hasi! Matatizo. Hili ni tatizo la kwanza (lakini si la mwisho) linalosababisha kutoaminiana kwa mizizi... Hebu tulitatue tatizo hili. Wacha tuandike majibu (kwa kuelewa tu!) kama hii:
Mabano hayabadilishi kiini cha jibu. Niliitenga tu na mabano ishara kutoka mzizi. Sasa unaweza kuona wazi kwamba mzizi yenyewe (katika mabano) bado ni nambari isiyo hasi! Na ishara ni matokeo ya kutatua equation. Baada ya yote, wakati wa kutatua equation yoyote lazima tuandike Wote Xs ambayo, ikibadilishwa kuwa equation ya asili, itatoa matokeo sahihi. Mzizi wa tano (chanya!) wenye kujumlisha na minus unalingana na mlingano wetu.
Kama hii. Kama wewe chukua tu mzizi wa mraba kutoka kwa chochote, wewe Daima kupata moja isiyo hasi matokeo. Kwa mfano:
Kwa sababu ni - mzizi wa mraba wa hesabu.
Lakini ikiwa unasuluhisha equation ya quadratic, kama:
Hiyo Daima inageuka mbili jibu (pamoja na kuongeza na minus):
Kwa sababu hii ndio suluhisho la equation.
Tumaini, mzizi wa mraba ni nini Una pointi zako wazi. Sasa inabakia kujua nini kinaweza kufanywa na mizizi, mali zao ni nini. Na ni pointi na mitego gani ... samahani, mawe!)
Haya yote ni katika masomo yafuatayo.
Ikiwa unapenda tovuti hii ...
Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)
Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)
Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.
Hongera: leo tutaangalia mizizi - moja ya mada zinazovutia zaidi katika daraja la 8 :)
Watu wengi huchanganyikiwa juu ya mizizi sio kwa sababu ni ngumu (ni nini ngumu juu yake - ufafanuzi kadhaa na mali kadhaa), lakini kwa sababu katika vitabu vingi vya kiada vya shule mizizi hufafanuliwa kupitia msitu ambao ni waandishi tu wa vitabu vya kiada wenyewe. anaweza kuelewa maandishi haya. Na hata hivyo tu na chupa ya whisky nzuri :)
Kwa hivyo, sasa nitatoa ufafanuzi sahihi zaidi na unaofaa zaidi wa mzizi - pekee ambayo unapaswa kukumbuka. Na kisha nitaelezea: kwa nini hii yote inahitajika na jinsi ya kuitumia katika mazoezi.
Lakini kwanza, kumbuka jambo moja muhimu ambalo watunzi wengi wa vitabu vya kiada kwa sababu fulani "husahau":
Mizizi inaweza kuwa ya shahada sawa (tuipendayo $\sqrt(a)$, pamoja na kila aina ya $\sqrt(a)$ na hata $\sqrt(a)$) na shahada isiyo ya kawaida (aina zote za $\sqrt (a)$, $\ sqrt(a)$, n.k.). Na ufafanuzi wa mzizi wa shahada isiyo ya kawaida ni tofauti na hata moja.
Pengine 95% ya makosa yote na kutokuelewana kuhusishwa na mizizi ni siri katika fucking hii "tofauti kiasi fulani". Kwa hivyo hebu tufafanue istilahi mara moja na kwa wote:
Ufafanuzi. Hata mizizi n kutoka kwa nambari $a$ ni yoyote isiyo hasi nambari $b$ ni kwamba $((b)^(n))=a$. Na mzizi usio wa kawaida wa nambari sawa $a$ kwa ujumla ni nambari yoyote $b$ ambayo usawa sawa unashikilia: $((b)^(n)))=a$.
Kwa hali yoyote, mizizi inaonyeshwa kama hii:
\(a)\]
Nambari $n$ katika nukuu kama hiyo inaitwa kipeo cha mzizi, na nambari $a$ inaitwa usemi mkali. Hasa, kwa $n=2$ tunapata mzizi wetu wa mraba "unaopenda" (kwa njia, hii ni mzizi wa digrii sawa), na kwa $n=3$ tunapata mzizi wa ujazo (shahada isiyo ya kawaida), ambayo ni pia mara nyingi hupatikana katika matatizo na milinganyo.
Mifano. Mifano ya asili ya mizizi ya mraba:
\[\anza(align) & \sqrt(4)=2; \\ & \sqrt(81)=9; \\ & \sqrt(256)=16. \\ \mwisho(patanisha)\]
Kwa njia, $\sqrt(0)=0$, na $\sqrt(1)=1$. Hili ni jambo la kimantiki, kwani $((0)^(2))=0$ na $((1)^(2))=1$.
Mizizi ya mchemraba pia ni ya kawaida - hakuna haja ya kuwaogopa:
\[\anza(align) & \sqrt(27)=3; \\ & \sqrt(-64)=-4; \\ & \sqrt(343)=7. \\ \mwisho(patanisha)\]
Kweli, michache ya "mifano ya kigeni":
\[\anza(align) & \sqrt(81)=3; \\ & \sqrt(-32)=-2. \\ \mwisho(patanisha)\]
Ikiwa hauelewi ni tofauti gani kati ya digrii hata na isiyo ya kawaida, soma tena ufafanuzi. Hii ni muhimu sana!
Wakati huo huo, tutazingatia kipengele kimoja kisichofurahi cha mizizi, kwa sababu ambayo tulihitaji kuanzisha ufafanuzi tofauti kwa wafadhili hata na wasio wa kawaida.
Kwa nini mizizi inahitajika kabisa?
Baada ya kusoma ufafanuzi huo, wanafunzi wengi watauliza: "Wataalamu wa hisabati walikuwa wakivuta sigara gani walipokuja na hili?" Na kwa kweli: kwa nini mizizi hii yote inahitajika kabisa?
Ili kujibu swali hili, hebu turejee shule ya msingi kwa muda. Kumbuka: katika nyakati hizo za mbali, wakati miti ilikuwa ya kijani na dumplings tastier, wasiwasi wetu kuu ilikuwa kuzidisha namba kwa usahihi. Kweli, kitu kama "tano kwa tano - ishirini na tano", ndivyo tu. Lakini unaweza kuzidisha nambari sio kwa jozi, lakini kwa triplets, quadruples na kwa ujumla seti nzima:
\[\anza(linganisha) & 5\cdot 5=25; \\ & 5\cdot 5\cdot 5=125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=625; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=3125; \\ & 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=15\ 625. \mwisho(align)\]
Walakini, hii sio maana. Ujanja ni tofauti: wanahisabati ni watu wavivu, kwa hivyo walikuwa na wakati mgumu kuandika kuzidisha kwa tano kumi kama hii:
Ndio maana walikuja na digrii. Kwa nini usiandike idadi ya mambo kama maandishi makubwa badala ya kamba ndefu? Kitu kama hiki:
Inafaa sana! Hesabu zote zimepunguzwa sana, na sio lazima upoteze rundo la karatasi za ngozi na madaftari ili kuandika 5,183. Rekodi hii iliitwa nguvu ya nambari; rundo la mali lilipatikana ndani yake, lakini furaha iligeuka kuwa ya muda mfupi.
Baada ya karamu kuu ya unywaji pombe, ambayo iliandaliwa kwa ajili ya “uvumbuzi” wa digrii tu, mwanahisabati fulani mkaidi aliuliza ghafula: “Namna gani ikiwa tunajua kiwango cha nambari, lakini nambari yenyewe haijulikani?” Sasa, kwa hakika, ikiwa tunajua kwamba nambari fulani $b$, tuseme, kwa nguvu ya 5 inatoa 243, basi tunawezaje kukisia nambari $b$ yenyewe ni sawa na nini?
Tatizo hili liliibuka kuwa la kimataifa zaidi kuliko inavyoweza kuonekana mwanzoni. Kwa sababu iliibuka kuwa kwa nguvu nyingi "zilizotengenezwa tayari" hakuna nambari kama hizo "za awali". Jihukumu mwenyewe:
\[\anza(align) & ((b)^(3))=27\ Rightarrow b=3\cdot 3\cdot 3\ Rightarrow b=3; \\ & ((b)^(3))=64\Mshale wa kulia b=4\cdot 4\cdot 4\Mshale wa kulia b=4. \\ \mwisho(patanisha)\]
Je, ikiwa $((b)^(3))=50$? Inatokea kwamba tunahitaji kupata nambari fulani ambayo, ikizidishwa yenyewe mara tatu, itatupa 50. Lakini nambari hii ni nini? Ni wazi zaidi ya 3, kwani 3 3 = 27< 50. С тем же успехом оно меньше 4, поскольку 4 3 = 64 >50. Hiyo ni nambari hii iko mahali fulani kati ya tatu na nne, lakini hutaelewa ni sawa na nini.
Hii ndiyo sababu wanahisabati walikuja na $n$th mizizi. Hii ndio sababu ishara kali $\sqrt(*)$ ilianzishwa. Ili kubainisha nambari hiyo hiyo $b$, ambayo kwa kiwango kilichoonyeshwa itatupa thamani inayojulikana hapo awali
\[\sqrt[n](a)=b\Mshale wa Kulia ((b)^(n))=a\]
Sibishani: mara nyingi mizizi hii huhesabiwa kwa urahisi - tuliona mifano kadhaa hapo juu. Lakini bado, katika hali nyingi, ikiwa unafikiria nambari ya kiholela na kisha kujaribu kutoa mzizi wa digrii ya kiholela kutoka kwayo, utakuwa kwenye bummer mbaya.
Kuna nini! Hata $\sqrt(2)$ rahisi na inayojulikana zaidi haiwezi kuwakilishwa katika hali yetu ya kawaida - kama nambari kamili au sehemu. Na ukiingiza nambari hii kwenye calculator, utaona hii:
\[\sqrt(2)=1.414213562...\]
Kama unaweza kuona, baada ya nukta ya decimal kuna mlolongo usio na mwisho wa nambari ambazo hazitii mantiki yoyote. Unaweza, kwa kweli, kuzunguka nambari hii ili kulinganisha haraka na nambari zingine. Kwa mfano:
\[\sqrt(2)=1.4142...\takriban 1.4 \lt 1.5\]
Au hapa kuna mfano mwingine:
\[\sqrt(3)=1.73205...\takriban 1.7 \gt 1.5\]
Lakini roundings hizi zote, kwanza, ni mbaya kabisa; na pili, unahitaji pia kuwa na uwezo wa kufanya kazi na maadili ya takriban, vinginevyo unaweza kupata rundo la makosa yasiyo ya wazi (kwa njia, ujuzi wa kulinganisha na kuzunguka unahitajika kupimwa kwenye wasifu Uchunguzi wa Hali ya Umoja).
Kwa hivyo, katika hesabu kubwa huwezi kufanya bila mizizi - ni wawakilishi sawa wa seti ya nambari zote halisi $\mathbb(R)$, kama sehemu na nambari ambazo zimejulikana kwetu kwa muda mrefu.
Kutoweza kuwakilisha mzizi kama sehemu ya fomu $\frac(p)(q)$ kunamaanisha kuwa mzizi huu si nambari ya kimantiki. Nambari kama hizo huitwa zisizo na maana, na haziwezi kuwakilishwa kwa usahihi isipokuwa kwa msaada wa muundo mkali au mwingine iliyoundwa mahsusi kwa hii (logarithms, nguvu, mipaka, nk). Lakini zaidi juu ya hilo wakati mwingine.
Hebu fikiria mifano kadhaa ambapo, baada ya mahesabu yote, nambari zisizo na maana bado zitabaki katika jibu.
\[\anza(align) & \sqrt(2+\sqrt(27))=\sqrt(2+3)=\sqrt(5)\takriban 2.236... \\ & \sqrt(\sqrt(-32) ))=\sqrt(-2)\takriban -1.2599... \\ \mwisho(align)\]
Kwa kawaida, kutokana na kuonekana kwa mzizi ni vigumu nadhani ni nambari gani zitakuja baada ya uhakika wa decimal. Hata hivyo, unaweza kutegemea kikokotoo, lakini hata kikokotoo cha tarehe cha juu zaidi kinatupa tu tarakimu chache za kwanza za nambari isiyo na mantiki. Kwa hivyo, ni sahihi zaidi kuandika majibu katika fomu $\sqrt(5)$ na $\sqrt(-2)$.
Hii ndiyo sababu hasa zilizuliwa. Ili kurekodi majibu kwa urahisi.
Kwa nini fasili mbili zinahitajika?
Msomaji makini pengine tayari ameona kwamba mizizi yote ya mraba iliyotolewa katika mifano imechukuliwa kutoka kwa nambari chanya. Naam, angalau kutoka mwanzo. Lakini mizizi ya mchemraba inaweza kutolewa kwa utulivu kutoka kwa nambari yoyote - iwe chanya au hasi.
Kwa nini hii inatokea? Angalia grafu ya chaguo za kukokotoa $y=((x)^(2))$:
Grafu ya kazi ya quadratic inatoa mizizi miwili: chanya na hasi Wacha tujaribu kuhesabu $\sqrt(4)$ kwa kutumia grafu hii. Ili kufanya hivyo, mstari wa mlalo $y=4$ umechorwa kwenye grafu (iliyowekwa alama nyekundu), ambayo inakatiza na parabola katika pointi mbili: $((x)_(1))=2$ na $((x) )_(2)) =-2$. Hii ni mantiki kabisa, tangu
Kila kitu kiko wazi na nambari ya kwanza - ni chanya, kwa hivyo ndio mzizi:
Lakini basi nini cha kufanya na hatua ya pili? Kama nne ina mizizi miwili mara moja? Baada ya yote, ikiwa tutaweka nambari −2 mraba, pia tunapata 4. Kwa nini usiandike $\sqrt(4)=-2$ basi? Na kwa nini waalimu hutazama machapisho kama vile wanataka kula wewe :)
Shida ni kwamba ikiwa hautaweka masharti yoyote ya ziada, basi quad itakuwa na mizizi miwili ya mraba - chanya na hasi. Na nambari yoyote chanya pia itakuwa na mbili kati yao. Lakini nambari hasi hazitakuwa na mizizi hata kidogo - hii inaweza kuonekana kutoka kwa grafu moja, kwani parabola haianguki chini ya mhimili. y, i.e. haikubali maadili hasi.
Shida kama hiyo hufanyika kwa mizizi yote iliyo na kielelezo hata:
- Kwa kusema kweli, kila nambari chanya itakuwa na mizizi miwili yenye kielelezo $n$;
- Kutoka kwa nambari hasi, mzizi ulio na hata $n$ haujatolewa hata kidogo.
Ndio maana katika ufafanuzi wa mzizi wa digrii sawa $n$ imeainishwa haswa kuwa jibu lazima liwe nambari isiyo hasi. Hivi ndivyo tunavyoondoa utata.
Lakini kwa $n$ isiyo ya kawaida hakuna shida kama hiyo. Ili kuona hili, hebu tuangalie grafu ya chaguo la kukokotoa $y=((x)^(3))$:
Parabola ya mchemraba inaweza kuchukua thamani yoyote, kwa hivyo mzizi wa mchemraba unaweza kuchukuliwa kutoka kwa nambari yoyote Hitimisho mbili zinaweza kutolewa kutoka kwa grafu hii:
- Matawi ya parabola ya ujazo, tofauti na ya kawaida, huenda kwa infinity kwa pande zote mbili - juu na chini. Kwa hiyo, bila kujali urefu gani tunachora mstari wa usawa, mstari huu hakika utaingiliana na grafu yetu. Kwa hivyo, mzizi wa mchemraba unaweza kutolewa kila wakati kutoka kwa nambari yoyote;
- Kwa kuongeza, makutano hayo yatakuwa ya pekee, kwa hivyo huna haja ya kufikiri juu ya nambari gani inachukuliwa kuwa mzizi "sahihi" na ni ipi ya kupuuza. Ndio maana kuamua mizizi kwa digrii isiyo ya kawaida ni rahisi kuliko kwa digrii hata (hakuna hitaji la kutokuwa hasi).
Inasikitisha kwamba mambo haya rahisi hayajaelezewa katika vitabu vingi vya kiada. Badala yake, ubongo wetu huanza kuongezeka kwa kila aina ya mizizi ya hesabu na mali zao.
Ndio, sibishani: unahitaji pia kujua mzizi wa hesabu ni nini. Na nitazungumza juu ya hili kwa undani katika somo tofauti. Leo pia tutazungumzia kuhusu hilo, kwa sababu bila mawazo yote kuhusu mizizi ya $n$-th msururu itakuwa haijakamilika.
Lakini kwanza unahitaji kuelewa wazi ufafanuzi ambao nilitoa hapo juu. Vinginevyo, kwa sababu ya wingi wa maneno, fujo kama hiyo itaanza kichwani mwako kwamba mwisho hautaelewa chochote.
Unachohitaji kufanya ni kuelewa tofauti kati ya viashiria hata na isiyo ya kawaida. Kwa hivyo, wacha tukusanye tena kila kitu unachohitaji kujua kuhusu mizizi:
- Mzizi wa shahada ya usawa unapatikana tu kutoka kwa nambari isiyo hasi na yenyewe daima ni nambari isiyo hasi. Kwa nambari hasi mzizi kama huo haujafafanuliwa.
- Lakini mzizi wa digrii isiyo ya kawaida upo kutoka kwa nambari yoyote na yenyewe inaweza kuwa nambari yoyote: kwa nambari chanya ni chanya, na kwa nambari hasi, kama kidokezo cha kofia, ni hasi.
Je, ni vigumu? Hapana, si vigumu. Ni wazi? Ndiyo, ni wazi kabisa! Kwa hivyo sasa tutafanya mazoezi kidogo na mahesabu.
Mali ya msingi na mapungufu
Mizizi ina mali nyingi za kushangaza na mapungufu - hii itajadiliwa katika somo tofauti. Kwa hivyo, sasa tutazingatia tu "hila" muhimu zaidi, ambayo inatumika tu kwa mizizi iliyo na faharisi sawa. Wacha tuandike mali hii kama fomula:
\[\sqrt(((x)^(2n)))=\left| x\kulia|\]
Kwa maneno mengine, ikiwa tunainua nambari kwa nguvu sawa na kisha kuchukua mzizi wa nguvu sawa kutoka kwayo, hatutapata nambari ya asili, lakini moduli yake. Hii ni nadharia rahisi ambayo inaweza kuthibitishwa kwa urahisi (inatosha kuzingatia zisizo hasi $x$ kando, na kisha hasi tofauti). Waalimu huzungumza kila wakati juu yake, inatolewa katika kila kitabu cha shule. Lakini mara tu inapofikia kusuluhisha milinganyo isiyo na mantiki (yaani, milinganyo iliyo na ishara kali), wanafunzi husahau kwa kauli moja fomula hii.
Ili kuelewa suala hilo kwa undani, hebu tusahau fomula zote kwa dakika moja na jaribu kuhesabu nambari mbili moja kwa moja:
\[\sqrt(((3)^(4)))=?\quad \sqrt(((\left(-3 \kulia)))^(4)))=?\]
Hii ni mifano rahisi sana. Watu wengi watasuluhisha mfano wa kwanza, lakini watu wengi hukwama kwenye wa pili. Ili kutatua shida kama hiyo bila shida, fikiria utaratibu kila wakati:
- Kwanza, nambari inafufuliwa hadi nguvu ya nne. Naam, ni aina ya rahisi. Utapata nambari mpya ambayo inaweza kupatikana hata kwenye jedwali la kuzidisha;
- Na sasa kutoka kwa nambari hii mpya ni muhimu kutoa mzizi wa nne. Wale. hakuna "kupunguzwa" kwa mizizi na nguvu hutokea - hizi ni vitendo vya mfululizo.
Wacha tuangalie usemi wa kwanza: $\sqrt(((3)^(4)))$. Ni wazi, kwanza unahitaji kuhesabu usemi chini ya mzizi:
\[(3)^(4))=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=81\]
Kisha tunatoa mzizi wa nne wa nambari 81:
Sasa tufanye vivyo hivyo na usemi wa pili. Kwanza, tunainua nambari -3 hadi nguvu ya nne, ambayo inahitaji kuizidisha yenyewe mara 4:
\[((\kushoto(-3 \kulia))^(4))=\kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \kushoto(-3 \kulia)\cdot \ kushoto(-3 \kulia)=81\]
Tulipata nambari nzuri, kwani jumla ya minus kwenye bidhaa ni 4, na zote zitaghairi kila mmoja (baada ya yote, minus kwa minus inatoa nyongeza). Kisha tunaondoa mzizi tena:
Kimsingi, mstari huu haungeweza kuandikwa, kwani hakuna akili kwamba jibu lingekuwa sawa. Wale. mzizi hata wa nguvu sawa "huchoma" minuses, na kwa maana hii matokeo hayawezi kutofautishwa na moduli ya kawaida:
\[\anza(align) & \sqrt((3)^(4)))=\left| 3 \kulia|=3; \\ & \sqrt(((\kushoto(-3 \kulia))^(4)))=\kushoto| -3 \kulia|=3. \\ \mwisho(patanisha)\]
Mahesabu haya yanakubaliana vizuri na ufafanuzi wa mzizi wa shahada hata: matokeo ni daima yasiyo ya hasi, na ishara kali pia daima ina nambari isiyo ya hasi. Vinginevyo, mizizi haijafafanuliwa.
Kumbuka juu ya utaratibu
- Nukuu $\sqrt(((a)^(2)))$ ina maana kwamba kwanza tunaweka mraba nambari $a$ na kisha kuchukua mzizi wa mraba wa thamani inayotokana. Kwa hiyo, tunaweza kuwa na uhakika kwamba daima kuna nambari isiyo hasi chini ya ishara ya mizizi, kwani $((a)^(2))\ge 0$ kwa hali yoyote;
- Lakini nukuu $((\left(\sqrt(a) \kulia))^(2))$, kinyume chake, ina maana kwamba kwanza tunachukua mzizi wa nambari fulani $a$ na kisha tu mraba matokeo. Kwa hiyo, nambari $a$ haiwezi kwa hali yoyote kuwa mbaya - hii ni mahitaji ya lazima yaliyojumuishwa katika ufafanuzi.
Kwa hivyo, kwa hali yoyote mtu haipaswi kupunguza mizizi na digrii bila kufikiria, na hivyo kudaiwa "kurahisisha" usemi wa asili. Kwa sababu ikiwa mzizi una nambari hasi na kielelezo chake ni sawa, tunapata rundo la shida.
Hata hivyo, matatizo haya yote yanafaa tu kwa viashiria hata.
Kuondoa ishara ya minus kutoka chini ya ishara ya mizizi
Kwa kawaida, mizizi yenye vielelezo visivyo vya kawaida pia ina kipengele chao, ambacho kwa kanuni haipo na hata. Yaani:
\[\sqrt(-a)=-\sqrt(a)\]
Kwa kifupi, unaweza kuondoa minus kutoka chini ya ishara ya mizizi ya digrii isiyo ya kawaida. Hii ni mali muhimu sana ambayo hukuruhusu "kutupa" ubaya wote:
\[\anza(align) & \sqrt(-8)=-\sqrt(8)=-2; \\ & \sqrt(-27)\cdot \sqrt(-32)=-\sqrt(27)\cdot \left(-\sqrt(32) \kulia)= \\ & =\sqrt(27)\cdot \sqrt(32)= \\ & =3\cdot 2=6. \mwisho(panga)\]
Mali hii rahisi hurahisisha mahesabu mengi. Sasa huna haja ya kuwa na wasiwasi: vipi ikiwa usemi hasi ulifichwa chini ya mzizi, lakini kiwango cha mizizi kiligeuka kuwa hata? Inatosha tu "kutupa nje" minuses yote nje ya mizizi, baada ya hapo inaweza kuzidishwa kwa kila mmoja, kugawanywa, na kwa ujumla kufanya mambo mengi ya tuhuma, ambayo katika kesi ya mizizi ya "classical" imehakikishiwa kutuongoza. kosa.
Na hapa ufafanuzi mwingine unakuja kwenye eneo - ile ile ambayo shule nyingi huanza kusoma misemo isiyo na maana. Na bila hiyo hoja zetu zingekuwa hazijakamilika. Kutana!
Mzizi wa hesabu
Hebu tufikirie kwa muda kwamba chini ya ishara ya mizizi kunaweza tu kuwa na nambari nzuri au, katika hali mbaya zaidi, sifuri. Hebu tusahau kuhusu viashiria hata / isiyo ya kawaida, usahau kuhusu ufafanuzi wote uliotolewa hapo juu - tutafanya kazi tu na nambari zisizo hasi. Nini basi?
Na kisha tutapata mzizi wa hesabu - inaingiliana kwa sehemu na ufafanuzi wetu "wa kawaida", lakini bado inatofautiana nao.
Ufafanuzi. Mzizi wa hesabu wa shahada ya $n$th ya nambari isiyo hasi $a$ ni nambari isiyo hasi $b$ kiasi kwamba $((b)^(n))=a$.
Kama tunavyoona, hatupendezwi tena na usawa. Badala yake, kizuizi kipya kilionekana: usemi mkali sasa sio hasi kila wakati, na mzizi yenyewe pia sio hasi.
Ili kuelewa vizuri jinsi mzizi wa hesabu hutofautiana na ule wa kawaida, angalia grafu za mraba na parabola za ujazo ambazo tayari tunazifahamu:
Eneo la utafutaji wa mizizi ya hesabu - nambari zisizo hasi Kama unavyoona, kuanzia sasa tunavutiwa tu na vipande hivyo vya grafu ambavyo viko katika robo ya kwanza ya kuratibu - ambapo kuratibu $x$ na $y$ ni chanya (au angalau sifuri). Huna haja tena ya kuangalia kiashiria ili kuelewa ikiwa tuna haki ya kuweka nambari hasi chini ya mzizi au la. Kwa sababu nambari hasi hazizingatiwi tena kwa kanuni.
Unaweza kuuliza: "Kweli, kwa nini tunahitaji ufafanuzi kama huo?" Au: "Kwa nini hatuwezi kupata ufafanuzi wa kawaida uliotolewa hapo juu?"
Naam, nitatoa mali moja tu kwa sababu ambayo ufafanuzi mpya unakuwa sahihi. Kwa mfano, kanuni ya kufafanua:
\[\sqrt[n](a)=\sqrt(((a)^(k)))\]
Tafadhali kumbuka: tunaweza kuinua usemi mkali kwa nguvu yoyote na wakati huo huo kuzidisha kipeo cha mizizi kwa nguvu sawa - na matokeo yatakuwa nambari sawa! Hapa kuna mifano:
\[\anza(align) & \sqrt(5)=\sqrt(((5)^(2)))=\sqrt(25) \\ & \sqrt(2)=\sqrt(((2)^ (4)))=\sqrt(16)\\ \mwisho(patanisha)\]
Kwa hivyo ni jambo gani kubwa? Kwa nini hatukuweza kufanya hivi hapo awali? Hii ndio sababu. Hebu fikiria usemi rahisi: $\sqrt(-2)$ - nambari hii ni ya kawaida kabisa katika ufahamu wetu wa classical, lakini haikubaliki kabisa kutoka kwa mtazamo wa mzizi wa hesabu. Wacha tujaribu kuibadilisha:
$\anza(align) & \sqrt(-2)=-\sqrt(2)=-\sqrt(((2)^(2)))=-\sqrt(4) \lt 0; \\ & \sqrt(-2)=\sqrt(((\left(-2 \kulia))^(2)))=\sqrt(4) \gt 0. \\ \mwisho(align)$
Kama unavyoona, katika kesi ya kwanza tuliondoa minus kutoka chini ya radical (tuna kila haki, kwani kielelezo ni isiyo ya kawaida), na katika kesi ya pili tulitumia fomula hapo juu. Wale. Kutoka kwa mtazamo wa hisabati, kila kitu kinafanywa kulingana na sheria.
WTF?! Je, nambari sawa inawezaje kuwa chanya na hasi? Hakuna njia. Ni kwamba tu fomula ya ufafanuzi, ambayo inafanya kazi nzuri kwa nambari chanya na sifuri, huanza kutoa uzushi kamili katika kesi ya nambari hasi.
Ilikuwa ni ili kuondoa utata huo kwamba mizizi ya hesabu ilivumbuliwa. Somo kubwa tofauti limejitolea kwao, ambapo tunazingatia mali zao zote kwa undani. Kwa hivyo hatutakaa juu yao sasa - somo tayari limegeuka kuwa refu sana.
Mizizi ya algebraic: kwa wale wanaotaka kujua zaidi
Nilifikiria kwa muda mrefu ikiwa niweke mada hii katika aya tofauti au la. Mwishowe niliamua kuiacha hapa. Nyenzo hii imekusudiwa wale ambao wanataka kuelewa mizizi bora zaidi - sio tena katika kiwango cha wastani cha "shule", lakini kwa karibu na kiwango cha Olympiad.
Kwa hiyo: pamoja na ufafanuzi wa "classical" wa mzizi wa $n$th wa nambari na mgawanyiko unaohusishwa katika vielelezo sawa na isiyo ya kawaida, kuna ufafanuzi zaidi wa "watu wazima" ambao hautegemei kabisa usawa na hila nyingine. Hii inaitwa mzizi wa algebra.
Ufafanuzi. Mzizi wa aljebra $n$th wa $a$ yoyote ni seti ya nambari zote $b$ kiasi kwamba $((b)^(n))=a$. Hakuna jina lililowekwa kwa mizizi kama hiyo, kwa hivyo tutaweka tu dashi juu:
\[\ overline(\sqrt[n](a))=\left\( b\left| b\in \mathbb(R);((b)^(n))=a \kulia. \kulia\) \]
Tofauti ya kimsingi kutoka kwa ufafanuzi wa kawaida uliotolewa mwanzoni mwa somo ni kwamba mzizi wa aljebra sio nambari maalum, lakini seti. Na kwa kuwa tunafanya kazi na nambari halisi, seti hii inakuja katika aina tatu tu:
- Seti tupu. Hutokea unapohitaji kupata mzizi wa aljebra wa digrii hata kutoka nambari hasi;
- Seti inayojumuisha kipengele kimoja. Mizizi yote ya nguvu isiyo ya kawaida, pamoja na mizizi ya nguvu hata ya sifuri, huanguka katika jamii hii;
- Hatimaye, seti hiyo inaweza kujumuisha nambari mbili - $((x)_(1))$ sawa na $((x)_(2)))=-((x)_(1))$ sawa na $((x)_(1)))$ ambazo tuliona kwenye kazi ya quadratic ya grafu. Ipasavyo, mpangilio kama huo unawezekana tu wakati wa kutoa mzizi wa digrii hata kutoka kwa nambari chanya.
Kesi ya mwisho inastahili kuzingatiwa kwa undani zaidi. Wacha tuhesabu mifano michache ili kuelewa tofauti hiyo.
Mfano. Tathmini misemo:
\[\ overline(\sqrt(4));\quad \overline(\sqrt(-27));\quad \overline(\sqrt(-16)).\]
Suluhisho. Kwa usemi wa kwanza kila kitu ni rahisi:
\[\ overline(\sqrt(4))=\left\( 2;-2 \kulia\)\]
Ni nambari mbili ambazo ni sehemu ya seti. Kwa sababu kila mmoja wao squared anatoa nne.
\[\jumla(\sqrt(-27))=\kushoto\( -3 \kulia\)\]
Hapa tunaona seti inayojumuisha nambari moja tu. Hii ni mantiki kabisa, kwani kipeo cha mizizi ni isiyo ya kawaida.
Mwishowe, usemi wa mwisho:
\[\ overline(\sqrt(-16))=\varnothing \]
Tulipokea seti tupu. Kwa sababu hakuna nambari moja halisi ambayo, ikiinuliwa hadi ya nne (yaani, hata!) nguvu, itatupa nambari hasi -16.
Ujumbe wa mwisho. Tafadhali kumbuka: haikuwa kwa bahati kwamba nilibainisha kila mahali kwamba tunafanya kazi na nambari halisi. Kwa sababu pia kuna nambari ngumu - inawezekana kabisa kuhesabu $\sqrt(-16)$ huko, na vitu vingine vingi vya kushangaza.
Walakini, nambari ngumu karibu hazionekani katika kozi za kisasa za hesabu za shule. Vimeondolewa kwenye vitabu vingi vya kiada kwa sababu maafisa wetu wanaona mada hiyo "ni ngumu sana kuelewa."
Inapakia...