Jumla ya nambari 8 za kwanza za maendeleo ya hesabu. Algebra: Hesabu na maendeleo ya kijiometri

Aina ya somo: kujifunza nyenzo mpya.

Malengo ya somo:

  • kupanua na kuimarisha uelewa wa wanafunzi wa matatizo yaliyotatuliwa kwa kutumia maendeleo ya hesabu; kuandaa shughuli za utafutaji za wanafunzi wakati wa kupata fomula ya jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu;
  • kukuza uwezo wa kupata maarifa mapya kwa uhuru na kutumia maarifa yaliyopatikana tayari kufikia kazi fulani;
  • kukuza hamu na hitaji la kujumlisha ukweli uliopatikana, kukuza uhuru.

Kazi:

  • kufupisha na kupanga maarifa yaliyopo juu ya mada "Maendeleo ya hesabu";
  • pata fomula za kukokotoa jumla ya istilahi za kwanza n za mwendelezo wa hesabu;
  • fundisha jinsi ya kutumia fomula zilizopatikana wakati wa kutatua shida anuwai;
  • vuta usikivu wa wanafunzi kwa utaratibu wa kupata thamani ya usemi wa nambari.

Vifaa:

  • kadi zilizo na kazi za kufanya kazi katika vikundi na jozi;
  • karatasi ya tathmini;
  • uwasilishaji “Maendeleo ya hesabu”.

I. Kusasisha maarifa ya kimsingi.

1. Kazi ya kujitegemea kwa jozi.

Chaguo la 1:

Fafanua maendeleo ya hesabu. Andika fomula ya kujirudia ambayo inafafanua maendeleo ya hesabu. Tafadhali toa mfano wa maendeleo ya hesabu na uonyeshe tofauti yake.

Chaguo la 2:

Andika fomula ya muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu. Tafuta muhula wa 100 wa maendeleo ya hesabu ( n}: 2, 5, 8 …
Kwa wakati huu, wanafunzi wawili upande wa nyuma bodi zinatayarisha majibu kwa maswali haya haya.
Wanafunzi hutathmini kazi ya wenza wao kwa kuwaangalia ubaoni. (Laha zilizo na majibu zinawasilishwa.)

2. Wakati wa mchezo.

Zoezi 1.

Mwalimu. Nilifikiria maendeleo fulani ya hesabu. Niulize maswali mawili tu ili baada ya majibu uweze kutaja kwa haraka muhula wa 7 wa mwendelezo huu. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Maswali kutoka kwa wanafunzi.

  1. Muhula wa sita wa maendeleo ni nini na ni tofauti gani?
  2. Je, muhula wa nane wa muendelezo ni upi na ni tofauti gani?

Ikiwa hakuna maswali zaidi, basi mwalimu anaweza kuwachochea - "marufuku" ya d (tofauti), ambayo ni, hairuhusiwi kuuliza tofauti ni nini. Unaweza kuuliza maswali: muhula wa 6 wa kuendelea ni sawa na nini na muhula wa 8 wa kuendelea ni sawa na nini?

Jukumu la 2.

Kuna nambari 20 zilizoandikwa kwenye ubao: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Mwalimu anasimama na mgongo wake kwenye ubao. Wanafunzi huita nambari hiyo, na mwalimu huita nambari yenyewe mara moja. Eleza jinsi ninaweza kufanya hili?

Mwalimu anakumbuka fomula ya muhula wa nth n = 3n - 2 na, kubadilisha maadili maalum n, hupata maadili yanayolingana n.

II. Kuweka kazi ya kujifunza.

Ninapendekeza kusuluhisha shida ya zamani ya milenia ya 2 KK, inayopatikana katika papyri za Wamisri.

Kazi:“Na mseme: Gawa vipimo 10 vya shayiri kati ya watu kumi, tofauti kati ya kila mtu na jirani yake ni 1/8 ya kipimo.

  • Je, tatizo hili linahusiana vipi na maendeleo ya hesabu ya mada? (Kila mtu anayefuata anapokea 1/8 ya kipimo zaidi, ambayo inamaanisha kuwa tofauti ni d=1/8, watu 10, ambayo inamaanisha n=10.)
  • Je, unafikiri hatua za nambari 10 zinamaanisha nini? (Jumla ya masharti yote ya mwendelezo.)
  • Nini kingine unahitaji kujua ili iwe rahisi na rahisi kugawanya shayiri kulingana na hali ya shida? (Muhula wa kwanza wa maendeleo.)

Lengo la Somo- kupata utegemezi wa jumla ya masharti ya kuendelea kwa idadi yao, muhula wa kwanza na tofauti, na kuangalia ikiwa shida ilitatuliwa kwa usahihi katika nyakati za zamani.

Kabla ya kuamua fomula, hebu tuangalie jinsi Wamisri wa kale walivyotatua tatizo.

Na walitatua kama ifuatavyo:

1) hatua 10: 10 = kipimo 1 - sehemu ya wastani;
2) 1 kipimo ∙ = 2 hatua - mara mbili wastani shiriki.
Imeongezwa maradufu wastani hisa ni jumla ya hisa za mtu wa 5 na wa 6.
3) 2 hatua - 1/8 hatua = 1 7/8 hatua - mara mbili sehemu ya mtu wa tano.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - sehemu ya tano; na kadhalika, unaweza kupata sehemu ya kila mtu aliyetangulia na anayefuata.

Tunapata mlolongo:

III. Kutatua tatizo.

1. Fanya kazi kwa vikundi

Kundi la I: Pata jumla ya 20 mfululizo nambari za asili: S 20 =(20+1)∙10 =210.

KATIKA mtazamo wa jumla

Kikundi cha II: Pata jumla ya nambari za asili kutoka 1 hadi 100 (Hadithi ya Gauss Kidogo).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Hitimisho:

Kikundi cha III: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 21.

Suluhisho: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Hitimisho:

Kikundi cha IV: Pata jumla ya nambari asilia kutoka 1 hadi 101.

Hitimisho:

Njia hii ya kutatua matatizo yanayozingatiwa inaitwa "Njia ya Gauss".

2. Kila kikundi kiwasilishe suluhu ya tatizo ubaoni.

3. Ujumla wa suluhu zilizopendekezwa kwa ajili ya kuendelea kwa hesabu kiholela:

a 1, a 2, a 3,…, n-2, n-1, n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Wacha tupate jumla hii kwa kutumia hoja sawa:

4. Je, tumetatua tatizo?(Ndiyo.)

IV. Uelewa wa kimsingi na utumiaji wa fomula zilizopatikana wakati wa kutatua shida.

1. Kuangalia suluhisho la tatizo la kale kwa kutumia fomula.

2. Utumiaji wa fomula katika kutatua matatizo mbalimbali.

3. Mazoezi ya kukuza uwezo wa kutumia kanuni wakati wa kutatua matatizo.

A) Nambari 613

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Tafuta: S 1500

Suluhisho: , a 1 = 1, na 1500 = 1500,

B) Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
(a): 1, 2, 3, ...
S n = 210

Tafuta: n
Suluhisho:

V. Kazi ya kujitegemea yenye uthibitishaji wa pande zote.

Denis alianza kufanya kazi kama mjumbe. Katika mwezi wa kwanza mshahara wake ulikuwa rubles 200, katika kila mwezi uliofuata uliongezeka kwa rubles 30. Alipata kiasi gani kwa mwaka mzima?

Imetolewa: ( a n) - maendeleo ya hesabu;
a 1 = 200, d=30, n=12
Tafuta: S 12
Suluhisho:

Jibu: Denis alipokea rubles 4380 kwa mwaka.

VI. Maagizo ya kazi ya nyumbani.

  1. Sehemu ya 4.3 - jifunze asili ya fomula.
  2. №№ 585, 623 .
  3. Unda tatizo ambalo linaweza kutatuliwa kwa kutumia fomula ya jumla ya masharti n ya maendeleo ya hesabu.

VII. Kwa muhtasari wa somo.

1. Karatasi ya alama

2. Endelea sentensi

  • Leo darasani nimejifunza...
  • Mifumo iliyojifunza...
  • Naamini …

3. Je, unaweza kupata jumla ya nambari kutoka 1 hadi 500? Je, utatumia njia gani kutatua tatizo hili?

Bibliografia.

1. Algebra, daraja la 9. Mafunzo kwa taasisi za elimu. Mh. G.V. Dorofeeva. M.: "Mwangaza", 2009.

Ikiwa kwa kila nambari ya asili n linganisha nambari halisi n , kisha wanasema kuwa imetolewa mlolongo wa nambari :

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , n , . . . .

Kwa hivyo, mlolongo wa nambari ni kazi ya hoja ya asili.

Nambari a 1 kuitwa awamu ya kwanza ya mlolongo , nambari a 2 — muhula wa pili wa mlolongo , nambari a 3 — cha tatu Nakadhalika. Nambari n kuitwa muhula wa nth mifuatano , na nambari ya asili n — namba yake .

Kutoka kwa washiriki wawili walio karibu n Na n +1 mlolongo mwanachama n +1 kuitwa baadae (kuelekea n ), A n — uliopita (kuelekea n +1 ).

Ili kufafanua mlolongo, unahitaji kutaja njia ambayo inakuwezesha kupata mwanachama wa mlolongo na nambari yoyote.

Mara nyingi mlolongo umeelezwa kwa kutumia fomula za muhula wa nth , yaani, formula ambayo inakuwezesha kuamua mwanachama wa mlolongo kwa nambari yake.

Kwa mfano,

mlolongo wa nambari chanya isiyo ya kawaida inaweza kutolewa kwa fomula

n= 2n- 1,

na mlolongo wa kupishana 1 Na -1 - formula

b n = (-1)n +1 . ◄

Mlolongo unaweza kuamua formula ya kawaida, yaani, fomula inayoonyesha mshiriki yeyote wa mfuatano huo, kuanzia na baadhi, kupitia washiriki waliotangulia (mmoja au zaidi).

Kwa mfano,

Kama a 1 = 1 , A n +1 = n + 5

a 1 = 1,

a 2 = a 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

a 3 = a 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

a 4 = a 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

a 5 = a 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

Kama a 1= 1, a 2 = 1, n +2 = n + n +1 , basi masharti saba ya kwanza ya mlolongo wa nambari huwekwa kama ifuatavyo:

a 1 = 1,

a 2 = 1,

a 3 = a 1 + a 2 = 1 + 1 = 2,

a 4 = a 2 + a 3 = 1 + 2 = 3,

a 5 = a 3 + a 4 = 2 + 3 = 5,

a 6 = a 4 + a 5 = 3 + 5 = 8,

a 7 = a 5 + a 6 = 5 + 8 = 13. ◄

Mlolongo unaweza kuwa mwisho Na isiyo na mwisho .

Mlolongo unaitwa mwisho , ikiwa ina idadi isiyo na kikomo ya wanachama. Mlolongo unaitwa isiyo na mwisho , ikiwa ina wanachama wengi sana.

Kwa mfano,

mlolongo wa nambari asilia zenye tarakimu mbili:

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

mwisho.

Mlolongo wa nambari kuu:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

isiyo na mwisho. ◄

Mlolongo unaitwa kuongezeka , ikiwa kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia pili, ni kubwa zaidi kuliko uliopita.

Mlolongo unaitwa kupungua , ikiwa kila mmoja wa wanachama wake, kuanzia pili, ni chini ya uliopita.

Kwa mfano,

2, 4, 6, 8, . . . , 2n, . . . - kuongezeka kwa mlolongo;

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /n, . . . - kupungua kwa mlolongo. ◄

Mlolongo ambao vipengele vyake havipunguki wakati idadi inavyoongezeka, au, kinyume chake, haizidi, inaitwa mlolongo wa monotonous .

Mfuatano wa monotoniki, haswa, ni mfuatano unaoongezeka na mlolongo wa kupungua.

Maendeleo ya hesabu

Maendeleo ya hesabu ni mlolongo ambao kila mwanachama, kuanzia wa pili, ni sawa na uliopita, ambayo idadi sawa huongezwa.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . , n, . . .

ni mwendelezo wa hesabu ikiwa kwa nambari yoyote asilia n hali imefikiwa:

n +1 = n + d,

Wapi d - nambari fulani.

Kwa hivyo, tofauti kati ya masharti ya baadaye na ya awali ya maendeleo ya hesabu fulani ni daima:

a 2 - a 1 = a 3 - a 2 = . . . = n +1 - n = d.

Nambari d kuitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Ili kufafanua maendeleo ya hesabu, inatosha kuonyesha muda wake wa kwanza na tofauti.

Kwa mfano,

Kama a 1 = 3, d = 4 , basi tunapata maneno matano ya kwanza ya mlolongo kama ifuatavyo:

a 1 =3,

a 2 = a 1 + d = 3 + 4 = 7,

a 3 = a 2 + d= 7 + 4 = 11,

a 4 = a 3 + d= 11 + 4 = 15,

a 5 = a 4 + d= 15 + 4 = 19. ◄

Kwa maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza a 1 na tofauti d yake n

n = a 1 + (n- 1)d.

Kwa mfano,

pata muhula wa thelathini wa maendeleo ya hesabu

1, 4, 7, 10, . . .

a 1 =1, d = 3,

ya 30 = a 1 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

n-1 = a 1 + (n- 2)d,

n= a 1 + (n- 1)d,

n +1 = a 1 + nd,

basi ni wazi

n=
n-1 + a n+1
2

Kila mwanachama wa maendeleo ya hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na maana ya hesabu ya wanachama waliotangulia na wanaofuata.

nambari a, b na c ni masharti yanayofuatana ya maendeleo fulani ya hesabu ikiwa na tu ikiwa moja kati yao ni sawa na maana ya hesabu ya hizo mbili.

Kwa mfano,

n = 2n- 7 , ni maendeleo ya hesabu.

Hebu tumia kauli hiyo hapo juu. Tuna:

n = 2n- 7,

n-1 = 2(n- 1) - 7 = 2n- 9,

n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2n- 5.

Kwa hivyo,

n+1 + a n-1
=
2n- 5 + 2n- 9
= 2n- 7 = n,
2
2

◄

Kumbuka hilo n Muda wa th wa maendeleo ya hesabu unaweza kupatikana sio tu kupitia a 1 , lakini pia yoyote ya awali a k

n = a k + (n- k)d.

Kwa mfano,

Kwa a 5 inaweza kuandikwa

a 5 = a 1 + 4d,

a 5 = a 2 + 3d,

a 5 = a 3 + 2d,

a 5 = a 4 + d. ◄

n = n-k + kd,

n = n+k - kd,

basi ni wazi

n=
a n-k +a n+k
2

mwanachama yeyote wa mwendelezo wa hesabu, kuanzia ya pili, ni sawa na nusu ya jumla ya washiriki walio na nafasi sawa wa maendeleo haya ya hesabu.

Kwa kuongezea, kwa maendeleo yoyote ya hesabu usawa ufuatao unashikilia:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu

1) a 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (a 9 + a 11 )/2;

2) 28 = ya 10 = a 3 + 7d= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) ya 10= 28 = (19 + 37)/2 = (7 na 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, kwa sababu

a 2 + na 12= 4 + 34 = 38,

ya 5 + 9 = 13 + 25 = 38. ◄

S n= a 1 + a 2 + a 3 +. . .+ n,

kwanza n masharti ya maendeleo ya hesabu ni sawa na bidhaa ya nusu ya jumla ya masharti yaliyokithiri na idadi ya maneno:

Kuanzia hapa, haswa, inafuata kwamba ikiwa unahitaji kujumlisha masharti

a k, a k +1 , . . . , n,

basi formula iliyotangulia inabaki na muundo wake:

Kwa mfano,

katika maendeleo ya hesabu 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

S 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = S 10 - S 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

Ikiwa maendeleo ya hesabu hutolewa, basi kiasi a 1 , n, d, n NaS n imeunganishwa na fomula mbili:

Kwa hivyo, ikiwa maana tatu ya idadi hii imetolewa, basi maadili yanayolingana ya idadi nyingine mbili imedhamiriwa kutoka kwa fomula hizi, pamoja na kuwa mfumo wa hesabu mbili na mbili zisizojulikana.

Maendeleo ya hesabu ni mlolongo wa monotonic. Ambapo:

  • Kama d > 0 , basi inaongezeka;
  • Kama d < 0 , basi inapungua;
  • Kama d = 0 , basi mlolongo utakuwa wa stationary.

Maendeleo ya kijiometri

Maendeleo ya kijiometri ni mlolongo ambao kila mshiriki, kuanzia wa pili, ni sawa na wa awali uliozidishwa na nambari sawa.

b 1 , b 2 , b 3 , . . . , b n, . . .

ni maendeleo ya kijiometri ikiwa kwa nambari yoyote asilia n hali imefikiwa:

b n +1 = b n · q,

Wapi q ≠ 0 - nambari fulani.

Kwa hivyo, uwiano wa muda unaofuata wa maendeleo ya kijiometri uliyopewa kwa uliopita ni nambari ya mara kwa mara:

b 2 / b 1 = b 3 / b 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

Nambari q kuitwa denominator ya maendeleo ya kijiometri.

Ili kufafanua maendeleo ya kijiometri, inatosha kuonyesha muda wake wa kwanza na denominator.

Kwa mfano,

Kama b 1 = 1, q = -3 , basi tunapata maneno matano ya kwanza ya mlolongo kama ifuatavyo:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

b 5 = b 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

b 1 na dhehebu q yake n Neno la th linaweza kupatikana kwa kutumia formula:

b n = b 1 · qn -1 .

Kwa mfano,

pata muhula wa saba wa maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, . . .

b 1 = 1, q = 2,

b 7 = b 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = b 1 · qn,

basi ni wazi

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

kila mwanachama wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia pili, ni sawa na maana ya kijiometri (sawia) ya wanachama waliotangulia na wanaofuata.

Kwa kuwa mazungumzo pia ni ya kweli, taarifa ifuatayo inashikilia:

nambari a, b na c ni masharti yanayofuatana ya maendeleo fulani ya kijiometri ikiwa na tu ikiwa mraba wa moja wapo ni sawa na bidhaa ya zingine mbili, ambayo ni, moja ya nambari ni maana ya kijiometri ya zingine mbili.

Kwa mfano,

Hebu tuthibitishe kwamba mlolongo uliotolewa na fomula b n= -3 2 n , ni maendeleo ya kijiometri. Hebu tumia kauli hiyo hapo juu. Tuna:

b n= -3 2 n,

b n -1 = -3 2 n -1 ,

b n +1 = -3 2 n +1 .

Kwa hivyo,

b n 2 = (-3 2 n) 2 = (-3 2 n -1 ) · (-3 · 2 n +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

ambayo inathibitisha kauli inayotakiwa. ◄

Kumbuka hilo n Muda wa th wa maendeleo ya kijiometri unaweza kupatikana sio tu kupitia b 1 , lakini pia mwanachama yeyote wa awali b k , ambayo inatosha kutumia formula

b n = b k · qn - k.

Kwa mfano,

Kwa b 5 inaweza kuandikwa

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

basi ni wazi

b n 2 = b n - k· b n + k

mraba wa muda wowote wa maendeleo ya kijiometri, kuanzia pili, ni sawa na bidhaa ya masharti ya usawa huu wa maendeleo kutoka kwake.

Kwa kuongeza, kwa maendeleo yoyote ya kijiometri usawa ni kweli:

b m· b n= b k· b l,

m+ n= k+ l.

Kwa mfano,

katika maendeleo ya kijiometri

1) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = b 5 · b 7 ;

2) 1024 = b 11 = b 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) b 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = b 4 · b 8 ;

4) b 2 · b 7 = b 4 · b 5 , kwa sababu

b 2 · b 7 = 2 · 64 = 128,

b 4 · b 5 = 8 · 16 = 128. ◄

S n= b 1 + b 2 + b 3 + . . . + b n

kwanza n wanachama wa maendeleo ya kijiometri na denominator q ≠ 0 imehesabiwa kwa formula:

Na lini q = 1 - kulingana na formula

S n= nb 1

Kumbuka kwamba ikiwa unahitaji kujumlisha masharti

b k, b k +1 , . . . , b n,

basi formula inatumika:

S n- S k -1 = b k + b k +1 + . . . + b n = b k · 1 - qn - k +1
.
1 - q

Kwa mfano,

katika maendeleo ya kijiometri 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

S 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = S 10 - S 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

Ikiwa maendeleo ya kijiometri hutolewa, basi kiasi b 1 , b n, q, n Na S n imeunganishwa na fomula mbili:

Kwa hivyo, ikiwa maadili ya yoyote matatu ya idadi hii yamepewa, basi maadili yanayolingana ya viwango vingine viwili huamuliwa kutoka kwa fomula hizi, pamoja na kuwa mfumo wa hesabu mbili na mbili zisizojulikana.

Kwa maendeleo ya kijiometri na muhula wa kwanza b 1 na dhehebu q zifuatazo hufanyika mali ya monotonicity :

  • maendeleo yanaongezeka ikiwa moja ya masharti yafuatayo yatafikiwa:

b 1 > 0 Na q> 1;

b 1 < 0 Na 0 < q< 1;

  • Maendeleo yanapungua ikiwa moja ya masharti yafuatayo yamefikiwa:

b 1 > 0 Na 0 < q< 1;

b 1 < 0 Na q> 1.

Kama q< 0 , basi maendeleo ya kijiometri yanabadilishana: masharti yake yenye nambari isiyo ya kawaida yana ishara sawa na muda wake wa kwanza, na masharti yenye nambari hata yana ishara kinyume. Ni wazi kwamba maendeleo ya kijiometri mbadala sio monotonic.

Bidhaa ya kwanza n Masharti ya maendeleo ya kijiometri yanaweza kuhesabiwa kwa kutumia fomula:

Pn= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) n / 2 .

Kwa mfano,

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri

Kupungua kwa maendeleo ya kijiometri inayoitwa kuendelea kwa kijiometri isiyo na kikomo ambayo moduli ya denominata ni ndogo 1 , hiyo ni

|q| < 1 .

Kumbuka kuwa uendelezaji wa kijiometri unaopungua sana hauwezi kuwa mlolongo unaopungua. Inafaa tukio hilo

1 < q< 0 .

Kwa dhehebu kama hilo, mlolongo unabadilika. Kwa mfano,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

Jumla ya ukuaji wa kijiometri unaopungua sana taja nambari ambayo jumla ya zile za kwanza hukaribia bila kikomo n wanachama wa maendeleo yenye ongezeko lisilo na kikomo la idadi n . Nambari hii daima ni ya mwisho na inaonyeshwa na fomula

S= b 1 + b 2 + b 3 + . . . = b 1
.
1 - q

Kwa mfano,

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

Uhusiano kati ya maendeleo ya hesabu na kijiometri

Maendeleo ya hesabu na kijiometri yanahusiana kwa karibu. Hebu tuangalie mifano miwili tu.

a 1 , a 2 , a 3 , . . . d , Hiyo

b a 1 , b a 2 , b a 3 , . . . b d .

Kwa mfano,

1, 3, 5, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti 2 Na

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator 7 2 . ◄

b 1 , b 2 , b 3 , . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator q , Hiyo

logi a b1, logi a b2, logi a b3, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti logi aq .

Kwa mfano,

2, 12, 72, . . . - maendeleo ya kijiometri na denominator 6 Na

lg 2, lg 12, lg 72, . . . - maendeleo ya hesabu na tofauti lg 6 . ◄

Kiwango cha kwanza

Maendeleo ya hesabu. Nadharia ya kina na mifano (2019)

Mlolongo wa nambari

Kwa hivyo, hebu tukae chini na tuanze kuandika nambari kadhaa. Kwa mfano:
Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa na nyingi kama unavyopenda (kwa upande wetu, zipo). Haijalishi ni nambari ngapi tunazoandika, tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika hadi ya mwisho, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari:

Mlolongo wa nambari
Kwa mfano, kwa mlolongo wetu:

Nambari iliyopewa ni maalum kwa nambari moja tu katika mlolongo. Kwa maneno mengine, hakuna nambari tatu za pili katika mlolongo. Nambari ya pili (kama nambari ya th) ni sawa kila wakati.
Nambari iliyo na nambari inaitwa neno la th la mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Kwa upande wetu:

Wacha tuseme tuna mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.
Kwa mfano:

na kadhalika.
Mlolongo huu wa nambari unaitwa kuendelea kwa hesabu.
Neno "maendeleo" lilianzishwa na mwandishi wa Kirumi Boethius huko nyuma katika karne ya 6 na lilieleweka kwa maana pana kama mlolongo wa nambari usio na kikomo. Jina "hesabu" lilihamishwa kutoka kwa nadharia ya uwiano unaoendelea, ambayo ilisomwa na Wagiriki wa kale.

Huu ni mlolongo wa nambari, kila mwanachama ambao ni sawa na wa awali ulioongezwa kwa nambari sawa. Nambari hii inaitwa tofauti ya maendeleo ya hesabu na imeteuliwa.

Jaribu kubainisha ni mfuatano wa nambari gani ni mwendelezo wa hesabu na ambao sio:

a)
b)
c)
d)

Nimeelewa? Wacha tulinganishe majibu yetu:
Je! maendeleo ya hesabu - b, c.
Sio maendeleo ya hesabu - a, d.

Wacha turudi kwenye mwendelezo uliopewa () na ujaribu kupata thamani ya muhula wake. Ipo mbili njia ya kuipata.

1. Mbinu

Tunaweza kuongeza nambari ya kuendelea kwa thamani iliyotangulia hadi tufikie muhula wa kuendelea. Ni vizuri kwamba hatuna mengi ya kufupisha - maadili matatu pekee:

Kwa hivyo, neno la th la maendeleo ya hesabu iliyoelezewa ni sawa na.

2. Mbinu

Je, ikiwa tungehitaji kupata thamani ya muhula wa maendeleo? Muhtasari huo ungetuchukua zaidi ya saa moja, na si ukweli kwamba hatungefanya makosa wakati wa kuongeza nambari.
Bila shaka, wanahisabati wamekuja na njia ambayo si lazima kuongeza tofauti ya maendeleo ya hesabu kwa thamani ya awali. Angalia kwa karibu picha iliyochorwa... Hakika tayari umeona muundo fulani, yaani:

Kwa mfano, hebu tuone ni nini thamani ya muhula wa th ya maendeleo ya hesabu hii inajumuisha:


Kwa maneno mengine:

Jaribu kupata thamani ya mwanachama wa maendeleo fulani ya hesabu mwenyewe kwa njia hii.

Je, ulihesabu? Linganisha maelezo yako na jibu:

Tafadhali kumbuka kuwa ulipata nambari sawa kabisa na njia ya awali, tulipoongeza masharti ya kuendelea kwa hesabu kwa thamani iliyotangulia.
Wacha tujaribu "kubinafsisha" fomula hii - wacha tuiweke kwa fomu ya jumla na tupate:

Mlinganyo wa maendeleo ya hesabu.

Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka au kupungua.

Kuongezeka- maendeleo ambapo kila thamani inayofuata ya masharti ni kubwa kuliko ya awali.
Kwa mfano:

Kushuka- maendeleo ambayo kila thamani inayofuata ya masharti ni chini ya ya awali.
Kwa mfano:

Fomula inayotokana hutumika katika kukokotoa maneno katika masharti yanayoongezeka na yanayopungua ya uendelezaji wa hesabu.
Wacha tuangalie hii kwa vitendo.
Tunapewa maendeleo ya hesabu inayojumuisha nambari zifuatazo: Hebu tuangalie nambari ya th ya maendeleo haya ya hesabu itakuwaje ikiwa tutatumia fomula yetu kuikokotoa:


Tangu wakati huo:

Kwa hivyo, tuna hakika kwamba fomula hufanya kazi katika kupungua na kuongeza kasi ya hesabu.
Jaribu kupata masharti ya th na ya th ya maendeleo haya ya hesabu mwenyewe.

Wacha tulinganishe matokeo:

Mali ya maendeleo ya hesabu

Hebu tufanye shida - tutapata mali ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tuseme tumepewa hali ifuatayo:
- maendeleo ya hesabu, pata thamani.
Rahisi, unasema na kuanza kuhesabu kulingana na fomula unayojua tayari:

Acha, ah, basi:

Sawa kabisa. Inabadilika kuwa tunapata kwanza, kisha tuiongeze kwa nambari ya kwanza na kupata kile tunachotafuta. Ikiwa maendeleo yanawakilishwa na maadili madogo, basi hakuna chochote ngumu kuhusu hilo, lakini ni nini ikiwa tunapewa namba katika hali hiyo? Kukubaliana, kuna uwezekano wa kufanya makosa katika mahesabu.
Sasa fikiria ikiwa inawezekana kutatua tatizo hili kwa hatua moja kwa kutumia fomula yoyote? Bila shaka ndiyo, na ndivyo tutakavyojaribu kuleta sasa.

Wacha tuonyeshe muda unaohitajika wa maendeleo ya hesabu kama, fomula ya kuipata inajulikana kwetu - hii ndio fomula ile ile tuliyopata mwanzoni:
, Kisha:

  • muda wa awali wa maendeleo ni:
  • muhula unaofuata wa mwendelezo ni:

Wacha tufanye muhtasari wa masharti yaliyotangulia na yanayofuata ya mwendelezo:

Inabadilika kuwa jumla ya masharti ya awali na ya baadaye ya maendeleo ni thamani mbili ya muda wa maendeleo ulio kati yao. Kwa maneno mengine, ili kupata thamani ya muda wa kuendeleza na maadili yanayojulikana ya awali na mfululizo, unahitaji kuwaongeza na kugawanya.

Hiyo ni kweli, tulipata nambari sawa. Hebu salama nyenzo. Kuhesabu thamani ya maendeleo mwenyewe, sio ngumu hata kidogo.

Umefanya vizuri! Unajua karibu kila kitu kuhusu maendeleo! Inabakia kujua formula moja tu, ambayo, kulingana na hadithi, ilitolewa kwa urahisi na mmoja wa wanahisabati wakubwa wa wakati wote, "mfalme wa wanahisabati" - Karl Gauss ...

Carl Gauss alipokuwa na umri wa miaka 9, mwalimu, akiwa na shughuli nyingi za kukagua kazi ya wanafunzi katika madarasa mengine, alikabidhi kazi ifuatayo darasani: “Hesabu jumla ya nambari zote asilia kutoka hadi (kulingana na vyanzo vingine hadi) zikijumlishwa.” Hebu fikiria mshangao wa mwalimu wakati mmoja wa wanafunzi wake (huyu alikuwa Karl Gauss) dakika moja baadaye alitoa jibu sahihi kwa kazi hiyo, wakati wengi wa wanafunzi wa darasa la daredevil, baada ya mahesabu ya muda mrefu, walipokea matokeo mabaya ...

Carl Gauss mchanga aligundua muundo fulani ambao unaweza kugundua kwa urahisi pia.
Wacha tuseme tuna mwendelezo wa hesabu unaojumuisha maneno -th: Tunahitaji kupata jumla ya masharti haya ya maendeleo ya hesabu. Kwa kweli, tunaweza kujumlisha maadili yote kwa mikono, lakini vipi ikiwa kazi inahitaji kupata jumla ya masharti yake, kama Gauss alikuwa akitafuta?

Wacha tuonyeshe maendeleo tuliyopewa. Angalia kwa karibu nambari zilizoangaziwa na ujaribu kufanya shughuli mbali mbali za kihesabu nazo.


Je, umejaribu? Umeona nini? Haki! Jumla yao ni sawa


Sasa niambie, ni jozi ngapi kama hizo kwa jumla katika maendeleo tuliyopewa? Kwa kweli, nusu ya nambari zote, yaani.
Kulingana na ukweli kwamba jumla ya maneno mawili ya maendeleo ya hesabu ni sawa, na jozi zinazofanana ni sawa, tunapata kuwa jumla ya jumla ni sawa na:
.
Kwa hivyo, fomula ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:

Katika shida zingine hatujui muhula wa th, lakini tunajua tofauti ya maendeleo. Jaribu kubadilisha fomula ya neno la th kwenye fomula ya jumla.
Ulipata nini?

Umefanya vizuri! Sasa wacha turudi kwenye shida ambayo Carl Gauss aliuliza: jihesabu mwenyewe jumla ya nambari zinazoanza kutoka th ni sawa na jumla ya nambari zinazoanzia th.

Ulipata kiasi gani?
Gauss aligundua kuwa jumla ya masharti ni sawa, na jumla ya masharti. Je, ndivyo ulivyoamua?

Kwa kweli, fomula ya jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu ilithibitishwa na mwanasayansi wa zamani wa Uigiriki Diophantus nyuma katika karne ya 3, na kwa wakati huu wote, watu wajanja walitumia kikamilifu mali ya maendeleo ya hesabu.
Kwa mfano, fikiria Misri ya Kale na mradi mkubwa wa ujenzi wa wakati huo - ujenzi wa piramidi ... Picha inaonyesha upande mmoja wake.

Maendeleo yapo wapi hapa, unasema? Angalia kwa uangalifu na utafute muundo katika idadi ya vitalu vya mchanga katika kila safu ya ukuta wa piramidi.


Kwa nini sio maendeleo ya hesabu? Kuhesabu ni vitalu ngapi vinahitajika kujenga ukuta mmoja ikiwa matofali ya kuzuia yanawekwa kwenye msingi. Natumai hutahesabu unaposogeza kidole chako kwenye kifuatiliaji, unakumbuka fomula ya mwisho na kila kitu tulichosema kuhusu maendeleo ya hesabu?

KATIKA kwa kesi hii Mwendelezo unaonekana kama hii:.
Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
Idadi ya masharti ya maendeleo ya hesabu.
Wacha tubadilishe data yetu katika fomula za mwisho (hesabu idadi ya vizuizi kwa njia 2).

Mbinu 1.

Mbinu 2.

Na sasa unaweza kuhesabu kwenye mfuatiliaji: kulinganisha maadili yaliyopatikana na idadi ya vitalu vilivyo kwenye piramidi yetu. Nimeelewa? Umefanya vizuri, umefahamu jumla ya masharti ya nth ya maendeleo ya hesabu.
Bila shaka, huwezi kujenga piramidi kutoka kwa vitalu kwenye msingi, lakini kutoka? Jaribu kuhesabu ngapi matofali ya mchanga yanahitajika ili kujenga ukuta na hali hii.
Je, uliweza?
Jibu sahihi ni vitalu:

Mafunzo

Kazi:

  1. Masha anapata sura nzuri kwa majira ya joto. Kila siku yeye huongeza idadi ya squats kwa. Masha atafanya squats mara ngapi kwa wiki ikiwa alifanya squats kwenye kikao cha kwanza cha mafunzo?
  2. Ni jumla gani ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani.
  3. Wakati wa kuhifadhi magogo, wakataji huweka kwa njia ambayo kila moja safu ya juu ina kumbukumbu moja ndogo kuliko ya awali. Ni magogo ngapi katika uashi mmoja, ikiwa msingi wa uashi ni magogo?

Majibu:

  1. Hebu tufafanue vigezo vya maendeleo ya hesabu. Kwa kesi hii
    (wiki = siku).

    Jibu: Katika wiki mbili, Masha anapaswa kufanya squats mara moja kwa siku.

  2. Nambari isiyo ya kawaida ya kwanza, nambari ya mwisho.
    Tofauti ya maendeleo ya hesabu.
    Idadi ya nambari zisizo za kawaida ndani ni nusu, hata hivyo, hebu tuangalie ukweli huu kwa kutumia fomula ya kupata muhula wa th wa maendeleo ya hesabu:

    Nambari zina nambari zisizo za kawaida.
    Wacha tubadilishe data inayopatikana kwenye fomula:

    Jibu: Jumla ya nambari zote zisizo za kawaida zilizomo ndani ni sawa.

  3. Hebu tukumbuke tatizo kuhusu piramidi. Kwa upande wetu, a , kwa kuwa kila safu ya juu imepunguzwa na logi moja, basi kwa jumla kuna kundi la tabaka, yaani.
    Wacha tubadilishe data kwenye fomula:

    Jibu: Kuna magogo katika uashi.

Hebu tujumuishe

  1. - mlolongo wa nambari ambayo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa. Inaweza kuongezeka au kupungua.
  2. Kutafuta formula Muda wa th wa maendeleo ya hesabu umeandikwa na formula - , ambapo ni idadi ya nambari katika maendeleo.
  3. Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu- - iko wapi idadi ya nambari zinazoendelea.
  4. Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu inaweza kupatikana kwa njia mbili:

    , nambari ya maadili iko wapi.

MAENDELEO YA HESABU. KIWANGO CHA WASTANI

Mlolongo wa nambari

Hebu tukae chini tuanze kuandika baadhi ya namba. Kwa mfano:

Unaweza kuandika nambari zozote, na kunaweza kuwa nyingi kama unavyopenda. Lakini tunaweza kusema kila wakati ni ipi ya kwanza, ni ipi ya pili, na kadhalika, ambayo ni, tunaweza kuhesabu. Huu ni mfano wa mlolongo wa nambari.

Mlolongo wa nambari ni seti ya nambari, ambayo kila moja inaweza kupewa nambari ya kipekee.

Kwa maneno mengine, kila nambari inaweza kuhusishwa na nambari fulani ya asili, na ya kipekee. Na hatutagawa nambari hii kwa nambari nyingine yoyote kutoka kwa seti hii.

Nambari iliyo na nambari inaitwa mwanachama wa th wa mlolongo.

Kwa kawaida tunaita mfuatano mzima kwa herufi fulani (kwa mfano,), na kila mwanachama wa mfuatano huu ni herufi sawa na faharasa sawa na nambari ya mwanachama huyu: .

Ni rahisi sana ikiwa neno la th la mlolongo linaweza kubainishwa na fomula fulani. Kwa mfano, formula

huweka mlolongo:

Na formula ni mlolongo ufuatao:

Kwa mfano, maendeleo ya hesabu ni mlolongo (neno la kwanza hapa ni sawa, na tofauti ni). Au (, tofauti).

fomula ya muhula wa nth

Tunaita fomula inayorudiwa ambayo, ili kujua neno, unahitaji kujua yaliyotangulia au kadhaa yaliyopita:

Ili kupata, kwa mfano, muhula wa th wa kuendelea kwa kutumia fomula hii, itabidi tuhesabu tisa zilizopita. Kwa mfano, basi. Kisha:

Kweli, ni wazi sasa formula ni nini?

Katika kila mstari tunaongeza, kuzidishwa na nambari fulani. Gani? Rahisi sana: hii ndio nambari ya mshiriki wa sasa kutoa:

Inafaa zaidi sasa, sivyo? Tunaangalia:

Amua mwenyewe:

Katika mwendelezo wa hesabu, tafuta fomula ya muhula wa nth na utafute muhula wa mia.

Suluhisho:

Muda wa kwanza ni sawa. Tofauti ni nini? Hapa ni nini:

(Hii ndiyo sababu inaitwa tofauti kwa sababu ni sawa na tofauti ya masharti yanayofuatana ya mwendelezo).

Kwa hivyo, formula:

Kisha neno la mia ni sawa na:

Je, ni jumla gani ya nambari zote asilia kutoka hadi?

Kulingana na hadithi, mwanahisabati mkuu Carl Gauss, kama mvulana wa miaka 9, alihesabu kiasi hiki kwa dakika chache. Aligundua kuwa jumla ya nambari ya kwanza na ya mwisho ni sawa, jumla ya nambari ya pili na ya mwisho ni sawa, jumla ya ya tatu na ya 3 kutoka mwisho ni sawa, na kadhalika. Je, kuna jozi ngapi kama hizo kwa jumla? Hiyo ni kweli, nusu ya idadi ya nambari zote, yaani. Kwa hiyo,

Fomula ya jumla ya jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo yoyote ya hesabu itakuwa:

Mfano:
Pata jumla ya vizidishi vyote vya tarakimu mbili.

Suluhisho:

Nambari ya kwanza kama hii ni hii. Kila nambari inayofuata inapatikana kwa kuongeza nambari iliyotangulia. Kwa hivyo, nambari ambazo tunavutiwa nazo huunda maendeleo ya hesabu na muhula wa kwanza na tofauti.

Mfumo wa muhula wa maendeleo haya:

Je, kuna maneno mangapi katika mwendelezo ikiwa yote yanapaswa kuwa na tarakimu mbili?

Rahisi sana: .

Muda wa mwisho wa maendeleo utakuwa sawa. Kisha jumla:

Jibu:.

Sasa amua mwenyewe:

  1. Kila siku mwanariadha anaendesha mita zaidi kuliko siku iliyopita. Je, atakimbia kilomita ngapi kwa wiki ikiwa alikimbia km m siku ya kwanza?
  2. Mwendesha baiskeli husafiri kilomita zaidi kila siku kuliko siku iliyotangulia. Siku ya kwanza alisafiri km. Ni siku ngapi anahitaji kusafiri ili kufikia kilomita? Je, atasafiri kilomita ngapi katika siku ya mwisho ya safari yake?
  3. Bei ya jokofu katika duka hupungua kwa kiasi sawa kila mwaka. Tambua ni kiasi gani bei ya jokofu ilipungua kila mwaka ikiwa, kuweka kwa ajili ya kuuza kwa rubles, miaka sita baadaye iliuzwa kwa rubles.

Majibu:

  1. Jambo muhimu zaidi hapa ni kutambua maendeleo ya hesabu na kuamua vigezo vyake. Katika kesi hii, (wiki = siku). Unahitaji kuamua jumla ya masharti ya kwanza ya maendeleo haya:
    .
    Jibu:
  2. Hapa imetolewa:, lazima ipatikane.
    Ni wazi, unahitaji kutumia fomula sawa na katika shida iliyopita:
    .
    Badilisha maadili:

    Mzizi ni wazi haufai, kwa hivyo jibu ni.
    Wacha tuhesabu njia iliyosafirishwa kwa siku ya mwisho kwa kutumia fomula ya neno la th:
    (km).
    Jibu:

  3. Imetolewa:. Tafuta:.
    Haiwezi kuwa rahisi zaidi:
    (sugua).
    Jibu:

MAENDELEO YA HESABU. KWA UFUPI KUHUSU MAMBO MAKUU

Huu ni mlolongo wa nambari ambapo tofauti kati ya nambari zilizo karibu ni sawa na sawa.

Maendeleo ya hesabu yanaweza kuongezeka () na kupungua ().

Kwa mfano:

Mfumo wa kutafuta muhula wa nth wa maendeleo ya hesabu

imeandikwa na formula, ambapo ni idadi ya idadi katika maendeleo.

Mali ya wanachama wa maendeleo ya hesabu

Inakuruhusu kupata kwa urahisi muda wa kuendelea ikiwa masharti ya jirani yake yanajulikana - ambapo ni idadi ya nambari katika mwendelezo.

Jumla ya masharti ya maendeleo ya hesabu

Kuna njia mbili za kupata kiasi:

Idadi ya maadili iko wapi.

Idadi ya maadili iko wapi.

Maagizo

Kuendelea kwa hesabu ni mfuatano wa fomu a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d. Nambari d hatua mwendelezo.Ni dhahiri kwamba jumla ya istilahi ya kiholela ya n-th ya hesabu mwendelezo ina umbo: An = A1+(n-1)d. Kisha kujua mmoja wa wanachama mwendelezo, mwanachama mwendelezo na hatua mwendelezo, unaweza, yaani, idadi ya mwanachama wa maendeleo. Kwa wazi, itaamuliwa na formula n = (An-A1+d)/d.

Hebu sasa neno la mth lijulikane mwendelezo na mwanachama mwingine mwendelezo- nth, lakini n , kama katika kesi iliyopita, lakini inajulikana kuwa n na m haziendani. mwendelezo inaweza kuhesabiwa kwa kutumia formula: d = (An-Am)/(n-m). Kisha n = (An-Am+md)/d.

Ikiwa jumla ya vipengele kadhaa vya equation ya hesabu inajulikana mwendelezo, pamoja na yake ya kwanza na ya mwisho, basi idadi ya vipengele hivi inaweza pia kuamuliwa.Jumla ya hesabu mwendelezo itakuwa sawa na: S = ((A1+An)/2)n. Kisha n = 2S/(A1+An) - chdenov mwendelezo. Kwa kutumia ukweli kwamba An = A1+(n-1)d, fomula hii inaweza kuandikwa upya kama: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Kutokana na hili tunaweza kueleza n kwa kutatua mlinganyo wa quadratic.

Mlolongo wa hesabu ni seti iliyoamriwa ya nambari, kila mwanachama ambayo, isipokuwa ya kwanza, inatofautiana na ya awali kwa kiasi sawa. Thamani hii ya mara kwa mara inaitwa tofauti ya maendeleo au hatua yake na inaweza kuhesabiwa kutoka kwa masharti yanayojulikana ya maendeleo ya hesabu.

Maagizo

Ikiwa maadili ya neno la kwanza na la pili au jozi nyingine yoyote ya masharti ya karibu yanajulikana kutoka kwa hali ya tatizo, ili kuhesabu tofauti (d) toa tu ya awali kutoka kwa muda unaofuata. Thamani inayotokana inaweza kuwa chanya au nambari hasi- inategemea ikiwa maendeleo yanaongezeka. KATIKA fomu ya jumla andika suluhisho la jozi iliyochaguliwa kiholela (aᵢ na aᵢ₊₁) ya masharti jirani ya mwendelezo kama ifuatavyo: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Kwa jozi ya masharti ya maendeleo kama haya, moja ambayo ni ya kwanza (a₁), na nyingine ni nyingine yoyote iliyochaguliwa kiholela, inawezekana pia kuunda fomula ya kupata tofauti (d). Walakini, katika kesi hii, nambari ya serial (i) ya mshiriki aliyechaguliwa kiholela wa mlolongo lazima ijulikane. Ili kuhesabu tofauti, ongeza nambari zote mbili na ugawanye matokeo yanayotokana na nambari ya ordinal ya neno la kiholela lililopunguzwa kwa moja. Kwa ujumla, andika fomula hii kama ifuatavyo: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Ikiwa, pamoja na mwanachama wa kiholela wa maendeleo ya hesabu na nambari ya ordinal i, mwanachama mwingine aliye na nambari ya ordinal u anajulikana, badilisha fomula kutoka kwa hatua ya awali ipasavyo. Katika kesi hii, tofauti (d) ya maendeleo itakuwa jumla ya maneno haya mawili yaliyogawanywa na tofauti ya nambari zao za kawaida: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Fomula ya kukokotoa tofauti (d) itakuwa ngumu zaidi ikiwa masharti ya tatizo yatatoa thamani ya muhula wake wa kwanza (a₁) na jumla (Sᵢ) ya nambari fulani (i) ya maneno ya kwanza. mlolongo wa hesabu. Ili kupata thamani inayotakiwa, gawanya jumla kwa idadi ya masharti yanayounda, toa thamani ya nambari ya kwanza katika mlolongo, na matokeo mara mbili. Gawanya thamani inayotokana na idadi ya masharti ambayo hufanya jumla iliyopunguzwa kwa moja. Kwa ujumla, andika fomula ya kuhesabu kibaguzi kama ifuatavyo: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Wakati wa kusoma algebra katika shule ya Sekondari(darasa la 9) moja ya mada muhimu ni utafiti wa mlolongo wa nambari, ambayo ni pamoja na maendeleo - kijiometri na hesabu. Katika makala hii tutaangalia maendeleo ya hesabu na mifano yenye ufumbuzi.

Ni nini maendeleo ya hesabu?

Ili kuelewa hili, ni muhimu kufafanua maendeleo katika swali, pamoja na kutoa kanuni za msingi ambazo zitatumika baadaye katika kutatua matatizo.

Hesabu au ni seti ya nambari za mantiki zilizoamriwa, ambazo kila mwanachama hutofautiana na ile ya awali kwa thamani fulani ya mara kwa mara. Thamani hii inaitwa tofauti. Hiyo ni, kujua mwanachama yeyote wa mfululizo ulioamuru wa nambari na tofauti, unaweza kurejesha maendeleo yote ya hesabu.

Hebu tutoe mfano. Mlolongo wafuatayo wa nambari utakuwa maendeleo ya hesabu: 4, 8, 12, 16, ..., kwa kuwa tofauti katika kesi hii ni 4 (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Lakini seti ya nambari 3, 5, 8, 12, 17 haiwezi tena kuhusishwa na aina ya maendeleo inayozingatiwa, kwani tofauti yake sio thamani ya mara kwa mara (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17-12).

Fomula Muhimu

Hebu sasa tuwasilishe fomula za msingi ambazo zitahitajika kutatua matatizo kwa kutumia maendeleo ya hesabu. Wacha tuonyeshe kwa ishara n muhula wa nth mfuatano ambapo n ni nambari kamili. Tunaashiria tofauti Barua ya Kilatini d. Kisha misemo ifuatayo ni halali:

  1. Kuamua thamani ya neno la nth, fomula ifuatayo inafaa: a n = (n-1)*d+a 1 .
  2. Kuamua jumla ya maneno ya kwanza ya n: S n = (a n +a 1)*n/2.

Ili kuelewa mifano yoyote ya maendeleo ya hesabu na ufumbuzi katika daraja la 9, inatosha kukumbuka kanuni hizi mbili, kwa kuwa matatizo yoyote ya aina inayozingatiwa yanategemea matumizi yao. Unapaswa pia kukumbuka kuwa tofauti ya maendeleo imedhamiriwa na formula: d = a n - a n-1.

Mfano #1: kutafuta mwanachama asiyejulikana

Wacha tutoe mfano rahisi wa maendeleo ya hesabu na fomula zinazohitajika kuzitatua.

Hebu mlolongo 10, 8, 6, 4, ... upewe, unahitaji kupata maneno matano ndani yake.

Kutoka kwa hali ya tatizo tayari inafuata kwamba maneno 4 ya kwanza yanajulikana. Ya tano inaweza kufafanuliwa kwa njia mbili:

  1. Hebu kwanza tuhesabu tofauti. Tunayo: d = 8 - 10 = -2. Vile vile, unaweza kuchukua washiriki wengine wawili waliosimama karibu na kila mmoja. Kwa mfano, d = 4 - 6 = -2. Kwa kuwa inajulikana kuwa d = a n - a n-1, basi d = a 5 - a 4, ambayo tunapata: a 5 = a 4 + d. Hebu tubadilishe maadili yanayojulikana: a 5 = 4 + (-2) = 2.
  2. Njia ya pili pia inahitaji ujuzi wa tofauti ya maendeleo katika swali, kwa hivyo unahitaji kwanza kuamua kama inavyoonyeshwa hapo juu (d = -2). Kujua kwamba neno la kwanza 1 = 10, tunatumia fomula kwa nambari ya n ya mlolongo. Tunayo: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2 * n. Kubadilisha n = 5 kwa usemi wa mwisho, tunapata: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Kama unaweza kuona, suluhisho zote mbili zilisababisha matokeo sawa. Kumbuka kuwa katika mfano huu tofauti ya maendeleo d ni thamani hasi. Mlolongo kama huo huitwa kupungua, kwani kila muhula unaofuata ni chini ya ule uliopita.

Mfano #2: tofauti ya maendeleo

Sasa hebu tufanye shida kidogo, toa mfano wa jinsi ya kupata tofauti ya maendeleo ya hesabu.

Inajulikana kuwa katika baadhi ya maendeleo ya algebraic neno la 1 ni sawa na 6, na neno la 7 ni sawa na 18. Ni muhimu kupata tofauti na kurejesha mlolongo huu kwa muda wa 7.

Wacha tutumie fomula kuamua neno lisilojulikana: a n = (n - 1) * d + a 1 . Wacha tubadilishe data inayojulikana kutoka kwa hali ndani yake, ambayo ni, nambari 1 na 7, tunayo: 18 = 6 + 6 * d. Kutoka kwa usemi huu unaweza kuhesabu kwa urahisi tofauti: d = (18 - 6) /6 = 2. Kwa hivyo, tumejibu sehemu ya kwanza ya tatizo.

Ili kurejesha mlolongo kwa muda wa 7, unapaswa kutumia ufafanuzi wa maendeleo ya algebraic, yaani, 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, na kadhalika. Matokeo yake, tunarejesha mlolongo mzima: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Mfano Na. 3: kuandaa mwendelezo

Wacha tuifanye ngumu zaidi hali yenye nguvu zaidi kazi. Sasa tunahitaji kujibu swali la jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Mfano unaofuata unaweza kutolewa: nambari mbili zinatolewa, kwa mfano - 4 na 5. Ni muhimu kuunda maendeleo ya algebra ili masharti matatu zaidi yawekwe kati ya haya.

Kabla ya kuanza kutatua tatizo hili, unahitaji kuelewa ni mahali gani nambari zilizopewa zitachukua katika maendeleo ya baadaye. Kwa kuwa kutakuwa na maneno matatu zaidi kati yao, basi 1 = -4 na 5 = 5. Baada ya kuanzisha hili, tunaendelea kwenye tatizo, ambalo ni sawa na la awali. Tena, kwa neno la nth tunatumia formula, tunapata: a 5 = a 1 + 4 * d. Kutoka: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2.25. Tulichopata hapa sio thamani kamili ya tofauti, lakini ni nambari ya kimantiki, kwa hivyo fomula za maendeleo ya aljebra hubaki sawa.

Sasa hebu tuongeze tofauti iliyopatikana kwa 1 na kurejesha masharti yaliyokosekana ya maendeleo. Tunapata: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2.25 = - 1.75, a 3 = -1.75 + 2.25 = 0.5, a 4 = 0.5 + 2.25 = 2.75, 5 = 2.75 + 2.25 = 5, ambayo sanjari na masharti ya tatizo.

Mfano Nambari 4: muhula wa kwanza wa maendeleo

Wacha tuendelee kutoa mifano ya maendeleo ya hesabu na suluhisho. Katika matatizo yote ya awali, idadi ya kwanza ya maendeleo ya algebra ilijulikana. Sasa hebu fikiria tatizo la aina tofauti: hebu namba mbili zipewe, ambapo 15 = 50 na 43 = 37. Ni muhimu kupata nambari ambayo mlolongo huu huanza na.

Fomula zilizotumika kufikia sasa huchukua maarifa ya 1 na d. Katika taarifa ya tatizo, hakuna kinachojulikana kuhusu nambari hizi. Walakini, tutaandika misemo kwa kila neno kuhusu habari ambayo inapatikana: a 15 = a 1 + 14 * d na 43 = a 1 + 42 * d. Tulipokea milinganyo miwili ambayo ndani yake kuna idadi 2 isiyojulikana (a 1 na d). Hii ina maana kwamba tatizo limepunguzwa ili kutatua mfumo wa milinganyo ya mstari.

Njia rahisi ya kutatua mfumo huu ni kueleza 1 katika kila mlinganyo na kisha kulinganisha misemo inayotokana. Equation ya kwanza: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; mlinganyo wa pili: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Kulinganisha maneno haya, tunapata: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, wapi tofauti d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0.464 (maeneo 3 tu ya decimal yanatolewa).

Kujua d, unaweza kutumia misemo yoyote kati ya 2 hapo juu kwa 1. Kwa mfano, kwanza: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0.464) = 56.496.

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, unaweza kuiangalia, kwa mfano, kuamua muda wa 43 wa maendeleo, ambayo imeelezwa katika hali hiyo. Tunapata: a 43 = a 1 + 42 * d = 56.496 + 42 * (- 0.464) = 37.008. Hitilafu ndogo ni kutokana na ukweli kwamba kuzunguka kwa maelfu ilitumiwa katika mahesabu.

Mfano Nambari 5: kiasi

Sasa hebu tuangalie mifano kadhaa iliyo na suluhisho kwa jumla ya maendeleo ya hesabu.

Hebu maendeleo ya nambari itolewe aina ifuatayo: 1, 2, 3, 4, ...,. Jinsi ya kuhesabu jumla ya 100 ya nambari hizi?

Shukrani kwa maendeleo teknolojia ya kompyuta unaweza kutatua tatizo hili, yaani, kuongeza namba zote sequentially, ambayo Mashine ya kuhesabu itafanya mara tu mtu anapobonyeza kitufe cha Ingiza. Hata hivyo, tatizo linaweza kutatuliwa kiakili ikiwa unazingatia kwamba mfululizo uliowasilishwa wa nambari ni maendeleo ya algebra, na tofauti yake ni sawa na 1. Kutumia formula kwa jumla, tunapata: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Inafurahisha kutambua kwamba shida hii inaitwa "Gaussian" kwa sababu mwanzoni mwa karne ya 18 Mjerumani maarufu, ambaye bado ana umri wa miaka 10, aliweza kulitatua kichwani mwake katika sekunde chache. Mvulana hakujua fomula ya jumla ya maendeleo ya algebra, lakini aligundua kuwa ikiwa unaongeza nambari kwenye miisho ya mlolongo kwa jozi, kila wakati unapata matokeo sawa, ambayo ni, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., na kwa kuwa hesabu hizi zitakuwa 50 (100/2), basi kupata jibu sahihi inatosha kuzidisha 50 kwa 101.

Mfano Nambari 6: jumla ya maneno kutoka n hadi m

Moja zaidi mfano wa kawaida jumla ya maendeleo ya hesabu ni kama ifuatavyo: ukipewa safu ya nambari: 3, 7, 11, 15, ..., unahitaji kupata ni nini jumla ya masharti yake kutoka 8 hadi 14 itakuwa sawa.

Tatizo linatatuliwa kwa njia mbili. Ya kwanza ni pamoja na kutafuta maneno yasiyojulikana kutoka 8 hadi 14, na kisha kuyafupisha kwa mlolongo. Kwa kuwa kuna maneno machache, njia hii sio ya kazi sana. Walakini, inapendekezwa kutatua shida hii kwa kutumia njia ya pili, ambayo ni ya ulimwengu wote.

Wazo ni kupata fomula ya jumla ya kuendelea kwa aljebra kati ya istilahi m na n, ambapo n > m ni nambari kamili. Kwa visa vyote viwili, tunaandika maneno mawili kwa jumla:

  1. S m = m * (m + a 1) / 2.
  2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Kwa kuwa n > m, ni dhahiri kwamba jumla ya 2 inajumuisha ya kwanza. Hitimisho la mwisho linamaanisha kwamba ikiwa tutachukua tofauti kati ya hesabu hizi na kuongeza neno a m kwake (katika kesi ya kuchukua tofauti, imetolewa kutoka kwa jumla S n), tutapata jibu la lazima kwa shida. Tunayo: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). Inahitajika kubadilisha fomula za n na m katika usemi huu. Kisha tunapata: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Fomula inayosababishwa ni ngumu kiasi fulani, hata hivyo, jumla ya S mn inategemea tu n, m, 1 na d. Kwa upande wetu, 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Kubadilisha nambari hizi, tunapata: S mn = 301.

Kama inavyoonekana kutoka kwa suluhu zilizo hapo juu, shida zote zinatokana na maarifa ya usemi wa muhula wa nth na fomula ya jumla ya seti ya maneno ya kwanza. Kabla ya kuanza kutatua matatizo yoyote haya, inashauriwa kusoma kwa uangalifu hali hiyo, kuelewa wazi kile unachohitaji kupata, na kisha tu kuendelea na suluhisho.

Ncha nyingine ni kujitahidi kwa unyenyekevu, yaani, ikiwa unaweza kujibu swali bila kutumia mahesabu magumu ya hisabati, basi unahitaji kufanya hivyo tu, kwa kuwa katika kesi hii uwezekano wa kufanya makosa ni mdogo. Kwa mfano, kwa mfano wa maendeleo ya hesabu na suluhisho la 6, mtu anaweza kuacha kwenye formula S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, na mapumziko kazi ya pamoja katika kazi ndogo tofauti (katika kesi hii, kwanza tafuta maneno n na a m).

Ikiwa una shaka juu ya matokeo yaliyopatikana, inashauriwa kuiangalia, kama ilifanyika katika baadhi ya mifano iliyotolewa. Tuligundua jinsi ya kupata maendeleo ya hesabu. Ikiwa utaigundua, sio ngumu sana.

Inapakia...Inapakia...