Tofauti ya mifano ya mizizi ya mraba. Sheria ya kuongeza mizizi ya mraba

Mada kuhusu mizizi ya mraba ni lazima ndani mtaala wa shule kozi ya hisabati. Hauwezi kufanya bila wao wakati wa kutatua hesabu za quadratic. Na baadaye inakuwa muhimu sio tu kuchimba mizizi, lakini pia kufanya vitendo vingine nao. Miongoni mwao ni ngumu sana: ufafanuzi, kuzidisha na mgawanyiko. Lakini pia kuna rahisi sana: kutoa na kuongeza mizizi. Kwa njia, zinaonekana tu kwa mtazamo wa kwanza. Kuzifanya bila makosa sio rahisi kila wakati kwa mtu ambaye anaanza tu kufahamiana nazo.

Mzizi wa hisabati ni nini?

Kitendo hiki kilizuka kinyume na maelezo. Hisabati inapendekeza shughuli mbili zinazopingana. Kuna kutoa kwa kuongeza. Kuzidisha ni kinyume na mgawanyiko. Kitendo kinyume cha digrii ni kutoa mzizi unaolingana.

Ikiwa shahada ni mbili, basi mizizi itakuwa mraba. Ni ya kawaida zaidi katika hesabu za shule. Haina hata dalili kwamba ni mraba, yaani, namba 2 haijawekwa karibu nayo. Nukuu ya hisabati ya operator hii (radical) imewasilishwa kwenye takwimu.

Ufafanuzi wake unapita vizuri kutoka kwa hatua iliyoelezwa. Ili kutoa mzizi wa mraba wa nambari, unahitaji kujua ni nini usemi mkali utatoa wakati unazidishwa yenyewe. Nambari hii itakuwa mzizi wa mraba. Ikiwa tutaandika hii chini kwa hisabati, tunapata yafuatayo: x*x=x 2 =y, ambayo ina maana √y=x.

Je, ni vitendo gani unaweza kufanya nao?

Katika msingi wake, mzizi ni nguvu ya sehemu na moja kwenye nambari. Na denominator inaweza kuwa chochote. Kwa mfano, mizizi ya mraba ina mbili. Kwa hiyo, vitendo vyote vinavyoweza kufanywa kwa nguvu pia vitakuwa halali kwa mizizi.

Na mahitaji ya vitendo hivi ni sawa. Ikiwa kuzidisha, mgawanyiko na ufafanuzi haukupata shida kwa wanafunzi, basi kuongeza mizizi, na pia kuiondoa, wakati mwingine husababisha kuchanganyikiwa. Na yote kwa sababu ninataka kufanya shughuli hizi bila kuzingatia ishara ya mzizi. Na hapa ndipo makosa huanza.

Je! ni sheria gani za kuongeza na kupunguza?

Kwanza unahitaji kukumbuka aina mbili za "usifanye":

  • haiwezekani kuongeza na kutoa mizizi, kama ilivyo kwa nambari kuu, ambayo ni kwamba, haiwezekani kuandika maneno makubwa ya jumla chini ya ishara moja na kufanya shughuli za hisabati nao;
  • Huwezi kuongeza na kutoa mizizi yenye vielelezo tofauti, kwa mfano mraba na ujazo.

Mfano wazi wa katazo la kwanza: √6 + √10 ≠ √16, lakini √(6 + 10) = √16.

Katika kesi ya pili, ni bora kujizuia ili kurahisisha mizizi yenyewe. Na kuacha kiasi chao katika jibu.

Sasa kwa kanuni

  1. Tafuta na upange mizizi inayofanana. Hiyo ni, wale ambao hawana tu idadi sawa chini ya radical, lakini wao wenyewe wana kiashiria sawa.
  2. Fanya nyongeza ya mizizi iliyojumuishwa katika kundi moja katika hatua ya kwanza. Ni rahisi kutekeleza kwa sababu unahitaji tu kuongeza maadili ambayo yanaonekana mbele ya radicals.
  3. Chambua mizizi ya maneno hayo ambayo usemi mkali huunda mraba mzima. Kwa maneno mengine, usiache chochote chini ya ishara ya radical.
  4. Rahisisha misemo kali. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuziweka katika vipengele muhimu na uone ikiwa zinatoa mraba wa nambari yoyote. Ni wazi kwamba hii ni kweli tunapozungumzia mizizi ya mraba. Wakati kielelezo ni tatu au nne, basi sababu kuu lazima zipe mchemraba au nguvu ya nne ya nambari.
  5. Ondoa kutoka chini ya ishara ya radical sababu ambayo inatoa nguvu nzima.
  6. Angalia kama maneno sawa yanaonekana tena. Ikiwa ndio, basi fanya hatua ya pili tena.

Katika hali ambapo kazi haihitaji thamani halisi mizizi, inaweza kuhesabiwa kwenye calculator. Isiyo na mwisho Nukta, ambayo itaonekana kwenye dirisha lake, pande zote. Mara nyingi hii inafanywa kwa mia. Na kisha fanya shughuli zote za sehemu za decimal.

Hii ni habari yote kuhusu jinsi ya kuongeza mizizi. Mifano hapa chini itaonyesha yaliyo hapo juu.

Kazi ya kwanza

Kuhesabu thamani ya maneno:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ukifuata algorithm hapo juu, unaweza kuona kwamba hakuna chochote kwa vitendo viwili vya kwanza katika mfano huu. Lakini unaweza kurahisisha baadhi ya maneno makubwa.

Kwa mfano, tenganisha 32 katika vipengele viwili 2 na 16; 18 itakuwa sawa na bidhaa ya 9 na 2; 128 ni 2 zaidi ya 64. Kutokana na hili, usemi utaandikwa hivi:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Sasa unahitaji kuondoa kutoka chini ya ishara kali mambo hayo ambayo yanatoa mraba wa nambari. Hii ni 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. Usemi utachukua fomu:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Tunahitaji kurahisisha kurekodi kidogo. Ili kufanya hivyo, zidisha coefficients kabla ya ishara za mizizi:

√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.

Katika usemi huu, maneno yote yaligeuka kuwa sawa. Kwa hivyo, unahitaji tu kuzikunja. Jibu litakuwa: 5√2.

b) Sawa na mfano uliopita, kuongeza mizizi huanza na kurahisisha. Maneno makubwa 75, 147, 48 na 300 yatawakilishwa katika jozi zifuatazo: 5 na 25, 3 na 49, 3 na 16, 3 na 100. Kila moja yao ina nambari ambayo inaweza kuchukuliwa kutoka chini ya ishara ya mizizi. :

5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.

Baada ya kurahisisha, jibu ni: 5√5 - 5√3. Inaweza kushoto katika fomu hii, lakini ni bora kuchukua sababu ya kawaida 5 nje ya mabano: 5 (√5 - √3).

c) Na tena factorization: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Baada ya kuondoa mambo kutoka chini ya ishara ya mizizi, tuna:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Baada ya kuleta masharti sawa tunapata matokeo: 7√11.

Mfano na misemo ya sehemu

√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).

Utahitaji kuzingatia nambari zifuatazo: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Sawa na wale ambao tayari wamejadiliwa, unahitaji kuondoa sababu kutoka chini ya ishara ya mizizi. na kurahisisha usemi:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Usemi huu unahitaji kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu. Ili kufanya hivyo, unahitaji kuzidisha muhula wa pili kwa √2/√2:

5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Ili kukamilisha vitendo, unahitaji kuchagua sehemu nzima ya mambo mbele ya mizizi. Kwa ya kwanza ni 1, kwa pili ni 2.

Mizizi formula. Mali ya mizizi ya mraba.

Tahadhari!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Katika somo lililopita tuligundua mzizi wa mraba ni nini. Ni wakati wa kujua ni zipi zipo formula kwa mizizi ni nini mali ya mizizi, na nini kifanyike kwa haya yote.

Njia za mizizi, mali ya mizizi na sheria za kufanya kazi na mizizi- hii kimsingi ni kitu kimoja. Kuna njia chache za kushangaza za mizizi ya mraba. Ambayo hakika inanifurahisha! Au tuseme, unaweza kuandika formula nyingi tofauti, lakini kwa kazi ya vitendo na ya ujasiri na mizizi, tatu tu zinatosha. Kila kitu kingine kinatiririka kutoka kwa hizi tatu. Ingawa watu wengi huchanganyikiwa katika fomula tatu za mizizi, ndio ...

Wacha tuanze na rahisi zaidi. Huyu hapa:

Ikiwa unapenda tovuti hii ...

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Mzizi wa mraba wa nambari x ni nambari a, ambayo ikizidishwa yenyewe inatoa nambari x: a * a = a^2 = x, ?x = a. Kama ilivyo kwa nambari zozote, unaweza kufanya shughuli za hesabu za kuongeza na kutoa kwa mizizi ya mraba.

Maagizo

1. Kwanza, wakati wa kuongeza mizizi ya mraba, jaribu kutoa mizizi hii. Hii itakubalika ikiwa nambari zilizo chini ya ishara ya mizizi ni mraba kamili. Hebu tuseme usemi uliotolewa ni ?4 + ?9. Nambari ya kwanza 4 ni mraba wa nambari 2. Nambari ya pili 9 ni mraba wa nambari 3. Hivyo inageuka kuwa: ?4 + ?9 = 2 + 3 = 5.

2. Ikiwa hakuna miraba kamili chini ya ishara ya mizizi, basi jaribu kuhamisha kizidishi cha nambari kutoka chini ya ishara ya mizizi. Tuseme, tuseme usemi umetolewa?24 +?54. Factor nambari: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Nambari 24 ina kipengele cha 4, ambacho kinaweza kuhamishwa kutoka chini ya ishara ya mizizi ya mraba. Nambari 54 ina kipengele cha 9. Hivyo, inageuka kuwa: ?24 + ?54 = ?(4 * 6) + ?(9 * 6) = 2 * ?6 + 3 * ?6 = 5 * ?6 . Katika mfano huu, kama matokeo ya kuondoa kizidishi kutoka chini ya ishara ya mizizi, iliwezekana kurahisisha usemi uliopewa.

3. Hebu jumla ya mizizi 2 ya mraba iwe dhehebu la sehemu, sema A / (?a + ?b). Na acha kazi yako iwe "kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu." Kisha unaweza kutumia njia inayofuata. Zidisha nambari na denominator ya sehemu kwa usemi ?a - ?b. Kwa hivyo, kiashiria kitakuwa na fomula iliyofupishwa ya kuzidisha: (?a + ?b) * (?a - ?b) = a - b. Kwa mlinganisho, ikiwa kipunguzi kina tofauti kati ya mizizi: ?a - ?b, basi nambari na denominator ya sehemu lazima iongezwe kwa usemi ?a + ?b. Kwa mfano, acha sehemu 4 / (?3 + ?5) = 4 * (?3 - ?5) / ((?3 + ?5) * (?3 - ?5)) = 4 * (?3 - ?5) / (-2) = 2 * (?5 - ?3).

4. Fikiria mfano ngumu zaidi wa kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu. Acha sehemu 12 / (?2 + ?3 + ?5) itolewe. Unahitaji kuzidisha nambari na denominator ya sehemu kwa usemi?2 + ?3 - ?5:12 / (?2 + ?3 + ?5) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / ( (?2 + ?3 + ?5) * (?2 + ?3 - ?5)) = 12 * (?2 + ?3 - ?5) / (2 * ?6) = ?6 * (?2 + ?3 - ?5) = 2 * ?3 + 3 * ?2 - ?30.

5. Na hatimaye, ikiwa unahitaji tu thamani ya takriban, unaweza kuhesabu mizizi ya mraba kwa kutumia calculator. Hesabu maadili kando kwa nambari nzima na uandike kwa usahihi unaohitajika (sema, sehemu mbili za decimal). Na baada ya hayo, fanya shughuli za hesabu zinazohitajika, kama na nambari za kawaida. Hebu tuseme, tuseme unahitaji kujua takriban thamani ya usemi ?7 + ?5 ? 2.65 + 2.24 = 4.89.

Video kwenye mada

Kumbuka!
Kwa hali yoyote hakuna mizizi ya mraba inaweza kuongezwa kama nambari za zamani, i.e. ?3 + ?2 ? ?5!!!

Ushauri wa manufaa
Ikiwa unahesabu nambari ili kuhamisha mraba kutoka chini ya ishara ya mizizi, kisha fanya ukaguzi wa kinyume - zidisha mambo yote yanayotokana na kupata nambari ya asili.

Maudhui:

Katika hisabati, mizizi inaweza kuwa mraba, cubic, au kuwa na kielelezo kingine chochote (nguvu), ambacho kimeandikwa upande wa kushoto juu ya ishara ya mizizi. Usemi chini ya ishara ya mizizi huitwa usemi mkali. Kuongeza mizizi ni sawa na kuongeza maneno ya usemi wa algebra, ambayo ni, inahitaji kuamua mizizi sawa.

Hatua

Sehemu ya 1 Uamuzi wa mizizi

  1. 1 Uteuzi wa mizizi. Usemi ulio chini ya alama ya mzizi (√) unamaanisha kuwa ni muhimu kutoa mzizi wa kiwango fulani kutoka kwa usemi huu.
    • Mzizi unaonyeshwa na ishara √.
    • Kipeo (shahada) ya mzizi imeandikwa upande wa kushoto juu ya ishara ya mizizi. Kwa mfano, mzizi wa mchemraba wa 27 umeandikwa kama: 3 √(27)
    • Ikiwa index (shahada) ya mizizi haipo, basi kielelezo kinachukuliwa kuwa sawa na 2, yaani, ni mizizi ya mraba (au mzizi wa shahada ya pili).
    • Nambari iliyoandikwa kabla ya ishara ya mizizi inaitwa kizidishi (yaani, nambari hii inazidishwa na mzizi), kwa mfano 5√(2)
    • Ikiwa hakuna sababu mbele ya mzizi, basi ni sawa na 1 (kumbuka kwamba nambari yoyote iliyozidishwa na 1 ni sawa na yenyewe).
    • Ikiwa hii ni mara yako ya kwanza kufanya kazi na mizizi, andika maelezo sahihi juu ya kizidishi na kipeo mzizi ili kuepuka kuchanganyikiwa na kuelewa vyema madhumuni yao.
  2. 2 Kumbuka ni mizizi gani inaweza kukunjwa na ambayo haiwezi. Kama vile huwezi kuongeza maneno tofauti ya usemi, kwa mfano, 2a + 2b ≠ 4ab, huwezi kuongeza mizizi tofauti.
    • Huwezi kuongeza mizizi yenye vielezi tofauti tofauti, kwa mfano, √(2) + √(3) ≠ √(5). Lakini unaweza kuongeza nambari chini ya mzizi sawa, kwa mfano, √(2 + 3) = √(5) (mzizi wa mraba wa 2 ni takriban 1.414, mzizi wa mraba wa 3 ni takriban 1.732, na mzizi wa mraba wa 5 takriban 2.236).
    • Huwezi kuongeza mizizi yenye vielezi vikali sawa, lakini vielezi tofauti, kwa mfano, √(64) + 3 √(64) (jumla hii si sawa na 5 √(64), kwani mzizi wa mraba wa 64 ni 8, the mchemraba mzizi wa 64 ni 4, 8 + 4 = 12, ambayo ni kubwa zaidi kuliko mizizi ya tano ya 64, ambayo ni takriban 2.297).

Sehemu ya 2 Kurahisisha na kuongeza mizizi

  1. 1 Tambua na upange mizizi inayofanana. Mizizi inayofanana ni mizizi ambayo ina viashirio sawa na maneno ya radical sawa. Kwa mfano, fikiria usemi:
    2√(3) + 3 √(81) + 2√(50) + √(32) + 6√(3)
    • Kwanza, andika upya usemi huo ili mizizi iliyo na faharasa sawa ipatikane kwa mfuatano.
      2√(3) + 2√(50) + √(32) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Kisha andika upya usemi huo ili mizizi iliyo na kipeo sawa na yenye usemi mkali sawa ipatikane kwa kufuatana.
      2√(50) + √(32) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
  2. 2 Rahisisha mizizi. Ili kufanya hivyo, tenga (inapowezekana) maneno makubwa katika mambo mawili, ambayo moja hutolewa kutoka chini ya mizizi. Katika kesi hii, nambari iliyoondolewa na sababu ya mizizi huongezeka.
    • Katika mfano hapo juu, fanya nambari 50 hadi 2 * 25, na nambari 32 hadi 2 * 16. Kutoka 25 na 16 unaweza kuchukua mizizi ya mraba (5 na 4, mtawaliwa) na kuondoa 5 na 4 kutoka chini ya mzizi, na kuzizidisha kwa sababu 2 na 1, kwa mtiririko huo. Kwa hivyo, unapata usemi rahisi: 10√(2) ) + 4√( 2) + 2√(3) + 6√(3) + 3 √(81)
    • Nambari ya 81 inaweza kuzingatiwa 3 * 27, na kutoka kwa nambari 27 unaweza kuchukua mzizi wa mchemraba wa 3. Nambari hii 3 inaweza kuchukuliwa kutoka chini ya mizizi. Kwa hivyo, unapata usemi uliorahisishwa zaidi: 10√(2) + 4√(2) + 2√(3)+ 6√(3) + 3 3 √(3)
  3. 3 Ongeza mambo ya mizizi sawa. Katika mfano wetu, kuna mizizi ya mraba sawa ya 2 (zinaweza kuongezwa) na mizizi ya mraba sawa ya 3 (inaweza pia kuongezwa). Mzizi wa mchemraba wa 3 hauna mizizi kama hiyo.
    • 10√(2) + 4√(2) = 14√(2).
    • 2√(3)+ 6√(3) = 8√(3).
    • Usemi wa mwisho uliorahisishwa: 14√(2) + 8√(3) + 3 3 √(3)
  • Hakuna sheria zinazokubaliwa kwa ujumla za mpangilio ambao mizizi huandikwa katika usemi. Kwa hiyo, unaweza kuandika mizizi kwa utaratibu wa kupanda wa viashiria vyao na kwa utaratibu wa kupanda wa maneno makubwa.

Mzizi wa mraba wa nambari x ni nambari a, ambayo ikizidishwa yenyewe inatoa nambari x: a * a = a^2 = x, √x = a. Kama ilivyo kwa nambari zozote, unaweza kufanya shughuli za hesabu za kuongeza na kutoa kwa mizizi ya mraba.

Maagizo

  • Kwanza, unapoongeza mizizi ya mraba, jaribu kutoa mizizi hiyo. Hii itawezekana ikiwa nambari zilizo chini ya ishara ya mizizi ni mraba kamili. Kwa mfano, acha usemi √4 + √9 utolewe. Nambari ya kwanza 4 ni mraba wa nambari 2. Nambari ya pili 9 ni mraba wa namba 3. Hivyo inageuka kuwa: √4 + √9 = 2 + 3 = 5.
  • Ikiwa hakuna mraba kamili chini ya ishara ya mizizi, kisha jaribu kuondoa kizidisha nambari kutoka chini ya ishara ya mizizi. Kwa mfano, acha usemi √24 + √54 utolewe. Faini nambari: 24 = 2 * 2 * 2 * 3, 54 = 2 * 3 * 3 * 3. Nambari 24 ina sababu ya 4, ambayo inaweza kuchukuliwa chini ya ishara ya mizizi ya mraba. Nambari 54 ina kipengele cha 9. Hivyo, inageuka kuwa: √24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 . Katika mfano huu, kama matokeo ya kuondoa kizidishi kutoka chini ya ishara ya mizizi, iliwezekana kurahisisha usemi uliopewa.
  • Hebu jumla ya mizizi miwili ya mraba iwe dhehebu la sehemu, kwa mfano, A / (√a + √b). Na acha kazi yako iwe "kuondoa kutokuwa na akili katika dhehebu." Kisha unaweza kutumia njia ifuatayo. Zidisha nambari na denominator ya sehemu kwa usemi √a - √b. Kwa hivyo, katika dhehebu tunapata fomula iliyofupishwa ya kuzidisha: (√a + √b) * (√a - √b) = a – b. Kwa mlinganisho, ikiwa denominator ina tofauti kati ya mizizi: √a - √b, basi nambari na denominator ya sehemu lazima iongezwe na usemi √a + √b. Kwa mfano, acha sehemu 4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 -) √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3).
  • Fikiria zaidi mfano tata kuondoa kutokuwa na busara katika dhehebu. Acha sehemu 12 / (√2 + √3 + √5) itolewe. Inahitajika kuzidisha nambari na denominator ya sehemu kwa usemi √2 + √3 - √5:
    12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / ((√2 + √3 + √5) * (√2 + √3 - √5)) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = √6 * (√2 + √3 - √5) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
  • Hatimaye, ikiwa unahitaji tu thamani ya takriban, unaweza kutumia kikokotoo kukokotoa mizizi ya mraba. Hesabu maadili kando kwa kila nambari na uandike kwa usahihi unaohitajika (kwa mfano, sehemu mbili za decimal). Na kisha fanya shughuli za hesabu zinazohitajika, kama na nambari za kawaida. Kwa mfano, tuseme unahitaji kujua takriban thamani ya usemi √7 + √5 ≈ 2.65 + 2.24 = 4.89.
Inapakia...Inapakia...