Tabia ya prism. Eneo la msingi wa Prism: kutoka pembetatu hadi polygonal

Ufafanuzi. Prism ni polihedron, ambayo vipeo vyote viko katika ndege mbili zinazofanana, na katika ndege hizi mbili ziko nyuso mbili za prism, ambazo ni poligoni sawa na pande zinazofanana, na kingo zote ambazo hazilala katika ndege hizi zinafanana.

Nyuso mbili zinazofanana zinaitwa misingi ya prism(ABCDE, A 1 B 1 C 1 D 1 E 1).

Nyuso zingine zote za prism zinaitwa nyuso za upande(AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C, CC 1 D 1 D, DD 1 E 1 E, EE 1 A 1 A).

Nyuso zote za upande huunda uso wa upande wa prism .

Nyuso zote za upande wa prism ni sambamba .

Kingo ambazo hazilala kwenye besi huitwa kingo za nyuma za prism ( AA 1, BB 1, CC 1, DD 1, EE 1).

Prism diagonal ni sehemu ambayo miisho yake ni vipeo viwili vya mche ambazo hazilala kwenye uso mmoja (BK 1).

Urefu wa sehemu inayounganisha besi za prism na perpendicular kwa besi zote mbili kwa wakati mmoja inaitwa. urefu wa prism .

Uteuzi:ABCDE A 1 B 1 C 1 D 1 E 1. (Kwanza, kwa mpangilio wa kupitisha, wima za msingi mmoja zinaonyeshwa, na kisha, kwa mpangilio huo huo, wima za nyingine; ncha za kila makali ya upande zimeteuliwa na herufi zile zile, wima tu zilizo kwenye msingi mmoja ndizo zilizoteuliwa. kwa herufi bila faharisi, na kwa nyingine - na faharisi)

Jina la prism linahusishwa na idadi ya pembe katika takwimu iliyo chini yake, kwa mfano, katika Mchoro 1 kuna pentagon kwenye msingi, hivyo prism inaitwa. prism ya pentagonal. Lakini kwa sababu prism kama hiyo ina nyuso 7, basi heptahedron(Nyuso 2 - misingi ya prism, nyuso 5 - parallelograms, - nyuso zake za upande)

Miongoni mwa prisms moja kwa moja, aina fulani inasimama: prisms ya kawaida.

Prism moja kwa moja inaitwa sahihi, ikiwa besi zake ni poligoni za kawaida.

Parallelepiped

Parallelepiped ya mstatili- parallelepiped ya kulia ambayo msingi wake ni mstatili.

Sifa na nadharia:

,

ambapo d ni diagonal ya mraba;
a ni upande wa mraba.

Wazo la prism hutolewa na:

• miundo mbalimbali ya usanifu;
• Toys za watoto;
• masanduku ya ufungaji;
• vitu vya wabunifu, nk.

Eneo la uso wa jumla na wa upande wa prism

S kamili = S upande + 2S kuu,

Wapi S kamili- jumla ya eneo la uso, S upande- eneo la uso wa upande, S msingi- eneo la msingi

Sehemu ya uso ya pembeni ya prism moja kwa moja ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa prism..

S upande= P msingi * h,

Wapi S upande- eneo la uso wa nyuma wa prism moja kwa moja;

P kuu - mzunguko wa msingi wa prism moja kwa moja,

h ni urefu wa prism moja kwa moja, sawa na makali ya upande.

Kiasi cha prism

Kiasi cha prism ni sawa na bidhaa ya eneo la msingi na urefu.

Kudumisha faragha yako ni muhimu kwetu. Kwa sababu hii, tumeunda Sera ya Faragha ambayo inaeleza jinsi tunavyotumia na kuhifadhi maelezo yako. Tafadhali kagua desturi zetu za faragha na utujulishe ikiwa una maswali yoyote.

Ukusanyaji na matumizi ya taarifa za kibinafsi

Taarifa za kibinafsi hurejelea data inayoweza kutumiwa kutambua au kuwasiliana na mtu mahususi.

Unaweza kuulizwa kutoa maelezo yako ya kibinafsi wakati wowote unapowasiliana nasi.

Ifuatayo ni baadhi ya mifano ya aina za taarifa za kibinafsi ambazo tunaweza kukusanya na jinsi tunavyoweza kutumia taarifa hizo.

Ni taarifa gani za kibinafsi tunazokusanya:

• Unapotuma maombi kwenye tovuti, tunaweza kukusanya taarifa mbalimbali, ikiwa ni pamoja na jina lako, nambari ya simu, anwani Barua pepe na kadhalika.

Jinsi tunavyotumia maelezo yako ya kibinafsi:

• Imekusanywa na sisi habari za kibinafsi huturuhusu kuwasiliana nawe na kukujulisha kuhusu matoleo ya kipekee, matangazo na matukio mengine na matukio yajayo.
• Mara kwa mara, tunaweza kutumia taarifa zako za kibinafsi kutuma arifa na mawasiliano muhimu.
• Tunaweza pia kutumia taarifa za kibinafsi kwa madhumuni ya ndani, kama vile kufanya ukaguzi, uchambuzi wa data na utafiti mbalimbali ili kuboresha huduma tunazotoa na kukupa mapendekezo kuhusu huduma zetu.
• Ukishiriki katika droo ya zawadi, shindano au ukuzaji kama huo, tunaweza kutumia maelezo unayotoa ili kusimamia programu kama hizo.

Ufichuaji wa habari kwa wahusika wengine

Hatufichui taarifa zilizopokelewa kutoka kwako kwa wahusika wengine.

Vighairi:

• Ikiwa ni lazima - kwa mujibu wa sheria, utaratibu wa mahakama, katika jaribio, na/au kulingana na maombi ya umma au maombi kutoka mashirika ya serikali kwenye eneo la Shirikisho la Urusi - kufichua maelezo yako ya kibinafsi. Tunaweza pia kufichua maelezo kukuhusu ikiwa tutatambua kuwa ufichuzi kama huo ni muhimu au unafaa kwa usalama, utekelezaji wa sheria au madhumuni mengine ya umuhimu wa umma.
• Katika tukio la kupanga upya, kuunganishwa, au mauzo, tunaweza kuhamisha maelezo ya kibinafsi tunayokusanya kwa mrithi husika.

Ulinzi wa habari za kibinafsi

Tunachukua tahadhari - ikiwa ni pamoja na usimamizi, kiufundi na kimwili - ili kulinda taarifa zako za kibinafsi dhidi ya upotevu, wizi na matumizi mabaya, pamoja na ufikiaji usioidhinishwa, ufichuzi, mabadiliko na uharibifu.

Kuheshimu faragha yako katika kiwango cha kampuni

Ili kuhakikisha kuwa maelezo yako ya kibinafsi ni salama, tunawasiliana na viwango vya faragha na usalama kwa wafanyakazi wetu na kutekeleza kwa uthabiti kanuni za ufaragha.

Maelezo ya jumla kuhusu prism moja kwa moja

Uso wa upande wa prism (kwa usahihi zaidi, eneo la uso wa upande) huitwa jumla maeneo ya nyuso za upande. Uso wa jumla wa prism ni sawa na jumla ya uso wa upande na maeneo ya besi.

Nadharia 19.1. Uso wa upande wa prism moja kwa moja ni sawa na bidhaa ya mzunguko wa msingi na urefu wa prism, yaani, urefu wa makali ya upande.

Ushahidi. Nyuso za upande wa prism iliyonyooka ni mistatili. Misingi ya mistatili hii ni pande za poligoni iliyo chini ya prism, na urefu ni sawa na urefu wa kingo za upande. Inafuata kwamba uso wa upande wa prism ni sawa na

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

ambapo 1 na n ni urefu wa kingo za msingi, p ni mzunguko wa msingi wa prism, na mimi ni urefu wa kingo za upande. Nadharia imethibitishwa.

Kazi ya vitendo

Tatizo (22) . Katika prism iliyoelekezwa inafanywa sehemu, perpendicular kwa mbavu za upande na kuingiliana na mbavu zote za upande. Tafuta uso wa upande wa prism ikiwa mzunguko wa sehemu ni sawa na p na kingo za upande ni sawa na l.

Suluhisho. Ndege ya sehemu inayotolewa inagawanya prism katika sehemu mbili (Mchoro 411). Wacha tuangalie moja yao kwa tafsiri inayofanana, tukichanganya misingi ya prism. Katika kesi hii, tunapata prism moja kwa moja, msingi ambao ni sehemu ya msalaba wa prism ya awali, na kando ya upande ni sawa na l. Mche huu una uso wa kando sawa na ule wa asili. Kwa hivyo, uso wa upande wa prism ya asili ni sawa na pl.

Muhtasari wa mada iliyofunikwa

Sasa hebu tujaribu muhtasari wa mada tuliyoshughulikia kuhusu prism na kukumbuka ni mali gani ya prism ina.

Tabia za prism

Kwanza, prism ina misingi yake yote kama poligoni sawa;
Pili, katika prism nyuso zake zote za upande ni msambamba;
Tatu, katika sura yenye sura nyingi kama prism, kingo zote za nyuma ni sawa;

Pia, ikumbukwe kwamba polihedra kama vile prism inaweza kuwa moja kwa moja au kutega.

Ni prism gani inayoitwa prism iliyonyooka?

Ikiwa makali ya upande wa prism iko perpendicular kwa ndege ya msingi wake, basi prism hiyo inaitwa moja kwa moja.

Haitakuwa mbaya sana kukumbuka kuwa nyuso za nyuma za prism moja kwa moja ni mistatili.

Ni aina gani ya prism inayoitwa oblique?

Lakini ikiwa ukingo wa upande wa prism hauko sawa kwa ndege ya msingi wake, basi tunaweza kusema kwa usalama kuwa ni prism iliyoelekezwa.

Ni prism gani inayoitwa sahihi?

Ikiwa poligoni ya kawaida iko kwenye msingi wa prism moja kwa moja, basi prism kama hiyo ni ya kawaida.

Sasa hebu tukumbuke mali ambayo prism ya kawaida ina.

Tabia za prism ya kawaida

Kwanza, poligoni za kawaida daima hutumika kama msingi wa mche wa kawaida;
Pili, ikiwa tunazingatia nyuso za upande wa prism ya kawaida, daima ni rectangles sawa;
Tatu, ikiwa unalinganisha saizi za mbavu za upande, basi kwenye prism ya kawaida huwa sawa kila wakati.
Nne, prism sahihi daima ni sawa;
Tano, ikiwa katika prism ya kawaida nyuso za upande zina sura ya mraba, basi takwimu kama hiyo kawaida huitwa poligoni ya nusu ya kawaida.

Sehemu ya msalaba wa Prism

Sasa hebu tuangalie sehemu ya msalaba ya prism:

Kazi ya nyumbani

Sasa hebu tujaribu kuunganisha mada ambayo tumejifunza kwa kutatua matatizo.

Wacha tuchore prism ya pembe tatu, umbali kati ya kingo zake utakuwa sawa na: 3 cm, 4 cm na 5 cm, na uso wa upande wa prism hii utakuwa sawa na 60 cm2. Kuwa na vigezo hivi, pata makali ya upande wa prism hii.

Unajua kwamba takwimu za kijiometri hutuzunguka kila wakati sio tu katika masomo ya jiometri, lakini pia ndani Maisha ya kila siku Kuna vitu vinavyofanana na takwimu moja au nyingine ya kijiometri.

Kila nyumba, shule au kazini ina kompyuta ambayo kitengo cha mfumo wake kina umbo la prism iliyonyooka.

Ikiwa unachukua penseli rahisi, utaona kwamba sehemu kuu ya penseli ni prism.

Kutembea kando ya barabara kuu ya jiji, tunaona kwamba chini ya miguu yetu kuna tile ambayo ina sura ya prism ya hexagonal.

A. V. Pogorelov, Jiometri kwa darasa la 7-11, Kitabu cha maandishi kwa taasisi za elimu

Polygons ABCDE na FHKMP zilizolala katika ndege zinazofanana zinaitwa besi za prism, perpendicular OO 1 iliyopunguzwa kutoka hatua yoyote ya msingi hadi ndege ya mwingine inaitwa urefu wa prism. Sambamba za ABHF, BCKH, n.k. huitwa nyuso za nyuma za prism, na pande zao SC, DM, nk, zinazounganisha wima zinazolingana za besi, huitwa kingo za nyuma. Katika prism, kingo zote za kando ni sawa kwa kila mmoja kama sehemu za mistari iliyonyooka inayofanana iliyofungwa kati ya ndege sambamba.
Mche huitwa mstari ulionyooka ( Kielelezo 282, b) au oblique ( Mtini.282,c) kulingana na ikiwa mbavu zake za upande ni za pembeni au zimeelekezwa kwa besi. Prism moja kwa moja ina nyuso za upande wa mstatili. Makali ya upande yanaweza kuchukuliwa kama urefu wa prism kama hiyo.
Prism ya kulia inaitwa kawaida ikiwa besi zake ni poligoni za kawaida. Katika prism kama hiyo, nyuso zote za upande ni mstatili sawa.
Ili kuonyesha prism katika mchoro tata, unahitaji kujua na kuweza kuonyesha vitu ambavyo vinajumuisha (hatua, mstari wa moja kwa moja, takwimu ya gorofa).
na picha yao katika mchoro tata (Mchoro 283, a - i)

a) Mchoro tata wa prism. Msingi wa prism iko kwenye ndege ya makadirio P 1; moja ya nyuso za upande wa prism ni sambamba na ndege ya makadirio P 2.
b) Karibu na msingi wa prism DEF - takwimu ya gorofa - pembetatu ya kawaida, iko katika ndege P 1; upande wa pembetatu DE ni sawa na mhimili wa x 12 - Makadirio ya usawa yanaunganishwa na msingi uliotolewa na, kwa hiyo, ni sawa na ukubwa wake wa asili; Makadirio ya mbele yanaunganishwa na mhimili wa x 12 na ni sawa na upande wa msingi wa prism.
c) Msingi wa juu wa prism ABC ni takwimu ya gorofa - pembetatu iko ndani ndege ya usawa. Makadirio ya usawa yanaunganishwa na makadirio ya msingi wa chini na kuifunika, kwani prism ni sawa; makadirio ya mbele - moja kwa moja, sambamba na mhimili wa x 12, kwa umbali wa urefu wa prism.
d) Uso wa upande wa prism ya ABED ni kielelezo bapa - mstatili uliolala kwenye ndege ya mbele. Makadirio ya mbele - mstatili sawa na ukubwa wa asili wa uso; makadirio ya usawa ni mstari wa moja kwa moja sawa na upande wa msingi wa prism.
e) na f) Nyuso za kando za miche ya ACFD na CBEF ni takwimu bapa - mistatili iliyo katika ndege zinazoonyesha mlalo ziko kwenye pembe ya 60° hadi ndege ya makadirio P 2. Makadirio ya usawa ni mistari ya moja kwa moja, iko kwenye mhimili wa x 12 kwa pembe ya 60 °, na ni sawa na ukubwa wa asili wa pande za msingi wa prism; makadirio ya mbele ni mistatili ambayo picha zake ni ndogo kuliko saizi ya maisha: pande mbili za kila mstatili ni sawa na urefu wa prism.
g) Makali ya AD ya prism ni mstari wa moja kwa moja, unaoelekea kwenye ndege ya makadirio P 1. Makadirio ya usawa - uhakika; mbele - sawa, perpendicular kwa mhimili x 12, sawa na makali ya upande wa prism (urefu wa prism).
h) Upande wa AB wa msingi wa juu umenyooka, sambamba na ndege P 1 na P 2. Makadirio ya usawa na ya mbele ni sawa, sawa na mhimili wa x 12 na sawa na upande wa msingi uliotolewa wa prism. Makadirio ya mbele yamepangwa kutoka kwa mhimili wa x-12 kwa umbali sawa na urefu wa prism.
i) Vipeo vya prism. Pointi E - juu ya msingi wa chini iko kwenye ndege P 1. Makadirio ya usawa yanapatana na uhakika yenyewe; mbele - iko kwenye mhimili wa x 12. Point C - juu ya msingi wa juu - iko katika nafasi. Makadirio ya usawa yana kina; mbele - urefu sawa na urefu wa prism hii.
Hii ina maana: Wakati wa kubuni polyhedron yoyote, unahitaji kugawanya kiakili katika vipengele vyake vya vipengele na kuamua utaratibu wa uwakilishi wao, unaojumuisha shughuli za graphic mfululizo. Kielelezo 284 na 285 kinaonyesha mifano ya utendakazi wa mfuatano wa picha wakati wa kuchora mchoro changamano na uwakilishi wa kuona (axonometry) wa prisms.
(Kielelezo 284).

Imetolewa:
1. Msingi iko kwenye ndege ya makadirio P 1.
2. Hakuna upande wa msingi unaolingana na mhimili wa x 12.
I. Mchoro tata.
Mimi, a. Tunatengeneza msingi wa chini - polygon, ambayo, kwa hali, iko kwenye ndege P1.
mimi, b. Tunatengeneza msingi wa juu - poligoni sawa na msingi wa chini na pande zinazofanana sambamba na msingi wa chini, uliowekwa kutoka msingi wa chini na urefu wa H wa prism iliyotolewa.
Mimi, c. Tunatengeneza kingo za upande wa prism - sehemu ziko sambamba; makadirio yao ya usawa ni pointi zinazounganishwa na makadirio ya wima ya besi; mbele - sehemu (sambamba) zilizopatikana kutoka kwa kuunganishwa na mistari ya moja kwa moja makadirio ya wima ya besi za jina moja. Makadirio ya mbele ya mbavu, inayotolewa kutoka kwa makadirio ya vipeo B na C ya msingi wa chini, yanaonyeshwa kwa mistari iliyopigwa kama isiyoonekana.
Mimi, g. Imetolewa: makadirio ya usawa F 1 ya uhakika F kwenye msingi wa juu na makadirio ya mbele K 2 ya uhakika K kwenye uso wa upande. Inahitajika kuamua maeneo ya makadirio yao ya pili.
Kwa uhakika F. Makadirio ya pili (ya mbele) F 2 ya uhakika F itaambatana na makadirio ya msingi wa juu, kama hatua iliyo kwenye ndege ya msingi huu; mahali pake imedhamiriwa na mstari wa mawasiliano wima.
Kwa uhakika K - Makadirio ya pili (ya usawa) K 1 ya uhakika K yataambatana na makadirio ya usawa ya uso wa upande, kama hatua iliyo kwenye ndege ya uso; mahali pake imedhamiriwa na mstari wa mawasiliano wima.
II. Maendeleo ya uso wa prism- takwimu ya gorofa inayoundwa na nyuso za upande - mstatili, ambayo pande mbili ni sawa na urefu wa prism, na nyingine mbili ni sawa na pande zinazofanana za msingi, na kutoka kwa besi mbili sawa na kila mmoja - polygons zisizo za kawaida. .
Vipimo vya asili vya besi na pande za nyuso muhimu kwa ajili ya kujenga maendeleo vinafunuliwa kwenye makadirio; tunajenga juu yao; Kwa mstari wa moja kwa moja tunapanga sequentially pande za AB, BC, CD, DE na EA ya polygon - misingi ya prism, iliyochukuliwa kutoka kwa makadirio ya usawa. Juu ya perpendiculars inayotolewa kutoka kwa pointi A, B, C, D, E na A, tunapanga urefu wa H wa prism hii iliyochukuliwa kutoka kwa makadirio ya mbele na kuteka mstari wa moja kwa moja kupitia alama. Kama matokeo, tunapata skanning ya nyuso za upande wa prism.
Ikiwa tunashikilia misingi ya prism kwa maendeleo haya, tunapata maendeleo ya uso kamili wa prism. Misingi ya prism inapaswa kushikamana na uso wa upande unaofanana kwa kutumia njia ya triangulation.
Kwenye msingi wa juu wa prism, kwa kutumia radii R na R 1, tunaamua eneo la uhakika F, na kwa uso wa upande, kwa kutumia radius R 3 na H 1, tunaamua uhakika K.
III. Uwakilishi wa kuona wa prism katika dimetry.
III, a. Tunaonyesha msingi wa chini wa prism kulingana na kuratibu za pointi A, B, C, D na E (Mchoro 284 I, a).
III, b. Tunaonyesha msingi wa juu sambamba na ule wa chini, uliotengwa kutoka humo kwa urefu wa H wa prism.
III, c. Tunaonyesha kingo za upande kwa kuunganisha wima zinazolingana za besi na mistari iliyonyooka. Tunaamua vitu vinavyoonekana na visivyoonekana vya prism na kuzielezea kwa mistari inayolingana,
III, d. Tunaamua pointi F na K juu ya uso wa prism - Point F - juu ya msingi wa juu ni kuamua kwa kutumia vipimo i na e; kumweka K - kwenye uso wa upande kwa kutumia i 1 na H" .
Kwa picha ya isometriki ya prism na kuamua maeneo ya pointi F na K, mlolongo sawa unapaswa kufuatiwa.
Kielelezo 285).

Imetolewa:
1. Msingi iko kwenye ndege P 1.
2. Mbavu za upande zinafanana na ndege ya P 2.
3. Hakuna upande wa msingi unaofanana na mhimili wa x 12
I. Mchoro tata.
Mimi, a. Tunatengeneza kulingana na hali hii: msingi wa chini ni poligoni iliyo kwenye ndege P1, na makali ya upande ni sehemu inayofanana na ndege P2 na inaelekea kwenye ndege P1.
mimi, b. Tunatengeneza kingo za upande zilizobaki - sehemu sawa na sambamba na makali ya kwanza SE.
Mimi, c. Tunatengeneza msingi wa juu wa prism kama poligoni, sawa na sambamba na msingi wa chini, na kupata mchoro tata wa prism.
Tunatambua vipengele visivyoonekana kwenye makadirio. Makadirio ya mbele ya ukingo wa VM na makadirio ya usawa ya upande wa CD ya msingi yanaonyeshwa kwa mistari iliyopigwa kama isiyoonekana.
I, g. Kutokana na makadirio ya mbele Q 2 ya uhakika Q kwenye makadirio A 2 K 2 F 2 D 2 ya uso wa upande; unahitaji kupata makadirio yake ya usawa. Ili kufanya hivyo, chora mstari wa msaidizi kupitia hatua Q 2 katika makadirio A 2 K 2 F 2 D 2 ya uso wa prism, sambamba na kando ya upande wa uso huu. Tunapata makadirio ya usawa ya mstari wa msaidizi na juu yake, kwa kutumia mstari wa uunganisho wa wima, tunaamua eneo la makadirio ya usawa yaliyotakiwa Q 1 ya uhakika Q.
II. Maendeleo ya uso wa prism.
Kuwa na vipimo vya asili vya pande za msingi kwenye makadirio ya usawa, na vipimo vya mbavu kwenye makadirio ya mbele, inawezekana kujenga maendeleo kamili ya uso wa prism iliyotolewa.
Tutapiga prism, tukizunguka kila wakati karibu na makali ya upande, kisha kila uso wa upande wa prism kwenye ndege utaacha ufuatiliaji (parallelogram) sawa na ukubwa wake wa asili. Tutaunda skana ya upande kwa mpangilio ufuatao:
a) kutoka kwa pointi A 2, B 2, D 2. . . E 2 (makadirio ya mbele ya wima ya besi) tunachora mistari ya moja kwa moja ya msaidizi kulingana na makadirio ya mbavu;
b) radius R ( sawa na upande CD ya msingi) tunafanya notch kwa uhakika D kwenye mstari wa msaidizi unaotolewa kutoka kwa uhakika D2; kwa kuunganisha pointi moja kwa moja C 2 na D na kuchora mistari ya moja kwa moja sambamba na E 2 C 2 na C 2 D, tunapata upande wa uso wa CEFD;
c) basi, kwa kupanga vile vile nyuso za upande zifuatazo, tunapata maendeleo ya nyuso za upande wa prism. Ili kupata maendeleo kamili ya uso wa prism hii, tunaiunganisha kwa nyuso zinazofanana za msingi.
III. Uwakilishi wa kuona wa prism katika isometry.
III, a. Tunaonyesha msingi wa chini wa prism na makali ya CE, kwa kutumia kuratibu kulingana na (