Kielelezo kinachopakana na grafu ya chaguo za kukokotoa zisizo hasi $f(x)$ kwenye sehemu ya $$ na mistari $y=0, \ x=a$ na $x=b$ inaitwa curvilinear trapezoid.
Eneo la trapezoid inayolingana ya curvilinear huhesabiwa na formula:
$S=\int\limits_(a)^(b)(f(x)dx).$ (*)
Tutagawanya matatizo kwa masharti ili kupata eneo la trapezoid ya curvilinear katika aina $4$. Hebu tuangalie kila aina kwa undani zaidi.
Aina ya I: trapezoid iliyopinda imebainishwa kwa uwazi. Kisha tumia fomula mara moja (*).
Kwa mfano, tafuta eneo la curvilinear trapezoid iliyofungwa na grafu ya chaguo za kukokotoa $y=4-(x-2)^(2)$ na mistari $y=0, \ x=1$ na $x =3$.
Wacha tuchore trapezoid hii iliyopinda.
Kwa kutumia formula (*), tunapata eneo la trapezoid hii ya curvilinear.
$S=\int\limits_(1)^(3)(\left(4-(x-2)^(2)\right)dx)=\int\limits_(1)^(3)(4dx)- \int\limits_(1)^(3)((x-2)^(2)dx)=4x|_(1)^(3) - \kushoto.\frac((x-2)^(3) )(3)\kulia|_(1)^(3)=$
$=4(3-1)-\frac(1)(3)\kushoto((3-2)^(3)-(1-2)^(3)\kulia)=4 \cdoti 2 – \frac (1)(3)\kushoto((1)^(3)-(-1)^(3)\kulia) = 8 – \frac(1)(3)(1+1) =$
$=8-\frac(2)(3)=7\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).
Aina ya II: trapezoid iliyopinda imebainishwa kwa uwazi. Katika kesi hii, mistari iliyonyooka $x=a, \ x=b$ kawaida haijabainishwa au kubainishwa kwa sehemu. Katika kesi hii, unahitaji kupata pointi za makutano ya kazi $y=f(x)$ na $y=0$. Pointi hizi zitakuwa $a$ na $b$.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo lililofungwa na grafu za chaguo za kukokotoa $y=1-x^(2)$ na $y=0$.
Wacha tupate sehemu za makutano. Ili kufanya hivyo, tunalinganisha pande za kulia za kazi.
Kwa hivyo, $a=-1$ na $b=1$. Wacha tuchore trapezoid hii iliyopinda.
Wacha tupate eneo la trapezoid hii iliyopindika.
$S=\int\limits_(-1)^(1)(\left(1-x^(2)\right)dx)=\int\limits_(-1)^(1)(1dx)-\int \mipaka_(-1)^(1)(x^(2)dx)=x|_(-1)^(1) - \kushoto.\frac(x^(3))(3)\kulia|_ (-1)^(1)=$
$=(1-(-1))-\frac(1)(3)\kushoto(1^(3)-(-1)^(3)\kulia)=2 – \frac(1)(3) \kushoto(1+1\kulia) = 2 – \frac(2)(3) = 1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).
Aina ya III: eneo la takwimu iliyopunguzwa na makutano ya kazi mbili zinazoendelea zisizo hasi. Takwimu hii haitakuwa trapezoid iliyopinda, ambayo inamaanisha huwezi kuhesabu eneo lake kwa kutumia formula (*). Jinsi ya kuwa? Inabadilika kuwa eneo la takwimu hii linaweza kupatikana kama tofauti kati ya maeneo ya trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na kazi ya juu na $y=0$ ($S_(uf)$), na kazi ya chini na $y=0$ ($S_(lf)$), ambapo jukumu la $x=a, \ x=b$ linachezwa na viwianishi vya $x$ vya sehemu za makutano ya chaguo za kukokotoa hizi, i.e.
$S=S_(uf)-S_(lf)$. (**)
Jambo muhimu zaidi wakati wa kuhesabu maeneo kama haya sio "kukosa" na uchaguzi wa kazi za juu na za chini.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo linalopakana na chaguo za kukokotoa $y=x^(2)$ na $y=x+6$.
Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu hizi:
Kulingana na nadharia ya Vieta,
$x_(1)=-2,\x_(2)=3.$
Yaani, $a=-2,\b=3$. Wacha tuchore takwimu:
Kwa hivyo, kitendakazi cha juu ni $y=x+6$, na kitendakazi cha chini ni $y=x^(2)$. Kisha, tunapata $S_(uf)$ na $S_(lf)$ kwa kutumia fomula (*).
$S_(uf)=\int\limits_(-2)^(3)((x+6)dx)=\int\limits_(-2)^(3)(xdx)+\int\limits_(-2 )^(3)(6dx)=\kushoto.\frac(x^(2))(2)\kulia|_(-2)^(3) + 6x|_(-2)^(3)= 32 .5$ (vizio$^(2)$).
$S_(lf)=\int\limits_(-2)^(3)(x^(2)dx)=\kushoto.\frac(x^(3))(3)\kulia|_(-2) ^(3) = \frac(35)(3)$ (vitengo$^(2)$).
Wacha tubadilishe tulichopata kuwa (**) na tupate:
$S=32.5-\frac(35)(3)= \frac(125)(6)$ (units$^(2)$).
Aina ya IV: eneo la kielelezo lililofungwa na chaguo za kukokotoa ambazo hakikidhi hali ya kutokuwa hasi. Ili kupata eneo la takwimu kama hiyo, unahitaji kuwa na ulinganifu kuhusu mhimili wa $Ox$ ( kwa maneno mengine, weka "minuses" mbele ya kazi) onyesha eneo hilo na, kwa kutumia njia zilizoainishwa katika aina I - III, pata eneo la eneo lililoonyeshwa. Eneo hili litakuwa eneo linalohitajika. Kwanza, unaweza kulazimika kupata sehemu za makutano ya grafu za kazi.
Kwa mfano, tafuta eneo la kielelezo lililofungwa na grafu za chaguo za kukokotoa $y=x^(2)-1$ na $y=0$.
Wacha tupate sehemu za makutano ya grafu za kazi:
hizo. $a=-1$, na $b=1$. Wacha tuchore eneo.
Wacha tuonyeshe eneo hilo kwa ulinganifu:
$y=0 \ \Mshale wa Kulia \ y=-0=0$
$y=x^(2)-1 \ \Mshale wa Kulia \ y= -(x^(2)-1) = 1-x^(2)$.
Matokeo yake ni curvilinear trapezoid inayopakana na grafu ya chaguo za kukokotoa $y=1-x^(2)$ na $y=0$. Hili ni shida kupata trapezoid iliyopindika ya aina ya pili. Tayari tumeisuluhisha. Jibu lilikuwa: $S= 1\frac(1)(3)$ (units $^(2)$). Hii inamaanisha kuwa eneo la trapezoid ya curvilinear inayohitajika ni sawa na:
$S=1\frac(1)(3)$ (units$^(2)$).
Eneo la trapezoid ya curvilinear ni nambari sawa na kiunganishi dhahiri
Kiunga chochote cha uhakika (kilichopo) kina maana nzuri sana ya kijiometri. Darasani nilisema kuwa kiunganishi dhahiri ni nambari. Na sasa ni wakati wa kusema moja zaidi ukweli muhimu. Kwa mtazamo wa jiometri, kiunga cha uhakika ni AREA.
Hiyo ni, kiunga cha uhakika (ikiwa kipo) kijiometri inalingana na eneo la takwimu fulani. Kwa mfano, fikiria kiunga cha uhakika. Mchanganyiko hufafanua curve fulani kwenye ndege (inaweza kuchorwa kila wakati ikiwa inataka), na kiunga cha uhakika yenyewe ni nambari. sawa na eneo trapezoid iliyopinda inayolingana.
Mfano 1
Hii ni taarifa ya kawaida ya mgawo. Kwanza na wakati muhimu zaidi ufumbuzi - kuchora. Aidha, kuchora lazima kujengwa HAKI.
Wakati wa kuunda mchoro, ninapendekeza agizo lifuatalo: mwanzoni ni bora kuunda mistari yote iliyonyooka (ikiwa ipo) na tu Kisha- parabolas, hyperbolas, grafu za kazi zingine. Ni faida zaidi kujenga grafu za kazi hatua kwa hatua, mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua inaweza kupatikana katika nyenzo za kumbukumbu.
Huko unaweza pia kupata nyenzo muhimu sana kwa somo letu - jinsi ya kujenga parabola haraka.
Katika shida hii, suluhisho linaweza kuonekana kama hii.
Wacha tuchore mchoro (kumbuka kuwa equation inafafanua mhimili):
Sitaweka kivuli kwenye trapezoid iliyopinda; ni dhahiri hapa tunazungumzia eneo gani. Suluhisho linaendelea kama hii:
Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, Ndiyo maana:
Jibu:
Nani ana shida katika kuhesabu kiunganishi dhahiri na kutumia fomula ya Newton-Leibniz 
, rejea hotuba Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.
Baada ya kazi kukamilika, ni muhimu kila wakati kutazama mchoro na kujua ikiwa jibu ni la kweli. KATIKA kwa kesi hii"kwa jicho" tunahesabu idadi ya seli kwenye mchoro - vizuri, kutakuwa na karibu 9, inaonekana kuwa kweli. Ni wazi kabisa kwamba ikiwa tulipata, sema, jibu: vitengo 20 vya mraba, basi ni dhahiri kwamba kosa lilifanywa mahali fulani - seli 20 haziingii kwenye takwimu inayohusika, zaidi ya dazeni. Ikiwa jibu ni hasi, basi kazi pia ilitatuliwa vibaya.
Mfano 2
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, , na mhimili
Huu ni mfano kwa uamuzi wa kujitegemea. Suluhisho kamili na jibu mwishoni mwa somo.
Nini cha kufanya ikiwa trapezoid iliyopotoka iko chini ya mhimili?
Mfano 3
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari na kuratibu shoka.
Suluhisho: Wacha tufanye mchoro: 
Ikiwa trapezoid iliyopotoka iko kabisa chini ya mhimili, basi eneo lake linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Kwa kesi hii: 
Tahadhari! Aina mbili za kazi hazipaswi kuchanganyikiwa:
1) Ukiulizwa kusuluhisha kiunganishi dhahiri bila yoyote maana ya kijiometri, basi inaweza kuwa hasi.
2) Ikiwa utaulizwa kupata eneo la takwimu kwa kutumia kiunga fulani, basi eneo hilo huwa chanya kila wakati! Ndio maana minus inaonekana katika fomula iliyojadiliwa hivi punde.
Kwa mazoezi, mara nyingi takwimu hiyo iko katika ndege ya juu na ya chini, na kwa hiyo, kutokana na matatizo rahisi ya shule tunaendelea kwa mifano yenye maana zaidi.
Mfano 4
Tafuta eneo la takwimu ya ndege iliyofungwa na mistari, .
Suluhisho: Kwanza unahitaji kufanya kuchora. Kwa ujumla, wakati wa kuunda mchoro katika shida za eneo, tunavutiwa zaidi na sehemu za makutano ya mistari. Hebu tupate pointi za makutano ya parabola na mstari wa moja kwa moja. Hii inaweza kufanyika kwa njia mbili. Njia ya kwanza ni ya uchambuzi. Tunatatua equation:
Hii ina maana kwamba kikomo cha chini cha ujumuishaji ni, kikomo cha juu cha ujumuishaji ni.
Ni bora kutotumia njia hii, ikiwa inawezekana.
Ni faida zaidi na haraka zaidi kuunda mistari hatua kwa hatua, na mipaka ya ujumuishaji inakuwa wazi "yenyewe." Mbinu ya ujenzi wa hatua kwa hatua kwa grafu mbalimbali inajadiliwa kwa undani katika usaidizi Grafu na Sifa kazi za msingi . Walakini, njia ya uchambuzi ya kupata mipaka bado wakati mwingine inapaswa kutumika ikiwa, kwa mfano, grafu ni kubwa ya kutosha, au ujenzi wa kina haukufunua mipaka ya ujumuishaji (inaweza kuwa ya sehemu au isiyo na maana). Na pia tutazingatia mfano kama huo.
Wacha turudi kwenye kazi yetu: ni busara zaidi kwanza kuunda mstari ulionyooka na kisha tu parabola. Wacha tufanye mchoro: 
Ninarudia kwamba wakati wa kujenga kwa uhakika, mipaka ya ujumuishaji mara nyingi hupatikana "moja kwa moja".
Na sasa formula ya kufanya kazi: Ikiwa kwenye sehemu kuna kazi fulani inayoendelea kubwa kuliko au sawa na kazi fulani inayoendelea, basi eneo la takwimu inayolingana linaweza kupatikana kwa kutumia formula:
Hapa hauitaji tena kufikiria ni wapi takwimu iko - juu ya mhimili au chini ya mhimili, na, kwa kusema, ni muhimu ni grafu ipi iliyo JUU(kuhusiana na grafu nyingine), na ipi iliyo CHINI.
Katika mfano unaozingatiwa, ni dhahiri kwamba kwenye sehemu parabola iko juu ya mstari wa moja kwa moja, na kwa hiyo ni muhimu kuondoa kutoka.
Suluhisho lililokamilishwa linaweza kuonekana kama hii:
Takwimu inayotakiwa imepunguzwa na parabola hapo juu na mstari wa moja kwa moja chini.
Kwenye sehemu, kulingana na formula inayolingana:
Jibu:
Kwa kweli, fomula ya shule ya eneo la trapezoid ya curvilinear katika nusu ya chini ya ndege (angalia mfano rahisi Na. 3) kesi maalum fomula 
. Kwa kuwa mhimili umeainishwa na equation na grafu ya kazi iko chini ya mhimili, basi. 
Na sasa mifano michache kwa suluhisho lako mwenyewe
Mfano 5
Mfano 6
Tafuta eneo la takwimu iliyofungwa na mistari, .
Wakati wa kutatua matatizo yanayohusisha eneo la kukokotoa kwa kutumia kiunganishi dhahiri, tukio la kuchekesha wakati mwingine hutokea. Mchoro ulifanyika kwa usahihi, mahesabu yalikuwa sahihi, lakini kwa sababu ya kutojali ... eneo la takwimu mbaya lilipatikana, hivi ndivyo mtumishi wako mnyenyekevu alivyojikwaa mara kadhaa. Hapa kesi halisi kutoka kwa maisha:
Mfano 7
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari , , , .
Kwanza, wacha tufanye mchoro: 
Kielelezo ambacho eneo ambalo tunahitaji kupata ni kivuli cha bluu(angalia kwa makini hali - jinsi takwimu ni mdogo!). Lakini kwa mazoezi, kwa sababu ya kutojali, mara nyingi hutokea kwamba unahitaji kupata eneo la takwimu ambayo ni kivuli. kijani!
Mfano huu pia ni muhimu kwa sababu huhesabu eneo la takwimu kwa kutumia viambatanisho viwili dhahiri. Kweli:
1) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya mstari wa moja kwa moja;
2) Kwenye sehemu ya juu ya mhimili kuna grafu ya hyperbola.
Ni dhahiri kwamba maeneo yanaweza (na yanapaswa) kuongezwa, kwa hivyo:
Jibu:
Mfano 8
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,
Wacha tuwasilishe milinganyo katika fomu ya "shule" na tufanye mchoro wa hatua kwa hatua: 
Kutoka kwa kuchora ni wazi kwamba kikomo chetu cha juu ni "nzuri":.
Lakini ni nini kikomo cha chini?! Ni wazi kuwa hii sio nambari kamili, lakini ni nini? Labda ? Lakini iko wapi dhamana ya kwamba mchoro unafanywa kwa usahihi kamili, inaweza kugeuka kuwa ... Au mizizi. Ikiwa tutaunda grafu vibaya?
Katika hali hiyo, unapaswa kutumia muda wa ziada na kufafanua mipaka ya ushirikiano kwa uchambuzi.
Wacha tupate sehemu za makutano ya mstari wa moja kwa moja na parabola.
Ili kufanya hivyo, tunatatua equation: 
Kwa hivyo,.
Suluhisho zaidi ni ndogo, jambo kuu sio kuchanganyikiwa katika mbadala na ishara; mahesabu hapa sio rahisi zaidi.
Kwenye sehemu 
, kulingana na formula inayolingana: 
Jibu: 
Kweli, kuhitimisha somo, hebu tuangalie kazi mbili ngumu zaidi.
Mfano 9
Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari,
Suluhisho: Wacha tuonyeshe takwimu hii kwenye mchoro. 
Ili kuchora mchoro wa hatua kwa hatua unahitaji kujua mwonekano sinusoids (na kwa ujumla ni muhimu kujua grafu za kazi zote za msingi), na vile vile maadili kadhaa, yanaweza kupatikana ndani meza ya trigonometric. Katika baadhi ya matukio (kama ilivyo katika kesi hii), inawezekana kujenga mchoro wa schematic, ambayo grafu na mipaka ya ushirikiano inapaswa kuonyeshwa kimsingi kwa usahihi.
Hakuna shida na mipaka ya ujumuishaji hapa; wanafuata moja kwa moja kutoka kwa hali: "x" hubadilika kutoka sifuri hadi "pi". Wacha tufanye uamuzi zaidi:
Kwenye sehemu, grafu ya kazi iko juu ya mhimili, kwa hivyo:
(1) Unaweza kuona jinsi sine na kosini zimeunganishwa katika nguvu zisizo za kawaida katika somo Viunga kutoka kazi za trigonometric . Hii ni mbinu ya kawaida, tunapunguza sinus moja.
(2) Tumia msingi kitambulisho cha trigonometric kama 
(3) Wacha tubadilishe kutofautisha, basi:
Maeneo mapya ya ujumuishaji:
Yeyote ambaye ni mbaya sana na mbadala, tafadhali jifunze. Njia ya uingizwaji ndani kiungo kisicho na kikomo . Kwa wale ambao hawaelewi kabisa algorithm ya uingizwaji katika muunganisho dhahiri, tembelea ukurasa Dhahiri muhimu. Mifano ya ufumbuzi.
Katika nakala hii utajifunza jinsi ya kupata eneo la takwimu iliyofungwa na mistari kwa kutumia mahesabu muhimu. Kwa mara ya kwanza tunakutana na uundaji wa shida kama hiyo katika shule ya upili, wakati tumemaliza kusoma viunganisho dhahiri na ni wakati wa kuanza tafsiri ya kijiometri ya maarifa yaliyopatikana katika mazoezi.
Kwa hivyo, ni nini kinachohitajika ili kufanikiwa kutatua shida ya kupata eneo la takwimu kwa kutumia viunga:
- Uwezo wa kufanya michoro zinazofaa;
- Uwezo wa kutatua utumiaji wa uhakika formula maarufu Newton-Leibniz;
- Uwezo wa "kuona" chaguo la suluhisho la faida zaidi - i.e. kuelewa jinsi itakuwa rahisi zaidi kutekeleza ujumuishaji katika kesi moja au nyingine? Kando ya mhimili wa x (OX) au mhimili y (OY)?
- Naam, tungekuwa wapi bila mahesabu sahihi?) Hii inajumuisha kuelewa jinsi ya kutatua aina hiyo nyingine ya viambatanisho na hesabu sahihi za nambari.
Algorithm ya kutatua shida ya kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari:
1. Tunatengeneza mchoro. Inashauriwa kufanya hivyo kwenye karatasi ya checkered, kwa kiwango kikubwa. Tunatia saini jina la chaguo hili kwa penseli juu ya kila grafu. Kusaini grafu hufanyika tu kwa urahisi wa mahesabu zaidi. Baada ya kupokea grafu ya takwimu inayotaka, katika hali nyingi itakuwa wazi mara moja ambayo mipaka ya ushirikiano itatumika. Hivyo, sisi kutatua tatizo graphically. Walakini, hutokea kwamba maadili ya mipaka ni ya sehemu au isiyo na maana. Kwa hiyo, unaweza kufanya mahesabu ya ziada, nenda kwa hatua ya pili.
2. Ikiwa mipaka ya ujumuishaji haijabainishwa wazi, basi tunapata alama za makutano ya grafu na kila mmoja na kuona ikiwa yetu. suluhisho la picha na uchambuzi.
3. Ifuatayo, unahitaji kuchambua mchoro. Kulingana na jinsi grafu za kazi zimepangwa, kuna njia tofauti za kupata eneo la takwimu. Hebu tuzingatie mifano tofauti juu ya kutafuta eneo la takwimu kwa kutumia viungo.
3.1. Toleo la kawaida na rahisi zaidi la shida ni wakati unahitaji kupata eneo la trapezoid iliyopotoka. Trapezoid iliyopinda ni nini? Hiki ni kielelezo bapa kilichopunguzwa na mhimili wa x (y = 0), moja kwa moja x = a, x = b na curve yoyote inayoendelea kwenye muda kutoka a kabla b. Zaidi ya hayo, takwimu hii sio hasi na haiko chini ya mhimili wa x. Katika kesi hii, eneo la trapezoid ya curvilinear ni sawa na nambari fulani, iliyohesabiwa kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz:
Mfano 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Je, takwimu imepakana na mistari gani? Tuna parabola y = x2 - 3x + 3, ambayo iko juu ya mhimili OH, sio hasi, kwa sababu pointi zote za parabola hii zina maadili mazuri. Ifuatayo, ukipewa mistari iliyonyooka x = 1 Na x = 3, ambayo inaendana sambamba na mhimili OU, ni mistari ya mipaka ya takwimu upande wa kushoto na kulia. Vizuri y = 0, pia ni mhimili wa x, unaoweka kikomo kielelezo kutoka chini. Takwimu inayosababishwa imetiwa kivuli, kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu upande wa kushoto. Katika kesi hii, unaweza kuanza mara moja kutatua tatizo. Mbele yetu ni mfano rahisi wa trapezoid iliyopinda, ambayo tunatatua kwa kutumia fomula ya Newton-Leibniz.
3.2. Katika aya iliyotangulia ya 3.1, tulichunguza kesi wakati trapezoid iliyopotoka iko juu ya mhimili wa x. Sasa fikiria kesi wakati hali ya shida ni sawa, isipokuwa kwamba kazi iko chini ya mhimili wa x. Minus imeongezwa kwenye fomula ya kawaida ya Newton-Leibniz. Tutazingatia jinsi ya kutatua shida kama hiyo hapa chini.
Mfano 2 . Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.
Katika mfano huu tuna parabola y = x2 + 6x + 2, ambayo hutoka kwa mhimili OH, moja kwa moja x = -4, x = -1, y = 0. Hapa y = 0 hupunguza takwimu inayotaka kutoka juu. Moja kwa moja x = -4 Na x = -1 hii ndio mipaka ambayo kiunganishi dhahiri kitahesabiwa. Kanuni ya kutatua shida ya kupata eneo la takwimu karibu inalingana kabisa na mfano nambari 1. Tofauti pekee ni kwamba kazi iliyotolewa sio nzuri, na pia inaendelea kwa muda. [-4; -1] . Unamaanisha nini sio chanya? Kama inavyoonekana kutoka kwa takwimu, takwimu ambayo iko ndani ya x iliyotolewa ina viwianishi vya "hasi", ambavyo ndivyo tunahitaji kuona na kukumbuka wakati wa kutatua shida. Tunatafuta eneo la takwimu kwa kutumia formula ya Newton-Leibniz, tu na ishara ya minus mwanzoni.
Makala hayajakamilika.
Mfano1 . Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: x + 2y - 4 = 0, y = 0, x = -3, na x = 2
Hebu tujenge takwimu (tazama takwimu) Tunajenga mstari wa moja kwa moja x + 2y - 4 = 0 kwa kutumia pointi mbili A (4;0) na B (0;2). Kuonyesha y kupitia x, tunapata y = -0.5x + 2. Kwa kutumia fomula (1), ambapo f(x) = -0.5x + 2, a = -3, b = 2, tunapata
S = = [-0.25=11.25 sq. vitengo
Mfano 2. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: x - 2y + 4 = 0, x + y - 5 = 0 na y = 0.
Suluhisho. Wacha tujenge takwimu.
Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja x – 2y + 4 = 0: y = 0, x = - 4, A(-4; 0); x = 0, y = 2, B(0; 2).
Hebu tujenge mstari wa moja kwa moja x + y - 5 = 0: y = 0, x = 5, C (5; 0), x = 0, y = 5, D (0; 5).
Wacha tupate hatua ya makutano ya mistari kwa kutatua mfumo wa equations:
x = 2, y = 3; M(2; 3).
Ili kuhesabu eneo linalohitajika, tunagawanya pembetatu AMC katika pembetatu mbili AMN na NMC, tangu wakati x mabadiliko kutoka A hadi N, eneo hilo ni mdogo kwa mstari wa moja kwa moja, na wakati x mabadiliko kutoka N hadi C - kwa mstari wa moja kwa moja.
Kwa pembetatu AMN tunayo:; y = 0.5x + 2, yaani f(x) = 0.5x + 2, a = - 4, b = 2.
Kwa pembetatu NMC tuna: y = - x + 5, yaani f(x) = - x + 5, a = 2, b = 5.
Kwa kuhesabu eneo la kila pembetatu na kuongeza matokeo, tunapata:
sq. vitengo
sq. vitengo
9 + 4, 5 = 13.5 sq. vitengo Angalia: = 0.5AC = 0.5 sq. vitengo
Mfano 3. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = x 2 , y = 0, x = 2, x = 3.
Katika kesi hii, unahitaji kuhesabu eneo la trapezoid iliyopindika iliyofungwa na parabola y = x. 2 , mistari iliyonyooka x = 2 na x = 3 na mhimili wa Ox (tazama takwimu) Kwa kutumia formula (1) tunapata eneo la trapezoid ya curvilinear
= = 6 sq. vitengo
Mfano 4. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = - x 2 + 4 na y = 0
Wacha tujenge takwimu. Eneo linalohitajika limefungwa kati ya parabola y = - x 2 + 4 na mhimili wa Ng’ombe.
Wacha tupate sehemu za makutano ya parabola na mhimili wa Ox. Kwa kudhani y = 0, tunapata x = Kwa kuwa takwimu hii ni ya ulinganifu juu ya mhimili wa Oy, tunahesabu eneo la takwimu iliyo upande wa kulia wa mhimili wa Oy, na mara mbili matokeo yaliyopatikana: = +4x]sq. vitengo 2 = 2 sq. vitengo
Mfano 5. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y 2 = x, yx = 1, x = 4
Hapa unahitaji kuhesabu eneo la trapezoid ya curvilinear iliyofungwa na tawi la juu la parabola. 2 = x, mhimili wa ng'ombe na mistari iliyonyooka x = 1 na x = 4 (ona mchoro)
Kwa mujibu wa formula (1), ambapo f (x) = a = 1 na b = 4, tuna = (= sq. vitengo.
Mfano 6 . Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = sinx, y = 0, x = 0, x= .
Eneo linalohitajika limepunguzwa na nusu ya wimbi la sinusoid na mhimili wa Ox (angalia takwimu).
Tuna - cosx = - cos = 1 + 1 = 2 sq. vitengo
Mfano 7. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = - 6x, y = 0 na x = 4.
Takwimu iko chini ya mhimili wa Ox (tazama takwimu).
Kwa hivyo, tunapata eneo lake kwa kutumia fomula (3)
= =
Mfano 8. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = na x = 2. Tengeneza y = curve kutoka kwa pointi (angalia takwimu). Kwa hivyo, tunapata eneo la takwimu kwa kutumia formula (4)
Mfano 9 .
X 2 + y 2 = r 2 .
Hapa unahitaji kuhesabu eneo lililofungwa na mduara x 2 + y 2 = r 2 , yaani eneo la mduara wa radius r na kituo kwenye asili. Wacha tupate sehemu ya nne ya eneo hili kwa kuchukua mipaka ya ujumuishaji kutoka 0
kabla; tuna: 1 = = [
Kwa hivyo, 1 =
Mfano 10. Kuhesabu eneo la takwimu iliyofungwa na mistari: y = x 2 na y = 2x
Takwimu hii imepunguzwa na parabola y = x 2 na mstari wa moja kwa moja y = 2x (tazama takwimu) Kuamua pointi za makutano ya mistari iliyotolewa, tunatatua mfumo wa equations: x 2 - 2x = 0 x = 0 na x = 2
Kwa kutumia fomula (5) kupata eneo, tunapata
= }
Inapakia...