Сравнивать величины и количества при решении практических задач приходилось ещё с древних времён. Тогда же появились и такие слова, как больше и меньше, выше и ниже, легче и тяжелее, тише и громче, дешевле и дороже и т.д., обозначающие результаты сравнения однородных величин.
Понятия больше и меньше возникли в связи со счётом предметов, измерением и сравнением величин. Например, математики Древней Греции знали, что сторона любого треугольника меньше суммы двух других сторон и что против большего угла в треугольнике лежит большая сторона. Архимед, занимаясь вычислением длины окружности, установил, что периметр всякого круга равен утроенному диаметру с избытком, который меньше седьмой части диаметра, но больше десяти семьдесят первых диаметра.
Символически записывать соотношения между числами и величинами с помощью знаков > и b. Записи, в которых два числа соединены одним из знаков: > (больше), С числовыми неравенствами вы встречались и в младших классах. Знаете, что неравенства могут быть верными, а могут быть и неверными. Например, \(\frac{1}{2} > \frac{1}{3} \) верное числовое неравенство, 0,23 > 0,235 - неверное числовое неравенство.
Неравенства, в которые входят неизвестные, могут быть верными при одних значениях неизвестных и неверными при других. Например, неравенство 2x+1>5 верное при х = 3, а при х = -3 - неверное. Для неравенства с одним неизвестным можно поставить задачу: решить неравенство. Задачи решения неравенств на практике ставятся и решаются не реже, чем задачи решения уравнений. Например, многие экономические проблемы сводятся к исследованию и решению систем линейных неравенств. Во многих разделах математики неравенства встречаются чаще, чем уравнения.
Некоторые неравенства служат единственным вспомогательным средством, позволяющим доказать или опровергнуть существование определённого объекта, например, корня уравнения.
Числовые неравенства
Вы умеете сравнивать целые числа, десятичные дроби. Знаете правила сравнения обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями, но разными числителями; с одинаковыми числителями, но разными знаменателями. Здесь вы научитесь сравнивать любые два числа с помощью нахождения знака их разности.
Сравнение чисел широко применяется на практике. Например, экономист сравнивает плановые показатели с фактическими, врач сравнивает температуру больного с нормальной, токарь сравнивает размеры вытачиваемой детали с эталоном. Во всех таких случаях сравниваются некоторые числа. В результате сравнения чисел возникают числовые неравенства.
Определение. Число а больше числа b, если разность а-b положительна. Число а меньше числа b, если разность а-b отрицательна.
Если а больше b, то пишут: а > b; если а меньше b, то пишут: а Таким образом, неравенство а > b означает, что разность а - b положительна, т.е. а - b > 0. Неравенство а Для любых двух чисел а и b из следующих трёх соотношений a > b, a = b, a Сравнить числа а и b - значит выяснить, какой из знаков >, = или Теорема. Если a > b и Ь > с, то а > с.
Теорема.
Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число, то знак неравенства не изменится.
Следствие.
Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив знак этого слагаемого на
противоположный.
Теорема.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства умножить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Следствие.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.
Если обе части неравенства разделить на одно и то же отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный.
Вы знаете, что числовые равенства можно почленно складывать и умножать. Далее вы научитесь выполнять аналогичные действия с неравенствами. Умения почленно складывать и умножать неравенства часто применяются на практике. Эти действия помогают решать задачи оценивания и сравнения значений выражений.
При решении различных задач часто приходится складывать или умножать почленно левые и правые части неравенств. При этом иногда говорят, что неравенства складываются или умножаются. Например, если турист прошёл в первый день более 20 км, а во второй - более 25 км, то можно утверждать, что за два дня он прошёл более 45 км. Точно так же если длина прямоугольника меньше 13 см, а ширина меньше 5 см, то можно утверждать, что площадь этого прямоугольника меньше 65 см2.
При рассмотрении этих примеров применялись следующие теоремы о сложении и умножении неравенств:
Теорема. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака: если а > b и c > d, то a + c > b + d.
Теорема. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака: если а > b, c > d и а, b, с, d - положительные числа, то ac > bd.
Неравенства со знаком > (больше) и 1/2, 3/4 b, c Наряду со знаками строгих неравенств > и Точно так же неравенство \(a \geq b \) означает, что число а больше или равно b, т. е. а не меньше b.
Неравенства, содержащие знак \(\geq \) или знак \(\leq \), называют нестрогими. Например, \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) - нестрогие неравенства.
Все свойства строгих неравенств справедливы и для нестрогих неравенств. При этом если для строгих неравенств противоположными считались знаки > и Вы знаете, что для решения ряда прикладных задач приходится составлять математическую модель в виде уравнения или системы уравнений. Далее вы узнаете, что математическими моделями для решения многих задач являются неравенства с неизвестными. Будет введено понятие решения неравенства и показано, как проверить, является ли данное число решением конкретного неравенства.
Неравенства вида
\(ax > b, \quad ax
в которых а и b - заданные числа, а x - неизвестное, называют линейными неравенствами с одним неизвестным
.
Определение. Решением неравенства с одним неизвестным называется то значение неизвестного, при котором это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Решить неравенство - это значит найти все его решения или установить, что их нет.
Решение уравнений вы осуществляли путём приведения их к простейшим уравнениям. Аналогично при решении неравенств их стремятся с помощью свойств привести к виду простейших неравенств.
Решение неравенств второй степени с одной переменной
Неравенства вида
\(ax^2+bx+c >0 \) и \(ax^2+bx+c
где x - переменная, a, b и c - некоторые числа и \(a \neq 0 \), называют неравенствами второй степени с одной переменной
.
Решение неравенства
\(ax^2+bx+c >0 \) или \(ax^2+bx+c
можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция \(y= ax^2+bx+c \) принимает положительные или отрицательные
значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции \(y= ax^2+bx+c \) в координатной плоскости:
куда направлены ветви параболы - вверх или вниз, пересекает ли парабола ось x и если пересекает, то в каких точках.
Алгоритм решения неравенств второй степени с одной переменной:
1) находят дискриминант квадратного трехчлена \(ax^2+bx+c \) и выясняют, имеет ли трехчлен корни;
2) если трехчлен имеет корни, то отмечают их на оси x и через отмеченные точки проводят схематически параболу, ветви которой
направлены вверх при a > 0 или вниз при a 0 или в нижней при a
3) находят на оси x промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси x (если решают неравенство \(ax^2+bx+c >0 \))
или ниже оси x (если решают неравенство
\(ax^2+bx+c Решение неравенств методом интервалов
Рассмотрим функцию
f(x) = (х + 2)(х - 3)(х - 5)
Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа -2, 3, 5. Они разбивают область определения функции на промежутки \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) \) и \((5; +\infty) \)
Выясним, каковы знаки этой функции в каждом из указанных промежутков.
Выражение (х + 2)(х - 3)(х - 5) представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице:
Вообще пусть функция задана формулой
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
где x–переменная, а x 1 , x 2 , ..., x n – не равные друг другу числа. Числа
x 1 , x 2 , ..., x n являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения
разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.
Это свойство используется для решения неравенств вида
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n)
где x 1 , x 2 , ..., x n - не равные друг другу числа
Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.
Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.
Решить неравенство:
\(x(0,5-x)(x+4) Очевидно, что нулями функции f(x) = x(0,5-x)(x+4) являются точки \(x=0, \; x=\frac{1}{2} , \; x=-4 \)Наносим на числовую ось нули функции и вычисляем знак на каждом промежутке:
Выбираем те промежутки, на которых функция меньше или равна нулю и записываем ответ.
Ответ:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)
Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.
Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.
Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.
Не опоздать на поезд
Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 - Х) ≥ 20, где Х - время отправления.
Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.
Числовые промежутки на координатной прямой
Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.
На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием
Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).
То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U ∪[ \frac{2}{3};∞)\)
Квадратные неравенства с отрицательным и равным нулю дискриминантом
Алгоритм выше работает, когда дискриминант больше нуля, то есть имеет \(2\) корня. Что делать в остальных случаях? Например, таких:
|
\(1) x^2+2x+9>0\) |
\(2) x^2+6x+9≤0\) |
\(3)-x^2-4x-4>0\) |
\(4) -x^2-64<0\) |
|
\(D=4-36=-32<0\) |
\(D=-4 \cdot 64<0\) |
Если \(D<0\), то квадратный трехчлен имеет постоянный знак, совпадающий со знаком коэффициента \(a\) (тем, что стоит перед \(x^2\)).
То есть, выражение:
\(x^2+2x+9\) – положительно при любых \(x\), т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-64\) - отрицательно при любых \(x\), т.к. \(a=-1<0\)
Если \(D=0\), то квадратный трехчлен при одном значении \(x\) равен нулю, а при всех остальных имеет постоянный знак, который совпадает со знаком коэффициента \(a\).
То есть, выражение:
\(x^2+6x+9\) - равно нулю при \(x=-3\) и положительно при всех остальных иксах, т.к. \(a=1>0\)
\(-x^2-4x-4\) - равно нулю при \(x=-2\) и отрицательно при всех остальных, т.к. \(a=-1<0\).
Как найти икс, при котором квадратный трехчлен равен нулю? Нужно решить соответствующее квадратное уравнение.
С учетом этой информации давайте решим квадратные неравенства:
|
1) \(x^2+2x+9>0\) |
Неравенство, можно сказать, задает нам вопрос: «при каких \(x\) выражение слева больше нуля?». Выше мы уже выяснили, что при любых. В ответе можно так и написать: «при любых \(x\)», но лучше туже самую мысль, выразить на языке математики. |
|
|
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) |
||
|
2) \(x^2+6x+9≤0\) |
Вопрос от неравенства: «при каких \(x\) выражение слева меньше или равно нулю?» Меньше нуля оно быть не может, а вот равно нулю – вполне. И чтобы выяснить при каком иске это произойдет, решим соответствующие квадратное уравнение. |
|
|
Давайте соберем наше выражение по \(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\). |
||
|
Сейчас нам мешает только квадрат. Давайте вместе подумаем - какое число в квадрате равно нулю? Ноль! Значит, квадрат выражения равен нулю только если само выражение равно нулю. |
||
|
\(x+3=0\) |
Это число и будет ответом. |
|
|
Ответ: \(-3\) |
||
|
3)\(-x^2-4x-4>0\) |
Когда выражение слева больше нуля? Как выше уже было сказано выражение слева либо отрицательно, либо равно нулю, положительным оно быть не может. Значит ответ – никогда. Запишем «никогда» на языке математике, с помощью символа «пустое множество» - \(∅\). |
|
|
Ответ: \(x∈∅\) |
||
|
4) \(-x^2-64<0\) |
Когда выражение слева меньше нуля? Всегда. Значит неравенство выполняется при любых \(x\). |
|
|
Ответ: \(x∈(-∞;∞)\) |
Loading...